IHAC-UFBa-AM-Aula8-ContinuacaoAlgoritmosFinal

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 8 – Ainda Algoritmos / 
Divisão – Raiz Quadrada – 
Metodologia de Resolução de 
Problemas 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Tópicos da Apresentação 
 Algoritmo da Divisão (Longo) 
 Ilustração de um grave problema no ensino 
 Aplicação do Material Dourado 
 Compreensão do algoritmo da divisão 
 Inicio da Matematica Abstrata: Raiz 
Quadrada 
 Método de Resolução de Problemas de 
George Pólya 
 O Método dos Quatro Passos 
 Aplicação do Método de Newton 
 Problema de Diofanto 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Super 138 (1999) 83 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Algoritmo Divisão 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Algoritmo (Longo) Divisão 
165 0,5 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
165 0,5 
06 2 
Algoritmo (Longo) Divisão 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
165 0,5 
06 2 
05 12 
Algoritmo (Longo) Divisão 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
165 0,5 
06 2 
05 12 
0 10 
330 
+ 
Algoritmo (Longo) Divisão 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
165 0,5 
06 2 
05 12 
0 10 
330 
traduz - se por: 
100 ÷ 0,5 = 200 
60 ÷ 0,5 = 120 
5 ÷ 0,5 = 10 
330 
+ 
Algoritmo (Longo) Divisão 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Existem outros algoritmos 
da divisão que não 
somente o tradicional, 
ensinado nas escolas. 
Exemplo para casa: uso 
do ‘material dourado’ 
Super 25 (1989) 
Artigo no site: www.moodle.ufba.br 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Para Casa: Uso Material Dourado1 
798 6 
19 133 
18 
0 
Passo 1: Representar o número 798 com 
o material dourado 
Passo 2: Para dividir 798 por 6 basta distribuir igualmente 798 em 6 grupos 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Para Casa: Uso Material Dourado2 
Passo 3: Distribuir em 
centenas 
Passo 4: Desagrupar a 
centena restante 
transformando-a em 10 
dezenas. Tem-se então 19 
dezenas 
Passo 5: Distribuir as 
dezenas 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Para Casa: Uso Material Dourado3 
Passo 6: Desagrupar a dezena restante transformando-a em 10 unidades. 
Obtém-se assim 18 unidades 
Passo 7: Finalmente distribuem-se as unidades 
Notar que, em cada um dos 6 grupos tem-se 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é, 
seu resto é zero 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Início da Matemática 
Abstrata: Notação Raiz 
Quadrada 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
3 
3 
radix quadratum 9 aequalis 3 
rad quad 9 ae 3 
ra 9 3 
r 9 3 
√ 9 3 
rad 9 3 
Aplicação: calcular 
a área do seguinte 
quadrado: 
rad 2 
rad 2 
rad 2 ⋅ rad 2 2 
r2 ⋅ r2 2 
√ 2 √ 2 2 
Conclusão: radix não é raiz, significa lado 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Início da Matemática 
Abstrata: Cálculos da 
Raiz Quadrada 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Construção Geométrica 
Simples da Raiz Quadrada 
 Geometricamente, é relativamente fácil 
construir os números irracionais, como a raiz 
de dois, a partir da reta real com régua, 
compasso e o uso do Teorema de Pitágoras: 
 Para casa: da construção acima, verifique 
que a raiz quadrada de quatro é dois com 
régua e compasso. 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Construção Euclideana: 
Descartes1 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Considere que se deseje 
calcular a raiz quadrada de 3. 
Utilizando apenas régua e 
compasso, construa uma linha 
reta GH deste comprimento. 
Estenda a linha de FG (reta 
unitária), sendo K o centro da 
linha FH. 
Construção Euclideana: 
Descartes2 
F H K 
 Com régua e compasso construa um arco a partir do centro K 
de FH, tendo estabelecido a reta unitária FG (lembrando que o 
comprimento FG corresponde a 1 unidade). 
 A reta GI, perpendicular a FH, e que corta o arco em I 
corresponde ao resultado procurado (raiz quadrada de três). 
I 
G 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Construção Euclideana: 
Descartes3 
F H K 
I 
G 
 A explicação é bastante simples, observando 
a semelhança entre os dois triângulos: 
GH 
GI 
= GI 
FG 
⇔ 
GH × FG = GI × GI ⇔ 
GH × FG = ( GI )2 ⇔ 
 Como: temos que: FG = 1 GH × 1 = ( GI )2 ⇔ 
GH = ( GI )2 ⇔  Portanto: √ GH = GI 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Raiz Quadrada dos Primeiros 
20 Números Positivos 
 √ 1 = 1 
 √ 2 ≈ 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462... 
 √ 3 ≈ 1,732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016909... 
 √ 4 = 2 
 √ 5 ≈ 2,236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638... 
 √ 6 ≈ 2,449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457... 
 √ 7 ≈ 2,645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230... 
 √ 8 ≈ 2,828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924... 
 √ 9 = 3 
 √10 ≈ 3,162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639... 
 √11 ≈ 3,316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609... 
 √12 ≈ 3,464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033818... 
 √13 ≈ 3,605551275463989293119221267470495946251296573845246212710453056227166948293... 
 √14 ≈ 3,741657386773941385583748732316549301756019807778726946303745467320035156307... 
 √15 ≈ 3,872983346207416885179265399782399610832921705291590826587573766113483091937... 
 √16 = 4 
 √17 ≈ 4,123105625617660549821409855974077025147199225373620434398633573094954346338... 
 √18 ≈ 4,242640687119285146405066172629094235709015626130844219530039213972197435386... 
 √19 ≈ 4,358898943540673552236981983859615659137003925232444936890344138159557328203... 
