Introdução à Estatística - Medidas de Posição e Dispersão

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AUTARQUIA EDUCACIONAL DO ARARIPE – AEDA 
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS 
DE ARARIPINA - FACISA 
 
 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
 
1. O QUE É ESTATÍSTICA? 
 
 Durante um telejornal, o repórter divulgou uma pesquisa segundo a qual 
apenas 5% dos brasileiros têm o hábito de ler jornal diariamente. 
 Você já pensou em como são feitas pesquisas como essa? Como é possível 
entrevistar toda a população brasileira para saber a porcentagem de leitores de 
jornal? 
 Veremos, neste breve curso, que não é necessário entrevistar toda a 
população para se chegar a uma determinada conclusão sobre ela. Chegar a esse 
tipo de conclusão é objeto da estatística. 
 Como uma primeira ideia, podemos entender a estatística como um método 
de estudo de comportamentos coletivos cujas conclusões são traduzidas em 
resultados numéricos. 
 
2. UNIVERSO ESTATÍSTICO OU POPULAÇÃO ESTATÍSTICA 
 
 O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência 
recebe o nome de população ou universo. A população congrega todas as 
observações que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais características 
dos indivíduos, os quais podem ser concebidos tanto como seres animados ou 
inanimados. Em linguagem mais formal, a população é o conjunto constituído por 
todos os indivíduos que apresentem pelo menos uma característica comum, cujo 
comportamento interessa analisar (inferir). 
 
Exemplo: 
 O governo encomenda ao IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística) uma pesquisa para conhecer o salário médio do brasileiro. O universo 
estatístico ou população estatística é, nesse caso, o conjunto de todos os 
assalariados brasileiros. 
 
 
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3. AMOSTRA 
 
 Quando o universo estatístico é muito vasto ou quando não é possível coletar 
dados de todos os seus elementos, retira-se desse universo um subconjunto, 
chamado de amostra, e os dados são coletados nessa amostra. 
 Para que a amostra seja representativa, isto é, para que ela não apresente 
tendências diferentes das do universo estatístico, devemos adotar critérios para 
torná-la imparcial. 
 
Exemplo: 
 Suponha-se, que se pretenda conhecer o conteúdo de ferro natural a ser 
exportado por um navio. O agregado ou população consiste em todo o minério de 
ferro a ser exportado por esse navio. Parte do minério é examinada, a fim de 
determinar seu teor de ferro, com o objetivo de tirar uma conclusão a respeito do 
teor de ferro natural do embarque completo. A parte de mineral selecionado constitui 
a amostra do embarque. Uma vez que se fará inferência sobre todo o minério 
embarcado a partir de apenas uma porção dele, a base do processo é a informação 
incompleta ou de amostra. 
 
3.1. AMPLITUDE DE UMA AMOSTRA 
 
 As estaturas, em metros, de vinte mulheres estão representadas na seguinte 
amostra: 
 
1,59 1,60 1,65 1,72 1,58 
1,50 1,48 1,62 1,65 1,65 
1,70 1,58 1,45 1,63 1,65 
1,68 1,50 1,43 1,49 1,56 
 
Observe que a maior medida da amostra é 1,72m e que a menor é 1,43m. Dizemos 
que a amplitude dessa amostra é: 1,72 – 1,43 = 0,29m. 
Definição: A amplitude de uma amostra de números é b – a se, e somente se, b e a 
são, respectivamente, o maior e o menor número dessa amostra. 
 
 
 
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4. ROL 
 
É toda sequência (a1; a2; a3; ...; an) de dados numéricos tal que: 
- cada termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao seu antecessor; 
- ou cada termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao seu antecessor. 
 
Exemplo: Ordenar (colocar em rol) as estaturas das vinte mulheres. 
1,72 – 1,70 – 1,68 – 1,65 – 1,65 – 1,65 – 1,65 – 1,63 – 1,62 – 1,60 – 1,59 – 1,58 – 
1,58 – 1,56 – 1,50 – 1,50 – 1,49 – 1,48 – 1,45 – 1,43 
 
5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Uma amostra de potes de margarina apresentou as seguintes massas, em 
gramas: 480; 505; 490; 500; 510; 450; 500; 470; 520; 550; 460; 500; 530; 480. 
Podemos separar os elementos dessa amostra em róis disjuntos; por exemplo: 
I. 450; 460; 470 
II. 480; 480; 490 
III. 500; 500; 500; 505; 510 
IV. 520; 530 
V. 550 
 
Qualquer intervalo real, aberto, semiaberto ou fechado que contenha um rol da 
amostra é chamado de classe. 
Com relação aos róis disjuntos das massas da amostra dos potes de margarina, 
podemos ter, por exemplo: 
- o intervalo 450 ⊢ 480 
- o intervalo 480 ⊢ 500 
- o intervalo 500 ⊢ 520 
- o intervalo 520 ⊢ 540 
- o intervalo 540 ⊢ 560 
Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de medições de 
características da qualidade de peças ou produtos, dividimos a faixa de variação dos 
dados em intervalos de classes. O menor valor da classe é denominado limite 
inferior (Li) e o maior valor da classe é denominado limite superior (Lsup). 
 
 
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Convenção: o símbolo a ⊢ b indica o intervalo fechado no extremo da esquerda e 
aberto no extremo da esquerda, isto é: [a, b[. 
 
