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Versão 1 
 Março de 2016 
 
 
Curso de Cálculo 
Prof. Gustavo Viegas 
 
 
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Índice 
Capítulo 1 - Limites 
 
Limite num ponto Pág. 3 
 
Limites infinitos Pág. 5 
 
Operações com limites Pág. 7 
 
Limites no infinito Pág. 9 
 
Alguns limites no infinito Pág. 10 
 
Indeterminação 0/0 Pág. 12 
 
Funções contínuas Pág. 13 
 
Teorema do valor intermediário Pág. 16 
 
Continuidade das funções trigonométricas Pág. 17 
 
Teorema do confronto Pág. 19 
 
Limites trigonométricas Pág. 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Este livro é o material para acompanhar o 
 Curso de Cálculo disponível no canal do 
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Para um estudo mais completo, temos 
o nosso curso presencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio: 
 
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 TODA A MATEMÁTICA 
 GUSTAVO VIEGAS 
 
 LIMITES 
 
 
 
CURSO PRESENCIAL: 
Av. Osvaldo Aranha 734/404 
Porto Alegre - RS 
 
CURSO DE CÁLCULO CAPÍTULO 1 
LIMITE NUM PONTO 
 
Problema da reta tangente 
Dada uma função 𝑓 e um ponto em seu gráfico, encontrar a 
equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 naquele ponto. 
 
Problema da área 
Dada uma função 𝑓, encontrar a área entre o gráfico de 𝑓 e 
um intervalo [a, b] no eixo x. 
 
Em 1665, Newton e, onze anos mais tarde, Leibniz 
conseguiram entender que o problema da reta tangente e o 
problema da área estão relacionados e foram os primeiros a 
desenvolver técnicas gerais para resolvê-los. 
 
O primeiro problema está relacionado às derivadas e o 
segundo às integrais e ambos envolvem um processo de 
limite. Esse foi o desenvolvimento inicial do Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
Isaac Newton 
(1643 - 1727) 
 
Gottfried Leibniz 
(1646 - 1726) 
 
Mais tarde, principalmente com D´Alembert, notou-se que 
tanto o processo de derivação quanto o de integração 
precisavam ser postos em bases mais sólidas e isso 
dependia, inicialmente, de um estudo mais completo de 
limites. Cauchy chegou perto de resolver o problema, mas 
foi só em 1850 que Weierstrass desenvolveu os limites com 
precisão. 
 
Jean D´Alembert 
(1717 – 1783) 
 
Augustin Cauchy 
(1789 – 1857) 
Exemplo 1 
 
E1(1,8 ; 0,50) 
E2(1,9 ; 0,70) 
E3(1,99 ; 0,85) 
E4(1,995 ; 0,98) 
 
D1(2,4 ; 1,3) 
D2(2,2 ; 1,12) 
D3 (2,1 ; 1,03) 
D4(2,01 ; 1,004) 
 
Quando x está cada vez mais perto de 2, as imagens 𝑓(x) 
ficam cada vez mais próximas de y = 1, e isso acontece 
tanto à esquerda, quando à direita, dizemos que o limite de 
𝑓 quando x tende a 2 é 1. Escrevemos 
lim
x  2
𝑓(x) = 1 
 
Observação 
É importante notar que o limite num ponto não tem relação 
com o valor da função ali. 
 
 
 
Notação 
Weierstrass inventou a abreviação lim, mas em 1908 Hardy 
escreveu a notação atual para limites, lim
x  a
𝑓(x). 
 
Weierstrass 
(1815 -1897) 
 
Godfrey Hardy 
(1877 - 1847) 
 
Limite num ponto (informalmente) 
O limite da função 𝑓 em x = a é L, lim
x  a
𝑓(x) = L, se os 
valores de 𝑓(x) puderem ser tomados tão próximos de L 
quanto se queira, desde que sejam tomados valores de x 
suficientemente próximos de a (mas não iguais a). 
 
 
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Exemplo 2 
 
E1(2,6 ; 1,002) 
E2(2,8 ; 1,04) 
E3(2,9 ; 1,1) 
 
 
D1(3,5 ; 2,9) 
D2(3,3 ; 3,012) 
D3(3,1 ; 3,002) 
 
 
Quando x se aproxima de 3, pelo lado esquerdo, as imagens 
𝑓(x) ficam cada vez mais próximas de y = 1. Dizemos que o 
limite de 𝑓 quando x tende a 3 pela esquerda é 1 e 
escrevemos lim
x  3−
𝑓(x) = 1. 
 
Analogamente, pela direita, lim
x  3+
𝑓(x) = 3. 
 
Observação 
Os limites laterais não têm relação com o valor da função ali. 
 
 
Limite lateral pela esquerda 
O limite da função 𝑓 em x = a pela esquerda é L, 
lim
x  a−
𝑓(x) = L, se os valores de 𝑓(x) puderem ser tomados 
tão próximos de L quanto se queira, desde que sejam 
tomados valores de x suficientemente próximos de a (mas 
menores do que a). 
 
Analogamente, temos o limite pela direita, lim
x  a+
𝑓(x) = L. 
 
