APOSTILA + EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA BÁSICA 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. FRAÇÕES........................................................................................................... 5 
1.1 Adição e Subtração....................................................................................................................................... 5 
1.2 Multiplicação ................................................................................................................................................ 5 
1.3 Divisão .......................................................................................................................................................... 5 
1.4 Número Misto .............................................................................................................................................. 5 
1.5 Conversão de Número Decimais em Fração ................................................................................................. 5 
1.6 TESTES .......................................................................................................................................................... 6 
2. POTENCIAÇÃO ................................................................................................ 11 
2.1 Regra de sinais: .......................................................................................................................................... 11 
2.2 Casos Particulares: ..................................................................................................................................... 11 
2.3 Propriedades .............................................................................................................................................. 11 
2.4 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 13 
2.5 TESTES ........................................................................................................................................................ 14 
3. RADICIAÇÃO .................................................................................................... 19 
3.1 Propriedade dos radicais: ........................................................................................................................... 19 
3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................................. 21 
3.3 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 22 
3.4 TESTES: ....................................................................................................................................................... 23 
4. FATORAÇÃO .................................................................................................... 29 
4.1 Fator Comum .............................................................................................................................................. 29 
4.2 Agrupamento ............................................................................................................................................. 29 
4.3 Diferença de dois Quadrados ..................................................................................................................... 29 
4.4 Trinômio Quadrado Perfeito ...................................................................................................................... 29 
4.4.1 Trinômio quadrado da forma 
cbxax 2
 ........................................................................................ 29 
4.5 Principais Produtos Notáveis ...................................................................................................................... 29 
4.6 Exercícios.................................................................................................................................................... 32 
4.7 TESTES ........................................................................................................................................................ 36 
 
 
5. PÔLINÔMIOS ................................................................................................... 39 
5.1 Função Polinomial: ..................................................................................................................................... 39 
5.1.1 Definição: ................................................................................................................................................... 39 
5.2 Polinômio Idêntico a Zero ou Identicamente Nulo: .................................................................................... 40 
5.3 Polinômios Idênticos:.................................................................................................................................. 40 
5.4 Valor Numérico de um Polinômio:.............................................................................................................. 42 
5.5 Adição e Subtração de Polinômios: ............................................................................................................ 43 
5.5.1 Adição: ....................................................................................................................................................... 43 
5.5.2 Subtração: .................................................................................................................................................. 43 
5.6 Multiplicação de Polinômios: ..................................................................................................................... 44 
5.7 Divisão de Polinômios: ............................................................................................................................... 45 
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ............................................................... 45 
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: ........................................................................................ 47 
5.7.3 Divisão de 
)(xP
 por 
)( bax 
, 
0a
 ............................................................................................. 48 
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ........................................................................................................... 49 
5.8 Equações Polinomiais: ................................................................................................................................ 50 
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau: ........................................................................... 50 
5.8.2 Raízes Múltiplas: ........................................................................................................................................ 50 
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ................................................................................................................... 51 
5.9 Exercícios .................................................................................................................................................... 53 
6. TRIGONOMETRIA ............................................................................................ 66 
6.1 Trigonometria Básica ................................................................................................................................. 66 
6.1.1 Tabelas .......................................................................................................................................................66 
6.1.2 QUADRANTES ............................................................................................................................................. 66 
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais .................................................................................................. 66 
6.2 Exercicios de Sala ....................................................................................................................................... 67 
6.3 Operação com Arcos .................................................................................................................................. 73 
6.3.1 Adição e Subtração: ................................................................................................................................... 73 
6.3.2 Arco Duplo .................................................................................................................................................. 73 
6.3.3 Arco Metade............................................................................................................................................... 73 
6.3.4 Transformação em produto ....................................................................................................................... 73 
7. LOGARITMOS .................................................................................................. 74 
 
 
7.1 Logaritmo decimal ( base 10 ) : .................................................................................................................. 75 
7.2 Logaritmo neperiano ( base e ) : ................................................................................................................ 75 
7.3 Consequências da Definição: ...................................................................................................................... 75 
7.4 Propriedades: ............................................................................................................................................. 75 
7.5 Mudança da base a para a base b : ......................................................................................................... 76 
7.6 Exercícios de Sala ....................................................................................................................................... 76 
 
 
 
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a
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 5 
1. FRAÇÕES 
1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 

3
2
2
3 
 
 
 

8
1
3
2
4
1 
 
1.2 MULTIPLICAÇÃO 
 

5
3
7
2 
 
 







5
2
2
1 
 
1.3 DIVISÃO 
 

3
2
7
5 
 
 5
2
3
= 
 
 
3
2
5
 
 
 
1.4 NÚMERO MISTO 
 

5
4
3
 
 
 

2
1
1
 
 
 
1.5 CONVERSÃO DE NÚMERO 
DECIMAIS EM FRAÇÃO 
 0,32 = 
 
 1,315 = 
 
 
 0,2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6 
1.6 TESTES 
1) 
16
5
8
3
4
1

 é igual a: 
a) 
8
5 
b) 
16
13 
c) 
16
5 
 d) 
5
8 
 e) n.d.a. 
2) Efetuando 
9
2
14,0
3
2
1 






 obtém: 
 a)
3
95 
 b) 
5
 
c) 
3
 
d) 
55
93 
e) n.d.a. 
 
