algebra basica

Prévia do material em texto

Anotac¸o˜es sobre Ane´is .
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Ane´is . 3
1.1 Relac¸o˜es, aplicac¸o˜es e operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Relac¸o˜es de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Subanel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 x2 = x para todo x implica que o anel e´ comutativo . . . . . . . . 10
1.3.2 Domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Corpo de frac¸o˜es de um domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Anel ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Domı´nio bem ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Princ´ıpio da induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Propriedade arquimediana em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Divisa˜o Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Polinoˆmios com coeficientes num anel comutativo com unidade. . . . . . . 25
1.8 Homomorfismo de ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Cap´ıtulo 1
Ane´is .
1.1 Relac¸o˜es, aplicac¸o˜es e operac¸o˜es
m Definic¸a˜o 1 (Operac¸a˜o). Uma operac¸a˜o de A em A e´ toda aplicac¸a˜o de A × A em
A.
m Definic¸a˜o 2 (Lei de composic¸a˜o externa). Dados dois conjunto A e B, uma lei de
composic¸a˜o externa sobre B toda aplicac¸a˜o f : A×B → B. O conjunto A e´ chamado de
conjunto dos operadores ou escalares.
m Definic¸a˜o 3 (Operac¸a˜o no sentido amplo). E´ toda aplicac¸a˜o f : A × B → C, onde
A,B e C sa˜o conjuntos dados.
1.1.1 Relac¸o˜es de equivaleˆncia
Uma relac¸a˜o ∼ num conjunto G e´ dita de equivaleˆncia quando sa˜o satisfeitas as se-
guintes propriedades
ˆ Reflexividade
a ∼ a.
ˆ Simetria
Se a ∼ b implicar b ∼ a.
3
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 4
ˆ Transitividade
Se a ∼ b e b ∼ c implicar a ∼ c.
Para quaisquer a, b e c ∈ G.
Classes de equivaleˆncia
m Definic¸a˜o 4 (Classes de equivaleˆncia). Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em G.
Para cada a ∈ G, a classe de equivaleˆncia a de G e´
a = {x ∈ G | x ∼ a}
A classe de equivaleˆncia de a e´ o conjunto de todos elementos de G que se relacionam
com a.
$ Corola´rio 1. x 6= ∅ pois x ∈ x.
b Propriedade 1.
Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A vale a seguinte propriedade
a ∩ b 6= ∅ enta˜o a ∼ b.
ê Demonstrac¸a˜o.
Se a ∩ b 6= ∅, existe c tal que c ∈ a e c ∈ b. Logo c ∼ a e c ∼ b pela definic¸a˜o de classe,
usando a simetria em c ∼ a temos, a ∼ c e c ∼ b usando transitividade temos a ∼ b.
b Propriedade 2.
a ∼ b⇐⇒ a = b
Temos que mostrar que
a = b =⇒ a ∼ b e a ∼ b =⇒ a = b
vamos mostrar primeiro que
a = b =⇒ a ∼ b.
Se a = b temos a ∩ b 6= ∅, pore´m pela propriedade anterior isso implica que a ∼ b.
Agora supondo a ∼ b vamos mostrar a = b.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 5
Agora vamos mostrar que a ∼ b implica a = b. Seja x um elemento qualquer de a
temos x ∼ a mas como temos a ∼ b por transitividade segue x ∼ b logo esse elemento
qualquer x de a tambe´m pertence a` b, a ⊂ b . De forma ana´loga seja y um elemento
qualquer de b tem-se y ∼ b mas a ∼ b implica b ∼ a e por transitividade y ∼ a logo y e´
elemento de a, b ∼ a, logo pelas duas incluso˜es b ∼ a e a ⊂ b segue a = b.
$ Corola´rio 2. Existem enta˜o duas possibilidades para a e b ou a = b ou a ∩ b = ∅.
b Propriedade 3 (Propriedade de cobertura).
A =
⋃
a∈A
a.
ê Demonstrac¸a˜o.
⋃
a∈A
a ⊂ A pois a e´ um conjunto formado de elementos de A.
A ⊂
⋃
a∈A
a pois dado a ∈ A a ∈ a, isto e´, a pertence a sua classe a.
m Definic¸a˜o 5 (Representante e conjunto dos representantes). Sejam A um conjunto
e ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Dizemos que b ∈ A e´ um representante de uma
classe de equivaleˆncia a sse b ∼ a. Definimos o conjunto A∼ como o conjunto que possui
um (e somente um) representante de cada classe de A pela relac¸a˜o ∼, assim |A∼| e´ o
nu´mero de classes distintas de A pela relac¸a˜o ∼ .
$ Corola´rio 3. ⋃
a∈A∼
a e´ uma partic¸a˜o de A, A =
⋃
a∈A∼
a,
⋂
a∈A∼
a = ∅, pois temos que a
unia˜o cobre o conjunto A e as classes sa˜o disjuntas.
Z Exemplo 1. Seja Z o conjunto dos inteiros e ∼ a congrueˆncia mod 3, escolhemos
os representantes 0, 1 e 2, temos o conjunto dos representantes A∼ = {0, 1, 2} e
A =
⋃
a∈A∼
a = 0 ∪ 1 ∪ 2.
