Introdução a Teoria da Medida (Estatística)

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Introduc¸a˜o a` Teoria da Medida e
Integral de Lebesgue
Primeira Edic¸a˜o V0.95
Agosto de 2013
Marco A. P. Cabral,
PhD Indiana University, EUA
Depto. de Matema´tica Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro – RJ – Brasil
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Introduc¸a˜o
Nesta apostila fazemos uma introduc¸a˜o curta a` Teoria da Medida. Os pre´-requisitos sa˜o:
(a) Teoria (elementar) dos conjuntos;
(b) Conceitos de Ana´lise Real: enumerabilidade, limite, supremum e noc¸o˜es de topologia
da reta.
Fomos cuidadosos nas motivac¸o˜es de cada cap´ıtulo, fazendo considerac¸o˜es de cara´ter
filoso´fico/histo´rico da mate´ria. Para atender ao pu´blico do livro, alunos com pouca bagagem
matema´tica, colocamos exerc´ıcios mais concretos do que os usualmente encontrados em livros
de medida e muitos exemplos para ilustrar as definic¸o˜es.
Quanto ao conteu´do selecionado, apresentamos a Teoria Geral de Medida, sem nos restrin-
gir a` Medida de Lebesgue, pela sua importaˆncia em Probabilidade. Apresentamos a medida
de Lebesgue utilizando o me´todo de Carathe´odory pelo seu uso na construc¸a˜o das medidas
de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff. Damos destaque a comparac¸a˜o entre as integrais de
Riemann e Lebesgue.
Gostar´ıamos tambe´m que o aluno adquirisse um vocabula´rio ba´sico da Teoria da Medida:
Teorema da Convergeˆncia Mono´tona e Dominada, Fubini, derivada de Radon-Nikody´m, espac¸o
produto. Por isso inclu´ımos estes resultados explicando sua importaˆncia mas sem incluir sua
demonstrac¸a˜o (que tomaria muito tempo).
Com o estudo desta apostila o aluno estara´ pronto, por exemplo, para aplicac¸o˜es em Teoria
de Probabilidades, Financ¸as e em Equac¸o˜es Diferenciais Parciais.
As fontes principais desta apostila sa˜o:
(a) artigos da Wikipedia sobre medida e integrac¸a˜o;
(a) cap´ıtulos 11, 12 and 13 de Measure Theory, de D.H.Fremlin, University of Essex, Col-
chester, England. Cerca de metade dos exerc´ıcios sa˜o deste livro. Isso foi poss´ıvel pois este ma-
terial possui a Design Science License, que pode ser vista em http://dsl.org/copyleft/dsl.txt.
Recomendamos como leitura complementar o livro do Bartle (Elements of Integration, ver
Bibliografia) por ser um curto e apropriado para um primeiro contato com a mate´ria.
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iv
Suma´rio
1 Espac¸o com Medida 1
1.1 Sigma-A´lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Espac¸os com Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Medida Exterior e Me´todo de Carathe´odory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Medida de Lebesgue em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Generalizac¸o˜es: Medida de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff . . . . . . . . . 13
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Sigma-A´lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Espac¸os com Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.3 Medida Exterior e Me´todo de Carathe´odory . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.4 Medida de Lebesgue em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.5 Generalizac¸o˜es: Medida de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff . . . . . 20
2 Integrac¸a˜o 21
2.1 Func¸o˜es Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Definic¸a˜o da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Teoremas de Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Integral de Riemann × Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Teorema de Radon-Nikody´m e Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Outras Construc¸o˜es da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.1 Func¸o˜es Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2 Definic¸a˜o da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.3 Teoremas de Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.4 Integral de Riemann × Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.5 Teorema de Radon-Nikody´m e Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Probabilidade e Medida 41
Refereˆncias Bibliogra´ficas 43
v
vi SUMA´RIO
Capı´tulo 1
Espac¸o com Medida
Uma medida num conjunto X e´ uma func¸a˜o que atribui um nu´mero real na˜o-negativo para
subconjuntos de X. Pode ser interpretada como a´rea, tamanho, massa, volume, capacidade
te´rmica ou qualquer propriedade aditiva, i.e., uma propriedade tal que a medida da unia˜o de
dois conjuntos disjuntos e´ igual a soma de suas medidas. Um exemplo importante e´ a medida
de Lebesgue no espac¸o euclidiano, que atribui comprimento, a´rea e volume, respectivamente,
a subconjuntos de Rn com n = 1, 2, 3.
Podemos enxergar a origem do conceito de medida no conceito de contagem. De fato, a
ideia de contagem pode ser generalizada de dois modos:
(a) como cardinalidade, ou (b) como medida.
Existem conjuntos que sa˜o pequenos do ponto de vista da medida mas grandes do ponto
de vista da cardinalidade. Um exemplo e´ Q, que possui medida (de Lebesgue) 0 mas possui
infinitos pontos (cardinalidade infinita).
Gostar´ıamos de atribuir uma medida para cada subconjunto de X mas o axioma da es-
colha implica, de forma na˜o-trivial, que existem subconjuntos de R (conjuntos de Vitali1, ver
Exerc´ıcio 50, p.19) aos quais na˜o podemos atribuir medida quando ela generaliza o compri-
mento de intervalos de R. De fato e´ imposs´ıvel atribuir comprimento a todos subconjuntos
de R preservando a aditividade e invariaˆncia por translac¸a˜o.
Por isso temos que considerar uma colec¸a˜o especial (usualmente menor) de subconjuntos
de X onde a medida esta´ definida, a chamada σ-a´lgebra de subconjuntos de X.
Elementos da σ-a´lgebra sa˜o chamados de conjuntos mensura´veis. Uma func¸a˜o e´ dita
mensura´vel se a imagem inversa de todo conjunto mensura´vel e´ um conjunto mensura´vel.
Decidimos apresentar a Teoria Geral da Medida, ao inve´s de medida de Lebesgue somente,
pois a teoria geral e´ fundamental para a teoria de probabilidade e e´ mais fa´cil que a construc¸a˜o
da medida de Lebesgue. De fato, para construir a medida de Lebesgue e´ necessa´rio antes
introduzir medida exterior e o me´todo de Carathe´odory.
Em resumo, nas duas primeiras sec¸o˜es definimos σ-a´lgebra e espac¸o de medida e nas duas
u´ltimas sec¸o˜es apresentamos medida exterior (uma forma de construir medidas na˜o-triviais) e
a medida de Lebesgue.
1Giuseppe Vitali: 1875 Ravenna, Italy – 1932 Bologna, Italy.
1
2 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
1.1 σ-A´lgebras
O conceito usual de comprimento, a´rea e volume se aplica somente a conjuntos com uma
certa regularidade. Por isso para definir o conceito de medida temos que comec¸ar definindo
uma classe de subconjuntos que podem ser medidos, a chamada σ-a´lgebra.
DEFINIC¸A˜O 1.1 Uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X e´ uma fam´ılia Σ de subconjuntos
de X tais que:
(a) ∅ ∈ Σ;
(b) para todo E ∈ Σ, seu complemento E{ = X \ E ∈ Σ;
(c) para toda sequeˆncia 〈En〉n∈N em Σ, sua unia˜o
⋃
n∈N
En ∈ Σ.
Elementos de Σ sa˜o chamados de conjuntos mensura´veis.
Observac¸a˜o 1.1 Uma a´lgebra de conjuntos e´ um subconjunto fechado pelas operac¸o˜es de
complementac¸a˜o e por unia˜o finita. O σ da σ-a´lgebra e´ porque ela e´ fechada tambe´m pela
unia˜o enumera´vel. Note que, ao contra´rio da unia˜o, na˜o consideramos a complementac¸a˜o
enumera´vel (porque?).
Exemplo 1.1 Existem duas σ-a´lgebra de subconjuntos de X que sa˜o canoˆnicas:
(a) Σ = {∅, X }, a menor σ-a´lgebra de X; (b) P(X), a maior σ-a´lgebra de X.
Exemplo 1.2 Considere X = { 1, 2, 3, 4 }. Sa˜o σ-a´lgebra de X (porque?):
(a) Σ = {∅, { 1 }, { 2, 3, 4 }, X }; (b) Σ = {∅, { 1, 2 }, { 3, 4 }, X }.
Exemplo1.3 O conjunto Σ = {A ∈ P(N); A e´ infinito} ∪ {∅ } satisfaz algumas das
propriedades (quais?) mas na˜o e´ uma σ-a´lgebra.
Exemplo 1.4 O conjunto Σ = {∅,Q,Q{,R } e´ uma σ-a´lgebra de R (porque?).
Exemplo 1.5 O conjunto Σ = {A ∈ P(R); A ou A{ e´ enumera´vel} e´ uma σ-a´lgebra de R
(porque?).
Exemplo 1.6 O conjunto Σ = {A ∈ P(R); A e´ um intervalo} na˜o e´ uma σ-a´lgebra de R
(porque?).
A prova do pro´ximo lema e´ um exerc´ıcio fa´cil deixado para o leitor.
LEMA 1.2 (Propriedades Elementares de uma σ-a´lgebra) Se Σ e´ uma σ-a´lgebra de
subconjuntos de X, enta˜o para todo E, F ∈ Σ:
(a) E ∪ F ∈ Σ; (b) E ∩ F ∈ Σ; (c) E \ F ∈ Σ;
(d) se 〈En〉n∈N e´ uma sequeˆncia em Σ, enta˜o
⋂
n∈N
En ∈ Σ.
1.1. SIGMA-A´LGEBRAS 3
Exemplo 1.7 Se En, Fq, Gt ∈ Σ para todo n ∈ Z, q ∈ Q e t ∈ R, pela definic¸a˜o e pelo
u´ltimo lema (reindexando as fam´ılias de conjuntos envolvidas) pertencem a Σ:⋂
n∈Z
En,
⋃
n∈Z
En,
⋂
q∈Q
Fq,
⋃
q∈Q
Fq.
Por outro lado,
⋃
t∈[0,1]
Gt e
⋂
t∈[0,1]
Gt podem na˜o pertencer a Σ (porque?).
O pro´ximo lema, cuja prova e´ um exerc´ıcio fa´cil deixado para o leitor, define um tipo
na˜o-trivial de σ-a´lgebra gerado por uma fam´ılia de σ-a´lgebras. A formulac¸a˜o e´ abstrata mas
e´ uma te´cnica muito utilizada em a´lgebra e ana´lise para se obter a existeˆncia de um objeto
m´ınimo com certa propriedade: tome a intersec¸a˜o de todos objetos com esta propriedade.
Do lema decorrera´ a definic¸a˜o de σ-a´lgebra gerada por uma fam´ılia de conjuntos, cujo
exemplo mais importante e´ da σ-a´lgebra de Borel, gerada pelos subconjuntos abertos de um
espac¸o topolo´gico.
LEMA 1.3 Seja S = (Σi)i∈I uma fam´ılia (na˜o-vazia) de σ-a´lgebras de subconjuntos de X.
Enta˜o ⋂
i∈I
Σi = {E ∈ Σi; para todo i ∈ I},
a intersec¸a˜o de todas as σ-a´lgebras que pertencem a S, e´ uma σ-a´lgebra de X.
COROLA´RIO 1.4 Seja A uma fam´ılia de subconjuntos de X. Existe ΣA, a menor σ-a´lgebra
de subconjuntos de X incluindo A, i.e., se Σ˜ e´ uma σ-a´lgebra contendo A, enta˜o ΣA ⊂ Σ˜.
Demonstrac¸a˜o. Defina
S , {Σ; Σ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X, A ⊂ Σ}
e ΣA ,
⋂S. Complete o argumento.
DEFINIC¸A˜O 1.5 Dizemos que ΣA ⊂ P(X) e´ a σ-a´lgebra de subconjuntos de X gerada
por A ⊂ P(X) se:
(a) ΣA e´ uma σ-a´lgebra;
(b) A ⊂ ΣA;
(c) Se Σ˜ e´ uma σ-a´lgebra com A ⊂ Σ˜, enta˜o ΣA ⊂ Σ˜ (a menor).
Exemplo 1.8 Para um X qualquer, a σ-a´lgebra gerada por ∅ e´ {∅, X }.
Exemplo 1.9 A σ-a´lgebra de subconjuntos de N gerada por {{n }; n ∈ N} e´ P(N).
Exemplo 1.10 A σ-a´lgebra de subconjuntos de N gerada por { { 1 }, { 2 } } e´
{∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }, { 1 }{, { 2 }{, { 1, 2 }{,N }.
4 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
DEFINIC¸A˜O 1.6 A σ-a´lgebra gerada pela fam´ılia de abertos de R (ou Rn) e´ conhecida
como σ-a´lgebra de Borel. Seus elementos sa˜o os conjuntos de Borel2 ou borelianos.
Observac¸a˜o 1.2 Veremos no Exerc´ıcio 4, p.14 que a σ-a´lgebra de Borel de R e´ gerada
tambe´m pelos intervalos abertos ou fechados, limitados ou ilimitados.
Esta definic¸a˜o e´ generalizada para um espac¸o topolo´gico (conjunto munido de uma
topologia, um subconjunto das partes satisfazendo algumas propriedades, similar a definic¸a˜o
de σ-a´lgebra) qualquer. Caso na˜o saiba o que e´ um espac¸o topolo´gico, na˜o se preocupe, pois
esta definic¸a˜o na˜o sera´ utilizada neste texto.
