Geometria retangular

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Geometria Analítica
Edison Franco
Agosto de 2013
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 1 / 54
Eq. Vetorial do Plano
Se ~u e ~v são LI e paralelos à um plano pi, o par (~u,~v) é chamado de
par de vetores diretores de pi. Podemos fazer,
�!
AX = λ~u + µ~v
X � A = λ~u + µ~v
X = A+ λ~u + µ~v
é a Equação Vetorial do Plano
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Eq. Vetorial do Plano
Se tivermos três pontos dados A, B e C, é possível descrever o plano que
passa por esses pontos através da construção de qualquer par de vetores
diretores, dentre
�!
AB,
�!
AC e
�!
BC (ou dos vetores opostos a estes). Neste
caso o ponto X ,
X = A+ λ
�!
AB + µ
�!
AC ou
X = A+ λ
�!
AB + µ
�!
BC ou
X = A+ λ
�!
AC + µ
�!
BC .
No lugar de A poderia aparecer qualquer outro ponto pertencente ao
plano, como B ou C .
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Eq. Paramétrica do Plano
Da equação vetorial do plano derivamos a equação paramétrica do plano.
Assumindo
X = (x , y , z) A = (x0, y0, z0) ~u = (a, b, c) ~v = (m, n, p)
X = A+ λ~u + µ~v
(x , y , z) = (x0, y0, z0) + λ (a, b, c) + µ (m, n, p)
(x , y , z) = (x0, y0, z0) + (λa,λb,λc) + (µm, µn, µp)
(x , y , z) = (x0 + λa+ µm, y0 + λb+ µn, z0 + λc + µp)
de onde vem 8<:
x = x0 + λa+ µm
y = y0 + λb+ µn
z = z0 + λc + µp
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Plano entre dois vetores
Podemos pensar no plano como formado pela intersecção de duas retas
não paralelas, e que se interceptam em algum ponto A. Neste caso
consideremos as retas r e s como sendo as seguintes retas (eq. vetorial)
r : X = A+ λ~u
s : X = A+ µ~v
) pi : X = A+ λ~u + µ~v
Exemplo: Seja o plano pi que contém o A = (2, 5, 3) e é paralelo aos
vetores ~u = (1, 0, 1) e ~v = (0, 1, 1) .
(a) Obtenha duas equações vetoriais de pi.
(b) Obtenha, em cada caso, as equações paramétricas de pi.
(c) Veri…que se P = (3, 2, 4) pertence ao plano.
(d) Veri…que se ~w = (1, 2, 3) é paralelo ao plano.
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Resolução
(a) Obtenha duas equações vetoriais de pi.
(i) A primeira solução é direta
X = (2, 5, 3) + λ (1, 0, 1) + µ (0, 1, 1)
Como, (~u +~v) e (~u �~v) devem ser sempre L.I., pois
α (~u +~v) + β (~u �~v) = ~0
(α+ β)~u + (α� β)~v = ~0) α = β = 0
logo,
(~u +~v) = (1, 0, 1) + (0, 1, 1) = (1, 1, 2)
(~u �~v) = (1, 0, 1)� (0, 1, 1) = (1,�1, 0)
(ii) A segunda equação vetorial será:
X = (2, 5, 3) + λ (1, 1, 2) + µ (1,�1, 0)
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Resolução
(b) Obtenha, em cada caso, as equações paramétricas de pi.
As equações paramétricas derivam das vetoriais:
(i)X = (2, 5, 3) + λ (1, 0, 1) + µ (0, 1, 1)8<:
x = 2+ λ1+ µ0
y = 5+ λ0+ µ1
z = 3+ λ1+ µ1
)
8<:
x = 2+ λ
y = 5+ µ
z = 3+ λ+ µ
(ii) X = (2, 5, 3) + λ (1, 1, 2) + µ (1,�1, 0)8<:
x = 2+ λ1+ µ1
y = 5+ λ1+ µ (�1)
z = 3+ λ2+ µ0
)
8<:
x = 2+ λ+ µ
y = 5+ λ� µ
z = 3+ 2λ
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Resolução
(c) Veri…que se P = (3, 2, 4) pertence ao plano.