F Teorema 1. Dada uma partic¸a˜o de A =
⋃
k∈B
Ak, enta˜o existe uma u´nica relac¸a˜o de
equivaleˆncia ∼ em A tal que as classes de equivaleˆncia distintas de ∼ sa˜o os subconjuntos
Ak 6= ∅.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 6
ê Demonstrac¸a˜o. Como temos uma partic¸a˜o do conjunto A, existe para cada
a ∈ A um ı´ndice t ∈ B tal que a ∈ At e tal conjunto e´ u´nico pois cada a unia˜o e´ disjunta.
Definimos a ∼ b sse existe t tal que a e b ∈ At. A relac¸a˜o definida assim e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia pois a ∼ a, pois a e a pertencem ao mesmo conjunto.
Se a ∼ b enta˜o a e b pertencem ao mesmo conjunto logo b ∼ a. Se a ∼ b e b ∼ c enta˜o
a pertence ao mesmo conjunto de b que por sua vez pertence ao mesmo conjunto de c,
logo a pertence ao mesmo conjunto de c. Temos enta˜o uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
m Definic¸a˜o 6 (Conjunto quociente). Seja A um conjunto na˜o vazio e ∼ uma relac¸a˜o
de equivaleˆncia em A. O conjunto quociente A/ ∼ e´ definido por
A/ ∼= {a | a ∈ A}
e´ o conjunto que conte´m as classes de A por ∼.
1.2 Ane´is
m Definic¸a˜o 7 (Anel). Um anel e´ uma estrutura (G,+,×) formada por um conjunto G
munido de duas operac¸o˜es, uma adic¸a˜o + e um produto × que satisfazem as propriedades
seguintes
A1
Associatividade
Para todos elementos a ,b e c ∈ G temos
(a + b) + c = a + (b + c)
A2
Existeˆncia de elemento neutro
Existeˆncia de elemento neutro , existe um elemento neutro que simbolizaremos por 0,
tal que
a + 0 = a
A3
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 7
Existeˆncia do sime´trico
Para todo elemento a em G existir a′, que sera´ simbolizado por −a, tal que
a + (−a) = 0
A4
Comutativa
Para todo a e b ∈ G temos
a + b = b + a
Isso significa que (G,+) e´ um grupo abeliano.
Tem-se tambe´m uma operac¸a˜o × que simbolizaremos por . (um ponto), satisfazendo
M1
Associatividade
(a.b).c = a.(b.c)
e as duas operac¸o˜es se relacionarem da seguinte maneira
AM
Distributividade a` esquerda
(a + b).c = a.c + b.c
Distributividade a` direita
c.(a + b) = c.a + c.b
Se temos essas propriedades verificadas, o conjunto G munido operac¸o˜es × e +, sim-
bolizado por (G,+, .), sera´ chamado de Anel.
Diremos que se forem satisfeitas a distributividade a` esquerda e a direita enta˜o a pro-
priedade sera´ chamada de totalmente distributiva. Enta˜o um anel possui as propriedades
ˆ Abeliano com a adic¸a˜o.
ˆ Produto associativo e totalmente distributivo.
m Definic¸a˜o 8 (Anel com unidade). Se o Anel tiver um elemento simbolizado por e tal
que
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 8
a.e = a = a.e
para todo e qualquer a ∈ G, temos uma anel com unidade.
m Definic¸a˜o 9 (Anel comutativo). Se o para todos elementos a e b ∈ G tivermos
a.b = b.a
Temos um anel comutativo.
Z Exemplo 2. O conjunto N dos nu´meros naturais na˜o e´ um anel, pois na˜o existe
sime´trico para cada elemento x ∈ N.
Os conjuntos Z,Q,R,C sa˜o ane´is comutativos com unidade.
O conjunto das matrizes n por n com entradas reais Mn×n(R) e´ um anel .
1.2.1 Subanel
m Definic¸a˜o 10 (Subanel). Um conjunto B ⊂ A e´ um subanel de A, quando satisfazas propriedades
ˆ Fechado pra adic¸a˜o
ˆ Fechado pelo produto
ˆ 0 ∈ B
ˆ Para todo elemento a ∈ A enta˜o −a ∈ A.
b Propriedade 4. Seja A um anel com unidade . A′ ⊂ A e´ subanel de A ⇔ dados
a, b ∈ A′ tem-se
ˆ 1 ∈ A′
ˆ a− bi ∈ A′
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 9
ˆ a.b ∈ A′.
⇒). Se A′ e´ subanel de A enta˜o as propriedades dadas sa˜o verificadas .
⇐ .) Se em A′ ⊂ A sa˜o verificadas tais propriedades enta˜o
ˆ Elemento neutro . 0 ∈ A′ pois 1− 1 = 0 ∈ A′.
ˆ Inverso aditivo . 0− a = −a ∈ A′.
ˆ Fechado para adic¸a˜o. a, b ∈ A′ ⇒ −b ∈ A′ ⇒ a + b = a − (−b) ∈ A′. Como o
conjunto tambe´m e´ fechado para o produto enta˜o segue que A′ e´ subanel de A.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.3 Propriedades ba´sicas
b Propriedade 5 (Lei do corte da adic¸a˜o). Se a + b = a + c enta˜o b = c.
ê Demonstrac¸a˜o.
b = (−a + a) + b = −a + (a + b) = −a + (a + c) = (−a + a) + c = c
da´ı b = c.
b Propriedade 6. Para qualquer a em um anel, vale que a.0 = 0.
ê Demonstrac¸a˜o.
a.(0) = a(0 + 0) = a(0) + a(0),
por lei do corte segue a.0 = 0.
b Propriedade 7 (Unicidade). Em um anel sa˜o u´nicos
ˆ O elemento neutro aditivo.
