AULA 1 - TEORIA DOS NUMEROS E CONJUNTOS - alunos

Prévia do material em texto

1
MATEMÁTICA
Aula – 1
TEORIA DOS NÚMEROS
UEZO – Centro Universitário
Estadual da Zona Oeste
Edmilson Monteiro de Souza
Teoria dos Números
2
Teoria dos Números
Teoria dos Números
3
Teoria dos Números
Teoria dos Números
4
Teoria dos Números
Teoria dos Números
5
Teoria dos Números
Teoria dos Números
•N – Conjunto dos Números Naturais;
•Z – Conjunto dos Números Inteiros;
•Q – Conjunto dos Números Racionais.
6
Teoria dos Números
Teoria dos Números
7
Teoria dos Números
Teoria dos Números
8
Teoria dos Números
MATEMÁTICA
Aula – 2
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM 
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
UEZO – Centro Universitário
Estadual da Zona Oeste
Edmilson Monteiro de Souza
9
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
10
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
11
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
12
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
13
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
14
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
15
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
16
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
17
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
18
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
19
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
20
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
21
Expressões numéricas com números 
fracionários
Expressões numéricas com números 
fracionários
22
Expressões numéricas com números 
fracionários
MATEMÁTICA
Aula – 3
TEORIA DOS CONJUNTOS
UEZO – Centro Universitário
Estadual da Zona Oeste
Edmilson Monteiro de Souza
23
"A filosofia (ciência e natureza) está escrita nesse grandioso livro que se mantém continuamente 
aberto perante os nossos olhos (quero dizer, o Universo), mas não se pode entendê-lo se 
primeiramente não se cuida de entender a língua e conhecer os caracteres em que está escrito. Ele 
está escrito em linguagem matemática, e os caracteres são triângulos, círculos e outras figuras 
geométricas, sem as quais é impossível entender humanamente alguma palavra; sem estes meios é 
dar volta em vão num obscuro labirinto". Galileu Galilei (1564-1642), O Ensaiador, IV.
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Teoria dos conjuntos
 Um conjunto é uma coleção de “coisas”. Essas coisas são
chamadas membros ou elementos.
 Em geral, designamos os conjuntos com letras maiúsculas A, B, C,
D, etc. e os elementos de um conjunto por letras minúsculas.
 Se x é um elemento do conjunto A dizemos que x  A; caso
contrário, dizemos que x  A.
 Há, pelo menos, três formas distintas de representar um conjunto:
por enumeração, por uma propriedade característica ou por
diagramas.
TEORIA DOS CONJUNTOS
24
 Teoria dos conjuntos
 Enumeração: Escrevemos seus elementos entre chaves, separados
por vírgulas e sem repetição.
 Exemplo: Seja M o conjunto dos 6 primeiros algarismos:
M = {0,1,2,3,4,5}
 Propriedade característica: Trata-se de um critério para saber se
um dado elemento pertence ou não ao conjunto.
 Exemplo: Seja D o conjunto dos divisores naturais de 8:
 Simbolicamente, o conjunto é definido da seguinte maneira:
D = { x  D | x é divisor de 8}
 Em termos de seus elementos:
D = {1,2,4,8}
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Teoria dos conjuntos
 Diagramas: Trata-se de uma representação geométrica, onde o
conjunto representa um espaço delimitado por uma linha circular
e os elementos pontos interiores ao círculo.
 Essa representação é chamada de Diagrama de Euler em
homenagem ao seu criador Leonhard Euler (1707-1783).
 Exemplo: Seja C o conjunto dos 5 primeiros números primos
positivos:
.3.2
.5 .7
.11
TEORIA DOS CONJUNTOS
25
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Teoria dos conjuntos
 Princípio da extensionalidade: Se dois conjuntos têm exatamente
os mesmo elementos então eles são iguais. Logo: Se A = B,
então, x , x  A  x  B.
 Um pequeno conjunto poderia ser {0}, que tem apenas um
elemento, o 0;
 Um conjunto ainda menor é o conjunto vazio: . O conjunto vazio
não tem elementos e pode ser representado também por: { }. Em
termos simbólicos, temos:  B | x , x  B.