Para veri…car se P pertence ao plano pi basta veri…car se é possível
encontrar solução única ao par. Da solução (i)
8<:
x = 2+ λ
y = 5+ µ
z = 3+ λ+ µ
)
8<:
3 = 2+ λ! λ = 1
2 = 5+ µ! µ = �3
4 = 3+ λ+ µ ) 4 6= 3+ 1� 3(F )
) P /2 pi
(d) Veri…que se ~w = (1, 2, 3) é paralelo ao plano.
Se for paralelo ao plano, os vetores diretores, ~u e ~v serão LD com ~w .
Basta veri…car:
~u )
~v )
~w )
������
1 0 1
0 1 1
1 2 3
������ =
������
1 0 1
0 1 1
1 2 3
������
1 0
0 1
1 2
= 3+ 0+ 0� 1� 2� 0 = 0
Logo, (~u,~v ,~w) é LD, e o vetor (1, 2, 3) é paralelo ao plano.
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Equação Geral do Plano
Dado um ponto A = (x0, y0, z0) de pi, que possui os seguintes vetores
diretores ~u = (r , s, t) e ~v = (m, n, p), escrevemos o ponto genérico
X = (x , y , z) como
X = A+ λ~u + µ~v
X � A = �!AX = λ~u + µ~v
e os três vetores são LD,
��!
AX ,~u,~v
�
,
�!
AX = (x � x0, y � y0, z � z0)������
x � x0 y � y0 z � z0
r s t
m n p
������
= (x � x0)
���� s tn p
����| {z }+ (y � y0)
���� r tm p
����| {z }+ (z � z0)
���� r sm n
����| {z }
= (x � x0) a + (y � y0) b + (z � z0) c
desenvolvendo o determinante pelos elementos da primeira coluna.
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Equação Geral do Plano
Como
��!
AX ,~u,~v
�
é LD,
(x � x0) a+ (y � y0) b+ (z � z0) c = 0
ax + by + cz + (�ax0 � by0 � cz0)| {z } = 0
ax + by + cz + d = 0
Logo, a equação geral do plano é dada por
ax + by + cz + d = 0
Fixado um sistema de coordenadas, toda Eq. de 1a grau e três incógnitas
é equação do plano.
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Exemplo
Obtenha uma eq. geral do plano X = (2, 5, 3) + λ (1, 0, 1) + µ (0, 1, 1) e
veri…que que o ponto P (3, 2, 4) /2 pi.
Basta fazer:X = (x , y , z) = (2, 5, 3) + λ (1, 0, 1) + µ (0, 1, 1). Logo,
(x � 2, y � 5, z � 3) = λ (1, 0, 1) + µ (0, 1, 1) são claramente três vetores
LD
������
x � 2 y � 5 z � 3
1 0 1
0 1 1
������ =
������
x � 2 y � 5 z � 3
1 0 1
0 1 1
������
x � 2 y � 5
1 0
0 1
= (z � 3)� (x � 2)� (y � 5)
= z � x � y + 4 = 0
) x + y � z � 4 = 0
Podemos veri…car diretamente se P pertence ao plano substituindo os
valores de x , y e z : 3+ 2� 4� 4 = �3 6= 0, logo P /2 pi
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Vetor normal ao plano
Fixado um sistema de coordenadas ortogonal (cartesiano), dada uma
equação geral do plano pi : ax + by + cz + d = 0 e ~w = (q, r , s), ~w é
paralelo ao plano pi se, e somente se, aq + br + cs = 0.
Supondo os dois vetores diretores do plano, ~u = (r , s, t) e ~v = (m, n, p),
um vetor normal ao plano é construído pelo produto vetorial ~n =~u �~v .
Como antes,
~n = ~u )
~v )
������
~i ~j ~k
r s t
m n p
������ =
���� s tn p
����~i| {z }+
���� r tm p
����| {z }~j +
���� r sm n
����| {z }~k
~n = a~i + b~j + c~k
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Vetor normal ao plano
Como ~n = (a, b, c) e ~w = (q, r , s) são vetores ortogonais (med angular
pi/2), logo
~n � ~w = 0
(a, b, c) � (q, r , s) = 0
) aq + br + cs = 0 se ~w k pi
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 13 / 54
Exemplo
Obtenha eqs. paramétricas do plano 4x + 2y � z + 5 = 0 e diga qual é
um vetor normal ao plano.
