Três Problemas Clássicos da Matemática Grega

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OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGAOS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGAOS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGAOS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGAOS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGA
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OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGA
 
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AV. GAL RODRIGO OCTÁVIO JORDÃO RAMOS, 3000 – COROADO 
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DAMSON LUCAS DE OLIVEIRA RIBEIRO ......................................... 21205249 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA MATEMÁTICA GREGA 
 
 
 
Relatório solicitado pela 
professora Ana Acácia Pereira 
Valente na disciplina IEM800 – 
Laboratório de Ensino de 
Geometria Plana e Espacial, 
referente ao período 2015/1. 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
A Grécia Antiga fundamentava seu pensamento em bases filosóficas e 
investigativas, do ponto de vista lógico e através de observações dos fenômenos 
naturais. Por volta do século V a.C. matemáticos de todo o Mediterrâneo, atraídos pela 
fama das escolas jônia e platônica, moveram–se para o arquipélago grego – que nesta 
época estava envolvido por um grande intelectualismo e prosperidade depois da vitória 
sobre a Pérsia. Os três problemas mais famosos da Matemática da Antiguidade – que 
por sinal, até hoje suscitam e promovem novas descobertas nos diversos ramos da 
Matemática atual, movimentaram o pensamento grego naqueles dias. Há controvérsias 
sobre as origens de cada um e o que representavam em si, pois a matemática antiga 
tinha uma ligação mais forte com a filosofia do que tem agora no dias atuais e os 
estudiosos tinham a peculiaridade que criar fábulas ou contos que ilustrassem a 
aplicação dos conceitos por eles descobertos. 
Todavia nestes estudiosos imperava a vontade de conhecer, resolver e aplicar 
no cotidiano os resultados de suas pesquisas, bem como a notoriedade para desenvolver 
novas técnicas e métodos, além de reelaborar o pensamento para a resolução adequada 
desses problemas. Isso resultou em novos ramos da Matemática, até então totalmente 
desconhecidos dos sábios gregos, proporcionando a introdução de novos conceitos que 
vieram se juntar aos conceitos construídos na Antiguidade e que hoje constituem a 
Matemática ensinada nas escolas, universidades e presente no nosso cotidiano. 
As definições de construção básicas por régua não–graduada e compasso são 
oriundas dos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides, vindo a ser 
difundidas pela Academia de Platão como um jogo ademais muito respeitado e 
convidativo no universo grego antigo. As regras propostas representaram grandes 
dificuldades de resolução, mas não impediram os sábios de solucionarem os problemas 
– ainda que por métodos diferentes do proposto. Muitos historiadores consideram como 
falsa a ideia de que os gregos, ao resolverem problemas envolvendo geometria, usavam 
apenas régua e compasso. Exatamente como os matemáticos de hoje, eles dispunham de 
todas as ferramentas para auxiliá–los ou até mesmo criavam novas ferramentas, técnicas 
ou métodos de resolução – o que contribuía muito com o saber matemático – como 
prova o mesolábio criado por Erastótenes pra resolver o problema de duplicação do 
cubo. Estas resoluções, do ponto de vista atual, lançaram as bases da Geometria atual, 
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da Álgebra Moderna, do Cálculo Diferencial e Integral e do raciocínio matemático que 
continua se expandindo por mais de 2000 anos depois. 
A duplicação do cubo e a trissecção do ângulo tem vários pontos em comum, 
tanto em forma algébrica quanto pela resolução geométrica, que na maioria dos casos é 
por médias proporcionais ou construções por nêusis. A quadratura do círculo – o mais 
antigo dos três problemas – possibilitou a descoberta e o estudo de diversas curvas e 
mais tarde, a definição de números algébricos e transcendentais. Estas contribuições 
serviram de alicerce para o desenvolvimento da Geometria Cartesiana, da Álgebra 
Linear e da Teoria dos Números expandida para domínios de racionalidade, da Análise 
e Teorias Probabilísticas, entre outras áreas do conhecimento matemático. 
Aqui serão apresentados os três problemas, um pouco de suas histórias, as 
impossibilidades de solução e alguns dos matemáticos antigos que conseguiram 
solucionar – ainda que por caminhos diferentes – os problemas, expondo alguns dos 
raciocínios deles, bem como os resultados que estiveram à disposição deles para 
solucionar os problemas.As ambiguidades sobre as origens dos problemas fogem demais aos objetivos 
desse relatório, não sendo portanto tratadas de maneira aprofundada. O mesmo acontece 
com as provas posteriores alicerçadas nos resultados obtidos ao se resolverem os três 
problemas, suas histórias, seus autores e o marco cronológico – sendo que este toma a 
Coleção Matemática de autoria creditada a Papus de Alexandria como principal e 
magna referência, não sendo muitas vezes clara a linha cronológica entre os problemas, 
nem a qual sábio são atribuídas as devidas contribuições. 
 
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A DUPLICAÇÃO DO CUBO 
O problema de construir o lado de um cubo cujo volume é o dobro do volume 
de um outro cubo dado não pode ser resolvido usando apenas régua não–graduada e 
compasso euclidiano. A régua não–graduada era usada apenas para desenhar retas ou 
segmentos unindo dois ou mais pontos. Já o compasso euclidiano – que era usado para 
construir somente circunferências com um centro pré–definido – se desmontava quando 
uma de suas extremidades era tirada do papel. Outra dificuldade era o transporte de 
segmentos, assegurado pelos Elementos de Euclides mas inviável na prática com o 
compasso euclidiano. 
Considerando o lado do cubo inicial de medida a=1, temos que o dobro do 
volume do cubo é x=2, ou seja que x³=2, implicando que x=21/3. Até então 21/2 era o 
único número construtível usando apenas régua e compasso, obtido ao construir a 
diagonal de um quadrado de lado unitário. 
 
UM QUADRADO COM O DOBRO DE ÁREA UM CUBO COM O DOBRO DO VOLUME 
A impossibilidade da solução, em termos de geometria, foi abordada por René 
Descartes em 1637, mas só fora esclarecida no final do século XIX, depois dos 
trabalhos de Abel e Gauss sobre a resolução de equações algébricas por meio de 
radicais. Curiosamente em 1837, 200 anos depois dos trabalhos de Descartes, Wantzel 
provou o teorema do número construtível: 
Se um número x é construtível, então ele é 
algébrico de grau n sobre Q, com n igual a uma 
potência de 2. 
Ora x1/3 é algébrico de grau 3 – que não é potência de 2, logo x1/3 não é 
construtível, tornando o problema da duplicação de qualquer cubo impossível. 
Estudos foram aprofundados pra se resolver o problema gerando novos 
conceitos como: cônicas, superfícies de revolução, curvas reversas, médias 
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proporcionais, entre outros. Assim o problema da duplicação do cubo impulsionou o 
desenvolvimento da Geometria e consolidou a ligação desta com a Álgebra, 
desenvolvendo e utilizando os resultados desta última para a otimização da Geometria. 
A SOLUÇÃO DE ARQUITAS 
Esta solução é particularmente extraordinária e de beleza especial, pois 
soluciona um problema aparentemente com grandezas envolvendo geometria analítica 
em três dimensões. 
Arquitas (ou Árquitas) nasceu em 428 a. C. na distante e pacífica Tarento, 
antes subordinada às cidades–estado gregas, atualmente sendo uma cidade de mesmo 
nome ao norte Itália (BOYER, 1993, pág. 48). Ele nasceu um ano antes de Platão, na 
época em que a peste que matou o estadista grego Péricles assolava Atenas. Diz a lenda 
que o oráculo cúbico de Apolo situado na península Egeia, na cidade de Delfos teria de 
ser duplicado a fim de sanar a peste, o que possivelmente originou o problema da 
duplicação do cubo, devido a esse fato eventualmente conhecido como Problema 
Deliano. No tempo em que o problema teve suas origens, Arquitas era discípulo de 
Filolau em Tarento, mais tarde foi discípulo do próprio Hipócrates de Quios – do qual 
veio a primeira tentativa de solução do problema de duplicação do cubo através da 
determinação de duas médias proporcionais entre os lados dos cubos. Depois, Arquitas 
veio a ser general e governante de Tarento. Além de um excelente estrategista de guerra, 
Arquitas possuía a qualidade de por a aritmética (os números em repouso) acima da 
geometria, a qual considerava grandezas em repouso. Além de se dedicar à Matemática, 
Arquitas desenvolveu trabalhos em música e astronomia além dos seus insólitos 
chocalho e pombo mecânico como instrumentos lúdicos infantis, o que o torna até hoje 
a principal referência militar que foi atenciosa com as crianças – embora seja a solução 
da duplicação do cubo em Geometria que o torne estrondosamente conhecido e 
respeitado na história da matemática. 
A solução de Arquitas, embora tenha sido obtida por meios obscuros e de 
maneira realmente genial, é mais facilmente descrita em termos de geometria analítica: 
Seja m a aresta de um cubo e seja (m,0,0) 
o centro de três círculos mutualmente ortogonais 
de raio m, cada círculo situado em um plano 
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perpendicular a um eixo coordenado. No plano yz 
constrói–se um cone com vértice na origem; no 
plano xy constrói–se um cilindro reto, ao passo 
que o círculo no plano xz é rotacionado em torno 
do eixo z afim de se gerar um toro. A intersecção 
dessas três superfícies é o ponto cuja coordenada 
x=2m1/3, fornecendo a aresta do cubo com volume 
igual ao dobro do volume do cubo de aresta m. 
(BOYER, 1993, pág. 53) (mudança de variável 
minha) 
 
