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Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do RS
Professor: Guilherme Ferreira Monteiro; Fernando Rodrigues de Oliveira
E-mail: guilherme.monteiro@osorio.ifrs.edu.br
fernando.oliveira@osorio.ifrs.edu.br
LIMITES
- Limites: uma abordagem intuitiva -
1 - Definição de limite
Definição 1.1: (Informal) Se os valores de f(x) puderem ser tornados tão próximos quanto
queira de um valor L, desde que tomemos valores de x bem próximos de um ponto no domínio
(mas 6= a), então escrevemos:
lim
x→a
f(x) = L.
Lê-se: f(x) tende a L quando x tende a a.
Chama-se esta última definição de limite bilateral pois requer que os valores de f(x)
fiquem cada vez mais próximas de L quando x tende a a para qualquer um dos lados. Mas,
há funções que possuem comportamentos diferentes em casa um dos lados de a. Assim,
temos que se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos
com valores de x próximos de a (mas maiores que a), escrevemos:
lim
x→a+
f(x) = L.
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L. Analogamente o caso pela esquerda.
Exemplo: Considere
f(x) =
{
1, x ≥ 0
−1, x < 0
Gráfico
Neste exemplo temos que: lim
x→0+
f(x) = 1 e lim
x→0−
f(x) = −1.
2 - A Relação entre Limites Bilaterais e Laterais
Os valores de f(x) podem não se aproximar mais e mais de um único número real
L quando x tende a a. Nesse caso, dizemos que:
@ lim
x→a
f(x).
O limite bilateral de uma função existe em a se, e só se, os limites laterais existem
em a e coincidem, isto é:
lim
x→a
f(x) = L ⇐⇒ lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x).
Exemplo 2.1: Seja f(x) =
{
x2, x 6= 0
1, x = 0
. Nesse caso lim
x→0−
f(x) = 0 = lim
x→0+
f(x). Assim
lim
x→0
f(x) = 0.
3 - Limites Infinitos
As expressões lim
x→a+
f(x) = ∞ = lim
x→a−
f(x) significam que f(x) cresce sem cota
quando x tende a a pela direita ou pela esquerda, respectivamente. Se ambas são verdadeiras,
então escrevemos lim
x→a
f(x) =∞. Analogamente o caso −∞.
Exemplo 3.1: Dado f(x) =
1
(x− 2)2
temos que lim
x→2−
f(x) = ∞ = lim
x→2+
f(x). Logo
lim
x→2
f(x) =∞.
A reta x = 2 é chamada de assíntota vertical.
Teorema 3.1: Sejam a e k dois números reais.
• lim
x→a
k = k
• lim
x→a
x = a
• lim
x→0−
1
x
= −∞
• lim
x→0+
1
x
=∞
2
Teorema 3.2: Seja a ∈ R e suponha que lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
g(x) = L2. Então:
• lim
x→a
[f(x)± g(x)] = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x) = L1 ± L2
• lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x) = L1 · L2
• lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
L1
L2
, (L2 6= 0)
• lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) = n
√
L1, (L1 > 0) para n par.
Observação: O teorema também vale para os limites laterais.
Teorema 3.3: Para qualquer polinômio p(x) = c0 + c1x+ ...+ cnxn e qualquer a ∈ R:
lim
x→a
p(x) = c0 + c1a+ ...+ cna
n = p(a).
Exemplo 3.2: Calcule limx→1(x8 − x+ 5x− 2). Como temos um polinômio, pelo teorema
anterior:
lim
x→1
(x8 − x4 + 5x− 2) = 18 − 14 + 5 · 1− 2 = 3.
Exemplo 3.3: Calcule lim
x→4
2− x
(x− 4)(x+ 2)
. Notemos que temos uma divisão por zero ao
trocarmos x por 4. Dessa maneira, iremos analisar os limites laterais, começando pelo limite
à esquerda.
lim
x→4−
2− x
(x− 4)(x+ 2)
.
Tomando valores menores que 4, mas próximos de 4, temos que o numerador fica negativo, a
primeira parcela do denominador fica também negativa e a segunda parcela do denominador
fica positiva. No limite, o comportamento descrito se mantém e o denominador tende à zero.
Assim, pelo teorema anterior:
lim
x→4−
2− x
(x− 4)(x+ 2)
=∞.
Analogamente lim
x→4+
2− x
(x− 4)(x+ 2)
= −∞. Por fim:
@ lim
x→4
2− x
(x− 4)(x+ 2)
.
