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Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas Prof. Dr. Josinaldo Menezes EC&T - UFRN 16 de maio de 2013 Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 1 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo Uma sec¸a˜o transversal de um so´lido S e´ a regia˜o plana formada pela intersec¸a˜o entre S e um plano. Em cada ponto x no intervalo [a, b], a sec¸a˜o transversal e´ uma regia˜o R(x) de a´rea A(x), sendo A uma func¸a˜o cont´ınua de x. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 2 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo O volume do so´lido e´ uma integral definida: 1 dividimos [a, b] em subintervalos de largura ∆xk, 2 fatiamos o so´lido por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos 3 aproximamos a fatia entre os planos xk−1 e xk usando um so´lido cil´ındrico com a´rea da base A(xk) e altura ∆xk = xk − xk−1, 4 o volume dete so´lido cil´ındrico e´ A(xk).∆xk, 5 o volume do so´lido inteiro e´ V ≈ nX k=1 Vk = nX k=1 A(xk)∆xk (1) que e´ a soma de Riemann para A(x) em [a, b]. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 3 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo Tomamos o limite n→ 0: V = ∫ b a A(x) dx (2) que e´ o volume do so´lido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja a´rea da sec¸a˜o transversal A(x) e´ integra´vel. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 4 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo Exemplo: uma piraˆmide com 3m de altura tem uma base quadrada com 3m de lado. A sec¸a˜o transversal da piraˆmide, perpendicular a` altura x metros abaixo do ve´rtice, e´ um quadrado com x metros de lado. Determinar o volume da piraˆmide. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 5 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo 1 A sec¸a˜o transversal possui a´rea A(x) = x2 pois e´ um quadrado com x metros de lado. 2 Os limites de integrac¸a˜o sa˜o x = 0 e x = 3. 3 O volume e´ a integral V (x) = ∫ 3 0 x2 dx = x3 3 ]3 0 = 9m2 (3) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 6 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo Exemplo: uma cunha curva foi obtida por meio de um cilindro de raio 3, cortado por dois planos. Um dos planos perpendicular ao eixo do cilindro e o segundo formando um aˆngulo de 45 graus no centro do cilindro. Determinar o volume da cunha. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 7 / 50 Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo 1 A sec¸a˜o transversal da cunha em x e´ um retaˆngulo de a´rea: A(x) = (2 √ 9− x2).x = 2x √ 9− x2 (4) 2 Os limites de integrac¸a˜o sa˜o x = 0 e x = 3. 3 O volume e´ a integral V (x) = ∫ 3 0 2x √ 9− x2 dx = −2 3 (9− x2) 32 ]3 0 = 0 + 2 3 (9) 3 2 = 18 (5) onde fizemos a substituic¸a˜o u = 9− x2. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 8 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ gerado pela rotac¸a˜o de uma regia˜o plana em torno de um eixo no plano desse eixo. A a´rea de sec¸a˜o transversal A(x) e´ um disco de raio R(x), ou seja, A(x) = pi [R(x)]2 (6) O volume e´ a integral: V (x) = ∫ b a pi [R(x)]2 dx (7) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 9 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco Exemplo: Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ formado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva y = √ x, 0 ≤ x ≤ 4 e o eixo x. Qual seu volume? Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 10 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco O volume do so´lido e´ V = ∫ 4 0 pi [ √ x]2 dx = pi ∫ 4 0 x dx (8) = pi x2 2 ]4 0 = 8pi (9) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 11 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco Exemplo: O c´ırculo x2 + y2 = a2 e´ girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Qual seu volume? Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 12 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco A a´rea da sec¸a˜o transversal e´ A(x) = piy2 = pi(a2 − x2) (10) O volume e´ V = ∫ a −a pi (a2 − x2) dx (11) = pi [ a2 x− x 3 3 ]a −a = 4 3 pi a3. (12) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 13 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco Exemplo: Determinar o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido com a rotac¸a˜o em torno da reta y = 1, da regia˜o definida por y = √ x e pelas retas y = 1 e y = 4. A a´rea da sec¸a˜o transversal e´ A(x) = pi( √ x− 1)2 (13) O volume e´ V = ∫ 4 1 pi ( √ x− 1)2 dx = ∫ 4 1 pi (x− 2√x+ 1) dx (14) = pi [x2 2 − 3x 32 + x]4 1 = 7pi 6 . (15) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 14 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco Exemplo: Determinar o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o em torno do eixo y, da regia˜o compreendida entre o eixo y e a curva x = 2y , com 1 ≤ y ≤ 4. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 15 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco A a´rea da sec¸a˜o transversal e´ A(x) = pi ( 2 y )2 dy (16) O volume e´ V = ∫ 4 1 pi ( 2 y )2 dx (17) = ∫ 4 1 pi 4 y2 dx (18) = 4pi [− 1 y ]4 1 = 3pi. (19) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 16 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel Se ao rodarmos a regia˜o geramos um so´lido que possui um orif´ıcio no meio, as sec¸o˜es transversais sa˜o ane´is. A a´rea de sec¸a˜o transversal A(x) do anel e´ A(x) = pi [R(x)2 − r(x)2] (20) onde R(x) e´ o raio maior e r(x) e´ o raio menor. O volume e´ a integral: V (x) = ∫ b a pi [R(x)2 − r(x)2] dx (21) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 17 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 18 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel Exemplo: A regia˜o limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x+ 3 gira em torno do eixo x para gerar um so´lido. Qual seu volume? Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 19 / 50 So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel Raio externo: R(x) = −x+ 3. Raio interno: r(x) = x2 + 1. Os limites de integrac¸a˜o sa˜o os pontos de intersec¸a˜o entre as curvas: x2 + 1 = −x+ 3 (22) que nos da´ x = −2 e x = 1. Ovolume e´ V = ∫ 1 −2 pi [(−x+ 3)2 − (x2 + 1)2] dx (23) = pi (8− 6x− x2 − x4) dx (24) = pi [ 8x− 3x2 − x 3 3 − x 5 5 ]1 −2 = 117pi 5 . (25) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 20 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de Curvas Planas Seja C uma curva dada parametricamente por x = f(t), y = g(t), sendo a ≤ t ≤ b. Assumindo que f ′ e g′ sa˜o cont´ınuas e na˜o sa˜o simultaneamente nulas em [a, b] e C e´ percorrida exatamente uma vez, quanto t avanc¸a de t = a para t = b, enta˜o o comprimento de C e´ a integral definida L = ∫ b a √ [f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt (26) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 21 / 50 Comprimento de Curvas Planas Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 22 / 50 Comprimento de Curvas Planas Prova 1 Unimos os pontos de A ate´ B com segmentos de reta. 2 O comprimento de cada segmento de reta sera´ Lk = p [f(tk)− f(tk−1)]2 + [g(tk)− g(tk−1)]2 (27) 3 Se ∆ tk e´ pequeno, o comprimento de Lk e´ aproximadamente igual ao arco Pk−1Pk. 4 De acordo com o Teorema do Valor Me´dio, existem nu´meros t∗k e t ∗ ∗k em [tk−1, tk] tais que ∆xk = f(tk)− f(tk−1) = f ′(t∗k) ∆tk (28) ∆yk = g(tk)− g(tk−1) = g′(t ∗ ∗k) ∆tk (29) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 23 / 50 Comprimento de Curvas Planas Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 24 / 50 Comprimento de Curvas Planas O comprimento da curva e´ enta˜o L = lim n→∞ n∑ k=1 Lk = lim n→∞ n∑ k=1 √ (∆xk)2 + (∆yk)2 (30) = lim n→∞ n∑ k=1 √ [f ′(t∗k)]2 + [g′(t ∗ ∗k)]2 ∆tk (31) = ∫ b a √ [f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt (32) = ∫ b a √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt. (33) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 25 / 50 Comprimento de Curvas Planas A Fo´rmula Diferencial Resumida para o comprimento da curva e´ dada por( dx dt )2 dt2 = ( dx dt dt )2 = dx2 (34)( dy dt )2 dt2 = ( dy dt dt )2 = dy2 (35) (36) ou seja, L = ∫ b a √ dx2 + dy2 = ∫ b a ds (37) onde ds = √ dx2 + dy2. (38) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 26 / 50 Comprimento de Curvas Planas Exemplo: o comprimento do c´ırculo de raio r definido parametricamente por x = r cos t, y = r sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, e´ dado por L = ∫ 2pi 0 √ r2 sen2 t+ r2 cos2 t dt (39) = ∫ 2pi 0 √ r2 dt = ∫ 2pi 0 r dt (40) = r t ]2pi 0 = 2pi r. (41) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 27 / 50 Comprimento de Curvas Planas Exemplo: o comprimento do astro´ide dado pela parametrizac¸a˜o x = cos3 t e y = sen3 t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, e´ dado por Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 28 / 50 Comprimento de Curvas Planas ( dx dt )2 = [3 cos2 t(− sen t)]2 = 9 cos4 t sen2 t (42)( dy dt )2 = [3 sen2 t(cos t)]2 = 9 sen4 t cos2 t (43) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 = √ 9 cos2 t sen2 t(cos2 t+ sen2 t) = √ 9 cos2 t sen2 t = 3| cos t sen t| = 3 cos t sen t. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 29 / 50 Comprimento de Curvas Planas O comprimento da curva e´ L = ∫ 2pi −2pi 3 cos t sen t dt. (44) Usando a simentria da curva em relac¸a˜o ao paraˆmetro t, temos: L = 4 ∫ pi 2 0 3 cos t sen t dt = 4 ( 3 2 ∫ pi 2 0 sen(2t) dt ) = −3 cos(2t) ] 32 0 = 6. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 30 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) Comprimento de uma curva f(x) Se f for continuamente deriva´vel no intervalo fechado [a, b], enta˜o o comprimento da curva y = f(x), de x = a ate´ x = b, sera´ L = ∫ b a √ 1 + ( dy dx )2 dx (45) = ∫ b a √ 1 + [f ′(x)]2 dx (46) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 31 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) Exemplo: o comprimento da curva y = 12 (e x + e−x), onde 0 ≤ x ≤ 2. dy dx = 1 2 (ex − e−x) (47)( dy dx )2 = 1 4 (e2x − 2 + e−2x) (48) 1 + ( dy dx )2 = 1 4 (e2x + 2 + e−2x) (49) = ( 1 2 (ex + e−x) )2 (50) L = ∫ 2 0 1 2 (ex − e−x) dx (51) = 1 2 (ex − e−x)]2 0 = 1 2 (e2 − e−2) ≈ 3, 63. (52) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 32 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) Exemplo: o comprimento da curva y = ( x 2 ) 2 3 , de x = 0 ate´ x = 2. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 33 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) A derivada de y com relac¸a˜o a x e´: dy dx = 2 3 x− 1 3 1 2 = 1 3 ( 2 x ) 1 3 (53) que na˜o e´ definida em x = 0. Reescrevemos y = ( x 2 ) 2 3 como x = 2 (y) 3 2 , desde x(y = 0) = 0 ate´ x(y = 2) = 1. Assim, dx dy = 2 ( 3 2 ) y 1 2 = 3 √ y. (54) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 34 / 50 Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) O comprimento da curva e´ L = ∫ 1 0 √ 1 + 9 y dy (55) Utilizamos a substituic¸a˜o u = 1 + 9 y, com du = 9 dy. L = ∫ u(y=1)=1+9.1=10 u(y=0)=1+9.0=1 √ u ( du 9 ) (56) = 1 9 ∫ 10 1 u 1 2 du (57) = 1 9 u 3 2 ]10 1 (58) = 1 9 [10 √ 10− 1] ≈ 2, 27. (59) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 35 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em Torno do Eixo x Se a func¸a˜o f(x) ≥ 0 e´ continuamente deriva´vel em [a, b], a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva y = f(x) em torno do eixo x e´ S = ∫ b a 2piy √ 1 + ( dy dx )2 dx (60) = ∫ b a 2pif(x) √ 1 + [f ′(x)]2 dx (61) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 36 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 37 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Exemplo: a a´rea de superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, da curva y = 2 √ x, 1 ≤ x ≤ 2: Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 38 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A derivada de y em relac¸a˜o a x e´ dy dx = 1√ x . (62) Assim, √ 1 + ( dy dx )2 = √ 1 + 1 x (63) = √ x+ 1 x (64) = √ x+ 1√ x . (65) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 39 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A a´rea da superf´ıcie e´: S = ∫ 2 1 2pi 2 √ x √ x+ 1√ x dx (66) = 4pi ∫ 2 1 √ x+ 1 dx.