A SOLUÇÃO DE ARQUITAS 
Sejam m e b os dois segmentos dados, onde b<m. Sejam OCA' uma 
circunferência cujo diâmetro OA' é igual a b e outra circunferência OBA cujo diâmetro 
OA seja igual a m e que está contida em um plano ortogonal ao plano da circunferência 
OCA'. Considerando agora o cilindro gerado por OCA' e o toro gerado por OCA em 
torno do eixo xz, sem considerar o cone. A interseção do cilindro e do toro é uma curva 
superior, dada pelas equações: 
x²+y² = 2mx 
(x²+y²+z²)² = 2m²(x²+y²) 
Agora considerando o cone cujo eixo de rotação é a reta OA', cuja geratriz 
forma com este eixo um ângulo de medida b/m. A equação deste cone é: 
(x²+y²+z²) = m²x²/b² 
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Seja o ponto D a projeção de C sobre OX. Então a curva superior intercepta o 
cone no ponto B cuja projeção sobre o plano OCA' é justamente o ponto C. Assim 
OC/OB = b/m sendo estes dois segmentos as médias proporcionais entre m e b. 
Realmente: 
OC² = mOD OB² = mOC 2mOB = mOD 
Disso decorre que: 
OC² = 2mOD OB² = mOC 
Temos, então que m/OB = OB/OC = OC/2m, aonde queríamos chegar. 
 
OB E OC SÃO AS MÉDIAS PROPORCIONAIS ENTRE OA' E OA 
A equação de dupla curvatura 2mx=x²+y² é conhecida com curva de Arquitas – 
onde sua derivada é obtida somente por meio de derivação direcional. O que mais 
impressiona é que Arquitas obteve sua solução sem a ajuda de coordenadas, sendo o 
sistema desse tipo mais tarde sendo descoberto por Descartes. Ele já imaginava um 
sistema em três dimensões naquela época, possivelmente através de suas observações 
dessas formas tridimensionais na natureza. A solução de Arquitas é a mais antiga 
associada à Geometria Analítica e por ventura a curva que leva seu nome é segunda 
curva mais antiga depois da quadratriz de Hípias. 
A solução de Eudoxo de Cnido – um contemporâneo e discípulo de Arquitas, é 
considerada por estudiosos como sendo a solução de Arquitas projetada em duas 
dimensões, usandoa lemniscata esférica (FRITZ, 1991, pág. 105). A construção de 
Arquitas – a primeira solução conhecida para a duplicação do cubo, agitou a 
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comunidade matemática de Atenas, talvez abrindo espaço para soluções mais 
engenhosas e diferentes da proposta de se usar compasso e régua. 
A SOLUÇÃO DE MENECMO 
Observando os resultados da redução de Hipócrates de Quios, Menecmo 
apresentou sua própria solução do problema – a qual não consistia em reduzir um 
problema em outro pior ainda. Esta solução é de grande notoriedade, pois por meio dela 
que o conceito de cônicas foi inserido na Matemática. 
Menecmo (ou Menaecmo) era irmão de Dinóstrato, como também aluno de 
Eudoxo de Cnido sendo fortemente influenciado pela concepção platônica deste. A 
proporção aumentada a/x=x/y=y/2a – com a igual à medida da aresta do cubo a ser 
duplicado, foi atacada por Menecmo com engenhosidade e poucos recursos, que não os 
resultados dessa redução de Hipócrates e os dois processos para se descobrir curvas 
novas existentes na Antiguidade (BOYER, 1974, pág. 69). 
Tendo em vista a redução de Hipócrates, o problema seria determinar as duas 
médias proporcionais entre os segmentos a e 2a – o que já era um desafio tremendo. Já 
era conhecido que para determinar a aresta do quadrado de área igual ao dobro de um 
quadrado de lado a consistia em determinar somente uma proporção entre as arestas dos 
quadrados (DUDLEY, 1992, pág. 86). Nada mais natural do que duplicar volumes, 
começando com o cubo. Menecmo então teria que achar dois valores x e y tais que: 
a/x = x/y = y/2a (1) 
Ele observou curvas que satisfaziam tal equação e as estudou e observou suas 
propriedades e sua relação implícita com as duas proporções de Hipócrates. Resolver a 
equação (1) em termos de geometria analítica, seria o mesmo que verificar duas das três 
equações seguintes: 
x² = ay (2) 
xy = 2a² (3) 
y² = 2ax (4) 
Da equação (2) podemos deduzir que: 
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y = x/a² (5) 
E da equação (4) deduzir que: 
x = y²/2a (6) 
Assim, podemos obter x de dois modos: 
– como abscissa do ponto de intersecção da parábola y = x/a² com a hipérbole 
equilátera xy = 2a² – que é a primeira solução de Menecmo; 
– como abscissa do ponto de intersecção da parábola y = x/a² com outra 
parábola x = y²/2a – que é a segunda solução de Menecmo, defendida por historiadores 
como sendo a Proposição 10 de Diócles em sua obra Dos Espelhos Cáusticos 
(TOOMER, 1976, pág. 1685). 
 
A SEGUNDA SOLUÇÃO DE MENECMO (PARÁBOLA–PARÁBOLA) 
Note que, no segundo caso, as parábolas tem lacti recta proporcionais – 
conceito característico das parábolas. Demócrito pôde até ter conjecturado as secções 
planas de um cone como curvas superiores à circunferência, porém foi Menecmo que as 
identificou como curvas com certas propriedades e as denominou elipse (pequeno, 
menor), parábola (igual, coincidente) e hipérbole (excessivo, maior) de acordo com a 
terminologia grega usada para segmentos oriunda da escola pitagórica. Então veio 
Apolônio, que extraiu essas curvas através de secções de um cone, denominando–as 
cônicas. 
Não se sabe a inspiração que Menecmo teve para obter essa solução, no 
entanto ele influenciou o trabalho de Apolônio ao definir estas curvas como intersecções 
de um cone reto com um plano perpendicular à uma geratriz – dando origem ao nome 
cônicas. No entanto, Menecmo foi pioneiro em trabalhar com essas curvas e observar 
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suas propriedades. Depois da elipse, parábola e hipérbole terem sido descobertas, outras 
curvas superiores recorrentes dadas por equações implícitas foram descobertas. 
Portanto, Menecmo abriu espaço para a descoberta de curvas recorrentes, influenciando 
a Álgebra Linear atual. Há controvérsias sobre a participação de Menecmo na 
quadratura do círculo, porém seu irmão Dinóstrato expôs sua tentativa de quadrar o 
círculo, muito bem–vinda na comunidade matemática. 
A SOLUÇÃO DE DIÓCLES 
Diócles apresenta uma solução original por meio de uma cissóide definida 
apenas em relação a um dos quadrantes. Esta solução é brilhante do ponto de vista 
geométrico e apresenta uma forma de construção mais elaborada para a redução de 
Hipócrates. 
Pouco se sabia sobre a vida de Diócles (ou Dioclés ou Díocles, ou ainda 
Deoclés), que não por meio dos dois fragmentos da sua obra Dos Espelhos Cáusticos, 
preservados por Eutócio no comentário ao texto de Arquimedes. No século XX foi 
descoberta uma tradução árabe dos Espelhos Cáusticos numa biblioteca em Mashhad, 
Irã e que foi traduzida para o inglês por J. Toomer em 1976. Deve–se a Diócles a 
resolução do problema por meio de uma curva de nome cissóide – este nome atribuído 
por Gémino cerca de um século depois da morte de Diócles. Diócles usa o termo linha 
em seus escritos (LOCKWOOD, 1978, pág.132). No entanto, Diócles foi outro 
matemático que novamente atacou a redução de Hipócrates, não o problema original da 
duplicação do cubo. A construção é a seguinte: 
Desenhe uma circunferência de centro O 
onde AB e DC são diâmetros perpendiculares 
entre si. Sejam E e F pontos da circunferência 
situados nos quadrantes BD e BC, respectivamente 
– de tal sorte que os arcos EOB e BOF sejam 
congruentes. E, finalmente sejam G e H pontos 
sobre o diâmetro DC, equidistantes do centro O. 
Desenhando–se os segmentos EG, FH e EC, temos 
por P o ponto de intersecção dos segmentos FH e 
EC. (LOCKWOOD, 1978, pág. 143) (tradução 
minha) 
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A CONSTRUÇÃO DE DIÓCLES 
A construção do ponto P permite provar que HF e HC são as duas médias 
proporcionais entre os segmentos DH e HP. Mas o fato totalmente interessante 
observado por Diócles foi a construção de uma curva até então desconhecida. 
Fazendo E e F variarem de posição na circunferência, mas ainda equidistantes 
do ponto B, obteremos novas posições para o ponto P. E é dessa forma que a cissóide é 
construída. 
 
