Calculo numerico - Ajustes

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Ajuste de curvas 5 - 1
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Ajuste de Curvas Pelo Método dos Mínimos Quadrados
Introdução
Seja um conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numérica ou
experimentalmente. De modo a calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados,
ajustamos uma função y = f(x) através do chamado Método dos Mínimos Quadrados.
Considere uma equação relacionando a variável y com a variável independente x, como
)x(fy = , onde y indica que este é o valor aproximado de y. Queremos encontrar a função
)x(fy = , cujo desvio em relação aos valores y seja expresso como iii yy −=δ .
Por uma questão de conveniência trabalharemos com o desvio quadrático ( )2ii2i yy −=δ .
A função )x(fy = que melhor ajusta os pontos (x, y) dados é aquela que minimiza o somatório
dos desvios quadráticos S:
S = ( )∑∑
==
−=δ
n
1i
2
ii
n
1i
2
i yy (1)
A condição de minimização da função S é satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja,
necessitamos calcular a derivada da função S em relação aos parâmetros de ajuste da função
y = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equações denominado equações normais que
conduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela função y = f(x) escolhida. Para cada tipo de função
de ajuste existe um sistema de equações normais que minimiza a soma dos desvios quadráticos S.
Em seguida, faremos a dedução das equações normais para alguns tipos de funções mais
comumente empregados no ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados.
Ajuste Linear
Se a função de ajuste for a função linear na forma:
xaay 10 += (2)
onde a0 e a1 são os coeficientes a serem determinados pelo Método dos Mínimos Quadrados. A
condição de minimização do somatório dos desvios quadráticos é dada pelas equações:
0
a
S
0
=
∂
∂ (3)
e
0
a
S
1
=
∂
∂ (4)
Ajuste de curvas 5 - 2
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Substituindo-se (1) na equação (3), resulta:
( ) 



−∂
∂
=



δ∂
∂
=∂
∂ ∑∑
==
n
1i
2
ii
0
n
1i
2
i
00
yy
aaa
S
Substituindo (2) na equação acima, resulta:
( ) ( )( ) 01xaay2xaay
aa
S n
1i
i10i
n
1i
2
i10i
00
=−−−=








−−
∂
∂
=
∂
∂ ∑∑
==
de onde vem que:
∑∑
==
=







+
n
1i
i1
n
1i
i0 yaxan (5)
Analogamente, substituindo-se (1) e (2) em (4), resulta:
∑∑∑
===
=







+






 n
1i
ii1
n
1i
2
i0
n
1i
i yxaxax (6)
As equações (5) e (6) constituem-se no sistema de equações normais, contendo duas
incógnitas (a0 e a1) e duas equações. Podemos re-arranjá-las de modo a obter as seguintes
expressões para o seu cálculo:
2
n
1i
n
1i
2
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
2
0
xxn
xyxyx
a




−
−
=
∑∑
∑∑∑∑
==
==== (7)
2
n
1i
n
1i
2
n
1i
n
1i
n
1i
1
xxn
yxxyn
a




−
−
=
∑∑
∑∑∑
==
=== (8)
Ajuste de curvas 5 - 3
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo:
Ajustar uma função linear pelo método dos mínimos quadrados aos seguintes valores numéricos:
x 0 1,2 2,5 3,7
y 0,134 0,275 0,339 0,401
Resolução:
Para resolvermos o problema, vamos calcular os coeficientes das equações normais (5) e (6),
através do cálculo na tabela seguinte dos valores de Σx, Σx2, Σy e Σxy:
x y x2 xy
0 0,134 0 0
1,2 0,275 1,44 0,33
2,5 0,339 6,25 0,8475
3,7 0,401 13,69 1,4837
SOMA = 7,4 1,149 21,38 2,6612
Resumindo:
n = 4 ∑
=
=
4
1i
i 4,7x ∑
=
=
4
1i
i 149,1y ∑
=
=
4
1i
2
i 38,21x ∑
=
=
4
1i
ii 6612,2yx
Substituindo nas equações (7) e (8):
1584,0
76,30
8727,4
)4,7()38,21)(4(
)6612,2)(4,7()149,1)(38,21(
a 20 ==
−
−
=
0696,0
76,30
1422,2
)4,7()38,21)(4(
)149,1)(4,7()6612,2)(4(
a 21 ==
−
−
=
A função linear que melhor ajusta os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é
descrita pela equação:
x0696,01584,0y +=
Ajuste Polinomial
Seja uma função polinomial de grau m da forma:
m
m
2
210 xaxaxaay ++++= � (9)
Substituindo (9) na equação para a o somatório do desvio quadrático (1):
Ajuste de curvas 5 - 4
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
S = ( ) ( )∑∑
==
−−−−−=−
n
1i
2m
m
2
210i
n
1i
2
ii xaxaxaayyy �
As equações normais para o cálculo dos coeficientes da função polinomial são obtidas a
partir das condições para a minimização da soma do desvio quadrático:
0
a
S
a
S
a
S
a
S
m210
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
� (10)
Substituindo S em (10) e derivando, resulta:
( )( ) 01xaxaxaay2
a
S n
1i
m
im
2
i2i10i
0
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
i
m
im
2
i2i10i
1
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
2
i
m
im
2
i2i10i
2
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
�
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
m
i
m
im
2
i2i10i
n
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
Rearranjando as equações acima, resulta o seguinte sistema de equações, denominado de
equações normais:
∑∑∑∑
====
=