DEFINIC¸A˜O 1.7 Seja X um espac¸o topolo´gico. A σ-a´lgebra gerada pela fam´ılia de conjun-
tos abertos de X e´ conhecida como σ-a´lgebra de Borel. Seus elementos sa˜o os conjuntos
de Borel3 ou borelianos de X.
1.2 Espac¸os com Medida
A teoria da medida foi desenvolvida no final do se´culo XIX e no in´ıcio do se´culo XX por Emile
Borel, Henri Lebesgue4, Johann Radon5 and Maurice Fre´chet6, entre outros. As principais
aplicac¸o˜es sa˜o:
• na fundamentac¸a˜o da integral de Lebesgue, que generaliza (com vantagens) a integral
de Riemann.
• na axiomatizac¸a˜o da teoria de probabilidade feita por Andrey Kolmogorov;
• na definic¸a˜o de integral em espac¸os mais gerais do que os euclidianos.
DEFINIC¸A˜O 1.8 Dizemos que a sequeˆncia 〈En〉n∈N e´ disjunta se nenhum ponto pertence
a mais do que um En, isto e´, se Em
⋂
En = ∅ para todos m, n ∈ N distintos.
De forma ana´loga, se 〈Ei〉i∈I e´ uma fam´ılia de conjuntos indexada por um conjunto
arbitra´rio I, enta˜o ele e´ disjunto se Ei
⋂
Ej = ∅ para todos i, j ∈ I distintos.
Para definir medida precisamos dizer o que significa uma func¸a˜o assumir valores em [0,∞].
Este conjunto e´ a unia˜o do elemento ‘∞’ com o intervalo [0,∞) ⊂ R: um novo significado
para o ∞ em Matema´tica. Em medida ele significa comprimento, a´rea ou volume infinito.
Precisamos definir as operac¸o˜es aritme´ticas ba´sicas envolvendo ∞:
(a) adic¸a˜o: ∞+∞ =∞+ a = a+∞ =∞ para todo a ∈ R;
(b) subtrac¸a˜o: ∞− a =∞ para todo a ∈ R; mas ∞−∞ na˜o esta´ definido;
(c) multiplicac¸a˜o: ∞ ·∞ = a · ∞ =∞ · a =∞ para todo a > 0 e convencionamos (em
medida, confronte com ca´lculo) 0 · ∞ =∞ · 0 = 0.
2E´mile Borel: 1871 Saint Affrique, France – 1956 Paris, France.
4Henri Lebesgue: 1875 Beauvais, France–1941 Paris, France.
5Johann Radon: 1887 Tetschen, Bohemia (now Decin, Czech Republic) – 1956 Vienna, Austria.
6Maurice Fre´chet: 1878 Maligny, France – 1973 Paris, France.
1.2. ESPAC¸OS COM MEDIDA 5
Finalmente podemos estender a relac¸a˜o de ordem usual para incluir ∞: a <∞ para todo
a ∈ R. Com isto podemos definir o sup e o inf de subconjuntos de R ∪ {∞}. A convenc¸a˜o
usual e´ que inf ∅ =∞.
Outro ponto e´: como interpretar
∞∑
n=0
xn com xn ∈ [0,∞]?
(a) se todos os xn sa˜o finitos, trata-se de uma se´rie de termos na˜o-negativos: ou converge
para um nu´mero real, ou e´ ilimitada, quando diremos que converge para ∞ (porque?).
(b) se um dos xn’s e´ igual a ∞, escrevemos que
∞∑
n=0
xn =∞.
Ou de forma mais geral dada uma fam´ılia (xi)i∈I (I pode ser na˜o enumera´vel), como
interpretar
∑
i∈I
xi com xi ∈ [0,∞]?
DEFINIC¸A˜O 1.9 Dado (xi)i∈I com xi ∈ [0,∞], definimos
∑
i∈I
xi = sup
{∑
i∈J
xi; J ⊂ I e´ finito
}
.
Se I = ∅, enta˜o definimos
∑
i∈I
xi = 0.
DEFINIC¸A˜O 1.10 Um espac¸o de medida e´ uma tripla (X,Σ, µ) onde:
(a) X e´ um conjunto;
(b) Σ e´ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X;
(c) µ : Σ→ [0,∞] e´ uma func¸a˜o tal que:
(c1) µ(∅) = 0;
(c2) se 〈En〉n∈N e´ uma sequeˆncia disjunta em Σ, enta˜o µ
(⋃
n∈N
En
)
=
∞∑
n=0
µ(En).
Os elementos de Σ sa˜o chamados de conjuntos mensura´veis (ou µ-mensura´veis), e µ
e´ chamado de uma medida em X. A propriedade (c2) e´ chamada de σ-aditividade ou
aditividade conta´vel.
Observac¸a˜o 1.3 Uma medida definida numa σ-a´lgebra de Borel (ver Definic¸a˜o 1.6, p.4)
e´ conhecida como medida de Borel.
Em linguagem informal, uma func¸a˜o e´ chamada de medida se atribui um nu´mero real
na˜o-negativo ou infinito para cada conjunto, e´ aditiva (medida da soma e´ igual a soma
das medidas de conjuntos disjuntos) e vale zero no conjunto vazio. Como ja´ dissemos, e´
necessa´rio se restringir a uma σ-a´lgebra pois e´ imposs´ıvel, de forma geral, se atribuir uma
medida a TODOS os subconjuntos, a na˜o ser para algumas medidas triviais que apresentamos
na sequeˆncia (por exemplo a medida delta de Dirac do Exemplo 1.11, p.6 e a medida de
contagem do Exemplo 1.12, p.6), definidas na σ-a´lgebra trivial P(X).
6 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
DEFINIC¸A˜O 1.11 Seja h : X → [0,∞] uma func¸a˜o qualquer. Dado E ⊂ X, defina:
µh(E) ,
∑
x∈E
h(x) , sup
{∑
x∈I
h(x); I ⊂ E e´ finito
}
.
Enta˜o µh e´ uma medida em P(X) (porque?). Dizemos que e´ uma medida pontual.
Observac¸a˜o 1.4 Definimos
∑
x∈∅
h(x) , 0.
Exemplo 1.11 Um caso particular importante e´ dado a ∈ X, a medida pontual µIa , gerada
pela func¸a˜o indicadora Ia, conhecida como medida delta de Dirac7, denotada por δa, de
modo que δa(Y ) =
{
0, se a 6∈ Y,
1, se a ∈ Y.
Exemplo 1.12 Outro caso importante e´obtido se h(x) = 1 para todo x. Obtemos a medida
de contagem em X, definida por µh(E) =
{
no. de pontos de E, se E e´ finito,
∞, se E e´ infinito.
Exemplo 1.13 Seja X = N, h(n) = 2−n−1 para cada n; enta˜o µ(N) = 1
2
+ 1
4
+ · · · = 1.
LEMA 1.12 (Propriedades elementares da medida) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de me-
dida.
(a) Se E, F ∈ Σ e E ∩ F = ∅, enta˜o µ(E ∪ F ) = µ(E) + µ(F ).
(b) Se E, F ∈ Σ e E ⊂ F , enta˜o µ(E) ≤ µ(F ).
(c) µ(E ∪ F ) ≤ µ(E) + µ(F ) para todo E, F ∈ Σ.
(d) Se 〈En〉n∈N e´ uma sequeˆncia em Σ, enta˜o µ
(⋃
n∈N
En
)
≤
∞∑
n=0
µ(En).
(e) Se 〈En〉n∈N e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente em Σ (isto e´, En ⊂ En+1 para todo
n ∈ N), enta˜o
µ
(⋃
n∈N
En
)
= lim
n→∞
µ(En) = sup
n∈N
µ(En).
(f) Se 〈En〉n∈N e´ uma sequeˆncia na˜o-crescente em Σ (isto e´, En+1 ⊂ En para todo
n ∈ N), e se algum µ(En) e´ finito, enta˜o
µ
(⋂
n∈N
En
)
= lim
n→∞
µ(En) = inf
n∈N
µ(En).
7Paul Dirac: 1902 Bristol, England – 1984 Tallahassee, Florida, USA.
1.2. ESPAC¸OS COM MEDIDA 7
Demonstrac¸a˜o. Deixamos (a), (b) e (c) como exerc´ıcios.
(d) Seja F0 = E0, Fn = En \
⋃
i<n
Ei para n ≥ 1; enta˜o 〈Fn〉n∈N e´ uma sequeˆncia disjunta
em Σ. Complete esta prova.
(e) Seja F0 = E0, Fn = En \ En−1 para n ≥ 1; enta˜o 〈Fn〉n∈N e´ uma sequeˆncia disjunta
em Σ e
⋃
n∈N
Fn =
⋃
n∈N
En. Consequentemente µ
(⋃
n∈N
En
)
=
∞∑
n=0
µ(Fn). Mas uma induc¸a˜o
fa´cil em n, usando (a) para o passo indutivo, mostra que µ(En) =
n∑
m=0
µ(Fm) para todos n.
Enta˜o ∞∑
n=0
µ(Fn) = lim
n→∞
n∑
m=0
µ(Fm) = lim
n→∞
µ(En).
Finalmente, lim
n→∞
µ(En) = sup
n∈N
µ(En) porque (por (b)) 〈µ(En)〉n∈N e´ na˜o-decrescente.
(f) Suponha que µ(Ek) < ∞. Defina Fn , Ek \ Ek+n para n ∈ N, F =
⋃
n∈N
Fn; enta˜o
〈Fn〉n∈N e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente em Σ e µ(F ) = lim
n→∞
µ(Fn), por (e) acima. Temos
que µ(Fn) + µ(Ek+n) = µ(Ek); como µ(Ek) < ∞, no´s podemos escrever que µ(Fn) =
µ(Ek)− µ(Ek+n), e portanto
µ(F ) = lim
n→∞
(µ(Ek)− µ(Ek+n)) = µ(Ek)− lim
n→∞
µ(En).
Agora, F ⊂ Ek, enta˜o µ(F ) + µ(Ek \ F ) = µ(Ek), e (novamente pois µ(Ek) e´ finito)
µ(F ) = µ(Ek)− µ(Ek \ F ). Portanto nos temos que µ(Ek \ F ) = lim
n→∞
µ(En). Mas Ek \ F
e´ somente
⋂
n∈N
En.
Finalmente, lim
n→∞
µ(En) = inf
n∈N
µ(En) pois 〈µ(En)〉n∈N e´ na˜o-crescente.
Observac¸a˜o 1.5 Observe que em (f) acima e´ essencial ter que inf
n∈N
µ(En) < ∞. De
fato, tome X = N e seja µ a medida de contagem em X do Exemplo 1.12, p.6. Defina
En , {i ∈ N; i ≥ n} para cada n. Enta˜o En+1 ⊂ En para cada n, mas
µ
(⋂
n∈N
En
)
= µ(∅) = 0 <∞ = lim
n→∞
µ(En).
DEFINIC¸A˜O 1.13 Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Um conjunto A ⊂ X possui
medida nula se existe um conjunto E ∈ Σ tal que A ⊂ E e µ(E) = 0.
Observac¸a˜o 1.6 Um conjunto de medida nula na˜o precisa ser mensura´vel, embora esteja
contida em um conjunto mensura´vel de medida nula.
8 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
DEFINIC¸A˜O 1.14 Espac¸os de medida em que todos os conjuntos de medida nula sa˜o men-
sura´veis e´ chamado de completo.
Deixamos a demonstrac¸a˜o do pro´ximo lema como exerc´ıcio.
LEMA 1.15 (Ideal de Conjuntos de Medida Nula) Seja N a fam´ılia de conjuntos de
medida nula de um espac¸o de medida (X,Σ, µ). Enta˜o:
(a) ∅ ∈ N ;
(b) se A ⊂ B ∈ N , enta˜o A ∈ N ;
(c) se 〈An〉n∈N e´ uma sequeˆncia em N , enta˜o
⋃
n∈N
An ∈ N .
LEMA 1.16 Dado um espac¸o de medida (X,Σ, µ), existe um espac¸o de medida completo
(X, Σ˜, µ˜) tal que Σ ⊂ Σ˜ e µ = µ˜ em Σ.
Demonstrac¸a˜o. Seja N a fam´ılia de conjuntos de medida nula de (X,Σ, µ). Considere
Σ˜ , {E ∪ Z ∈ P(X); E ∈ Σ, Z ∈ N}. Para cada Y ∈ Σ˜, Y = E ∪ Z, defina
µ˜(Y ) , µ(E). Complete o argumento.
Exemplo 1.14
(a) para a medida de contagem, o u´nico conjunto de medida nula e´ o ∅.
(b) para a medida δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se,
a 6∈ A.
DEFINIC¸A˜O 1.17 Se uma afirmac¸a˜o P (x) pode ser aplicada aos elementos x ∈ X de um
espac¸o com medida µ, no´s dizemos que
P (x) para (µ-)quase todo ponto x ∈ X
significando que o conjunto {x ∈ X; P (x) e´ falso} possui medida nula com relac¸a˜o a medida
µ.
Observac¸a˜o 1.7 As expresso˜es ‘quase todo ponto’ (qtp), ‘quase sempre’, ‘almost
everywhere’ (a.e.), ‘almost surely’ (a.s.), ‘presque partout’ (p.p.) significam a mesma
coisa.
Exemplo 1.15 Se f, g, fn : X → R sa˜o func¸o˜es:
(a) ‘f > 0 qtp.’ significa que {x ∈ X; f(x) ≤ 0} possui medida nula;
(b) ‘f = g qtp.’, significa que {x ∈ X; f(x) 6= g(x)} possui medida nula;
(c) ‘f < g qtp.’, significa que {x ∈ X; f(x) ≥ g(x)} possui medida nula;
(d) ‘f ≥ g qtp.’, significa que {x ∈ X; f(x) < g(x)} possui medida nula;
(f) ‘fn → g qtp.’, significa que {x ∈ X; fn(x) 6→ g(x)} possui medida nula.