Esse exercício é simples uma vez conhecida a técnica a seguir: Para
resolver esse problema vamos partir da arbitrariedade de chamar duas das
coordenadas de parâmetros λ e µ: x = λ e y = µ, resolvendo a equação
para z : z = 5+ 4x + 2y = 5+ 4λ+ 2µ,logo,
pi :
8<:
x = λ
y = µ
z = 5+ 4λ+ 2µ
)
8<:
x = 0+ 1λ+ 0µ
y = 0+ 0λ+ 1µ
z = 5+ 4λ+ 2µ
Vemos que um vetor normal ao plano será ~n =~u �~v
~n = ~u )
~v )
������
~i ~j ~k
1 0 4
0 1 2
������ = �4~i � 2~j +~k = (�4,�2, 1)
é exatamente o negativo dos coe…cientes na equação 4x + 2y � z + 5 = 0,
cqd.
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Interseção de duas retas
Para veri…car se duas retas se interceptam basta observar se há valores
possíveis para os parâmetros que validem os pontos x , y e z .
Exemplo (15-4 a) Mostre que as retas r e s são concorrentes e obtenha o
plano determinado por elas.
r :
8<:
x = λ
y = λ
z = 1+ 4λ
s :
x � 1
3
=
y � 5
3
=
2+ z
5
Duas retas são concorrentes somente se houver um ponto de interseção
entre r e s. Devemos escrever inicialmente as duas retas na forma
paramêtrica. Escolhendo x = µ
) µ� 1
3
=
y � 5
3
) y = µ+ 4
) µ� 1
3
=
2+ z
5
) z = 5
3
µ� 11
3
EdisonFranco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 15 / 54
Exemplo
Note que não usamos o mesmo parâmetro para que não se confunda, pois
um está associado a r e o outro a s.
r :
8<:
x = λ
y = λ
z = 1+ 4λ
s :
8<:
x = µ
y = µ+ 4
z = 53µ� 113
Se as duas retas forem concorrentes deve haver um ponto de intersecção
entre elas:
x = λ = µ) λ = µ (1)
y = �λ = µ+ 4) �λ (1)= λ+ 4) λ = �2
z = 1+ 4λ = 53µ� 113 ) 1+ 4λ
(1)
= 53λ� 113 ) λ = �2
Logo, o ponto de interseção será:
P = (�2,�2,�7)
e as retas são concorrentes neste ponto.
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Interseção de reta e plano
Uma reta e um plano podem se interceptar em um único ponto (a reta
fura o plano), em in…nitos pontos (a reta está sobre o plano), ou não se
interceptar (reta paralela ao plano).
Exemplo: Obtenha a interseção da reta r com o plano pi
r : X = (1, 1, 0) + λ (1, 2, 3) e pi : x + y � z = 5
Neste caso basta trocar a equação paramétrica de r em pi para obter um
valor de λ: r :
8<:
x = 1+ λ
y = 1+ 2λ
z = 3λ
) (1+ λ) + (1+ 2λ)� (3λ) = 5 (técnica λ)
2 = 5 é incompatível) não existe λ, e a reta não toca o plano: r k pi
podemos veri…car que o produto escalar do vetor diretor de r ,
~r = (1, 2, 3), com o vetor normal do plano, ~n = (1, 1,�1), é nulo, pois
eles fazem um ângulo de pi/2: ~r �~n = (1, 2, 3) � (1, 1,�1) = 0
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 17 / 54
Exemplo de interseção de reta e plano
Exemplo: Obtenha a interseção da reta r com o plano pi
r : X = (1, 1, 0) + λ (1, 2, 1) e pi : x + y � z = 3
Neste caso basta trocar a equação paramétrica de r em pi para obter um
valor de λ: r :
8<:
x = 1+ λ
y = 1+ 2λ
z = λ
) (1+ λ) + (1+ 2λ)� (λ) = 3) λ = 1
2
O ponto de interseção é obtido fazendo-se λ = 12 em r .8<:
x = 1+ 12 =
3
2
y = 1+ 212 = 2
z = 12
logo, P =
� 3
2 , 2,
1
2
�
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 18 / 54
Exemplo de interseção de reta e plano
Exemplo: Obtenha a interseção da reta r com o plano pi
