lista de aplicação   semana 12   integral definida, teorema fundamental do cálculo e áreas
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lista de aplicação semana 12 integral definida, teorema fundamental do cálculo e áreas


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Universidade de Bras´\u131lia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a\u2dco \u2013 Semana 12
Temas abordados : Integral Definida, Teorema Fundamental do Ca´lculo e A´reas
Sec¸o\u2dces do livro: 5.3, 5.5 e 5.6
1) Seja f : [a, b]\u2192 R uma func¸a\u2dco cont´\u131nua. Considere m e M os valores ma´ximo e m\u131´nimo
de f em [a, b], respectivamente.
(a) Use as propriedades da integral para verificar que\u222b b
a
m dx \u2264
\u222b b
a
f(x) dx \u2264
\u222b b
a
M dx.
(b) Usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, conclua que existe c \u2208 [a, b] tal que
f(c) =
1
b\u2212 a
\u222b b
a
f(x) dx.
(c) Usando o mesmo racioc´\u131nio mostre que, se p : [a, b]\u2192 R e´ uma func¸a\u2dco na\u2dco negativa
tal que
\u222b b
a
p(x)dx > 0, enta\u2dco existe c \u2208 [a, b] tal que
f(c) =
\u222b b
a
f(x)p(x) dx\u222b b
a
p(x) dx
.
2) Considere a func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(x) = x3. Divida o intervalo [0, 1] em n
partes iguais como o indicado na figura abaixo e resolva os itens a seguir.
(a) Defina, para cada i = 1, 2, . . . , n, o ponto x\u2217i = i/n e calcule f(x
\u2217
i ).
(b) Defina agora \u2206xi = 1/n e calcule
n\u2211
i=1
f(x\u2217i )\u2206xi (1)
usando a seguinte fo´rmula
n\u2211
i=1
i3 =
(
n(n+ 1)
2
)2
.
a b c
d
e
f
x
y
(c) Lembrando que a integral
\u222b 1
0
f(x)dx e´ o limite, quando n\u2192 +\u221e, do somato´rio em
(1), encontre a a´rea delimitada pelo gra´fico da func¸a\u2dco e o eixo Ox.
Lista de Fixac¸a\u2dco da Semana 12 - Pa´gina 1 de 3
3) Suponha que, no instante t, a posic¸a\u2dco em relac¸a\u2dco a` origem de uma part´\u131cula que se
desloca ao longo de uma reta seja dada por s(t) =
\u222b t
0
v, em que v : [0, 9] \u2192 R e´ a
func¸a\u2dco velocidade, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Considere ainda que t seja dado
em segundos, que s(t) seja dada em metros e que, para 0 \u2264 t \u2264 3, o gra´fico de v(t) seja
um segmento de reta. A partir do gra´fico da func¸a\u2dco velocidade, julgue os itens a seguir.
(a) A part´\u131cula esta´ se afastando da origem
entre os instantes t = 5 e t = 6.
(b) A part´\u131cula percorre menos de 4 metros
nos primeiros 3 segundos.
(c) No instante t = 6 a part´\u131cula esta´ na ori-
gem.
(d) No instante t = 9 a posic¸a\u2dco da part´\u131cula
e´ positiva.
(e) O espac¸o total percorrido pela part´\u131cula
e´ igual a
\u222b 6
0
v \u2212
\u222b 9
6
v.
f
\u20132
\u20131
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
4) Considere a curva g(x) =
1
1 + x2
, definida para 0 \u2264 x \u2264 t. Ao girarmos o gra´fico de g
em torno do eixo Oy obtemos um so´lido cujo volume e´ dado por
V (t) =
\u222b t
0
2pixg(x) dx = pi
\u222b t
0
2x
1 + x2
dx
(a) Verifique que a func¸a\u2dco G(x) = ln(1 + x2) e´ uma primitiva de (2x)/(1 + x2).
(b) Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo para calcular o volume do so´lido no caso em
que t = 2.
(c) Calcule V (t) para t \u2265 0.
(d) Calcule agora V \u2032(t) e, em seguida, determine limt\u2192\u221e V \u2032(t).
Lista de Fixac¸a\u2dco da Semana 12 - Pa´gina 2 de 3
5) A figura ao lado indica a a´rea delimitada pelos gra´ficos das func¸o\u2dces
f(x) = 2\u2212 2x2
e
g(x) = | sen(pix)|,
com x \u2208 [\u22121, 1]. Use a integral definida para
calcular o valor dessa a´rea.
6) Para cada a > 0, seja S(a) a a´rea delimitada pelo gra´fico da func¸a\u2dco f(x) = 1/(1 + x2),
com x \u2208 [\u2212a, a], e o eixo Ox (veja figura abaixo). Como f e´ par, pode-se calcular a a´rea
S(a) como sendo o dobro da a´rea compreendida no primeiro quadrante.
(a) Utilize a substituic¸a\u2dco trigonome´trica x = tan(\u3b8) para encontrar uma primitiva para
a func¸a\u2dco 1/(1 + x2).
(b) Determine a a´rea S(a) indicada em func¸a\u2dco
do nu´mero a.
(c) Calcule lim
a\u2192+\u221e
S(a) verificando que, apesar
da regia\u2dco sob o gra´fico de f ser ilimitada
quando a\u2192\u221e, sua a´rea e´ finita.
Gabarito
1.
2. (a)
i3
n3
(b)
(n+ 1)2
4n2
(c)
1
4
3. Itens corretos: (a), (d), (e)
4. (a)
(b) V (2) = pi ln(5)
(c) V (t) = pi ln(1 + t2)
(d) V \u2032(t) = (2pit)/(1 + t2) e limt\u2192\u221e V \u2032(t) = 0.
5. A a´rea e´ igual a
8
3
\u2212 4
pi
6. (a)
\u222b
1/(1 + x2) dx = arctg(x) +K
(b) S(a) = 2 arctg(a)
(c) a a´rea total e´ igual a pi
Lista de Fixac¸a\u2dco da Semana 12 - Pa´gina 3 de 3