5.1. CRITÉRIOS PARA FORMAÇÃO DE CLASSES 
 
 Para separar os elementos de uma amostra de classes, adotamos alguns 
critérios com o objetivo de não permitir que um elemento da amostra pertença a 
mais de uma classe ou que não pertença a nenhuma delas. Esses critérios podem 
ser: 
I. Se a e b são, respectivamente, o menor e o maior elemento da amostra, então o 
extremo inferior da 1ª classe deve ser menor ou igual a a e o extremo superior da 
última classe deve ser maior que b; 
II. O extremo inferior de cada classe, a partir da 2ª, deve ser igual ao extremo 
superior da classe imediatamente anterior. 
Nota: esses critérios não são obrigatórios, mas são convenientes, principalmente 
para a construção de histogramas. 
 
5.2 FREQUÊNCIA DE CLASSE 
 
 A quantidade de elementos da amostra que pertencem a uma determinada 
classe é chamada de “frequência dessa classe”. 
 No exemplo introdutório, separamos as massas (em gramas) dos potes de 
margarina segundo as classes: 
450 ⊢ 480; 480 ⊢ 500; 500 ⊢ 520; 520 ⊢ 540; 540 ⊢ 560. 
- A frequência da classe 450 ⊢ 480 é igual a 3, pois 3 elementos da amostra 
pertencem a essa classe. 
- A frequência da classe 480 ⊢ 500 é igual a 3, pois 3 elementos da amostra 
pertencem a essa classe. 
- Analogamente, a classe 500 ⊢ 520, a classe 520 ⊢ 540 e a classe 540 ⊢ 560 têm 
frequências, respectivamente, iguais a 5, 2 e 1. 
 Podemos apresentar as classes com suas respectivas frequências através de 
uma tabela chamada de tabela de distribuição de frequência: 
 
 
 
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Classe (massa em 
gramas) 
Frequência (nº de 
potes) 
450 ⊢ 480 3 
480 ⊢ 500 3 
500 ⊢ 520 5 
520 ⊢ 540 2 
540 ⊢ 560 1 
 
6. AMPLITUDE DE UMA CLASSE 
 
Definição: Se a e b são extremos de uma classe, com a < b, chama-se amplitude 
dessa classe o número b – a. 
 
Na tabela anterior: 
- a classe 450 ⊢ 480 tem amplitude igual a 480 – 450 = 30, em gramas. 
- a classe 480 ⊢ 500 tem amplitude igual a 500 – 480 = 20, em gramas. 
 
7. CLASSES UNITÁRIAS 
 
 Podemos considerar uma classe como um único número real. Esse tipo de 
classe é denominado classe unitária. 
 
Exemplo: Para participar de uma olimpíada, um técnico fez teste com 40 ginastas 
que concorriam a uma vaga à ginástica rítmica. Veja, a seguir, a tabela de 
distribuição de frequência que mostra o desempenho das ginastas no teste. 
Classe (nota 
atribuída) 
Frequência (número 
de ginastas) 
6,0 5 
6,5 4 
7,0 6 
7,5 8 
8,0 8 
 
 
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8,5 4 
9,0 2 
9,5 2 
10,0 1 
As notas atribuídas são classes unitárias, pois cada uma é um único número real. 
 
8. FREQUÊNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE 
 
 Consideremos a tabela do exemplo anterior: 
A soma de todas as frequências, 5 + 4 + 6 + 8 + 8 + 4 + 2 + 2 + 1 = 40, é a 
frequência total (Ft ou 𝚺F) da distribuição. Dividindo a frequência F de uma classe 
pela frequência total Ft obtemos um número chamado de frequência relativa da 
classe. É usual apresentar-se a frequência relativa em porcentagem.Indicando a 
frequência relativa de uma classe por F%, tem-se que: 
F% = (F/Ft).100% 
 Da tabela anterior temos, por exemplo, que: 
- a classe 6,0 tem frequência relativa igual a (5/40).100% = 0,125.100% = 12,5% 
- a classe 6,5 tem frequência relativa igual a (4/40).100% = 0,1.100% = 10% 
- a classe 7,0 tem frequência relativa igual a (6/40).100% = 0,15.100% = 15% 
Podemos então apresentar a tabela de distribuição de frequência e de 
frequência relativa: 
Classe (nota 
atribuída) 
F F% 
6,0 5 12,5% 
6,5 4 10% 
7,0 6 15% 
7,5 8 20% 
8,0 8 20% 
8,5 4 10% 
9,0 2 5% 
9,5 2 5% 
10,0 1 2,5% 
 
 
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𝚺 40 100% 
 
 
9. REPRESENTAÇÃO GRÁFICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente. Tais 
gráficos dividem-se em duas categorias: os de informação e os de análise. 
 Os gráficos de informação têm como finalidade oferecer informações apenas 
quantitativas sobre a distribuição de frequência. Os de análise se destinam a 
estudos mais profundos, exigindo portanto maior precisão e rigor. 
 Neste curso, vamos tratar apenas dos gráficos de informação. Alguns tipos 
desses gráficos são: 
- gráfico de barras verticais; 
- gráfico de barras horizontais; 
- gráfico por setores; 
- histograma. 
 Vamos construir o gráfico de barras verticais, o gráfico de barras horizontais e 
o gráfico por setores, através do seguinte exemplo: para se ter uma ideia do nível de 
ensino numa determinada faculdade, escolheu-se uma amostra de 300 alunos do 
curso de Administração e aplicou-se uma prova. A tabela de distribuição de 
frequência abaixo mostra o resultado dessa prova. 
Classe (nota 
atribuída) 
Frequência (número 
de alunos) 
2,0 40 
3,0 85 
5,0 75 
6,0 50 
7,0 30 
8,0 20 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
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Gráfico de barras verticais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de barras horizontais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico por setores 
Divide-se um círculo em setores, com ângulos proporcionais às frequências das 
classes. 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8
Nº de alunos As frequências são dispostas num eixo 
vertical. 
 
