Matemática para Negócios - Aula 01

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Matemática para negócios
Aula 1 - Teoria dos conjuntos
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais,
apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento;
comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas operações de adição;
subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais.
Bons estudos!
OBJETIVOS
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Reconhecer a Teoria dos Conjuntos como importante para a matemática, tendo em vista que formar conjuntos de
números é uma operação que está presente em vários aspectos de nosso cotidiano. Ela nos fornece os principais
elementos para a linguagem que é aplicada em diversos ramos da matemática e também será útil nas relações com os
conteúdos de outras disciplinas;
Descrever os conceitos de conjuntos, subconjuntos e operações entre conjuntos (união, interseção e
complementação), juntamente com as regras fundamentais dessas operações;
Estabelecer relações, interpretar e utilizar os diferentes conjuntos numéricos (racionais, irracionais e reais) em
contextos matemáticos, sociais e de outras áreas do conhecimento;
Identi�car e utilizar valores aproximados para números racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da
situação em estudo.
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TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Fonte da Imagem:
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica
comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números
naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por �m, o dos números reais.
Dessa forma, podemos classi�car os conjuntos numéricos em:
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com
ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos a seguir.
Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às pessoas.
Fonte: Shutterstock
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Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. Veja a
seguir:
NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS
Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos.
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um
subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B por todos os
elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Atenção
, Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja:
A ⊂ A
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja:
Ø ⊂ A
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Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A Ո B formado
por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B,
formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte forma:
A representação de conjuntos pode ser:
Representação de conjunto único
Números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6)
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Relação entre dois conjuntos
Para representar a relação entre dois conjuntos, vamos tomar como exemplo: A e B.
Relação entre três conjuntos
Tomando como exemplo A, B e C, temos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
N é conjunto dos números naturais:
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Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
Quando houver “...” ao �nal dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de in�nitos elementos, como
acontece com N.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta
um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a
direita).
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
Saiba mais
, Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero.
N* = N – {0}
No conjunto dos números naturais, estão de�nidas duas operações:
Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N.
Em símbolos, temos:
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CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por:
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:
Temos também outros subconjuntos de Z:
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à
divisão.
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Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q).
O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números
inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e
denominador ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Assim, podemos construir o diagrama:
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos:
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Assim, podemos escrever:
Exemplo
,
A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma:
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador
Atenção
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, Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
Os números irracionais são decimais in�nitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na
forma de fração (divisão de dois inteiros).
Vejamos alguns exemplos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), de�nimoso conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
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Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I”
temos:
Entre dois números inteiros existem in�nitos números reais. Veja alguns exemplos:
Questão 1: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a
operação: Np ∪ 𝐍𝐢
N*
{ }
N
N*-
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Justi�cativa
Questão 2: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a
operação: Np ∩𝐍𝐢 .
N*
{0}
N
N*-
Justi�cativa
Questão 3: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então:
A – B = {0}
A ∪B={1, 3, 4}
A ⊂ B
A ⊃ B
Justi�cativa
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Glossário