Se o conjunto onde esta´ definido a medida e´ um espac¸o topolo´gico (conjunto munido
de uma topologia, similar a definic¸a˜o de σ-a´lgebra), podemos colocar condic¸o˜es de compa-
tibilidade entre a medida e a topologia. O exemplo importante e´ uma medida definida na
σ-a´lgebra gerada pelos abertos, (σ-a´lgebra de Borel, ver Definic¸a˜o 1.7, p.4), conhecida como
medida de Borel.
1.3. MEDIDA EXTERIOR E ME´TODO DE CARATHE´ODORY 9
1.3 Medida Exterior e Me´todo de Carathe´odory
A teoria geral de Medida Exterior (tambe´m chamado de pre´-medida) foi introduzida por Cara-
the´odory8. E´ um me´todo fundamental para se definir medidas na˜o-triviais, incluindo a medida
de Lebesgue.
Vamos ilustrar como esta construc¸a˜o abstrata surge quando se tenta estender a medida
de intervalos para um subconjunto qualquer de R. Podemos proceder da seguinte forma:
(a) Defina a medida de um intervalo (a, b) (ou [a, b], ou (a, b], etc.) como b− a.
(b) Dado um conjunto A ⊂ R qualquer defina sua medida como o ı´nfimo da soma das
medidas de intervalos que cobrem A.
(c) Esta pre´-medida na˜o possui a propriedade natural de ser σ-aditiva (medida da unia˜o
enumera´vel disjunta e´ igual a soma das medidas) em P(R): e´ necessa´rio reduzir seu dom´ınio
para que seja.
De forma mais geral o Me´todo de Carathe´odory consiste do seguinte:
(a) Definimos uma func¸a˜o, a chamada medida exterior ou pre´-medida, em P(X). Exigimos
da medida exterior menos do que da medida (subaditividade ao inve´s de aditividade).
(b) Restringimos esta func¸a˜o a um certo subconjunto, que sera´ uma σ-a´lgebra, grande o
suficiente para ser interessante, onde a medida exterior e´ uma medida.
Este roteiro justifica o nome pre´-medida, utilizado para se denominar as medidas exteriores
por alguns autores.
Embora existam outras formas de construir a medida de Lebesgue (por exemplo veja a
Sec¸a˜o 2.6, p.34), esta construc¸a˜o e´ utilizada para se definir outras medidas, como por exemplo
a medida (exterior) de Hausdorff, que merecera´ mais comenta´rios no final do cap´ıtulo na p.12.
DEFINIC¸A˜O 1.18 Uma medida exterior ou pre´-medida em X e´ uma func¸a˜o
θ∗ : P(X)→ [0,∞] tal que
(a) θ∗(∅) = 0,
(b) se A ⊂ B ⊂ X, enta˜o θ∗(A) ≤ θ∗(B) (mono´tona),
(c) para toda sequeˆncia 〈An〉n∈N de subconjuntos de X,
θ∗
(⋃
n∈N
An
)
≤
∞∑
n=0
θ∗(An) (subaditiva).
Observac¸a˜o 1.8 A ideia de medida exterior (ou pre´-medida) de A e´ que e´ um limite de
todas as poss´ıveis medidas de A. E´ similar, em integrac¸a˜o, ao conceito de integral superior.
Sera´ a medida de A caso A seja mensura´vel, o que ocorrera´ caso a fronteira de A seja
“bem comportada”.
No´s apresentamos agora o Teorema mais importante da Teoria ba´sica de Medida. Como a
prova e´ longa e muito te´cnica, sera´ omitida. Em resumo, dada uma medida exterior θ∗ existe
uma σ-a´lgebra maximal tal que θ∗ restrita a esta σ-a´lgebra e´ uma medida.
8Constantin Carathe´odory: 1873 Berlin, Germany – 1950 Munich, Germany.
10 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
? TEOREMA 1.19 (Teorema da Extensa˜o de Carathe´odory) Seja θ∗ umamedida ex-
terior em X. Defina
Σθ∗ , {A ⊂ X; θ∗(E) = θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A) para todo E ⊂ X}.
Enta˜o Σθ∗ e´ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X gerado pela medida exterior θ
∗. Defina
µ : Σθ∗ → [0,∞] por µ(A) , θ∗(A) para A ∈ Σθ∗ ; enta˜o (X,Σθ∗ , µ) e´ um espac¸o de medida
completo.
Observe que o conjunto A decompo˜e qualquer E em duas partes disjuntas (E ∩ A) e
(E \A) (ver Figura 1.1). Como θ∗ e´ somente subaditiva (se fosse aditiva ter´ıamos igualdade)
no´s temos que
θ∗(E) ≤ θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A).
Se a igualdade ocorrer para todo E, enta˜o o conjunto A sera´ mensura´vel com relac¸a˜o a
medida µ.
A
E1
E1 ∩ A
E1 \ A
A
E2
E2 ∩ A
E2 \ A
A
E3
E3 ∩ A
E3 \ A
A
E4
E4 ∩ A
E4 \ A
Figura 1.1: A e´ mensura´vel sse θ∗(Ei) = θ∗(Ei ∩ A) + θ∗(Ei \ A) para todo Ei.
1.4 Medida de Lebesgue em R
A medida de Lebesgue, ale´m de ser a mais importante para aplicac¸o˜es, foi, historicamente, o
guia para a Teoria Geral da Medida, onde os resultados inicialmente foram desenvolvidos.
O roteiro que vamos seguir e´ definir o comprimento de intervalos e utiliza´-los para definir
uma medida exterior. Aplicando o Teorema de Extensa˜o de Carathe´odory obtemos uma
medida e uma σ-a´lgebra, chamadas de medida e σ-a´lgebra de Lebesgue. Esta sera´ a primeira
1.4. MEDIDA DE LEBESGUE EM R 11
medida na˜o-trivial que definiremos. Nos exerc´ıcios existem diversas outras medidas constru´ıdas
de forma semelhante como por exemplo (Definic¸a˜o 1.26, p.13) a medida de Lebesgue-
Stieltjes, muita usada em Probabilidade.
DEFINIC¸A˜O 1.20 Seja I = [a, b) ⊂ R um intervalo semiaberto. Definimos seu compri-
mento λ(I) por
λ(∅) , 0, λ([a, b)) , b− a se a < b.
DEFINIC¸A˜O 1.21 Definimos θ∗ : P(R)→ [0,∞], a medida exterior de Lebesgue por
θ∗(A) , inf
{ ∞∑
j=0
λ(Ij); 〈Ij〉j∈N e´ uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂
⋃
j∈N
Ij
}
.
Observac¸a˜o 1.9 Observe que θ∗ esta´ bem definida pois todo A pode ser coberto por
alguma sequeˆncia de intervalos semiabertos – por exemplo A ⊂
⋃
n∈N
[−n, n); portanto no´s
sempre temos um conjunto na˜o-vazio para tomar o infimum, e θ∗(A) esta´ sempre definida
em [0,∞].
O fato que θ∗ e´ uma medida exterior e´ justificado pelo item (a) da pro´xima Proposic¸a˜o.
Deixamos como exerc´ıcio provar (a) e parte de (b).
PROPOSIC¸A˜O 1.22 (Medida exterior de Lebesgue) Seja θ∗ dada pela Definic¸a˜o 1.21.
(a) θ∗ e´ uma medida exterior em R.
(b) θ∗ e´ uma extensa˜o de λ, isto e´, θ∗(I) = λ(I) para todo intervalo semiaberto I ⊂ R.
Como a medida exterior de Lebesgue e´ uma medida exterior, podemos usa´-la para construir
a medida µ usando o me´todo de Carathe´odory.
DEFINIC¸A˜O 1.23 A medida µ obtida pela aplicac¸a˜o do Teorema 1.19 a` medida exterior θ∗
e´ chamada de medida de Lebesgue em R. Os conjuntos A ⊂ R tais que
θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A) = θ∗(E), para todo E ⊂ R,
sa˜o chamados de conjuntos mensura´veis a Lebesgue.
No caso da medida de Lebesgue, em livros de ana´lise aparece a definic¸a˜o abaixo, equiva-
lente a definic¸a˜o geral de conjunto de medida nula ja´ apresentado (porque?).
DEFINIC¸A˜O 1.24 Dizemos que A ⊂ R tem medida (de Lebesgue) nula se para todo
ε > 0, existe uma sequeˆncia (In)n∈N de intervalos abertos e limitados tal que
A ⊂
+∞⋃
n=1
In e
+∞∑
n=1
|In| ≤ ε, (1.1)
sendo que |I| representa o comprimento do intervalo I, ou seja, |I| = b− a se I = (a, b).
12 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
Terminamos apresentando (sem demonstrac¸a˜o) um Teorema que relaciona conjuntos de
Borel com conjuntos mensura´veis a Lebesgue. Sua importaˆncia e´ garantir que utilizando o
me´todo de Carathe´odory obtemos uma σ-a´lgebra grande o suficiente para incluir os conjuntos
de Borel.
? TEOREMA 1.25 (Conjuntos de Borel sa˜o mensura´veis a Lebesgue) Todo conjunto
de Borel de R e´ mensura´vel a Lebesgue.
Este resultado implica que todos conjuntos abertos e fechados e todos intervalos sa˜o conjuntos
mensura´veis a Lebesgue.
Observac¸a˜o 1.10 Pode-se exibir (exemplo de Lusin – ver Wikipedia: Non-Borel set) um
conjunto que na˜o e´ Borel mas e´ Lebesgue mensura´vel. Por contraste, pode-se provar a
existeˆncia (o conjunto de Vitali) de um conjunto na˜o-mensura´vel a Lebesgue mas este
conjunto na˜o pode ser exibido pois a prova e´ feita utilizando o axioma da escolha (ver
Exerc´ıcio 50, p.19).
Devido a dificuldade da existeˆncia de conjuntos na˜o-mensura´veis a Lebesgue, nas aplicac¸o˜es
eles frequentemente sa˜o ignorados: e´ assumido que todo conjunto pode ser medido.
Observac¸a˜o 1.11 Podemos provar que a medida de Lebesgue e´ a u´nica medida em R
que:
(a) e´ completa (Definic¸a˜o 1.14, p.8);
(b) e´ invariante por translac¸a˜o (i.e., µ(A) = µ(A+ x) para todo x ∈ R);
(c) conte´m a σ-a´lgebra dos intervalos de R;
(d) atribui 1 ao intervalo [0, 1].
Isto se generaliza de forma o´bvia para o Rn. Note a semelhanc¸a com a unicidade do
determinante em Rn como u´nica forma multilinear que atribui o valor 1 a um n-cubo.
A medida de Lebesgue pode ser generalizada em va´rias direc¸o˜es. Seguem alguns exemplos:
• Medida de Haar9 para um grupo topolo´gico localmente compacto. O conjunto R
e´ um grupo sob a operac¸a˜o de soma. Assim a medida de Lebesgue e´ invariante pela
operac¸a˜o deste grupo. Podemos generalizar isto para um grupo qualquer para obter a
chamada medida de Haar invariante pelo grupo. Este grupo pode ser gerado por uma
EDO numa variedade (teoria ergo´dica). Um exemplo e´ a medida de Haar no c´ırculo, que
corresponde a medida do comprimento de arco do conjunto. Ela possui uma unicidade
similar a medida de Lebesgue se for normalizada.
• A fam´ılia de medidas exteriores de Hausdorff10, que generalizam a medida de Le-
besgue para subconjuntos do Rn (e de forma mais geral para qualquer espac¸o me´trico,
em particular para espac¸os de Hilbert). Ver pro´xima sec¸a˜o.
• Medida de Lebesgue-Stieltjes, fundamental em Probabilidade.
9Alfre´d Haar; Budapest 1885 — 1933
10Felix Hausdorff: 1868 Breslau, Germany (now Wroclaw, Poland) – 1942 Bonn, Germany.
1.5. GENERALIZAC¸O˜ES: MEDIDA DE LEBESGUE-STIELTJES E DE HAUSDORFF 13
1.5 Generalizac¸o˜es: Medida de Lebesgue-Stieltjes e de
Hausdorff
DEFINIC¸A˜O 1.26 (Medida de Lebesgue Stieltjes) Considere g : R → R uma func¸a˜o
na˜o-decrescente (na˜o precisa ser cont´ınua). Dado um intervalo semiaberto I = [a, b) ⊂ R
defina λg(I) por
λg(∅) , 0, λg ([a, b)) , g(b)− g(a) se a < b.
Dado A ⊂ R, defina
θ∗g(A) , inf
{ ∞∑
j=0
λg(Ij); 〈Ij〉j∈N e´ uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂
⋃
j∈N
Ij
}
.
Tomando g(x) = x obtemos a medida de Lebesgue. Pode-se mostrar (exerc´ıcio) que θ∗g e´
uma medida exterior em R. A medida µg gerada pelo me´todo de Carathe´odory partindo da
medida exterior θ∗g e´ conhecida como medida de Lebesgue-Stieltjes associada a g.