Limite bilateral 
lim
x  a
𝑓(x) = L se, e somente se, lim
x  a−
𝑓(x) = L = lim
x  a+
𝑓(x) 
 
Observação 
 
 
lim
x  2−
𝑓(x) = 1 
 
lim
x  2+
𝑓(x) = 1 
 
lim
x  2
𝑓(x) = 1 
 
 
 
lim
x  3−
𝑓(x) = 1 
 
lim
x  3+
𝑓(x) = 3 
 
lim
x  3
𝑓(x) não existe 
 
Exemplo 3 
Calculando tanto pela esquerda quanto pela direita, temos 
uma ideia de que o limite da função 𝑓 em 
x = 1 é 2. Isso se confirma verificando no gráfico. 
 
lim
x  1−
x − 1
√x − 1
 
 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
𝟎, 𝟗𝟗𝟗 1,9995 
𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗 1,99995 
𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 1,999995 
lim
x  1+
x − 1
√x − 1
 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
𝟏, 𝟎𝟏 2,004988 
𝟏, 𝟎𝟎𝟏 2,005 
𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟏 2,00005 
 
 
 
 
 
lim
x  1
x − 1
√x − 1
= 2 
 
Exemplo 4 
Calculando tanto pela esquerda quanto pela direita, temos 
uma ideia de que o limite da função 𝑓 em 
x = 0 é 0, mas isso está errado. Aconteceu que fizemos uma 
escolha muito ruim dos pontos, o que levou à conclusão 
errada. O limite da função naquele ponto não existe. 
Isso mostra que precisaremos de técnicas para o cálculo de 
limites, não podendo simplesmente ficar substituindo 
valores e estimando qual o resultado final. 
 
lim
x 0− 
sen (
π
x
) 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
−𝟎, 𝟏 0 
−𝟎, 𝟎𝟏 0 
−𝟎, 𝟎𝟎𝟏 0 
 
lim
x 0+ 
sen (
π
x
) 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
𝟎, 𝟏 0 
𝟎, 𝟎𝟏 0 
𝟎, 𝟎𝟎𝟏 0 
 
 
 
lim
x 0 
sen (
π
x
) 
 
Não existe. 
 
Se você escolher um valor qualquer L no intervalo [−1 ; 1], 
é possível escolher infinitos pontos com abscissa cada vez 
mais próxima de x = 0 de maneira que as imagens valem 
sempre L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES INFINITOS 
 
Exemplo 1 
 
𝑓(x) =
1
x
 
 
E1(−0,25 ; −4) 
E2(−0,1 ; −10) 
E3(−0,02 ; − 50) 
E4(−0,01 ; −100) 
 
D1(0,25 ; 4) 
D2(0,1 ; 10) 
D3(0,02 ; 50) 
D4(0,01 ; 100) 
 
 
Quando x está cada vez mais perto de 0 pela esquerda, as 
imagens 𝑓(x) decrescem sem cota. Dizemos que 
lim
x  0−
1
x
= −∞ 
 
Analogamente, 
lim
x  0+
1
x
= +∞ 
 
Limites infinitos (informalmente) 
lim
x  a−
𝑓(x) = +∞ 
lim
x  a+
𝑓(x) = +∞ 
 
significam que 𝑓(x) crescem sem cota quando x tende a a 
pela esquerda ou pela direita, respectivamente. Quando 
valem os dois limites infinitos, dizemos que 
lim
x  a
𝑓(x) = +∞ 
 
Analogamente com, 
lim
x  a−
𝑓(x) = −∞ 
lim
x  a+
𝑓(x) = −∞ 
 
Observação 
 
 
Em 1665, Wallis adotou o 
símbolo  para representar o 
infinito. 
 
John Wallis 
 (1616 - 1703) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
 
 
𝑓(x) =
1
xn
 
 
n par 
 
 
𝑓(x) =
1
xn
 
 
n ímpar 
 
Exemplo 2 
 
lim
x  1−
1
(x − 1)2
= + 
 
lim
x  1+
1
(x − 1)2
= + 
 
lim
x  1
1
(x − 1)2
= + 
 
 
 
 
 
 
lim
x  1−
−
1
x − 1
= + 
 
lim
x  1+
−
1
x − 1
= − 
 
lim
x  1
−
1
x−1
 não existe 
 
Exemplo 3 
Conforme as abscissas aproximam-se x = −2 , os pontos do 
gráfico da função ficam cada vez maispróximos da reta 
vertical de x = −2. Dizemos que essa é uma assíntota 
vertical do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Assíntotas verticais 
Uma reta x = a é uma assíntota vertical se vale algum dos 
limites: 
lim
x  a−
𝑓(x) = −∞ 
 
lim
x  a+
𝑓(x) = −∞ 
 
lim
x  a+
𝑓(x) = +∞ 
 
lim
x  a+
𝑓(x) = −∞ 
 
A palavra assíntota vem do grego assymptotos, que significa 
“que não pode coincidir”. 
Exemplo 4 
 
 
 
 
 
 
A reta x = 1 é 
assíntota vertical. 
 
 
 
 
 
A reta x = 0 é 
assíntota vertical 
da função y = ln x 
 
 
 
x = 1 é assíntota 
vertical, mesmo 
que o limite pela 
direita seja finito. 
 
 
 
 
A função y = tan x 
possui infinitas 
assíntotas 
verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
lim
x  6
x2
x − 6
 
 
A substituição de x = 6 na expressão nos leva a uma 
indeterminação 
36
0
. Em casos assim, calculamos os limites 
laterais. 
 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
𝟓, 𝟗 −348,1 
𝟓, 𝟗𝟗 −3588,01 
𝟓, 𝟗𝟗𝟗 −35988,001 
 
lim
x  6−
x2
x − 6
= −∞ 
 
 
Temos uma maneira mais prática de calcular isso. Basta 
notar que para valores próximos a x = 6 pela esquerda 
encontramos 
36
−0
 
 
Pela direita, segue a mesma ideia 
 
 
𝐱 𝒇(𝐱) 
𝟔, 𝟏 372,1 
𝟔, 𝟎𝟏 3612,01 
𝟔, 𝟎𝟎𝟏 36012,001 
 
lim
x  6+
x2
x − 6
= +∞ 
 
 
É mais simples notar que para valores próximos a x = 6 pela 
direita encontramos 
36
+0
 
 
 
 
lim
x  6−
x2
x − 6
= −∞ 
 
lim
x  6+
x2
x − 6
= +∞ 
 
lim
x  6
x2
x−6
 não existe 
 
 
Exemplo 6 
Para encontrar a assíntota vertical de 
y =
1 − x
x + 2
 
 
vamos calcular o limite no valor que anula o 
denominador, ou seja, x = −2. 
lim
x  −2
1 − x
x + 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A substituição de x = 2 na expressão nos leva a uma 
indeterminação 
3
0
. Informalmente, substituímos um valor à 
esquerda (digamos x = −2,001) e encontramos. 
3
−0
 
