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Calculo III - Resolução da Lista 2 (gabarito) UFF

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L i J* iL Z Cc u J o I JA A 5 2 5
 T U n i v e r s i t la d c Fcder n 1 F 1u 1n i n c n s c
E G HI l ï t i t ut o t le is l a t e r , r ai t Ic n e E s t a t fs Ai c n L S y 2 0 1 5 2
G M A D o p n r \ n n i c n t o r lp Mn ï e mt i c a A p l i c a d a I nt cgml Ti pl a
z O 
C M c u l e 
v 
1 v o n d e t V a r c g i ño d o p r i n i c i r o o c l n Ht e , hm i h r d a p o r r · 1 U , u z , O e
C a l c u l e Jn
, 
m
, 
o n de w . . s óhd o de h n Ä a d o p o r . o , y o , Æ v 2 , z Y v 2 e z 0
4 C a l c u ta JJH , y F M
, 
o n d e w n r c g iño dch m i t ñó p o r r o , z o , r z V c z 
5 C a l c u le Jí f
, 
z d v
, 
o n d e W e s t D s i t u a t l o n o p r i m c i r n o c Aa n t e , l i m i t a d o p e l o s p l a n p s z - O, £ - O,
y 2 Æ e p e l o c M n d m y 2 2 4
ü M o u l e JM
.
. 
z d v
, 
o n d e V . . Só hd o h i n h a d o p e l o s p h n o s c O, y O, ' O, V z 1 c
7 C a l c u l e Jf f
, 
2 4 z [ l l ï
, 
o n d e ì ï ï ei o s ó id ü l i m i t a d o p o r = + j / + z 2 , x - n , V - O, z = O, e z - 1
8 U s e u m i A i n t e g r a l t r i p l a p a r a c a lc u l a r o v o l u m e d o só l id o W l i m i t a d o p o r
W z 4 x 2 y 2 e z y , s h u a d o n o i n t e D o r d u c M n d r o 3 2 v 2 1 z 0
(c ) z - 3z 2
, 
z - 4 x 2 U n c z + V - 0
W y O z O c y 2 , 2 y % v z z 2 4 , n o p r i n l e ó o c Aa n m
9 C a l c u l e Jf í
. 
z d v
, 
o n d e W o s ól i o l i m i t a d o p e la s s u p e r f íc ie s z - . , z (z + y 2 ) c
z
2 
+ y
2 
+ z
2
_ 4
1 1 C a l c u l e j I f
. 
J · + 3/ 2 { l v , o n d e ì v , ) s ól id o l i m i t a d o p e la s s u p e r f íc ie s z = ( Z y 2 ) , ï 2
. ° C o n s i d e r e a n Ae gFa l \ t e > a t \ n 0 - I J
,
-
-
, - , t zdYd=
 E x p r e s se I em c o o r de n a d a s c Mn ó c a s e c a k u l e , s c u v n m .
(b ) E x p r e s s e I c l n c o o r d e n a d a s c & f r i c a s c c a l c u l e o s c u v a lo r
13 C a lc u l e o v o l u m e d o sá
.
id o W q u e e s t á de n t r n r la e s fc r n 2 + t12 + z 2 _ 4
, 
a c i m a d o p l a n o 2 - 0 c
a m x o d o c o n e z c m 
14 C a l c u le o v o l u m e d o s d l id o W ( la do p o r x 2 + ?/ 2 + (z 1)2 [ 1 c z > c2 + y 2
15 C a l c u la a n i a s s a d o s Ä d o W m u n do n u p r hn d r u u c t a n t c , h m k a d u p e lo s p L1n o s æ O, v 2 z c p c l u
c i l h n h u y 2 z 2 2 , s u p u u d u q u u i L d c u s id aBde n u p m u þ , y , Z D Wupur =i ün1l % d is M n c hB d e s t e 1J u 1t l u
n o p l a n o a ?j
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C á1c u 1o I I I A 2 0 15 2 6
l c u l c a m i w w d o s ó l id o ï V
, 
0i m ï t a d u p e l a s _ u p c r Hc 0c s x 2 + y 2 _ 1 , z + 3/ - 2 c z + (' , Sc a d c n s
i d a d o
c m (z
, y , z ) é d a d a p o r p ( c
, y , z ) = z
° C a l m e a I n a s s a d n sóh d o h n Ä a d o p e lo p l a n o o , o c M n d m z
2 y 
2 2 z e peo q n e z J · y z ,
s c a d e n s id a d e p (Æ
, y , z ) = r 2 + t/ 
18 C a l c u le a m a s s BL d o s ó l id o l i m i t a d o s u p e r in n n c n l c p o r n
2 
+ v 
2 4 ( · 1 ) 2 _ 1 , i n f e r i o r m e n Ae p o r
z = (1 2 + :rl | ) , s e n d o a d e n s id a d e ig u a l a o q u a d r a d o ,-l n d is A n c i n d c (z , y , z ) a o l l a n o z - n
1 9 C a l c u l e n I l l a s s a d o s ól id o ïV : = 2 + 4/2 [ 1 , = 2 + V + z 2 < 4 c 0 , s e n d o a d n s
id a d e d a d a p o r
p (Æ , y , z ) = 2
2 o E n c o n t r e a n m s s a d a r c g ñ o s óh d a h n Ä a d a peas s n p c r f íc k s z 16 2Æ
2 2 y 
2 
c 4 2 x z 2y 
2
s e a
d e n s id a d e d n SÆ d o é ó , y 
2 1 E n c Ä , r e 0 mo n 1 M 0 d c i n r c h 
. 
Do s áhd o n o p r h n d r o oc a n t e , ' hn Mad o p e l a s u p c r
f : c i e s Z y ,
n
2 
y 
2 
, 
z O c x O
, 
s e n d o n d c n %hM c d a ó p o r p cr , u , 4 k z , o n d e k C u m n c o n
M a ó
22 C a o n Ä u ì d o c e n t >u dc m u s s a d o Sá Hd u W d a d o p u r u2 l y 
2 
z
2 | 2 a , z 2 y 2 I z 2 Z 8 z ,
z = - z [ l 3 ( · z + y z ) , s c a d e n s id a d e 11o p u n t o (z , u : z ) i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a o
q u a d r a d o d a d is t i i n c i a d o p o n t o $t o r ig e m
2 3 C D u s IDc r c o c i l i n d r o h o m o g ên e o = 2 + (u n ) 2 [ a c o [ z < I I C a l c u l e o i nomnt o d e i n r c i a e l n
1' " l açi o a o e ix o z , c m f u n ç o d a m a s s a M d o c i l i n d r o
2 1 s c ï n I = = J
. 
J ,
'
d z ây ó R = c s c r c v B\ ah\ \ =gT . . " d . . ' " .
2 5 Se j a ( , v o l u m e 9l o s d l i d o W c o i n t i m S f c > n s x 2 + J12 + 2 _ 1 c x
2 
+ V
2 
+ z
2
- 2z E x p r e s s e (5 c l n
Cal cuar o v d u m e ó w c m
(a ) e l n c o o r d e n a d a s c i l ín d r i c a s n a o r d e r u d z d r r to
(b) e m c o o r d e n a d a s e s l r i c a s n a o r d e m t 1pddo 
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