Calculo III - Resolução da Lista 5 (gabarito) UFF

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C ¢i Jc u 1o . 1 I A 2 0 1 5 2 16
u F F U n i \ r s i d a d e F e d e r a l F l u m i n e n s e 
L I S T A 5 2 0 1 5 2
E G M I n s Ai t u t o d e M a t e m á t i c a e E s t a t is t i c a I n t e g r a l d e S u p e r f i c i e e C a m p o E s c a l a r
G ]v IA D e p a r t a m e n t o d e ' t a t e m i t i c a A p l i c a t l a F l u x o d e C a m p o V e t o i j a l
P a r a m e t r i z e a s s u p e r f íc i e s a b a i x o i n d i c a n d o o d o m í n i o d o s p a r â m e t r o s
p a r t e d a e s f e r a z 2 + y 2 + z 2 _ 4 , q u e t i c a a c i m a D o p l a n o z -
+ y 
2 4
, q u e f i c a e n t r e o s p l a n o s z - 2 e U + z - 2
p a r Le d o p l a n o n + ?/ + z 2 n o i n t e r i o r d o c i l i n d r o z
2 
+ y 
2 1
c o n e g e r a d o p e l a s e m i r e t a z - 2 y , ?/ O, gi r audca e m t o r n o d o e i x o z
s u p e r ü c i e d e r e v o l u ç ã o o b t i d a g i r a n d o o s e g m e n t o d e r e t a A B , A (4 , 1 , 0 ) , B (2 , 4 , 0 ) ,
SS p a r t e d o c i l i n d > o T 2 + / 2 2 y , q u e l i m e n t r e 0 e z - z
2 
+ y
2
d o e i x o z
5 3 ° S u m a s u p e r f i c i e p a r a m e t r i z a d a p o r i (u , u ) (u c o s u , u s e n u , 1 u 2 ) 0 5 u 5 2 r r e u 2 0
E n c o n t r e u m a e q u a ç ã o d a r e t a n o r m a l a S e m i (0 , 1 )
E n c o n t r e m a e q u a ç ã o d o p l a n o t a n g e n t e a S e m 7 (0 1 )
C a l c u e a á r e a d a s u p e r f íc i e d a d a p o r & u , u ) (u , u , u 2 + u 2 ) c o m (u · ) ¬ D u 2 + u 2 [ 4
p o r ç d o p l a n o T + 2 y + z 4 , q u e e s t á d e n t r o d o c i l i n d r o c 2 + y 2 4
p a r t e d a e s f e r a z 2 + y 
2 
+ z
2 4
, 
i n t e D o r a o c o n e z -
p o r ç a o d o c i l i n d r o c
2 
+ y
2 1
, 
e n t r e o s p l a n o s z y e z 2 y
/^ · u t e d o c i l i n d r o z 2 + y 2 2 y , l i m i t a d o p e l o p l a n o z 0 e o c o n e zs u p e r f i c i e g e r a d a p e l a r o t a ç /i o d o c o n j u n t o C { (0 y · ) ¬ R a ; (y 2 ) 2 + z 2 1 } e m t o r n os u p e r f i c i e g e r a d a p e l a r o t a g /i o d o s e g m e n t o d e r e t a A B , A (0 1 , 3 ) , B (0 , 3 , 1 ) e m
t Þ m o , e i x o z
(g ) S p a r t e d a s u p e r f íc i e c o m p r e e n d i a e n t r e o s p l a n o s z + y 1 , z + y 2 T 0
e y - o
S p a r t e d o c o n e z - , q u e s e e n c o n t r a d e n t r o d o c i l i n d r o x
2 
+ v
2 2 y f o r a d o
c i l i n d r o n 2 + y 2 1
C a l c u l e a á r e a d a s u p e r f íc i e d a e s fe r a d c r a i o a , c e n t r a d a n a o r i g e m , l i m i t a d a p o r d o i s p a r a l e l o s c d o i s
m e r i d i a n o s
, 
s ä b e n d o q u e o i i n g u l o e n t r e o s m e r i d i a n o s a c e a d i s t â n c i a e n t r e o s p l a n o s q u e c o n t J n o s