SECÇÃO DE UMA CISSÓIDE DEFINIDA APENAS NO QUADRANTE BC 
As médias proporcionais entre DH e HP foram determinadas, mas e a aresta do 
cubo de volume duplo? Usando os resultados dos Elementos de Euclides, prova–se 
como Diócles chega à mesma conclusão que Hipócrates e outros sábios que recorreram 
à redução, mas de forma diferente. Tendo o sistema com a cissóide previamente 
construída, tomamos um ponto K em OB tal que: 
DO/OK = a/b (a>b) (1) 
Desenhamos o segmento DK e o prolongamos até interceptar a cissóide no 
ponto Q. Passando por Q, construímos o segmento MN // AB. 
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A DETERMINAÇÃO DA ARESTA DO CUBO 
Pelo resultado anterior, Q é um ponto pertencente à cissóide – logo MNe MC 
são médias proporcionais entre DM e MQ. Aplica–se então a Proposição 4 dos 
Elementos VI nos triângulos DMQ e DOK vemos que: 
DM/MQ = DO/OK (2) 
Por transitividade das equações (1) e (2) temos que: 
DM/MQ = a/b (3) 
Entre DM e MQ já foram inseridas duas médias proporcionais, MN e MC – a 
partir do ponto Q. Agora, encontrando duas médias proporcionais entre a e b (que são as 
arestas dos dois cubos) pelo quarto proporcional (Elementos VI, Proposição 12) 
definimos: 
– x tal que DM/a = MN/x (4) 
– y tal que MQ/b = MC/y (5) 
As duas equações (4) e (5) foram refinadas por Diócles (Elementos V, 
Proposição 16) nas formas: 
DM/MN = a/x (6) 
MQ/MC = b/y (7) 
Tendo em mente a igualdade (3), vem que: 
MC/MN = ML/DM . DM/MQ . MQ/MC = x/a . a/b . b/y = x/y (8) 
Finalmente de (6), (7) e (8) e pelo fato de DM/MN = MN/MC = MC/MQ, 
temos que a/x = x/y = y/b. Assim é obtida mais uma solução sem o auxílio dos 
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instrumentos euclidianos defendidos pela Academia de Platão, pois não é possível 
construir todos os pontos de uma cissóide apenas com as regras do jogo grego. 
O termo cissóide vem do egípcio scissè (polir), mas é mais associado ao grego 
scissós (em forma de hera), pois esta curva sobe em torno de sua assíntota como a hera 
sobe num tronco de árvore. Este termo é dado a toda curva gerada por um processo 
análogo ao de Diócles, inclusive existem técnicas de construção usando compasso e 
régua milimetrada (BRAGA, 1997, págs. 206–207). O movimento cissoidal é usado na 
computação em softwares de jogos de xadrez, para delinear o movimento da peça 
conhecida como cavalo (knight) – apesar do movimento padrão do cavalo ser três casas 
à frente e uma casa lateral, a curva descrita pela peça tem a forma cissoidal. A cissóide é 
atualmente proposta como o lugar geométrico do vértice de uma parábola móvel rolando 
sem escorregamento sobre outra parábola fixa e sua equação cartesiana é dada pela 
expressão f(x,y) = x(x²+y²) – y² = 0. 
 
 
EXEMPLOS DE CISSÓIDES DE RETAS OBTIDAS COM COMPASSO E RÉGUA GRADUADA (BRAGA, 1997. págs.206–207) 
Uma das últimas tentativas de duplicação do cubo não lançou nenhum conceito 
novo, aparentemente. É atribuída a Gaetano Buonafalce, que apresenta uma solução 
relativamente simples. Para ele: 
Se tirarmos da aresta de um cubo a sexta 
parte da diagonal da face, o segmento desta face 
que liga o vértice oposto a esse ponto é a aresta do 
cubo de volume duplo com erro inferior a 0,002 
(FONTES, 1967. pág. 104). 
 
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A primeira vista, é até difícil interpretar o que esse matemático está sugerindo; 
entretanto, com um pouco de persistência, logo se consegue demonstrar que ele tinha 
razão: 
 
 
 
A SOLUÇÃO DE BUONAFALCE 
 
Se a aresta do cubo é 1a , a sua diagonal da face é d = 21/2. Portanto, a sexta 
parte da diagonal é 21/2/6. Observa-se ainda que, sobre a aresta AB marcou-se o 
segmento de reta AP igual à sexta parte da diagonal, ou seja, AP = 21/2/6. 
No triângulo retângulo PBF, a medida do cateto BF é igual à aresta do cubo, ou 
seja, BF = a = 1. A medida do cateto PB é igual à medida da aresta menos a sexta parte 
da diagonal, ou seja, PB = 1 - 21/2/6. 
Como: 2
2
2
1
222
16
21 




  aBFPBPF 
5841,1
18
2637
18
18126181
18
1
3
2121 











a 
25863,15841,11 a 
Comparando os resultados, observa-se que, se a = 1, a³ = 1³. Se dobrarmos o seu 
volume a³ = 2 a sua aresta será 25992,123  . Na solução de Buonafalce, com régua e 
compasso, 25863,11 a , logo o erro encontrado é: 00129,025863,125992,1  , 
inferior a 0,002. 
O problema da duplicação permanece sem a tão desejada solução obtida por 
régua não–graduada e compasso, no entanto os métodos de resolução sugeridos pelos 
matemáticos da Antiguidade foram bem–vindos pela comunidade de estudiosos 
contemporâneos, devido às suas contrubuições em obras posteriores. 
 
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A TRISECCÇÃO DO ÂNGULO 
Dividir um ângulo qualquer em três partes deveria ser um fato normal, já que 
dividir um ângulo em n–partes iguais é possível com régua e compasso. Curiosamente, 
o eneágono regular – polígono de nove lados – pode ser construído trissectando os três 
ângulos centrais de 120° de uma circunferência circunscrita ao triângulo equilátero. 
 