++







+







+
n
1i
im
n
1i
m
i2
n
1i
2
i1
n
1i
i0 yaxaxaxan �
∑∑∑∑∑
==
+
===
=







++







+







+






 n
1i
iim
n
1i
1m
i2
n
1i
3
i1
n
1i
2
i0
n
1i
i yxaxaxaxax �
Ajuste de curvas 5 - 5
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
∑∑∑∑∑
==
+
===
=







++







+







+






 n
1i
i
2
im
n
1i
2m
i2
n
1i
4
i1
n
1i
3
i0
n
1i
2
i yxaxaxaxax �
�
∑∑∑∑∑
===
+
=
+
=
=







++







+







+






 n
1i
i
m
im
n
1i
m2
i2
n
1i
3m
i1
n
1i
2m
i0
n
1i
m
i yxaxaxaxax �
Na forma matricial, o sistema de equações normais para o ajuste polinomial toma a forma:
[A][x] = [b]
que podem ser escritos omitindo os índices dos somatórios na forma:












=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
++
+
+
m2
i
2m
i
1m
i
m
i
2m
i
4
i
3
i
2
i
1m
i
3
i
2
ii
m
i
2
ii
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
]A[
�
�����
�
�
�
,
(11)
[ ]










=
m
2
1
0
a
a
a
a
x
�
, [ ]












=
∑
∑
∑
∑
i
m
i
i
2
i
ii
i
yx
yx
yx
y
b
�
Observar que a matriz de coeficientes [A] é simétrica, isto é, aij = aji. Deste modo, podemos
determinar o sistema de equações normais para qualquer ajuste polinomial como um subconjunto
do sistema acima.
Ajuste Parabólico
O ajuste parabólico ou de 2a ordem é um caso particular do ajuste polinomial para m = 2:
2
210 xaxaay ++= (12)
de modo que o sistema de equações normais pode ser escrito como:
Ajuste de curvas 5 - 6
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
[ ]








=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
4
i
3
i
2
i
3
i
2
ii
2
ii
xxx
xxx
xxn
A , [ ]








=
2
1
0
a
a
a
x , [ ]







=
∑
∑
∑
i
2
i
ii
i
yx
yx
y
b (13)
Exemplo:
A tabela seguinte apresenta os valores de calor específico a pressão constante para o ouro na faixa
de temperatura entre 10 e 100K. Ajustar pelo Método dos Mínimos Quadrados uma curva
parabólica do tipo 2210p TaTaaC ++= , onde Cp é o calor específico e T a temperatura
absoluta.
T(K) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100
Cp (J/kg.K) 2 7 16 26 37 57 73 84 92 99 104 108
Resolução:
Para o cálculo dos coeficientes da matriz [A], por uma questão de compatibilidade com a notação
de (13), definiremos y = Cp e x = T.
TABELA 1 Coeficientes do sistema de equações
x y x2 x3 x4 xy x2y
10 2 100 1000 10000 20 200
15 7 225 3375 50625 105 1575
20 16 400 8000 160000 320 6400
25 26 625 15625 390625 650 16250
30 37 900 27000 810000 1110 33300
40 57 1600 64000 2560000 2280 91200
50 73 2500 125000 6250000 3650 182500
60 84 3600 216000 12960000 5040 302400
70 92 4900 343000 24010000 6440 450800
80 99 6400 512000 40960000 7920 633600
90 104 8100 729000 65610000 9360 842400
100 108 10000 1000000 100000000 10800 1080000
SOMA: 590 705 39350 3044000 253771250 47695 3640625
Substituindo-se os valores calculados na tabela nas matrizes do sistema [A][x] = [b], obtém-se:
[ ]A =