0 20 40 60 80 100
1
2
3
4
5
6
7
8
Nota 
As frequências são dispostas num eixo 
horizontal. 
 
 
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10. HISTOGRAMA 
 
O histograma é um gráfico utilizado para representar uma distribuição de 
frequência em que as classes não são unitárias. O histograma é composto por 
retângulos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de 
valores próximos (as classes). 
A largura da base de cada célula deve ser proporcional à amplitude do intervalo 
da classe que ela representa e a área de cada célula deve ser proporcional à 
frequência da mesma classe. 
Se todas as classes tiverem igual amplitude, então as alturas dos retângulos 
serão proporcionais às frequências das classes que eles representam. 
Construção: 
Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna com os pontos 
médios de cada intervalo de classe, denotada por xm. Esta é definida como a média 
dos limites da classe
sup
2
i
m
L L
x

 . Estes valores são utilizados na construção. 
Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são: 
- Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais. 
- Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações. 
- O número de intervalos não deve ultrapassar 20. 
- Escolher limites que facilitem o agrupamento. 
- Marcar os pontos médios dos intervalos. 
 
2 
13% 
3 
28% 
5 
25% 
6 
17% 
7 
10% 
8 
7% 
Notas 
 
 
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- Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência 
relativa (ou à frequência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente. 
 
Exemplo: Numa fábrica de motores elétricos, o gerente de produção precisa avaliar 
o problema de ruído excessivo do motor. Uma das possíveis causas está associada 
com variações no diâmetro do eixo. Assim, o gerente de produção mediu o diâmetro 
do eixo de 200 motores e o resultado está apresentado na tabela a seguir. Os 
valores estão em milésimos de milímetros. 
 
Classe Frequência 
Freq. 
Relativa F% Fac% 
Ponto 
médio 
[4,2 ; 4,4) 12 0,06 6 6 4,3 
[4,4 ; 4,6) 16 0,08 8 14 4,5 
[4,6 ; 4,8) 31 0,15 15,5 29,5 4,7 
[4,8 ; 5) 66 0,33 33 62,5 4,9 
[5 ; 5,2) 35 0,17 17,5 80 5,1 
[5,2 ; 5,4) 25 0,12 12,5 92,5 5,3 
[5,4 ; 5,6) 11 0,06 5,5 98 5,5 
[5,6 ; 5,8) 4 0,02 2 100 5,7 
 
E então, construímos o histograma correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Para avaliar o desempenho dos alunos do 3º Período de Administração, um 
professor estabeleceu o seguinte critério na escolha das questões para uma 
avaliação bimestral: 
- considera-se desempenho bom o de um aluno que obtenha nota maior ou igual a 
7; 
- considera-se desempenho regular o de um aluno que obtenha nota maior ou igual 
a 5 e menor que 7; 
- considera-se desempenho fraco o de um aluno que obtenha nota menor que 5. 
A tabela seguinte mostra as notas dos vinte alunos de uma das salas que fizeram a 
prova: 
8,0 5,5 6,5 3,0 4,5 8,0 5,5 6,0 6,5 2,0 
4,0 7,5 6,5 4,5 5,0 10,0 4,0 8,0 7,0 8,0 
 
 Analisando individualmente a nota de cada aluno, podemos classificar o 
desempenho como bom, regular ou fraco. Para uma análise do desempenho da 
classe como um todo, necessitamos de alguns parâmetros: as medidas de posição 
 
Histograma
Dados
F
re
q
ü
ê
n
ci
a
4.5 5.0 5.5
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
 
 
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(ou de tendência central) e as medidas de dispersão, que servem para nos 
orientar à tendência da amostra. 
 
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO (MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL) 
 
 As medidas de posição que nos mostram o posicionamento dos elementos da 
amostra quando esta é disponível em rol. Algumas medidas de posição são: a 
média aritmética, a mediana e a moda. 
 
2.1. MÉDIA ARITMÉTICA 
 
 Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média 
aritmética simples de X, representada por x , é definida por: 
1 2 3 ... nx x x xx
n
   
 ou 
ix
x
n


 
 
xi : são os valores que a variável X assume 
n: número de elementos da amostra observada 
 
Exemplo: A produção leiteira diária da vaca B, durante uma semana, foi de 10, 15, 
14, 13, 16, 19, e 18 litros. Determinar a produção média da semana (a média 
aritmética). 
ix
x
n


 ⟶ 
10 15 14 13 16 19 18
15
7
x
     
  
 
2.2. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
Se os valores da variável forem agrupados em uma distribuição de 
frequências será usada a média aritmética dos valores x1, x2, x3 ,..., xn ponderadas 
pelas respectivas frequências absolutas: f1, f2, f3 ,..., fn. 
.i ix f
x
n


 onde 
x : valores observados da variável ou ponto médio das classes 
f : frequência simples absoluta 
: número de elementos da amostra observada 
i
i
if n





 
 
 
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 A fórmula acima será usada para as distribuições de frequências sem 
classes e com classes. 
 
(Dados sem classes): Determinar a média aritmética da tabela abaixo 
 
Número de filhos de um grupo de 50 casais 
Número de filhos 
( xi ) 
Número de 
casais 
( fi ) 
 
xi . ƒi 
0 6 0.6 = 0 
1 16 1.16 = 16 
2 9 2.9 = 18 
3 8 3.8 = 24 
4 3 4.3 = 12 
5 3 5.3 = 15 
6 3 6.3 = 18 
7 2 7.2 = 14 
Total () 50 
. 0 16 18 24 12 15 18 14
2,34
50
i ix f
x
n
      
  

 
Os 50 casais possuem, em média, 2,3 filhos. 
 
Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares 
 
 Quando as classes não são unitárias para calcular a média tomamos o ponto 
médio xm de cada classee calculamos a média aritmética ponderada entre os 
valores de xm, atribuindo a cada um o peso igual à frequência da respectiva classe. 
 
(Dados com classes): Determinar a média aritmética da tabela abaixo. 
 
Taxas municipais de urbanização, no Estado de Alagoas (em %) em 1970. 
 Número 
 
 
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Taxas (em %) 
 
de 
Município
s 
( fi ) 
xm xm . ƒi 
6 ⊢ 16 29 6 16 22
11
2 2

  
11.29 = 319 
16 ⊢ 26 24 16 26 42
21
2 2

  
21.24 = 504 
26 ⊢ 36 16 26 36 62
31
2 2

  
31.16 = 496 
36 ⊢ 46 13 36 46 82
41
2 2

  
41.13 = 533 
46 ⊢ 56 4 46 56 102
51
2 2

  
51.4 = 204 
56 ⊢ 66 3 56 66 122
61
2 2

  
61.3 = 183 
66 ⊢ 76 2 66 76 142
71
2 2

  
71.2 = 142 
76 ⊢ 86 2 76 86 162
81
2 2

  
81.2 = 164 
86 ⊢ 96 1 86 96 182
91
2 2

  
91.1 = 91 
Total () 94 
. 319 504 496 533 204 183 142 164 91
28,04
94
m ix f
x
n
       
  

 
 
Propriedades da média aritmética 
 
1ª propriedade 
 A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula). 
 
  di =  (xi - x) = 0 
 
onde: di são as distâncias ou afastamentos da média. 
 
 
 
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Em uma distribuição simétrica será igual a zero e tenderá a zero se a distribuição for 
assimétrica. 
 
Idades ( xi ) di = xi - x 
2 d1 = 2 – 6 = -4 
4 d2 = 4 – 6 = -2 
6 d3 = 6 – 6 = 0 
8 d4 = 8 – 6 = +2 
10 d5 = 10 – 6 = +4 
  0 
 
2 4 6 8 10
6
5
x
   
  
 
2ª propriedade 
 Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de 
uma variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante. 
 
Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média 
 
Idades ( xi ) xi + 2 
2 2 + 2 = 4 
4 4 + 2 = 6 
6 6 + 2 = 8 
8 8 + 2 = 10 
10 10 + 2 = 12 
  40 
 
A nova média será: 
40
8
5
x   
No caso, a média aritmética anterior ficou aumentada de 2. 
 
3ª propriedade 
 
 
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 Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por 
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa 
constante: 
Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média 
 
Idades ( xi ) xi . 2 
2 2 . 2 = 4 
4 4 . 2 = 8 
6 6 . 2 = 12 
8 8 . 2 = 16 
10 10 . 2 = 20 
  60 
 
A nova média será: 
60
12
5
x   
No caso, a média aritmética anterior ficou multiplicada por 2. 
 
4ª propriedade 
 A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos. 
 
 x1 = 10 n1 = 15 
 x2 = 18 n2 = 23 
 
Então: 1 1 2 2
1 2
( . ) ( . ) ... ( . )
...
k k
G
k
x n x n x n
x
n n n
  

  
 
 
(10.15) (18.23)
14,84
15 23
Gx

 

 
 
5ª propriedade 
 A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da média 
aritmética é um mínimo. 
 
 
 
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Idades ( xi ) di = (xi – x)  di
2 =  (xi – x)
2 
2 d1 = 2 – 6 = -4 (– 4)
2
 = 16 
4 d2 = 4 – 6 = -2 (– 2)
2
 = 4 
6 d3 = 6 – 6 = 0 ( 0)
2
 = 0 
8 d4 = 8 – 6 = +2 ( +2)
2
 = 4 
10 d5 = 10 – 6 = +4 ( +4)
2
 = 16 
  0 40 
De modo que:  (xi – x)
2 = 40 sendo este valor o menor possível. Isso 
significa que, se tomássemos outro valor que não a média (x), o resultado dessa 
operação seria maior que o obtido. 
 
6ª propriedade 
 A média aritmética é atraída pelos valores extremos. 
 
Considere os valores originais: 
xi : 2, 4, 6, 8, 10  6x  
 
Se o primeiro valor xi for alterado para 0: 
xi : 0, 4, 6, 8, 10  5,6x  
 
Se o último valor xi for alterado para 12: 
xi : 2, 4, 6, 8, 12  6,4x  
 
2.3. MODA (Mo) 
 
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico. 
Define-se a moda como o valor que ocorre com maior frequência em conjunto 
de dados. 
Exemplo: Se o salário modal dos empregados de uma empresa é igual a mi l reais, 
este é o salário recebido pela maioria dos empregados dessa empresa. 
 
A moda é utilizada frequentemente quando os dados estão registrados na escala 
nominal. 
 
 
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Exemplo: Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z 
Sexo Frequência 
Masculino 40 
Feminino 60 
Total 100 
 
 A moda é o sexo feminino porque tem maior frequência. 
 
Moda – para dados não agrupados 
 
Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o 
valor que tem maior frequência. 
 
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados: 
 
1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)  Mo = 6 (o valor mais frequente) 
 Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda. 
 
2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6)  Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais frequentes) 
 Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas. 
 
