Exercícios de Cálculo I - Derivadas e Aplicações

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2013
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Usando a definic¸a˜o de derivada
df
dx
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
encontre a derivada das func¸o˜es
(a) f(x) = 4x2 + 5x+ 3
(b) f(x) =
√
3x+ 5
(c) f(x) =
1
x+ 1
(d) f(x) =
3
x2 + 1
2. Verifique se f e´ cont´ınua e diferencia´vel no ponto x0 = 0, sendo:
f(x) =

x2 + sen(x), se x > 0
x5 + 4x3, se x < 0
0, se x = 0
3. Calcule f ′(x) para as func¸o˜es abaixo
(a) cosh(x) =
ex + e−x
2
(b) senh(x) =
ex − e−x
2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e1/x
2
+
1
ex2
(e) f(x) = xe + ex + log2(x
2)
(f) f(x) = ln(arctg(x))
(g) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1)
(h) f(x) = (cos2(x) + 1)sen(x)
(i) f(x) = cotg(3x2 + 5)
(j) f(x) =
3
√
x
2
cos(x)
(x4 + tg2(x) + 1)2
(k) f(x) =
√
cos−1(x2) + 2cos2(3x)
4. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equac¸a˜o de movimento
s =
t2
2
+
4t
t+ 1
onde s e´ a distaˆncia desde a origem, dada em metros, e t e´ o tempo, dado em segun-
dos. Encontre a velocidade, a distaˆncia percorrida e o tempo quando a acelerac¸a˜o e´
nula.
5. Mostre que a taxa de variac¸a˜o do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao seu raio e´
numericamente igual a` a´rea da esfera.
6. Seja f(x) = x2 − x. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 0.
7. Seja f(x) = 2x+ 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa 3.
8. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 no ponto (x0, y0).
9. Achar, caso existam, os valores ma´ximo e mı´nimo de:
(a) f(x) = sen(x)− cos(x), x ∈ [0, pi]
(b) f(x) =
√
3 + 12x− x3, 0 ≤ x ≤ 3
(c) f(x) =
1
x
+ ln(x),
1
2
≤ x ≤ 4
10. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e deˆ as ass´ıntotas, quando existirem:
(a) f(x) = x3−x2−x+1
(b) f(x) = x4 + 2x+ 1
(c) f(x) =
x
x2 + 1
(d) f(x) =
x3
x2 − 1
(e) f(x) =
(
3− 6
x
)
e2/x
(f) f(x) =
√
4x2 + x+ 1
(g) f(x) =
x2 − 1
x2 − 4
(h) f(x) =
3
√
x3 − x2
11. Seja f uma func¸a˜o cuja derivada tem gra´fico esboc¸ado na figura abaixo:
64 5321−1
−2
y = f ′(x)
y
x
(a) Em que intervalos f e´ crescente ou decrescente?
(b) Para quais valores de x f tem um ma´ximo ou mı´nimo local?
(c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo?
(d) Ache os pontos de inflexa˜o de f .
(e) Assumindo que f seja cont´ınua e que f(0) = 0, esboce o gra´fico de f .
12. Seja y = cos(ωt), ω constante. Verifique que
d2y
dt2
+ ω2y = 0.
13. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy + 3 = 2x. Mostre que
dy
dx
=
2− y
x
.
Calcule
dy
dx
∣∣∣∣
x=2
.
14. Dada 4x2 + 9y2 = 36 encontre a derivada segunda por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita.
15. Determine a constante a tal que f(x) = x2 +
a
x
tenha:
(a) Um mı´nimo local em x = 2.
(b) Um mı´nimo local em x = −3.
(c) Mostre que f na˜o tera´ ma´ximo local para nenhum valor de a.
16. Calcule, caso exista
(a) lim
x→0
(
1
1− cos(x) −
2
x2
)
(b) lim
x→1
x5 − 6x3 + 8x− 3
x4 − 1
(c) lim
x→0+
(
1
x
− ln(x)
)
(d) lim
x→0+
x ln(x)
(e) lim
x→0+
xx
17. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para
√
1, 01.