 Atenção: {}  .   {}, mas   .
TEORIA DOS CONJUNTOS
26
 Teoria dos conjuntos
 Subconjunto: Dizemos que A é um subconjunto de B, ou, que A
está contido em B, se todos os elementos de A também são
elementos de B. Simbolicamente: A  B  x , x  A x  B.
 Por outro lado, se A  B , então B  A.
 Conjuntos numéricos: Estudaremos, neste curso, as relações que
envolvem os conjuntos numéricos. Entre eles, temos:
 N = {0,1,2,3,...} = conjunto dos números naturais;
  = {...,-2,-1,0, 1,2,3,...} = conjunto dos números inteiros;
 Q = {...,-5/4, ...,-1,...0,...3/4,...2, ...}= conjunto dos números
racionais;
 R = { ..., ,..., -1/2, ...0,..., , ...,8/2,...} = conjunto dos números
reais.
5
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números naturais:
 Os conjuntos dos números naturais surgiu da necessidade
primitiva de estabelecer uma forma de contagem. A princípio,
seus elementos eram apenas: {1,2,3,4,...}. Porém, com a
evolução dos sistemas de contagem e a introdução do “0”
pelos hindus, passamos a considerar: {0,1,2,4,...}.
 Quando se deseja excluir o zero do conjunto dos números
naturais, usa-se a notação “*”. Assim N* indica o conjunto
{1,2,3,4,...}.
TEORIA DOS CONJUNTOS
27
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números inteiros:
 O conjunto dos números inteiros surgiu da necessidade
primitiva de dar sentido a operações do tipo: 2 – 5. Como o
resultado dessa operação é um numero que  ao conjunto dos
número naturais criou-se o conjunto dos números inteiros para
incorporar também os números negativos.
 Note que todo número natural é também um número inteiro.
Portanto N é subconjunto de Z.
Z
N
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números racionais:
 O conjunto dos números racionais surgiu da necessidade de
dar sentido a operações que não podiam ser representadas
por números inteiros. É o caso das grandezas contínuas como
distância e tempo, que muitas vezes são representadas por
meio de frações.
 Simbolicamente, temos:
Q = { x | x = p/q; p  Z e q  Z*}
 O número racional é todo aquele que pode ser escrito na
forma de fração.
TEORIA DOS CONJUNTOS
28
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números racionais:
 São números racionais: todo número inteiro, todo número
racional finito e todo número decimal infinito e periódico.
Logo:
Z N
Q
N  Z  Q
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números irracionais:
 Da mesma forma que a subtração sugeriu a criação dos
números inteiros, a operação de radiciação determinou o
surgimento dos números irracionais quando verificou-se a
impossibilidade de enquadrar um número como na definição
de número racional.
 São também irracionais números como:
, , , e , etc.
 O conjunto dos números irracionais é aquele formado por
números infinitos e não-periódicos.
2
3 7 5 
TEORIA DOS CONJUNTOS
29
 Conjuntos numéricos
 Conjuntodos números irracionais
 O conjunto dos números irracionais I é o complemento de Q,
relativo a R.
 R é o conjunto dos números reais.
Q Z
N
I=Q’
R=
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Conjuntos numéricos
 Conjunto dos números reais:
 Um número real pode ser racional ou irracional, logo, pode ser
representado da seguinte maneira:
R = {x | x  Q ou x  I} ou R = {racionais}  {irracionais}.
 Outros conjuntos numéricos:
 Para os objetivos deste curso iremos trabalhar apenas com o
conjunto dos números reais e seus subconjuntos, mas há
ainda os números imaginários que junto com os números reais
formam o conjunto dos números complexos.
TEORIA DOS CONJUNTOS
30
 Conjuntos numéricos
 Nomenclatura:
 O conjunto dos números racionais e seus subconjuntos
também são chamados de números algébricos.
 Um número que é não-algébrico chama-se transcendente e
alguns números reais são transcendentes. Por exemplo: e, ,
e .


