Gabarito APOL 4

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GABARITO QUESTÕES DE CÁLCULO – APOL 4 – FÍSICA ELETRICIDADE 
 
1) Um feixe de prótons (q=1,6.10-19 C) se move a 2,5.103 m/s num campo magnético uniforme, com 
módulo igual a 3,5 T, orientado ao longo do eixo positivo 0z. A velocidade de cada próton está 
contida no plano xz, formando um ângulo de 45° com o eixo +0z. O módulo, direção e sentido da 
força que atua sobre o próton é: 
 
a) A força está no sentido negativo de 0y, com módulo igual a 9,9.10-16 N; 
b) A força está no sentido positivo de 0y, com módulo igual a 7,6.10-14 N. 
c) A força está no sentido negativo de 0y, com módulo igual a 7,6.10-14 N. 
d) A força está no sentido positivo de 0y, com módulo igual a 9,9.10-16 N. 
Resposta: Alternativa (a). 
 
RESOLUÇÃO: 
Este problema utiliza a expressão para campo magnético que atua numa partícula carregada em 
movimento. O ângulo entre vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� é de 45°. Assim, o problema pede o módulo, direção e 
sentido da força �⃗⃗� . 
A carga é positiva, logo a força está no mesmo sentido do produto vetorial �⃗⃗� × �⃗⃗� . A regra da mão 
direita mostra que a força está orientada para a parte negativa do eixo 0y. Assim, o módulo da força 
pode ser calculado por: 
𝐹 = 𝑞𝑣𝑠𝑒𝑛𝛷 
𝐹 = (1,6. 10−19𝐶) (2,5. 103
𝑚
𝑠
) (3,5 𝑇)(𝑠𝑒𝑛45°) 
𝐹 = 9,9. 10−16 𝑁 
A força está no sentido negativo de 0y, com módulo igual a 9,9.10-16 N. 
 
2) Considere um plano com área de 4,5 cm2 em um campo magnético uniforme, conforme figura a 
seguir, sabendo que o fluxo magnético através de tal área é igual a 1,05 mWb. O módulo do campo 
magnético e a direção e o sentido do vetor da área é respectivamente: 
 
a) O módulo do campo magnético B é 6,75 T e o vetor da área A é perpendicular à superfície, 
apontando para fora do plano. 
b) O módulo do campo magnético B é 4,67 T e o vetor da área A é perpendicular à superfície, 
apontando para dentro do plano; 
c) O módulo do campo magnético B é 6,75 T e o vetor da área A é paralelo ao plano e no 
mesmo sentido; 
d) O módulo do campo magnético B é 4,67 T e o vetor da área A é perpendicular à superfície, 
apontando para fora do plano. 
Resposta: Alternativa (d). 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o campo é uniforme, B e Φ permanecem constantes em todos os pontos sobre a superfície. Logo, 
podemos usar a equação abaixo para calcular o fluxo: 
𝛷𝐵 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝛷 
A área A é igual a 4,5. 10-4 m2. A direção de �⃗⃗� é perpendicular à superfície, de modo que Φ pode ser 
60° ou 120°. Porém, 𝛷𝐵, B e A possuem todos valores positivos, logo, cosΦ também deve ser positivo. 
Esse fato elimina a solução de 120°. Assim, Φ=60° e obtemos: 
𝐵 =
𝛷𝐵
𝐴𝑐𝑜𝑠𝛷
=
1,05. 10−3 𝑊𝑏
(4,5. 10−4 𝑚2)(𝑐𝑜𝑠60°)
= 4,67 𝑇 
O vetor da área �⃗⃗� é perpendicular à área no sentido indicado na figura abaixo: 
 
3) Considere um magnétron de um forno micro-ondas que emite ondas eletromagnéticas com 
frequência f=3460 MHz. O módulo do campo magnético necessário para que os elétrons se 
movam em órbitas circulares com essa frequência é de: 
 
a) B=0,2655 T; 
b) B=0,1574 T; 
c) B=0,1235 T; 
d) B=0,1147 T. 
Resposta: Alternativa (c). 
 