Quando a func¸a˜o g e´ bem comportada (absolutamente cont´ınua, mas suponha que g e´
diferencia´vel), como g(b) − g(a) = ∫ b
a
g(s) ds = µg(a, b) =
∫ b
a
dµg, onde ds e´ a medida de
Lebesgue, dµg = gds (mais sobre isso no Teorema de Radon-Nykodin). Pode-se provar que
“toda” (veja exerc´ıcio) medida definida na sigma-algebra de Borel de R e´ gerada desta forma
(Exerc´ıcio 60, p.20). Um exemplo na˜o-trivial e´ a medida de Lebesgue-Stieltjes (singular)
gerada pela func¸a˜o de cantor (Wikipedia: Cantor_function).
A construc¸a˜o da medida de Lebesgue (e Lebsgue-Stieljes) pode ser feita de forma abstrata
pela definic¸a˜o abaixo. Deixamos para o leitor ver como.
DEFINIC¸A˜O 1.27 (gerac¸a˜o de medidas exteriores) Considere I uma fam´ılia de subcon-
juntos de X tal que ∅ ∈ I e λ : I → [0,∞) uma func¸a˜o tal que λ(∅) = 0. Defina
θ∗ : P(X)→ [0,∞] por
θ∗(A) , inf
{ ∞∑
j=0
λ(Ij); 〈Ij〉j∈N e´ uma seq. in I t.q. A ⊂
⋃
j∈N
Ij
}
,
interpretando inf ∅ como ∞, de modo que θ∗(A) = ∞ se A na˜o e´ coberto por qualquer
sequeˆncia em I
A medida exterior de Hausdorff pode ser construidada seguinte forma. Se X = Rn
considere I como sendo bolas, isto e´, dados x ∈ Rn, r ∈ R+, Brx = {x ∈ Rn, d(x, a) < r}.
Definimos λd(B
r
x) = r
d para d ≥ 0. A definic¸a˜o acima vai gerar θ∗d, a medida exterior de
Hausdorff de dimensa˜o d. A medida 0-dimensional de Hausdorff e´ o nu´mero de pontos de um
conjunto (a medida de contagem do Exemplo 1.12, p.6), a medida 1-dimensional de um curva
em Rn e´ seu comprimento, e a medida 2-dimensional e´ proporcional a a´rea de superf´ıcie, etc.
Assim existem medidas d-dimensionais de Hausdorff para todo d ≥ 0 (na˜o necessariamente um
inteiro!). Com elas podemos definir a dimensa˜o (na˜o necessariamente inteira) de Hausdorff
de subconjuntos. Faz parte da chamada Teoria Geome´trica da Medida. Ela aparece no estudo
de atratores (em sistemas dinaˆmicos), na ana´lise harmoˆnica e na teoria do potencial.
14 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
DEFINIC¸A˜O 1.28 (dimensa˜o de Hausdorff) Seja A ⊂ X. Definimos dimH(A) =
inf{d; θ∗(A) <∞}.
Finalizamos observando que bastou ter uma distaˆncia definida em X = Rn para esta
construc¸a˜o. Assim podemos definir a medida (e dimensa˜o) de Hausdorff em um espac¸o
me´trico qualquer X.
1.6 Exerc´ıcios
1.6.1 Sigma-A´lgebras
=⇒ 1. Porque na˜o precisamos considerar a operac¸a˜o de complementac¸a˜o enumera´vel na De-
finic¸a˜o 1.1, p.2?
=⇒ 2. Considere Σ = {A ⊂ R; A e´ enumera´vel ou A{ e´ enumera´vel} e A = {{x }; x ∈ R}
(subconjuntos de R unita´rios). Prove que:
(a) Σ e´ uma σ-a´lgebra; (b) a σ-a´lgebra gerada por A e´ igual a Σ.
=⇒ 3. Considere X = { 1, 2, 3, 5, 6 }. Determine a σ-a´lgebra gerada por:
(a) A1 = { { 2 } }; (b) A2 = { { 1, 2 } }; (c) A3 = { { 1, 2, 3 } };
(d) A4 = { { 1, 2 }, { 1, 3 } }; (e) A5 = { { 1 }, { 2, 3 } }.
=⇒ 4. Considere as seguintes fam´ılias de intervalos de R:
A1 = {(−∞, a) ; a ∈ R}, A2 = {[a,∞) ; a ∈ R},
A3 = {[a, b); a, b ∈ R}, A4 = {[a, b]; a, b ∈ R}.
(a) Prove que todo intervalo I ∈ Ai, para algum i, e´ um conjunto de Borel.
(b) Prove que a σ-a´lgebra gerada por Ai, para cada i, e´ a σ-a´lgebra de Borel.
→ 5. Seja Σ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X e A ⊂ X. Prove que
{(E ∩ A) ∪ (F \ A); E,F ∈ Σ}
e´ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X gerada por Σ ∪ {A }.
Dica: Prove a unia˜o primeiro. Prove a intersec¸a˜o e use leis de Morgan para o complemen-
tar.
6. Determine a σ-a´lgebra de R gerada por:
(a) P(N); (b) P(Q).
7. Prove o Lema 1.2, p.2.
8. Prove o Lema 1.3, p.3.
9. Complete o argumento do Corola´rio 1.4, p.3.
10. Seja Σ uma σ-a´lgebra com um nu´mero finito de elementos. Prove que o nu´mero de
elementos de Σ e´ 2n, com n ∈ N.
11. Seja Σ uma σ-a´lgebra com um nu´mero infinito enumera´vel de elementos. Prove que
existem Ai’s com i ∈ N disjuntos e na˜o-vazios, elementos de Σ tais que todo elemento B ∈ Σ
pode ser escrito como unia˜o disjunta dos Ai’s.
1.6. EXERCI´CIOS 15
Dica: Defina a relac¸a˜o de equivaleˆncia x ∼ y se, e somente se, x, y pertencem a um
u´nico elemento de Σ.
12. Prove que todo G ⊂ R aberto pode ser escrito de forma u´nica como a unia˜o enumera´vel
de intervalos abertos maximais.
Dica: Para cada x, y ∈ G, defina a relac¸a˜o x ∼ y se o intervalo [x, y] ⊂ G (se x ≤ y) ou
[y, x] ⊂ G (caso contra´rio). Prove que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Defina I como o
conjunto das classes de equivaleˆncia. Prove que existe uma func¸a˜o injetiva de I em Q. Cada
classe e´ um intervalo aberto.
13. Considere f : X → Y , Σ uma σ-a´lgebra em Y . Prove que:
(a) Z = {f−1(E); E ∈ Σ} e´ um σ-a´lgebra em X.
(b) se Σ e´ gerada por A, Z e´ gerado por f−1(A).
14. Prove que a σ-a´lgebra de Borel pode ser gerado por {Ai}i∈N, uma sequeˆncia de subcon-
juntos em R.
Dica: Considere intervalos com coordenadas racionais.
ý 15. (extra) Seja B a σ-a´lgebra de Borel, L a σ-a´lgebra de Lebesgue. Prove que card(B) <
card(L). O roteiro e´:
(a) Prove que card(B) = card(R).
(b) Como conjunto de cantor C e´ mensura´vel a` Lebesgue, todo subconjunto de C tambe´m
e´. Assim card(B) = card(R) < card(P(R)) = card(P(C)) ≤ card(L).
ý 16. (extra) Prove que dado a ∈ R e um conjunto de Borel E ⊂ R, E + a e´ um conjunto de
Borel.
Dica: Prove que {E + a; E e´ Borel} e´ uma σ-a´lgebra contendo os intervalos abertos.
ý 17. (extra) Descubra o que significa Fσ e Gδ (unia˜o/intersec¸a˜o enumera´vel de fecha-
dos/abertos). Depois Fσδ, Gδσδ etc. E´ claro que todos eles sa˜o Borel. Mas existem borelianos
que na˜o sa˜o formados deste modo.
ý 18. (extra) Seja E ⊂ R2 um conjunto de Borel e P : R2 → R definida por P (x, y) , x
(projec¸a˜o ortogonal no eixo-x). Pode-se pensar que P (E) e´ um conjunto de Borel em R mas
isto e´ falso. Sera´ verdadeiro se trocarmos Borel por Fσ.
Lebesgue believed he had proved that such a projection was also a Borel set. Studying
this error lead Suslin to begin the line of study now called ”descriptive set theory”, 1917 or
so. For details, look at Kechris’s book on Classical Descriptive Set Theory. See: Suslin_set
na Wikipedia.
1.6.2 Espac¸os com Medida
19. Prove que se (An)n∈N e´ uma sequeˆncia de conjuntos de medida nula (veja Definic¸a˜o 1.13,
p.7), enta˜o
+∞⋃
n=1
An tem medida nula.
=⇒ 20. Prove que para a medida:
(a) de contagem, o u´nico conjunto de medida nula e´ o ∅;
16 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
(b) δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se, a 6∈ A.
=⇒ 21. Explique o significado das expresso˜es abaixo para a medida de contagem e para a medida
δa de Dirac:
(a) f = 0 quase todo ponto; (b) f > 0 quase todo ponto.
22. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.11, p.6 com h = | sen |. Enta˜o µh(A) = 0
se, e somente se, A . . . . . . . . . (complete a lacuna).
=⇒ 23. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.11, p.6 com h = I{x>0 }. Determine se e´
Verdadeiro ou Falso:
(a) I{x<−3 } = 0 µh-qtp; (b) I{x<1 } = I{ 0≤x<1 } µh-qtp.
→ 24. Considere µh a medida pontual do Exemplo 1.11, p.6. Chamamos de suporte de uma
func¸a˜o f o conjunto dos pontos onde f se anula. Utilize o conceito de suporte para determinar
condic¸o˜es equivalentes a:
(a) µh(A) = 0; (b) g = 0 qtp. com relac¸a˜o a µh.
25. Prove que a medida pontual µh da Definic¸a˜o 1.11, p.6 e´ uma medida.
26. Prove os itens (a), (b), (c) e (d) do Lema 1.12, p.6.
27. Prove o Lema 1.15, p.8.
28. Considere a prova do Lema 1.16, p.8. Prove que
(a) Σ˜ e´ uma σ-a´lgebra; (b) (X, Σ˜, µ˜) e´ completo.
→ 29. Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Prove que:
(a) µ(E ∪ F ) + µ(E ∩ F ) = µ(E) + µ(F );
(b) µ(E∪F ∪G)+µ(E∩F )+µ(E∩G)+µ(F ∩G) = µ(E)+µ(F )+µ(G)+µ(E∩F ∩G)
para todo E, F , G ∈ Σ.
Dica: comece com o caso em que todas as medidas sa˜o finitas.
=⇒ 30. Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Defina a relac¸a˜o entre func¸o˜es mensura´veis f ∼ g
se f = g qtp. Prove que esta relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia.
31. (convergeˆncia dominada para conjuntos) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Seja
E1, E2, . . . uma sequeˆncia de elementos de Σ que converge para E no seguinte sentido: Para
cada x ∈ X, limn→∞ IEn(x) = IE(x).
(a) Mostre que E ∈ Σ.
(b) Se existe F ∈ Σ com µ(F ) < ∞ tal que En ⊂ F para todo n ∈ N, enta˜o
limn→∞ µ(En) = µ(E).
Dica: Considere
⋃
n>N(En4E).
32. Definimos o limsup e o liminf de uma sequeˆncia de conjuntos por:
Asup = lim sup
n→∞
An =
∞⋂
n=1
( ∞⋃
i=n
Ai
)
e Ainf = lim infn→∞
An =
∞⋃
n=1
( ∞⋂
i=n
Ai
)
.
Caso Asup = Ainf definimos
lim
n→∞
An = Asup(= Ainf).
1.6. EXERCI´CIOS 17
Calcule limsup e liminf para:
(a) An = (0, n); (b) Bn = (n,∞); (c) Cn = {(−1)n};
(d) Dn = (−1/n, 1/n); (e) En = (0, n mod 3); (f) Fn = (n mod 4, n mod 6]
Obs: Na˜o e´ necessa´rio topologia (noc¸a˜o de convergeˆncia) para estas definic¸o˜es.
33. Prove que:
(a) Ainf ⊂ Asup;
=⇒(b) Asup = {x; x ∈ An para uma infinidade de n’s};
(c) Ainf = {x; x ∈ An para todo n > N0};→(d) se An ⊂ An+1 enta˜o Asup = Ainf =
⋃∞
n=1 An;
(e) se An+1 ⊂ An enta˜o Asup = Ainf=
⋂∞
n=1An.
ý 34. (extra) (e´ verdade?) Suponha que En → E no sentido dos exerc´ıcios anteriores
(lim supn→∞En = lim infn→∞En). Se existe F ∈ Σ com µ(F ) < ∞ tal que En ⊂ F
para todo n ∈ N, enta˜o limn→∞ µ(En) = µ(E).
35. (Borel-Cantelli lema) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Seja E1, E2, . . . uma
sequeˆncia de elementos de Σ tal que
∑∞
n=1 µ(En) < ∞. Mostre que quase todo x ∈ X
pertence no ma´ximo a um nu´mero finito de En’s, i.e., A(x) = {n ∈ N; x ∈ En} e´ finito para
quase todo x.
ý 36. (extra) Seja Σ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X. Sejam µ1 e µ2 medidas em X
com dom´ınio Σ. Defina, para cada E ∈ Σ,
µmin(E) , inf
F∈Σ
{µ1(E ∩ F ) + µ2(E \ F )}, µmax(E) , sup
F∈Σ
{µ1(E ∩ F ) + µ2(E \ F )}.
(a) Prove que µmin e µmax sa˜o medidas em X com dom´ınio Σ.