3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)  Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais 
frequentes) 
 Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas. 
 
4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6)  Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor 
predominante. 
 
Moda – para dados agrupados sem classes 
 
Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior frequência. 
 
♦ Cálculo da moda pelo rol 
 
 
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Na tabela abaixo, o resultado 1 aparece mais vezes  Mo =1. 
 
Número de filhos de um grupo de 50 casais 
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 
2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 
4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 
 
♦ Cálculo da moda pela distribuição de frequências sem classes 
 
Número de filhos de um grupo de 50 casais 
Número de filhos 
( xi ) 
Número de casais 
( fi ) 
 
 
 
 O valor 1 apresenta a 
maior frequência. 
 
 Mo = 1 
 
 Esse resultado indica 
que casais com um filho foi o 
resultado mais observado. 
0 6 
1 16 
2 9 
3 8 
4 3 
5 3 
6 3 
7 2 
Total () 50 
 
 
 
 
 
Moda – para dados agrupados com classes 
 
 
 
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Taxas municipais de 
urbanização (em %) – Alagoas, 
1970. 
 1º passo: Identifica-se a classe de maior 
frequência. 
 Na Tabela é a 1ª classe: 6 ⊢ 16 
 
 2º passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 1º processo: Moda bruta: 
2
Li Ls
Mo

 
sendo, 
Li: limite inferior da classe modal = 6 
Ls: limite superior da classe modal = 16 
 
 
6 16
11%
2
Mo

  
 
 
 
Taxas (em %) 
 
Número de 
Municípios 
( fi ) 
6 ⊢16 29 
24 
16 
13 
4 
3 
2 
2 
1 
16 ⊢ 26 
26 ⊢ 36 
36 ⊢ 46 
46 ⊢ 56 
56 ⊢ 66 
66 ⊢ 76 
76 ⊢ 86 
86 ⊢ 96 
Total () 94 
 
2º processo: Fórmula de Czuber: 1
1 2
.Mo
D
Mo L h
D D
 

 
(Método mais elaborado) sendo: 
LMo : limite inferior da classe 
h: intervalo da classe modal 
D1 : frequência simples da classe modal  frequência simples anterior à da classe 
modal 
D2 : frequência simples da classe modal frequência simples posterior à da classe 
modal 
 
Na tabela acima, temos: 
LMo = 6 
29
6 .10 14,5%
29 5
Mo   

 
h = 10 
D1 = 29  0 = 29 
 
 
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D2 = 29  24 = 5 A taxa de urbanização mais frequente ficou 
em torno de 
 14,5%. 
 
2.4. MEDIANA (Md) 
 
É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas 
partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida separatriz. 
Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados 
segundo uma ordem de grandeza. 
 
Mediana - para dados não agrupados 
a) O número de valores observados é 
impar 
 
Exemplo: Considere o conjunto de 
dados: 
 
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1) 
 
1º) Colocar os valores em ordem 
crescente ou decrescente: 
 
X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10) 
 
2º) Determinar a ordem ou posição (P) 
da Mediana por 
1
2
n
P

 , quando n (nº de elementos) for 
ímpar. 
 
7 1
4ª
2
P posição

  . O número que se 
encontra na 4ª posição é o número 4. 
b) O número de valores observados é 
par 
 
Exemplo: Considere o conjunto de 
dados: 
 
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6) 
 
1º) Colocar os valores em ordem 
crescente ou decrescente: 
 
X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10) 
 
2º) Determinar a ordem ou posição (P) 
da Mediana por 
2
n
P  e 1
2
n
P   , quando n (nº de 
elementos) for par. 
 
8
4ª
2
P posição  e 
 
 
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Md = 4 
 
 
 
8
1 5ª
2
P posição   
 
Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª 
posição). Tira-se a média aritmética 
entre os dois números. 
6 7
6,5
2
Md

  
 
Mediana – para dados agrupados sem classes 
 
Número de filhos de um grupo de 50 casais 
Número de 
filhos 
( xi ) 
Número de 
casais 
( fi ) 
 
Fi 
1º) Determinar a posição da mediana por: 
2
n
P  e 1
2
n
P   , pois n é par 
 
50
25ª
2
P posição  e 
50
1 26ª
2
P posição   
 
2º) Pela Fi (freq. abs. Acumulada abaixo de) 
verifica-se que o 31 contém o 25º e 26º elemento 
 25º corresponde ao nº 2 
 26º corresponde ao nº 2 
2 2
2
2
Md

  
0 6 6 
1 16 22 
2 9 31 
3 8 39 
4 3 42 
5 3 45 
6 3 48 
7 2 50 
Total () 50 
 O nº 2 deixa 50% dos valores, ou seja, é o 
elemento central 
 
 
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Mediana – para dados agrupados com classes 
 
Taxas municipais de urbanização 
(em %) – Alagoas, 1970. 
 
1º) Calcular a posição: 
94
47ª
2 2
n
P posição   
 
(Não importa de n for ímpar ou par) 
 
2º) Pela Fi identifica-se a classe que contém a 
Md: 
O nº 47 está dentro de 53. Portanto, a classe da 
Md é a 2ª: 16 ⊢26. 
 
