UNIDADES_2e3_CARRGASCOMBINADAS_VASOS DE PRESSÃO

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UNIDADE 2
CARREGAMENTO COMBINADO E 
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA PARA 
CARREGAMENTO ESTÁTICO
MECÂNICA DOS SÓLIDOS III
Prof. Marcelo Cavalcanti Rodrigues
1.1 FLEXÃO PURA EM VIGAS CURVAS
Para vigas prismáticas (retas) calcula-se a tensão de flexão usando:
(1)
onde a deformação varia linearmente a partir do eixo neutro.
Para elementos curvos, essa hipótese é inexata, assim deve-se descrever outra equação
para a distribuição de tensão.
Uma viga curva é um elemento que tem eixo curvo e está sujeito a flexão. Ex: ganchos,
elos de correntes.
I
Mc
=σ
Esses elementos não são delgados, têm curva acentuada e as
dimensões da seção transversal são grandes quando
comparadas com seus raios de curvatura.
1.1 FLEXÃO PURA EM VIGAS CURVAS
Suponha que a área da seção transversal seja constante e tenha eixo de simetria
perpendicular a direção do momento aplicado M. O material seja homogêneo e
isotrópico, comportando de maneira linear-elástica com a presença de carga.
As seções transversais da viga permanecem planas após a aplicação do momento M. 
Quando a curvatura inicial da viga torna-se significativa, a variação linear da deformação 
especifica ao longo da seção transversal deixa de ser válida.
Assim, a deformação 
longitudinal é:
(1)yb
iδδ =
O comprimento não deformado é ρθρθρθρθ., assim a Eq. (1) em termos das deformações
específicas torna-se:
(2)
Note que a Eq. (2) indica que a deformação especifica não varia linearmente com y,
diferente de uma viga reta pois
�
���
.
Segundo a Lei de Hooke, εεεε = σσσσ/E (para σσσσy= σσσσz = 0) e substituindo na Eq. (2), tem-se:
(3)
yR
y
b
ry
b
r
y
b
r
yrb
iiii
ii
ii
−
=⇒=⇒
=⇒=
ε
ε
ρ
ε
ε
θερθεθερθε
yR
y
b
ry
b
r iiii
−
==
σ
ρ
σ
σ
Onde a distribuição de tensão de flexão não é linear com y. Para calcular a localização da
superfície neutra (linha neutra), faz-se:
(4)
Como y = R - ρρρρ, onde R é o raio da superfície (linha) neutra e ρρρρ = r e substituindo na
equação acima.
(5)
Resolvendo a Eq. (5), tem-se:
(6)
0.0 ==∴= ∫∑ ∫ dA
y
b
rdAF
A
ii
A
x ρ
σ
σ
0=−∫ dA
R
b
r
A
ii
ρ
ρσ
∫
∫∫
∫∫
=⇒
⇒=−⇒
⇒=−
A
AA
AA
r
dA
AR
dAdAR
dAdAR
01
0
ρ
ρ
A Equação (6) apresenta a localização da linha neutra, onde as tensões são nulas numa
viga curva, onde A é a área da seção transversal e r é a posição arbitrária de área dA na
seção transversal medido a partir do centro de curvatura O.
Para uma seção transversal retangular de largura t. Analisando um elemento de área
dA = t. dρρρρ . A partir da Eq. (5):
como R é constante,
(7)
Para o momento interno resultante em termos da tensão normal de flexão a partir da
equação de equilíbrio ΣM=0,
(8)
0=−=− ∫∫∫
o
i
o
i
o
i
r
r
r
r
r
r
tdRdttdR ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ






−
=⇒=−−





i
o
io
io
i
o
r
r
rr
Rrr
r
r
R
ln
0)(ln
∫∫
∫
−
−=−⇒
⇒−=
A
ii
A
ii
A
r
dAR
b
rdAy
b
r
ydAM
ρ
ρσ
ρ
σ
σ
22 )(
)(
Pode-se escrever a Eq. (8) da seguinte forma separando a integral:
A segunda integral entre os colchetes é zero a partir da Eq. (5) e quando R-ρρρρ é
substituído por y na primeira integral o momento é:
(9)
onde yc é a coordenada do centróide da área da seção transversal A medida a partir do
eixo neutro.
Para um momento fletor positivo, yc deve ser sempre negativo, indicando que o eixo
neutro da seção transversal está sempre colocado em direção ao centro de curvatura a
partir do centróide. Observe outra forma explicada a seguir.
Substituindo (riσσσσi)/b na Eq. (9) por (ρσρσρσρσ)/y da Eq. (4), e y = R- r ou r = R-y, logo:
(10)