Quando p(x)/q(x) for uma função racional para o qual p(a) = 0 e q(a) = 0, o
numerador e o denominador necessariamente terão um ou mais fatores em comum. Nesse
caso, o limite com x tendendo a a pode ser encontrado cancelando todos os fatores comuns.
Exemplo 3.4:
lim
x→3
x− 3
x2 − x− 6
= lim
x→3
x− 3
(x− 3)(x+ 2)
= 1/5.
3
Um quociente f(x)/q(x) em que o numerador e o denominador têm ambos limite
zero com x→ a é denominado forma indeterminada do tipo 0/0. Em geral, esses limites são
complicados de se trabalhar. O teorema abaixo resume os limites de funções racionais.
Teorema 3.4: Seja f(x) =
p(x)
q(x)
e a ∈ R.
• Se q(a) 6= 0 então lim
x→a
f(x) = f(a).
• Se q(a) = 0, mas com p(a) 6= 0, então lim
x→a
f(x) não existe.
4 - Limites envolvendo Radicais
Exemplo 4.1: lim
y→4
4− y
2−√y
5 - Limites de Funções Definidas por Partes
Exemplo 5.1: Seja f(x) =
{
x− 1, x ≤ 3
3x− 7, x > 3 . Encontre limx→3− f(x), limx→3+ f(x) e limx→3 f(x).
6 - Limites no Infinito
Se os valores de x crescem sem cota, escrevemos x → ∞. Algumas vezes,dizemos
que o comportamento final de uma função f(x) é o comportamento da função quando x
cresce sem cota. Analogamente x→ −∞. Por exemplo:
lim
x→−∞
1
x
= 0 = lim
x→∞
1
x
.
Definição 6.1: Se os valores de f(x) ficam tão próximos quanto queiramos de um número
L à medida que x cresce sem cota, então:
lim
x→+∞
f(x) = L.
Analogamente x→ −∞.
Exemplo 6.1: Seja f(x) = arc tg(x).
4
lim
x→+∞
f(x) =
π
2
, e lim
x→−∞
f(x) = −π
2
.
A reta y =
π
2
é uma assíntota horizontal para f no sentido positivo e a reta y = −π
2
é uma
assíntota horizontal para f no sentido negativo.
7 - Regras de Limites para Limites no Infinito
• lim
x→±∞
[f(x)]n =
[
lim
x→±∞
f(x)
]n
, n ∈ N
• lim
x→±∞
kf(x) = k lim
x→±∞
f(x)
• lim
x→±∞
k = k
8 - Limites Infinitos no Infinito
Se os valores de f(x) crescem sem cota quando x→ ±∞, então escrevemos:
lim
±∞
f(x) = +∞,
conforme o caso. Analogamente o caso −∞.
Valem os seguintes resultados:
• lim
x→+∞
xn =∞, n = 1, 2, 3, ....
• lim
x→−∞
xn =
{
−∞, n = 1, 3, 5, . . .
+∞, n = 2, 4, 6, . . .
9 - Limites de Polinômios com x→ ±∞
O comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final do
seu termo de maior grau.
Observação: Não esquecer do coeficiente do termo líder.
Se cn 6= 0, então:
lim
x→±∞
cnx
n + cn−1x
n−1 + · · ·+ c1x+ c0 = lim
x→±∞
cnx
n
10 - Limites de Funções Racionais com x→ ±∞
Método Rápido: O comportamento final de uma função racional coincide com o
comportamento final do quociente do termo de maior grau do numerador dividido pelo
termo de maior grau do denominador.
Exemplo 10.1: (20)
lim
t→−∞
5− 2t3
t2 + 1
= lim
t→−∞
−2t3
t2
= lim
t→−∞
−2t = +∞
Exemplo 10.2: (22)
lim
x→−∞
x+ 4x3
1− x2 + 7x3
= lim
x→−∞
4x3
7x3
=
4
7
.
5
11 - Limites Envolvendo Radicais
Dica: Lembremos que
√
x2 = |x| =
{
x, x ≥ 0
−x, x < 0
Exemplo 11.1: (26)
lim
x→+∞
√
5x2 − 2
x+ 3
= lim
x→+∞
√
5x2 − 2
|x|
x+ 3
|x|
= lim
x→+∞
√
5x2 − 2
x2
x+ 3
x
= lim
x→+∞
√
5− 2
x2
1 +
3
x
=
√
5
1
=
√
5
Observação: Na segunda igualdade, se fosse x→ −∞, trocaríamos |x| por −x.