3º) Aplica-se a fórmula: 
 
( 2)
.Md
Md
n Fa
Md L h
f

  
 
 onde, 
 
 
 
Taxas (em %) 
 
Número de 
Municípios 
( fi ) 
Fi 
6 ⊢ 16 29 29 
16 ⊢ 26 24 53 
26 ⊢ 36 16 69 
36 ⊢ 46 13 82 
46 ⊢ 56 4 86 
56 ⊢ 66 3 89 
66 ⊢ 76 2 91 
76 ⊢ 86 2 93 
86 ⊢ 96 1 94 
Total () 94 
 
* LMd = limite inferior da classe da Md = 16 
* n = tamanho da amostra ou nº de 
elementos  
 n/2 = 94/2 = 47 
* Fa = frequência acumulada anterior à 
classe da Md = 29 
* h = intervalo da classe da Md = 10 
* fMd = frequência simples da classe da Md = 
24 
 
 
 
 
 
47 29
16 .10 23,5%
24
Md

   
 
50% das taxas de urbanização estão 
antes da taxa 23,5%. 
 
 
 
 
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3. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 Às vésperas de uma partida decisiva, o técnico de uma equipe de 
basquetebol prepara a escalação da equipe e depara-se com a seguinte dúvida: 
escalar o jogador A ou o jogador B, sendo que ambos estão em boas condições 
físicas. Para decidir, estuda os últimos cinco jogos de que participou o jogador A e 
os últimos cinco jogos de que participou o jogador B e percebe que A e B têm a 
mesma média de pontos por jogo. A decisão do técnico pode ser tomada apenas 
com essa informação? 
 Veremos que tal informação não é suficiente para essa tomada de decisão, 
pois duas amostras de números x1, x2, x3, ..., xn e y1, y2, y3, ..., yn podem ter a 
mesma média aritmética e, no entanto, apresentar características muito diferentes. 
 Vamos agora estudar algumas medidas obtidas de uma amostra de números 
que caracterizam um afastamento ou uma aproximação dos dados em torno da 
média. Tais medidas são chamadas de medidas de dispersão. 
 
3.1. Desvio relativo 
 
 Chama-se “desvio relativo de um elemento xi de uma amostra de números 
x1, x2, x3,..., xn” o número Dr (xi) tal que: ( )r i iD x x x  
onde x é a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Exemplo: As idades das jogadoras do time de voleibol da cidade são: 15; 16; 14; 17; 
16; 18. Dessa amostra, temos que: 
- a média aritmética (em anos) é 
15 16 14 17 16 18
16
6
x
    
  
- o desvio relativo (em anos) do elemento 15 da amostra é D r (15) = 15 – 16 = -1 
- o desvio relativo (em anos) do elemento 18 da amostra é D r (18) = 18 – 16 = 2 
- o desvio relativo (em anos) do elemento 16 da amostra é Dr (16) = 16 – 16 = 0 
Note que, se o desvio relativo de um elemento xi é: 
I. positivo, então xi está acima da média; 
II. negativo, então xi está abaixo da média; 
III. zero, então xi é igual a própria média. 
 
 
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3.2. Desvio absoluto 
 
 Chama-se “desvio absoluto de um elemento xi de uma amostra de números 
x1, x2, x3,..., xn” o número Da (xi) tal que: ( )a i iD x x x  . 
Exemplo: As idades das jogadoras do time de voleibol são: 15; 16; 14; 17; 16; 18. 
Nessa amostra, vemos que: 16x  
Assim, temos que: 
- o desvio absoluto (em anos) do elemento 15 da amostra é (15) 15 16 1 1aD      . 
- o desvio relativo (em anos) do elemento 18 da amostra é (18) 18 16 2 2aD     . 
- o desvio relativo (em anos) do elemento 16 da amostra é (18) 16 16 0 0aD     . 
 
3.3. Desvio médio absoluto 
 
 Chama-se “desvio médio absoluto (Dma) de uma amostra de números x1, x2, 
x3,..., xn” a média aritmética entre os desvios absolutos de todos os seus elementos. 
Isto é: 
1
n
i
i
ma
x x
D
n




 
Exemplo: As idades das jogadoras do time de voleibol são: 15; 16; 14; 17; 16; 18. 
Dessa amostra, temos: 16x  
Pela fórmula do desvio médio absoluto, calculamos: 
15 16 16 16 14 16 17 16 16 16 18 16
6
maD
          
 
1 0 2 1 0 2
1
6
maD
    
  
Logo, o desvio médio absoluto é 1 ano. 
Nota: o desvio médio absoluto é uma medida associada à amostra como um todo; 
quando no exemplo anterior dizemos que Dma = 1 ano, estamos afirmando que, em 
média, os elementos da amostra se afastam 1 ano da média aritmética, para cima 
ou para baixo. 
 
 
 
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Desvio Médio - para dados agrupados em classes de frequências 
1
.
n
m i
i
ma
i
x x f
D
f





 
Taxas municipais de urbanização 
(em %) – Alagoas, 1970. 
 
 
28,04x Taxas (em %) 
 
Número de 
Municípios 
( fi ) 
Fi 
6 ⊢ 16 29 29 
16 ⊢ 26 24 53 
26 ⊢ 36 16 69 
36 ⊢ 46 13 82 
46 ⊢ 56 4 86 
56 ⊢ 66 3 89 
66 ⊢ 76 2 91 
76 ⊢ 86 2 93 
86 ⊢ 96 1 94 
Total () 94 
 
28,04 11 .29 28,04 21 .24 28,04 31 .16 28,04 41 .13 28,04 51 .4 28,04 61 .3 28,04 71 .2 28,04 81 .2 28,04 91 .1
94
maD
                
 
494,16 168,96 47,36 168,48 91,84 98,88 85,92 105,92 62,96
94
maD
       
 
Dma = 14,09 
 
 
3.4. Desvio padrão 
 
 Uma das medidas mais usadas para aferir a dispersão dos elementos de uma 
amostra de números em relação à média aritmética é o desvio padrão, simbolizado 
pela letra grega 𝛔 (sigma) e definido da seguinte maneira: 
 Chama-se “desvio padrão de uma amostra de números x1, x2, x3,..., xn” o 
número dado por: 
 