ˆ O elemento neutro multiplicativo, se o anel possui unidade.
ˆ O inverso aditivo.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 10
ˆ Se x + z = 0 e x + y = 0 enta˜o y = z, segue da lei do corte pois x + z = 0 = x + y.
ˆ
ˆ
b Propriedade 8. −(a.b) = (−a).b = a.(−b).
ê Demonstrac¸a˜o. −(a.b) e´ inverso aditivo de a.b, sendo u´nico. Vale
a.b + (−a).b = (a− a).b = 0
a.b + a.(−b) = a(b− b) = 0
enta˜o (−a).b e a.(−b) sa˜o inversos aditivos de a.b, sendo portando iguais a` −(a.b) pela
unicidade.
b Propriedade 9. Vale que x2 = (−x)2 para qualquer elemento x em um anel .
ê Demonstrac¸a˜o. Mostrar que x2 = (−x)2 equivale a mostrar que (−x)2− x2 = 0,
pore´m −x2 = −(x.x) = (−x).x e da´ı
(−x)2 − x2 = (−x)(−x) + (−x)(x) = (−x)(−x + x) = (−x)(0) = 0.
Por isso (−x)2 − x2 = 0 e portanto x2 = (−x)2.
ê Demonstrac¸a˜o. Provamos os dois primeiros items de uma vez, tomando uma
operac¸a˜o ∗ com elemento neutro e e e′, tem-se e ∗ e′ = e = e′, logo elemento neutro e´
u´nico.
Supondo que existam dois inversos aditivos b e c para um elemento a, tem-se
a + b = 0 = a + c
por lei do corte segue que b = c logo o inverso e´ u´nico.
m Definic¸a˜o 11 (Subtrac¸a˜o). Definimos a operac¸a˜o − : A×A→ A por a−b := a+(−b).
1.3.1 x2 = x para todo x implica que o anel e´ comutativo
b Propriedade 10. Se em um anel vale x2 = x para todo elemento x do anel, enta˜o o
anel e´ comutativo.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 11
ê Demonstrac¸a˜o. Vale (x + y)2 = x + y = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y
logo xy = −yx , como z2 = (−z)2 em ane´is, enta˜o
(−yx)2 = −yx = (yx)2 = yx,
portanto xy = −yx e usando −yx = yx segue que xy = yx e o anel e´ comutativo.
m Definic¸a˜o 12 (Divisor de zero). Um elemento a 6= 0 um anel A e´ dito divisor de
zero se existe b 6= 0 em A tal que
a.b = 0.
Z Exemplo 3. O anel das func¸o˜es cont´ınuas em [0, 1] possui divisores de zero.
Considere as func¸o˜es f : [0, 1]→ R dada por f(x) = 0 se x ≤ 1
2
e f(x) = 2(x− 1
2
) se
x >
1
2
e g : [0, 1]→ R dada por g(x) = −2(x− 1
2
) se x ≤ 1
2
e g(x) = 0 se x >
1
2
. Nenhuma
delas e´ identicamente nula , se x ≤ 1
2
temos g(x). f(x)︸︷︷︸
=0
= 0 e se x >
1
2
, f(x). g(x)︸︷︷︸
=0
= 0,
sendo que ambas sa˜o cont´ınuas em [0, 1]
m Definic¸a˜o 13 (Elemento nilpotente). Um elemento x de um anel e´ dito nilpotente
se existe algum natural n tal que
xn = 0.
Z Exemplo 4. 0 e´ sempre nilpotente.
O anel na˜o comutativo das matrizes 2× 2 possui infinitos elementos nilpotentes
A =
 a b
−a
2
b
−a

a matriz A com b 6= 0 e a real sempre satisfaz A2 = 0.
b Propriedade 11. Se x e y sa˜o elementos nilpotentes e satisfazem x.y = y.x enta˜o
x + y e´ um elemento nilpotente de A .
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que xn = 0 = ym pela comutatividade do produto vale
(x+y)n+m =
n+m∑
k=0
(
n + m
k
)
xkyn+m−k =
n∑
k=0
(
n + m
k
)
xk ym︸︷︷︸
=0
yn−k+
m+n∑
k=n+1
(
n + m
k
)
xk︸︷︷︸
=0
ymyn−k = 0
enta˜o x + y e´ nilpotente.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 12
b Propriedade 12. Se um anel A possui unidade e x e´ nilpotente enta˜o 1 − x possui
inverso em A.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja n+ 1 o nu´mero tal que xn+1 = 0 enta˜o o inverso de 1− x e´
dado por
n∑
k=0
xk pois
(
n∑
k=0
xk)(1− x) = −(
n∑
k=0
∆xk) = −(xk
∣∣∣∣n+1
0
) = −(xn+1 − 1) = 1.
1.3.2 Domı´nio
m Definic¸a˜o 14 (Domı´nio-Domı´nio de integridade). Um anel comutativo com unidade
A e´ chamado domı´nio ou domı´nio de integridade quando acontece
a.b = 0⇒ a = 0 ou b = 0
que por contrapositiva e´ equivalente a`
a 6= 0 e b 6= 0⇒ a.b 6= 0.
m Definic¸a˜o 15 (Domı´nio fatorial -Domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica). Um domı´nio de in-
tegridade (D,+, ) e´ chamado de domı´nio fatorial ou domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica (DFU)
se todo elemento na˜o nulo e na˜o invert´ıvel de D se escrever de modo u´nico, a na˜o ser
pela ordem e pela existeˆncia de elementos associados, como produto finito de elementos
irredut´ıveis.