(b) Determine µmin e µmax se µ1 = δa e µ2 = δb para a, b ∈ R, medidas delta de Dirac
do Exemplo 1.11, p.6.
(c) Determine µmin e µmax se µ1 = µf e µ2 = µg, medidas pontuais (ver Definic¸a˜o 1.11,
p.6) dadas pelas func¸o˜es f e g.
(d) Prove que µmin e´ a maior medida, com dom´ınio Σ, tal que µmin(E) ≤ min(µ1(E), µ2(E))
para todo E ∈ Σ.
(e) Prove que µmax e´ a menor medida, com dom´ınio Σ, tal que µmax(E) ≥ max(µ1(E), µ2(E))
para todo E ∈ Σ.
ý 37. (extra) Seja Σ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X. Seja N uma fam´ılia na˜o-vazia
de medidas em X, todas com dom´ınio Σ. Suponha tambe´m que existe uma ν˜ ∈ N tal que
ν˜(X) <∞. Defina para cada E ∈ Σ,
µinf(E) , inf
{
n∑
i=0
νi(Fi); n ∈ N, ν0, . . . , νn ∈ N, F0, . . . , Fn ∈ Σ, E ⊂
n⋃
i=0
Fi
}
,
µsup(E) , sup
{
n∑
i=0
νi(Fi); n ∈ N, ν0, . . . , νn ∈ N, disjuntos F0, . . . , Fn ∈ Σ,
n⋃
i=0
Fi ⊂ E
}
.
Prove que:
18 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
(a) µinf e µsup sa˜o medidas.
(b) µinf e´ a maior medida e µsup e´ a menor medida, com dom´ınio Σ, tal que
µinf(E) ≤ inf
ν∈N
ν(E) e µsup(E) ≥ sup
ν∈N
ν(E) para todo E ∈ Σ.
Dica: Suponha inicialmente que N e´ finito e veja o exerc´ıcio anterior.
1.6.3 Medida Exterior e Me´todo de Carathe´odory
=⇒ 38. Compare a definic¸a˜o de medida (Definic¸a˜o 1.10, p.5) com a definic¸a˜o de medida exterior
(Definic¸a˜o 1.18, p.9). Tente provar a condic¸a˜o (b) da Definic¸a˜o 1.18, p.9 partindo de (c).
Contraste com (c1) da Definic¸a˜o 1.10, p.5.
→ 39. Prove que se θ∗ e´ uma medida exterior em X, com A, B subconjuntos de X, enta˜o
θ∗(A ∪B) ≤ θ∗(A) + θ∗(B).
Dica: Tem algo para ser provado?
=⇒ 40. Seja θ∗ uma medida exterior em X, µ a medida definida pelo me´todo de Carathe´odory.
Prove que se θ∗(A) = 0, enta˜o A e´ µ-mensura´vel com medida zero. Conclua que µ e´ completa
no sentido da Definic¸a˜o 1.14, p.8.
41. Suponha que θ∗1, θ
∗
2 sa˜o medidas exteriores em X e 〈θ∗i 〉i∈I e´ uma fam´ılia na˜o-vazia
qualquer de medidas exteriores em X. Prove que sa˜o medidas exteriores:
(a) θ∗1 + θ
∗
2, definindo (θ
∗
1 + θ
∗
2)(A) , θ∗1(A) + θ∗2(A) para cada A ⊂ X.
(b) θ∗sup, onde θ
∗
sup(A) , sup
i∈I
θ∗i (A) para cada A ⊂ X.
(c) θ∗1 ∧ θ∗2, definindo (θ∗1 ∧ θ∗2)(A) , inf{θ∗1(B) + θ∗2(A\B); B ⊂ A} para cada A ⊂ X.
ý 42. (extra) (direc¸a˜o contra´ria ao do texto: uma medida gera uma medida exterior) Seja
(X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Para A ⊂ X defina
µ∗(A) , inf{µ(E); E ∈ Σ, A ⊂ E}.
Prove que:
(a) existe E ∈ Σ tal que A ⊂ E e µ(E) = µ∗(A).
(b) µ∗ e´ uma medida exterior em X.
1.6.4 Medida de Lebesgue em R
=⇒ 43. Identifique uma func¸a˜o cont´ınua em R que seja igual quase todo ponto com relac¸a˜o a
medida de Lebesgue em R a cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) IN; (b) IQ; (c) IQ{ ; (d) I[0,1].
→ 44. Considere (a medida exterior de Lebesgue) θ∗ da Definic¸a˜o 1.21, p.11. Prove que:
(a) θ∗ e´ uma medida exterior;
(b) θ∗([a, b)) ≤ b−a. Provar a igualdade e´ uma questa˜o mais delicada (consulte literatura).
=⇒ 45. Seja µ a medida de Lebesgue em R. Prove que:
1.6. EXERCI´CIOS 19
(a) µ({ a }) = 0 para todo ∈ R; (b) µ(K) = 0 para todo K enumera´vel;
(c) µ([a, b]) = µ((a, b)) = µ([a, b)); (d) µ((a,+∞)) =∞.
46. Prove que Q e´ pequeno do ponto de vista da medida de Lebesgue mas grande do ponto
de vista da cardinalidade.
47. Prove que a Definic¸a˜o 1.24, p.11 de medida nula para medida de Lebesgue e´ equivalente
a Definic¸a˜o 1.13, p.7.
48. Considere f : [a, b] → R e X ⊂ [a, b] com medida nula com relac¸a˜o a medida de
Lebesgue. Prove que f(X) tem medida nula com relac¸a˜o a medida de Lebesgue se f e´
Lipschitz ou Ho¨lder cont´ınua.
Dica: estime diam(f(I)) para I um intervalo qualquer.
49. Prove que o conjunto de Cantor (que e´ na˜o-enumera´vel) possui medida nula de Lebesgue.
=⇒ 50. Considere a relac¸a˜o em R: a ∼ b se, e somente se, a− b ∈ Q.
(a) Prove que e´ de equivaleˆncia.
(b) Defina V (conjunto de Vitali definido em 1905) como o conjunto formado por um
elemento de cada classe de [0, 1]/Q. Seja Vq , q + V . Prove que se q 6= q˜ (com q, q˜ ∈ Q)
enta˜o Vq ∩ Vq˜ = ∅.
(c) Prove que R =
⋃
q∈Q
Vq.
(d) Prove que V e´ na˜o-enumera´vel.
(e) Prove que [0, 1] ⊂
⋃
q ∈ [−1,1]∩Q
Vq ⊂ [−1, 2].
(f) Prove que V na˜o e´ mensura´vel.
Dica: Como Vq e´ translac¸a˜o de V , ambos possuem mesma medida. Como por (b) os Vq
sa˜o disjuntos, a medida da unia˜o e´ igual a soma das medidas. Por (e) a medida da unia˜o
dos conjuntos de Vitali estaria entre 1 e 3. A medida de V na˜o pode ser zero nem positiva!
Contradic¸a˜o. Ver Wikipedia, Vitali set.
Obs: Note que a invariaˆncia por translac¸a˜o e o axioma da escolha sa˜o barreiras insupera´veis
para se atribuir medida para todo subconjunto de R.
51. Se A,B ⊂ R (vale em Rn) e d(A,B) > 0 enta˜o θ∗(A ∪ B) = θ∗(A) + θ∗(B), onde θ∗
e´ a medida exterior de Lebesgue.
ý 52. (extra) Considere µ a medida de Lebesgue e f : R→ R uma func¸a˜o Lipschitz cont´ınua
com |f(x)− f(y)| ≤ K|x− y| para todo x, y ∈ R. Prove que para todo E mensura´vel:
(a) f(E) e´ um conjunto mensura´vel;
(b) µ(f(E)) ≤ Kµ(E).
Dica: Prove inicialmente para intervalos.
ý 53. (extra) Prove que E e´ Lebesgue mensura´vel se, e somente se,
(a) existe G ∈ Gδ, E ⊂ G com θ∗(G \ E) = 0.
(b) existe F ∈ Fσ, F ⊂ E com θ∗(E \ F ) = 0.
(c) para todo ε > 0 existe um aberto Oε tal que θ
∗(Oε \ E) < ε.
Dica: Veja Royden p.63.
20 CAPI´TULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
ý 54. (extra) Vamos mostrar que a medida exterior de Lebesgue θ∗ em R e´ invariante por
translac¸a˜o.
(a) Suponha que c ∈ R. Prove que θ∗(A + c) = θ∗(A) para todo A ⊂ R, onde A + c =
{x+ c; x ∈ A}.
(b) Suponha que c > 0. Prove que θ∗(cA) = cθ∗(A) para todo A ⊂ R, onde cA =
{cx; x ∈ A}.
Dica: comece com intervalos semiabertos. Depois prove que θ∗(A+ x) ≤ θ∗(A) + ε para
todo ε > 0 e (usando este resultado) θ∗(A) = θ∗((A+ x) + (−x)) ≤ θ∗(A+ x).
ý 55. (extra) Seja B a σ-a´lgebra de conjuntos de Borel de R e sejam ν1, ν2 : B → [0,∞]
medidas tais que ν1(I) = ν2(I) < ∞ para todo intervalo semiaberto I = [a, b) ⊂ R. Prove
que ν1(E) = ν2(E) para todo E ∈ B.
1.6.5 Generalizac¸o˜es: Medida de Lebesgue-Stieltjes e de Hausdorff
=⇒ 56. Mostre que θ∗g da Definic¸a˜o 1.26, p.13 e´ uma medida exterior em R. Se for mais fa´cil,
comece assumindo que g e´ cont´ınua.
=⇒ 57. Com relac¸a˜o a` medida de Lebesgue-Stieltjes µg da Definic¸a˜o 1.26, p.13:
(a) Prove que µg({c}) = g(c+)− g(c−), onde g(c+) = lim
x→c+
g(x) e g(c−) = lim
x→c−
g(x).
(b) Prove que µg((a, b]) ≤ g(b+)− g(a+). Na realidade sa˜o iguais mas e´ mais delicada.
(c) Se g = I[0,∞), determine µg.
58. Prove que θ∗ da Definic¸a˜o 1.27, p.13 e´ uma medida exterior em X.
59. Com relac¸a˜o a medida exterior de Hausdorff.
(a) Prove que λs(A) ≤ λr(A) se s ≥ r (λs e´ mono´tona decrescente).
(b) Se A ⊂ Rn enta˜o 0 ≤ dimH(A) ≤ n.
(c) Se A e´ um conjunto enumera´vel enta˜o dimH(A) = 0 (rec´ıproca na˜o e´ verdadeira).
(d) Prove que A e´ finito se, e somente se, λ0(A) <∞.
ý 60. (extra) Seja B a σ-a´lgebra de conjuntos de Borel de R e ν : B → [0,∞] uma medida tal
que ν[−n, n] < ∞ para todo n ∈ N. Mostre queexiste uma func¸a˜o g : R → R que e´ na˜o-
decrescente tal que ν(E) = µg(E) para todo E ∈ B, onde µg e´ definida na Definic¸a˜o 1.26,
p.13. A func¸a˜o g e´ u´nica?
Capı´tulo 2
Integrac¸a˜o
O movimento do se´culo XIX em direc¸a˜o ao rigor em matema´tica tentou colocar o ca´lculo em
bases so´lidas. A integral de Riemann1 e´ um exemplo de sucesso destas tentativas pois fornece
o resultado esperado para muitos problemas que eram conhecidos e para outros problemas
novos.
No entanto, a integral de Riemann na˜o interage bem com a operac¸a˜o de limite de
sequeˆncias de func¸o˜es. Isto e´ importante, por exemplo, no estudo da se´rie de Fourier2. Ja´ com
a integral de Lebesgue e´ mais fa´cil saber quando e´ poss´ıvel tomar o limite dentro da integral.
Estas propriedades melhores decorrem do fato que a integral de Lebesgue e´, num paralelo com
se´ries, “absolutamente convergente”, enquanto a integral de Riemann e´ “condicionalmente
convergente”. Ver p. 32 para detalhes.
A integral de Lebesgue estende para uma classe maior de func¸o˜es a integral de Riemann
e ale´m disso permite definir integrais sobre espac¸os mais gerais que o Rn. Dedicamos uma
Sec¸a˜o a comparac¸a˜o da integral de Riemann com a de Lebesgue.
A teoria de integrac¸a˜o sobre um espac¸o de medida geral (que inclui a integral de Lebesgue
como um exemplo) que apresentamos neste livro consiste de:
i. uma teoria de conjuntos mensura´veis (a σ-a´lgebra);
ii. uma teoria de medida destes conjuntos (da σ-a´lgebra);
iii. uma teoria de func¸o˜es mensura´veis;
iv. uma teoria de integral de func¸o˜es mensura´veis.
Este e´ um caminho poss´ıvel, mas na˜o e´ o u´nico. E´ poss´ıvel construir a Teoria de Integrac¸a˜o
sem Teoria da Medida e utilizar a integral para definir a medida. Para detalhes ver a Sec¸a˜o 2.6.
Os teoremas mais importantes sobre esta integral sa˜o:
• Teorema da Convergeˆncia Mono´tona;
1 Bernhard Riemann: 1826 Breselenz, Hanover (now Germany) – 1866 Selasca, Italy.
2Fourier
21
22 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
• Teorema da Convergeˆncia Dominada de Lebesgue;
• Teorema de Radon-Nikody´m;
• Teorema de Fubini.