 
3) (MARÍLIA) - Os fatores primos de 1008 são: 
a) 1, 2, 3, 4, 7, 9 
b) 1, 24, 32, 7 
c) 2, 3, 7 
d) 24, 32, 7 
 
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 7 
4) A fração equivalente a 
16
9 que tem numerador 54 é: 
a) 
16
54 
b) 
96
54 
c) 
66
54 
d) 
116
54 
e) n.d.a. 
5) (PUC) – O valor da expressão 
2
1
8
1
8
2

 é: 
a) 
16
3 
b) 
16
5 
c) 
8
1 
d) 
4
3 
e) n.d.a. 
 
6) Efetuando-se 
4
1
1
5
1
2
10
3
4 






 obtém-se: 
a) 
8
65 
b) 
5
1
5
 
c) 
8
1
8
 
d) 
5
1
3
 
e) 
2
1
40
 
 
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 8 
7) (FMU) - O valor de 













2
1
1
5
1
3
2
4
3 é: 
a) 
120
17 
b) 
102
5 
c) 
12
10 
d) 
15
17 
e) n.d.a. 
 
8) Calculando-se 
  
5
2
2222 
 encontra-se: 
a) 
17
1
1
 
b) 
5
1
1
 
c) 
17
2
1
 
d) 
17
12 
e) n.d.a. 
 
 
9) (FMU) – Efetuando-se 
10
6
3
5
1
6
1
3 






 tem-se: 
a) 
2
3 
b) 
6
27 
c) 
2
 
d) 
12
5 
e) 
6
1
4
 
 
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 9 
 
10) (PUC) – Uma firma gasta mensalmente 6.000 reais com material de escritório, 
3
2
dessa quantia com serviços de terceiros e 
4
1
 dela com transporte. O gasto em reais 
mensal em conjunto nesses três itens é: 
a) 10.000 
b) 11.500 
c) 12.000 
d) 15.000 
e) 16.000 
 
 
 
11) Se 
)]}24(31[28{24 x
então o valor de 
x
1
é igual a: 
a) 0 
b) 
2
1 
c) – 2 
d) – 
3
1 
e) não existe 
 
 
12) (BRASÍLIA) – A expressão 
5
1
1
3
1
5
1
1
1
1




 é equivalente a: 
a) 
2
3 
b) 
3
2 
c) 
3
1 
d) n.d.a. 
 
 
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 10 
13) Resolvendo 

























9
7
3
4
2
4
3
3
2
2
1 temos resultado igual a: 
a) 
3
5 
b) 
3
1 
c) 
3
4 
d) 
3
2 
e) 
3
 
 
 
14) 
3
4
3
2
5
1

 é igual a: 
a) 10 
b) 
10
1 
c) 
5
2 
d) 
2
10 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 - c d c b b b b b e 
1 b e a c c - - - - - 
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 11 
2. POTENCIAÇÃO 
2.1 REGRA DE SINAIS: 
 25 = 
 
 ( – 2 )4 = 
 
 – 2 4 = 
 
 ( – 2 )5 = 
 
2.2 CASOS PARTICULARES: 
 30 = 
 
 110 = 
 
2.3 PROPRIEDADES 
 Produto de potências de mesma base: mantém a base e somam-se os 
expoentes 
 
  53 22 
 
 
 32 xx
 
 
 
 4523 yxyx
 
 
 
 Divisão de potências de mesma base: mantém a base e subtrai-se os 
expoentes. 
 

3
5
2
2 
 
 
 

4
2
3
3 
 
 
 

7
3
a
a 
 
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 12 
 Produto elevado a uma potência: eleva-se cada fator a essa potência. 
 
2)2( x
 
 
 
5)3( xy Potência elevada a outra potência: tem por expoente o produto dos 
expoentes. 
 
32 )(x
 
 
 
 
252 ))((x
 
 
 
 
523 )2( yx
 
 
 Potência de fração: eleva-se, separadamente, o numerador e o denominador à 
potência. 
 