Z Exemplo 5. O anel Z[√−5] e´ noetheriano , pois e´ isomorfo a um quociente de Z[x]]
pore´m na˜o tem fatorizac¸a˜o u´nica, pois por exemplo 6 = 2 · 3 = (1 +√−5)(1−√−5).
b Propriedade 13 (Lei do corte para o produto). Seja A um domı´nio. Se a.b = a.c
com a 6= 0 enta˜o b = c.
ê Demonstrac¸a˜o. De a.b = a.c tem-se a.b− ab = a.c− ab logo 0 = a(c− b) como
A e´ domı´nio enta˜o c− b = 0 da´ı c = b.
Um domı´nio na˜o e´ um grupo em relac¸a˜o a operac¸a˜o×, pore´m com a relac¸a˜o distributiva
do produto com a soma e a propriedade de domı´nio conseguimos provar a lei do corte para
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 13
o produto. Precisamos enta˜o nessa demonstrac¸a˜o de grupo (A,+) (na˜o necessariamente
comutativo), da distributividade a` esquerda e da propriedade de domı´nio.
b Propriedade 14. a.0 = 0 = 0.a.
ê Demonstrac¸a˜o. a(0 + 0) = a.0 + a.0 = a.0 + 0, pela lei do corte da adic¸a˜o segue
que a.0 = 0.
$ Corola´rio 4. Em um domı´nio vale a2 = 0 sse a = 0. ⇒. a2 = 0 implica a = 0, e´
equivalente a` a 6= 0 implica a2 6= 0, usamos a definic¸a˜o de domı´nio a 6= 0 e b 6= 0⇒ a.b 6=
0., tomando a = b e da´ı a2 6= 0. ⇒. Temos 0.0 = 0 por propriedade ba´sica de ane´is.
$ Corola´rio 5. Se a.b = 0 e b 6= 0 enta˜o a = 0. Pois se pela definic¸a˜o tem-se a = 0 ou
b = 0, como na˜o vale b = 0 enta˜o a = 0.
$ Corola´rio 6. a2 = a sse a = 0 ou a = 1 pois a(a− 1) = 0 da´ı segue por propriedade
de domı´nio que a = 0 ou a− 1 = 0 implicando a = 1.
b Propriedade 15. Seja A um anel e um elemento a ∈ A fixo, definimos
a.A = {a.x | x ∈ A}.
Tal conjunto munido com as operac¸o˜es de A e´ um subanel de A.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ A soma e´ fechada, pois dado ax, ay ∈ A vale ax + ay = a(x + y) ∈ aA pela
distributividade.
ˆ O produto e´ fechado, pois ax(ay) = a(xay) ∈ aA.
ˆ 0 esta´ no conjunto pois a.0 = 0.
ˆ Dado ax enta˜o a(−x) ∈ A cuja soma da´ ax + a(−x) = a(x− x) = a.0 = 0.
b Propriedade 16 (Produto cartesiano de ane´is). Sejam (Ak)n1 ane´is enta˜o o produto
cartesiano
n∏
k=1
Ak e´ um anel com as operac¸o˜es
(ak)
n
1 + (bk)
n
1 := (ak +k bk)
n
1
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 14
(ak)
n
1 ∗ (bk)n1 := (ak ∗k bk)n1
onde +k e ∗k sa˜o adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o do k-e´simo anel.
ê Demonstrac¸a˜o. No texto de grupos mostramos que com a definic¸a˜o de adic¸a˜o
temos um grupo abeliano, seguindo o mesmo esquema mostramos que o produto e´ asso-
ciativo, falta mostrar enta˜o a distributividade a` esquerda e a` direita.
(ak)
n
1 ∗ [(bk)n1 + (ck)n1 ] = (ak)n1 ∗ [(bk +k ck)n1 ] = (ak ∗k [bk +k ck])n1 = (ak ∗k bk +k ak ∗k ck)n1
(ak)
n
1 ∗ (bk)n1 + (ak)n1 ∗ (ck)n1 = (ak ∗k bk)n1 + (ak ∗k ck)n1 = (ak ∗k bk +k ak ∗k ck)n1
sa˜o iguais!
$ Corola´rio 7. Se cada Ak possui unidade enta˜o n∏k=1
Ak possui unidade, pelo caso que
ja´ provamos para grupos.
$ Corola´rio 8. n∏
k=1
Ak possui divisores de zero. Tomamos (ak)
n
1 com ak = 0 se k par e
ak 6= 0 com k ı´mpar. (bk)n1 com bk = 0 se k ı´mpar e bk 6= 0 se k par. Ambos elementos
sa˜o na˜o nulos pois na˜o possuem todos elementos iguais a zero , pore´m tem-se
(ak)
n
1 ∗ (bk)n1 = (ak ∗k bk)n1 = (0)n1
pois se k e´ par temos 0 ∗k bk = 0 se k ı´mpar tem-se ak ∗k 0 = 0 enta˜o tal anel possui
divisores de zero.
m Definic¸a˜o 16 (Elemento invert´ıvel). Um elemento a ∈ A de um anel com unidade e´
dito invert´ıvel ⇔ existe a′ tal que a.a′ = 1 = a′.a. a′ e´ dito inverso de a.
$ Corola´rio 9. 1 e´ invert´ıvel e seu inverso e´ 1, pois 1.1 = 1.
mDefinic¸a˜o 17. Sendo A um anel com unidade, definimos A∗ = {a ∈ A | a e´ invert´ıvel}.