 
Pela direita, digamos x = −1,999) e encontramos. 
3
+0
 
 
 
 
lim
x  −2−
1 − x
x + 2
= −∞ 
 
lim
x  −2+
1 − x
x + 2
= +∞ 
 
lim
x  −2
1−x
x+2
 não 
existe 
 
 
Exemplo 7 
lim
x  1
x
(x − 1)2
 
 
A substituição de x = 1 na expressão nos leva a uma 
indeterminação 
1
0
. Informalmente, substituímos um valor à 
esquerda (digamos x = 0,999) e encontramos. 
1
+0
 
 
Pela direita, digamos x = 1,001) e encontramos. 
1
+0
 
 
 
 
 
lim
x  1−
x
(x − 1)2
= +∞ 
 
lim
x  1+
x
(x − 1)2
= +∞ 
 
lim
x  1
x
(x − 1)2
= +∞ 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM LIMITES 
 
Limites fundamentais 
Na função identidade y = x, conforme formos tomando 
pontos cada vez mais próximos de x = a, teremos imagens 
cada vez mais próximas desse mesmo valor, ou seja, 
 
 
 
 
lim
x  a
x = a 
 
 
Na função constante y = c, as imagens valem sempre o 
valor, ou seja, 
 
 
 
lim
x  a
c = c 
 
 
Exemplo 1 
lim
x  2
x = 2 
 
lim
x  3
7 = 7 
 
Definição de limite num ponto 
Nesse momento, não queremos discutir o que é, 
rigorosamente, o limite 
lim
x  a
𝑓(x) = L 
 
Como uma breve apresentação, Weierstrass definiu assim: 
para todo  > 0, existe  > 0 tal que se 0 < |x − a| < , então 
|𝑓(x) − L| < . 
 
 
 
Operações com limites 
Sejam 
lim
x  a
𝑓(x) = L1 
 
lim
x  a
𝑔(x) = L2 
 
A partir da definição, conseguimos provar que 
lim
x  a
[𝑓(x) ± 𝑔(x)] = L1 ± L2 
 
lim
x  a
𝑓(x)𝑔(x) = L1L2 
 
lim
x  a
𝑓(x)
𝑔(x)
=
L1
L2
, L2 0 
 
 
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Observação 
Se 𝑓(x) = c e lim
x  a
𝑔(x) = L 
 
lim
x  a
𝑓(x)𝑔(x) = lim
x  a
c lim
x  a
𝑔(x) = c lim
x  a
𝑔(x) = cL 
 
Isso significa que as constantes passam para fora do limite. 
 
Exemplo 2 
lim
x  1
2 + 3x + x2 
 
= lim
x  1
2 + lim 3x
x  1
+ lim
x  1
x2 
 
lim
x  1
2 + 3 lim x
x  1
+ ( lim
x  1
x) ( lim
x  1
x) 
 
= 2 + 3.1 + 1.1 = 6 
 
Limite de um polinômio 
Diretamente das operações com limites, encontramos que 
para 𝑝(x) = a0 + a1x + ⋯ + anx
n, 
 
lim
x  a
𝑝(x) = 𝑝(a) 
 
Exemplo 3 
lim
x  1
2 + 3x + x2 = 2 + 3.1 + 12 = 6 
 
Limite de uma função racional 
Uma função racional é o quociente de dois polinômios 
 
𝑓(x) =
a0 + a1x + ⋯ + anx
n
c0 + c1x + ⋯ + cnxn
 
 
Se os limites do numerador p e denominador q existirem, 
então 
lim
x  a
p(x)
q(x)
=
L1
L2
, L2 0 
 
Exemplo 4 
 
lim
x  3
x + 1
x2 + 3x + 2
=
3 + 1
32 + 3.3 + 2
=
4
20
=
1
5
 
 
Exemplo 5 
 
lim
x  −1
x + 1
x2 + 3x + 2
=
−1 + 1
(−1)2 + 3(−1) + 2
=
0
0
 
 
Temos uma aula para as indeterminações desse tipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 
lim
x  −2
x + 1
x + 2
=
−1
0
 
 
Com isso, devemos analisar os limites laterais. 
 
lim
x  −2−
x + 1
x + 2
= +∞ 
 
lim
x  −2+
x + 1
x + 2
= −∞ 
 
Assim, o limite não existe. 
 
 
 
Observação 
lim
x  0+
(
1
x
−
1
x2
) = lim
x  0+
1
x
− lim
x  0+
1
x2
= ∞ − ∞ 
 
Não podemos separar o limite da diferença quando não 
forem números reais. É necessário rescrever 
lim
x  0+
(
1
x
−
1
x2
) = lim
x  0+
lim
x  0+
x − 1
x2
= −∞ 
 
Proposição 
Se lim
x  a
𝑓(x) = 0 e 𝑔 é uma função limitada, então 
lim
x  a
𝑓(x)𝑔(x) = 0 
 
Exemplo 7 
lim
x  0
xsen (
1
x
) = 0 
 
pois lim
x  0
x = 0 e g(x) = sen (
1
x
) é uma função limitada. 
 
 
 
 
|sen (
1
x
)|  1 
 
 
 
 
y = xsen (
1
x
) 
 
 
 
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LIMITES NO INFINITO 
 
Quando os valores de x crescem sem parar, escrevemos 
x  + . Quando decrescem sem parar, x  − . 
 