−
−−−= ∫∫
AA
ii
r dA
RdAR
b
r
M
ρ
ρρσ )(
c
ii
A
ii
r Ayb
r
ydA
b
r
M
σσ
=








= ∫
cc AyyR
My
rAy
My
)( −==σ
1. A PARTIR DA FIGURA ABAIXO DETERMINAR A ÁREA DA SEÇÃO TRASNVERSAL A E A LOCALIZAÇÃO DO
CENTRÓIDE, , MEDIDA A PARTIR DO CENTRO DE CURVATURA;
2. CALCULAR A LOCALIZAÇÃO DO EIXO NEUTRO, R, EQ.(6). SE A ÁREA CONSISTIR DE VÁRIAS PARTES
COMPOSTAS, CALCULAR DE CADA PARTE.
DEPOIS USA A EQ .(6) PARA TODA A SEÇÃO EM
EM TODOS OS CASOS R < yc , ASSIM O EIXO NEUTRO ESTÁ SEMPRE LOCALIZADO ENTRE O CENTRÓIDE E O
CENTRO DE CURVATURA DA VIGA.
3. A TENSÃO NORMAL LOCALIZADA EM UM PONTO r DISTANTE DO CENTRO DE CURVATURA É DETERMINADA
PELA EQ DA TENSÃO. SE A DISTÃNCA y AO PONTO FOR CONHECIDA A PARTIR DO EIXO NEUTRO, CALCULAR e = yc
- R E USAR A OUTRA EQUAÇÃO DA TENSÃO.
r
rdA /∫
( )∫∑∑= rdAAR //
Aer
rRM
RrAr
rRM
)(
)(
)(
−
=
−
−
=
σ
σ
Método da Superposição
Geralmente as vigas curvas são carregadas de modo que ocorrem uma força axial e um 
momento fletor atuante em sua seção transversal.
A tensão normal pode ser somada algebricamente a tensão devida a uma carga axial P
atuante no centróide da área da seção transversal. Onde o momento é a carga P
multiplicada pelo raio do centróide da seção transversal.
A tensão total em um ponto localizado a uma distância r do centro de curvatura O é:
(11)
Aer
RrM
A
P )( −
+=σ
y
LN σx
EXEMPLO DE SOLUÇÃO ANALÍTICA X SOLUÇÃO NUMÉRICA
1 Uma viga curva de seção transversal em T submetida à carga de -1747 N ou um 
momento de -900 N.m.
SOLUÇÃO:
Usando a equação (2.13), obtém-se o resultado da tensão média analítica em A (superior)
é 3.82 MPa (T) em B (inferior) é 9.73 MPa (C). Na solução numérica foi construído o
modelo mostrado na figura a seguir.
Resultado numérico de 13,45 Mpa (C) e de 2,79 MPa (T) utilizando o método de Von
misses.
O resultado difere um pouco pois o método de Von Mises é uma tensão resultante das
tensões aplicadas.
EXERCICIOS
1. A barra tem uma seção circular de 0.6 in de diâmetro. Sabendo que a = 1.2 in, 
determine as tensões nos pontos: a) A e b) B.
50 lb
50 lb
CB A
0.6 0.5 a
SOLUÇÃO: c = ½ d = 0.3 in; 
O valor de R é retirado da tabela:
A excentricidade :
A área:
[ ] [ ] incrrR 77081.03.08.08.0
2
1
2
1 2222
=−+=−+=
inRre 02919.077081.08.0 =−=−=
222 in28274.0)3.0(cA === pipi
O momento é: 
Calculando o valor da distância até o ponto A e B para r1 = 0.5 in e r2 = 0.5 + 0.6 = 1.1 in
Ponto A:
Ponto B:
Portanto:
in32919.01.177081.0rRy
in27081.05.077081.0rRy
2B
1A
−=−=−=
=−=−=
psi1045.3
1.1)02919.0(28274.0
)32919.0(100
28274.0
50
Aer
My
A
P
psi1074.6
5.0)02919.0(28274.0
)27081.0(100
28274.0
50
Aer
My
A
P
3
2
B
B
3
1
A
A
×−=
−
+=+=
×=+=+=
σ
σ
FLEXÃO ASSIMETRICA ou OBLIQUA
Considere flexão assimétrica de vigas e barras linearmente elásticas quando as seções transversais não são 
simétricas ou quando as cargas não atuam em um plano de simetria. 
O plano do momento plicado M faz um ângulo α com o eixo vertical y. Admite-se que os eixos y e z sejam os 
eixos centroidais principais da seção transversal.
Decompondo-se o momento aplicado segundo suas componentes My e Mz temos:
α
α
cos
sin
MM
MM
z
y
=
=
FLEXÃO ASSIMETRICA ou OBLIQUA
Note que quando o momento fletor atuante é causado por forças obliquas aplicadas transversalmente, é 
conveniente utilizar o procedimento descrito a seguir:
1. Essas forças são decompostas segundo suas duas componentes, uma em cada plano principal centroidal;
2. São calculados os momentos My e Mz causados pelas componentes em relação aos respectivos eixos;
3. A linha de ação da carga deve passar pelo centróide C da seção transversal para não produzir qualquer 
torção em relação ao eixo longitudinal da barra;
Assim a tensão normalatuante em um ponto A de coordenada (y,z) no interior da seção transversal é obtida 
pelo principio da superposição.
Onde Iy e Iz são os momentos de inércia da seção transversal em relação aos eixos principais y e z.
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
+−=σ
Obs: o sinal de (-) é devido ao Mz realizar
compressão no ponto A. o sinal de (+) é devido
ao My realizar tração no ponto A.
FLEXÃO ASSIMETRICA ou OBLIQUA
A equação do eixo neutro da seção transversal é obtida impondo-se σx = 0 na equação anterior.
O ângulo φ entre esta linha reta e o eixo z é obtida pela relação:
Após a substituição das expressões de My e Mz temos:
A maior tensão ocorre no ponto mais afastado do eixo neutro. α e φ são positivos no sentido horários medidos a 
partir do eixo z.
z
IM
IM
y
I
zM
I
yM
yz
zy
y
y
z
z
x =⇒=+−= 0σ








=⇒== −
yz
zy
yz
zy
IM
IM
tg
IM
IM
z
y
tg 1φφ
α
α
αφ tg
I
I
IM
IM
IM
IM
tg
y
z
y
z
yz
zy
===
.cos
.sin
EXERCICIO
Considere o bloco abaixo submetido a uma carga P desconhecida. Coloca-se sensores (strain gages) de
deslocamento nos pontos A, B e C do bloco. Os sensores fornecem os seguintes dados de deformações:
Sabendo que E = 29 x 106 psi . Determine:
a) P = ?
b) Tensão no ponto escondido em x = -2,5 in e z = -1,5 in.
;200;1000;500 µεµεµε −=−=−= CBA
SOLUÇÃO
Analisando as tensões no ponto A, B e C, temos:
Calculando os momentos de inércia em x e em z e a Área temos:
Os momentos gerados pela carga P:
psiE
I
xM
I
zM
A
P
psiE
I
xM
I
zM
A
P
psiE
I
xM
I
zM
A
P
C
z
Cz
x
Cx
C
B
z
Bz
x
Bx
B
A
z
Az
x
Ax
A
5800)10200(1029
29000)101000(1029
14500)10500(1029
66
66
66
−=×−×=×=−+−=
−=×−×=×=−−−=
−=×−×=×=+−−=
−
−
−
εσ
εσ
εσ
2
4
3
4
3
15)3(5
25,31
12
)5(3
25,11
12
)3(5
inA
inI
inI
z
x
==
==
==
PxM
PzM
z
x
−=
=
Analisando a tensão no ponto D 
temos:
=++−=
z
Dz
x
Dx
D I
xM
I
zM
A
P
σ
EXERCICIO EM SALA
Considere a barra abaixo submetida a um momento fletor M = 12 kN.m. Determinar a tensão normal
desenvolvida em cada canto da seção e especificar a direção do eixo.
SOLUÇÃO
Calcula-se os momentos :
Propriedades da seção: pelo resultado define-se que o eixo z é o eixo principal, pois Iz é maior.
Tensão:
Eixo neutro: por proporção, ao longo da borda BC, e como θ é -tg-1 (4/3) = -53,1° temos:
mkNM
mkNM
z
y
.20,7)12(5/3
.60,9)12(5/4
==
−=−=
433
433
)10(067,1)4,0)(2,0(
12
1
)10(2667,0)2,0)(4,0(
12
1
mI
mI
z
y
−
−
==
==
MPa
I
zM
I
yM
MPa
I
zM
I
yM
MPa
I
zM
I
yM
MPa
I
zM
I
yM
y
y
z
z
E
y
y
z
z
D
y
y
z
z
C
y
y
z
z
B
95,4
25,2
95,4
25,2
=++=
−=−+=
−=−−=
=+−=
σ
σ
σ
σ
mz
zz
MPa
0625,0
)2,0(
95,425,2
=
−
=
°−== 4,79θα tg
I
I
tg
y
z
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Tensões cisalhantes são originadas por carregamentos de Torque e por carregamentos
de esforços cortantes (tranversais).
J
TcT
xy =τ
Tτ
c0
It
VQV
xy =τ
V – cortante
t – largura da seção = 2c
Q – momento estático de área
I – Momento de Inércia
P
2c
maxτ
))(2/('. yAyAQ ==
)(2/1 ycy +=
distância da linha 
neutra até o centróide.
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Considere:
P
T
y
z
x
B
A
V
B
D
C
A
T
V
xy
T
xy ττ +
V
xy
T
xy ττ +−
T
xyτ
T
xyτ
Ponto A – cisalhamento por torção
Ponto B – cisalhamento por torção
Ponto C – cisalhamento por (-) torção + 
cisalhamento por (+) cortante
Ponto D – cisalhamento por (+) torção + 
cisalhamento por (+) cortante
It
VQ
J
TcV
xy
T
xyxy +=+= τττ
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
(b) Cisalhamento direto devido a P;
(c) Cisalhamento devido a T;
(d) Tensões cisalhantes superpostas;
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Considere um eixo circular de 25 mm de diâmetro engastado na sua extremidade.
Barra circular sólida de 100 mm de comprimento submetido a Momento x que é o
Torque de 20 N.m e a uma carga Py de 10 N. Deve-se analisar as tensões no ponto D.
Fazendo o somatório de forças na direção x, temos Rx = 0.
Na direção y, temos: Ry + 10 =0, logo Ry = -10N.
Na direção z, temos: Rz = 0. logo uma reação é gerada.
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Fazendo somatório dos momentos em x, y e z, temos:
∑Mx =0 ⇒Mx = T = -20 N.m;
∑My = 0;
∑Mz = 0 ⇒Mz + 100mm(10N) = 0, logo: Mz = -1000 N.mm
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
As reações são:
Surgirá um Vy, Mz e T.
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Analisando a força Py, temos:
A carga Py (cortante) cria um momento em torno do eixo z, porém a tensão em D é zero 
devido y=0, o ponto D está sob o eixo neutro.
Tensão cisalhante devido ao cortante Vy é dado por:
MPa
mmmm
mm
It
QVyV 02716,0
)25(8,19174
)1,1302(10
4
3
===τ
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
O torque Mx = 20 N.m sobre o eixo x cria uma tensão cisalhante.
MPa
mm
mm
J
TcT 519,6
5,38349
)5,12(20
4 ===τ
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
Sumário no ponto D.
A tensão normal para a carga combinada por ser determinada pela superposição dos 
casos individuais.
A tensão normal em D é nula. A tensão de cisalhamento em D é 
MPaMPaMPa
J
Tc
It
QVyTV 492,6519,602716,0 −=−=−=−= τττ
1.3 SUPERPOSIÇÃO DE TENSÕES CISALHANTES
As tensões principais são:
MPacom
MPa
MPa
yxyx
492,6__
492,6
492,6
)492,6(00
22
2
1
22
2
2,1
=



