Aula 6 Erro de Medicao Continuacao

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
Núcleo de Engenharia Mecânica 
Prof. Dr. Macclarck Nery 
Continuação de Erros de Medição 
AULA 6 – SUMÁRIO 
 Erro de Medição - Continuação 
◦ Lembrando – Distribuição normal; 
◦ Estimativa da Incerteza-padrão; 
◦ Estimativa da Repetitividade; 
◦ Efeitos da média sobre o erro de medição. 
 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 1: Lançamento de um 
dado honesto de seis faces 
 Probabilidade de qualquer valor entre 1 e 6 seja 
obtida: 
 
 
 
 
◦ um fenômeno aleatório e as possibilidades são 
igualmente prováveis 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
possíveiscasosdeNúmero
favoráveiscasosdeNúmero
Ap )(
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 1: Lançamento de um 
dado honesto de seis faces 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
6
1
)(
6
1
)(


Ap
possíveiscasosdeNúmero
favoráveiscasosdeNúmero
Ap
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 1: Lançamento de um 
dado honesto de seis faces 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
1 2 3 4 5 6 
probabilidade 
1/6 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Lançamento de um dado 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 1: Lançamento de um 
dado honesto de seis faces 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Distribuição Uniforme ou Retangular 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Distribuição de probabilidade uniforme ou 
retangular: 
 é aquela na qual cada evento possível de um 
experimento possui a mesma probabilidade de 
ocorrer. 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 2: Lançamento de dois 
dados honesto de seis faces 
 Probabilidade da média dos números obtidos 
nos dois dados sejam iguais a 1 e 3: 
◦ Espaço amostral. 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
6
1
)1( p
6
5
)3( p
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Considere o Exemplo 2: Lançamento de dois 
dados honesto de seis faces 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 2 dados
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/3
6)
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 3 d ado s
Pr
ob
ab
ili
d
ad
e 
(1
/2
16
)
Média de três dados 
0
2 0
4 0
6 0
8 0
10 0
12 0
14 0
16 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 4 d ado s
Pr
o
ba
bi
lid
ad
e 
(1
/1
29
6)
Média de quatro dados 
0
50 0
100 0
150 0
200 0
250 0
300 0
350 0
400 0
450 0
500 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 6 d ado s
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/4
66
56
)
Média de seis dados 
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 8 dados
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
(1/
16
79
61
6)
Média de oito dados 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 Teorema central do limite (“teorema do limite 
central”): 
 esse teorema afirma que quanto mais variáveis 
aleatórias forem combinadas, mais o 
comportamento da combinação resultante se 
aproxima do comportamento de uma distribuição 
normal. 
 
“Teorema do sopão”: Quanto mais ingredientes 
diferentes forem misturados à mesma sopa, 
mais e mais o seu gosto se aproximará do gosto 
único, típico e inconfundível do "sopão". 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 
 “Teorema do sopão”: Quanto mais ingredientes 
diferentes forem misturados à mesma sopa, mais e 
mais o seu gosto se aproximará do gosto único, típico e 
inconfundível do "sopão". 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Erro Aleatório e a Distribuição Normal 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
m 
s s 
pontos de inflexão 
assíntota assíntota 
m  Média 
(“mi”) 
s  Desvio-padrão 
Curva normal 
Erro Aleatório e a Distribuição Normal 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Efeito do desvio-padrão 
s > s > s 
m 
Maior s maior dispersão 
Lembrando – Distribuição Normal ou Gaussiana 
 
 Desvio-padrão: é a medida do grau de dispersão de 
uma distribuição. 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Estimativa da Incerteza-Padrão 
 
Desvio-padrão de uma distribuição normal associado 
ao erro de medição é usado para caracterizar 
quantitativamente a intensidade da componente 
aleatória do erro de medição. 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Estimativa da Incerteza-Padrão 
 
Incerteza-padrão: é uma medida da intensidade da 
componente aleatória do erro de medição. 
Correspondente ao desvio-padrão dos erros de 
medição. 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Estimativa da Incerteza-Padrão 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 n
II
n
i
i
n




 1
2)(
lims
cálculo exato: 
(da população infinita) 
1
)(
1
2





n
II
s
n
i
i
estimativa: 
(da amostra - finita) 
Ii i-ésima indicação 
 média das "n" indicações 
n número de medições repetitivas efetuadas 
I
Estimativa da Incerteza-Padrão 
 
Desvio-padrão da amostra é uma estimativa do 
desvio-padrão da população. 
 