Limites fundamentais 
 
𝑓(x) =
1
x
 
 
E1(−10 ; −0,1) 
E2(−100 ; −0,01) 
E3(−1000 ; −0,001) 
 
D1(10 ; 0,1) 
D2(100 ; 0,01) 
D3(1000 ; 0,001) 
 
 
Quando x cresce cada vez mais, as imagens 𝑓(x) tendem a 
zero. Dizemos que 
lim 
1
x
x  +
 = 0 
 
Analogamente, 
lim
1
x
 
x  −
 = 0 
 
Limites no infinito (informalmente) 
lim 𝑓(x)
x  +
 = L significa que que os valores de 𝑓(x) ficam tão 
próximos quanto quisermos de um número L à medida que 
x cresce sem parar. 
 
Analogamente com lim 𝑓(x)
x  −
 = L. 
 
Exemplo 1 
Conforme x cresce sem parar, os pontos do gráfico da 
função ficam cada vez mais próximos da reta horizontal y =
3. Dizemos que essa é uma assíntota horizontal do gráfico. 
 
 
 
Assíntota horizontal 
Uma reta y = L é uma assíntota horizontal se vale algum dos 
limites: 
lim 𝑓(x)
x  +
 = L 
 
lim 𝑓(x)
x  −
 = L 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
y = sen(x) não tem 
assíntotas horizontais. 
 
 
 
y = arctan(x) 
tem assíntota 
y =
π
2
 e y = −
π
2
 
 
 
𝑓(x) = (1 +
1
x
)
x
 
tem assíntota y = e. 
 
 
 
𝑓(x) =
sen(x)
x
 
tem assíntota y = 0. 
 
 
 
 
A função y = C tem 
assíntota em y = C. 
 
Observação 
 
 
O precursor da ideia de limite no 
infinito é Mādhava. 
 
Mādhava de 
Sangamagrama 
(1350 - 1425 
 
Exemplo 3 
 
 
lim
x  +
ex = +∞ 
 
lim
x  −
ex = 0 
 
 
 
todaamatematica.com pág 10 engenhariae.com.brlim
x  +
e−x = 0 
 
lim
x  −
e−x = +∞ 
 
 
 
 
lim
x  +
ln(x) = +∞ 
 
 
lim
x  0+
ln(x) = −∞ 
 
Limites infinitos no infinito (informalmente) 
Se os valores de 𝑓(x) crescem sem cota quando x  + , 
dizemos que 
lim
x  +
𝑓(x) = +∞ 
 
Analogamente, lim
x  −
𝑓(x) = +∞ 
 
lim
x  +
𝑓(x) = −∞ 
 
lim
x  −
𝑓(x) = −∞ 
Exemplo 4 
a) lim
x  0+
e1/x = +∞ 
 
b) lim
x  0−
e1/x = 0 
 
Exemplo 5 
Este é um modelo para o número de milhões de habitantes 
nos EUA, em que o tempo é contado a partir de 1950. Qual 
a expectativa de habitantes para daqui muito tempo? 
 
p(t) =
50371,7
151,3 + 181,626 e−0,031636(t−1950)
 
 
lim
t + ∞
p(t) =
50371,7
151,3 + 0
= 333 
 
Exemplo 6 
a) lim
x  1−
ln(1 − x) = −∞ 
 
b) 
lim
x  +∞
ln (
1
x
) = −∞ 
 
Exemplo 7 
lim
x  +∞
[ln(x2 − 1) − ln(x + 1)] 
= lim
x  +∞
ln
(x2 − 1)
x + 1
 
 
= lim
x  +∞
ln
(x + 1)(x − 1)
x + 1
 
 
= lim
x  +∞
ln(x − 1) = +∞ 
ALGUNS LIMITES NO INFINITO 
 
Observação 
É importante conhecer o formato dos seguintes gráficos, 
principalmente no que se refere ao seu comportamento 
para valores muito grandes ou muito pequenos de x . 
 
 
 
 
y = xn 
 
n par 
 
 
 
y = xn 
 
n ímpar 
 
n par 
 
lim
x  +
xn = +∞ 
 
lim
x  −
xn = +∞ 
 
n ímpar 
 
lim
x  +
xn = +∞ 
 
lim
x  −
xn = −∞ 
 
 
Exemplo 1 
lim
x  +
(x3 + 4x − 2) 
 
= lim
x  +
x3 (1 +
4
x2
−
2
x3
) 
 
= lim
x  +
x3 = +∞ 
 
Limites no infinito de polinômios 
 
anx
n + . . . + a1x + a0 = x
n (an + ⋯ + 
a1
xn−1
+
a0
xn
) 
 
lim
x ± 
(anx
n + ⋯ + a1x + a0) = lim
x  ±
anx
n 
 
Exemplo 2 
lim
x  +
(−x4 + 4x3 − 2x) 
 
= lim
x  +
(−x4) 
 
= − lim
x  +
x4 = −∞ 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
Para limites de funções racionais, dividimos o numerador e 
o denominador pela maior potência de x que aparece no 
denominador. 
 
lim
x  +
3x4 − 1
5x − 1
 
 
= lim
x  +
3x4 − 1
x
5x − 1
x
 
 
= lim
x  +
3x3 −
1
x
5 −
1
x
 
 
= lim
x  +
3x3
5
= +∞ 
 
Limites no infinito de funções racionais 
 
Mais prático do que dividir pela maior potência de x que 
aparece no denominador é observar que estamos 
trabalhando com polinômios e seu comportamento no final 
da função é governado pelo termo de maior grau. 
 
lim
x  ±
anx
n + ⋯ + a1x + a0
bmxm + ⋯ + b1x + b0
= lim
x  ±
anx
n
bmxm
 
 
Exemplo 4 
 
lim
x  +
(
3x4 − 1
5x − 1
) = lim
x  +
(
3x4
5x
) = lim
x  +
3
5
x3 = + 
Exemplo 5 
 
lim
x  +
(
−x5 + x3
5x5 − 2x
) = lim
x  +
(
−x5
5x5
) = lim
x  +
(
−1
5
) = −
1
5
 