Z Exemplo 6. Se A = M2×2(Z). Enta˜o A∗ e´ o conjunto das matrizes do tipo
 a b
c d

onde ad− bc = 1 ou ad− bc = −1 pois a b
c d
 d −b
−c a
 1
ad− cb =
 1 0
0 1
 .
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 15
Z Exemplo 7. Se A = Z ×Z, enta˜o A∗ = {(1,−1), (1, 1), (−1,−1), (−1,−1)} pois se
(a, b)(c, d) = (1, 1)
enta˜o a.c = 1 e b.d = 1, logo a e b devem ser invert´ıveis. Cada elemento listado e´ invert´ıvel
pois
(1,−1)(1,−1) = (1, 1)
(1, 1)(1, 1) = (1, 1)
(−1, 1)(−1, 1) = (1, 1)
(−1,−1)(−1,−1) = (1, 1).
Z Exemplo 8. Seja A = Z[i] = {a+ bi ∈ C | a, b ∈ Z}, enta˜o A∗ = {1,−1, i,−i} pois
(a + bi)
(a− bi)
a2 + b2
= 1
temos que ter
a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
∈ Z. Vale a2 + b2 ≥ 0, para que seja a2 + b2 = 1, temos
que ter a = ±1, b = 0 ou b = ±1, a = 0 que fornecem os nu´meros 1,−1, i,−i. No caso de
a, b 6= 0 vale a2 + b2 > 1. Com a > 0, a2 + b2|a enta˜o a2 + b2 ≤ a, pore´m a2 + b2 > a que
e´ absurdo, no caso a < 0, a2 + b2|(−a), mas a2 + b2 > −a que e´ absurdo tambe´m, enta˜o
as u´nicas possibilidades sa˜o as ja´ listadas.
Z Exemplo 9. Se A = Q enta˜o A∗ = Q \ {0}, pois o u´nico elemento na˜o invert´ıvel
em Q e´ 0.
b Propriedade 17. Se o inverso existe ele e´ u´nico.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha existeˆncia de dois inversos c e b para a, enta˜o
c = c(a.b) = (c.a).b = b
da´ı c = b.
m Definic¸a˜o 18 (Corpo). Um corpo e´ um anel comutativo com unidade onde todo
elemento na˜o nulo e´ invert´ıvel.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 16
1.4 Corpo de frac¸o˜es de um domı´nio
F Teorema 2. Para cada domı´nio D e´ poss´ıvel construir um corpo K, chamado corpo
de frac¸o˜es de D tal que
ˆ D ⊂ K.
ˆ As operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de K sa˜o as de D.
ˆ K e´ o menor corpo contendo D.
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos S = D × (D \ {0}). Para (a, b), (c, d) ∈ S definimos
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a.d = b.c. Para lembrar a definic¸a˜o dessa relac¸a˜o podemos chamar em
(a, b) ∼ (c, d) os elementos a, d de extremos e b, c de meios , enta˜o a relac¸a˜o diz que o
produto dos meios e´ igual ao produto dos extremos, na ordem em que aparecem.
b Propriedade 18. A relac¸a˜o ∼ em S e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ Vale a reflexividade (a, b) ∼ (a, b) pois a.b = b.a. Propriedade que vale pois domı´nios
sa˜o comutativos.
ˆ Simetria. Se (a, b) ∼ (c, d) enta˜o (c, d) ∼ (a, b). Pois da primeira tem-se a.d = b.c
que implica por comutatividade que c.b = d.a logo vale (c, d) ∼ (a, b).
ˆ Transitividade. Se (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f) enta˜o (a, b) ∼ (e, f). Da primeira
relac¸a˜o temos a.d = b.c e da segunda c.f = d.e multiplicando a primeira por f a`
direita temos a.d.f = b.(c.f) como c.f = d.e substitu´ımos na anterior, de onde segue
a.d.f = b.d.e como d 6= 0 podemos aplicar a lei do corte cancelando d, que implica
a.f = b.e da´ı tem-se (a, b) ∼ (e, f).
Tomando o conjunto quociente pela relac¸a˜o de equivaleˆncia K = S/ ∼
K = {(a, b) | (a, b) ∈ S}.
Denotamos
a
b
:= (a, b), da´ı
a
b
=
c
d
⇔ (a, b) ∼ (c, d)⇔ ad = bc.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 17
m Definic¸a˜o 19 (Frac¸a˜o). Chamamos o elemento a
b
∈ K de frac¸a˜o, a e b de numerador
e denominador (Respectivamente) da frac¸a˜o
a
b
.
Iremos agora munir K de uma estrutura de corpo, definido as operac¸o˜es
m Definic¸a˜o 20 (Adic¸a˜o).
a
b
+
c
d
:=
ad + bc
bd
m Definic¸a˜o 21 (Multiplicac¸a˜o).
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
onde no numerador e denominador as operac¸o˜es + e × sa˜o as do domı´nio D.
b Propriedade 19. (K,+, .) e´ um corpo.
ê Demonstrac¸a˜o. Propriedades da adic¸a˜o.
ˆ A adic¸a˜o e´ comutativa pois
a
b
+
c
d
=
a.d + c.b
b.d
=
c.b + a.d
d.b
=
c
d
+
a
b
ˆ Existe elemento neutro 0 =
0
1
da adic¸a˜o
0
1
+
a
b
=
0.b + 1.a
1.b
=
a
b
.