RESOLUÇÃO: 
O problema se refere a um movimento circular e a incógnita é o módulo do campo B. Para 
relacionar a velocidade angular em um movimento circular à massa e à carga da partícula e ao 
módulo do campo magnético B, usamos a seguinte equação: 
𝜔 =
𝑣
𝑅
= 𝑣
|𝑞|𝐵
𝑚𝑣
=
|𝑞|𝐵
𝑚
 
A velocidade angular que corresponde à frequência f é: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋(3460. 106 𝑠−1) = 2,17. 1010 𝑠−1 
Assim, o campo magnético B pode ser obtido por: 
𝐵 =
𝑚𝜔
|𝑞|
=
(9,11. 10−31 𝑘𝑔)(2,17. 1010 𝑠−1)
1,60. 10−19 𝐶
= 0,1235 𝑇 
 
4) Uma barra de cobre retilínea conduz uma corrente de 75,0 A de oeste para leste em uma região 
entre polos de um grande eletroímã, conforme mostra a figura. Nessa região, existe um campo 
magnético no plano horizontal orientado para o nordeste, considerando uma rotação de 60° do 
leste para o norte, com módulo igual a 2,4 T. 
 
Considere as seguintes afirmações: 
I. A força magnética que atua sobre uma seção de 2,5 m da barra tem módulo 458,96 N, 
perpendicular ao plano horizontal formado pela corrente e pelo campo (portanto vertical) e 
sentido de baixo para cima (saindo do plano da figura); 
II. Se o condutor estivesse em equilíbrio mecânico sob a ação do próprio peso e da força 
magnética de baixo para cima, seu peso seria igual a 389,71 N e sua massa seria 39,76 kg; 
III. O módulo da força é máximo quando Φ=90°. Portanto, 𝒍 é perpendicular a �⃗⃗� . Para obtermos 
a força de baixo para cima, giramos a barra no sentido dos ponteiros do relógio de 30°, a 
partir da orientação indicada na figura, de modo que a corrente passa a ser orientada a 
sudeste. 
IV. A força magnética máxima possui módulo de 450,0 N e a massa da barra que pode ser 
sustentada pela força magnética é de 45,92 kg. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente as proposições I, III e IV são verdadeiras; 
b) Somente as proposições II, III e IV são verdadeiras; 
c) Somente as proposições II e III são verdadeiras; 
d) Somente as proposições I e IV são verdadeiras. 
Resposta: Alternativa (b). 
RESOLUÇÃO: 
A figura a seguir indica a situação: 
 
Podemos determinar o módulo da força magnética pela seguinte equação: 
𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 
A direção e o sentido da força magnética são determinados pela regra da mão direita. 
Alternativamente, podemos calcular o vetor força (módulo, direção e sentido) usando a equação: 
�⃗⃗� = 𝐼𝒍 × �⃗⃗� 
a) Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética que atua sobre uma seção de 
1,0 m da barra: 
O ângulo Φ entre a direção da corrente e o campo é igual a 60°. Assim: 
𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 = (75,0 𝐴)(2,5 𝑚)(2,4 𝑇)(𝑠𝑒𝑛60°) = 389,71 𝑁 
A direção da força é perpendicular ao plano formado pela corrente e pelo campo, ambos contidos 
no plano horizontal. Logo, a força deve ser vertical; a regra da mão direita mostra que o sentido da 
força é de baixo para cima (saindo do plano da figura). 
Um segundo modo de calcular módulo, direção e sentido da força magnética F é usando o sistema 
de coordenadas de um eixo 0x apontando de oeste para leste, o eixo 0y do sul para o norte e o eixo 
0z de baixo para cima. Portanto: 
𝒍 = (2,5 𝑚)�̂� 
�⃗⃗� = (2,4 𝑇)[(𝑐𝑜𝑠 60°)�̂� + (𝑠𝑒𝑛60°)𝒋̂] 
�⃗⃗� = 𝐼𝒍 × �⃗⃗� 
�⃗⃗� = (75 𝐴)(2,5 𝑚)�̂� × (2,4 𝑇)[(𝑐𝑜𝑠 60°)�̂� + (𝑠𝑒𝑛60°)𝒋̂] = (389,71 𝑁)�̂� 
Se o condutor estivesse em equilíbrio mecânico sob a ação do próprio peso e da força magnética 
de baixo para cima, seu peso seria igual a 389,71 N e sua massa seria: 
𝑚 =
𝑤
𝑔
=
389,71 𝑁
9,8 𝑚/𝑠2
= 39,76 𝑘𝑔 
 