CONSTRUÇÃO DO ENEÁGONO REGULAR POR TRISSECÇÃO DOS 3 ÂNGULOS CENTRAIS DE 120° 
O problema da trissecção do ângulo pode ter tido origem na construção do 
icoságono regular, conhecida de Pitágoras – logo pode–se pressupor que ele conseguia 
dividir um ângulo reto em cinco partes (ALLAN, 1976, pág. 88). Ou pode também ser 
oriundo do esforço natural em dividir segmentos de reta em três partes transposto para a 
divisão de ângulos (EVES, 1997, pág. 137). 
No entanto, a operação não era possível por meio de régua e compasso 
euclidianos, tendo sido patenteado o primeiro instrumento para trissectar ângulos em 
1993 nos EUA. Trissectar um ângulo seria um problema simples, mas se tornou 
assombroso do ponto de vista geométrico dadas as evidências gregas no Livro IV da 
Coleção Matemática de Papus de Alexandria, que afirma que "os geômetras [gregos] 
foram incapazes de resolver este problema por ser sólido, não plano". Como não 
estavam familiarizados com secções cônicas, o problema ficou sem uma solução 
consistente. Foi preciso uma redução já conhecida por Hipócrates em suas quadraturas 
de lunas aliada às novas curvas que estavam sendo descobertas. 
Igual à duplicação do cubo, a trissecção do ângulo é reduzida também a um 
outro problema: 
Considerando–se um ângulo ABC 
qualquer, pelo ponto A obtém–se uma paralela e 
uma perpendicular ao outro lado do ângulo que 
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contém o ponto C. Em seguida insere–se, entre as 
duas retas construídas, o segmento DE – este 
sendo o dobro de AB. Assim, o ângulo CBD é a 
terça parte do ângulo original ABC. 
A prova de construção está em inserir de modo adequado o segmento DE entre 
as retas AE e BC. Esta construção é chamada de nêusis (do verbo grego neuein: 
apontar), pelo fato da reta que contém o segmento DE – se colocada do modo correto – 
sempre apontar para o vértice B, desta forma trissectando o ângulo como se queria. 
 
A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO POR NÊUSIS 
O ponto comum entre a construção por nêusis e a duplicação do cubo é que 
construir desta forma é o mesmo que resolver uma equação cúbica – no bom sentido. E 
mais, existem construções por nêusis que podem ser efetuadas usando os instrumentos 
euclidianos, como exemplo a da terceira luna de Hipócrates. Em geral, curvas oriundas 
de nêusis não podem ser construídas com régua e compasso, por não se obter todos os 
pontos que as geram desta forma. Este entrave que hoje pode ser facilmente resolvido 
por nósusando uma régua graduada (ajustando–a do modo certo) foi o estopim da 
descoberta de várias curvas planas superiores que foram pontos de partida de conceitos 
em Biologia, Citologia e Engenharia Mecânica, além de otimizarem soluções para a 
Astronomia e o movimentos dos astros e a descoberta de partículas subatômicas na 
Química, como o neutrino e a partícula tau (. 
A SOLUÇÃO DE ARQUIMEDES 
Esta solução é em suma, brilhante e perfeita. Arquimedes constrói uma curva 
de movimento semelhante às curvas de zonas habitáveis descritas por cometas e 
planetas, sendo estes movimentos descritos por Galileu, Copérnico e Kepler e 
delineados com exatidão mais tarde por Percival Lowell, que descobriu o planeta Plutão 
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em 1930. Esta curva é transcendental e não só resolve o problema da trissecção do 
ângulo como também o da quadratura do círculo. 
Arquimedes de Siracusa talvez seja o geômetra mais citado em livros depois de 
Euclides e Pitágoras. Ele se relaciona com o problema da trissecção do ângulo, embora 
não seja creditada a ele nenhuma solução deste problema, de forma direta. O que 
Arquimedes faz é resolver um problema reduzido por nêusis muito semelhante ao 
problema de trissecção. É importante destacar que uma de suas obras, Acerca das 
Espirais, utiliza várias construções por nêusis em suas soluções e resultados. Já a 
Proposição 8 do seu Livro dos Lemas reduz a trissecção a uma inserção de um 
comprimento dado (no caso o raio do círculo) entre o círculo retificado e a extensão do 
diâmetro deste, também retificada – o que resolve já em parte o problema da quadratura 
do círculo. 
As descobertas de Arquimedes relativas ao heptágono e às espirais em suas 
obras deixam uma margem de dúvida se ele realmente ignorou o problema de trissecção 
do ângulo, tão popular em sua época. Em várias proposições em Acerca das Espirais, 
Arquimedes discorre em seu escritos utilizando nêusis, sempre requerendo o uso de 
cônicas ou curvas superiores. E embora o Livro dos Lemas não seja atribuído a 
Arquimedes (BOYER, 1993, pág. 98), alguns estudiosos e historiadores admitem que a 
construção por nêusis envolvida na Proposição 8 é muito parecida com as construções 
por nêusis assumidas como possíveis nas Proposições VI e VII da obra Acerca das 
Espirais, que é de autoria genuína de Arquimedes. A famosa Proposição 8 enuncia: 
Sejam (O, M) uma circunferência de 
centro O e AB uma corda qualquer de (O, M). Se 
à reta que contém AB for adicionado o segmento 
BC igual a OM e a partir do ponto C for 
prolongada a reta OC interceptando (O, M) nos 
pontos D e E, então o arco AE terá medida igual a 
três vezes o arco BD. (LOCKWOOD, 1978, pág. 
237) (tradução minha) 
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A PROPOSIÇÃO 8: O ARCO AE É O TRIPLO DO ARCO BD 
Esta proposição, pelo fato de fornecer um método para dividir arcos (e 
possivelmente de ângulos) através de uma construção por nêusis, se caracterizou como 
uma das soluções para a trissecção do ângulo, erroneamente atribuída a Arquimedes. 
Em seu prefácio em Acerca das Espirais, Arquimedes menciona Cônon, um matemático 
e astrônomo conterrâneo de Pitágoras, como o inventor da espiral, mas este último não 
conseguiu demonstrar os enunciados enviados por Arquimedes antes que falecesse. Daí 
vem que a espiral unicêntrica que trissecciona ângulos e quadra círculos é conhecida 
como Espiral de Arquimedes. Vejamos sua construção: 
Seja um plano contendo um segmento de 
reta que gira em torno de uma de suas 
extremidades sob uma velocidade uniforme e um 
número qualquer de vezes, até retornar à posição 
inicial. Se, durante essa rotação do segmento, um 
ponto interno deste se mover sobre ele numa 
velocidade constante, este ponto descreverá uma 
espiral no plano. (LOCKWOOD, 1978, pág. 239) 
(tradução minha) 
 
A ESPIRAL DE ARQUIMEDES OBTIDA COM COMPASSO E RÉGUA MILIMETRADA (BRAGA, 1997, pág. 203) 
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A espiral pôde ter sido inventada por Cônon de Samos justamente para resolver 
ou o problema de trissecção ou o de quadratura, como Arquimedes demonstrou 
(BOYER, 1993, págs. 94–95). Nas linhas subsequentes à Proposição XIV em Acerca 
das Espirais, Arquimedes discorre sobre um resultado que é útil para solucionar o 
problema da trissecção: 
Se, a partir da origem da espiral, forem 
construídas duas retas que interceptam a 
circunferência do primeiro círculo, as retas 
tomadas até a espiral terão entre si a mesma razão 
que os arcos da circunferência entre a extremidade 
da espiral e as extremidades das retas prolongadas 
até encontrarem a circunferência. Os arcos são 
medidos para a frente a partir da extremidade da 
espiral. 
Este começo do enunciado é um pouco confuso e impróprio (até mesmo para 
alguém como Arquimedes...), mas pode ser descrito em termos de mais fácil digestão. 
Primeiro observemos a terminologia ambígua e convertemos em: 
– Origem da espiral: extremidade da reta que permanece imóvel enquanto a 
reta gira; 
– Reta inicial de revolução: posição a partir da qual a reta inicia o seu 
movimento; 
– Primeiro círculo: é a circunferência descrita em torno da origem da espiral, 
de raio igual ao segmento de reta que o ponto móvel descreve durante a primeira 
revolução. 
Então o enunciado assume a simplicidade de uma frase, lembrando que ele é 
uma afirmação equivalente à Proposição XIV: 
Se D e A são pontos da espiral na sua 
primeira volta, então BD/BA = FD/FE. 
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A ESPIRAL DE ARQUIMEDES RESOLVENDO O PROBLEMA DE TRISSECÇÃO 
Realmente, se dado o ângulo ABC que queremos dividir, constrói–se a espiral 
unicêntrica com origem no vértice B do ângulo; coincide–se um dos lados (no exemplo, 
o lado BC) com a reta inicial de revolução e, finalmente interceptando a espiral no outro 
lado AB no ponto A, teremos somente que reduzir a divisão do ângulo em três partes 
numa divisão de um dos lados dele (no exemplo, o lado AB) em três partes. Designando 
por E o ponto de AB tal que EB = AB/3, constrói–se a circunferência de raio EB, que 
intercepta a espiral em D. De forma divina, o ângulo CBD é a terça parte do ângulo 
ABC! 
O fundamental da espiral é relacionar o comprimento do segmento de reta com 
o ângulo gerado por ele e pela reta inicial de revolução – que no exemplo coincide com 
o lado BC. Sejam  = BD e  o ângulo CBD, então em coordenadas polares =mpara 
algum m real. 
A e D são pontos da espiral, logo: AB = ke BD = k (pois m≠k). Contudo, da 
forma como foi construído o ponto E, é certo que AB = 3EB = 3BD, pelo fato de EB e 
BD serem os raios da circunferência (B, E). Dessa igualdade por transição vem que k 
= 3k1, assim =/3, isto é, o ângulo CBD é a terça parte do ângulo ABC, onde 
queríamos chegar. 
Desta forma, a espiral reduz o problema de divisão de ângulos num caso de 
divisão de segmentos. Assim podemos dividir um ângulo qualquer em n–partes com a 
ajuda da espiral Arquimediana. Papus a descreve na sua Coleção Matemática como uma 
solução linear, pois envolve na sua construção processos cinemáticos muito complexos 
para a época e origina curvas menos práticas que a circunferência. Contrariando–o, a22 
 