Vale
a
b
=
0
1
sse a.1 = b.0, a = 0.
ˆ Existe inverso aditivo para todo elemento
a
b
, sendo
−a
b
, pois
−a
b
+
a
b
=
−a.b + b.a
b2
=
0
b2
= 0.
ˆ Vale a associatividade
(
a1
b1
+
a2
b2
) +
a3
b3
=
a1b2 + a2b1
b1b2
+
a3
b3
=
a1b2b3 + a2b1b3 + b1b2a3
b1b2b3
a1
b1
+ (
a2
b2
+
a3
b3
) =
a1
b1
+
a2b3 + a3b2
b2b3
=
a1b2b3 + b1a2b3 + b1b2a3
b1b2b3
que sa˜o iguais logo a adic¸a˜o e´ associativa.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 18
ˆ O produto e´ comutativo pois
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
=
c.a
d.b
=
c
d
.
a
b
ˆ O elemento neutro do produto e´
1
1
:= 1 pois
1
1
a
b
=
1.a
1.b
=
a
b
.
ˆ Se a 6= 0 enta˜o existe inverso de a
b
que e´
b
a
tal elemento e´ inverso multiplicativo
pois
a
b
.
b
a
=
a.b
b.a
= 1
e
a.b
b.a
=
1
1
pois a.b.1 = b.a.1.
ˆ Associatividade da multiplicac¸a˜o
(
a
b
.
c
d
).
e
f
=
ac
bd
.
e
f
=
ace
bdf
a
b
.(
c
d
.
e
f
) =
a
b
.
ce
df
=
ace
bdf
Antes de mostrar a distributividade vamos mostrar que
bc
bd
=
c
d
, isto e´, podemos
anular elementos iguais que aparecem no numerador e no denominador. Tal identidade
vale pois
b.c.d = b.d.c.
Agora a propriedade que liga a multiplicac¸a˜o com a adic¸a˜o, a distributividade.
a
b
(
c
d
+
e
f
) =
a
b
c.f + e.d
df
=
acf + aed
bdf
a
b
c
d
+
a
b
e
f
=
a.c
b.d
+
a.e
b.f
=
a.c.b.f + .d.b.e.a
b.f.d
=
a.c.f + .d.e.a
b.f.b.d
b Propriedade 20. D pode ser visto como subanel de K.
ê Demonstrac¸a˜o. Associamos
a
1
com a ∈ D, sabemos que a
1
=
b
1
sse b.1 = a.1,
logo b = a.
ˆ
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 19
ˆ A soma e´ fechada, pois
a
1
+
b
1
=
a.1 + b.1
1.1
=
a + b
1
= a + b.
ˆ Existe inverso aditivo
−a
1
tal que
a
1
+
−a
1
=
a.1 + (1)(−a
1.1
=
0
1
= 0.
ˆ A multiplicac¸a˜o e´ fechada, pois
a.b =
a
1
.
b
1
=
a.b
1.1
= a.b
b Propriedade 21. Se K e´ um corpo e D e´ um subanel de K enta˜o Q(D) e´ subcorpo
de K. (Q(D) e´ o menor corpo gerado por D.)
ê Demonstrac¸a˜o.
1.5 Anel ordenado
m Definic¸a˜o 22 (Anel ordenado). Seja A um anel comutativo com unidade. A e´ dito
um anel ordenado quando existe uma relac¸a˜o bina´ria entre seus elementos denotada por
≥, que satisfaz as seguintes propriedades
ˆ (Reflexiva) a ≥ a.
ˆ (Antisime´trica) Se b ≥ a e a ≥ b enta˜o a = b.
ˆ (Transitiva) Se c ≥ b e b ≥ a enta˜o c ≥ a.
ˆ (Total) Vale b ≥ a ou a ≥ b.
ˆ Monotonicidade da adic¸a˜o. Se b ≥ a enta˜o b + c ≥ a + c.
ˆ Monotonicidade da multiplicac¸a˜o . Se b ≥ a e c ≥ 0 enta˜o c.b ≥ c.a .
Denotamos b ≤ a para a ≥ b. a < b para a ≤ b e a 6= b.
Vale apenas uma das propriedades a > b , a < b ou a = b.
m Definic¸a˜o 23 (Elemento positivo). Um elemento a e´ dito positivo se a > 0.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 20
m Definic¸a˜o 24 (Elemento negativo). Um elemento a e´ dito negativo se a < 0.
b Propriedade 22. Se 0 ≥ a enta˜o −a ≥ 0.
ê Demonstrac¸a˜o. De 0 ≥ a , somamos −a de ambos lados deonde segue −a ≥ 0.
b Propriedade 23. Se a ≥ 0 enta˜o 0 ≥ −a.
ê Demonstrac¸a˜o.
Novamente somamos −a de ambos lados.
b Propriedade 24. a2 ≥ 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Dividimos a demonstrac¸a˜o em dois casos, o primeiro se a ≥ 0.
Tem-se pela monotonicidade da multiplicac¸a˜o
a ≥ 0 =⇒ a.a ≥ 0.a =⇒ a2 ≥ 0.
Agora se temos 0 ≥ a implica −a ≥ 0 usando a monotonicidade da multiplicac¸a˜o
−a ≥ 0 =⇒ (−a)(−a) ≥ (−a)0 =⇒ a2 ≥ 0.
b Propriedade 25.
1 > 0.
