Aula 14 Produto vetorial 1 2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 14 
Conteúdo: UNIDADE III – Produtos com vetores 
 
Temas: Produto vetorial 
 
Produto vetorial 
 
Definição do produto vetorial 
 
Chama-se produto vetorial de dois vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� , tomados nesta ordem, e se 
representa por �⃗� × 𝑣 , ao vetor 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| �⃗� (1) 
 
O produto vetorial �⃗� por 𝑣 também é indicado por �⃗� ∧ 𝑣 e lê-se “�⃗� vetorial 𝑣 ”. 
Observemos que a definição de �⃗� × 𝑣 dada em (1) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de 
Laplace, substituindo a primeira linha pelo vetores unitários 𝑖 , 𝑗 𝑒 �⃗� , como sugere a notação: 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| (2) 
O símbolo à diretia de (2) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No 
entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial. 
 
Exemplos: 
1) Calcular �⃗� × 𝑣 para �⃗� = 5𝑖 + 4𝑗 + 3�⃗� e 𝑣 = 𝑖 + �⃗� . 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
5 4 3
1 0 1
| = |
4 3
0 1
| 𝑖 − |
5 3
1 1
| 𝑗 + |
5 4
1 1
| �⃗� 
= (4 − 0)𝑖 − (5 − 3)𝑗 + (0 − 4)�⃗� 
= 4𝑖 − 2𝑗 − 4�⃗� 
 
Obs.: pode-se usar o método de Sarrus para calcular o determinante. 
 
Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes, 
concluímos de imediato que: 
1) 𝑣 × �⃗� = −(�⃗� × 𝑣 ), isto é, os vetores 𝑣 × �⃗� e �⃗� × 𝑣 são opostos, pois a troca de ordem 
dos vetores no produto vetorial �⃗� × 𝑣 implica troca de sinal de todas as suas 
componentes. Por outro lado, como �⃗� × 𝑣 ≠ 𝑣 × �⃗� conclui-se que o produto vetorial 
 
 
 
 
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não é comutativo (ao contrário do produto escalar: 𝑣 ∙ �⃗� = �⃗� ∙ 𝑣 ). Portanto, no produto vetorial a ordem dos 
fatores é importante. 
2) �⃗� × 𝑣 = 0⃗ se, e somente se, �⃗� ∥ 𝑣 , pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas 
constituídas por elementos proporcionais. 
Também inclui-se os casos particulares: 
I) �⃗� × 𝑣 = 0⃗ (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) 
II) �⃗� × 0⃗ = 0⃗ (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) 
Exemplos de produto vetorial de vetores paralelos: 
a) �⃗� × 3�⃗� = 0 
b) (2�⃗� ) × (−7�⃗� ) 
c) (�⃗� − 𝑣 ) × (𝑣 − �⃗� ) 
Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, sentido e seu comprimento. A 
seguir passaremos a definir o vetor �⃗� × 𝑣 no caso de �⃗� 𝑒 𝑣 serem não nulos e não paralelos. 
 
Características do vetor �⃗⃗� × �⃗⃗� 
 
Consideremos os vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). 
a) A direção de �⃗⃗� × �⃗⃗� 
O vetor �⃗⃗� × �⃗⃗� é simultamenamente ortogonal a �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� . 
 
Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero, basta mostrar que 
( �⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = 0 e ( �⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = 0 
Temos, então 
( �⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑥1 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑦1 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| 𝑧1 
= |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
= 0 (primeira e segunda linhas iguais) 
Logo, �⃗� × 𝑣 é ortogonal a. 
De forma análoga, demonstra-se que ( �⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = 0. 
Como o vetor 𝑣 × �⃗� tem a mesma direção de �⃗� × 𝑣 (apenas sentidos opostos), também é ortogonal tanto a �⃗� 
quanto a 𝑣 . A figura ao lado representa os vetores �⃗� × 𝑣 e 𝑣 × �⃗� ortogonais ao plano 𝜋 determinado por �⃗� 𝑒 𝑣 . 
 
Exemplo: Dados os vetores �⃗� = (3,1,2) 𝑒 𝑣 = (−2,2,5), tem-se 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
3 1 2
−2 2 5
| = (1,−19,8) 
 
( �⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = (1,−19,8) ∙ (3,1,2) = 3 − 19 + 16 = 0 
( �⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = (1,−19,8) ∙ (−2,2,5) = −2 − 38 + 40 = 0 
b) Sentido de �⃗⃗� × �⃗⃗� 
 
 
 
 
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O sentido de �⃗� × 𝑣 poderá ser determinado utilizando-se da regra da mão direita. Sendo 𝜃 o ângulo entre �⃗� 𝑒 𝑣 , 
suponhamos que �⃗� (1º vetor) sofra uma rotação de ângulo de 𝜃 até coincidir com 𝑣 . E os dedos da mão direita 
forem dobrados na direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de �⃗� × 𝑣 . 
 