r : X = (1, 1, 1) + λ (0, 1, 1) e pi : x + y � z = 1
Neste caso basta trocar a equação paramétrica de r em pi para obter um
valor de λ: r :
8<:
x = 1+ 0λ
y = 1+ 1λ
z = 1+ 1λ
) (1+ 0λ) + (1+ 1λ)� (1+ 1λ) = 1) 1 = 1
E essa equação é identicamente satisfeita, o que signi…ca que não importa
qual seja o valor de λ, a reta sempre intercepta o plano. Isso signi…ca que
a reta está sobre o plano. Escrevendo a eq. de pi na forma paramétrica
pelo seguinte método: y = λ e z = µ
x = 1� y + z )
8<:
x = 1� λ+ µ
y = λ
z = µ
)
8<:
x = 1� 1λ+ 1µ
y = 0+ 1λ+ 0µ
z = 0+ 0λ+ 1µ
Como ~u = (�1, 1, 0) e ~v = (1, 0, 1) e de r ,~r = (0, 1, 1) )~r =~u+~v (LD)
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 19 / 54
Interseção de dois planos
Entre dois planos há três possibilidades: Eles não se interceptam (planos
paralelos), eles se interceptam numa única reta (planos concorrentes) ou
eles se interceptam em in…nitos pontos (planos idênticos).
Exemplo: Obtenha a interseção do plano pi1 com o plano pi2
pi1 : x + y + z = 2 e pi2 : x � y + 2z = 1
Basta inserir a equação geral de um dos planos no outro:
pi1 : x = 2� y � z colocando a equação de pi2
(2� y � z)� y + 2z = 1
2� 2y + z = 1
z = �1+ 2y
chamando y = λ e considerando a eq.
x = 2� y � z = 2� y � (�1+ 2y) = 3� 3y .
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Exemplo de interseção de dois planos
Como x = 3� 3y , z = �1+ 2y , logo chamando y = λ8<:
x = 3� 3λ
y = λ
z = �1+ 2λ
)
8<:
x = 3� 3λ
y = 0+ 1λ
z = �1+ 2λ
é a equação de uma reta r , com vetor diretor~r = (�3, 1, 2). Logo,
pi1 \ pi2 = r
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Exemplo de interseção de dois planos
Exemplo: Obtenha a interseção do plano pi1 com o plano pi2
pi1 : x + y + z = 2 e pi2 : x + y + z = 1
Basta inserir a equação geral de um dos planos no outro:
pi1 : x = 2� y � z colocando a equação de pi2
(2� y � z) + y + z = 1
2 = 1
isso mostra que o sistema é incompatível, portanto, pi1 \ pi2 = ?. Logo,
os dois planos são paralelos.
OBS: isso pode ser visto facilmente a partir das duas equações gerais dos
planos. Como ambas têm o mesmo vetor normal ~n = (1, 1, 1), a diferença
está apenas no fator numérico, o que indica que ambos são diferentes, mas
sempre paralelos.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 22 / 54
Exemplo de interseção de dois planos
Exemplo: Obtenha a interseção do plano pi1 com o plano pi2
pi1 : x + y + z = 2 e pi2 : 2x + 2y + 2z = 4
Basta inserir a equação geral de um dos planos no outro:
pi1 : x = 2� y � z colocando a equação de pi2
2 (2� y � z) + 2y + 2z = 4
4 = 4
isso mostra que o sistema é compatível com quaisquer valores de y e z ,
portanto, também de x . Isso implica que pi1 \ pi2 = pi1 = pi2.
OBS: isso pode ser visto facilmente a partir das duas equações gerais dos
planos. Uma é um múltiplo da outra, então ambas indicam o mesmo
plano.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 23 / 54
Equações da reta na forma planar
Dados dois planos, vimos que a interseção deles gerou uma equação de
uma reta. Podemos, desta forma, indicar sempre retas pela interseção de
dois planos. A estas chamamos de equação da reta na forma planar.