2.1 Func¸o˜es Mensura´veis
Func¸o˜es mensura´veis sa˜o func¸o˜es “bem comportadas“ entre espac¸os de medida. Func¸o˜es que
na˜o sa˜o mensura´veis sa˜o consideradas em ana´lise como patolo´gicas. Note que o conceito de
func¸o˜es mensura´veis depende da σ-a´lgebra mas e´ independente de medida. Na pra´tica, se for
utilizado o me´todo de Carathe´odory(Sec¸a˜o 1.3, p.9), a σ-a´lgebra e´ que dependera´ da medida
exterior. Assim, neste caso, a func¸a˜o ser mensura´vel depende da medida exterior (porque?).
DEFINIC¸A˜O 2.1 (Func¸a˜o Mensura´vel) Uma func¸a˜o f : X → R e´ chamada de Σ-
mensura´vel, ou simplesmente mensura´vel, se satisfaz:
{x ∈ X; f(x) < a} = f−1((−∞, a)) ∈ Σ para todo a ∈ R.
Se Σ e´ a σ-a´lgebra de:
(a) Borel, enta˜o f e´ dita mensura´vel a Borel;
(b) Lebesgue, enta˜o f e´ dita mensura´vel a Lebesgue.
Exemplo 2.1 (triviais)
(a) Qualquer func¸a˜o constante e´ mensura´vel.
(b) Se Σ = P(X), enta˜o toda func¸a˜o e´ mensura´vel.
(b) Se E ∈ Σ, IE e´ Σ-mensura´vel.
(c) Se g e´ Borel-mensura´vel, enta˜o g e´ Lebesgue mensura´vel.
Exemplo 2.2 (importantes, veja exerc´ıcios)
(a) Toda func¸a˜o cont´ınua f : R→ R e´ Borel-mensura´vel.
(b) Toda func¸a˜o mono´tona f : R→ R e´ Borel mensura´vel.
Observac¸a˜o 2.1 Nem todas func¸o˜es Borel-mensura´veis sa˜o cont´ınuas. Mas, pelo Teorema
de Luzin3(consulte literatura), se f : [a, b]→ R e´ Borel-mensura´vel, dado ε > 0, existe um
compacto E ⊂ [a, b] tal que f restrita a E e´ cont´ınua e µ(E{) < ε.
Deixamos para o leitor provar o lema seguinte.
LEMA 2.2 Seja Σ uma σ-a´lgebra de subconjuntos de X. Enta˜o para qualquer func¸a˜o f :
X → R as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) {x ∈ X; f(x) < a} ∈ Σ para todo a ∈ R;
(b) {x ∈ X; f(x) ≤ a} ∈ Σ para todo a ∈ R;
(c) {x ∈ X; f(x) > a} ∈ Σ para todo a ∈ R;
(d) {x ∈ X; f(x) ≥ a} ∈ Σ para todo a ∈ R.
3Nikolai Luzin: 1883 Irkutsk, Russia – 1950 Moscow, USSR.
2.1. FUNC¸O˜ES MENSURA´VEIS 23
DEFINIC¸A˜O 2.3 De forma geral, se Σ e´ uma σ-a´lgebra em X e T e´ uma σ-a´lgebra em Y ,
dizemos que f : X → Y e´ mensura´vel se
f−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ T.
Se A gera a σ-a´lgebra T, pelo Exerc´ıcio 12, p.36, e´ equivalente exigir que
f−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ A.
Note a semelhanc¸a com a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua em um espac¸o topolo´gico: f :
X → Y e´ cont´ınua se, e somente se,
f−1(E) e´ aberto em X para todo aberto E em Y.
Daqui por diante vamos particularizar para func¸o˜es f : X → R, com R a σ-a´lgebra de
Borel.
Este primeiro resultado mostra que o conjunto das func¸o˜es mensura´veis forma um espac¸o
vetorial (combinac¸o˜es lineares) e uma a´lgebra (produto de func¸o˜es). Ale´m disso podemos
tomar mo´dulo de uma func¸a˜o mensura´vel e obter uma func¸a˜o mensura´vel.
TEOREMA 2.4 (Propriedades de Func¸o˜es Mensura´veis I) Sejam f, g : X → R func¸o˜es
Σ-mensura´veis e c ∈ R. Sa˜o Σ-mensura´veis:
(a) cf ; (b) f + g; (c) f 2; (d) fg; (e) |f |.
Demonstrac¸a˜o.
(a) Seja a ∈ R qualquer. Se c = 0, enta˜o {x ∈ X; cf(x) < a} e´ X ou ∅, e portanto
pertence a Σ. Se c > 0, enta˜o
{x ∈ X; (cf)(x) < a} =
{
x ∈ X; f(x) < a
c
}
∈ Σ.
O caso c < 0 e´ similar. Como a e´ arbitra´rio, cf e´ mensura´vel.
(b) Por hipo´tese, se r ∈ Q, enta˜o
Sr = {x ∈ X; f(x) < r} ∩ {x ∈ X; g(x) < a− r} ∈ Σ.
Como claramente
{x ∈ X; (f + g)(x) < a} =
⋃
r∈Q
Sr,
segue que (f + g) e´ mensura´vel.
(c) Seja a ∈ R. Se a < 0, enta˜o {x ∈ X; (f(x))2 > a} = X; se a ≥ 0, enta˜o
{x ∈ X; (f(x))2 > a} = {x ∈ X; f(x) > √a} ∪ {x ∈ X; f(x) < −√a}.
(d) Segue de (a), (b) e (c) pois fg = 1
4
[(f + g)2 − (f − g)2].
(e) Se a < 0, enta˜o {x ∈ X; |f(x)| > a} = X; se a ≥ 0, enta˜o
{x ∈ X; |f(x)| > a} = {x ∈ X; f(x) > a} ∪ {x ∈ X; f(x) < −a}.
O pro´ximo resultado mostra que as func¸o˜es mensura´veis sa˜o bem comportadas com relac¸a˜o
a convergeˆncia pontual de sequeˆncias de func¸o˜es.
24 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
TEOREMA 2.5 (Propriedades de Func¸o˜es Mensura´veis II) Seja 〈fn〉n∈N uma sequeˆncia
de func¸o˜es Σ-mensura´veis de X em R. Sa˜o Σ-mensura´veis:
(a) lim
n→∞
fn; (b) sup
n∈N
fn; (c) inf
n∈N
fn; (d) lim sup
n→∞
fn; (e) lim inf
n→∞
fn.
Demonstrac¸a˜o. Para n ∈ N, a ∈ R defina Hn(a) , {x; fn(x) ≤ a} ∈ Σ. A prova segue
dos seguintes fatos:
(a) {x ∈ X; ( lim
n→∞
fn)(x) ≤ a} =
⋂
k∈N
⋃
n∈N
⋂
m≥n
Hm(a+ 2
−k);
(b) {x ∈ X; (sup
n∈N
fn)(x) ≤ a} =
⋂
n∈N
Hn(a);
(c) inf
n∈N
fn = − sup
n∈N
(−fn);
(d) lim sup
n→∞
fn = lim
n→∞
sup
m∈N
fm+n;
(e) lim inf
n→∞
fn = − lim sup
n→∞
(−fn).
Observac¸a˜o 2.2 Neste trabalho na˜o apresentaremos mais propriedades de func¸o˜es men-
sura´veis. E´ verdade tambe´m que a composic¸a˜o de uma func¸a˜o cont´ınua com uma men-
sura´vel e´ mensura´vel, mas a composic¸a˜o de duas func¸o˜es mensura´veis pode na˜o ser men-
sura´vel.
Uma func¸a˜o na˜o ser mensura´vel implica na existeˆncia de um conjunto que na˜o e´ men-
sura´vel. Como ja´ observamos, quase todo subconjunto de R e´ mensura´vel a Lebesgue. Por-
tanto, quase toda func¸a˜o que voceˆ encontrara´ sera´ mensura´vel a Lebesgue e e´ comum em
aplicac¸o˜es assumir que todas as func¸o˜es envolvidas sa˜o mensura´veis.
2.2 Definic¸a˜o da Integral
A definic¸a˜o de integrac¸a˜o que no´s fazemos e´ dividida em treˆs etapas:
i. integrac¸a˜o de func¸o˜es simples (Definic¸a˜o 2.8, p.25);
ii. integrac¸a˜o de func¸o˜es na˜o-negativas (Definic¸a˜o 2.10, p.26);
iii. integrac¸a˜o de func¸a˜o real qualquer (Definic¸a˜o 2.13, p.26).
Existem outros caminhos para se definir a integral, mas este corresponde ao me´todo
canoˆnico de todo livro de medida e integrac¸a˜o. Ele corresponde tambe´m ao me´todo para
se provar resultados: provamos para func¸o˜es simples, depois para na˜o-negativas e finalmente
para uma func¸a˜o qualquer.DEFINIC¸A˜O 2.6 Dado A ⊂ X, definimos sua func¸a˜o indicadora ou caracter´ıstica
IA : R→ { 0, 1 } por IA(x) ,
{
0, se x 6∈ A,
1, se x ∈ A. Outra notac¸a˜o usual e´ χA.
2.2. DEFINIC¸A˜O DA INTEGRAL 25
DEFINIC¸A˜O 2.7 (Func¸a˜o Simples) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Dizemos que
f : X → R e´ uma func¸a˜o simples se f =
n∑
i=0
aiIEi , onde ai ∈ R e cada Ei e´ Σ-mensura´vel,
isto e´, Ei ∈ Σ.
Observac¸a˜o 2.3 Alguns autores permitem um conjunto arbitra´rio Ei. Assim uma func¸a˜o
simples e´ qualquer func¸a˜o que assume um nu´mero finito de valores distintos.
Observac¸a˜o 2.4 A representac¸a˜o de uma func¸a˜o simples na˜o-nula f com
n∑
i=0
aiIEi e´ u´nica
se os a′is sa˜o na˜o-nulos e u´nicos e se os Ei’s sa˜o disjuntos (exerc´ıcio).
Exemplo 2.3 Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida.
(a) Uma func¸a˜o constante e´ simples.
(b) Toda func¸a˜o simples e´ mensura´vel.
(c) Se f , g : X → R sa˜o simples e c ∈ R, cf + g e´ simples.
Vamos definir agora a integral de uma func¸a˜o simples. Ela esta´ bem definida pelo Lema 2.9
(te´cnico) que apresentamos depois da definic¸a˜o sem a demonstrac¸a˜o (consulte a literatura). A
dificuldade e´ que uma func¸a˜o simples f possui mais de uma representante e temos que provar
que o valor da integral independe do representante que no´s escolhemos. Vamos explorar casos
particulares nos exerc´ıcios.
DEFINIC¸A˜O 2.8 (Integral de uma func¸a˜o simples) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida
e f : X → R uma func¸a˜o simples, isto e´, f =
m∑
i=0
aiIEi . Definimos a integral da func¸a˜o
simples f com relac¸a˜o a medida µ (pode ser ∞!) por∫
f dµ ,
m∑
i=0
aiµ(Ei).
LEMA 2.9 Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Se
m∑
i=0
aiIEi =
n∑
j=0
bjIFj ,
onde todos os Ei e Fj sa˜o mensura´veis e ai, bj ∈ R, enta˜o
m∑
i=0
aiµ(Ei) =
n∑
j=0
bjµ(Fj).
Vamos definir a integral de func¸o˜es na˜o-negativas usando func¸o˜es simples.
26 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
DEFINIC¸A˜O 2.10 (Integral de func¸o˜es na˜o-negativas) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de
medida e f ≥ 0 uma func¸a˜o Σ-mensura´vel. Definimos a integral da func¸a˜o na˜o-negativa
f com relac¸a˜o a medida µ (pode ser ∞!) por∫
f dµ , sup
{∫
g dµ; g e´ uma func¸a˜o simples e 0 ≤ g ≤ f
}
.
E´ comum integrarmos uma func¸a˜o em um subconjunto de um espac¸o de medida; por
exemplo integrar
∫ b
a
f(x) dx, com a < b em R.
DEFINIC¸A˜O 2.11 (Integrac¸a˜o em Subconjuntos) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida,
H ∈ Σ, e f ≥ 0 uma func¸a˜o Σ-mensura´vel. Definimos∫
H
f dµ ,
∫
f˜ dµ, onde f˜(x) =
{
f(x), se x ∈ H,
0 se x ∈ X \H.
Exemplo 2.4
∫
H
1 dµ = µ(H).
Observac¸a˜o 2.5 E´ fa´cil ver que (exerc´ıcio 9, p.35) f˜ = f · IH e´ Σ-mensura´vel.
Assim,
∫ b
a
f dµ ,
∫
[a,b]
f dµ =
∫
f · I[a,b] dµ.
DEFINIC¸A˜O 2.12 Definimos a parte positiva f+ e a parte negativa f− de uma func¸a˜o f
por
f+(x) , max(0, f(x)), f−(x) , max(0,−f(x)).
Assim, f = f+ − f− com f+, f− ≥ 0.
Observac¸a˜o 2.6 Pelo exerc´ıcio 9, p.35, se f e´ mensura´vel, enta˜o f+ e f− sa˜o mensura´veis.
DEFINIC¸A˜O 2.13 (Integral) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida e f : X → R uma
func¸a˜o Σ-mensura´vel. Definimos a integral da func¸a˜o f com relac¸a˜o a medida µ (pode ser
+∞ ou −∞, ver observac¸a˜o) por∫
f dµ ,
∫
f+ dµ−
∫
f− dµ,
Se H ∈ Σ, definimos ∫
H
f dµ ,
∫
H
f+ dµ−
∫
H
f− dµ.