TEORIA DOS CONJUNTOS
 Operações com conjuntos
 União
 A união de dois conjuntos A e B é designado por A  B, cujos
elementos são tanto os elementos de A como os de B. Em
termos simbólicos:
A  B = {x | x  A ou x  B}
A B
TEORIA DOS CONJUNTOS
31
 Operações com conjuntos
 Exemplo:
 Seja A = {1,2,3,5} e B={3,4,5,7}, então A  B={1,2,3,4,5,7}.
 Propriedades:
 Comutativa: A  B = B  A;
 Associativa: A  (B  C) = (A  B)  C;
 Elemento neutro: A   = A.
A B
1
2
4
7
3
5
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Operações com conjuntos
 Intersecção
 A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto designado
por A  B, formado pelos elementos comuns a A e a B:
A  B = {x | x  A e x  B}
A B
TEORIA DOS CONJUNTOS
32
 Exemplo
 Seja A={1,2,3} e B={2,3,4,5,6}, então A  B={2,3}.
 Propriedades
 Comutativa: A  B = B  A;
 Associativa: A  (B  C) = (A  B)  C;
 Elemento neutro: A   = .
 Distributivas: A  (B  C) = (A  B)  (A  C);
A  (B  C) = (A  B)  (A  C);
A B
3
2
1
4
5
6
3
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Operações com conjuntos
 Diferença
 A diferença de dois conjuntos A e B, designada por A \ B, é o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A \ B = {x | x  A e x  B}
A B
TEORIA DOS CONJUNTOS
33
 Operações com conjuntos
 Propriedades
 A \ B = A\ (A  B)
 A  B =(A \ B)  (A  B)  (B \ A)
 Exemplo
 Seja A={5,6,7,8} e B={1,2,3,7,8}, então A\B={5,6}.
A B
1
2
3
7
8
5
6
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Operações com conjuntos
 Complementar de um conjunto
 Quando dois conjuntos A e B são tais que B  A, damos à
diferença A – B o nome de complementar de B em relação a A.
B  A  CAB =A\B
B
A
B
B’
TEORIA DOS CONJUNTOS
34
 Operações com conjuntos
 Propriedades
 C(C(A)) = A;
 Leis de Morgan: C(A  B) = C(A)  C(B)
C(A  B) = C(A)  C(B)
 Exemplo
 Seja A = {11,12,13,14} e B = {13,14}. Como B  A, temos
que CAB = {11,12}.
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Operações com conjuntos
 Produto cartesiano
 O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, designado por
A x B, é o conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que x  A e
y  B.
 Exemplo
 Seja A={1,2,3} e B={2,4}, então A x B = {(1,2), (1,4), (2,2),
(2,4), (3,2), (3,4)}.
 Note que A x B  B x A.
 B x A = {(2,1),(2,2),(2,3),(4,1), (4,2),(4,3)}.
TEORIA DOS CONJUNTOS
35
 Intervalo numérico
 Podemos representar o conjunto dos números reais associando
cada número x  R a um ponto de uma reta r.
 Por convenção, admite-se uma origem O, associando a ela o zero
e adota-se um sentido positivo para esta reta, que é denominada
reta real.
 Na reta real os números estão ordenados. Assim, considerando-se
um número p, qualquer número à direita é maior que p e, à
esquerda, é menor que p.
p
x > p
x < p
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Intervalo numérico
 Iremos considerar a reta como um conjunto contínuo cujos
elementos são os número reais.
 Denominamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de R.
 Assim, para p e q reais (p < q), podemos definir os seguintes
intervalos:
 Intervalo fechado: formado pelos números reais maiores ou iguais
a p e menores ou iguais a q. A notação [p,q] ={x  R | p  x  q}.
p q
TEORIA DOS CONJUNTOS
36
 Intervalo numérico
 Intervalo aberto: formado pelos números reais maiores que p e
menores que q. A notação ]p,q[={x  R | p < x < q}.