2
3
2 
 
 
 








3
2
y
x 
 
 
 






2
4
3 
 
 Potências de 10: 
 As potências de base 10 são formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros 
da quantidade do número do expoente. 
 Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado 
no denominador de uma potência cujo numerador é o 1. Podemos ainda 
escrevê-lo na forma decimal, sendo que o número do expoente indica a 
quantidade de dígitos após a vírgula. 
 
 
310
 
 
 2102
 
 
230000
 
 
310
 
 
00012,0
 
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 13 
 Potências de ordem superior: Cuidado, potência de ordem superior é 
diferente de potência elevada a outra potência. 
 
 232 
 

323
 
 
 Potências de números decimais: 
 
 
2)2,1(
 
 
2)13,0(
 
 
2)03,0(
 
 
2)003,0(
 
 
2)03,0(
 
 
3)2,0(
 
 Quantas casas decimais terá 
60)25,1(
? 
2.4 EXERCÍCIOS DE SALA: 
1) 32 
2)  42 
3) 
 2)5(
 
4) 
 3)5(
 
5) 322 
6) 
 13 )2(
 
7) 
 1053 452)3(
 
8) 
 4103,2
 
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 14 
9) 
4)02,0(
 
10) Achar a metade de 222 
 
2.5 TESTES 
1) 50 é igual a: 
 
a) 2 
b) 5 
c) 1 
d) 0 
e) n.d.a 
 
2) 
0820 )32( 
 é igual a: 
a) 528 
b) 5 
c) 6 
d) 1 
e) n.d.a 
 
3) A expressão   062 3
4
1
2 

 
 é igual a: 
a) 2 
b) – 1 
c) – 2 
d) 3 
e) ¼ 
 
 
4) 0,0038 pode ser representado por: 
a) 38 . 104 
b) 3,8 . 10 –3 
c) 38 . 10 – 5 
d) 3,8 . 103 
e) n.d.a 
 
5) (23 . 34).(25 . 32) é igual a: 
a) 815 3.2 
b) 28. 36 
c) 22 . 32 
d) 614 
e) n.d.a 
 
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 15 
6) 
3)5(
 é igual a: 
a) 125 
b) – 125 
c) – 15 
d) 15 
e) n.d.a 
 
7) 
23
47
yx
yx é igual a: 
a) x4y2 
b) xy2 
c) x10y6 
d) xy 
e) n.d.a 
 
8) (23)4.(24)3 é igual a: 
a) 224 
b) 214 
c) 2 
d) 20 
e) 2.(23)4 
 
9) (x3y4)2 : [x (y2)3] vale: 
a) x4y 
b) x5y2 
c) x3y2 
d) x7y14 
e) n.d.a 
 
10) (PUC) - O valor de 
4
3
10
10

 é: 
a) 10 – 7 
b) 107 
c) 10 –1 
d) 101 
e) n.d.a 
 
11) 322 é igual a: 
 
a) 26 
b) 64 
c) 28 
d) 25 
e) n.d.a 
 
 
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 16 
12) O valor de 0,025 dividido por 4102  é: 
 
a) 12, 5 
b) 1,25 
c) 125 
d) 0,125 
e) n.d.a 
 
 
13) (LONDRINA) – O valor da expressão 12
2
3
6
5
3
2
4
1


























 é: 
a) 
3
1
 
b) 
9
4
 
c) 
3
2
 
d) 
2
3
 
e) 
4
9
 
 
 
14) Simplificando 
)84()42( 2232  
, obtém-se: 
a) 
54
1
 
b) 
16
1
 
c) 
8
3
 
d) 
11
3
 
e) 
5
17
 
 
15) 
])3()2(2[ 346 
é igual a: 
 
a) 64 
b) 32 
c) 45 
d) –21 
e) n.d.a 
 
 
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 17 
16) 30 2033 :)( aaa  é igual a: 
a) 7a 
b) 7a 
c) 8a 
d) 8
1

a 
e) 6a 
 
17) (S.CARLOS) – A expressão 
11
22




ba
ba é equivalente a: 
a) 
ab
ba

 22 
b) 
)(
22
abab
ab

 
c) 
ba
11

 
d) 
ba 
 
 
 
Questões abertas: 
18) A expressão 18223 13:64  vale: 
 
 
 
 
 
19) 3210 2223 x o valor de x é: 
 
 
 
 
20) 22
15
1
5
1
3
5
5















vale: 
 
 
 
 
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 18 
21) (LONDRINA) – Se 233
2
3
3
1
3
1
1



















x
, então 27x é: 
 
 
 
 
 
 
22) 
 
4
4
3
2
2
1
27
125
3
1
2














 vale: 
 