2.2. DEFINIC¸A˜O DA INTEGRAL 27
Observac¸a˜o 2.7 Se as integrais dos componentes positivo (f+) e negativo (f−) de f sa˜o
∞ enta˜o a definic¸a˜o acima na˜o faz sentido (∞−∞). Neste caso dizemos que f na˜o e´
integra´vel. Se somente uma das duas integrais e´∞, dizemos que a integral e´ +∞ ou −∞.
Deixamos para o leitor refletir sobre o seguinte. Como pedimos que a parte positiva e
negativa de uma func¸a˜o seja integra´vel, a integral de Lebesgue e´ “absolutamente convergente”
(no sentido de se´ries), pois uma func¸a˜o f e´ integra´vel se, e somente se, |f | e´ integra´vel.
A integral e´ um operador linear e monotoˆnico pelo pro´ximo Teorema, apresentado sem
demonstrac¸a˜o.
TEOREMA 2.14 (Propriedades ba´sicas da integral) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de me-
dida e f, g : X → R func¸o˜es Σ-mensura´veis.
(a) Se c ∈ R,
∫
(cf + g) dµ = c
∫
f dµ+
∫
g dµ (linearidade).
(b) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X, enta˜o
∫
f dµ ≤
∫
g dµ (monotonicidade).
(c) se E,F ∈ Σ, E ⊂ F e f ≥ 0, enta˜o
∫
E
f dµ ≤
∫
F
f dµ (monotonicidade).
(d) |f | e´ integra´vel e
∣∣∣∣∫ f dµ∣∣∣∣ ≤ ∫ |f | dµ. Se ∫ |f | dµ = 0, enta˜o f = 0 µ-qtp.
DEFINIC¸A˜O 2.15 Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida e f, g : X → R func¸o˜es Σ-
mensura´veis. Dizemos que f e g sa˜o equivalentes se f = g µ-qtp.
E´ claro que esta relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia (Exerc´ıcio 30, p.16). A integral “na˜o enxerga”
a diferenc¸a entre as func¸o˜es f e g equivalentes. Fisicamente, por exemplo, uma forc¸a f e
g equivalentes va˜o realizar o mesmo trabalho. Assim, na definic¸a˜o dos espac¸os funcionais
Lp e L∞, vamos falar na func¸a˜o f querendo dizer num representante qualquer da classe
de equivaleˆncia a que a func¸a˜o pertence. Assim como nu´meros racionais sa˜o classes de
equivaleˆncia e dizemos “considere o nu´mero racional 1/2” ao inve´s de dizer “considere a
classe de equivaleˆncia de 1/2”, vamos falar na func¸a˜o f em Lp ao inve´s de dizer classe de
equivaleˆncia a que f pertence.
DEFINIC¸A˜O 2.16 O conjunto Lp(X) = Lp(X,Σ, µ), para 1 ≤ p < ∞, e´ formado pelas
func¸o˜es f : X → R que sa˜o Σ-mensura´veis com integral ∫ |f |p dµ finita.
O conjunto L∞(X) = L∞(X,Σ, µ) e´ formado pelas func¸o˜es f : X → R que sa˜o Σ-
mensura´veis e limitadas µ-qtp, isto e´, existe M ∈ R tal que µ{x ∈ X; |f(x)| > M} = 0.
Estes espac¸os sa˜o Espac¸os Vetoriais Normados (EVNs) pelo Teorema 2.14 se introduzimos
a norma:
(a) em Lp (1 ≤ p <∞): ‖f‖Lp =
(∫ |f |p dµ)1/p;
(b) em L∞: ‖f‖L∞ = inf {M > 0; µ{x; |f(x)| > M} = 0} (chamado de sup essencial).
Com estas normas (devido ao fato de se tratar da integral de Lebesgue) eles sa˜o EVNs
completos, ou seja, sa˜o Espac¸os de Banach. Como ja´ observamos, os elementos sa˜o classes
28 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
de equivaleˆncia de func¸o˜es iguais a menos de um conjunto de medida nula, tais quais elementos
de R sa˜o classes de equivaleˆncia de sequeˆncias de Cauchy.
Observac¸a˜o 2.8 Se utiliza´ssemos a integral de Riemann este espac¸o NA˜O seria completo.
Esta e´ uma raza˜o te´cnica da importaˆncia da integral de Lebesgue.
Particularizando para o L2, o membro mais importante desta fam´ılia de espac¸os de func¸o˜es,
podemos definir o produto interno (forma bilinear):
(f, g) ,
∫
fg dµ.
Com isto, L2 sera´ um EVN completo com norma induzido por um produto interno, que
chamamos de Espac¸o de Hilbert. Este e´ um espac¸o importante onde a Teoria da se´rie de
Fourier se desenvolve. Ale´m disso a teoria de equac¸o˜es diferenciais parciais se desenvolve
nos chamados Espac¸os de Sobolev, espac¸os que envolvem a existeˆncia de derivadas (num
sentido mais fraco) limitadas nestas normas integrais. Deste modo passamos do espac¸o das
func¸o˜es cont´ınuas (C(X)) ou suaves (Cn(X)) para espac¸os de Banach, Hilbert e Sobolev.
Exemplo 2.5 (verifique!)
(a) A func¸a˜o 1/x 6∈ L1(1,∞) mas pertence a Lp(1,∞) para p > 1.
(b) A func¸a˜o 1/x 6∈ L∞(R).
(c) A func¸a˜o f(x) = IN(x)
x
pertence a L∞(R).
2.3 Teoremas de Convergeˆncia
Nesta sec¸a˜o apresentamos (sem demonstrac¸a˜o) os principais resultados da Teoria de Inte-
grac¸a˜o, os Teoremas da convergeˆncia mono´tona e da convergeˆncia dominada (de Lebesgue).
Estes teoremas fornecem condic¸o˜es (simples) para que possamos trocar o limite com a integral,
isto e´, condic¸o˜es para que
lim
n→∞
(∫
fn dµ
)
=
∫ (
lim
n→∞
fn
)
dµ.
Embora a teoria seja mais complicada, as condic¸o˜es para poder se trocar limite com integral
sa˜o bem mais simples na integral de Lebesgue do que na de Riemann. Defato (estude os
enunciados dos dois teoremas abaixo), na integral de Lebesgue basta se ter convergeˆncia
pontual (qtp) e uma condic¸a˜o extra simples (monotonicidade ou dominaˆncia por uma func¸a˜o
integra´vel). Por contraste, a integral de Riemann pede, por exemplo, convergeˆncia uniforme.
2.4. INTEGRAL DE RIEMANN × LEBESGUE 29
TEOREMA 2.17 (convergeˆncia mono´tona) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida e
〈fn〉n∈N uma sequeˆncia de func¸o˜es reais na˜o-negativas integra´veis em X tais que
f(x) = lim
n→∞
fn(x), µ-qtp. em X (convergeˆncia pontual).
Suponha que a sequeˆncia e´ mono´tona crescente, isto e´,
fn(x) ≤ fn+1(x), µ-qtp. em X, para todo n ∈ N (monotonicidade).
Se sup
n∈N
∫
fn dµ <∞, enta˜o f e´ integra´vel e
∫
f dµ = lim
n→∞
∫
fn dµ.
Exemplo 2.6 Seja an uma enumerac¸a˜o de Q e An =
n⋃
k=1
{ ak }. Seja fn = IAn . Claramente
fn e´ uma sequeˆncia mono´tona crescente que converge para IQ. Como
∫
fn dµ = 0 para todo
n (fn = 0 exceto em nu´mero finito de pontos)
∫
IQ dµ = 0. Contraste com a integral de
Riemann, onde R
∫
IQ(x) dx na˜o existe pois o conjunto dos pontos de descontinuidade desta
func¸a˜o na˜o possui medida zero (e´ R).
TEOREMA 2.18 (convergeˆncia dominada de Lebesgue) Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de
medida e 〈fn〉n∈N uma sequeˆncia de func¸o˜es reais integra´veis em X tais que
f(x) = lim
n→∞
fn(x), µ-qtp. em X (convergeˆncia pontual).
Suponha que exista uma func¸a˜o integra´vel g tal que
|fn(x)| ≤ g(x), µ-qtp. em X, para todo n ∈ N (dominaˆncia por func¸a˜o integra´vel).
Enta˜o f e´ integra´vel e ∫
f dµ = lim
n→∞
∫
fn dµ.
2.4 Integral de Riemann × Lebesgue
Primeiro vamos ver algumas dificuldades com a integral de Riemann:
• Troca do limite com a integral. No estudo da se´rie de Fourier existe a necessidade de
trocar o processo de limite com a integrac¸a˜o. No entanto, as condic¸o˜es que permitem
mostrar que
lim
k→∞
[∫
fk(x) dx
]
=
∫ [
lim
k→∞
fk(x)
]
dx
sa˜o dif´ıceis na integral de Riemann.
30 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
• A auseˆncia da convergeˆncia mono´tona. O exemplo canoˆnico e´ considerar ak a enu-
merac¸a˜o dos racionais em [0, 1] e definir
gk(x) ,
{
1, se x = aj, j ≤ k,
0, caso contra´rio.
As func¸o˜es gk sa˜o iguais a zero em todos os pontos exceto num conjunto finito pontos,
e portanto sua integral de Riemann e´ zero. A sequeˆncia gk, claramente na˜o-negativa,
converge monotonamente para a func¸a˜o IQ, que na˜o e´ integra´vel a Riemann.
• Inapropriada para intervalos ilimitados. A integral de Riemann e´ apropriada somente
para intervalos limitados. Pode ser estendida para intervalos ilimitados tomando limites
contanto que na˜o surja ∞−∞.
• Definic¸a˜o esta´ muito atrelada ao Rn. Como se generalizar a integral para outros
espac¸os?
Para fazermos uma comparac¸a˜o informal entre as duas integrais, imagine que desejamos
saber o volume de uma montanha (acima do n´ıvel do mar) sabendo a func¸a˜o de sua altura h.
• na integral de Riemann dividimos a montanha numa malha de 1 metro quadrado
e medimos a altura h da montanha no centro de cada quadrado. O volume em cada
quadrado da malha e´ aproximadamente 1×1×h. Portanto o volume total e´ (aproxima-
damente) igual a soma deste volumes. Neste caso estamos particionando o dom´ınio.
• na integral de Lebesgue desenhamos um mapa de contorno da montanha (curvas
de n´ıvel) com 1 metro de altura entre elas. O volume contido entre duas curvas de
n´ıvel e´ aproximadamente igual a a´rea vezes a altura h da curva de n´ıvel. Portanto o
volume total e´ (aproximadamente) igual a soma deste volumes. Neste caso estamos
particionando a imagem.
Vamos agora (re)ver a definic¸a˜o da integral de Riemann numa forma apropriada para
fazer uma comparac¸a˜o te´cnica com a integral de Lebesgue, respondendo as perguntas mais
interessantes.
Comec¸amos definindo a integral de uma func¸a˜o escada (compare com a definic¸a˜o de
func¸a˜o simples). Aqui surge novamente a dificuldade: como a representac¸a˜o de uma func¸a˜o
escada na˜o e´ u´nica, temos (mas vamos ignorar) que provar que a integral de Riemann esta´
bem definida (independe da representac¸a˜o).
DEFINIC¸A˜O 2.19 (integral de Riemann de func¸a˜o escada) Uma func¸a˜o s : R → R e´
chamada de func¸a˜o escada se s =
n∑
i=0
ciIEi , onde cada Ei e´ um intervalo limitado e ci ∈ R.
Sejam ai e bi os extremos do intervalo Ej. Definimos a integral de Riemann de s por
R
∫
s(x) dx ,
n∑
i=0
ci(bi − ai).
2.4. INTEGRAL DE RIEMANN × LEBESGUE 31
E´ fa´cil ver que cada partic¸a˜o do intervalo [a, b] induz a duas func¸o˜es escadas: uma que
assume o sup da func¸a˜o em cada intervalo, e outra que assume o inf da func¸a˜o em cada
intervalo.
DEFINIC¸A˜O 2.20 (integral superior/inferior de Riemann) Se f : [a, b]→ R e´ limitada,
definimos sua integral superior de Riemann por
U[a,b](f) , inf
{∫
s(x) dx; s e´ func¸a˜o escada e f ≤ s
}
,
e sua integral inferior de Riemann por
L[a,b](f) , sup
{∫
s(x) dx; s e´ func¸a˜o escada e s ≤ f
}
.
DEFINIC¸A˜O 2.21 (Integral de Riemann de func¸a˜o qualquer) Dizemos que f e´ in-
tegra´vel a Riemann em [a, b] se
U[a,b](f) = L[a,b](f).
Neste caso definimos o valor comum como sendo a integral de Riemann de f no intervalo
[a, b], denotada por R
∫ b
a
f(x) dx.
Voltando e comparando a Definic¸a˜o 2.10, p.26 (integral de Lebesgue) com a definic¸a˜o da
integral de Riemann, observamos que a principal diferenc¸a consiste no uso de func¸o˜es escada
ao inve´s de func¸o˜es simples. Para comparar func¸o˜es simples com escada veja exerc´ıcio 31,
p.38.
Apresentamos agora um resultado cla´ssico (ver algum livro de ana´lise para demonstrac¸a˜o)
sobre a integral de Riemann, relacionando-a com a medida de Lebesgue.
TEOREMA 2.22 (Lebesgue) Seja f : [a, b] → R limitada. Enta˜o, f e´ integra´vel a Rie-
mann em [a, b] se, e somente se, o conjunto D = {x ∈ [a, b] ; f e´ descont´ınua em x} tem
medida nula com relac¸a˜o a medida de Lebesgue.