−=
=
=−+±=+





 −
±
+
=
τ
σ
σ
τ
σσσσ
σ
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
Considere uma barra submetida a esforços de cargas AXIAIS, FLEXÃO e TORÇÃO.
As tensões correspondentes podem ser obtidas utilizando-se as relações básicas das 
tensões aplicáveis a cada caso:
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
• Tensões combinadas podem ser determinadas pela superposição as tensões devido a 
cada carga que atua separadamente e em casos em que envolve deformação elástica;
• Uma vez as tensões combinadas são calculadas, os métodos de análise de tensões são 
aplicados para cálculo das tensões principais e cisalhamento máximo;
Considere o caso de uma barra engastada e submetida a carga de tração e torção. 
Analisando o ponto A.
As tensões principais e cisalhamento 
máximo são:
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
Considere o caso de uma barra engastada e submetida a carga de tração, torção e flexão. 
Analisando a seção AB.
(b) Tensões combinadas devido a P 
(tensão normal) , T (cisalhamento) e V 
(cisalhamento);
(c) Tensões combinadas devido a Torção, 
carga axial P e flexão M = Ra.
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
Considere a seguinte situação abaixo:
Um eixo submetido aos seguintes carregamentos combinados: Px = 15 N; Py = 25 N e Pz
= 30 N, além de um torque de 55 N.m.
Dados do eixo: L = 1m; d = 0,03m.
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
ELEMENTO A
A força Px = 15N gera as seguintes tensões:
a. Tensão normal axial de tração:
A força Py = 25N gera:
a. Tensão normal de compressão devido a flexão pelo momento sobre z.
Embora a carga Py (cortante) cria uma tensão cisalhante , a tensão cisalhante sobre A na direção y é 
zero.
A força Pz = 30N gera:
a. Pz cria um momento sobre eixo y gerando tensão normal de flexão nula pois z =0, em outras 
palavras o elemento A está sobre o eixo neutro.
b. A tensão de cisalhamento devido ao cortante Vz de 30 N é:
MPa
m
N
A
Px
x 02122,010858,706
1526 =×
==
−
σ
MPa
m
mNm
I
yM z
x 431,91076,39
015,0)25)(1(
49 =×
==
−
σ
MPa
mm
mN
It
QVzV 05659,0
)03,0(1076,39
)1025,2(30
49
36
=
×
×
==
−
−
τ
1.4 CARREGAMENTO COMBINADO
ELEMENTO A
O torque de 55 N.m cria uma tensão de cisalhamento.
RESUMO DAS TENSÕES NO ELEMENTO A
A tensão normal é:
A tensão cisalhante é: 
Calculando as Tensões Principais:
MPa
m
mmN
J
TcT 375,10
10522,79
)015,0(.55
49 =×
==
−
τ
MPaMPaMPa
I
yM
A
P zx
x 410,9431,902122,0 −=−=−=σ
MPaMPaMPa
J
Tc
It
QVzV 431,10375,1005659,0 =+=+=τ
MPacom
MPa
MPa
zxzx
443,11__
148,16
738,6
44,1171,4)431,10(
2
0410,9
2
0410,9
22
max
2
1
2
2
2
2
2,1
=



−=
=
±−=+




 −−±+−
=+




 −±
+
=
τ
σ
σ
τ
σσσσ
σ
1.5 TORÇÃO NO LIMITE ELASTO-PLÁSTICO E TENSÕES RESIDUAIS
Considere uma barra de seção circular de material dúctil submetido a torção que provocam tensões
no regime plástico. Sob tensões, a seção transversal permanece plana e seus raios retos. A curva da
tensão cisalhante versus deformação de um material elastoplástico ideal.
A condição de equilíbrio de torques para o eixo é:
(1)
As dimensões ρ e c representam uma distância arbitrária qualquer do centro O de uma seção e o 
raio de eixo.
∫∫ ==
AA
ddAT ρτρpiρτ 22
γ
plástico
Elástico
τy
γy
τ
Com o aumento do torque aplicado, o
escoamento se inicia na superfície externa do
eixo, movendo-se em direção ao centro.
Com o aumento do torque aplicado, o escoamento se inicia na superfície externa do eixo, movendo-
se em direção ao centro.
TORQUE DE ESCOAMENTO
No início do escoamento, o torque Ty pode ser expresso como:
(2)
A equação (2) calcula o torque elástico máximo ou torque de escoamento.
TORQUE ELÁSTICO MÁXIMO: O maior torque aplicado para o qual a deformação permanece
totalmente elástica.
TORQUE ELASTOPLÁSTICO
Quando o torque é aumentado, uma região plástica ou inélastica se desenvolve no eixo no entorno 
de um núcleo elástico de raio ρ0. Aplicando a Eq (1),
(3)
A região externa fica sujeita a tensão de escoamento constante τy e resiste a um torque:
(4)
O torque elastoplástico ou torque total T, é a soma de T1 e T2.
(5)
yyy
c
JcT ττpi ==
2
3
yT τ
piρ
2
3
0
1 =
yy cdT τρ
piρρτpi
ρ
ρ
)(
3
22 30
32
2
0
−== ∫