Exemplo: Obtenha a interseção do plano pi1 com o plano pi2
pi1 : x + 2y � z = 2 e pi2 : x � y + 2z = 2
Basta inserir a equação geral de um dos planos no outro:
pi1 : x = 2� 2y + z colocando na equação de pi2
(2� 2y + z)� y + 2z = 2) 2� 3y + 3z = 2) y = z
chamando y = λ e considerando a
eq.x = 2� 2y + z = 2� 2λ+ λ = 2� λ. Assim,
r :
8<:
x = 2� 1λ
y = 0+ 1λ
z = 0+ 1λ
é a equação paramétrica da reta r de interseção dos dois planos. A
Equação vetorial será (x , y , z) = (2, 0, 0) + λ (1, 1, 1).
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 24 / 54
Exemplos de equações da reta na forma planar
Exemplo: Obtenha a equação da reta r a forma planar
r :
8<:
x = 2� 1λ
y = 1� 2λ
z = 2+ 1λ
(1)
(2)
(3)
Para começar a resolução é necessário lembrar o que as equações
paramétricas têm e o que as planares não tem. Obviamente é o parâmetro.
Portanto é necessário eliminar, de alguma forma, o parâmetro. Da terceira
equação,
λ = z � 2 (2))
�
x = 2� 1 (z � 2) = 4� z
y = 1� 2 (z � 2) = 3� 2z ) r :
�
x + z � 4 = 0
y + 2z � 3 = 0
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 25 / 54
Exemplos de equações da reta na forma planar
Exemplo: Obtenha uma equação vetorial da reta r a partir da forma planar
r :
�
x � y + 2z � 4 = 0
�x + 2y + 3z + 3 = 0
1a Solução: Isolando, inicialmente, x na primeira equação
(x = 4+ y � 2z) e inserindo o resultado na segunda:
� (4+ y � 2z) + 2y + 3z + 3 = 0
�4� y + 2z + 2y + 3z + 3 = 0) y = 1� 5z
Assim:
x = 4+ y � 2z = 4+ (1� 5z)� 2z
x = 5� 7z
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 26 / 54
Exemplos de equações da reta na forma planar
y = 1� 5z
x = 5� 7z
Do ponto de vista de equações, temos duas equações e três variáveis
(x , y , z). Isso permite escolher com liberdade um deles para ser o
parâmetro: z = µ
r :
8<:
x = 5� 7µ
y = 1� 5µ
z = µ
)
8<:
x = 5� 7µ
y = 1� 5µ
z = 0+ 1µ
) r : (x , y , z) = (5, 1, 0) + µ (�7,�5, 1)
2a Solução: Basta tomar dois pontos que pertençam aos planos e
encontrar a equação da reta que passe por eles.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 27 / 54
Equação planar e vetores normais
Dada uma equação planar de uma reta r
r :
�
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
já sabemos que os vetores ~n1 = (a1, b1, c1) e ~n2 = (a2, b2, c2) são vetores
normais à pi1 e pi2. O produto vetorial desses dois vetores é
necessariamente um vetor sobre o plano pi1 e o plano pi2. A única formadisso acontecer é que esse vetor seja o vetor diretor da reta que gerada pela
interseção dos dois planos, ou seja,~r =~n1 �~n2 é um vetor diretor de r .