Exemplo 11.2: (31)
lim
x→+∞
(
√
x2 + 3− x) = lim
x→+∞
(
√
x2 + 3− x) · (
√
x2 + 3 + x)
(
√
x2 + 3 + x)
=
lim
x→+∞
x2 + 3− x2√
x2 + 3 + x
= lim
x→+∞
3
x√
x2 + 3 + x
x
= lim
x→+∞
3
x√
x2 + 3
x2
+ 1
=
lim
x→+∞
3
x√
1 +
3
x2
+ 1
=
0
2
= 0
Exemplo 11.3: (32)
lim
x→∞
(
√
x2 − 3x− x) = lim
x→∞
(
√
x2 − 3x− x) · (
√
x2 − 3x+ x)
(
√
x2 − 3x+ x)
=
lim
x→∞
−3x
x√
x2 − 3x+ x
x
= lim
x→∞
−3√
x2 − 3x
x2
+ 1
=
lim
x→∞
−3√
1− 3
x
+ 1
= −3
2
As funções seno e cosseno não possuem limite quando x→ ±∞, pois oscilam entre
±1. Na literatura não há uma notação específica para este tipo de comportamento.
São válidos os seguintes resultados:
• lim
x→+∞
ln(x) = +∞
• lim
x→−∞
ex = 0
• lim
x→+∞
ex = +∞
• lim
x→0+
ln(x) = −∞
6
CONTINUIDADE
- Continuidade de funções -
12 - Definição de função contínua
Definição 12.1: Uma função f é contínua no ponto x = c se:
1. f(c) está definida.
2. lim
x→c
f(x) existe.
3. lim
x→c
f(x) = f(c).
Se uma ou mais das condições falhar, então dizemos que f possui uma descontinui-
dade em x = c.
13 - Tipos de Descontinuidade
(a) As condições 1 e 3 falham.
(b) As condições 2 e 3 falham. Essa descontinuidade é chamada de Descontinuidade por
Salto.
(c) A condição 3 falha. Essa descontinuidade é chamada de Descontinuidade Infinita.(d) A condição 3 falha. Essa descontinuidade é chamada de Descontinuidade Removível.
7
Exemplo 13.1: Determine a continuidade em x = 2 nas funções dadas:
f(x) =
x2 − 4
x− 2
, g(x) =
 x
2 − 4
x− 2
, x 6= 2
3, x = 2
e h(x) =
 x
2 − 4
x− 2
, x 6= 2
4, x = 2
Em cada caso, devemos determinar o limite com x → 2 e comparar coma função
aplicada em x = 2. Notemos que para pontos diferentes de 2, as três funções são idênticas.
Assim:
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
g(x) = lim
x→2
h(x) = lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= lim
x→2
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= lim
x→2
x+ 2 = 4.
O limite bilateral existe e vale 4. f(x) não está definida em x = 2, logo não pode ser contínua.
lim
x→2
g(x) = 4 6= 3 = g(2), logo g também não é contínua. Como lim
x→2
h(x) = 4 = h(2), somente
h(x) é contínua em x = 2. A seguir, os gráficos das funções.
14 - Propriedades das Funções Contínuas
Teorema 14.1: Se f e g forem contínuas em c, então:
• f ± g é contínua em c.
• f · g é contínua em c.
• f
g
é contínua em c se g(c) 6= 0 e tem uma descontinuidade em c se g(c) = 0.
15 - Continuidade dos Polinômios e das Funções Racionais
Teorema 15.1:
a) Um polinômio é contínuo em toda a parte.
b) Uma função racional é contínua em cada ponto em que o denominador não se anula e
possui uma descontinuidade nos pontos em que o denominador é zero.
8
Exemplo 15.1: (14) Dada f(x) =
x+ 2
x2 − 4
, encontre os pontos x, se houver, nos quais f não
é contínua.
f(x) é uma função racional. Analisando o denominador, temos que x2− 4 possui as
raízes 2 e −2. Logo, f(x) não é contínua em x = ±2.
16 - Continuidade de Composições
Teorema 16.1: Se lim
x→c
g(x) = L e se f for contínua em L, então lim
x→c
f(g(x)) = f(L). Ou
seja:
lim
x→c
f(g(x)) = f
(
lim
x→c
g(x)
)
.