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: formado pelos
números reais maiores ou iguais a p e menores que q. Notação:
[p,q[={x  R | p  x < q}.
p q
p q
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Intervalo numérico
 Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: formado pelos
números reais maiores que p e menores ou iguais a q. Notação:
]p,q]={x  R | p < x  q}.

 Intervalos infinitos:
 formado pelos números reais maiores ou iguais a p. Notação: [p,
+[={x  R | x  p}.
p q
p
TEORIA DOS CONJUNTOS
37
 Intervalo numérico
 Intervalos infinitos:
 Formado pelos números reais maiores que p.
Notação: ]p, +[={x  R | x > p}.
 Formado pelo números reais menores ou iguais a p.
Notação: ]- ,p]={x  R | x  p}.
 Formado pelo números reais menores que p.
Notação: ]- ,p[={x  R | x < p}.
p
p
p
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Módulo de um número real
 O módulo ou valor absoluto de um número real x, designado por |x|, é
igual ao máximo entre x e –x:
|x|=máx.{x,-x}
 Exemplo:
 |4| = máx. {4,-4}=4;
 |-7| = máx. {-7, -(-7)}= máx. {-7,7}=7.
 Em outras palavras, |x| é igual ao próprio x, se x  0 e é igual ao oposto
de x, se x < 0. Em símbolos:
x, se x  0
|x| =
-x, se x < 0
TEORIA DOS CONJUNTOS
38
 Módulo de um número real
 Exemplo:
 |0| = 0;
 |2| = 2;
 |-1|=-(-1)=1.
 Geometricamente, |x| representa a distância do ponto x à origem.
Conseqüentemente, se r > 0, o conjunto dos pontos x tais que |x|
< r é o intervalo (-r,r), ou seja o conjunto dos pontos x tais que
–r < x< r. simbolicamente, se r > 0, então |x| < r  -r < x < r.
-r 0 r
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Módulo de um número real
 Propriedades:
 |x|  0, para todo x real;
 |x| = 0  x = 0;
 |x.y|=|x|.|y|;
 |x+y| |x| + |y| ;
 |x| =
 Se r > 0, |x| > r  x< -r ou x > r.
 Centro e raio de um intervalo
 O ponto médio do intervalo fechado [a,b] é o ponto ,
chamado centro de intervalo.
2x
2
)( ba 
TEORIA DOS CONJUNTOS
39
 Módulo de um número real
 A distância de cada uma das extremidades desse ponto, chamado
raio do intervalo, é igual a .
 Assim, o intervalo fechado [a,b] nada mais é que o conjunto dos
pontos x da reta tais que sua distância ao centro é menor ou igual
ao seu raio.
 Em outras palavras, se e , então:
2
)( ab 
2
)(
0
bax 
2
)( abr 
rxxbxa  0
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Módulo de um número real
 Exemplo
 Determine o centro e o raio do intervalo [-2,4].
 Solução
 O centro é o ponto e o raio é
 a=-2 e b=4, portanto:
2
)(
0
bax 
2
)( abr 
1
2
2
2
)42(
0 

x
3
2
6
2
))2(4(


r
c0-2 4
TEORIA DOS CONJUNTOS
40
 Inequação modular
 Trata-se de uma desigualdade onde aparece efetivamente o
módulo de algum número real.
 Exemplo-1
 Resolva a inequação: |3x – 1|  4.
 Solução
 |3x – 1|  4 é equivalente a:
-4  3x – 1  4 
-4 +1  3x  4+1 
-3  3x  5 
-1  x  5/3
A resposta deve ser dada em termos da notação de conjuntos:
S = { x  R | -1  x  5/3}.
TEORIA DOS CONJUNTOS
 Inequação modular
 Exemplo-2
 Determinar o centro e o raio do intervalo –0,7 < x – 4 < 0,7.
 Solução
 A inequação dada é equivalente a |x – 4| < 0,7. Isto significa que o
centro é 4 e o raio é 0,7.
43,3 4,7
TEORIA DOS CONJUNTOS
41
FIM
TEORIADOS CONJUNTOS