p a r a l e l o s é h
6 S e j a S a s u p e r f í c i e d e e l u a ç o 2 z - c 2 + y
2
, 
0 · z < k k > 0 S a b e n d o s e q u e a á r e a d e S i l l e
14 , d e t e r m In e a v a l o r d e k
D e s e 5a s e c o n s t r u i r u m a p e ç a d e z i n c o q u e t e m a f o r m a d a s u p e r f i c i e d e cquaçi o z - 1 c
2
, 
c
p r e e n d i d a e n t r e o s p l a n o s y
0 e 0 e o c i l i n d r o z - 1 y 2 , y 0 S e o m e t r o q u a d r a d o d o
z i n c o c u s t a R r e a i s , c a l c u l e o p r e ç o t o t a l d a p e ç a
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C U c u l o I I 1 A 2 0 15 2 17
8 0 c i l i n d r o z 2 + y 2 _ = d i v i d e a e s f e r a S z 2 + y 2 + z 2 _ 1 w
, 
d u a s r e g iõe s 5 1 e 5 2 , o n d e 5 1
e s t á n o i n t e r i o r d o c i l i n d r o e 5 2 f o r a A c h e a r a z ão d a s ár e a s
(T
, y , z ) = , T 2 + z y 2 1 . S î (u , u ) - u+U5+( . 2 + 1) , c o m 0 5 u 5 1 , 0 5 u 5 2
(z
, y , z ) = z 2 z e S z 2 + y 2 _ a 2 , a > 0 , c o m 0 5 z < 1
(=
, y , z ) = = e S é a r e g i ão t r i a n g u l a r c o m v ér t i c e s (1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) e (0 , 0 , 1)
(d ) f (Æ
, y , z ) - z e S é a s u p e r f íc i e d o s ól id o l i m i t a d o p e l o c i l i n d r o 2+y 2 _ 1 e o s p l a n o s z - 1
e z + z - 4
(e ) f (=
, 9 1 z ) = J . + y 2 + z 2 e S é a p o r ç ão d a e s f e r a = 2 + y 2 + 2 _ 36 , l i m i t a d a p e l o s p l a n o s
z - O e z - 3
(f ) f (=
, y , z ) = - e é a p a r t e d a s u p e r f ic i e c ô n i c a z ° , l i m i t a d a p o r
z - 4
, 
c o m z > 0
f (z
, V i z ) = z 2 y 2 e S é a p o r ç ão d o c i l i n d r o » 2 + y 2 _ a 2 , a > O, n o p r i m e i r o o c t a n t e , e n t r e
o s p l a n o s z - ?/ e z - 2y
(h ) f (z
, y , z ) = x 2 + ?/2 e S £ 2 + y 2 + z 2 _ 4 , c o m z > 1
10 Su p o n h a q u e f (z , ?/ , z ) - (. 2 + ?j 2 ) g . , o n d e g é u m a f u n çã o d e u m a v a r i á v e l , t a l
q u e g (2) - 5 C a l c u l e J lg f (z , y , z ) d s , o n d e S é a e s f e r a z 2 + y 2 + z 2 4
11 C a l c u l e a m a s s a d a s u p e r f ic i e S p a r t e d o p l a n o z - 2 z d e n t r o d o c i l i n d r o a
2 
+ y 
2
_ 1
, 
s e n d o a
d e n s id a d e d a d a p o r p (z , y , z ) = y 2
12 Se j a S a por gi o d o c i l i n ó o z 2 + y 2 _ 1 , c o m z 0 , l i m i t a d a p e l o p l a n o £ + y + z - 1 c o p l a n o
z - 0 C a l c u l e a m a s s a d e S
, 
s a b e n d o q u e a d e n s i d a d e d e m a s s a 6 111 u m p o n t o é i g u a l a o q u a d r a d o
d a d i s t â n c i a d o p o n t o a o e i x o z
Sej a S a s u p e r f ic i e d o s ól i d o l i n 1i t a d o i n t e r i o r m e n t e p e l o p a r a b o 1ó i d e z - z 2 + y 2 e s u p e r i o r m e n t e
Y p e i o p l a n o z 1 s e a d e n s i d a d e d e m a s s a é d a d a p o r p (z , y , z ) z , c a l c u l e a m a s s a d e s