 
A segunda figura mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. 
Observemos que só será possível dobras os dedos na direção de 𝑣 para �⃗� se invertermos a posição da mão, 
quando então o dedo polegar estará apontado para baixo. 
 
c) O comprimento de �⃗⃗� × �⃗⃗� 
Se 𝜽 é o ângulo entre os vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� não nulos, então |�⃗⃗� × �⃗⃗� | = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� | 𝐬𝐞𝐧𝜽 (3) 
 
Interpretação geométrica do Módulo do produto vetorial 
 
Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não nulos 
�⃗� 𝑒 𝑣 , a medida da base é |�⃗� | e a altura é |𝑣 |𝑠𝑒𝑛 𝜃, a área A deste 
paralelogramo é 
𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = |�⃗� ||𝑣 |𝑠𝑒𝑛 𝜃, 
ou seja, 
𝐴 = |�⃗� × 𝑣 | (7) 
O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: “a área do paralelogramo determinado pelos vetores �⃗� 𝑒 𝑣 é 
numericamente igual ao comprimento do vetor �⃗� × 𝑣 ”. 
Vamos comprovar este resultado por meio de um exemplo particular tomando os vetores �⃗� = 2𝑖 e 𝑣 = 3𝑗 . Temos, 
então 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
2 0 0
0 3 0
| = (0,0,6) = 6�⃗� 
E 
|�⃗� × 𝑣 | = 6 
A figura ao lado mostra claramente que o paralelogramo determinado por �⃗� 𝑒 𝑣 tem 6 u.a. 
(unidades de área) e o vetor �⃗� × 𝑣 tem 6 u.c. (unidades de comprimento) Quer dizer, 
numericamente estas medidas são iguais. 
Para encerrar o estudo do produto vetorial, as conclusões finais: 
 
 
 
 
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1) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral (�⃗� × 𝑣 ) × �⃗⃗� ≠ �⃗� × (𝑣 × �⃗⃗� ), basta considerar, por 
exemplo, 
(𝑖⃗⃗ × 𝑗 ) × 𝑗 = �⃗� × 𝑗 = −𝑖 
Enquanto que 
𝑖 × (𝑗⃗⃗⃗ × 𝑗 ) = 𝑖 × 0⃗ = 0⃗ 
2) Para quaisquer vetores �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� o escalar 𝛼, são válidas as propriedades 
I) �⃗� × (𝑣 + �⃗⃗� ) = (�⃗� × 𝑣 ) + (�⃗� × �⃗⃗� ) e (�⃗� + 𝑣 ) × �⃗⃗� = (�⃗� × �⃗⃗� ) + (𝑣 × �⃗⃗� ) 
II) 𝛼(�⃗� × 𝑣 ) = (𝛼�⃗� ) × 𝑣 = �⃗� × (𝛼𝑣 ) 
III) �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = (�⃗� + 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� 
Exemplos: 
1) Determinar o veto𝑥 r, tal que 𝑥 seja ortogonal ao eixo dos y e �⃗� = 𝑥 × 𝑣 , sendo �⃗� = (1,1,−1)𝑒 𝑣 =
(2,−1,1). 
Como 𝑥 ⊥ 𝑦, não existe componente de 𝑥 no eixo y, portanto temos 0y, o que faz com que 𝑥 = (𝑥, 0, 𝑧). 
Então, �⃗� = 𝑥 × 𝑣 equivale a 
(1,1,−1) = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥 0 𝑧
2 −1 1
| = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥 0 𝑧
2 −1 1
| |
𝑖 𝑗 
𝑥 0
2 −1
| (0𝑖 + 2𝑧𝑗 − 𝑥�⃗� + 𝑧𝑖 − 𝑥𝑗 ) = (𝑧, −𝑥 + 2𝑧,−𝑥) 
Ou 
(1,1,−1) = (𝑧,−𝑥 + 2𝑧,−𝑥) 
Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema 
{
𝑧 = 1
−𝑥 + 2𝑧 = 1
−𝑥 = −1
 
Cuja solução é x=1 e z=1. 
Portanto, 𝑥 = (1, 0,1). 
 