TEOREMA 2.23 (Riemann × Lebesgue) Se f : [a, b]→ R e´ integra´vel a Riemann, enta˜o
f e´ integra´vel a Lebesgue, com a mesma integral.
Demonstrac¸a˜o. No´s vamos provar apenas para f ≥ 0. Para o caso geral decomponha
f = f+ − f−.
Como o sup para integral de Lebesgue e´ tomado num conjunto maior (o conjunto das
func¸o˜es simples, que conte´m o conjunto das func¸o˜es escada, veja exerc´ıcio 31, p.38) que a
da integral inferior de Riemann (o conjunto das func¸o˜es escada),
R
∫ b
a
f(x) dx = L[a,b](f) ≤
∫
f dµ.
32 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
Pela monotonicidade da integral de Lebesgue, dada uma func¸a˜o escada s qualquer (que e´
mensura´vel pois e´ simples) tal que f ≤ s,∫
f dµ ≤
∫
s dµ.
Tomando o inf nos dois lados com relac¸a˜o as func¸o˜es escada s’s tais que f ≤ s,∫
f dµ ≤ L[a,b](f) = R
∫ b
a
f(x) dx.
Dessas desigualdades conclu´ımos que
R
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫
f dµ ≤ R
∫ b
a
f(x) dx.
Portanto, R
∫ b
a
f(x) dx =
∫
f dµ.
Este teorema e´ sobre a integral pro´pria de Riemann, de uma func¸a˜o limitada em um
intervalo limitado. Para func¸o˜es ilimitadas e intervalos ilimitados define-se a integral to-
mando limites. Por exemplo a integral impro´pria de Riemann
∫ ∞
0
sinx
x
dx e´ definida por
lim
a→∞
∫ a
0
sinx
x
dx, e a integral
∫ 1
0
lnx dx e´ definida por lim
a→0+
∫ 1
a
lnx dx. Dessas, a segunda
existe como integral de Lebesgue, mas a primeira na˜o pois
∫ ∞
0
∣∣∣∣sinxx
∣∣∣∣ dx =∞.
Nesse sentido, a integral de Lebesgue e´ uma integral “absolutamente convergente”, signifi-
cando que f e´ integra´vel a Lebesgue se, e somente se, |f | tambe´m e´. Na func¸a˜o f(x) = sinx
x
,
obter´ıamos que tanto a integral de f+ quanto a de f− e´ ∞, obtendo que a integral de
Lebesgue seria igual a ∞−∞, algo na˜o definido.
Em contraste, a integral de Riemann em intervalos ilimitadose´ “condicionalmente conver-
gente” Da teoria de se´ries sabemos que os termos de uma se´rie condicionalmente convergentes
na˜o podem ser comutados nem associados de forma arbitra´ria preservando o valor da se´rie.
Assim esta restric¸a˜o (“convergeˆncia absoluta”) da integral de Lebesgue assegura mais robustez
nas suas propriedades.
2.5 Teorema de Radon-Nikody´m e Fubini
Devido a sua importaˆncia em diversas aplicac¸o˜es, apresentamos mais estes dois teoremas da
Teoria da Medida:
• Teorema de Radon-Nikody´m, que define a “derivada” de uma medida com relac¸a˜o a
outra;
• Teorema de Fubini, que permite calcular uma integral dupla como duas integrais simples
sucessivas, trocando a ordem de integrac¸a˜o.
2.5. TEOREMA DE RADON-NIKODY´M E FUBINI 33
Para apresenta´-los precisamos de algumas definic¸o˜es.
DEFINIC¸A˜O 2.24 Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida. Dizemos que uma medida µ e´
finita se ela na˜o assume o valor ∞.
Dizemos que ela e´ σ-finita se existe uma sequeˆncia En em Σ com:
∞⋃
n=1
En = X e µ(En) <∞.
DEFINIC¸A˜O 2.25 Dadas medidas λ e µ em definidas numa σ-a´lgebra Σ, dizemos que λ e´
absolutamente cont´ınua com relac¸a˜o a µ, denotado por λ� µ, se para todo E ∈ Σ com
µ(E) = 0 implica que λ(E) = 0.
Para se entender a notac¸a˜o λ� µ, observe que se µ(E) = 0, enta˜o 0 ≤ λ(E)� µ(E) = 0.
Logo λ(E) = 0.
Seja (X,Σ, µ) um espac¸o de medida e f : X → R uma func¸a˜o mensura´vel na˜o-negativa.
Para cada E ∈ Σ defina λ(E) ∈ [0,∞] por:
λ(E) ,
∫
E
f dµ.
E´ claro que (exerc´ıcio) λ e´ uma medida absolutamente cont´ınua com relac¸a˜o a µ. Note que
como λ e´ uma medida,
λ(E) =
∫
E
dλ =
∫
E
f dµ para todo E ∈ Σ.
Logo, abusando notac¸a˜o, ∫
E
(dλ− f dµ) = 0 para todo E ∈ Σ.
Portanto, em algum sentido, dλ = f dµ, ou seja, f =
dλ
dµ
, a chamada derivada de Radon-
Nikody´m. O pro´ximo teorema mostra que toda medida σ-finita absolutamente cont´ınua e´
obtida desta forma.
TEOREMA 2.26 (Radon-Nikody´m) Sejam λ e µ medidas σ-finitas definidas numa σ-
a´lgebra Σ de subconjuntos de X e suponha que λ � µ, isto e´, λ e´ absolutamente cont´ınua
com relac¸a˜o a µ. Enta˜o existe uma func¸a˜o na˜o-negativa f : X → R mensura´vel (com relac¸a˜o
a Σ) tal que
λ(E) =
∫
E
f dµ para todo E ∈ Σ.
Ale´m disso, f e´ u´nica no sentido que se g possui esta propriedade, g = f µ-qtp em X.
34 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
Observac¸a˜o 2.9 Chamamos a func¸a˜o f de derivada de Radon-Nikody´m de λ com
relac¸a˜o a µ, denotada por f =
dλ
dµ
.
Em Teoria da Probabilidade, o Teorema de Radon-Nikody´m e´ fundamental para se definir
a probabilidade condicional em espac¸os de medida infinitos. A dificuldade, contornada pelo
Teorema de Radon-Nikody´m, e´ que se tentarmos generalizar a definic¸a˜o usual surgira´ uma
divisa˜o de zero por zero.
Finalizamos com o enunciado do Teorema de Fubini. Para isto precisamos da definic¸a˜o da
medida produto.
DEFINIC¸A˜O 2.27 Sejam (X,Σ, µ) e (Y,T, τ) espac¸os de medida. Existe uma medida
canoˆnica numa σ-a´lgebra de subconjuntos de X × Y , a chamada medida produto pi gerada
por µ e τ , denotada por pi = µ×τ . Esta medida esta´ definida na σ-a´lgebra gerada por A×B,
onde A ∈ Σ e B ∈ T.
Esta construc¸a˜o natural generaliza a ideia de medir subconjuntos do R2 utilizando retaˆngulos.
A dificuldade e´ que conjuntos mensura´veis do plano podem na˜o ser retaˆngulos, embora se-
jam unio˜es enumera´veis de retaˆngulos. Exige um trabalho burocra´tico para sua construc¸a˜o.
E´ similar a topologia produto, quando dadas topologias em X e Y se introduz a topologia
produto em X × Y .
O Teorema de Fubini permite calcular a integral no espac¸o produto por iterac¸a˜o, como
duas integrais sucessivas em cada um dos espac¸os. Note que o resultado independe da ordem
de integrac¸a˜o em cada um destes espac¸os.
TEOREMA 2.28 (Fubini) Sejam (X,Σ, µ) e (Y,T, ν) espac¸os de medidas completos, pi =
µ× ν a medida produto e f : X × Y → R uma func¸a˜o pi-integra´vel. Enta˜o,∫
X×Y
f dpi =
∫
X
(∫
Y
f(x, y) dν(y)
)
dµ(x) =
∫
Y
(∫
X
f(x, y) dµ(x)
)
dν(y).
2.6 Outras Construc¸o˜es da Integral
Um outro caminho para se construir uma Teoria de Integrac¸a˜o e´ utilizando me´todos da Ana´lise
Funcional. Fazemos o caminho inverso ao percorrido ate´ aqui: ao inve´s de desenvolver uma
teoria de medida para construir a integral, constru´ımos uma integral para depois introduzir
uma medida.
Considere o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas de suporte compacto, denotado por Cc(R).
Neste espac¸o podemos definir a integral de Riemann (que na˜o necessita de teoria da medida).
Introduzindo a norma ‖f‖ , R
∫
|f(x)| dx (integral de Riemann!) em Cc(R), obtemos um EVN
(espac¸o vetorial normado) que na˜o e´ completo (tal qual Q) mas que pode ser completado
para obtermos L1(R), um espac¸o de Banach, com te´cnica semelhante a utilizada para se
completar Q e obter R (classes de equivaleˆncia de sequeˆncias de Cauchy).
2.7. EXERCI´CIOS 35
O espac¸o L1(R) e´ isomorfo ao espac¸o das func¸o˜es integra´veis a Lebesgue identificando
func¸o˜es que diferem num conjunto de medida nula. A integral de Riemann, que esta´ definida
no subespac¸o (denso) Cc(R) ⊂ L1(R), pode ser estendida por continuidade, de forma u´nica,
para todo o espac¸o (analogia com como a definic¸a˜o de 2x para x ∈ R partindo da definic¸a˜o
de 2x para x ∈ Q).
Esta integral estendida de Cc(R) para todo o L1(R) e´ igual a integral de Lebesgue.
2.7 Exerc´ıcios
2.7.1 Func¸o˜es Mensura´veis
=⇒ 1. (func¸o˜es mensura´veis triviais) Considere f : X → R.
(a) Prove que se Σ = P(X), enta˜o toda func¸a˜o f e´ mensura´vel.
(b) Prove que toda func¸a˜o constante f e´ mensura´vel (com relac¸a˜o a qualquer σ-a´lgebra).
(c) Prove que IA : X → R e´ Σ-mensura´vel se, e somente se, A ∈ Σ.
(d) Considere Ψ = {∅, X }. Quais sa˜o as func¸o˜es f Ψ-mensura´veis?
=⇒ 2. Determine a menor σ-a´lgebra que torne mensura´vel uma func¸a˜o f : X → R que assuma
somente:
(a) 2 valores distintos; (b) 3 valores distintos.
3. Considere Σ = {A ⊂ R; A e´ enumera´vel ou A{ e´ enumera´vel}, uma σ-a´lgebra de R
pelo Exerc´ıcio 2, p.14. Determine se e´ Σ-mensura´vel:
(a) I[0,1]; (b) IQ{ .
→ 4. Considere X = { 1, 2, 3, 4 } e a σ-a´lgebra Σ = {∅, { 1 }, { 2, 3, 4 }, X }.
(a) Quantas func¸o˜es distintas f : X → X sa˜o Σ-mensura´veis?
(b) Repita o item (a) para a σ-a´lgebra Σ = {∅, { 1, 2 }, { 3, 4 }, X }.
=⇒ 5. Prove que se f = aIA + bIB e´ Σ-mensura´vel, enta˜o A,B ∈ Σ.
Dica: A ∩B = f−1({ a+ b }) ∈ Σ.
6. Prove o Lema 2.2, p.22.
Dica: Para provar que (i)⇒(ii), considere
⋂
n∈N
{x; f(x) < a+ 2−n}.
7. Prove que toda func¸a˜o f : R→ R e´ Borel-mensura´vel se:
(a) f e´ mono´tona; (b) f e´ cont´ınua.
Dica: (b) Toda subconjunto aberto de R pode ser escrito como a unia˜o enumera´vel de
intervalos abertos (Exerc´ıcio 12, p.15) .
=⇒ 8. Prove que toda func¸a˜o Borel-mensura´vel f : R→ R e´ Lebesgue-mensura´vel.
Dica: Existe diferenc¸a?
9. Prove que se f e´ Σ-mensura´vel e H ∈ Σ, enta˜o f˜(x) = f(x)IH(x) =
{
f(x), se x ∈ H,
0 se x ∈ X \H,
e´ Σ-mensura´vel.
36 CAPI´TULO 2. INTEGRAC¸A˜O
10. Prove que se f = IA + 2IB e´ Borel mensura´vel, enta˜o A e B sa˜o borelianos.
11. Seja f ≥ 0 mensura´vel, com f : X → R. Prove que existe uma sequeˆncia mono´tona
crescente gn ≥ 0 tal que lim gn(x) = f(x) com gn uma func¸a˜o simples.
Mais ainda, se X tem medida finita,
∫
X
|f − gn|dµ ≤ 2−nµ(X).
Dica: Defina Ekn = {x ∈ X; k2−n ≤ f(x) ≤ (k + 1)2−n}. Para k = 2n, Ekn = {f ≥
n}.
→ 12. Suponha que A gera a σ-a´lgebra T de subconjuntos de Y . Prove que φ : X → Y e´
(Σ,T)-mensura´vel se, e somente se, φ−1(E) ∈ Σ para todo E ∈ A.
→ 13. Neste exerc´ıcio utilizamos f para representar uma func¸a˜o f : X → Y qualquer.
(a) Qual a σ-a´lgebra em X que torna toda f mensura´vel?
(b) Qual a σ-a´lgebra em Y que torna toda f mensura´vel?
(c) Fixe f e uma σ-a´lgebra Σ em X. Defina