−=








−= 3
3
0
3
3
0
3
4
11
3
44
6 c
T
c
cT yy
ρ
τ
ρpi
TORQUE PLÁSTICO
Se a torção se torna muito elevada, a região plástica do eixo se aproximará do seu centro, e o seu 
raio ρ tende a zero.
O torque Tu é o torque plástico, ou o torque limite.
(6)
O torque referido a região plástica é de apenas um terço da capacidade de suportar torques no 
regime elástico.
O raio do núcleo elástico é obtido fazendo γ = γy e resolvendo para ρ = ρ0.
(a)
Neste caso L é o comprimento do eixo. 
Para o ângulo de torção no inicio do escoamento (φφφφy), quando ρ = c, tem-se:
(b)
As equações (a) e (b) resultam:
(7) portanto a Eq. (5) torna-se:
Para φ < φy a relação é linear.
yyu T
cT
3
4
3
2 3
== τ
pi
0
4
11
3
44
6 3
3
0
3
3
0
3
→∴








−=








−= ρρτρpi
c
T
c
cT yy
φ
ρ
ρ y
L
=0
y
yL
c φ
γ
=
φ
φρ y
c
=
0
y
y
y paraválidaTT φφφ
φ
>∴








−= __
4
11
3
4
3
3
GJ
TL
=φ
TENSÕES RESIDUAIS
O gráfico abaixo revela que após o torque de escoamento Ty ser atingido, T e φ ficam relacionados
por uma relação não-linear. Quando T se aproxima de Tu, o ângulo de torção cresce sem limite.
Note que um valor muito próximo de Tu é rapidamente atingido quando Tu = 1,32Ty para φ = 3φy).
Quando o eixo é deformado além do limite elástico (ponto A), e em seguida o torque aplicado é
removido, admite-se que o retorno obedece a lei de Hooke. Assim, uma vez deformada
plasticamente uma região do eixo, tensões residuais e ângulos de torção residuais são
desenvolvidos.
EXERCICIO
Um eixo maciço de aço com seção circular de diâmetro d e comprimento L está sujeito a um torque
T. [ d = 60 mm, L = 1.5 m, T = 8 kN.m].
Determine:
1. O raio do núcleo elástico;
2. O ângulo de torção do eixo;
3. As tensões residuais e o ângulo de torção residual quando o eixo é descarregado.
SOLUÇÃO
Sabe-se que τy = 150 MPa e G = 80 GPa.
1. O raio do núcleo elástico: o torque de escoamento vale.
Observe que T > Ty.
49
4
101272
2
)03,0(
mJ −×== pi
mkN
c
JT yy .36,603,0
)10150(101271 69
=
××
==
−
τ
( )
mm
T
T
y
c
3,18)03,0(609,0
226,0
1036,6
)108(3434
0
3
33
0
==
=
×
×
−=−=
ρ
ρ
EXERCICIO
2. O ângulo de torção do eixo no inicio do escoamento é;
Assim, o ângulo de torção é:
3. Tensões residuais. A retirada do torque (descarregamento) causa tensões elásticas que podem ser
calculadas por:
CALCULANDO AS TENSÕES RESIDUAIS:
Ângulo de torção permanente:
rad
GJ
LTy
y 0938,0)101272(1080
)5,1(1036,6
99
3
=
××
×
==
−
φ
°==== 81,81538,0
3,18
)0938,0(30
0
radrad
c y
ρ
φφ
MPa
J
Tc 7,188
101272
)03,0(108
' 9
3
max =
×
×
==
−
τ
MPa
MPa
MPa
mmRES
ymmRES
9,341,115150
10,115
3,1830
7,188
7,387,188150'
3,18_
max30_
=−=
=⇒=
−=−=−=
τ
τ
τ
τττ
°=
=
××
×
==
−
76,6
1179,0
)101272(1080
)5,1(108
99
3
rad
GJ
TL
descarregφ
34,9 MPa
38,7 MPa
°=°−°= 05,276,681,8resφ
COMENTÁRIO: mesmo que as tensões da fase de
descarregamento ττττ’max sejam superiores a resistência ao
escoamento ττττy , a hipótese de distribuição linear é válida
desde que as tensões não ultrapassem 2 ττττy.
1.6 MOMENTO FLETOR NO LIMITE ELASTO-PLÁSTICO E TENSÕES RESIDUAIS
Na distribuição de tensão linear (região elástica) a deformação é dada por:
Onde ρ é o raio de curvatura da curva de deslocamentos.
ρ
ε
y
x −=
MOMENTO DE ESCOAMENTO
Seja uma viga de seção retangular sob flexão pura sujeita a um momento fletor M. O momento
fletor para o início do escoamentoMy é:
(1)
Obs: O eixo neutro e o eixo centroidal de uma seção transversal retangular coincidem para vigas
prismáticas.
A medida que o momento fletor aumenta de forma que M > My teremos o Momento
Elastoplástico.
MOMENTO ELASTOPLÁSTICO
(2)
yyy bh
c
IM σσ 2
6
1
==














−=
2
0
2/3
11
2
3
h
y
MM y
MOMENTO PLÁSTICO: quando o momento continua aumentando o material se deforma de forma 
plástica.
Para o caso que y0 = h/2, a equação (2) reduz-se a Eq. (1) e M = My. Quando y0 tende a zero, o 
momento fletor tende ao seu valor limite.
(3)
ypyy
yyyyy
bhMMMy
h
y
MM
MMMM
h
hMM
σ20
2
0
2
4
1
2
30
2/3
11
2
3
3
2
2
3
3
13
2
3
3
11
2
3
2/
2/
3
11
2
3
===∴→∴














−=
=



=


 −
=



−=














−=
EXEMPLO
Uma viga de seção transversal retangular de 40 x 100 mm é submetida a um momento fletor M = 20
kN.m. As propriedades do material são σy = 240 Mpa (tensão de escoamento) e E = 200 GPa.
Determine:
a. A espessura do núcleo elástico;
b. O raio de curvatura da superfície neutra;
c. As tensões residuais após a retirada do momento fletor.
SOLUÇÃO
a. O momento do escoamento: �� �
�
�
�� �
	
0.04 0.1 � 240 � 10
 � 16��.�
� �
3
2
�� 1 �
1
3
��
�
2�
→
2�
3��
� 1 �
��
�
3
��
4
→ �1 �
2�
3��
� �
4 ��
�
3��
→
3��
4
1 �
2�
3��
� ��
� → ��
�
3��
4
1 �
2�
3��
� 0,0354� � 35,4��
A espessura do núcleo elástico é 2y0 = 70,8 mm. 
b. A deformação de escoamento εy ocorrente na metade superior da viga, em y = y0,.
�� � �
��
 