 
 
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espiral arquimediana é hoje tida como curva transcendental e na sua construção é 
observada a razão áurea entre o comprimento das voltas em relação a um ponto dado. 
Infelizmente, não se pode obter todos os pontos da espiral com régua não–graduada e 
compasso, permanecendo o problema–base da trissecção do ângulo sem a querida 
solução por este método. 
Apesar disso, ou Cônon de Samos ou Arquimedes de Siracusa ou ambos (não 
sabemos qual foi realmente o inventor) contribuíram bastante para facilitar um 
problema de dividir ângulos. Só pelo fato de o problema ser reduzido a um mais fácil já 
foi um enorme avanço. No entanto, essa solução é somente uma das que Arquimedes 
propôs para trissecção de um ângulo qualquer, mas pela sua originalidade e beleza essa 
solução se destaca até mesmo entre as dos outros geômetras. 
A Espiral de Arquimedes tem sua forma emprestada da natureza, nos desenhos 
de conchas, nos movimentos das zonas habitáveis dos astros e na forma como são 
originadas a marés, entre outros casos. No fim, não existe melhor geômetra do que a 
natureza. E ela não usa régua e compasso. 
A SOLUÇÃO DE HÍPIAS 
Esta solução é totalmente insólita pelo fato da curva desenhada ser tão 
incomum quanto difícil de ser compreendida sua construção, se observarmos de uma 
maneira rápida e pouco aprofundada. Aliás, esta é a curva mais antiga já citada em 
livros de geometria depois da reta e da circunferência e, imaginá–la cinematicamente e 
construí–la – naquele tempo e com tão poucos instrumentos, deve ter sido um desafio 
maior do que o de trissectar ângulos. Mas o seu inventor foi, por assim dizer, majestoso 
ao construí–la. 
Hípias era um sofista que atuava em Atenas, porém nasceu em Élis. Escreveu 
muitas obras, desde matemática até oratória, todavia tudo isso se perdeu. Hábil artesão e 
de memória excelente, porém muito convencido e ganancioso, segundo relatos de seus 
contemporâneos pitagóricos (BOYER, 1993, pág. 51). Malgrados à parte, Hípias é o 
grande responsável pela construção da mais antiga curva superior da história da 
matemática: a quadratriz. Sem falar que foi um dos filósofos mais notáveis de seu 
tempo, como nenhum outro o foi depois. 
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A quadratriz era originalmente chamada trissetriz (por motivos óbvios), porém 
Dinóstrato conseguiu provar sua excelência em resolver a quadratura do círculo, daí o 
seu nome. Papus refere–se à curva em sua Coleção Matemática de um modo meio 
confuso, no entanto pode–se descrever a construção do seguinte modo: 
Seja um quadrado ABCD. Construindo 
uma reta r, paralela a um dos lados, passando por 
um ponto pertencente a um lado adjacente a este e 
fazendo–a se mover gradualmente ao longo desse 
lado adjacente ao mesmo tempo que ele gira 
gradualmente em torno do vértice comum ao lado 
paralelo, tem–se a curva desenhada a partir do 
movimento do ponto de interseção da reta r com o 
lado que gira. (MARTIN, 1998, págs. 191–192) 
(tradução minha) 
 
A QUADRATRIZ É A CURVA QUE PASSA PELOS PONTOS A E P 
Embora a quadratriz seja construtível com régua e compasso (BRAGA, 1997, 
pág. 203), os movimentos definidos por Hípias nunca se ajustam necessariamente de 
modo que comecem e terminem simultaneamente – se assim se ajustassem, a razão 
entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro seria expressa com todas as casas 
decimais do número o que é pouco provável. Enquanto se deslocam, as duas retas 
MP e AB se interceptam no ponto P, descrevendo no seu movimento a quadratriz. 
Da forma como foram definidos os movimentos, no entanto, a distância 
percorrida pela reta r até coincidir com o lado BC é proporcional ao tempo gasto no 
percurso. Analogamente, a medida do arco na circunferência de centro B e de raio AB é 
proporcional ao tempo despendido no movimento circular deste raio. Logo, existe uma 
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razão entre a distância retilínea percorrida pela reta r e a magnitude angular que o lado 
AB alcança no seu percurso. Em outras palavras, a condição AB/AM = arcAC/arcA'C é 
sempre verificada, qualquer que seja a posição que o ponto de intersecção P esteja. Em 
particular, se dividirmos o lado AB em três partes iguais e observamos a trajetória do 
ponto P ao interceptar as duas retas perpendiculares ao lado AB definidas pelo pontos 
de divisão dos segmentos, teremos então o ângulo ABC dividido em três partes nos dois 
casos onde P seja um ponto das retas. 
Da mesma forma que a espiral Arquimediana reduz o problema de trissecção 
num problema de divisão de segmentos, a quadratriz também o faz. Desde que a razão 
aplicada no ponto de intersecção seja expressa em termos de segmentos de reta, a 
quadratriz divide um ângulo em n–partes iguais, como também o faz a espiral 
unicêntrica. 
A SOLUÇÃO DE NICOMEDES 
Esta solução é genial e bastante simples. Nicomedes resolve o problema de 
nêusis oferecendo uma solução obtida com a ajuda de uma curva superior cuja forma é 
encontrada na simetria sagital antimérica de inúmeros bivalves como ostras, vieiras, 
mariscos e berbigões. 
Nicomedes se situa cronologicamente entre Erastótenes e Apolônio, sendo um 
dos poucos matemáticos antigos que expôs suas soluções para todos os três problemas 
clássicos. Ele é citado por Papus de Alexandria, Proclus de Lícia e Eutócio de 
Ascalonte. Papus no seu Livro IV da Coleção Matemática originalmente define a 
solução de Nicomedes para a duplicação do cubo associada a uma curva especial em 
forma de concha. 
No entanto, a curva superior denominada concóide (do grego konkós: concha) 
é também usada para trissectar um ângulo específico. Existem vários casos de concóide 
dependendo da curva da qual ela é originada. A concóide de uma reta é a mais adequada 
para se dividir um ângulo em n–partes, pela analogia de se poder dividir um segmento 
pertinente à reta transposta para a divisão do ângulo. A construção é simples: 
Considere uma reta r, um ponto O externo 
à reta e uma circunferência C de raio CP igual a 
uma distância k previamente definida com seu o 
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centro P pertinente a r. Considere também a reta 
m que liga os pontos O e PÁG. Fazendo C se 
mover ao longo de r – sempre com o centro sobre 
r, temos que os pontos de intersecção da reta m 
com a circunferência C – Q1 e Q2 desenham os 
dois pontos da concóide. 
 