 
 
 
 
 
23) Assinale cada questão com V ou F 
( ) 0,0035 = 3,5 . 10 – 3 
( ) (22)3 =28 
( ) (0,2)3 = 0,008 
( ) (0,2) – 3 = 
8
103 
( ) (-23)2 = 64 
( ) 
4
4
3 1
x
xx
x

 
( ) 2 – 3 = 
6
1 
Gabarito 
 
23) V – F – V – V – V – F – F 
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 - C D B B B B A A B 
1 B C C C E D A B 69 07 
2 25 77 01 
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 19 
3. RADICIAÇÃO 
3.1 PROPRIEDADE DOS RADICAIS: 
nnn baba 
 
n
n
n
b
a
b
a

 n nn baba    n mmn aa  nnm m aa . 
nmm n aa .
 q
p
q p aa  
 
1) 
364
 
 
2) 
 28
 
3) 
 33 39
 
4) 
 33
 
5) 
12
 
6) 

25
16 
7) 

12
18 
8) 

3
3
2
54 
9) 
35
 
10) 
32 x
 
11)   27 3 
12)   23 2 
13)   22 
14) 
4 23
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 20 
15) 

6 35
 
16) 
8 81
 
17) 
4 25
 
18) 
3 2
 
19) 
3
 
20) 
3 32
 
21) 
 22232
 
22) 
 2312
 
23) 
 2712
 
24) 
 5028182
 
25) 753 = 
26) 
3
 
27) 

3 25
 
28) 235 = 
29) 2
1
2 = 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 21 
3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES 
 Racionalizar um denominador irracional é fazer com que não tenha radical, nem 
expoente fracionário. 
 
 Denominador monômio: 
y
yx
y
x

 Multiplica-se e divide-se por 
y
, 
denominado fatora de racionalização. 
 
 Quando o índice é maior que 2: 
y
yx
p
x
q pq
q p


 , fator de racionalização : 
q pqy 
 
 
 Denominador Binômio:  
  
 
ba
baN
baba
baN
ba
N






 2
 
 
Multiplica-se e divide-se pelo conjugado do denominador 
 
1) 

5
3 
2) 


x
x
3
1 
3) 

32
1 
4) 

5 3
1
x
 
5) 

10 753
2 
6) 

4 35
3 
Matemática BásicaProf
a
 Paula Benevides 
 22 
7) 

 632
1 
8) 

 2211
1 
9) 

 3223
5 
 
3.3 EXERCÍCIOS DE SALA: 
1) 213 = 
2) 

x
x
5
 
3) 322 = 
4) 

3
2
 
5) 

 352
x 
6) 

5 32
5 
7) 
 34 33
 
 
 
 
 
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a
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 23 
3.4 TESTES: 
Associar a cada uma das operações à direita um resultado da esquerda (01 a 05) 
1) 24 3.2 a) 8 
 
2) 62 b) 
3
2
 
 
3)  28 c) 12 
 
4) 
9
4 d) 
3
4
 
 
5) 
25
16 e) 
5
4
 
 
6) (FMU) – O valor da expressão 
402 1652 
 é: 
a) – 5 
b) 5 
c) 0 
d) 
4
3
 
e) 
2
1
 
 
 
7) 
4
81
625 é igual a: 
a) 
81
5
 
b) 
3
625
 
c) 
9
25
 
d) 
3
5
 
e) 
9
25 
 
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a
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 24 
8) 
832523 
 vale: 
a) 
25
 
b) 
88
 
c) 
22
 
d) 
628 
 
e) n.d.a 
 
9) 
44 555 
 é igual a: 
a) 4 35 
b) 12 25 
c) 1 
d) 5 
e) 64 25 
 
10) 
2683 
 é igual a: 
a) 
212
 
b) 
218
 
c) 36 
d) 
818
 
e) 72 
 
11) (CEFET-PR) - 
3
1
3
1
2
1
aaa 




 
, a número real positivo, é o mesmo que: 
a) 131 a 
b) 161 a 
c) 
a
a )1( 6
1
 
d) 131 a 
 
12) 7 52 é equivalente a: 
a) 572 
b) 752 
c) 122 
d) 5 72 
 
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a
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 25 
13) O valor de 
1
3
3









a
a é: 
a) 
3 a
 
b) a 
c) 
6 a
 
d) 
3
3a
 
 
14) 
1
3 8








 
a
pode ser escrito: 
a) 
2
a 
b) 
a
2 
c) 
a
2 
d) 
2
a 
 
 
15) 
4 b
b
 
pode ser escrito: 
a) 34b 
b) 43b 
c) 43b 
d) 34b 
 
16) x
x
x













2
1
1
 é igual a: 
a) xx 21 
b) xx 21 
c) 
x
 
d) 1 
e) n.d.a 
Matemática Básica Prof
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 26 
17) 
3
9
6
b
a