18. Achar os pontos da hipe´rbole x2 − y2 = 1 mais pro´ximos de (0, 1).
19. Em uma reac¸a˜o qu´ımica, uma mole´cula C e´ produzida a partir do reagente A e de
uma mole´cula do reagente B:
A+B → C
A concentrac¸a˜o da mole´cula C, denotada por [C], varia no tempo segundo a func¸a˜o
[C](t) = 4 +
0, 1t
0, 1t+ 1
onde [C] e´ dado em mols, e t em minutos. A velocidade de formac¸a˜o de C, tambe´m
conhecida como taxa de reac¸a˜o, e´ determinada pela derivada d[C](t)
dt
.
(a) Qual a concentrac¸a˜o inicial de C (isto e´, [C](t = 0))?
(b) Determine a taxa de reac¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
(c) Determine a taxa de reac¸a˜o, em mols/min, nos instantes t = 0, t = 10 e t = 100
min.
(d) Apo´s um longo per´ıodo de tempo, a concentrac¸a˜o tende a se estabilizar? em
que valor?
20. Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja o menor poss´ıvel.
21. Mostre que de todos os retaˆngulos com a mesma a´rea, o que tem o menor per´ımetro
e´ o quadrado.
22. Um peixe que nade com velocidade v, relativo a` a´gua, gasta energia proporcional
a v3. Se o peixe esta´ nadando contra a corrente, de velocidade u (v < u), enta˜o o
tempo necessa´rio para nadar uma distaˆncia L e´ L
v−u e a energia total gasta nesta
distaˆncia e´:
E(v) = av3
L
v − u,
onde a e´ uma constante. Determine o valor de v que minimiza a energia gasta
Respostas
1. (a) 8x + 5 (b) 3
2
√
(3x+5)
(c) −1
(x+1)2
(d) −6x
(x2+1)2
2. Cont´ınua mas na˜o deriva´vel em x0 = 0.
3. (a) e
x−e−x
2
(b) e
x+e−x
2
(c) −2
(x−1)2
(d) −2e
1/x2
x3
− 2x
ex
2
(e) exe−1 + ex + 2
x ln(2)
(f) 1
arctg(x)
1
1+x2
(g) 1
x+
√
x2+1
»
1 + x√
x2+1
–
(h)
“
(cos (x))2 + 1
”sen(x) “
cos (x) ln
“
(cos (x))2 + 1
”
− 2 (sen(x))2cos(x)
(cos(x))2+1
”
(i) −6x cossec2(3x2 + 5)
(j)
(x4+tg2(x)+1)2
“
2
3x
−1/3cos(x)−x2/3sen(x)
”
−
“
x2/3cos(x)
”
2(x4+tg2(x)+1)(4x3+2tg(x) sec2(x))
(x4+tg2(x)+1)4
(k) 1
2
√
cos−1(x2)+2cos2(3x)
»
−2x√
1−x4
− 12 cos(3x) sen(3x)
–
4. t = 1s, s = 2, 5m, v = 2m/s
6. y = −x
7. y = 2x + 1
8. xx0
a2
− yy0
b2
= 1
9. (a) −1,√2 (b) √3,√19 (c) 1 e 1, 64
13. 3
4
14. − 16
9y3
15. (a) 16 (b) −54
16. (a) 1/6 (b) −5/4 (c) +∞ (d) 0 (e) 1
17. ∼ 1, 005′
18.
“
±
√
5
2
, 1
2
”
19. (a) 0 mol
(b) 0,1
(0,1t+1)2
(c) 0, 1 mols/min (t = 0), 0, 025 mols/min (t = 10) e ∼ 0, 0008 mols/min (t = 100).
(d) 0, 1 mols/min
20. −50 e +50
22. v = 3
2
u. Este fato e´ testado experimentalmente, peixes migrato´rios realmente nadam a uma velocidade 50% superior
a` da corrente.