� �
240�!"
200#!"
� �1200$
Para �% � ��
& �
��
��
�
0,0354
1200$
� 29,46�
EXEMPLO
c. As tensões residuais após a retirada do momento fletor.
A distribuição das tensões associadas ao momento M = 20 kN.m. A retirada e aplicação do
momento M no sentido contrário causa tensões elásticas; portanto, pode-se aplicar a equação da
tensão:
212.4MPa
-212.4MPa
1.7 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO PARA MATERIAIS DÚCTEIS
Quando o carregamento por tração é aumentado, aplicado num material dúctil, atinge-se uma
condição em que a variação na geometria não mais se torna reversível, indicando o Inicio do
comportamento inelástico ou ponto de escoamento.
Considere um elemento num estado triaxial de tensões onde, .
1.7.1 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
A teoria proposta por Coulomb (1736-1806), ou critério de escoamento de Tresca (1814-1885),
prevê o inicio do escoamento quando a tensão máxima de cisalhamento em qualquer elemento
iguala-se à tensão máxima de cisalhamento em uma amostra de ensaio de tração do mesmo
material quando a amostra começar a escoar.
1.7.1 TEORIA DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
Portanto, para tensão de tração simples � � !/) de modo que a tensão máxima de cisalhamento
ocorre em uma superfície a 45° da área de tração de valor:
*+,% � �/2 (1)
Assim a tensão máxima de cisalhamento no momento do escoamento é:
*+,% � -�/2	 (2)
Onde -� é a resistência ao escoamento (tensão de escoamento ou admissível).
Para um estado geral de tensão com três tensões principais: �	 / �� / �0.
A tensão máxima de cisalhamento é:
*+,% �
12�13
�
(3)
Assim a teoria da tensão cisalhante máxima prevê o escoamento quando:
*+,% �
12�13
�
4
56
�
ou �	 � �0 4 -� (4)
Para projeto temos:
ou (5)
Onde é o fator de segurança.
Para um estado bi-axial de tensão :
Temos a situação que com e .
(6)
Quando . com e .
(7)
Quando . com e .
(8)
Considere o caso especial quando uma tensão normal é zero no plano, , tendo é o
caso 2 onde a tensão de cisalhamento é calculada por
(9)
1.7.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA 
Prediz que o escoamento ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume atinge ou
excede a energia de distorção por unidade de volume para o escoamento numa amostra (mesmo
material) em tração ou compressão .
Essa teoria foi percebida a partir de testes de tensão hidrostática em materiais dúcteis, onde
observou forte deformação no elemento.
Considere, (a) um elemento tridimensional num plano tridimensional de tensão com σ1, σ2 e σ3, o
estado de tensão num teste hidrostático (b) devido a tensão média agindo sobre direção
principal, onde:
(10)
O elemento sofre mudança de volume sem distorção angular.
A diferença entre as componentes (c), resulta no elemento submetido a distorção pura angular, sem
mudança no volume.
1.7.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA 
A energia de distorção por unidade de volume para um teste de tração simples é:
7 �
	
�
�� (10)
Para o elemento da figura (a),
(11)
Aplicando a Lei de Hooke (forma geral da Lei de Hooke para um estado de tensão triaxial), tem-se:
(12)
A energia de deformação produzida pela variação no volume 78 pode ser obtida pela substituição
da tensão média �,8 por �	, ��	9	�0 na Eq. (12). Logo,
78 �
01:;
<
�=
>1 � 2ν@ (13)
Substituindo a Eq. (10) na Eq. (13) e simplificar, tem-se:
78 �
	��A
=
�	
� � ��
� � �0
� � 2�	�� � 2���0 � 2�0�	 (14)
][
2
1
332211 σεσεσε ++=u
](2[
2
1
133221
2
3
2
2
2
1 σσσσσσυσσσ ++−++= E
u
1.7.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA 
A energia de distorção é obtida subtraindo a Eq. (14) da Eq. (12), logo:
7B � 7 � 78 �
	CD
0=
12�1<
<C 1<�13
<C 13�12
<
�
(15)
Note que a energia de distorção é zero se �	 � �� � �0.
Para um ensaio de tração simples, no escoamento, �	 � -� e �� � �0 � 0, e a partir da Eq. (15), a
energia de distorção é:
7B �
	CD
0=
-�
� (16)
Para um estado geral de tensão dado por Eq. (15), o escoamento é dado se a Eq. (15) é igual ou
excede a Eq. (16).
12�1<
<C 1<�13
<C 13�12
<
�
	/�
4 -� (17)
Para um teste simples de tração, o escoamento ocorre quando � 4 -�.
O lado esquerdo da Eq.(17) é usada para estado geral de tensão dado por �	, ��	9	�0 .
1.7.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA 
A tensão efetiva é chamada de tensão de Von Mises que contribuiu para a teoria.
Assim, para escoamento, pode-se escrever a Eq. (17) da seguinte forma:
(18)
Onde a tensão de Von Mises é:
(19)
Para o plano de tensões, considere e como as tensões principais, logo a Eq. (19) torna:
(20)
DE – Teoria da Energia de Distorção (von Mises)
MSS - Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento
1.7.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA 
Usando os componentes xyz de tensões tridimensionais, a Tensão de Von Mises pode ser escrita
como:
�E �
	