12 590 39350
590 39350 3044000
39350 3044000 253771250
[ ]b =






705
47695
3640625
A solução deste sistema de equações obtida por inversão da matriz [A] é:
Ajuste de curvas 5 - 7
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
a0 = -27,1891 a1 = 2,54971 a2 = -0,01202
e a equação ajustada expressa como:
2
p T01202,0T54971,21891,27C −+−=
A Fig. 1 mostra os dados experimentais juntamente com a curva parabólica ajustada pelos
coeficientes calculados acima, na qual observa-se uma excelente concordância entre a curva
ajustada e os pontos experimentais.
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Temperatura (K)
Cp
 (J
/kg
.K
)
Fig. 1 Dados experimentais do calor específico a pressão constante para o ouro (símbolos) e a
curva parabólica ajustada (linha).
Ajuste Multivariável
O ajuste por função polinomial visto anteriormente é um caso particular de um ajuste
multivariável, no qual cada um das variáveis x, x2, x3, ..., xm podem ser descritas como variáveis
distintas e independentes entre si: x1, x2, x3, ... , xm. A função dessas múltiplas variáveis pode ser
escrita como:
y a a x a x a xm m= + + + +0 1 1 2 2 � (14)
Substituindo a função (14) na equação para a soma dos desvios quadráticos resulta:
Ajuste de curvas 5 - 8
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
( ) ( )S y y y a a x a x a xi i
i
n
i m m
i
n
= − = − − − − −
= =
∑ ∑2
1
0 1 1 2 2
2
1
�
As equações normais para o cálculo dos coeficientes da função polinomial são obtidas a
partir das condições para a minimização da soma do desvio quadrático:
0
a
S
a
S
a
S
a
S
m210
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
� (15)
Calculando as derivadas:
( )( ) 01xaxaxaay2
a
S n
1i
mm22110i
0
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
1mm22110i
1
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
(16)
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
2mm22110i
2
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
�
( )( ) 0xxaxaxaay2
a
S n
1i
mmm22110i
m
=−−−−−−=
∂
∂ ∑
=
�
Resulta no sistema de equações normais:
na x a x a x a y
i
n
i
n
m
i
n
m i
i
n
0 1
1
1 2
1
2
1 1
+





 +





 + +





 =
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑�
x a x a x x a x x a x y
i
n
i
n
i
n
m
i
n
m i
i
n
1
1
0 1
2
1
1 1 2
1
2 1
1
1
1= = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑


 +





 +





 + +





 =�
(17)
x a x x a x a x x a x y
i
n
i
n
i
n
m
i
n
m i
i
n
2
1
0 2 1
1
1 2
2
1
2 2
1
2
1= = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑


 +





 +





 + +





 =�
�
Ajuste de curvas 5 - 9
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
x a x x a x x a x a x ym
i
n
m
i
n
m
i
n
m
i
n
m m i
i
n
= = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑


 +





 +





 + +





 =
1
0 1
1
1 2
1
2
2
1 1
�
Na forma matricial, o sistema de equações normais para o ajuste polinomial toma a forma:
[A][x] = [b] (18)
que podem ser escritos omitindo os índices dos somatórios na forma:
[ ]A
n x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
m
m
m
m m m m
=






∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
1 2
1 1
2
1 2 1
2 2 1 2
2
2
1 2
2
�
�
�
� � � � �
�
, [ ]x
a
a
a
am
=






0
1
2
�
, [ ]b
y
x y
x y
x ym
=






∑
∑
∑
∑
1
2
�
 (19)
Observar que a matriz de coeficientes [A] é simétrica, isto é, aij = aji. Deste modo, podemos
determinar o sistema de equações normais para qualquer ajuste multivariável como um
subconjunto do sistema acima.
Exemplo:
Considere os seguintes valores de temperatura (T), pressão (p) e volume (v) específico para o ar.
Ajustar uma função multivariável do tipo T = apbvc, na qual a, b e c são constantes a serem
determinados pelo método dos mínimos quadrados.
Temperatura (K) Pressão (bar) Volume específico (dm3/kg)
90 2,397 100,2
100 5,599 44,67
110 11,22 22,15
120 20,14 11,45
130 33,32 5,425
Resolução:
Primeiramente, é necessário linearizar a função de ajuste de modo que as constantes estejam
desacopladas das variáveis T, p e v. Para isso, vamos aplicar o logaritmo sobre a função T =
T(p,v) para obter:
vn.cpn.banTn ���� ++=
Fazendo a seguinte troca de variáveis, y = � n T, x1 = � n p, x2 = � n v, a0 = � n a, a1 = b e a2 = c, a
equação acima pode ser re-escrita como:
22110 xaxaay ++=
Ajuste de curvas 5 - 10
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
As equações normais para esta função de ajuste de duas variáveis (x1 e x2) é um subsistema da
equação (17) com três incógnitas (a0, a1 e a2) e três equações:
∑∑∑
===
=