Quando calculada a partir de um conjunto de 
medições repetidas, a incerteza-padrão corresponde 
ao desvio-padrão da amostra. 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Estimativa da Incerteza-Padrão 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
1
)(
1
2





n
II
s
n
i
i
1 n
Graus de liberdade 
Reflete o grau de segurança com que a 
estimativa do desvio-padrão é conhecida. 
Estimativa da Repetitividade 
Área sob a curva normal 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
2s 2s 
95,45% 
m 
Estimativa da Repetitividade 
Repetitividade: (para 95,45 % de probabilidade) 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
Para amostras infinitas: 
Re = 2 . s 
Para amostras finitas: 
Re = t . u 
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1 
graus de liberdade. 
A repetitividade define a faixa dentro da qual, para 
uma dada probabilidade, o erro aleatório é esperado. 
Estimativa da Repetitividade 
Repetitividade 
Coeficientes “t” de Student 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
 t  t  t  t
1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.032
2 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.028
3 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.025
4 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.017
5 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.013
6 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.003
7 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.000
8 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.000
9 2.320 18 2.149 70 2.036  2.000
Estimativa da Repetitividade 
Exemplo da balança 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
1014 
g 
0 g 1014 g 
1 
(1000,00 ± 0,01) g 
1014 g 
1012 g 
1015 g 
1018 g 
1014 g 
1015 g 
1016 g 
1013 g 
1016 g 
1015 g 
1015 g 
1017 g 
112
)1015(
u
12
1
2




i
iI
média: 1015 g 
u = 1,65 g 
 = 12 - 1 = 11 
t = 2,255 
Re = 2,255 . 1,65 
Re = 3,72 g 
Estimativa da Repetitividade 
Exemplo da balança 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
1015 1020 1010 
+3,72 -3,72 1015 
Estimativa da Repetitividade 
Efeitos da média de medições repetidas sobre o 
erro de medição 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
 Efeito sobre os erros sistemáticos:◦ Como o erro sistemático já é o erro médio, 
nenhum efeito é observado. 
 
Estimativa da Repetitividade 
Efeitos da média de medições repetidas sobre o 
erro de medição 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
 Efeitos sobre os erros aleatórios 
o A média reduz a intensidade dos erros 
aleatórios, a repetitividade e a incerteza padrão na 
seguinte proporção: 
 
Sendo: n o número de medições utilizadas para calcular a 
média 
n
Re
Re I
I

n
u
u I
I

Estimativa da Repetitividade 
Exemplo da balança 
A repetitividade da balança foi calculada: 
 
 
 
Se várias séries de 12 medições fossem efetuadas, as 
médias obtidas devem apresentar repetitividade da ordem 
de: 
 
 
 
AULA 6 – Erro de Medição 
 
ReI = 3,72 g 
g
I
07,1
12
72,3
Re
12

Aula 6 – Foi visto: 
 Erro de Medição - Continuação 
◦ Lembrando – Distribuição normal; 
◦ Estimativa da Incerteza-padrão; 
◦ Estimativa da Repetitividade; 
◦ Efeitos da média sobre o erro de medição. 
 
Aula 7 – Próxima Aula: 
 Erro de Medição 
◦ Curva de erros e erros máximo; 
◦ Representação gráfica dos erros de medição; 
◦ Erro ou incerteza? 
◦ Fontes de erro; 
◦ Superposição de erros; 
◦ Exercícios. 
 
 
 
 
FIM