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 28 / 54
Exemplos de equações da reta na forma planar
Exemplo: Obtenha uma equação vetorial da reta r a partir da forma planar
utilizando~r =~n1 �~n2
r :
�
pi1 :
pi2 :
x � y + 2z � 4 = 0
�x + 2y + 3z + 3 = 0
~n1 = (1,�1, 2)
~n2 = (�1, 2, 3)
~r = ~n1 �~n2 = ~n1 )
~n2 )
������
~i ~j ~k
1 �1 2
�1 2 3
������
~i ~j
1 �1
�1 2
= �3~i � 2~j + 2~k �~k � 4~i � 3~j
~r = �7~i � 5~j +~k = (�7,�5, 1)
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 29 / 54
Exemplos de equações da reta na forma planar
~r = �7~i � 5~j +~k = (�7,�5, 1)
A equação vetorial …cará determinada utilizando-se um ponto destes
planos. Escolhendo z = 0 na eq. de pi1 : x � y + 2z � 4 = 0,
x � y � 4 = 0) x = 4+ y
Isso na equação de pi2 : �x + 2y + 3z + 3 = 0, juntamente com z = 0
� (4+ y) + 2y + 3 (0) + 3 = 0) y = 1
Logo x = 4+ (1) = 5
Logo, um ponto da reta é A = (5, 1, 0). A eq. vetorial é r : X = A+ µ~r
X = (5, 1, 0) + µ (�7,�5, 1)
Coincide exatamente com o que encontramos antes.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 30 / 54
Posição relativa
Dadas duas entidades matemáticas do tipo reta-reta, reta-plano ou
plano-plano, é de interesse prático, muitas vezes de interesse físico ou de
engenharia, saber como estão posicionadas tais entidades.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 31 / 54
Posição relativa de reta e reta
Duas retas r e s podem ser (adotando um ponto de cada reta como A e
B, respectivamente, e os vetores diretores~r e~s em analogia):
(i) reversas se estiverem contidas em planos paralelos. Neste caso��!
AB,~r ,~s
�
é LI;
(ii) concorrentes se estiverem contidas em um mesmo plano, mas não são
paralelas. Neste caso
��!
AB,~r ,~s
�
é LD. Além disso (~r ,~s) é LI;
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 32 / 54
Posição relativa de reta e reta
(iii) paralelas distintas se estiverem contidas em planos paralelos. Neste
caso(~r ,~s) é LD e
��!
AB,~r ,~s
�
é LD. Além disso devemos veri…car que
qualquer ponto de r não pertence à s;
(iv) paralelas coincidentes se estiverem em um mesmo plano e o conjunto
de interseções for in…nito (qualquer valor do parâmetro). Neste caso(~r ,~s)
é LD e
��!
AB,~r ,~s
�
é LD. Além disso devemos veri…car que qualquer ponto
de r sempre pertence à r .
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 33 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Exemplo 16-1 a: Estude a posição relativa das retas r e s
r : X = (1,�1, 1) + λ (�2, 1,�1) s :
�
y + z = 3
x + y � z = 6
Primeiramente devemos escrever a eq. de s na forma paramétrica para
identi…carmos o vetor diretor~s =~n1 �~n2
~s = ~n1 �~n2 = ~n1 )
~n2 )
������
~i ~j ~k
0 1 1
1 1 �1
������
~i ~j
0 1
1 1
= �~i +~j �~k �~i
~s = (�2, 1,�1)
vemos que~r = (�2, 1,�1) =~s, logo os dois vetores são LD (o mesmo
vetor). As duas retas podem ser paralelas distintas ou coincidentes apenas.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 34 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Devemos veri…car se um ponto qualquer de r pertence a s. O ponto
(1,�1, 1) na equação da reta s�
y + z = �1+ 1 6= 3
x + y � z = 1� 1� 1 6= 6
logo as retas são paralelas distindas, já que o ponto (1,�1, 1) não
pertence à ambas.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 35 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Exemplo 16-1 b: Estude a posição relativa das retas r e s
r :
�
x � y � z = 2
x + y � z = 0 s :
�
2x � 3y + z = 5
x + y � 2z = 0
Primeiramente devemos escrever a eq. de r e s na forma paramétrica para
identi…carmos o vetores diretores~r = ~m1 � ~m2 e~s =~n1 �~n2
~r = ~m1 � ~m2 = ~m1 )
~m2 )
������
~i ~j ~k
1 �1 �1
1 1 �1
������ = 2~i + 2~k )~r = (2, 0, 2)
~s = ~n1 �~n2 = ~n1 )
~n2 )
������
~i ~j ~k
2 �3 1
1 1 �2
������ = 5~i + 5~j + 5~k )~s = (5, 5, 5)
vemos que (~r ,~s) é LI. Os vetores não são paralelos. Continuando...