 pode ser escrito: 
a) 
b
a 
b) 
b
a2 
c) 32ba 
d) 1 
 
 
18) Racionalizando 
21
21

 temos: 
a) 
322 
 
b) 
322 
 
c) 
21
 
d) 
21
 
 
19) O valor de 
aaa 27121434 
é: 
a) 
a335
 
b) 
a3
 
c) 
a321
 
d) impossível 
 
20) Efetuando-se 4 3 8x resulta: 
a) 78x 
b) 
x
 
c) 83x 
d) 31x 
 
 
21) (CEFET-PR) – Calculando-se 
4)21( 
, obtém-se: 
a) 
241
 
b) 9 
c) 
21217 
 
d) 
21712
 
e) 
229
 
 
Matemática Básica Prof
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 27 
22) (SERGIPE) – O valor da expressão 
97854 
 é: 
 
a) 8 
b) 
73
 
c) 141 
d) 
316
 
 
23) Relacionado 
35
2

 temos: 
 
a) 
35 
 
b) 
35 
 
c) 
2
 
d) 
8
 
 
24) Racionalizando 
7 2
2 temos: 
 
a) 32 
b) 
7 64
 
c) 
2
27 
d) 
7 16
 
 
25) (LONDRINA) – O valor da expressão 
1,05,2 10249 
 é: 
 
a) – 83 
b) – 81 
c) 241 
d) 243 
e) 254 
 
 
26) 
432
 equivale a: 
 
a) 8 24 
b) 4 24 
c) 6 24 
d) 3 192 
 
 
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 28 
Questões abertas: 
27) O resultado de   363 24933  é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) (FEI) 
    1
1
3
2
2
1
1









= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) O valor da expressão     22 3212   é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 - C A A B E D D C D 
1 E B B C D B D C B C 
2 D C B A B C B 1 0 2 
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 29 
4. FATORAÇÃO 
4.1 FATOR COMUM 
)( yxaayax 
 
4.2 AGRUPAMENTO 
))(( yxnmnynxmymx 
 
4.3 DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 
))((22 yxyxyx 
 
4.4 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
222 )(2 bababa 
 
 e 
222 )(2 bababa 
 
4.4.1 Trinômio quadrado da forma 
cbxax 2
 
Supondo sejam 
1x
 e 
2x
 as raízes reais do trinômio 
)0(2  acbxax
, então: 
))(( 21
2 xxxxacbxax 
 
4.5 PRINCIPAIS PRODUTOS NOTÁVEIS 
a) 
22))(( bababa 
 
b) 
222 2)())(( bababababa 
 
c) 
222 2)())(( bababababa 
 
d) 
32233 33)( babbaaba 
 
e) 
32233 33)( babbaaba 
 
f) 
3322 ))(( babababa 
 
g) 
3322 ))(( babababa 
 
 
 
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a
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 30 
Exemplos: 
 Fatorar ou simplificar as expressões abaixo: 
1) 



xx
xxx
3
12
2
23 
2) 


h
h 25)5( 2 
3) 



xx
x
2
4
2
2 
4) 



2012
65
2
2
xx
xx 
5) 



6
44
2
2
tt
tt 
6) 




y
y
y
y
1
1
1
1
 
 
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 31 
 Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes: 
 
7) 
 )1025()25( 2 zz
 
8) 
 2)13()13( 22 xx
 
9) 
 2)13()22( 22 xx
 
10) 
 )3()3)(3( yxxxx
 
11) 
 )5(2)35()35( 22 aaa
 
 
12) 
 22 )4()5)(5()32( xxxx
 
 
 
 Fatore cada uma das expressões algébricas: 
13) 
1212x
 
14) 
 254 2z
 
15) 
 )2()2( xbxa
 
16) 
 dzczbxx
 
17) 
 xbxcxdcdbd
 
18) 
 169262 zz
 
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 32 
4.6 EXERCÍCIOS 
1) Fatorar ou Simplificar: 
a) 



2
42
x
x 
b) 



45
23
2
2
xx
xx 
c) 



xx
xx
2
3 
d) 



2
652
x
xx 
e) 



1
122
x
xx 
f) 



1
1
2x
x 
g) 



3
92
x
x 
h) 



6
34
2
2
xx
xx 
i) 



)3)(12(
)9)(43(
2
22
xxx
xxx 
j) 



23
1
2
2
xx
x 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 33 
k) 


tt 16)4( 2 
l) 