A CONCÓIDE DE NICOMEDES 
Então a concóide é usada por Nicomedes tanto pra resolver o problema de 
duplicar o cubo tanto pra dividir o ângulo em três partes, em particular resolvendo o 
problema de nêusis. Isso se dá porque queremos inserir um segmento de reta de medida 
pré–definida entre duas retas e para isso utiliza–se a concóide: 
Pelo ponto G de um dos lados do ângulo, 
constroem–se a paralela e a perpendicular ao lado 
BC como previsto, designando o ponto F como a 
intersecção da perpendicular com o lado BC. A 
perpendicular é a reta pela qual se obtém a 
concóide, tendo com pólo o vértice B do ângulo 
ABC e uma circunferência de raio 2BG com centro 
sobre a perpendicular. Tomando E como a 
intersecção da concóide com a paralela, inserimos 
o segmento DE=2BG entre a paralela e a 
perpendicular,apontando para o vértice B. Assim 
o ângulo DBC é a terça parte do ângulo original. 
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A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE NÊUSIS: ED É A DISTÂNCIA ENTRE A PERPENDICULAR E A CONCÓIDE 
É evidente que com a concóide podemos trissectar um ângulo específico pois, a 
construção desta curva depende do pólo e da distância definida de antemão. Assim se 
tivermos um ângulo a dividir, possivelmente ajustamos ou à distância DE ou à posição 
do pólo B, mas não a ambos simultaneamente. 
 
CONCÓIDES DE CÍRCULO CONHECIDAS COMO CARACÓIS DE PASCAL (BRAGA, 1997. págs.208) 
A descoberta dessas curvas superiores fez a atenção dos matemáticos e 
cientistas voltar–se para a natureza, influenciando a anatomia e os estudos sobre beleza 
natural, permitindo mais tarde que Fibonacci descobrisse a sequência que leva seu nome 
a partir da razão transcendente já estudada na Antiguidade  = (1±51/2)/2, conhecida 
como Número de Ouro vindo a ser associada com padrões biológicos evolutivos e de 
beleza e harmonia natural. Vale ressaltar que a concóide também resolve o problema da 
duplicação do cubo, mais por sua semelhança com a cissóide em particular do que 
qualquer outro aspecto. De toda forma, como deduzido, curvas algébricas superiores 
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resolvem problemas algébricos de grau maior ou igual a 2. E o problema da duplicação 
do cubo é um deles. 
 
FORMA CONCOIDAL EM SIMETRIA SAGITAL ANTIMÉRICA DE UM BIVALVE (RUPPERT, 2005) 
 
A CONCÓIDE DE RETA OBTIDA COM COMPASSO E RÉGUA MILIMETRADA (BRAGA, 1997. pág.208) 
Em 1835, uma construção cujo inventor é desconhecido foi descrita num livro 
de geometria como auxílio na trissecção de um ângulo qualquer. É chamada de 
machadinho e sua construção, com régua e compasso é muito simples: 
Considere o segmento de reta MP, 
dividido em três partes nos pontos N e O. Construa 
uma semi–circunferência com NP como diâmetro e 
construa a reta NQ perpendicular a MP. 
Esta é a condição básica de construção. Acrescentando alguns detalhes à 
figura, esta se assemelha a um machado, daí seu nome. 
 
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O MACHADINHO 
Para dividir um ângulo ABC em três partes, desenhe o ângulo de modo: 
O ponto M seja um ponto do lado AB do ângulo (I) 
O vértice B seja um ponto da perpendicular NQ (II) 
A semi–circunferência tangencie BC em um ponto qualquer D (III) 
 
A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO COM O MACHADINHO 
Então os triângulos BMN e BNO são congruentes (Caso LAL) e os triângulos 
BNO e DOB são congruentes (Caso ALA), e por último os triângulos BMN e DOB são 
congruentes por transitividade. Logo os três ângulos são congruentes entre si, dividindo 
o ângulo original em três partes iguais. O ideal (EVES, 2004) seria construir o 
machadinho à parte e recortá–lo para posteriormente utilizá–lo sobre o ângulo que se 
quer dividir. E mais, com dois machadinhos é possível dividir um ângulo em 5 partes. O 
problema de trisseccionar um ângulo continua em aberto e talvez seja o mais 
convidativo para os geômetras amadores – até eu mesmo consegui trissectar um ângulo 
usando um esquadro substituindo a régua não–graduada e um molde de círculo como 
substituto do compasso. 
 
MINHA SOLUÇÃO PARA A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO 
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Minha solução, embora sem provas, é a seguinte: 
Construí dois arcos concêntricos no 
vértice B do ângulo, determinando o ponto C e, a 
partir deste, a bissetriz BC. A partir dos dois 
pontos de intersecção dos arcos externos utilizados 
para construir a bissetriz, fiz o mesmo processo 
determinando os pontos D e E. Construí paralelas 
aos lados do ângulo por estes dois pontos, depois 
duas paralelas entre si, determinando dois 
trapézios congruentes tendo a bissetriz como lado 
comum. Construindo as diagonais destes trapézios, 
determinei os pontos F e G, onde ABF = GBC = 
FBG = ABC/3. 
Contudo, a regra é usar somente os instrumentos euclidianos, que por 
apresentarem alguns entraves, estimularam os matemáticos antigos a criarem novas 
ferramentas para dividir um ângulo em três partes. Seria boba a noção de que só se 
podia construir usando os instrumentos euclidianos – ainda mais para os grandes 
intelectos daquela época que pecariam se prendendo a esse detalhe. Até certo ponto a 
ideia parece ser simplória mesmo, mas então assume uma magnitude heroica imaginar 
que dispondo de poucos instrumentos para construções geométricas e poucas definições 
algébricas às quais pudessem se ater, os matemáticos antigos pusessem a mente pra 
funcionar e inventassem novas ferramentas para solucionar um problema de enunciado 
tão simples. 
 
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A QUADRATURA DO CÍRCULO 
A quadratura do círculo é o mais antigo do três problemas e, talvez o mais 
sério, vindo a ser praticamente abandonado na Antiguidade e só retomada sua 
importância da Idade Média até os dias de hoje. 
O círculo e o quadrado sempre exerceram fascínio sobre o homem desde as 
eras mitológicas. Tanto que vem do Antigo Egito o primeiro exemplo de quadratura, 
descrito pelo historiador grego Heródoto (cerca de 500 a.C.) que aprendeu com os 
sacerdotes que as grandes pirâmides do Baixo Egito possuem as faces triangulares de 
área igual à área de um quadrado cujo lado é a altura da pirâmide. Estas pirâmides são 
chamadas pirâmides áureas, sendo a de Quéops a mais evidente por ser de base 
quadrada e satisfazer a condição. Já o círculo é tido até hoje como a figura mais perfeita 
encontrada na natureza, sendo sua forma reproduzida em larga escala. Vem do Antigo 
Egito, mais precisamente do Papiro de Rhind, do escriba Ahmes um exemplo de 
quadratura de círculo em que a área de um círculo de diâmetro 9 correspondia à área de 
um quadrado de lado 8. Isso significa atribui a  o valor (16/9)² = 3,16 o que era uma 
excelente aproximação para a época de Ahmes. 
Então o problema de se quadrar superfícies se espalhou por todo o 
Mediterrâneo chegando até à Grécia. De modo intuitivo começou–se a quadrar todo tipo 
de superfície, sendo o círculo, até agora, a alternativa mais difícil. A impossibilidade de 
solução se deve à irracionalidade (senão transcendentalidade) de  e sua 
inconstrutibilidade por meio de régua e compasso. Todavia os matemáticos e filósofos 
antigos não o sabiam ainda. Isso em parte deve ter contribuído para que se esforçassem 
em apresentar suas tentativas de solução para a quadratura do círculo. 
AS TENTATIVAS DE ANTÍFON E BRISÃO 
Antífon e Brisão, contemporâneos de Sócrates expuseram suas tentativas de 
solução, porém contribuíram muito para as noções de limites e cálculos de área. Antífon 
dividiu o círculo em quatro arcos congruentes, e a partir daí dividiu sucessivamente 
cada arco novo em dois. Ele então supôs que a figura, bem próxima já do círculo, 
poderia ser quadrada usando os métodos já conhecidos da escola pitagórica 
(SCHUBERT, 1891, p. 210), entretanto o quadrado gerado por este método possuía 
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uma área aproximada, devido à perda de pequenas áreas que ocorria na divisão 
sucessiva dos arcos. 
 