+



+
n
1i
i2
n
1i
21
n
1i
10 yaxaxna
∑∑∑∑
====
=



+



+


 n
1i
i12
n
1i
211
n
1i
2
10
n
1i
1 yxaxxaxax (20)
∑∑∑∑
====
=



+



+


 n
1i
i22
n
1i
2
21
n
1i
120
n
1i
2 yxaxaxxax
Vamos calcular na tabela seguinte os coeficientes do sistema de equações normais.
y =� n T x1 = � n p x2 = � n v x12 x22 x1x2 x1y x2y
4,49981 0,874218 4,607168 0,764257 21,226 4,027669 3,933814 20,73138
4,60517 1,722588 3,799302 2,967309 14,4347 6,544632 7,932811 17,49643
4,70048 2,417698 3,097837 5,845263 9,596597 7,489635 11,36434 14,56132
4,787492 3,002708 2,43799 9,016255 5,943794 7,320571 14,37544 11,67186
4,867534 3,506158 1,691018 12,29314 2,859542 5,928976 17,06634 8,231088
SOMA = 23,46049 11,52337 15,63332 30,88623 54,06063 31,31148 54,67275 72,69208
Substituindo os valores dos somatórios em (20), obtemos o seguinte sistema de equações:
46049,23a63332,15a52337,11a5 210 =++
67275,54a31148,31a8863332,30a52337,11 210 =++
69208,72a06063,54a31148,31a63332,15 210 =++
cuja solução será: a0 = 4,762418, a1 = 0,063776 e a2 = -0,0695. A partir destas constantes,
podemos obter a solução para o ajuste multivariável fazendo:
0285,117eeaana 762418,4a0 0 ===⇒= �
0695,0ac063776,0ab 21 −====
demodo que
0695,0063776,0 vp0285,117T −=
é a função de ajuste do problema.
Ajuste de curvas 5 - 11
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Linearização de Funções
As funções transcendentes de duas constantes devem ser linearizadas antes de aplicarmos
o Método dos Mínimos Quadrados, a fim de obtermos o sistema de equações normais lineares. O
procedimento varia, dependendo do tipo de função. Ilustraremos o procedimento de linearização
para as funções exponencial, logaritmica, potencial e hiperbólica.
Ajuste Exponencial
Um ajuste exponencial geralmente emprega uma função do tipo:
bxe.ay = (21)
onde a e b são as constantes da função de ajuste exponencial.
Este tipo de função é não-linear, de modo que precisamos linearizá-lo antes de aplicar o
Método dos Mínimos Quadrados. A linearização consiste em transformarmos a equação (21)
numa equivalente à equação (2):
xaay 10aj += (22)
Para tanto, aplicamos o logaritmo em ambos os lados de (21):
bxanyn += �� (23)
Se fizermos:
yny �=′ (24)
ana0 �= (25)
a1 = b (26)
A equação (21) poderá ser re-escrita como:
xaay 10aj +=′ (27)
Observe que esta equação é idêntica à equação (2), exceto pelo fato de que a variável y' é
calculada pelo logaritmo de base natural da variável y original. Aplicando-se as transformações
(25) e (26), obtemos as constantes de ajuste exponencial a e b empregando as equações (7) e (8)
do Método dos Mínimos Quadrados para a função linear.
Ajuste Logaritmico
Um ajuste logarítmico geralmente emprega uma função do tipo:
Ajuste de curvas 5 - 12
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
xn.bay �+= (28)
onde a e b são as constantes da função de ajuste. Linearizando (21), obtemos as seguintes
relações de transformação:
y' = y x' = xn� aa0 = ba1 = (29)
A relação linearizada toma a forma:
xaay 10aj ′+= (30)
Ajuste Potencial
Um ajuste potencial geralmente emprega uma função do tipo:
bx.ay = (31)
onde a e b são as constantes da função de ajuste. Linearizando (22), obtemos as seguintes
relações de transformação:
yny �=′ x' = xn� ana0 �= ba1 = (32)
A relação linearizada toma a forma:
xaay 10aj ′+=′ (33)
Ajuste Hiperbólico
Um ajuste hiperbólico geralmente emprega uma função do tipo:
x
b
ay += (34)
onde a e b são as constantes da função de ajuste. Linearizando (23), obtemos as seguintes
relações de transformação:
yy =′
x
1
'x = aa0 = ba1 = (35)
Como sempre, a relação linearizada tem a forma:
Ajuste de curvas 5 - 13
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
xaay 10aj +=′ (36)
Avaliação da Qualidade do Ajuste
Além das funções de ajuste apresentadas neste texto, existem inúmeras outras funções
com as quais podemos ajustar um conjunto de dados pelo método dos mínimos quadrados. A
questão fundamental é: qual a função que representa o melhor ajuste entre todas as outras
funções. Um método pelo qual podemos avaliar a qualidade de um ajuste é através do coeficiente
de correlação de Pearson. O coeficiente de correlação de Pearson r2 pode ser calculado na forma
mais geral como:
( )
∑ ∑
∑
= =
=