�
�% � ��
�
� �� � �F
�
� �F � �%
� � 6 *%�
� � *F�
� � *F%
�
	/�
	 (21)
Para um plano de tensões,
�E � �%
� � �%�� � ��
� � 3*%�
� 	/� (22)
EXERCICIO 
Qual a maior força F aplicada para que o componente, com resistência ao escoamento de 81 kpsi,
não entre em escoamento. Utilize as teorias para materiais dúcteis.
SOLUÇÃO
Analisando o ponto A na parte superior do cilindro,
observa-se que existem as tensões de flexão e de
cisalhamento devido a torção.
Neste ponto, a seção transversal de diâmetro menor de 1
in é a parte mais fraca, considerando o momento de 14F
assim as tensões normais são:
Aplicando a teoria da energia de distorção para um plano:
Logo,
Aplicando a teoria do cisalhamento máximo:
*+,% �
-�
2
Temos:
2
�%
2
�
� *F%
� � -� → �%
� � 4*F%
� 	/� � -� → 142.6G
� � 4 76.4G � 	/� � 81000
209G � 81000 → G � 388	JKL
Significa que esse valor é menor 7% que o encontrado na teoria da energia de distorção máxima.
Logo a teoria do cisalhamento máximo é mais conservativa.
EXERCICIOS
A figura mostra um eixo de aço com diâmetro d = 50mm. O aço possui uma resistência
ao escoamento por tração σadm e uma resistência ao escoamento por cisalhamento τadm .
O eixo é submetido a um carregamento R e P = Q = 0. considerando um fator de
segurança de 2, calcule o maior valor admissível de R de acordo com:
a) A teoria da tensão cisalhante máxima;
b) A teoria de von Misses.
Dados: σadm=260MPa; τadm=140MPa
A
SOLUÇÃO
Na parte extrema em A, 
T = 1.5R; Mz = 2R; Vy = -R.
O efeito de Vy pode ser desprezado no ponto superior da barra, em A.
Assim, as tensões principais no elemento A são:
SOLUÇÃO
a) A teoria da tensão cisalhante máxima;
b) A teoria de von Misses.
NRR
cs
adm 6871019.10
2
10140 46
max =⇒×=
×
==τ
τ
[ ]
NR
R
csadm
669
2/10260)10()04.2()04.2(34.1834.18
)/(
642/122
22
221
2
1
=⇒
⇒×=−+−−⇒
⇒=+− σσσσσ
VASOS DE PRESSÃO
PAREDES FINAS
PAREDES ESPESSAS
TANQUES CILINDRICOS E ESFÉRICOS
2.10 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Condição para vasos de pressão de paredes finas: 
10
1
<<
ir
t
Petroquímica Trocador de calor 
CURSO DE NR 13 – CALDEIRAS E VASOS DE PRESSÃO – “PROFISSIONAL HABILITADO”
EX:TANQUES, TUBO, CABINES PRESSURIZADAS EM AERONAVES E VEICULOS ESPACIAIS, 
Torres de armazenagem Tanques horizontais
Vasos esféricos
Trocadores de calor
2.10 VASOS DEPRESSÃO DE PAREDES FINAS
Considere o vaso de pressão esférico e sua seção transversal abaixo:
Considerações: a pressão interna é maior que a externa.
2.10 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Faz-se um corte vertical para análise.
A força de pressão resultante é:
(1)
Onde r é o raio interno da esfera.
Se as tensões internas e externas
forem as mesmas, nenhuma tensão é
desenvolvida na parede do vaso.
Como a parede é fina considera-se que
a tensão é uniformemente distribuída
através da espessura t.
)( 2rpP pi=
No cálculo da tensão, a precisão aumenta a medida que a espessura da parede diminui e 
a precisão diminui conforme a casca fica mais espessa.
(2)
Conclusão: a parede do vaso esférico pressurizado está submetida a tensões de tração 
uniformes em toda as direções.
t
pr
rptrrptrF iiiii 2
)()2(0)()2(0 22 =⇒=⇒=−⇒=∑ σpipiσpipiσ
2.10 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Todo plano é um plano principal e toda a direção é uma direção principal, assim:
(3)
(4)
0
2
3
21
=
==
σ
σσ
t
pri
t
pri
42max
==
σ
τ
Sabe-se que as tensões de cisalhamento máximas estão a 45°, logo: 
LIMITAÇÕES:
1. A espessura da parede deve ser pequena em comparação às outras dimensões r/t≥10;
2. A pressão interna deve exceder a pressão externa (evitar flambagem);
3. A análise é baseada nos efeitos de pressão interna;
4. As fórmulas descritas não são válidas em ponto de concentração de tensão.
Ex: Um tanque com ar comprimido é formado por dois hemisférios soldados. O material é aço. O
diâmetro interno é de 18 in e a espessura de parede é de ¼ in.
a) Se a tensão de tração permitida do aço é de 14 kpsi, qual é a máxima pressão permitida?
b) Se a tensão de cisalhamento permitida do aço é de 5.7 kpsi, qual é a máxima pressão
permitida?
c) Se a deformação normal na superfície externa do tanque não excede 0.0003, qual a máxima
pressão permitida? Dados: .
d) Testes sobre a solda mostram que a falha ocorre quando a carga de tração sobre a solda excede
8.1 kpsi/in da solda. Se o fator de segurança contra falha na solda é de 2.5, qual é a tensão
máxima permitida?
e) Considere os quatro fatores descritos anteriormente, qual a pressão permitida para o tanque?
SOLUÇÃO
a) Pressão permitida baseada na tensão de tração do aço.
� �
MN
�O
→ P, �
�O1QRS
N
�
� �.�T 	U���
V
� 777.8	PWX
assim , a máxima pressão permitida baseada na tensão de tração é 777.8 psi.
b) Pressão permitida baseada na tensão de cisalhamento.
*+,% �
PY
4Z
→ P[ �
4Z*M\N
Y
�
4 0.25 5700
9
� 633.3	PWX
Assim, a pressão permitida é 633.3 psi.
c) Pressão permitida baseada na deformação normal.
A deformação normal é obtida pela Lei de Hooke para tensão biaxial.
�% �
1
 
>�% � ]��@
Substituindo �% � �� � PY/2Z, logo:
�% �
�
 
1 � ] �
PY
2Z 
1 � ]
A equação pode ser resolvida para a pressão:
P^ �
2Z �%
Y 1 � ]
�
2 0.25 29 � 10
>0.0003@
9 1 � 0.28
� 671.3	PWX
SOLUÇÃO
d) Pressão permitida baseada na tensão de tração na junta soldada.
A carga de tração permitida sobre a junta soldada é igual a carga de falha dividida pelo fator de
segurança.
_M\N �
_`
a
�
8.1	�/Xa	
2.5
� 3.24
�
Xa
� 3240
JK
Xa
A tensão de tração permitida é igual a carga permitida sobre 1 in de comprimento da junta
soldada dividida pela área da seção transversal de 1 in de comprimento da junta solda.
�M\N �
_M\N 1Xa
1Xa Z
�
3240 1
1 0.25
� 12960	PWX
Para a pressão, temos:
PB �
2Z�M\N
Y
�
2 0.25 12960
9
� 720	PWX
e) A Pressão permitida final.
Comparando os resultados das pressões, observa-se que a tensão de cisalhamento na parede é a
menor e mais segura. Logo: � �
MN
�O
�
00.0 V
� �.�T
� 11400	PWX é a tensão na parede da casca esférica.
2.10 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Considere um vaso de pressão cilíndrico.
Seja um vaso cilíndrico com pressão interna. 
Um elemento apresenta σ1 e σ2.
Observe o corte longitudinal (b), fazendo:
(5)
A eq.(5) representa a tensão circunferencial.
Observe agora o corte transversal (c):
(6)
Essa tensão é igual a tensão do vaso esférico. 
Comparando as eqs. (5) e (6).
(7)
t
pr
pbrbtF
i
i
=
⇒=−⇒=∑
1
1tan 02)2(0
σ
σ
t
pr
rptrF
i
iilon
2
0)2(0
2
2
2
=
⇒=−⇒=∑
σ
pipiσ
21 2σσ =
A tensão de cisalhamento máxima é: (8) 
t
pri
22
1
max ==
σ
τ
Exercício: um vaso de pressão de 2.5 m de diâmetro é construído por chapas de 10 mm de 
espessura e soldadas de forma helicoidal de acordo com a figura. A máxima pressão interna para o 
vaso é de 1200 kPa. Para este vaso de pressão, calcule:
a) A tensão axial e tensão tangencial;
b) A tensão máxima de cisalhamento absoluta;
c) A tensão normal e perpendicular a linha da solda, e a tensão de cisalhamento tangente a linha 
da solda.
Solução
a) A tensão axial e a tensão tangencial na seção cilíndrica são:
Desde que não há cisalhamento sobre as superficies longitudinal e circunferencial, estas tensão são 
as tensões principais.
e 
b) A tensão de cisalhamento absoluta.
O ciclo de Mohr para o estado plano de tensão é observado abaixo.
Desde que ambos as tensões axial e tangencial são tensões de tração, a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta é:
c) As tensão na linha da solda. 
O cilco de Mohr é redesenhado, onde o ponto N representa as tensões sobre a face paralela a 
solda, desde que a direção n seja perpendicular a solda.
c) As tensão na linha da solda. 
O cilco de Mohr é redesenhado, onde o ponto N representa as tensões sobre a face paralela a 
solda, desde que a direção n seja perpendicular a solda.
A tensão normal no eixo t é:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
30
40
50
60
70
80
90
100
Distribuição de Tensão
Ângulo de solda [graus]
T
e
m
s
ã
o
 