b) Mantendo-se a barra no plano horizontal, como ela deve ser orientada para que o módulo 
da força seja máximo? Qual é o módulo da força nesse caso? 
O módulo da força é máximo quando Φ=90°. Portanto, 𝒍 é perpendicular a �⃗⃗� . Para obtermos a 
força de baixo para cima, giramos a barra no sentido dos ponteiros do relógio de 30°, a partir da 
orientação indicada na figura, de modo que a corrente passa a ser orientada a sudeste. Assim, a 
força magnética possui módulo: 
𝐹 = 𝐼𝑙𝐵 = (75 𝐴)(2,5 𝑚)(2,4 𝑇) = 450,0 𝑁 
E a massa da barra que pode ser sustentada pela força magnética é: 
𝑚 =
𝑤
𝑔
=
450,0 𝑁
9,8 𝑚/𝑠2
= 45,92 𝑘𝑔 
 
5) Uma bobina circular com raio de 0,075 m possui 50 espiras e está situada sobre um plano 
horizontal, conforme mostra a figura. Ela conduz uma corrente de 6,5 A no sentido anti-horário, 
quando observada de cima para baixo. A bobina está em um campo magnético uniforme orientado 
da esquerda para a direita, com módulo igual a 1,75 T. O módulo do momentomagnético e o 
módulo do torque sobre a bobina são respectivamente: 
 
Considere as seguintes afirmações: 
I. A área A da bobina é 1,77.10-2 m2; 
II. O momento magnético de cada espira da bobina é 0,4788 A.m2; 
III. O momento magnético total de todas as 50 espiras da bobina é 5,75 A.m2; 
IV. O módulo do torque sobre a bobina é 5,87 N.m. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente as proposições I e II são verdadeiras; 
b) Somente as proposições II e III são verdadeiras; 
c) Somente as proposições I e III são verdadeiras; 
d) Somente as proposições III e IV são verdadeiras. 
Resposta: Alternativa (c). 
 
RESOLUÇÃO: 
Este problema usa a definição de momento magnético e a expressão para torque sobre um dipolo 
magnético em um campo magnético. 
A figura a seguir mostra a situação: 
 
O módulo μ do momento magnético de uma única espiral do fio é dado em termos de corrente e 
da área da bobina pela equação: 
𝜇 = 𝐼𝐴 
Para N espiras, o momento magnético é N vezes maior. O módulo do torque τ é determinado pela 
seguinte equação: 
𝜏 = 𝜇𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 
A área A da bobina é: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋(0,075 𝑚)2 = 1,77. 10−2 𝑚2 
O momento magnético de cada espira da bobina é dada por: 
𝜇 = 𝐼𝐴 = (6,5 𝐴)(1,77. 10−2 𝑚2) = 0,1150 𝐴.𝑚2 
O momento magnético total de todas as 50 espiras da bobina é: 
𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (50)0,1150 𝐴.𝑚
2 = 5,75 𝐴.𝑚2 
O ângulo Φ entre a direção de �⃗⃗� e a direção de �⃗⃗� (que está ao longo da normal ao plano da bobina) 
é igual a 90°. Assim, o módulo do torque τ é: 
𝜏 = 𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 = (5,75 𝐴.𝑚
2)(1,75 𝑇)(𝑠𝑒𝑛 90°) = 10,06 𝑁.𝑚