−
−
−=
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
2
aji
2
yyn
yyn
1r (37)
O coeficiente de correlação é limitado aos seguintes valores: 0 12≤ ≤r . Quanto mais
próximo de 1 for o valor de r2, melhor será o ajuste. Quando r2 ≅ 0 para um ajuste a dois
coeficientes, significa que o coeficiente angular é desprezível. Como um critério neste curso,
vamos considerar que um bom ajuste é representado por valores de r2 > 0,99.
Uma outra forma do coeficiente de correlação, válido para ajuste de função do tipo linear
y = a0 + a1x, é expressa como:
( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) yx
mm
n
1i
aji
n
1i
n
1i
2
maj2mi
n
1i
majmi
SS1n
ynxyx
yyxx
yyxx
r
−
−
=
−−
−−
=
∑
∑ ∑
∑
=
= =
= (38)
para a qual 
n
x
x
n
1i
i
m
∑
=
= e 
n
y
y
n
1i
aj
m
∑
=
= são os valores médios de x e yaj, respectivamente.
As expressões:
( )
1n
xx
S
n
1i
2
mi
x
−
−
=
∑
=
 e 
( )
1n
yy
S
n
1i
2
maj
y
−
−
=
∑
=
Ajuste de curvas 5 - 14
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
representam a covariância x e covariância y, respectivamente.
A equação (37) tem a vantagem de poder ser usada na avaliação da qualidade do ajuste de
funções polinomiais e multivariáveis. Já a equação (38) somente pode ser utilizada para avaliar a
qualidade do ajuste de funções lineares ou linearizadas, como visto com as funções exponencial,
logaritmo, potencial e hiperbólica, vistas anteriormente neste texto. Outras funções linearizáveis
também podem empregar a equação (38) para o cálculo do coeficiente de correlação, devendo
observar que os valores de
Exemplo
Ajuste empregando diferentes tipos de funções:
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
y 0,525 0,8448 1,2807 1,8634 2,6326 3,6386 4,944 6,6258 8,7768 11,5076 14,9484
Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes funções: (a) linear y = a0 + a1x, (b) exponencial,
do tipo y = aebx, (c) logaritmico, do tipo y = a + b ln x, (d) potencial, do tipo y = axb e (e)
hiperbólico, do tipo y = a + b/x. Vamos determinar através do coeficiente de correlação de
Pearson qual destas funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes
realizados.
Resolução:
(a) Ajuste linear (regressão linear)
y a a x= +0 1
x y x2 xy
1,0 0,52500 1,000 0,52500
1,2 0,84478 1,440 1,01374
1,4 1,28068 1,960 1,79295
1,6 1,86340 2,560 2,98144
1,8 2,63260 3,240 4,73868
2,0 3,63856 4,000 7,27712
2,2 4,94400 4,840 10,87680
2,4 6,62580 5,760 15,90192
2,6 8,77679 6,760 22,81965
2,8 11,50759 7,840 32,22125
3,0 14,94844 9,000 44,84532
Soma = 22,0 57,58764 48,400 144,99387
( )a
x y x xy
n x x
0
2
2 2 2
48 40 57 58764 22 144 99387
11 48 40 22
8 3187=
−
−
=
−
−
= −
∑ ∑ ∑∑
∑∑
( , )( , ) ( )( , )
( )( , ) ( ) ,
( )a
n xy x y
n x x
1 2 2 2
11 144 99387 22 57 58764
11 48 40 22
6 7770=
−
−
=
−
−
=
∑ ∑ ∑
∑∑
( )( , ) ( )( , )
( )( , ) ( ) ,
Ajuste de curvas 5 - 15
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Cálculo do coeficiente de correlação:
Sendo a função de ajuste x7770,63187,8yaj +−= , o coeficiente de correlação:
( )
∑ ∑
∑
= =
=