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 36 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Devemos veri…car se o vetor formado por um ponto A de r e um ponto B
de s formam
��!
AB,~r ,~s
�
LD ou LI.
r :
�
x � y � z = 2
x + y � z = 0
x=0
=
� �y � z = 2
+y � z = 0 =
8<:
x = 0
y = �1
z = �1
) A = (0,�1,�1) ,
s :
�
2x � 3y + z = 5
x + y � 2z = 0
y=0
=
�
2x + z = 5
x � 2z = 0 =
8<:
x = 2
y = 0
z = 1
) B = (2, 0, 1) ,
onde os pontos foram tomados diferentes para que, com certeza, não
fossem fornecidos pontos simétricos. Assim,�!
AB = (2, 0, 1)� (0,�1,�1) = (2, 1, 2):
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 37 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
�!
AB )
~r )
~s )
������
2 1 2
2 0 2
5 5 5
������
2 1
2 0
5 5
= 0+ 10+ 20� 20� 1� = 0
Logo
��!
AB,~r ,~s
�
é LD, e os três vetores pertencem ao mesmo plano. As
retas são, portanto, concorrentes. Para encontrar o ponto onde elas são
concorrentes basta resolver as quatro equações à duas incógnitas:8>><>>:
x � y � z = 2
x + y � z = 0
2x � 3y + z = 5
x + y � 2z = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 38 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Resolvendo apenas as três primeiras equações, depois colocamos a solução
na eq.(4) para veri…car que essa é satisfeita:8<:
x � y � z = 2
x + y � z = 0
2x � 3y + z = 5
(1)
(2)
(3)
A solução é x = 1, y = �1 e z = 0. Logo, na eq.
(4) 2x � 3y + z = 2 (1)� 3 (�1) + 0 = 5 = 5 é identicamente satisfeita.
Logo, as retas r e s são concorrentes em P = (1,�1, 0)
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 39 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e reta
Exemplo 16-1 c: Estude a posição relativa das retas r e s
r :
x + 1
2
=
y
3
=
z + 1
2
s : X = (0, 0, 0) + λ (1, 2, 0)
Primeiramente devemos escrever a eq. de r na forma paramétrica para
identi…carmos o vetores diretores~r e~s. De r vemos que a equação está na
forma simétrica, e sabemos que os termos nos denominadores são as
coordenadas do vetor diretor, enquanto~s é direto:
~r = (2, 3, 2)
~s = (1, 2, 0)
vemos que (~r ,~s) é LI pois não podem ser escritos na forma~r = α~s.
Tomando os pontos de r e s, A = (�1, 0,�1) (simplesmente observando
a eq. simétrica) e B = (0, 0, 0).
�!
AB = B � A = (0, 0, 0)� (�1, 0,�1) = (1, 0, 1)
�!
AB )
~r )
~s )
������
1 0 1
2 3 2
1 2 0
������
1 0
2 3
1 2
= 0+ 0+ 4� 3� 4 = �3
Portanto
��!
AB,~r ,~s
�
é LI e a única possibilidade é as retas r e s serem
reversas.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 40 / 54
Posição relativa de reta e plano
Uma reta r e um plano pi podem ser:
(i) transversais se (�!u ,~v ,~r) é LI;
(ii) paralelos e r não está em pi se (�!u ,~v ,~r) é LD e se qualquer ponto de r
não é ponto de pi ;
(iii) paralelos e r está em pi se (�!u ,~v ,~r) é LD e se todo ponto de r é
ponto de pi;
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 41 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e plano
Ex 16-3 (p. 193 do LT) Estude a posição relativa de r e pi.