14 Se j a S apor çi o d a e s f e r a T 2 + 1/ 2 + z 2 _ 4 q u e s e e n c o n t r a d e n t r o d o p a r a b o l ó i d e z - C a l c u l e
a m a s s a d e S s a b e n d o q u e a d e n s i d a d e d e m a s s a e m c a d a p o n t o (£
, 
3/
, 
z ) ¬ S é i g u a l a o q u a d r a d o d a
d i s t â r 1c i a d o p o n t o a o e i x o z
Se j a S a s u p e r f i c i e d e r o t a ç o o b t i d a g i r a n d o C - { ( · 
· 
y , O) ¬ m 3 ; = - l n y , < ?/ < } e m t o r n o
d o e i x o z C a l c u l e a m a s s a d e S
, 
s a b e n d o q u e a d e n s i d a d e e m c a d a p o n t o é p r o p o r c i o n a l à d i s t â n c i a
d o p o n t o a o e ix o =
16 D e t e r m i n e o m o m e n t o d e i n ér c i a c 1n >el açi o a o e i x o z d a s u p e r f : c i e S z 2 + 3/ 2 _ 2y , l i m t a d a p o r
z - O e z °
, 
s e n d o a d e n s i d a d e p (Æ , y , z ) = z
M o s t r e q u e o m o m e n t o d e i n ér c i a d e i l m a c a s c a c i l ín d r i c a d e c o m p r h n e n t o L e r a i o d a b a s e a
. 
c o m
d e n s id a d e c o n s t a n t e
, 
e l n r e l a ç ão a 11m d i âm e t r o d o c i r c u l o c u j o c e n t r o c o i n c i d e c o m o c e n t r o d a c a s c a
c i l í n d r i c a
, 
é I - M a 2 + A r L 2 , o n d e M é a m a s s a t o t a l
C a l c u l e o m o m e n t o d e i n ér c i a d a s u p e r ü c i e h o m o g ên e a
, 
d e m a s s a M
, 
d e e q u a ç i i o z 2 + y 2 _ R 2 ,(R > O) ,
c o m 0 · z < 1
, 
e m t o r n o d o e i x o z
19 U ï n a l âm i n a ce m a f o r m a d e u m h e m i s fér i o d e r a i o a C a l c u l e o m o m e n t o d e i n ér c i a d e s s a l å a e m
r e l a ção a u m e i x o q u e p a s s a p e lo p o l o e é p e r p e n d i c u l a i ' " o p l a n o q u e d e l i m i t a o h e m i s f é r i o C o n s i d e r e
a d e n s i d a d e n o p o n t o P d a l âm i n a p r o p o r c i o n a l à d i s t â n c i a d e s s e p o n t o a o p l a n o q u e d e l i m i t a o
h e m i s f ér i o
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C t i1c u 1o J I I A 2 015 2 18
20 M o s t r e q u e o m o m e n t o d e i n ér c i a e m r e l a ção a o e ix o z d a c a s c a d o c o n e z - l z + y 2 d e a l t u r a h
q u e e s t á n o p r i m e i r o o e t a n t e c o m d e n s i d a d e c o n s t a n t e é I _ M h
2
2 1 , o n d e M é a m a s s a t o t a l
2 1 C a l c u l e o m o m e n t o d e i n ér c i a d a s u p e r f íc i e e s fér i c a d e r a i o R
, 
h o m o gên e a
, 
d e m a s s a M
, 
e m t o m o
d e q u a lq u e r d i âm e t r o
22 C a l c u l e 0 c e n t r o d e m a s s a d a s u p e r f i c i e h o m o gên e a
, p a r t e d a s u p e r f ic i e c ô n i c a z 2 _ a 2 + y 2 , c
p r e e n d i d a e n t r e o s p l a n o s z - 1 e z - 2
23 C a l c u l e Jr s I i ds
, 
o n d e
Y (z