−
−
−=
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
2
aji
2
yyn
yyn
1r
requer o cálculo das seguintes quantidades: Σ(y - yaj)2, Σy2 e (Σy)2 que estão apresentadas na
tabela seguinte:
yaj (y - yaj)2 y2
-1,54171 4,27130 0,27563
-0,18632 1,06317 0,71365
1,16907 0,01246 1,64014
2,52446 0,43700 3,47226
3,87985 1,55563 6,93058
5,23524 2,54939 13,23912
6,59063 2,71139 24,44314
7,94602 1,74298 43,90123
9,30141 0,27523 77,03204
10,65680 0,72384 132,42463
12,01219 8,62155 223,45586
Soma = 57,58764 23,96394 527,52827
Substituindo em r2:
894,0
)58764,57(52827,52711
96394,23111r 2
2
=
−×
×
−=
Para verificação, vamos calcular o coeficiente de correlação pelo segundo método:
s
x x
nx
m
=
−
−
= =
∑ ( ) ,40
,66332
2
1
4
10
0
s
y y
ny
m
=
−
−
= =
∑ ( ) ,
,
2
1
226 04314
10
4 75440
r a
s
s
x
y
= = =1 6
0
4
0( ,7770) ,66332
,75440 ,95 
⇒ r2 = 0,89
Ajuste de curvas 5 - 16
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Assim, o ajuste linear x7770,63187,8y +−= não representa um bom ajuste porque o
valor de r2 < 0,99.
(b) Ajuste exponencial
bxaey =
Relações para linearização da função exponencial:
′ = = =y n y a n a a b
� �
0 1
′ = +y a a x0 1
x y' = ln y x2 xy' y’aj (y’ – y’aj)2 y’2
1,0 -0,64436 1,000 -0,64436-0,44921 0,03808 0,41520
1,2 -0,16868 1,440 -0,20241 -0,12073 0,00230 0,02845
1,4 0,24739 1,960 0,34635 0,20775 0,00157 0,06120
1,6 0,62240 2,560 0,99584 0,53623 0,00743 0,38739
1,8 0,96797 3,240 1,74235 0,86472 0,01066 0,93697
2,0 1,29159 4,000 2,58318 1,19320 0,00968 1,66820
2,2 1,59817 4,840 3,51598 1,52168 0,00585 2,55416
2,4 1,89097 5,760 4,53833 1,85016 0,00167 3,57577
2,6 2,17211 6,760 5,64749 2,17865 0,00004 4,71807
2,8 2,44301 7,840 6,84042 2,50713 0,00411 5,96828
3,0 2,70461 9,000 8,11382 2,83561 0,01716 7,31490
Soma = 22,0 13,12519 48,400 33,47699 13,12519 0,09855 27,62859
( ) 0916,2)22()40,48)(11(
)47699,33)(22()12519,13)(4,48(
xxn
yxxyx
a 222
2
0 −=
−
−
=
−
′
−
′
= ∑ ∑
∑ ∑∑∑
( ) 6424,1)22()40,48)(11(
)12519,13)(22()47699,33)(11(
xxn
yxyxn
a 222
1 =
−
−
=
−
′−′
= ∑ ∑
∑∑∑
Assim,
6424,1ab
12349,0eea
1
2867,2a0
==
===
−
de modo que a função de ajuste exponencial tem a forma:
x6424,1e12349,0y ⋅=
Ajuste de curvas 5 - 17
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Na tabela acima, estão calculados os valores de Σ (y - yaj)2 = 0,09855 e Σy2 = 27,62859,
que substituindo na equação (37) do coeficiente de correlação, resulta:
992,0
)12519,13(62859,2711
09855,0111r 2
2
=
−×
×
−=
Este coeficiente de correlação indica que a função de ajuste exponencial representa um
bom ajuste para os dados (x,y).
(c) Ajuste logaritmico
y a b n x= + . �
Relações para linearização da função logaritmica:
′ = = =x n x a a a b� 0 1
y a a x= + ′0 1
x' = ln x y x'2 x'y yaj (y - yaj)2 y2
0,000 0,52500 0,000 0,00000 -2,28673 7,90581 0,27563
0,182 0,84478 0,033 0,15402 -0,13699 0,96387 0,71365
0,336 1,28068 0,113 0,43091 1,68059 0,15993 1,64014
0,470 1,86340 0,221 0,87580 3,25505 1,93669 3,47226
0,588 2,63260 0,345 1,54741 4,64382 4,04501 6,93058
0,693 3,63856 0,480 2,52206 5,88612 5,05152 13,23912
0,788 4,94400 0,622 3,89813 7,00991 4,26800 24,44314
0,875 6,62580 0,766 5,80068 8,03586 1,98827 43,90123
0,956 8,77679 0,913 8,38632 8,97964 0,04115 77,03204
1,030 11,50759 1,060 11,84844 9,85344 2,73622 132,42463