Exemplo 6 
 
lim
x  +
(
2x3 + 3
3x5 + 2x + 3
) = lim
x  + 
(
2x3
3x5
) = lim
x + 
2
3x2
= 0 
 
Observação 
 
√x2 = |x| = {
x, se x  0
−x, se x < 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 
lim
x  +
√3x2 − 1
2x − 4
 
 
= lim
x  +
√3x2 − 1
|x|
2x − 4
|x|
 
 
Como x  + , então o valor é positivo e |x| = x. 
= lim
x  +
√3x2 − 1
√x2
2x − 4
x
 
 
= lim
x  +
√3x
2 − 1
x2
2 −
4
x
 
 
= lim
x  +
√3 −
1
x2
2 −
4
x
 
 
=
√3
2
 
 
Ou ainda 
lim
x  +
√3x2
2x
 
 
= lim
x  +
√3√x2
2x
 
 
= lim
x  +
√3|x|
2x
 
 
= lim
x  +
√3x
2x
 
 
=
√3
2
 
Exemplo 8 
lim
x  +
(√x2 − 1 − x) 
 
Para limites assim, usamos (a − b)(a + b) = a2 − b2. 
 
= lim
x  +
(√x2 − 1 − x)(√x2 − 1 + x)
(√x2 − 1 + x)
 
 
= lim
x  +
(x2 − 1) − x2
(√x2 − 1 + x)
 
 
= lim
x  +
−1
(√x2 − 1 + x)
 
 
= 0 
 
 
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INDETERMINAÇÃO 0/0 
 
A técnica mais simples para resolver uma indeterminação 
0/0 é usar a regra de L´Hopital. Todavia, isso envolve 
derivadas. Enquanto não temos esse conhecimento, 
precisaremos de algumas manipulações algébricas. 
 
 
Observação 
A simples retirada do ponto não altera o limite da função ali. 
Esta será nossa ideia para resolver as indeterminações do 
tipo 0/0: encontrar uma função mais simples com mesmo 
limite no ponto considerado. 
 
 
 
y = x − 2 
 
 
lim
x  4
 (x − 2) = 2 
 
 
 
y =
(x − 2)(x − 4)
x − 4
 
 
 
lim
x  4
 
(x − 2)(x − 4)
x − 4
= 2 
 
 
Observação 
Dado um polinômio p de raízes x1, ...., xn, podemos fatorá-
lo em termos desses números. 
anx
n + an−1x
n−1 … + a1x + a0 
 
= an(x − x1)(x − x2). . . (x − xn) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
lim
x  2
3x2 − 15x + 18
2x − 4
=
12 − 30 + 18
4 − 4
=
0
0
 
 
Como encontramos uma indeterminação 0/0, precisamos 
fatorar os polinômios do numerador e denominador. 
 
 3x2 − 15x + 18 = 0 
 
 x2 − 5x + 6 = 0 
 
x = 
−b ± √b2 − 4ac
2a
=
5 ± √25 − 24
2
 
 
 x1 = 2 x2 = 3 
 
Isso significa que 
 ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) 
 
3x2 − 15x + 18 = 3(x − 2)(x − 3) 
 
Assim, 
lim
x  2
3x2 − 15x + 18
2x − 4
 
 
= lim
x  2
3(x − 2)(x − 3)
2(x − 2)
 
 
= lim
x  2
3(x − 3)
2
=
3(2 − 3)
2
= −
3
2
 
 
Exemplo 2 
lim
x  1
2x − 2
x2 − 2x + 1
=
2 − 2
1 − 2 + 1
=
0
0
 
 
Como encontramos uma indeterminação 0/0, precisamos 
fatorar os polinômios do numerador e denominador. 
x2 − 2x + 1 = 0 
 
x = 
−b ± √b2 − 4ac
2a
=
2 ± √4 − 4
2
 
 
 x1 = 1 x2 = 1 
 
Logo, 
lim
x  1
2(x − 1)
(x − 1)(x − 1)
 
 
= lim
x  1
2
x − 1
=
2
0
 
 
Para um problema assim, precisamos analisar pela direita e 
pela esquerda. 
lim
x  1−
2
x − 1
= −∞ 
 
lim
x  1+
2
x − 1
= +∞ 
 
Com isso, o limite em x = 1 não existe. 
 
 
 
lim
x  a
𝑓(x)
𝑔(x)
=
0
0
 
 
 
 
Marquês de l'Hôpital 
(1661 — 1704) 
 
 
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Exemplo 3 
lim
x  −2
x3 + 8
x + 2
=
−8 + 8
−2 + 2
=
0
0
 
 
Como (−2)3 + 8 = 0, x = −2 é raiz do polinômio do 
numerador. Efetuando a divisão, encontramos que 
x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) 
 
x3 + 8 |x + 2 
−(x3 + 2x2) x2 − 2x + 4 
−2x2 + 8 
−(−2x2 − 4x) 
4x + 8 
−(4x + 8) 
0 
 
Logo, 
lim
x  −2
(x + 2)(x2 − 2x + 4)
x + 2
 
 
= lim
x  −2
(x2 − 2x + 4) 
 
= (−2)2 − 2(−2) + 4 = 12 
 
Exemplo 4 
lim
x  9
x − 9
√x − 3
=
9 − 9
3 − 3
=
0
0
 
 
Para indeterminações assim, usaremos a fatoração 
(a − b)(a + b) = a2 − b2 
 
(√x − 3)(√x + 3) = x − 9 
 
Assim, 
= lim
x  9
x − 9
√x − 3
√x + 3
√x + 3
 
 
= lim
x  9
(x − 9)(√x + 3)
x − 9
 
 
= lim
x  9
(√x + 3) = √9 + 3 = 6 
Exemplo 5 
lim
x  0
√x + 4 − 2
x
=
2 − 2
0
=
0
0
 
 
Usando a fatoração (a − b)(a + b) = a2 − b2, 
 
= lim
x  0
√x + 4 − 2
x
√x + 4 + 2
√x + 4 + 2
 
 
= lim
x  0
(x + 4) − 4
x(√x + 4 + 2)
 
 
= lim
x  0
x
x(√x + 4 + 2)
 
 
= lim
x  0
1
√x + 4 + 2
=
1
√4 + 2
=
1
4
 
FUNÇÕES CONTÍNUAS 
 
Exemplo 1 
 
 
 
lim
x1− 
𝑓(x) = 1 
 
lim
x1+ 
𝑓(x) = 2 
 
𝑓(1) = 2 
 
 
lim
x1− 
𝑓(x) = 1 
 
lim
x1+ 
𝑓(x) = 1 
 
𝑓(1) = 2 
 
 
lim
x1− 
𝑓(x) = 1lim
x1+ 
𝑓(x) = 1 
 
𝑓(1) = 1 
 
De maneira intuitiva, notamos que para uma função ser 
contínua num ponto é necessário que os limites laterais 
existam, sejam iguais e coincidam com o valor da função. 
 