 
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 
2
1
n
i
x x
n
 



 
onde x é a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Exemplo: As idades das jogadoras do time de voleibol são: 15; 16; 14; 17; 16; 18. 
Dessa amostra, temos: 16x  e 
           
2 2 2 2 2 2
15 16 16 16 14 16 17 16 16 16 18 16
6

          
 
           
2 2 2 2 2 2
1 0 2 1 0 2 10
1,29
6 6

      
   ano 
 
Nota: o desvio padrão, assim como o desvio médio absoluto, é uma medida 
associada à amostra como um todo, e não a cada elemento individualmente. O 
desvio padrão, assim como o desvio médio absoluto, mede o quanto os elementos 
estão próximos ou afastados da média. 
 
 
Desvio padrão – para dados agrupados sem e com classes 
 
 
2
1
.
n
i
i
i
x x f
f
 




 
 
Taxas (em 
%) 
 
Número 
de 
Município
s 
( fi ) 
 
xi 
 
ix x
 
 
2( )ix x 
 
2( ) .i ix x f
 
 
 28,04x  
 
 
 
 
 
 
 
6 ⊢ 16 29 11 -
17,0
4 
290,36 8420,4
8 
16 ⊢ 26 24 21 -7,04 49,56 1189,4
7 
 
 
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26 ⊢ 36 16 31 2,96 8,76 140,18 
36 ⊢ 46 13 41 12,9
6 
167,96 2183,5 
46 ⊢ 56 4 51 22,9
6 
527,16 2108,6
4 
56 ⊢ 66 3 61 32,9
6 
1086,36 3259,0
8 
66 ⊢ 76 2 71 42,9
6 
1845,56 3691,1
2 
76 ⊢ 86 2 81 52,9
6 
2804,76 5609,5
2 
86 ⊢ 96 1 91 62,9
6 
3963,96 3963,9
6 
Total () 94 
 
8420,48 1189,47 140,18 2183,5 2108,64 3259,08 3691,12 5609,52 3963,96
94

       

 
30565,95
325,17 18,03
94
    
 
 
3.5. Variância 
 
 Chama-se “variância de uma amostra de números x1, x2, x3,..., xn” o quadrado 
do desvio padrão, isto é: 
 
2
2 1
n
i
x x
n
 



 
Exemplo 1: As idades das jogadoras do time de voleibol são: 15; 16; 14; 17; 16; 18. 
Dessa amostra, temos: 16x  e 𝛔 = 1,29 ano portanto 𝛔2 = (1,29)2 = 1,66 ano2. 
 
Exemplo 2: Na amostra 184, 179, 190, 181, 178 das massas, em gramas, de cinco 
barras de chocolate, temos que: 
 
 
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184 179 190 181 178
182,4
5
x
   
  
2 2 2 2 2
2 (184 182,4) (179 182,4) (190 182,4) (181 182,4) (178 182,4)
5

        
 
2 2 2 2 2
2 (1,6) ( 3,4) (7,6) ( 1,4) ( 4,4) 18,64
5

      
  
𝛔2 = 18,64 g2 
 
Nota: a desvantagem em se usar a variância como medida de dispersão é que, se 
os elementos da amostra se apresentam numa unidade u (grama, g, por exemplo), a 
variância se apresenta na unidade u2, o que pode causar dificuldade de 
interpretação. No exemplo anterior, como interpretar g2? Para contornar essa 
dificuldade, é mais conveniente, nesse caso, usarmos o desvio padrão, cuja unidade 
de medida é a mesma dos elementos da amostra. 
 
Variância – para dados agrupados sem e com classes 
 
 
2
2 1
.
n
i
i
i
x x f
f
 




 
 
Taxas (em 
%) 
 
Número 
de 
Município
s 
( fi ) 
 
xi 
 
ix x
 
 
2( )ix x 
 
2( ) .i ix x f
 
 
 28,04x  
 
 
 
 
 
 
 
 
6 ⊢ 16 29 11 -
17,0
4 
290,36 8420,4
8 
16 ⊢ 26 24 21 -7,04 49,56 1189,4
7 
26 ⊢ 36 16 31 2,96 8,76 140,18 
36 ⊢ 46 13 41 12,9
6 
167,96 2183,5 
 
 
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46 ⊢ 56 4 51 22,9
6 
527,16 2108,6
4 
56 ⊢ 66 3 61 32,9
6 
1086,36 3259,0
8 
66 ⊢ 76 2 71 42,9
6 
1845,56 3691,1
2 
76 ⊢ 86 2 81 52,9
6 
2804,76 5609,5
2 
86 ⊢ 96 1 91 62,9
6 
3963,96 3963,9
6 
Total () 94 
 
2 8420,48 1189,47 140,18 2183,5 2108,64 3259,08 3691,12 5609,52 3963,96
94

       
 
2 30565,95 325,17
94
  
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
(CESPE - Fiscal de Tributos Estaduais do Mato Grosso) “Uma empresa do ramo de 
construção civil contratou 200 operários para executar uma obra de 100.000 m2 em 
12 meses. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos salários semanais brutos – S 
– dos 200 operários.” 
 