(67) Usando a substituic¸a˜o u = x+ 1, com du = dx, temos que a integrac¸a˜o vai desde u = 2 ate´ u = 3. Assim, S = 4piu 1 2 du = 4pi [ u 3 2 3 2 ]3 2 (68) = 4pi 2 3 ( 3 3 2 − 2 32 ) = 8pi 3 ( 3 √ 3− 2 √ 2 ) . (69) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 40 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em torno do eixo y A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em Torno do Eixo y Se x = f(y) ≥ 0 e´ continuamente deriva´vel em [c, d], a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva x = g(y) em torno do eixo y e´ S = ∫ d c 2pix √ 1 + ( dx dy )2 dy (70) = ∫ d c 2pig(y) √ 1 + [g′(y)]2 dy (71) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 41 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em torno do eixo y Exemplo: A a´rea da superf´ıcie lateral do cone formado pela rotac¸a˜o do segmento de reta x = 1− y, 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y: Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 42 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em torno do eixo y A derivada de x em relac¸a˜o a y e´ dx dy = −1. (72) Assim, √ 1 + ( dx dy )2 = √ 1 + 1 = √ 2 (73) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 43 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em torno do eixo y A a´rea da superf´ıcie e´: S = ∫ 1 0 2pi 2 (1− y) √ 2 dy (74) = 2 √ 2pi ∫ 2 1 (1− y) dy = 2 √ 2pi [ y − y 2 2 ]1 0 (75) = 2 √ 2pi ( 1− 1 2 ) = √ 2pi. (76) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 44 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o para Curvas Parametrizadas A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o para Curvas Parametrizadas Se a curva lisa x = f(y) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, e´ percorrida exatamente uma vez quando t aumenta de a para b, enta˜o a a´rea das superf´ıcies geradas pela rotac¸a˜o da curva em torno dos eixos de coordenadas e´ calculada como se segue: 1 Rotac¸a˜o em torno do eixo x (y ≥ 0): S = ∫ b a 2pi y √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt (77) 2 Rotac¸a˜o em torno do eixo y (x ≥ 0): S = ∫ b a 2pi x √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt (78) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 45 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o para Curvas Parametrizadas Exemplo: Usando a parametrizac¸a˜o do c´ırculo de raio 1 e centrado no ponto (0, 1), dada por x = cos t e y = 1 + sen t com 0 ≤ t ≤ 2pi, para determinar a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o do c´ırculo ao redor do eixo x. Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 46 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o para Curvas Parametrizadas A a´rea da superf´ıcie e´ S = ∫ 2pi 0 2pi (1 + sen t) √ (− sen t)2 + (cos t)2) dt (79) = 2pi ∫ 2pi 0 (1 + sen t) dt (80) = 2pi [t− cos t]2pi0 (81) = 4pi2. (82) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 47 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Forma Diferencial para a A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Forma Diferencial para a A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o A forma diferencial para a a´rea de superf´ıcies de revoluc¸a˜o e´ S = ∫ 2pi ρ ds = 2pi ∫ ρ ds. (83) onde ρ e´ o raio (x ou y) e ds = √ (dx)2 + (dy)2. (84) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 48 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Forma Diferencial para a A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Exemplo: A a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva y = x3, 0 ≤ x ≤ 12 em torno do eixo x e´ dada por Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 49 / 50 A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o Forma Diferencial para a A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o O elemento de linha ds e´ dado por ds = √ (dx)2 + (dy)2 = √ (dx)2 + (3x2 dx)2 (85) = √ (1 + 9x4) (dx)2 = √ 1 + 9x4 dx (86) A a´rea da superf´ıcie e´ S = 2pi ∫ ρ ds = 2pi ∫ y √ (dx)2 + (dy)2 (87) = 2pi ∫ 1 2 0 x3 √ 1 + 9x4 dx. (88) Usando a substituic¸a˜o u = 1 + 9x4 e du = 36x3 dx, e integrando desde u(x = 0) = 1 + 9x4 ate´ u(x = 1/2) = 25/16, temos S = 2pi 36 ∫ 25/16 0 u 1 2 du = pi 8 2 3 [ u 3 2 ] 25 16 0 (89) = pi 27 ( 25 16 ) 3 2 = 61pi 1728 . (90) Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas 16 de maio de 2013 50 / 50 Volumes por fatiamento e rotação em torno de um eixo Sólidos de Revolução: o método do disco Sólidos de Revolução: o método do anel Comprimento de Curvas Planas Comprimento de uma curva f(x) Áreas de Superfícies de Revolução Áreas de Superfícies de Revolução em torno do eixo y Área de Superfícies de Revolução para Curvas Parametrizadas Forma Diferencial para a Área de Superfícies de Revolução
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