, 3/ , z ) = z k e S é a p a r t e d a e s fe r a E 2 + y 2 + z 2 _ 4 f o r a d o c i l i n d r o z 2 + y 2 _ 1 , i ì
a p o n t a n d o p a r a fo r a
(b ) ( Æ
, ?/ , z ) = ( Æ ) ï + ( y ) î + (3y 2 , ) e S é a p a r t e d o c i l i n d r o Æ 2 + y 2 _ 16
, 
s i t u a d o n o
p r i m e i r o o c t a n t e
, 
e n t r e z - O e z - 5 y , i ì a p o n t a n d o p a r a o e ix o z
( Æ
, 
v i z ) = (z + 3 z ) A (z + 3) e S é a s u p e r f íc i e d o s óh d o l im i t a d o p o r z - 1 y 2
, 
z O
, 
z - 2
e o p l a n o y t c o m i i e x t e r i o r
(d ) Y (z
, y , z ) = ( 3 r y z 2 ) + (Æ + 2y z 2 . . 4 ) î + (y z 3 z 2) k e S é . u n i o d a s u p e r ü c i e
z
2 
+ y 2 _ 1
, 
0 [ z [ 1
, 
c o m - 0
, 
z
2 
+ y 2 [ 1
, 
i n d i c a n d o a o r i e n t a çã o e s c o h i d a p a r a S
(e ) ( Z
, y , z ) = y z , z , x 2 + y 2 e s é a s u p e r fí c i e d e r e v o l u ç ã o o b t i d a g i r a n d o o s e g m e n t o d e r e t a
q u e l i g a (1
, 
0
, 
1) . (0
, 
0
, 
3 )
, 
e m t o m o d o e i x o
, 
c o m i í t e n d o a c o m p o n e n t e z ni onegat i va
(f ) ( .
, y , z ) = (= , y , z ) e s a s e m i e s f e r a c2 + y 2 + z 2 _ 4
, 
z 0
, 
c o m i í e x t e D o r
(g ) ( · 
· 
y
, 
z ) - y l + Æ l + 2 8 e s é a s u p e r f í c i c p l a n a l i m i t a d a p e l o t r i i i n g u l o d e ér t i c s (2
, 
o
, 
o )
,(0
, 
2
, 
0 ) · (0
, 
0
, 
2)
, 
c o m i í t e n d o a c o m p o n e n t e z n o n e g a t i v a
(h ) ( .
, y , z ) - z + y z e s é a p a r t e d o p l a n o z - 2 z
, 
l i m t a d a p e l o c i l i n d r o c 2 + y 2 _ 9
,
c o m f ì t a l q u e i î k 0
(i ) ( X
, y , z ) = (. 2 + y 2 + z 2 ) å ( · 
· 
y
, 
z ) e s é a c s f e r a z 2 + y 2 + z 2 _ a 2
, 
a > o
,
- j í e x t e r i o r
(n ( Z
, y , z ) = (E y , x + y , z ) e s £ 2 + y 2 a 2
, 
z > o
, 
o < z [ h
, 
c o m ? i e x t e D o r
(k ) 13 (x
, y , z ) - . + y e S é a p a r t e d a e s f e r a z 2 + y 2 + z 2 _ a 2
, 
a > o
, 
11o p r i m e i r o o c t a n t e e
ñ a p o n t a n d o p a r a a o r i g e m
(1) 1ì (z
, y , z ) = (Æ , 3y , 2 z ) e S é a u n i ão d o s p l a n o s y + z - O
, 
c o m O < z < 1
,
1 [ y [ O e
z - O
, 
c o m O < = [ 1
, 
0 [ y [ 1
, 
i n d i c a n d o a or i ent açi o e s c o lh i d a p a r a S
C a l c u l e o f l u x o d e ( =
, y , z ) - (y 2 + z 2 , T , Æ) , a t r a v s d a s u p e r f ic i e d e r e v o l u çã o o b t id a g i r a n d o o
s e gm e n t o d e r e t a q u e l i g a o p o n t o (4
, 
1
, 
0 ) · (2
, 
4
, 
0 ) e m t o m o d o e i x o x
, 
o n d e o v e t o r i i t e m
c o m p o n e n t e i n o n e g a t i v a
2 5 C a l c u l e o n u x o d e F (T
, y , z ) = . ï + y z , a t r a v és d a s u p e r ü c i e s
, p a r t e d o c i l i n d r o c2 + y 2 _ 2Æ
,l i m i t a d o p e l o p l a r 1o z - 0 e p e l o c o n e z -
, 
c o m v e t o r n o ] m a l a p o n t a n d o p a r a fo r a d e S
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