 √20 ≈ 4,472135954999579392818347337462552470881236719223051448541794490821041851276... 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Início da Matemática 
Abstrata: Uma Solução 
de uma Equação do 
Segundo Grau 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Uma Solução Geométrica de 
uma Equação de Segundo Grau 
 Descartes sugeriu uma 
interpretação da equação de 
segundo grau: z2 = az + b2. 
z = a + a2+ b2 1 2 
1 
4 √ 
 A partir do Teorema de Pitágoras 
note que: LM2+NL2 = (z−a/2)2. 
M L 
P 
N 
O LM = b 
b 
OP = a 
OM = z 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 A Arte de Resolver 
Problemas – George 
Pólya 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Resolução de Problemas 
George Pólya (1887-1985) 
Professor Emérito, 
Universidade de Stanford 
 Método dos 4 Passos 
1. Compreender o enunciado 
2. Planejar a resolução do 
problema, ou seja, explorar 
estratégias de resolução 
3. Resolver o problema 
4. Verificar a solução livro no site do curso: 
www.moodle.ufba.br 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 
i) É um item tão óbvio que nem sempre é mencionado 
ii) Compreenda o que é perguntado e o que é solicitado 
iii) Tente reinterpretá-lo com suas próprias palavras 
iv) As informações são suficientes para solucionar o problema? 
A Arte de Resolver 
Problemas1 
George Pólya 
‘O vento da liberdade sopra’ 
i) Procure semelhanças com outros problemas 
ii) Tente reduzir o problema a outro mais fácil 
iii) Experimente e procure regularidades / Faça um esquema 
iv) Modifique o problema. Altere qualquer dado no enunciado 
v) Escolha uma boa notação. Isso facilitará a organização
dos dados e a 
compreensão 
vi) Se for possível, explore a simetria 
vii) Suponha a negação de algum fato. Veja aonde isto o levará 
viii) Suponha o problema resolvido 
ix) Pense em técnicas gerais 
 1. Antes de resolver, procure entender 
 2. Procure estratégias 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
A Arte de Resolver 
Problemas2 
i) Explore as melhores idéias que lhe ocorreram na fase anterior 
ii) Explore uma a uma, e não misture os princípios 
iii) Não desista facilmente. Mas também não insista num única idéia. Se 
a resolução se complicar demais, provavelmente haverá outro 
caminho 
iv) Chegou a um resultado? Tem certeza? Analise sua solução com 
mais cuidado 
 4. Extraia o sumo do problema, verifique tudo 
George Pólya 
i) Examine a fundo o caminho que seguiu. Como chegou (ou não) à 
solução? 
ii) Tente entender a resolução do problema 
iii) Agora tente resolver de uma forma mais simples 
iv) Analise até que ponto pode chegar com o método que escolheu 
v) Reflita sobre seu raciocínio e tire conclusões 
 3. Explore sua estratégia 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Exemplo: Método de 
Newton 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Método de Newton 
Isaac Newton (1642-1727), físico e matemático inglês 
Obra não-autorizada (1707), das 
notas de aula de Newton. Versões 
posteriores (1720), incluindo em 
inglês (1722), continuaram sem 
receber crédito de Newton 
 Um negociante tinha certa soma em 
dinheiro. No primeiro ano, gastou cem 
libras, e acresceu o restante de um terço 
deste. No ano seguinte, gastou cem libras 
e aumentou a quantia restante de um 
terço da mesma. No terceiro ano, gastou 
novamente 100 libras e, depois, 
acrescentou sua terça parte; com isso seu 
capital atingiu o dobro do inicial 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 
7a. 
M
é
to
d
o
 d
o
s 
4
 P
a
ss
o
s 
Projeto Araribá 
Editora Moderna 
(2005) 
A Arte de Resolver 
Problemas: Exemplo 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
 Heurística: estudo dos métodos 
e descobertas da invenção 
 A boa escola: é aquela que permite aos estudantes 
descobrir e encontrar soluções por si mesmos 
 Se você não consegue resolver um problema, então 
deve haver algum outro mais fácil que você consiga – 
encontre-o 
 Matemática não serve para espectadores 
 Para ser um bom matemático, jogador de 
biriba ou qualquer coisa, é necessário intuição 
 Uma grande descoberta resolve um grande problema, 
mas sempre há um grão de descoberta na solução de 
qualquer problema 
George Pólya 
Citações: Pólya 
Arquimedes 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Enigmas: Túmulo de Diofanto 
& Soma das Idades 
Universidade 
Federal 
da Bahia 
Referências 
 Dez Mandamentos para Professores - Revista 
do Professor de Matemática 10 (1987) 
 A Arte de Resolver Problemas – George Pólya 
 Tópicos de História da Matemática para uso em 
Sala de Aula: Cálculo – Carl B. Boyer 
 A History of Mathematics – Florian Cajori 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 History of Mathematics: from Mesopotamy to 
Modernity – Luke Hodgkin 
 History of Mathematics: An Introduction – David 
M. Burton 
 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Algoritmo (Longo) Divisão
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Para Casa: Uso Material Dourado1
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Construção Geométrica Simples da Raiz Quadrada
	Construção Euclideana: Descartes1
	Construção Euclideana: Descartes2
	Slide Number 20
	Raiz Quadrada dos Primeiros 20 Números Positivos
	Slide Number 22
	Uma Solução Geométrica de uma Equação de Segundo Grau
	Slide Number 24
	Resolução de Problemas
	A Arte de Resolver Problemas1
	A Arte de Resolver Problemas2
	Slide Number 28
	Método de Newton
	A Arte de Resolver Problemas: Exemplo
	Citações: Pólya
	Enigmas: Túmulo de Diofanto & Soma das Idades
	Referências