Função Salário semanal bruto (S) Número de operários 
F1 R$100,00 < S < R$140,00 50 
F2 R$140,00 < S < R$160,00 80 
F3 R$160,00 < S < R$240,00 40 
F4 R$240,00 < S < R$360,00 30 
Total 200 
 
 
 
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Para cada função, essa empresa apresenta ainda as seguintes estatísticas sobre o 
salário semanal bruto por função. 
Função Média Mediana 
F1 R$ 130,00 R$ 120,00 
F2 R$ 150,00 R$ 145,00 
F3 R$ 170,00 R$ 200,00 
F4 R$ 290,00 R$ 280,00 
 
Considerando os dados fornecidos acima, julgue os itens abaixo: 
1. O salário médio semanal bruto dos operários dessa empresa é igual a R$175,00. 
2. A mediana da distribuição dos salários é igual a R$152,50. 
3. A moda da distribuição dos salários, segundo a fórmula de Czuber, é igual a 
R$148,57. 
4. 36,25% dos operários recebem salário semanal bruto entre R$130,00 e R$155,00. 
5. Se a empresa pagar R$10,00 a mais para cada um dos seus 200 operários, a 
variância do salário semanal bruto dos operários não sofrerá alteração. 
6. Se a empresa der um aumento de 10% para cada um dos seus 200 operários, a 
variância do salário semanal bruto dos operários aumentará em 21%. 
7. 7,5% dos operários receberam salário semanal bruto maior ou igual a R$280,00. 
8. Considere, por hipótese, que os operários, insatisfeitos com seu salário, ameaçam 
fazer greve, e que a empresa prontamente lhes faça uma proposta de aumento 
salarial de 20% sobre o valor bruto para todos os operários, descontando, porém, as 
refeições fornecidas no valor de R$34,00/semana para cada um dos operários. 
Nessa hipótese, a proposta apresentada pela empresa não alterará a média dos 
salários semanais brutos dos operários. 
 
(CESPE – PAS 3) O gráfico abaixo representa o número mensal de transplantes de 
córnea realizados em um determinado hospital durante o ano de 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com base nos dados do texto acima, julgue os itens a seguir, considerando o 
conjunto formado pelas quantidades mensais de transplantes de córnea realizados 
em 2002. 
9. A mediana do conjunto é igual a 10. 
10. A média do conjunto é superior a 11. 
11. A soma das quantidades de transplantes realizados nos meses de janeiro e 
dezembro correspondeu a mais de 35% do total de transplantes realizados durante o 
ano. 
12. Se em cada mês tivesse sido realizado 1 transplante a mais do que aquele 
número apresentado no gráfico, então a média mensal do número de transplantes 
realizados em 2002 seria 10% maior que a da situação apresentada. 
13. O desvio-padrão do subconjunto correspondente às quantidades de transplantes 
realizados nos meses de janeiro a abril é maior que o do subconjunto 
correspondente às quantidades de transplantes realizados nos meses de maio a 
agosto. 
14. Se, em 2002, o número de transplantes realizados a cada mês tivesse sido o 
dobro do apresentado no gráfico, a variância do conjunto formado pelas quantidades 
mensais de transplantes realizados em 2002 teria sido o dobro da variância do 
conjunto original. 
 
(CESPE) Respirando veneno 
O inverno de 1998 vai ter uma péssima qualidade doar – uma das piores da história. 
Quem garante são os especialistas. A estiagem provocada pelo El Niño deve tornar 
este período mais seco, dificultando a dispersão de gases e fumaças. Os técnicos 
acreditam que este inverno será ainda pior que o de 1997. Saiba em quantos dias do 
 
 
 
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ano passado a poluição ficou acima dos níveis aceitáveis nas cidades que têm 
controle da qualidade do ar. Observe a tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a série numérica formada pelos números da tabela, julgue os 
seguintes itens. 
15. O número de dias em que Volta Redonda apresentou poluição acima dos níveis 
aceitáveis é a mediana da série, indicando que, das 11 cidades, cinco apresentaram 
índices de poluição menores que o de Volta Redonda. 
16. A média aritmética da série indica o número de dias com poluição acima dos 
níveis aceitáveis que cada cidade analisada teria se o total de dias fosse igualmente 
distribuído por todas as cidades analisadas. 
17. Tanto um gráfico de setores como um gráfico de barras são representações 
adequadas para a série estudada. 
18. A moda da série é de 132, indicando que São Paulo foi a cidade que mais tempo 
ficou com índices de poluição acima dos níveis aceitáveis. 
 
(CESPE – BB/2009 – Escriturário) O gráfico a seguir, que ilustra a previsão das 
reservas monetárias de alguns países, em 2008, deve ser considerado para o 
julgamento dos itens de 19 a 22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com base nas informações do gráfico apresentado acima, julgue os seguintes itens. 
19. Considerando-se que, na época da realização dos estudos que deram origem ao 
gráfico, 1 dólar equivalesse a R$ 1,80, é correto afirmar que, nessa época, o valor 
previsto para as reservas internacionais da China era superior a R$ 
2.500.000.000.000,00. 
20. Em 2008, as reservas previstas para a Índia superarão as previstas para o Brasil 
em mais de 55%. 
21. Entre as reservas apresentadas no gráfico, apenas as da Rússia e da China 
superam a média aritmética das reservas de todos eles. 
22. O quadrado do desvio-padrão da sequência numérica formada pelas reservas 
dos cinco países apresentados no gráfico acima é superior a 84+ 154+ 164+ 184+ 
304. 
 
 
Gabarito 
1 E 9 C 17 E 
2 E 10 E 18 E 
3 E 11 C 19 C 
4 E 12 C 20 E 
5 C 13 C 21 E 
6 C 14 E 22 C 
7 C 15 E 
8 C 16 C