1,099 14,94844 1,207 16,42254 10,66693 18,33135 223,45586
Soma = 7,017 57,58764 5,761 51,88632 57,58764 47,42781 527,52827
( ) 2867,2)017,7()761,5)(11(
)88632,51)(017,7()58764,57)(761,5(
xxn
yxxyx
a 222
2
0 −=
−
−
=
′
−
′
′′−′
= ∑ ∑
∑ ∑∑∑
( ) 7909,11)017,7()761,5)(11(
)58764,57)(017,7()88632,51)(11(
xxn
yxyxn
a 222
1 =
−
−
=
′
−
′
′
−
′
= ∑ ∑
∑∑∑
7909,11ab
2867,2aa
1
0
==
−==
Ajuste de curvas 5 - 18
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
A função de ajuste logaritmo tem a forma:
xn7909,112866,2y �⋅+−=
Coeficiente de correlação: 790,0
)58764,57(52827,52711
42781,47111r 2
2
=
−×
×
−=
(d) Ajuste potencial
y axb=
Relações para linearização da função potencial:
′ = ′ = = =x n x y n y a n a a b� � �0 1
′ = + ′y a a x0 1
x' = ln x y' = ln y x'2 x'y' yaj (y - yaj)2 y2
0,000 -0,64436 0,000 0,00000 -0,75020 0,01120 0,41520
0,182 -0,16868 0,033 -0,03075 -0,19479 0,00068 0,02845
0,336 0,24739 0,113 0,08324 0,27481 0,00075 0,06120
0,470 0,62240 0,221 0,29253 0,68159 0,00350 0,38739
0,588 0,96797 0,345 0,56896 1,04040 0,00525 0,93697
0,693 1,29159 0,480 0,89526 1,36136 0,00487 1,66820
0,788 1,59817 0,622 1,26009 1,65171 0,00287 2,55416
0,875 1,89097 0,766 1,65549 1,91677 0,00067 3,57577
0,956 2,17211 0,913 2,07548 2,16061 0,00013 4,71807
1,030 2,44301 1,060 2,51537 2,38637 0,00321 5,96828
1,099 2,70461 1,207 2,97131 2,59655 0,01168 7,31490
Soma = 7,017 13,12519 5,761 12,28698 13,12519 0,04480 27,62859
( ) 7502,0)017,7()761,5)(11(
)28698,12)(017,7()12519,13)(761,5(
xxn
yxxyx
a 222
2
0 −=
−
−
=
′
−
′
′′′−′′
= ∑ ∑
∑ ∑∑∑
( ) 0463,3)017,7()761,5)(11(
)12519,13)(017,7()28698,12)(11(
xxn
yxyxn
a 222
1 =
−
−
=
′
−
′
′′
−
′′
= ∑ ∑
∑∑∑
0463,3ab
47227,0eea
1
7502,0a0
==
===
−
Ajuste de curvas 5 - 19
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
0463,3x47227,0y ⋅=
996,0
)12519,13(62859,2711
04480,0111r 2
2
=
−×
×
−=
O coeficiente de correlação do ajuste potencial é o maior dentre todos os ajustes
realizados até aqui, indicando ser esta a melhor função de ajuste.
(e) Ajuste hiperbólico
x
b
ay +=
Relações para linearização da função logaritmica:
baaa
x
1
x 10 ===′
y a a x= + ′0 1
x' = 1/x y x'2 x'y yaj (y - yaj)2 y2
1,000 0,52500 1,000 0,52500 -2,72875 10,58687 0,27563
0,833 0,84478 0,694 0,70398 0,29697 0,30010 0,71365
0,714 1,28068 0,510 0,91477 2,45819 1,38653 1,64014
0,625 1,86340 0,391 1,16463 4,07911 4,90936 3,47226
0,556 2,63260 0,309 1,46256 5,33982 7,32904 6,93058
0,500 3,63856 0,250 1,81928 6,34839 7,34319 13,23912
0,455 4,94400 0,207 2,24727 7,17359 4,97105 24,44314
0,417 6,62580 0,174 2,76075 7,86125 1,52633 43,90123
0,385 8,77679 0,148 3,37569 8,44312 0,11134 77,03204
0,357 11,50759 0,128 4,10985 8,94186 6,58297 132,42463
0,333 14,94844 0,111 4,98281 9,37410 31,07322 223,45586
Soma = 6,174 57,58764 3,921 24,06659 57,58764 76,12000 527,52827
( ) 4255,15)174,6()921,3)(11(
)06659,24)(174,6()58764,57)(921,3(
xxn
yxxyx
a 222
2
0 =
−
−
=
′−′
′′
−
′
= ∑ ∑
∑ ∑∑∑
( ) 1543,18)174,6()921,3)(11(
)58764,57)(174,6()06659,24)(11(
xxn
yxyxn
a 222
1 −=
−
−
=
′
−
′
′−′
= ∑ ∑
∑∑∑
Ajuste de curvas 5 - 20
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
1543,18ab
4255,15aa
1
0
−==
==
x
1543,184255,15y −=
663,0
)58764,57(52827,52711
12,76111r 2
2
=
−×
×
−=