43
56
2
2
xx
xx 
m) 



36
6
2y
y 
n) 



23
4
2
2
xx
x 
o) 



1
1
2
3
x
x 
 
 
2) Simplififque as expressões: 
 
a) 




2
11
1
1
1
1
tt
tt
 
 
 
 
b) 






xx
x
xx
x
2
4
3
9
2
2
2
2 
 
 
Matemática Básica Prof
a
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 34 
3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu 
conjugado e se possível simplifique. 
a) 



2
452
x
xx 
 
b) 



21
3
x
x 
 
c) 
 )31( x
 
 
d) 
 )43( 2 xxx
 
 
 
e) 



4
2
x
x 
 
f) 


t
t 5325 
 
 
g) 



1
1
h
h 
Matemática Básica Prof
a
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 35 
h) 



4
)8(2 2
h
hh 
 
i) 



2
432
x
xx 
 
 
j) 



x
x 11 
 
k) 
 11 22 xx
 
 
 
l) 



21
3
x
x 
 
m) 



26
413
x
x 
 
n) 


t
abta2 
Matemática Básica Prof
a
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 36 
o) 



x
x
51
53 
 
 
 
4.7 TESTES 
4) 
3 2
2
35
2


 é igual a: 
a) 3 435  
b) 3 235  
c) 3 235  
d) 3 435  
e) 3 435  
 
5) (FUVEST) Qual o valor da expressão 
13
13
13
13




 : 
a) 
3
 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 
2
 
 
 
 
6) (F.M. SANTA CASA – SP) A soma 
1)12(3)12(3)12(1 23  xxx
 
equivale a: 
a) 38x 
b) 32x 
c) 
18 3 x
 
d) 
2128 23  xx
 
e) 
66128 23  xxx
 
 
 
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a
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 37 
7) (F.G.V. – SP) A expressão 
3
32322 
E
 tem como valor: 
a) 1 
b) 
2
 
c) 
3
 
d) 
6
 
e) 5 
 
 
8) (UFGO) Simplificando 
22
23 )(2)(
yx
xyyyx

 temos: 
a) 
yx
yx

 2)( 
b) 
22yxyx 
 
c) 
yx 
 
d) 
yx 
 
e) 
yx
yx

 22 
 
 
 
9) (F.G.V. – SP) Simplificando a expressão 
6
223
)3(
)3()2(3)3)(2(2


x
xxxx , 
obtêm-se: 
 
a) 
3)3(
)2(


x
xx 
b) 
3)3(
)2(


x
xx 
c) 
4)3(
)2(


x
xx 
d) 
4)3(
)2(


x
xx 
e) 
4)3(
)2(5


x
xx 
 
 
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a
 Paula Benevides 
 38 
10) (MED – JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão 
baabba 2233 33 
 para 
3
3
2
23 
a
 e 
3
3
2
23 
b
 é: 
 
a) 
293 
 
b) 
293 
 
c) 
8
 
d) 
5.13
 
e) 
32
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1) Fatorar ou Simplificar: 
a) 
2x
 b) 
4
2


x
x c) x1 d) 3x e) 1x f) 
1
1
x
 g) 
3x
 
h) 
2
1


x
x i) 1x j) 
2
1


x
x k) t8 l) 
4
5


x
x m) 
6
1
y
 n) 
1
2


x
x 
o) 
1
12


x
xx 
2) Simplifique as expressões; a) 
)1()1(
2
2
3
 tt
t b) 
x
x 52  
 
3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado 
e se possível simplifique. 
a) 
)2)(1(  xx
 b) 
)21( x
 c) 
31
4


x
x d) 
xxx
x


43
43
2
 
e) 
2
1
x
 f) 
5325
3
 t
 g) 
1
1
h
 h) 
hh
h


)8(2
4
2
 
i) 
)2)(1(  xx
 j) 
11
1


x
 k) 
121
2
2  xx
 
l) 
)21( x
 m) 
x
x
413
)26(4

 n) 
abta
b
2
 o) 
x
x


53
)51(1 
 
4 5 6 7 8 9 10 
A B C D C D E 
 
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 39 
5. PÔLINÔMIOS 
5.1 FUNÇÃO POLINOMIAL: 
5.1.1 Definição: 
Dados os números reais 
,,,,,,
121 onn
aaaaa 

 chamamos de polinômio na 
variável 
x
 toda expressão da forma: 
 
 
NnaxaxaxaxaxP nnn   ,...)(
01
2
2
11
0
 
 
Onde 
xaxaxaxa n
n
n
n 1
2
2
1
1
,,, 

 e 
0
a
 são os termos e 
121
,,,, aaaa
nn


 e 
0
a
 são 
os coeficientes do polinômio. 
Observações: 
 Se 
0
n
a
 , o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos 
nPgr )(
 
 Se 
0)( xP
, não se define o grau do polinômio. 
 