Função contínua 
 
Dizemos que 𝑓 é contínua em x = a se lim
xa
𝑓(x) = 𝑓(a) 
 
 
O primeiro a preocupar-se 
rigorosamente com a continuidade 
foi Bolzano. Mas a definição atual é 
de Cauchy. 
 
Augustin Cauchy 
(1789-1857) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação 
A sequência natural da disciplina de Cálculo é a de Análise 
na reta. Ali, o rigor é a palavra chave e muitos conceitos são 
revistos. A noção de função contínua, em particular, perde 
totalmente sua intuição. 
 
 
Num curso de Cálculo, dizemos que essa função é 
descontínua em x = 1 . Num curso de Análise notamos que 
a pergunta de fato não faz sentido. 
 
Descontinuidades 
 
 
 
Descontinuidade 
removível 
 
 
 
Descontinuidade salto 
 
 
 
Descontinuidade infinita 
 
Exemplo 2 
A partir de 𝑓(x) = x + 2 conseguimos criar uma 
descontinuidade removível em x = 1. 
 
 
 
 
𝑓(x) = x + 2 
 
 
 
𝑔(x) =
(x + 2)(x − 1)
x − 1
 
 
 
ℎ(x)
= {
(x + 2)(x − 1)
x − 1
, x  1
2, x = 1
 
 
Descontinuidade 
removível 
 
Exemplo 3 
 
 
 
𝑓(x) =
x
|x|
 
 
Descontinuidade salto 
 
 
𝑓(x) =
1
x
 
 
 
Descontinuidade infinita 
 
 
 
Continuidade num intervalo 
𝑓é contínua num intervalo (a, b) se for contínua em cada 
ponto do intervalo. Para um intervalo [a, b], basta definir a 
continuidade à direita de x = a 
lim
xa+
𝑓(x) = 𝑓(a) 
 
a continuidade à esquerda de x = b 
lim
xb−
𝑓(x) = 𝑓(b) 
 
Exemplo 4 
 
 
 
𝑓(x) = √x − 1 é contínua 
em [1, +) 
 
lim
x1+
𝑓(x) = 𝑓(1) = 0 
 
 
lim
x−2+
𝑓(x) = 𝑓(−2) = 0 
 
lim
x2−
𝑓(x) = 𝑓(2) = 0 
 
𝑓(x) = √4 − x2 é contínua 
em [−2, 2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema 
 
Se 𝑓 e 𝑔 são contínuas em x = a, também são contínuas 
nesse ponto 
 
i) 𝑓 + 𝑔 
ii) 𝑓 − 𝑔 
iii) 𝑓𝑔 
iv) 𝑓/𝑔, 𝑔(a)  0 
 
 
Exemplo 5 
 
São funções contínuas 
 
 
 
 
 
y = c em todo o domínio. 
 
 
 
 
y = x em todo o domínio. 
 
 
 
Polinômios em todo o 
domínio. 
 
y = anx
n + ⋯ + a1x + a0 
 
 
 
Funções racionais são 
contínua a exceção dos 
pontos que apresentam 
assíntotas verticais. 
 
y =
anx
n + ⋯ + a1x + a0
bmxm + ⋯ + b1x + b0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 
 
𝑓(x) = {
x − k, x < 2
x2 − 1, x  2
 
 
 
 
A função é contínua em x = 2 se 
 
lim
x2−
𝑓(x) = 𝑓(2) = lim
x2+
𝑓(x) 
 
lim
x2−
(x − k) = 22 − 1 = lim
x2+
(x2 − 1) 
 
2 − k = 3 
 
k = −1 
 
Continuidade da função composta 
 
Sejam 𝑓contínua em x = a e lim
xa
g(x) = L. Então 
 
lim
xa
𝑓(g(x)) = 𝑓(lim
xa
g(x)) 
 
Exemplo 7 
 
𝑓(x) = √x é contínua, com isso, 
 
lim
x5
√2x − 3 = √lim
x5
(2x − 3) = √2.5 − 3 = √7 
 
Exemplo 8 
 
𝑓(x) = |x| é contínua, com isso, 
 
lim
x1
|
x − 2
x2 + 1
| 
 
= |lim
x1
x − 2
x2 + 1
| 
 
= |
1 − 2
1 + 1
| =
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 
 
Teorema do Valor Intermediário 
 
Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo [a, b]. Se k é um 
número entre 𝑓(a) e 𝑓(b), então existe pelo menos um x =
c tal que 𝑓(c) = k. 
 
 
 
Exemplo 1 
 
A temperatura 𝑇 em C na qual a água ferve é dada 
aproximadamente pela fórmula 
𝑇(h) = 100,862 − 0,0415√h + 431,03 
 
em que h é a altitude (em metros acima do nível do mar). 
Pelo TVI, sabemos que a água ferve a 98C a uma altitude 
entre 4 000 m e 4 500 m. 
 