A TENTATIVA DE ANTÍFON DE ATENAS 
Já Brisão de Heracléa foi um pouco mais ousado. Apenas com métodos básicos 
ele conseguiu um quadrado muito menor que o círculo, porém com métodos de 
circunscrição de polígonos ele obteve um outro quadrado um pouco maior que o 
círculo. O erro de Brisão foi crer que a área do círculo era a média aritmética entre as 
áreas dos quadrados inscrito e circunscrito que ele obtivera. O conceito de máximo e 
mínimo foi introduzido por esta preciosa tentativa de Brisão (SCHUBERT, 1891, p. 
210). 
 
A TENTATIVA ATRIBUÍDA A BRISÃO DE HERACLÉA 
Outro fato é que as contribuições de Antífon e Brisão serviram de recurso para 
que Arquimedes demonstrasse mais tarde o conceito de infinitos lados do círculo, no 
Paradoxo da Roda e estimasse o valor de com um pouco mais de precisão para a 
época sendo que Antífon e Brisão expuseram seus trabalhos antes que Hipócrates 
resolvesse quadrar suas lunas, tornando o problema ainda mais famoso na Antiguidade. 
A SOLUÇÃO DE ARQUIMEDES 
Arquimedes foi um matemático exemplar, nascido em Siracusa em 287 a. C. e 
vivendo ali até a conquista da cidade por Marcelo em 212 a. C. (SCHUBERT, 1891, p. 
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211). Primeiramente, Arquimedes observou a relação entre a quadratura do círculo e a 
retificação de uma circunferência, isto é, determinar o segmento de reta de medida igual 
à medida da circunferência. Ele também foi o primeiro que observou que o lado do 
quadrado resultante é sempre a média geométrica entre r e r, necessária para se 
quadrar um círculo, nos seus trabalhos em retificações. Ele então usa novamente a 
espiral unicêntrica para resolver o problema de quadrar o círculo. 
A espiral arquimediana vem a solucionar o problema da quadratura do círculo, 
embora não o reduza à divisão clara de segmentos como no problema da trissecção, mas 
sim o reduz à determinação de uma média proporcional entre um arco qualquer 
retificado e o diâmetro do círculo. Arquimedes então transpôs a analogia entre 
segmentos e arcos observando seus resultados em retificação de circunferências. Assim 
se resolve o problema da quadratura. 
Sendo P um ponto da espiral de origem O, OP satisfaz a condição de 
proporcionalidade em relação ao ângulo AÔP, sendo a a constante de 
proporcionalidade. Então: 
 
A ESPIRAL UNICÊNTRICA RESOLVENDO O PROBLEMA DE QUADRATURA 
Construímos o círculo de centro O e de 
raio a, logo OP e o arco do círculo entre as 
SEMIRRETAs OA e OP são iguais por retificação, 
pois ambos são dados por a
Então, se tomarmos OP perpendicular a OA, OP terá comprimento igual a um 
quarto da circunferência do círculo. Como a área A do círculo é a metade do produto de 
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seu raio por sua circunferência, temos que A = 4aOP/2 = 2aOP. Assim o lado do 
quadrado resultante é a média proporcional entre 2a e OP ou, respectivamente, entre o 
diâmetro do círculo e o comprimento do raio vetor da espiral que é perpendicular a OA. 
Como já visto, a espiral é transcendental e é observada uma razão áurea entre 
seus componentes. Arquimedes teve à mão seus trabalhos sobre retificação de curvas 
que o ajudaram a propor sua solução para a quadratura do círculo e determinar  tal que 
ele estivesseentre 310/71 e 310/70. A espiral é um exemplo claro de inconstrutibilidade 
euclidiana ao passo que o processo geométrico para construí–la nunca termina, análogo 
às casas decimais de . Como  também é transcendente, o processo para se determinar 
o lado do quadrado de área igual à do círculo nunca fornece um segmento exato ou 
nunca termina. Daí segue que quadrar o círculo é impossível. Essas afirmações a 
respeito de  foram base para que Lindemann provasse sua 
transcendentalidadeArquimedes ainda demonstra em seu Tratado da Esfera e do 
Cilindro que o perímetro do círculo está entre o perímetro de dois polígonos regulares 
inscrito e circunscrito a ele, com a contribuição de Antífon e Brisão. E ainda: que o 
círculo é um polígono regular de infinitos lados, demonstrando como se dá o Paradoxo 
da Roda. Arquimedes veio a ser assassinado (SCHUBERT, 1891, p. 211) por um 
soldado romano que se divertia apagando as figuras que ele desenhava na areia, vindo a 
se enfurecer quando Arquimedes o censurou por isso. Porém seu legado perdura até 
hoje e suas contribuições vão muito além das soluções para dois dos três problemas 
clássicos que agitavam o universo matemático antigo. 
A TENTATIVA DE DINÓSTRATO 
A retificação de curvas, anterior à escola jônica – aliada à tentativa de 
Dinóstrato em quadrar o círculo, contribuíram para os trabalhos de Arquimedes em 
demonstrar que a área do círculo equivale à de um triângulo retângulo tendo como 
catetos a circunferência retificada e o raio do círculo. Depois Arquimedes mostrou que 
todo círculo tem área igual a um retângulo com base igual ao raio e altura igual à 
metade do perímetro do círculo. Mas foi com a contribuição fracassada de Dinóstrato – 
excessivamente apedrejada por Esporo de Nicéia, que possibilitou–se um estudo mais 
aprofundado das propriedades por ele observadas na quadratriz e fosse consolidado 
mais tarde o conceito de limite, indeterminação e continuidade. 
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Dinóstrato foi um matemático exemplar além de irmão de Menecmo. Depois 
de a quadratriz ter sido descoberta e utilizada por Hípias para trissectar o ângulo, 
Dinóstrato demonstrou que ela era útil para quadrar o círculo. Eutócio cita que 
Dinóstrato e o irmão Menecmo expuseram seus trabalhos de quadratura do círculo 
independentemente e que Menecmo apenas a usou para retificar a circunferência. 
Tendo o sistema montado com a quadratriz previamente Dinóstrato observou 
que o uso da quadratriz primeiramente para retificar o perímetro do círculo seria 
trabalhoso, pois quando AB e MP se encontram no último momento elas coincidem não 
formando o ponto tão desejado. 
Então Dinóstrato expeculou que se dividisse a quadratriz (ou a área entre ela e 
AB) em pequenos pedaços, tão pequenos quanto o fossem, ele faria com que AB e MP 
chegassem a definir um ponto que não pertenceria ao lado BC, ou seja, aplicando limite 
no movimento do ponto P, isto impediria de ele chegar ao lado BC, onde ele não era 
definido e a quadratriz não era contínua, o que era genial para o seu intento e para o 
trabalho de Arquimedes mais tarde. 
 