[
M
P
a
]
 
 
Tensão circunferencial
Tensão axial
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Ângulo beta [graus]
P
r
e
s
s
ã
o
 
[
M
P
a
]
Pressão Máxima x angulo da solda
RESULTADOS DE TENSÕES X ÂNGULO DE SOLDA
Pode-se observar que as tensões circunferencial e axial variam em função do ângulo de
solda, isto significa que pode-se montar um cilindro sob pressão aplicando uma solda
com um ângulo de solda de modo que a estrutura apresente propriedades mecânicas e
resistências suficientes para suportar a pressão interna.
VAZOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS
Casca Finas de Revolução
Considere um vaso de pressão de paredes finas obtido por rotação de uma curva plana, 
meridiano, em torno de um eixo que se situa no plano da curva.
Observa-se duas tensões principais desconhecidas: tensão meridional que atua em 
um plano perpendicular ao meridiano e tensão tangencial que atua em um plano 
perpendicular a um paralelo.
O elemento tem espessura uniforme e está submetido a uma pressão interna p. Fazendo 
o somatório das forças na direção n.
+
Considerando para pequenos ângulos 
ANÁLISE NUMÉRICA
Considere o vaso de pressão cilíndrico com calota (tampão) esférica. Diâmetro
externo de 100 mm e espessura de parede de 5 mm.
Resultados de deslocamentos e de tensão (Von Mises)
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
Os vasos de pressão de paredes espessas são do tipo: cilindros hidráulicos, sistemas de 
dutos, montagem por retração de lançadores de mísseis (canhões), etc.
Esses vasos apresentam tensão tangencial σt e tensão radial σr, ,observadas pelo físico 
francês G. Lamé (1833), em função da pressão aplicada.
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
Um cilindro de parede espessa de raio interno a e raio externo b, submetido a uma 
pressãointerna pi e pressão externa po.
Imagine um anel típico localizado a uma distância radial ρ do eixo e com espessura dρ.
Devido a pressão interna e da pressão externa, surge uma tensão radial σr na superfície 
dos anéis na posição ρ, ao mesmo tempo surge uma tensão radial (σr + dσr) na posição 
(ρ + dρ).
Essas tensões são distribuídas uniformemente ao longo da superfície interna e externa 
do anel.
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
Sabe-se que a pressão interna cria uma tensão tangencial σt aplicadas num plano
mostrado na figura. Pode-se obter uma relação entre a tensão radial e tangencial a partir
de condições de equilíbrio. A tensão axial é omitida pois não contribui para o equilíbrio
nas direções radial e tangencial.
Admite-se que o corpo livre tem comprimento dL ao logo do eixo do cilindro.
(a)
Ignorando os termos de ordem superior e que sen dθ/2≅ dθ/2, a Eq. (a) torna-se:
(b)
A Eq. (b) não pode ser resolvida pois σt e σr são função de da posição radial ρ.
A deformação específica axial εa em qualquer ponto da parede do cilindro pode ser
expressa em termos de σa, σr e σt usando a Lei de Hooke.
(c)
∑ =−−++⇒= 02
2))((0 θρσθρσθρρσσ ddLsenddLddLdddF trrrradial
0=−+ trrd
d
σσ
ρ
σρ
0/)]([ =+−= Etraa σσυσε
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
Considerando que a tensão axial é uniforme ao longo da seção transversal e que εa , σa ,
E e υ são constantes, a Eq. (c) torna-se:
(d)
A constante 2C1 é considerada por conveniência. Substituindo σt da Eq. (d) na Eq. (b)
(e)
Se a Eq. (e) é multiplicada por ρ, os termos colocados antes do sinal é:
Integrando,
Assim, a tensão radial (f)
12/][ CE aatr =−=+ υεσσσ
122 Cd
d
r
r
=+ σ
ρ
σρ
ρσρ
ρ 1
2 2)( C
d
d
r =
2
2
1
2 CCr += ρσρ
2
2
1 ρ
σ
CCr −=
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
E a tensão tangencial fica:
(g)
A partir das condições de contorno:
σr = - pi em ρ = a
σr = -po em ρ = b
(-) sinal negativo produzem tensões de compressão. Assim,
Desta forma:
(9)
2
2
1 ρ
σ
C
Ct +=
22
22
2
22
22
1
)(
ab
ppbaC
ab
pbpaC
oi
oi
−
−
−=
−
−
=
222
22
22
22
222
22
22
22
)(
)(
)(
)(
ρ
σ
ρ
σ
ab
ppba
ab
pbpa
ab
ppba
ab
pbpa
oioi
t
oioi
r
−
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
=
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
As Eqs. (9) podem ser usadas para calcular tensões em situações especiais como:
CASO I (APENAS PRESSÃO INTERNA)
Se existir apenas pressão interna (pi) e po = 0.
(10)
A Eq. (10) indica que σr é sempre uma tensão de compressão enquanto que σt é tensão
de tração.
σt > σr
σt é máxima na superfície interna do cilindro ρ = a.
σr é máxima na superfície interna do cilindro ρ = a.






+
−
=






−
−
=
2
2
22
2
2
2
22
2
1
1
ρ
σ
ρ
σ
b
ab
pa
b
ab
pa
i
t
i
r
ir p−=σ
it p
ab
ba






−
+
= 22
22
σ
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
CASO I (APENAS PRESSÃO INTERNA) po = 0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x 108 CASO I - Variação da Tensão Tangencial e Tensão Radial
Raio [mm]
T
e
n
s
ã
o
 
[
P
a
]
 
 
Tensão Tangencial
Tensão Radial
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
CASO II (APENAS PRESSÃO EXTERNA)
Se o carregamento estiver limitado a uma pressão externa po (pi = 0).
(11)
As tensões são compressíveis.
σt > σr
σt é máxima na superfície interna do cilindro ρ = a.
σr é máxima na superfície externa do cilindro ρ = b.