ê Demonstrac¸a˜o. 1 = 12 ≥ 0 e 1 6= 0 =⇒ 1 > 0.
b Propriedade 26. Se a < b e c < d enta˜o a + c < b + d.
ê Demonstrac¸a˜o. De a < b tem-se a + c < b + c e de c < d tem-se c + b < d + b
por transitividade segue a + c < d + b.
1.5.1 Valor absoluto
m Definic¸a˜o 25 (Mo´dulo ou Valor absoluto). Seja A um anel ordenado. Definimos o
valor absoluto de a ∈ A por
| a | =
 a, se a ≥ 0−a, se 0 > a
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 21
b Propriedade 27. |a| ≥ 0 ∧ |a| = 0 sse, a = 0.
b Propriedade 28. −|a| ≤ a ≤ |a|
b Propriedade 29. | − a| = |a|
b Propriedade 30. |ab| = |a||b|
b Propriedade 31. |a|+ |b| ≥ |a + b|
b Propriedade 32. Se b + c ≥ a + c enta˜o b ≥ a.
ê Demonstrac¸a˜o.
Somando −c em ambos os lados, pela monotonicidade da adic¸a˜o segue
b + c− c ≥ a + c− c =⇒ b ≥ a.
Se b ≥ a e d ≥ c enta˜o b + d ≥ a + c,
tomando a primeira desigualdade e somando d pela compatibilidade com adic¸a˜o
b + d ≥ a + d
tomando a segunda desigualdade e somando a, ficamos com
d + a ≥ c + a
pela transitividade ficamos com
b + d ≥ c + a
m Definic¸a˜o 26 (Mı´nimo ou menor elemento).
O menor elemento de A, quando existe, denomina-se mı´nimo de A e indica-se por
mı´nA.
x = mı´nA⇐⇒ ∀ t ∈ A =⇒ x ≤ t
m Definic¸a˜o 27 (Conjunto limitado inferiormente). Seja S 6= ∅ um subconjunto de um
anel ordenado A. Dizemos que S e´ limitado inferiormente se existir um elemento a ∈ A,
tal que ∀s ∈ S temos s ≥ a.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 22
b Propriedade 33 (Unicidade do menor elemento). Quando o menor elemento existe
ele e´ u´nico.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que o conjunto S possua dois mı´nimos a e b, pela
definic¸a˜o de mı´nimo temos
a = mı´nS ⇐⇒ ∀ t ∈ S =⇒ a ≤ t
Como b ∈ S temos a ≤ b e como b e´ mı´nimo temos
b = mı´nS ⇐⇒ ∀ t ∈ S =⇒ b ≤ t
Como a ∈ S temos b ≤ a, pela propriedade antisime´trica da relac¸a˜o de ordem temos
a = b.
1.5.2 Domı´nio bem ordenado
m Definic¸a˜o 28 (Domı´nio bem ordenado). Um domı´nio ordenado A e´ chamado bem
ordenado sse todo subconjunto na˜o vazio de A limitado inferiormente teˆm mı´nimo.
b Propriedade 34. Seja A um domı´nio bem ordenado e seja a ∈ A. Se a > 0 enta˜o
a ≥ 1, isto e´, vamos provar que na˜o existe elemento entre x tal que 0 < x < 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que exista elemento a ∈ A tal que 0 <
a < 1, enta˜o o conjunto
S = {x ∈ A | 0 < x < 1}
possui menor elemento, por ser limitado inferiormente por 0, suponha que tal elemento
seja y, da´ı temos 0 < y < 1 , multiplicando por y tem-se y.0 < y2 < y, que compromete
a minimalidade de y, o que e´ absurdo, enta˜o tal conjunto deve ser vazio.
$ Corola´rio 10. a > b enta˜o a ≥ b+ 1, pois a− b > 0 implica a− b ≥ 1 e da´ı a ≥ 1 + b.
Z Exemplo 10. Num domı´nio se vale xp+1 = xp com p natural e x no domı´nio, temos
duas possibilidades, p = 0, da´ı x0 = 1 = x, enta˜o x = 1 ou p > 0 temos os casos x = 0
ou se x 6= 0 podemos aplicar lei do corte em xp cortando tem-se x = 1. Enta˜o caso p > 0
temos duas soluc¸o˜es x = 0 ou x = 1.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 23
b Propriedade 35. Se a.b = 1 num domı´nio bem ordenado, enta˜o a = b = 1 ou
a = b = −1.
ê Demonstrac¸a˜o. a nem b podem ser nulos. Suponha que a > 0, enta˜o a ≥ 1,
deve valer tambe´m b > 0 pois o produto e´ positivo, logo b ≥ 1. Supondo por absurdo que
b > 1 enta˜o b ≥ 2, ab ≥ 2a ≥ 2, logo na˜o pode ser b > 1, sendo b = 1, b.a = 1.a = a = 1.
Se a < 0 enta˜o b < 0 logo (−1)(−1)a.b = 1, (−a)(−b) = 1, sendo −a > 0 e −b > 0
reca´ımos sobre o primeiro caso, enta˜o −a = −b = 1 implicando a = b = −1.