𝑇(4000) = 100,862 − 0,0415√4000 + 431,03 = 98,09 
 
𝑇(4500) = 100,862 − 0,0415√4500 + 431,03 = 97,94 
 
Observação 
 
 
Bernard Bolzano 
(1781-1848) 
 
 
Em 1817, Bolzano provou o teorema numa versão 
equivalente. O artigo era se chamava “Prova puramente 
analítica do teorema que afirma que entre dois valores de 
sinais opostos existe pelo menos uma raiz real da equação”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 A função 𝑓(x) = x5 − x − 2 tem pelo menos uma raiz no 
intervalo[1, 2], pois 
 
 
 
 
𝑓(1) = 1 − 1 − 2 < 0 
𝑓(2) = 32 − 2 − 2 > 0 
 
 
 
Pelo TVI, dado k = 0, existe x = c tal que 𝑓(c) = 0. 
 
Exemplo 3 
 
Um monge começou a caminhar em uma estrada de uma 
montanha ao meio-dia e alcançou o topo à meia-noite. Ele 
meditou e descansou até o meio-dia do dia seguinte, quando 
começou a descer pela mesma estrada, alcançando a base à 
meia-noite. 
Mostre que há, no mínimo, 
um ponto do caminho que 
ele alcançou no mesmo 
instante do dia, tanto na 
subida quanto na descida. 
 
Considere as funções subida 𝑠(𝑡) e descida 𝑑(𝑡), em que o 
tempo é contado a partir do meio-dia do primeiro dia para a 
função 𝑠 e a partir do meio-dia do segunda dia para a função 
𝑑 
𝑠(0) < 𝑑(0) 
𝑠(12) > 𝑑(12) 
 
Definindo a função 𝑓 = 𝑠 − 𝑑 
𝑓(0) = 𝑠(0) − 𝑑(0) < 0 
𝑓(12) = 𝑠(0) − 𝑑(0) > 0 
 
Assim, pelo TVI, dado k = 0, existe horário t = c tal que 
0 = 𝑓(c) = 𝑠(c) − 𝑑(c) 
𝑑(c) = 𝑑(𝑐) 
 
Observação 
 
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas em [a, b] tais que 
𝑓(a) > 𝑔(a) 
𝑓(b) < 𝑔(b). 
 
Existe pelo menos um ponto x = c tal que 𝑓(c) = 𝑔(𝑐) em 
(a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4 
 
Se 𝑝 é um polinômio de grau ímpar, então 𝑝 tem pelo menos 
uma raiz real. 
 
Sem perda de generalidade, 
 
 
 
 
lim
x +
𝑝 = + 
 
lim
x −
𝑝 = − 
 
Isso garante que existe um intervalo [a, b] tal que 𝑝(a) < 0 
e 𝑝(b) > 0. Pelo TVI, dado k = 0, existe x = c tal 
que 𝑝(c) = 0. 
 
Observação 
 
Considere a função 𝑓 que não é contínua. 
 
 
 
 
𝑓(x)
= { sen (
1
x
) , x 0
1, x = 0
 
 
Se k é um número entre −1 e 1, então existe pelo menos 
um x = c tal que 𝑓(c) = k. Com isso, função pode satisfazer 
o Teorema do valor intermediário sem ser contínua. 
 
Lebesgue chegou a 
construir uma função que 
satisfaz a propriedade do 
valor intermediário, mas 
não é contínua em um 
ponto sequer. 
 
Henri Lebesgue 
(1875-1941) 
 
 
 
 
 
 
 
CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
As funções seno e cosseno são definidas no círculo 
trigonométrico. De maneira intuitiva, quando o ponto 
P(cos x , sen x) tende a A(cos a , sen a), temos que 
 
lim
x→a
sen(x) = sen(a) 
 
lim
x→a
cos(x) = cos(a) 
 
Informalmente, os gráficos dessas funções indicam funções 
contínuas. 
 
y = sen(x) 
 
y = cos(x) 
 
A função tangente é contínua, exceto nos pontos que 
anulam o denominador 
lim
x→a
tan(x) = lim
x→a
sen(x)
cos(x)
=
sen(a)
cos(a)
= tan(a) 
cos(a)  0 
 
 
y = tan(x) 
 
Exemplo 1 
lim
x→1
sen (
2 − x
x
) = sen (lim
x→1
2 − x
x
) = sen(1) 
 
 
lim
x→+∞
cos (
1
x
) = cos ( lim
x→+∞
1
x
) = cos(0) = 1 
 
 
lim
x→+∞
sen (
πx
1 + 3x
) = sen ( lim
x→+∞
πx 
1 + 3x
) = sen (
π
3
) =
√3
2
 
 
 
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Exemplo 2 
A forma da Terra causa variações em sua gravidade 𝑔. Numa 
cidade na latitude  ela vale aproximadamente 
 
𝑔() = 9,78049(1 + 0,005264sen2 + 0,000024sen4) 
 
 
 
A continuidade da função seno implica a continuidade de 𝑔. 
Como 
𝑔(35o) = 9,7974 
𝑔(40o) = 9,8018O Teorema do Valor Intermediário garante que existe 
alguma latitude nesse intervalo tal que g = 9,8 m/s2, o 
valor adotado na maior parte dos livros 
 
Observação 
A exceção dos pontos que anulam os denominadores, de 
maneira análoga, são contínuas as funções 
 
 
 
 
sec(x) =
1
cos(x)
 
 
 
 
 
csc(x) =
1
sen(x)
 
 
 
 
 
cot(x) =
cos (x)
sen(x)
 
 
 
 
 
Continuidade da função inversa 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua que possui inversa, então 𝑓−1 
também é contínua. 
 
De maneira intuitiva, o se o gráfico de 𝑓 não tem buracos, 
então sua reflexão em torno da reta y = x também não tem 
buracos. 
 