O resultado também é válido para lim
x→c±
e lim
x→±∞
.
No caso particular em que f(x) = |x|, como |x| é uma função contínua em toda a
parte, temos que:
lim
x→c
|g(x)| = | lim
x→c
g(x)|.
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EXERCÍCIOS - Lista 01
- Limites (uma abordagem intuitiva) -
Exercício 1. Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre:
a) lim
x→0−
g(x) b) lim
x→0+
g(x) c) lim
x→0
g(x) d) g(0)
Exercício 2. Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre:
a) lim
x→3−
f(x) b) lim
x→3+
f(x) c) lim
x→3
f(x) d) f(3)
Exercício 3. Para a função F cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a) lim
x→−2−
F (x) b) lim
x→−2+
F (x) c) lim
x→−2
F (x) d) F (−2)
10
Exercício 4. Para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha:
a) lim
x→3−
f(x) b) lim
x→3+
f(x) c) lim
x→3
f(x) d) f(3)
Exercício 5. Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre:
a) lim
x→−2
f(x) b) lim
x→0−
f(x) c) lim
x→0+
f(x)
d) lim
x→2−
f(x) e) lim
x→2+
f(x) f) as assíntotas verticais do gráfico de f .
11
Exercício 6. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
a) Se f(a) = L, então lim
x→a
f(x) = L;
b) Se existir lim
x→a
f(x), então também existem lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x);
c) Se existirem lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x), então existe lim
x→a
f(x);
d) Se lim
x→a+
f(x) = +∞, então f(a) não está definido.
Exercício 7. Esboce um gráfico possível de uma função f com as propriedades
especificadas. (São possíveis muitas soluções diferentes.)
a)
(i) o domínio de f é [−1, 1],
(ii) f(−1) = f(0) = f(1) = 0,
(iii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→0
f(x) = lim
x→1−
f(x) = 1;
b)
(i) o domínio de f é [−2, 1],
(ii) f(−2) = f(0) = f(1) = 0,
(iii) lim
x→−2+
f(x) = 2, lim
x→0
f(x) = 0 e lim
x→1−
f(x) = 1;
c)
(i) o domínio de f é (−∞, 0],
(ii) f(−2) = f(0) = 1,
(iii) lim
x→−2
f(x) = +∞;
d)
(i) o domínio de f é (0,+∞),
(ii) f(1) = 0,
(iii) o eixo y é uma assíntota vertical do gráfico de f ,
(iv) f(x) < 0 se 0 < x < 1;
e)
(i) f(−3) = f(0) = f(2) = 0,
(ii) lim
x→−2−
f(x) = +∞ e lim
x→−2+
f(x) = −∞,
(iii) lim
x→1
f(x) = +∞;
f)
(i) f(−1) = f(1) = 0 e f(0) = 1,
(ii) lim
x→−1−
f(x) = 0 e lim
x→−1+
f(x) = +∞,
(iii) lim
x→1−
f(x) = 1 e lim
x→1+
f(x) = +∞.
- Calculando Limites -
Exercício 8. Use os gráficos de f e g na figura a seguir para encontrar os limites que
existirem. Se o limite não existir, explique por quê.
a) lim
x→2
[f(x) + g(x)] b) lim
x→0
[f(x) + g(x)] c) lim
x→0+
[f(x) + g(x)] d) lim
x→0−
[f(x) + g(x)]
e) lim
x→2
f(x)
1 + g(x)
f) lim
x→2
1 + g(x)
f(x)
g) lim
x→0+
√
f(x) h) lim
x→0−
√
f(x)
12
Exercício 9. Encontre os limites.
a) lim
x→2
x(x− 1)(x+ 1) b) lim
x→3
x2 − 2x
x+ 1
c) lim
x→1+
x4 − 1
x− 1
d) lim
x→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
e) lim
x→−1
2x2 + x− 1
x+ 1
f) lim
t→2
t3 + 3t2 − 12t+ 4
t3 − 4t
g) lim
x→3+
x
x− 3
h) lim
x→3
x
x− 3
i) lim
x→2−
x
x2 − 4
j) lim
y→6+
y + 6
y2 − 36
l) lim
y→6
y + 6
y2 − 36
m) lim
x→4−
3− x
x2 − 2x− 8
n) lim
x→2+
1
|2− x|
o) lim
x→9
x− 9√
x− 3
Exercício 10. Seja
f(x) =
{
x− 1, x ≤ 3
3x− 7, x > 3
Encontre
a) lim
x→3−
f(x) b) lim
x→3+
f(x) c) lim
x→3
f(x)
- Limites no infinito; Comportamento final de uma função -
Exercício 11. Para a função φ do gráfico abaixo, encontre:
a) lim
x→−∞
φ(x) b) lim
x→+∞
φ(x)
13
Exercício 12. Dado que:
lim
x→+∞
h(x) = 0,
encontre o limite:
lim
x→+∞
3h(x) + 4
x2
caso exista. Se o limite não existir, explique por quê.