+
−
−=






−
−
−=
2
2
22
2
2
2
22
2
1
1
ρ
σ
ρ
σ
a
ab
pb
a
ab
pb
o
t
o
r






−
−
= 22
2
ab
bpo
tσ
o
o
r pb
a
ab
pb
−=





−
−
−
= 2
2
22
2
1σ
2.11 VASOS CILINDRICOS DE PRESSÃO DE PAREDES ESPESSAS
CASO II (APENAS PRESSÃO EXTERNA) pi =0
0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x 108 CASO II - Variação da Tensão Tangencial e Tensão Radial
Raio [mm]
T
e
n
s
ã
o
 
[
P
a
]
 
 
Tensão Tangencial
Tensão Radial
2.12 AJUSTE POR INTERFERÊNCIA (RETRAÇÃO)
Ex: fabricação de armas, ajustagem de rolamentos de esfera, etc.
Utiliza-se um cilindro de paredes grossas laminado por meio de contração de um
cilindro externo (jaqueta, camisa ou casca) sobre um cilindro interno (cilindro ou tubo).
Objetivo: Aumentar a capacidade de carga do conjunto a partir de um estado inicial de
tensões tangenciais de compressão no cilindro interno e de tensões tangenciais de
tração no cilindro externo.
A determinação das tensões em tais cilindros laminados exige a solução de um problema
estaticamente indeterminado que utiliza deformações.
δ2
δ1
TUBO
CAMISA
c
b
a
MONTAGEM: Aquece a camisa pois o seu diâmetro 
interno é ligeiramente menor que o diâmetro 
externo do tubo.
Quando a camisa (jaqueta) esfria, desenvolve-se 
uma pressão ps na interface, produzindo tensões.
2.12 AJUSTE POR INTERFERÊNCIA (RETRAÇÃO)
A diferença inicial entre os diâmetros da camisa e do tubo, na interface é a interferência
I. Relaciona-se com as deformações radiais da jaqueta e do tubo por:
(a)
Os módulos das deformações radiais pode ser:
Substituindo na Eq.(a) tem-se:
21 222 δδδ +==I
])1()1[()(
])1()1[()(
22
22
2
2
22
22
2
1
ab
Ebab
pb
cb
Ebbc
pb
s
s
ννδ
ννδ
++−
−
=
++−
−
=
)(4
))((
))((
)(4
223
2222
2222
223
acb
abbcEIp
abbcE
acpbI
s
s
−
−−
=
−−
−
=
EXEMPLO: Um cilindro laminado de parede espessa foi fabricado pelo método de ajuste por retração de
uma camisa de aço (E = 200GPa e ν=0,3) com diâmetro externo de 300 mm, sobre um tubo de aço de 100
mm de diâmetro interno e 200 mm de diâmetro externo. A interferência foi de 0,15 mm.
a) Calcule a pressão de contato (retração) na interface;
b) Calcule a tensão máxima de tração no cilindro laminado, resultante da retração da camisa;
c) Calcule a tensão máxima de tração no cilindro laminado depois de aplicada a pressão interna de 200
MPa;
d) Compare a distribuição de tensões no cilindro laminado com a distribuição de tensões em um cilindro
uniforme para uma pressão interna de 200 MPa
SOLUÇÃO
a) A pressão de retração é:
MPa
acb
abbcEIps 2,35)050,0150,0()100,0(4
)050,0100,0)(100,0150,0)(15,0)(10(200
)(4
))((
223
22229
223
2222
=
−
−−
=
−
−−
=
TUBO
CAMISA
c
b
a
CILINDRO LAMINADO = CAMISA + TUBO
a = 0,050 m
b = 0,100 m
c = 0,150 m
c
a
a = 0,050 m
c = 0,150 m
CILINDRO UNIFORME
SOLUÇÃO
b) A tensão máxima de tração, resultante da pressão de retração (ps), será a tensão tangencial σt que
ocorre na superfície interna da camisa. Usando as equações para vasos de pressão de paredes espessas
para o caso I, apenas pressão interna, temos:
para a camisa a = b e b = c, onde ρρρρ = b tem máxima tensão, logo:
c) As tensões no cilindro laminado após a pressão interna de 200 MPa aplicada, dependem da pressão de
retração e da pressão interna.
Faça a análise para o TUBO. Onde ρρρρ = a terá a máxima.
Faça a análise para a CAMISA. Onde ρρρρ = b terá a máxima.






+
−
= 2
2
22
2
1
ρ
σ
b
ab
pa i
t
MPac
bc
pb i
t 4,91100,0
150,01
100,0150,0
)102,35(100,01 2
2
22
62
2
2
22
2
=




+
−
×
=





+
−
=
ρ
σ
)()( iTtsTtTt pp σσσ +=
( )
MPaMPaMPa
a
c
ac
pa
a
a
ab
pb
T
t
isT
t
3,15625075,93
050,0
150,01
050,0150,0
)10.200(050,011
050,0100,0
)10.2,35()100,0(11 2
2
22
62
22
62
2
2
22
2
2
2
22
2
=+−=






+
−
++
−
−=





+
−
+





+
−
−=
σ
σ
)()( iCtsCtCt pp σσσ +=
MPaMPaMPa
b
c
ac
pa
b
c
bc
pb
C
t
isC
t
7,17225,8141,91
100,0
150,01
050,0150,0
)10.200(050,0
100,0
150,01
100,0150,0
)10.2,35()100,0(11 2
2
22
62
2
2
22
62
2
2
22
2
2
2
22
2
=+=








+
−
+







+
−
=







+
−
+







+
−
=
σ
σ
SOLUÇÃO
d) As distribuições da tensão radial e tangencial no cilindro laminado e no cilindro uniforme para uma
pressão interna de 200 MPa.
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 108 CILINDRO UNIFORME
T
e
n
s
ã
o
 
[
P
a
]
 
 
Tensão Tangencial
Tensão Radial
0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 108 CILINDRO LAMINADO
T
e
n
s
ã
o
 
[
P
a
]
 
 
Tensão Tangencial no TUBO
Tensão Tangencial na CAMISA
Tensão Radial na CAMISA
Tensão Radial no TUBO
251 MPa
FIM DA 3ª AVALIAÇÃO
TUBO. Onde ρρρρ = a terá a máxima.
ps
TUBO
CAMISA
c
a
pi
TUBO
b
a
CILINDRO LAMINADO = CAMISA + TUBO
CAMISA Onde ρρρρ = a terá a máxima.
ps
c
b
TUBO
CAMISA
c
a
pi
CILINDRO LAMINADO = CAMISA + TUBO
PROJETO DE VASOS DE PRESSÃO (ASME)
A pressão máxima de trabalho admissível PMTA dos cascos cilindricos de pequena
espessura é dada pela fórmula:
Onde e é a espessura e a tensão admissível S terão valores correspondentes á condição
para a qual a PMTA estiver sendo calculada levando em consideração a corrosão ou a
temperatura de trabalho. E é o coeficiente de eficiência da solda e depende também do
grau de inspeção adotado; para cilindros sem costura E = 1,0, mas para outros casos
pode-se consultar uma tabela que compensa a possivel menor resistência na região da
solda em relação a chapa inteira de mesma espessura, devido a existência de defeitos na
solda.
!�_) �
-. . 9
b � 0.69
ACIDENTES