a) r : X = (1, 1, 1) + λ (3, 2, 1)
pi : X = (1, 1, 3) + λ (1,�1, 1) + µ (0, 1, 3)
b) r : X = (2, 2, 1) + λ (3, 3, 0)
pi : X = (1, 0, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 0, 3)
c) r : x � 2y = 3� 2z + y = 2x � z
pi : X = (1, 4, 0) + λ (1, 1, 1) + µ (2, 1, 0)
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 42 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e plano
a) r : X = (1, 1, 1) + λ (3, 2, 1)
pi : X = (1, 1, 3) + λ (1,�1, 1) + µ (0, 1, 3)
1o Passo: Vericar se os (�!u ,~v ,~r) é LI ou LD:
~r )�!u )
~v )
������
3 2 1
1 �1 1
0 1 3
������
3 2
1 �1
0 1
= �17 6= 0
Logo r e pi são transversais.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 43 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e plano
b) r : X = (2, 2, 1) + λ (3, 3, 0)
pi : X = (1, 0, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 0, 3)
1o Passo: Veri…car se os (�!u ,~v ,~r) é LI ou LD:
~r )�!u )
~v )
������
3 3 0
1 1 1
0 0 3
������
3 3
1 1
0 0
= 0
Logo r e pi são paralelos. Tomando o ponto da reta A = (2, 2, 1), e
veri…cando se este ponto pertence ao plano
x = 2 = 1+ λ
y = 2 = 0+ λ
z = 1 = 1+ λ+ 3µ
não é possível encontrar λ único. Logo r e pi são paralelos e r não está em
pi.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 44 / 54
Exemplo de posição relativa de reta e plano
c) r : x � 2y = 3� 2z + y = 2x � z
pi : X = (1, 4, 0) + λ (1, 1, 1) + µ (2, 1, 0)
Escrevendo as equações de r na forma equivalente
�
x � 2y = 3� 2z + y
x � 2y = 2x � z
�
x � 3y + 2z = 3
x + 2y � z = 0
(1)
(2)�
(1) + 2.(2) : 3x + y = 3) y = 3� 3x (3)
(3) em (2) : z = x + 2y = x + 2 (3� 3x) = 6� 5x
Ficamos com a equação paramétrica x = σ, y = 3� 3σ, z = 6� 5σ e
~r = (1,�3,�5). P/ (�!u ,~v ,~r) LI ou LD:
~r )�!u )
~v )
������
1 �3 �5
1 1 1
2 1 0
������
1 �3
1 1
2 1
= �2
Logo r e pi são transversais.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 45 / 54
Posição relativa de plano e plano
Dois planos pi1 e pi2 podem ser: (~n1,~n2 são os respectivos vetores normais
aos planos)
(i) transversais se (~n1,~n2) é LI;
(ii) paralelos distintos se (~n1,~n2) é LD e se qualquer ponto de pi1 não é
ponto de pi2 ;
(ii) paralelos coincidentes se (~n1,~n2) é LD e se todo ponto de pi1 não é
ponto de pi2, pi1 = pi2.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 46 / 54
Exemplo de posição relativa de plano e plano
Ex. 16-7, p. 199. Estude a posição relativa dos planos
pi1 : X = (0, 0, 0) + λ (1, 0, 1) + µ (�1, 0, 3) e
pi2 : X = (1, 0, 1) + λ (1, 1, 1) + µ (0, 1, 0)
Basta escrever as equações gerais dos planos
pi1 :
�!
AB1 )
~u1 )
~v1 )
������
x � 0 y � 0 z � 0
1 0 1
�1 0 3
������ = �4y )~n1 = (0,�4, 0)
pi2 :
�!
AB2 )
~u2 )
~v2 )
������
x � 1 y � 0 z � 1
1 1 1
0 1 0
������ = �x + z )~n2 = (�1, 0, 1)
Como (~n1,~n2) é LI os planos são transversais.
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 47 / 54
Feixes de planos
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 48 / 54
A-Medida angular entre Retas
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 49 / 54
A-Perpendicularidade e Ortogonalidade entre Retas
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 50 / 54
B-Medida Angular entre Reta e Plano
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 51 / 54
B- Perpendicularidade e Ortogonalidade entre Reta e Plano
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 52 / 54
C-Medida Angular entre Plano e Plano
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 53 / 54
C- Perpendicularidade e Ortogonalidade entre Plano e
Plano
Edison Franco () Geometria Analítica Plana Agosto de 2013 54 / 54
	Equações de Reta e Plano
	B - Equações de Plano
	Equações de Reta e Plano
	Posição relativa de retas e planos
	Medida angular, perpendicularidade e ortogonalidade