(f) Comparação entre os valores fornecidos e os valores ajustados
Pelo cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, os melhores ajustes foram os
obtidos pelas funções exponencial (r2 = 0,992) e potencial (r2 = 0,996). Através do cálculo dos
valores (x,y) usando as expressões obtidas pelas funções de ajuste, podemos comparar
graficamente cada uma das funções de ajuste e verificar que os melhores ajustes calculados pelo
coeficiente de correlação de Pearson correspondem às curvas que melhor representam o
comportamento dos valores (x,y) do problema.
Tabela – Comparação entre os valores de y fornecido e ajustados,
Dados fornecidos Dados ajustados
x y Linear Exponencial Logaritmo Potencial Hiperbólico
1,0 0,52500 -1,54171 0,63813 -2,28673 0,47227 -2,72875
1,2 0,84478 -0,18632 0,88627 -0,13699 0,82301 0,29697
1,4 1,28068 1,16907 1,23091 1,68059 1,31628 2,45819
1,6 1,86340 2,52446 1,70956 3,25505 1,97702 4,07911
1,8 2,63260 3,87985 2,37433 4,64382 2,83034 5,33982
2,0 3,63856 5,23524 3,29761 5,88612 3,90150 6,34839
2,2 4,94400 6,59063 4,57992 7,00991 5,21589 7,17359
2,4 6,62580 7,94602 6,36086 8,03586 6,79900 7,86125
2,6 8,77679 9,30141 8,83434 8,97964 8,67645 8,44312
2,8 11,50759 10,65680 12,26965 9,85344 10,87395 8,94186
3,0 14,94844 12,01219 17,04081 10,66693 13,41731 9,37410
Ajuste de curvas 5 - 21
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
(g) Gráfico dos pontos fornecidos e das curvas ajustadas
Gráfico comparativo dos ajustes
-2
2
6
10
14
18
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
x
y
y
Linear
Exponencial
Logaritmo
Potencial
Hiperbólico
Exercícios
1. Considere a seguinte tabela de dados:
x 1,0 1,4 2,0
y 0,340 2,25 5,89
Ajustar uma função linear do tipo y = a0 + a1x e uma função exponencial do tipo y = aebx aos
dados acima. Determinar qual delas representa o melhor ajuste através do cálculo do
coeficiente de correlação de Pearson. Verificar graficamente os ajustes calculados.
2. Desenvolver as equações normais para a função f(x) = a.x + b.cos x (a e b são os coeficientes
de ajuste), empregando o Método dos Quadrados Mínimos, ajustá-la aos seguintesvalores
numéricos e calcular o coeficiente de correlação:
x 1,0 1,2 2,0
y 1,683 2,046 2,512
Ajuste de curvas 5 - 22
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
3. Considere os seguintes valores numéricos:
x 0 0,5 0,8 1,2 1,8 2,0 3,0
y 3,8 2,8 2,5 1,3 0,4 -0,2 1,0
Traçar o gráfico dos pontos tabelados e ajustar uma função linear a eles. Traçar a reta ajustada
ao gráfico dos pontos tabelados. Verificar gráfica e numericamente pelo coeficiente de
correlação de Pearson que o ajuste é de má qualidade. Corrigir o problema que está
prejudicando o ajuste linear e verificar novamente pelo gráfico e pelo coeficiente de correlação
de Pearson a qualidade do ajuste.
4. Linerizar as seguintes funções:
(a) y a x b
x
= +. 2 (b) y a bx= . ln (c) y a x b x= +.sen .cos
(d) y a ebx= . 2 (e) y ax bx= + 3 (f) y a bx= +
5. A tabela seguinte fornece a população do Brasil (em milhões de habitantes) desde 1872:
ANO 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Pop. 9,9 14,3 17,4 30,6 41,2 51,9 70,9 93,1 130 150
Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000 empregando diferentes tipos
de ajustes de curvas.