1.5.3 Princ´ıpio da induc¸a˜o Matema´tica
Vamos adotar o princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o como um axioma. Todo subconjunto na˜o
vazio A de inteiros na˜o negativos possui um elemento mı´nimo (isto e´, existe n0 ∈ A tal
que n ≥ n0, para todo n ∈ A).
b Propriedade 36. Se um subconjunto na˜o vazio de inteiros e´ limitado inferiormente
enta˜o ele possui um elemento mı´nimo.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A 6= ∅ um conjunto de nu´meros inteiros limitado inferior-
mente por um nu´mero t. Considere o conjunto
T = {x− t | x ∈ A}
tal conjunto e´ na˜o vazio, pois existe a ∈ A e da´ı a− t ∈ T , como ∀x ∈ A vale t ≤ x enta˜o
0 ≤ x− t o conjunto T e´ formado por nu´meros na˜o negativos, enta˜o pelo PBO ele possui
um menor elemento t0, tal que t0 = x0 − t e da´ı t0 + t = x0. Tal elemento x0 e´ o menor
elemento de A, pois caso na˜o fosse, existiria x ∈ A tal que x < x0 = t0 + t e da´ı x− t < t0
o que contraria a minimalidade de t0, enta˜o na˜o pode existir x tal que x < x0 vale enta˜o
x ≥ x0.
b Propriedade 37 (Propriedade Arquimediana em Z). Dados m e n 6= 0 ∈ Z enta˜o
existe p ∈ Z tal que p.n ≥ m.
ê Demonstrac¸a˜o. Como n 6= 0, enta˜o |n| ≥ 0 e da´ı |n| ≥ 1, temos tambe´m que
|m| ≥ 0 e da´ı por monotonicidade |m||n| ≥ |n| ≥ n.
ˆ Se m > 0 temos |m| = m e da´ı podemos tomar p = |n| tal que p.m ≥ n.
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 24
ˆ Se m < 0 enta˜o |m| = −n e da´ı podemos tomar p = −|n|, pois
−|n|m = |n|(−m) = |n||m| ≥ n.
b Propriedade 38 (Propriedade arquimediana de Q). Dados a, b ∈ Q com b 6= 0, enta˜o
existe n ∈ Z tal que n.b ≥ a.
ê Demonstrac¸a˜o. Podemos tomar a =
c
d
, b =
r
s
com r 6= 0, d, s positivos, enta˜o
d.s > 0 e
1
d.s
> 0, pela propriedade Arquimediana em Z existe n ∈ Z tal que
nr.d ≥ c.s
como
1
d.s
> 0, podemos multiplicar por ele de ambos lados de onde tem-se
n
r
s
≥ c
d
⇒ na ≥ b.
Induc¸a˜o matema´tica primeira forma
Seja N = {n0, n1, n2, . . . } um conjunto de inteiros na˜o negativos (suponha tambe´m
n0 < n1 < n2 < ...) e seja Sn uma proposic¸a˜o que depende de n ∈ N , tal que:
Sn0 e´ verdadeira;
Se m ∈ N e Sn e´ verdadeira para todo n ∈ N tal que m > n, ena˜o Sm e´ verdadeira.
Ena˜o Sn e´ verdadeira para qualquer n ∈ N .
Demonstrac¸a˜o por contradic¸a˜o.
F = {l ∈ N | Sl F}
suponha por absurdo que F 6= ∅ pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o existe l0 ∈ F , l0 > n0
1.5.4 Propriedade arquimediana em Z
Dados a, b ∈ Z com b 6= 0 existe n ∈ Z tal que n.b ≥ a. Pela propriedade total da
desigualdade temos um dos casos verificados b ≥ a ou a ≥ b, no primeiro caso, na˜o temos
nada fazer (basta tomar n = 1)
CAPI´TULO 1. ANE´IS . 25
1.6 Divisa˜o Euclidiana
1.7 Polinoˆmios com coeficientes num anel comutativo
com unidade.
Iremos considerar A como um anel comutativo com unidade nessa sec¸a˜o, a na˜o ser que
citado o contra´rio.
1.8 Homomorfismo de ane´is
m Definic¸a˜o 29 (Homomorfismo de ane´is). Uma func¸a˜o f : A → A′, onde A e A′ sa˜o
ane´is, e´ chamada de homomorfismo de ane´is se vale
ˆ f(a.b) = f(a)f(b).
ˆ f(a + b) = f(a) + f(b).
b Propriedade 39. Seja f : Z → Z tal que
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x.y) = f(x).f(y)
para quaisquer, x, y ∈ Z, da´ı f(x) = 0 ou f(x) = x∀x ∈ Z.
ê Demonstrac¸a˜o. f(1.1) = f(1)f(1) da´ı f(1) = f(1)2 e portanto f(1) = 1 ou
f(1) = 0.
ˆ Se f(1) = 0 enta˜o f(x.1) = f(x)f(1) = 0, portanto f(x) = 0∀x ∈ Z.
ˆ Se f(1) = 1 enta˜o por induc¸a˜o f(x) = x∀x ∈ N , pois f(x+1) = f(x)+f(1) = x+1
e f(0) = 2f(0)⇒ f(0) = 0.
f(0) = f(1) + f(−1)⇒ f(−1) = −1
da´ı segue tambe´m que dado x natural f(−x) = f(−1)f(x) = −x, da´ı vale para todo
inteiro x, f(x) = x.
	Anéis .
	Relações, aplicações e operações
	Relações de equivalência
	Anéis
	Subanel
	Propriedades básicas
	x2=x para todo x implica que o anel é comutativo 
	Domínio
	Corpo de frações de um domínio
	Anel ordenado
	Valor absoluto
	Domínio bem ordenadoPrincípio da indução Matemática
	Propriedade arquimediana em Z
	Divisão Euclidiana
	Polinômios com coeficientes num anel comutativo com unidade. 
	Homomorfismo de anéis