A QUADRATRIZ DE HÍPIAS USADA POR DINÓSTRATO 
Então Dinóstrato percebeu que o segmento formado por A e P no seu último 
movimento – o ponto não definido P' – era expresso pela razão 2a/ sendo a o lado do 
quadrado. Como ele percebeu isso, Eutócio não explica aprofundadamente. Mas, de 
fato, para o ângulo PBP' =  e para o segmento A'B = y, temos que A'B/PBP' = k, k uma 
constante de proporcionalidade real. Então quando PBP' = /2: 
2a/ = k, onde Dinóstrato concluiu que: 
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 = y/2a, onde y = 2a/ 
Para determinar a equação polar da quadratriz nesse caso temos: 
y/ = sen o que implica que  = y/sen= 2a/sen 
Quando →0 o limite da razão /sené igual a 1, logo tem–se que AP' = 
2a/Como  é trancendente ele não pode ser construído pois a divisão 2a/ é 
transcendente, logo inconstrutível. Portanto, o resultado de Dinóstrato fornece um 
quadrado de lado igual a 8/9 do diâmetro do círculo dado. Esporo de Nicéia o criticou 
por usar a quadratriz por dois motivos: 
– Já se sabia que quando Hípias descobriu a quadratriz ele nunca conseguia 
sincronizar os movimentos das duas retas, o que realmente é impossível pois se fosse 
possível então teríamos a razão entre o raio e o comprimento da circunferência expressa 
por  em todas as suas casas decimais; 
– O ponto de intersecção entre as retas no último momento não existe pois elas 
coincidem, o que para nós hoje em dia parece muito simples dada a ideia de limite e 
continuidade. 
O resultado de Dinóstrato não fornece diretamente uma quadratura do círculo, 
mas sim uma retificação da circunferência. Usando o resultado que Dinóstrato expôs, 
Arquimedes estabeleceu a ligação entre as duas questões que Dinóstrato conjecturara: a 
da quadratura do círculo e a da retificação da circunferência. 
Outros resultados envolvendo progressão geométrica e inserção de médias 
proporcionais são atribuídos a Dinóstrato e a Menecmo, porém não existe evidências 
fortes a esse respeito. No entanto, a tentativa de Dinóstrato serviu de base para 
Arquimedes mostrar a relação de área de um círculo qualquer e um triângulo retângulo 
de catetos iguais à circunferência retificada e o raio do círculo. Logo, quadrando este 
triângulo – o que é possível – conseguimos quadrar o círculo original. Na verdade, um 
método mais fácil e bem antigo seria obter um retângulo de área igual à do círculo para 
depois quadrá–lo. Todavia esta solução, ou passou despercebida pelos matemáticos 
gregos ou era ignorada por não ser direta, precisando–se obter uma figura intermediária 
para se concluir a quadratura. 
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Em tempos mais atuais, na Inglaterra da I Guerra Mundial, o matemático 
indiano Snirivasa Ramanujan (1887–1920) usou a aproximação 355/113 para  como 
auxiliar na sua proposta de solução para a quadratura do círculo. A solução de 
Ramanujan é constituída de somente dez passos, embora para obter um quadrado de 
área exatamente igual, ela sacrifique algumas casas de no seu intento. Seja uma 
circunferência de centro O e de raio AB, então: 
 (1) Tome H como o ponto médio de AO; 
(2) Tome T um ponto de OB tal que TB é um terço de OB; 
(3) Por T construa uma perpendicular a OB encontrando o ponto Q na circunferência; 
(4) Seja S um ponto da circunferência tal que BS = TQ; 
(5) Construa paralelas a BS pelos pontos T e pela origem O, formando os segmentos TN 
e OM, construindo em seguida o segmento AS contendo todos estes pontos; 
(6) Abaixo do segmento AB, por A construa outro segmento congruente a AM, 
encontrando na circunferência o ponto K; 
(7) Seja L um ponto externo à circunferência, tangente em A e em K e que determine o 
segmento AL congruente a MN; 
(8) Transporte o segmento BH no segmento BK determinando o ponto C; 
(9) Trace por C uma paralela a LK encontrando em BL o ponto D; 
(10) BD é o lado do quadrado procurado, bastando finalmente construir segmentos 
congruentes a BD por B e D. 
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A SOLUÇÃO DE RAMANUJAN 
Contudo, esta solução apresenta uma aproximação para sendo portanto, uma 
tentativa de quadrar o círculo, pois o quadrado foi originado de um círculo imperfeito 
em termos de perímetro. Entretanto Ramanujan era bastante talentoso, existindo um 
prêmio com o seu nome, que é concedido a pesquisadores que, mesmo em dificuldades, 
conseguem mostrar suas contribuições e mantém sua resiliência como auxílio e 
inspiração para suas obras. Ninguém melhor do que Ramanujan para o título de 
matemático prodígio mais famoso do século XIX. 
Apesar da solução de Ramanujan constituir–se de um número finito de passos, 
ela ainda fornece uma área aproximada para o quadrado quando se toma um valor para 
diferente do qual Ramanujan fixou. Assim a quadratura do círculo ainda permanece 
sem uma solução por régua não–graduada e compasso, sendo que de acordo com 
Wantzel, existem argumentos fortíssimos a favor da impossibilidade de solução devido 
à trancendentalidade de , infelizmente. 
Um exemplo curioso da magnitude do problema da quadratura do círculo é 
contado por Elon Lages Lima, que quando estudante na Universidade de Chicago, disse 
ter presenciado vários colegas analisando erros em teses de autores que diziam ter 
resolvido a quadratura do círculo. O departamento de Ciências Exatas do qual Elon era 
aluno se ocupava de questões mais importantes e enviava cartas aos autores, 
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discorrendo sobre a impossibilidade de análise do trabalho. Mas, o departamento 
sugeria que, sob a quantia de 10 dólares fornecida pelo próprio autor do trabalho, os 
colegas de pós–graduação de Elon analisariam os trabalhos e neles descobririam os 
erros crassos cometidos pelos quadradores que desconheciam o fato de  ser 
transcendente. Vergonha alheia à parte, poderia ser que algum destes trabalhos estivesse 
um germe de alguma teoria estrondosa, todavia foi esquecido ou ignorado talvez pelo 
próprio autor. 
Mas quais seriam os números impossíveis de se construir geometricamente 
além de ? Além de  existem alguns números transcendentes,isto é, não–algébricos, 
que não podem obtidos por equações algébricas nem podem ser construídos com régua 
e compasso. Devido à sua irracionalidade, alguns desses números represesentaram 
grandes entraves e causaram muita discórdia na antiguidade entre a álgebra e a 
geometria. Apesar da maioria afirmar que a questão sobre a quadratura do círculo está 
encerrada, teses pelo mundo afora a respeito de números transcendentais tem mostrado 
a relação, ainda obscura para nós, desses números com os números primos – o nosso 
entrave atual. Então, que não pare de surgir novos quadradores! Quem sabe algum 
deles, nas suas tentativas, pode eventualmente descobrir o que essas relações 
representam. 
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CONCLUSÃO 
Em vista dos fatos apresentados, os três problemas clássicos da Antiguidade 
aliados às regras de construção com régua e compasso euclidianos propostas pela 
Academia de Platão possibilitaram a criação de métodos pioneiros que foram 
contribuintes em todos os ramos da Matemática e lançaram as bases de diversas áreas de 
estudo. O senso de responsabilidade para com o conhecimento aliado ao diferencial da 
inovação que existia no intelecto da Grécia Antiga definiram os rumos que a 
matemática seguiu até os dias atuais. As barreiras entre o conhecimento geométrico 
existente naquela época e o conhecimento desenvolvido foram totalmente destruídas 
como também a barreira aparente que existia entre a geometria parcialmente concreta e 
a álgebra aparentemente rudimentar que imperava na Grécia Antiga. A criatividade para 
se resolver um problema presumidamente irresolúvel permitiu a analogia entre saberes 
totalmente diferentes, ao passo que as regras propostas pela Academia não impediram a 
criação de uma cultura de soluçãode problemas baseada em novas ideias. Portanto, 
empenhados em solucionar o problema, ainda que por meios considerados impróprios, 
os matemáticos da Antiguidade conseguiram unir álgebra e geometria através de 
conceitos novos. É quase que inacreditável que três problemas, de enunciados tão 
simples, pudessem ter causado tão grande alvoroço na Antiguidade, pondo o intelecto 
dos geômetras à prova e contribuído tanto para o desenvolvimento da matemática – em 
particular de uma geometria mais dinâmica e próxima da natureza além de uma álgebra 
superior abstrata e complexa, contribuindo para resultados em diversas áreas do 
conhecimento. A naturalidade com que surgiram novos conceitos a partir dos resultados 
desses três problemas é o grande diferencial deles em relação a outros tão comuns na 
matemática. É interessante notar a possibilidade de existência de novos conceitos 
matemáticos que ainda faltam ser descobertos, e que podem ser descobertos 
posteriormente resolvendo–se esses três problemas. Pois o interessante disso tudo não é 
a resolução dos três problemas em si, mas os instrumentos inovadores utilizados nas 
tentativas de solução – que ao longo do tempo estão lançando cada vez mais novos 
conceitos, estimulando a recriação e refinamento da matemática atual. Vários 
matemáticos da atualidade mostraram suas soluções para esses três problemas que 
permanecem em aberto. Porém, usam conceitos já estabelecidos na matemática e não 
conseguem a tão brilhante inspiração que tiveram os geômetras antigos em suas 
soluções, não estando os matemáticos atuais portanto na intersecção gloriosa entre 
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solucionar o problema e descobrir um conceito novo. No entanto os problemas estão 
em aberto. Quem sabe se não existe por aí um sortudo que consiga resolvê–los, ou 
melhor: que promova a descoberta de mais conceitos matemáticos revolucionários ao 
tentar solucioná–los. 
 
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