Exemplos: 
1) Assinale as expressões que representam polinômios? 
( ) 
13 3  xx
 
( ) 
3
11 
x
x
 
( ) 
53 23  xx
 
( ) 
735  xx
 
( ) 
xx 4
 
 
2) Em função das variáveis 
mk,
 ou 
a
, determinar os graus dos seguintes 
polinômio: 
a. 
73)( 2  xkxxP
 
 
 
 
 
 
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 40 
b. 
46)( 23  xmxkxxP
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
xxaxaxP 3)1()1()( 232 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: 
É qualquer polinômio 
01
2
2
11
0
...)( axaxaxaxaxP nnn  
 em que todos 
os coeficientes são nulos. 
 
0,...,0,00)(
11


aaaxP
nn
 e 
0
0
a
 
 
Notação:
0)( xP
 
5.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS: 
Dados os polinômios 
01
2
2
11
01
...)( axaxaxaxaxP nnn  
 e 
01
2
2
11
02
...)( bxbxbxbxbxP nnn  
, dizemos que 
)(
1
xP
 é idêntico a 
)(
2
xP
 se, 
e somente se, 
1111
,,, bababa
nnnn



 e 
00
ba 
. 
 
Assim: 
 
111121
,...,,)()( bababaxPxP
nnnn


 e 
00
ba 
 
 
Exemplos: 
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1) Determinar 
a
 e 
b
 para que o polinômio 
abxaxaxP  ).1().1()( 22
 seja 
identicamente nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar 
nm,
 e 
p
 para que 
pnxnmxnmxP  ).1().3()( 2
 seja 
identicamente nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular os valores de 
m
 e 
n
, de modo que 
)().(3 22 nmxxnmxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 42 
5.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:O valor numérico do polinômio 
01
2
2
11
01
...)( axaxaxaxaxP nnn  
, para 
x
 igual a um número qualquer 

 é: 
01
2
2
1
1
...)( aaaaaP n
n
n
n
 

 . 
 Na prática, para obter 
)(P
, basta substituir 
x
 por 

 em 
)(xP
. 
Observações: 
 Quando 
0)( P
, 

 é raiz de 
)(xP
. 
Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de 
65)( 2  xxxP
 
 
 
 
 
 
 
 Como 
 nn ,1)1(
, 
)1(P
 é a soma dos coeficientes de
)(xP
. 
Exemplo: Se 
14235)( 224  xxxxxP
, então 
)1(P
_______________ é a 
soma dos coeficientes de 
)(xP
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
)0(P
 é igual ao termo independente de 
)(xP
. 
Exemplo: Sendo 
caxaxaxxP  23)(
 e 
7)0( P
, determine a para que 1 
seja raiz de 
)(xP
. 
 
 
 
 
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 43 
5.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS: 
5.5.1 Adição: 
Dados os polinômios 
01
2
2
11
0
...)( axaxaxaxaxP nnn  
 e 
01
2
2
11
0
...)( bxbxbxbxbxQ nnn  
, a soma de 
)(xP
 com 
)(xQ
é dada por: 
 
 
)()(...)()()()(
0011
1
11
baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
 

 
5.5.2 Subtração: 
Dados os polinômios 
01
2
2
11
0
...)( axaxaxaxaxP nnn  
 e 
01
2
2
11
0
...)( bxbxbxbxbxQ nnn  
, a diferença entre 
)(xP
 e 
)(xQ
 é dada por: 
 
 
)()(...)()()()(
0011
1
11
baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
 

 
 
Observação: 
 Os polinômios 
)(xP
 e 
)(xQ
 não precisam ser necessariamente do mesmo grau. 
 
Exemplos: 
1) Dado os polinômios 
873)( 23  xxxxP
 e 
762)( 23  xxxxQ
, determine 
)(3)(2 xQxP 
 
 
 
 
 
 
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações: 
( ) Se 
)(xP
 e 
)(xQ
 são polinômios de mesmo grau 5, então 
)()( xQxP 
 tem sempre 
grau 5. 
( ) Se 
)(xP
 e 
)(xQ
 são polinômios de mesmo grau 3, então 
)()( xQxP 
 e tem 
sempre grau 3. 
( ) Se 
)(xP
 tem grau 5 e 
)(xQ
 e tem grau 3, então 
)()( xQxP 
 tem grau 5 
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 44 
5.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: 
O produto dos polinômios 
)(xP
 e 
)(xQ
 é o polinômio 
)().( xQxP
, obtido 
multiplicando-se cada termo de
)(xP
 por todos os termos de 
)(xQ
 e efetuando a redução 
dos termos semelhantes. 
Exemplos: 
1) Se 
1)( 23  xxxxP
e 
1)(  xxQ
, então 
)().( xQxP
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados 
1)( 2  xxxP
 e 
baxxQ )(
 determine a e b para que 
12)().( 23  xxxxQxP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dados 
1)( 3  xxP
 e 
baxxQ  2)(
, determinar a e b, sendo 
3)0().0( QP
 e 
5)1( Q
. 
 