2) Sejam os vetores �⃗� = (1,−1,−4)𝑒 𝑣 = (3,2, −2).Determinar um vetor que sejaa. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 ; 
b. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e unitário; 
c. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e tenha o módulo 4; 
Solução 
a. Sabe-se que o vetor �⃗� × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 . Como multiplicar um vetor por 
número real não altera sua direção, todos os vetores do tipo 𝛼(�⃗� × 𝑣 ), 𝛼 𝜖 𝑅, são também ortogonais 
a �⃗� 𝑒 𝑣 . Portanto, este problema tem infinitas soluções. 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 −4
3 2 −2
| = (10,−10,5) 
Logo, as infinitas soluções são 
𝛼(10,−10,5), 𝛼 𝜖 𝑅. 
b. A partir de �⃗� × 𝑣 (ou qualquer 𝛼(�⃗� × 𝑣 ), 𝛼 ≠ 0), obt=em-se dois vetores unitários: 
�⃗� 1 =
�⃗� × 𝑣 
|�⃗� × 𝑣 |
=
10,−10,5
15
= (
2
3
,−
2
3
,
1
3
) 
 
 
 
 
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e 
�⃗� 2 = −�⃗� 1 = (−
2
3
,
2
3
,−
1
3
). 
 
c. Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a �⃗� × 𝑣 , basta multiplicar por 4 um vetor 
unitário: 
4 (
2
3
,−
2
3
,
1
3
) = (
8
3
, −
8
3
,
4
3
) 
Ou 
4 (−
2
3
,
2
3
,−
1
3
) = (−
8
3
,
8
3
,−
4
3
) 
 
3) Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|. 
É uma aplicação direta da relação (3): 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|𝑠𝑒𝑛 Â 
Como Â=60°, vem 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = (10)(10) (
√3
2
) = 50√3 
Mas este resultado apresenta a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, logo a área do triângulo 
é a metade , ou seja 25√3. 
 
4) Dados os vetores �⃗� = (1,−1,1)𝑒 𝑣 = (2,−3,4), calcular: 
a. A área do paralelogramo determinado por �⃗� 𝑒 𝑣 ; 
b. A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor �⃗� . 
Solução 
a. Sabemos de (7) que a área A é definida por 
𝐴 = |�⃗� × 𝑣 | 
Como 
|�⃗� × 𝑣 | = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 1
2 −3 4
| = (−1,−2,−1) 
Tem-se 
𝐴 = |(−1,2,−1)| = √1 + 4 + 1 = √6 u.a. 
 
 
 
 
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b. A figura a baixo ilustra outra vez o significado geométrico de |�⃗� × 𝑣 | e indica a altura h que se pede 
para calcular. 
De 
𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = |�⃗� |. ℎ 
Vem 
ℎ =
𝐴
|�⃗� |
=
|�⃗� × 𝑣 |
|�⃗� |
 
ou seja 
ℎ =
√6
|(1,−1,1)|
=
√6
√3
= √2 = 𝑢. 𝑐. 
 
Uma aplicação na física 
O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Física. Dentre algumas de suas aplicações, 
pode-se citar o torque. 
O torque é uma grandeza vetorial, representado por 𝜏, e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofre 
uma torção ou alterar seu movimento de rotação. 
A equação para o cálculo do torque é 
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 
Onde |𝑟 | é a distância do ponto de aplicação da força 𝐹 ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. 
Lembrando o cálculo do modulo do produto vetorial visto em (3) tem-se 
|𝜏 | = |𝑟 ||𝐹 | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Onde 𝜃 é o ângulo entre 𝑟 𝑒 𝐹 . 
Exemplo: 
Calcular o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑟 = 2𝑗 (em metros), 𝐹 = 10𝑖 (em newtons) e o eixo de rotação é o 
eixo z. 
Solução: 
O vetor torque, para o caso desta figura, é dado por 
 
 
 
 
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𝜏 = (0𝑖 + 2𝑗 + 0�⃗� )𝑚 × (10𝑖 + 0𝑗 + 0�⃗� )𝑁 
Ou 
𝜏 = (0𝑖 + 0𝑗 − 20�⃗� )𝑚𝑁 
Ou 
𝜏 = (−20�⃗� )𝑚𝑁 
A intensidade (módulo) do torque pode ser calculado por 
|𝜏 | = |𝑟 ||𝐹 | 𝑠𝑒𝑛 90° = 20𝑚𝑁 
Ou por 
|𝜏 | = √(−20)2 = 20𝑚𝑁 
Exercícios: 
 
Exercícios da lista semipresencial III serem entregues até 06/06 impreterivelmente.