Exercício 13. Encontre os limites.
a) lim
x→+∞
(1 + 2x− 3x5) b) lim
x→+∞
√
x c) lim
x→+∞
3x+ 1
2x− 5
d) lim
y→−∞
3
y + 4
e) lim
x→−∞
x− 2
x2 + 2x+ 1
f) lim
x→+∞
7− 6x5
x+ 3
g) lim
t→+∞
6− t3
7t3 + 3
h) lim
x→+∞
3
√
2 + 3x− 5x2
1 + 8x2
i) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x+ 3
j) lim
y→−∞
2− y√
7 + 6y2
l) lim
x→−∞
√
3x4 + x
x2 − 8
m) lim
x→+∞
(√
x2 + 3− x
)
n) lim
x→−∞
1− ex
1 + ex
o) lim
x→+∞
ex + e−x
ex − e−x
Exercício 14. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
a) Temos lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
= (1 + 0)+∞ = 1+∞ = 1;
b) Se y = L for uma assíntota horizontal da curva y = f(x), então:
lim
x→−∞
f(x) = L e lim
x→+∞
f(x) = L
c) Se y = L for uma assíntota horizontal da curva y = f(x), então é possível que o gráfico
de f intersecte a reta y = L uma infinidade de vezes.
d) Se uma função racional p(x)/q(x) tem uma assíntota horizontal, então o grau de p(x)
deve ser igual ao grau de q(x).
- Continuidade -
Exercício 15. Seja f a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos
seguintes f é contínua?
(i) [1, 3]; (ii) (1, 3); (iii) [1, 2]; (iv) (1, 2); (v) [2, 3]; (vi) (2, 3).
14
Exercício 16. Considere as funções:
f(x) =
{
1, x 6= 4
−1, x = 4 e g(x) =
{
4x− 10, x 6= 4
−6, x = 4
Em cada parte, verifique se a função dada é contínua em x = 4.
a) f(x); b) g(x); c) −g(x); d) |f(x)|; e) f(x)g(x); f) g(f(x)); g) g(x)− 6f(x).
Exercício 17. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as condições
propostas.
a) f é contínua em toda parte, exceto em x = 3, onde é contínua à direita.
b) f tem um limite bilateral em x = 3, mas não é contínua naquele ponto.
c) f não é contínua em x = 3, mas se seu valor em x = 3 for mudado de f(3) = 1 para
f(3) = 0, torna-se contínua em x = 3.
d) f é contínua no intervalo [0, 3) e está definida no intervalo fechado [0, 3], mas f não é
contínua no intervalo [0, 3].
Exercício 18. Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é contínua.
a) f(x) = 5x4 − 3x+ 7 b) f(x) = x+ 2
x2 + 4
c) f(x) =
x
2x2 + x
d) f(x) =
3
x
+
x− 1
x2 − 1
e) f(x) =
x2 + 6x+ 9
|x|+ 3
f) f(x) =
{
2x+ 3, x ≤ 4
7 +
16
x
, x > 4
Exercício 19. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
a) Se f(x) for contínua em x = c, então |f(x)| também é.
b) Se f e g forem descontínuas em x = c, então f + g também é.
c) Se
√
f(x) for contínua em x = c, então f(x) também é.
Exercício 20. Encontre um valor para a constante k, se possível, que faça a função ficar
contínua em toda parte.
a) f(x) =
{
7x− 2, x ≤ 1
kx2, x > 1
b) f(x) =
{
kx2,x ≤ 2
2x+ k, x > 2
Exercício 21. Encontre valores das constantes k e m, se possível, que façam a função f
ficar contínua em toda parte.
f(x) =

x2 + 5, x > 2
m(x+ 1) + k, −1 < x ≤ 2
2x3 + x+ 7, x ≤ −1
15