São contínuas as funções arco seno e arco cosseno. 
 
 
seno 
 
arco seno 
 
 
cosseno 
 
arco cosseno 
 
 
Exemplo 3 
lim
x→+∞
arc sen (
2x
1 + 4x
) 
 
= arcsen ( lim
x→+∞
2x 
1 + 4x
) 
 
= arcsen (
1
2
) =
π
6
 
 
Observação 
 
Também são contínuas as funções arco tangente e arco 
cotangente. 
 
 
tangente 
 
 
 
 
arco tangente 
 
 
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cotangente 
 
 
 
arco cotangente 
 
As funções arco secante e arco cossecante não estão 
definidas para todo x. 
 
 
 
secante 
 
 
 
 
 
arco secante 
 
cossecante 
 
 
 
 
 
arco cossecante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO CONFRONTO 
 
Teorema do confronto (ou da sanduíche) 
Sejam 𝑓(x)  𝑔(x)  ℎ(x) e 
 
lim
x→a
𝑓(x) = lim
x→a
𝑔(x) = lim
x→a
ℎ(x) 
 
com 
lim
x→a
𝑓(x) = L = lim
x→a
ℎ(x) 
Então 
lim
x→a
𝑔(x) = L 
 
Exemplo 1 
lim
x→0
xsen (
1
x
) = ? 
 
 
 
 
y = sen (
1
x
) 
 |sen (
1
x
)|  1 
 
|xsen (
1
x
)|  |x| 
 
−|x|  xsen (
1
x
)  |x| 
 
 
 
Como lim
x→0
|x| = 0, então 
 
Logo, 
lim
x→0
xsen (
1
x
) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 
lim
x→0
sen(x)
x
=? 
 
 
 
A =
sen(x)
2
 
 
x
A
=
2π
π. 12
 
 
A =
x
2
 
 
 
 
A =
tan(x)
2
 
Com isso, 
tan(x)
2

x
2
 
sen(x)
2
 
 
tan(x)  x  sen(x) 
 
sen(x)
cos (x)
 x  sen(x) 
 
Para x > 0 e pequeno, 
1
cos (x)

x
sen(x)
  1 
 
cos(x)  
sen(x)
x
  1 
 
lim
x→0+
cos(x) = lim
x→0+
sen(x)
x
 = lim
x→0+
1 
 
1 = lim
x→0+
sen(x)
x
 = 1 
 
Também vale que 
lim
x→0−
sen(x)
x
= 1 
 
Pois a substituição x por – x não altera 
cos(x)  
sen(x)
x
  1 
Logo, 
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 
 
 
 
y =
sen(x)
x
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Para qualquer 𝑓 tal que cos(x)  𝑓(x)  1 − x2, vale que 
 
lim
x→0
cos (x) = 1 = lim
x→0
1 − x2 
 
lim
x→0
𝑓(x) = 1 
 
 
 
Exemplo 4 
lim
x→+
sen(x)
x
= ? 
 
Como 
−
1
x
 
sen(x)
x

1
x
 
 
e 
lim
x→+
1
x
= 0 
então 
 
lim
x→+
sen(x)
x
= 0 
 
 
 
Observação 
O Teorema do confronto também se chama Teorema do 
Sanduíche. Existe outro resultado com o mesmo nome. 
Considere um sanduíche forma por duas fatias de pão (com 
formato qualquer) recheados com uma fatia de presunto 
(colocado de qualquer forma). Em 1938, Banach provou que 
existe uma maneira de cortar o alimento em duas partes que 
ficam com a mesma quantidade de ingredientes. 
 
 
 
 
 
Stefan Banach 
(1892 1945) 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
Observação 
 
lim
x→0
sen(x)
x
= 1 
 
Exemplo 1 
Com a mudança de variáveis y = 3x 
 
lim
x→0
sen(3x)
x
= lim
y→0
sen(y)
y
3
= 3 lim
y→0
sen y
y
= 31 = 3 
 
Outra solução é 
lim
x→0
sen(3x)
x
= lim
x→0
3sen(3x)
3x
= 3 lim
x→0
sen(3x)
3x
= 31 = 3 
 
 
Observação 
Na prática, 
lim
x→0
sen 

= 1 
 
Exemplo 2 
lim
x→0
sen(4x)
sen (5x)
 
 
= lim
x→0
sen(4x)
x
sen(5x)
x
 
 
= lim
x→0
4sen(4x)
4x
5sen(5x)
5x
 
 
=
4
5
 lim
x→0
sen(4x)
4x
sen(5x)
5x
 
 
=
4
5

1
1
=
4
5
 
 
Exemplo 3 
lim
x→0+
sen(x)
x2
= lim
x→0+
1
x
.
sen(x)
x
= + 
 
Exemplo 4 
lim
x→0
[sen(x)]2
x
= lim
x→0
sen(x)
sen(x)
x
= 01 = 0 
 
 
 
Exemplo 5 
lim
x→0
tan(x)
x
 
 
= lim
x→0
sen(x)
cos (x)
1
x
 
 
= lim
x→0
sen(x)
x
1
cos (x)
 
 
= 11 = 1 
Exemplo 6 
lim
x→0
1 − cos(x)
x
 
 
= lim
x→0
1 − cos(x)
x
1 + cos(x)
1 + cos(x)
 
 
Como (a − b)(a + b) = a2 − b2 
= lim
x→0
1 − [cos(x)]2
x
1
1 + cos(x)
 
 
Como [cos(x)]2 + [sen (x)]2 = 1 
= lim
x→0
[sen(x)]2
x
1
1 + cos(x)
 
 
= lim
x→0
sen(x)
x
sen(x)
1 + cos(x)
 
 
= 1
0
1 + 1
= 0 
 
 
Exemplo 7 
lim
x→0
1 − cos(x)
x2
 
 
= lim
x→0
1 − cos(x)
x2
1 + cos(x)
1 + cos(x)
 
 
= lim
x→0
1 − [cos(x)]2
x2
1
1 + cos(x)
 
 
= lim
x→0
[sen(x)]2
x2
1
1 + cos(x)
 
 
= lim
x→0
[
sen(x)
x
]
2
1
1 + cos(x)
 
= 12
1
1 + 1
=
1
2