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Aula 14 Produto vetorial 1 2016

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a. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 ; 
b. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e unitário; 
c. Ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e tenha o módulo 4; 
Solução 
a. Sabe-se que o vetor �⃗� × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 . Como multiplicar um vetor por 
número real não altera sua direção, todos os vetores do tipo 𝛼(�⃗� × 𝑣 ), 𝛼 𝜖 𝑅, são também ortogonais 
a �⃗� 𝑒 𝑣 . Portanto, este problema tem infinitas soluções. 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 −4
3 2 −2
| = (10,−10,5) 
Logo, as infinitas soluções são 
𝛼(10,−10,5), 𝛼 𝜖 𝑅. 
b. A partir de �⃗� × 𝑣 (ou qualquer 𝛼(�⃗� × 𝑣 ), 𝛼 ≠ 0), obt=em-se dois vetores unitários: 
�⃗� 1 =
�⃗� × 𝑣 
|�⃗� × 𝑣 |
=
10,−10,5
15
= (
2
3
,−
2
3
,
1
3
) 
 
 
 
 
“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 5 
 
e 
�⃗� 2 = −�⃗� 1 = (−
2
3
,
2
3
,−
1
3
). 
 
c. Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a �⃗� × 𝑣 , basta multiplicar por 4 um vetor 
unitário: 
4 (
2
3
,−
2
3
,
1
3
) = (
8
3
, −
8
3
,
4
3
) 
Ou 
4 (−
2
3
,
2
3
,−
1
3
) = (−
8
3
,
8
3
,−
4
3
) 
 
3) Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|. 
É uma aplicação direta da relação (3): 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|𝑠𝑒𝑛 Â 
Como Â=60°, vem 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = (10)(10) (
√3
2
) = 50√3 
Mas este resultado apresenta a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, logo a área do triângulo 
é a metade , ou seja 25√3. 
 
4) Dados os vetores �⃗� = (1,−1,1)𝑒 𝑣 = (2,−3,4), calcular: 
a. A área do paralelogramo determinado por �⃗� 𝑒 𝑣 ; 
b. A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor �⃗� . 
Solução 
a. Sabemos de (7) que a área A é definida por 
𝐴 = |�⃗� × 𝑣 | 
Como 
|�⃗� × 𝑣 | = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 −1 1
2 −3 4
| = (−1,−2,−1) 
Tem-se 
𝐴 = |(−1,2,−1)| = √1 + 4 + 1 = √6 u.a. 
 
 
 
 
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b. A figura a baixo ilustra outra vez o significado geométrico de |�⃗� × 𝑣 | e indica a altura h que se pede 
para calcular. 
De 
𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = |�⃗� |. ℎ 
Vem 
ℎ =
𝐴
|�⃗� |
=
|�⃗� × 𝑣 |
|�⃗� |
 
ou seja 
ℎ =
√6
|(1,−1,1)|
=
√6
√3
= √2 = 𝑢. 𝑐. 
 
Uma aplicação na física 
O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Física. Dentre algumas de suas aplicações, 
pode-se citar o torque. 
O torque é uma grandeza vetorial, representado por 𝜏, e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofre 
uma torção ou alterar seu movimento de rotação. 
A equação para o cálculo do torque é 
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 
Onde |𝑟 | é a distância do ponto de aplicação da força 𝐹 ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. 
Lembrando o cálculo do modulo do produto vetorial visto em (3) tem-se 
|𝜏 | = |𝑟 ||𝐹 | 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Onde 𝜃 é o ângulo entre 𝑟 𝑒 𝐹 . 
Exemplo: 
Calcular o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑟 = 2𝑗 (em metros), 𝐹 = 10𝑖 (em newtons) e o eixo de rotação é o 
eixo z. 
Solução: 
O vetor torque, para o caso desta figura, é dado por 
 
 
 
 
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𝜏 = (0𝑖 + 2𝑗 + 0�⃗� )𝑚 × (10𝑖 + 0𝑗 + 0�⃗� )𝑁 
Ou 
𝜏 = (0𝑖 + 0𝑗 − 20�⃗� )𝑚𝑁 
Ou 
𝜏 = (−20�⃗� )𝑚𝑁 
A intensidade (módulo) do torque pode ser calculado por 
|𝜏 | = |𝑟 ||𝐹 | 𝑠𝑒𝑛 90° = 20𝑚𝑁 
Ou por 
|𝜏 | = √(−20)2 = 20𝑚𝑁 
Exercícios: 
 
Exercícios da lista semipresencial III serem entregues até 06/06 impreterivelmente.

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