 
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 45 
5.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: 
Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é 
obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: 
 
 A(x) | B(x) . 
 R(x) Q(x) 
 
A(x) 

 B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 

 0 ou gr(R) < gr(B) 
 
Observações: 
 A(x) é o dividendo 
B(x) é o divisor 
Q(x) é o quociente 
R(x) é o resto 
 Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata 
 Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B) 
 
Exemplo: 
Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de 
43)( 23  xxxA
 por 
1)( 2  xxB
 
 
 
 
 
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes 
 Já vimos que, na divisão A(x) por B(x): 
A(x) | B(x) . 
 R(x) Q(x) 
Temos: 








)()(
)()()(
)()().()(
BgrRgr
BgrAgrQgr
xRxQxBxA
 
 
 Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes 
de um polinômio em uma divisão. 
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 46 
Exemplos: 
1) Determinar o quociente e o resto da divisão de 
232)( 23  xxxxA
 por 
1)( 2  xxxB
 
Temos: 
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois: 
 )()()( BgrAgrQgr
 _________________________________ 
Logo: 
 Q(x) = _______________________________________________ 
Como 
)()( BgrRgr 
, sendo o divisor 
1)( 2  xxxB
, então 
)(Bgr
_____ e 
)(Rgr
 ____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________: 
)(xR
 __________________________ 
 
Como 
)()()()( xRxQxBxA 
, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 Comparando ambos os membros, temos: 
 
 Logo: 
 
)(xQ
_____________________________ e 
)(xR
 ____________________ 
 
2) Determinar 
k
, de modo que 
33  kxx
 seja divisível por 
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
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 47 
3) Determinar k e m de modo que 
kxmxxx  234 3
 seja divisível por 
xx 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: 
5.7.2.1 Teorema do Resto: 
O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a): 
P(x) = (x – a).Q(x) + R 
Fazendo x = a, vem: 
P(a) = (a – a). Q(a) + R 
P(a) 

 R 
5.7.2.2 Teorema de D’Alembert 
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0 
P(x) = (x – a).Q(x) + 0 
Fazendo x = a, vem: 
P(a) = (a – a). Q(a) + o 
 P(a) = 0 
 
Exemplos: 
1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de 
43)( 23  kxxxxP
 por 
2x
seja 10. 
 
 
 
 
 
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 48 
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios 
baxxxP 3)( 2 
 e 
baxxxQ  2)( 3
 sejam divisíveis por 
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.7.3 Divisão de 
)(xP
 por 
)( bax 
, 
0a
 
 Temos: 
 P(x) | ax + b 
 R Q(x) 
 
Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante. 
Fazendo 
a
b
x 
 em 
RxQbaxxP  )().()(
, vem: 
 
R
a
b
Qb
a
b
a
a
b
P 
























 
 
 
R
a
b
P 






 
 
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 49 
Logo, o resto da divisão de 
)(xP
 por 
)( bax 
 é 







a
b
PR
 
Exemplo: 
 Determinar k, de modo que 
2)( 23  kxxxxP
 seja divisível por 
12 x
 
 
 
 
 
 
 
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: 
O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado paradeterminar o quociente e o 
resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a) 
 
Exemplos: 
1) Obter o quociente e o resto da divisão de 
327343)( 2345  xxxxxxP
 por 
)1( x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q(x)=____________________________ e R(x)=_____________________________ 
 
R (x) 
Repetir o primeiro coeficiente 
valor de a 
Coeficiente de P(x) 
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 50 
2) Determinar o quociente e o resto da divisão de 
5252)( 34  xxxxP
 por 
)3( x
. 
 Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos. 
 
 
 
 
 
 
Q(x)=___________________________ e R(x) =________________________________ 
 
5.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS: 
Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma: 
 
0...
01
2
2
1
1
 

axaxaxaxa n
n
n
n
 
Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial 
0)( xP
 todo o número 

 
tal que 
0)( P
. 
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau: 
Se 
0)( xP
 é de grau n 
)1( n
 e tem raízes 
n
 ,...,,
21
, então 
)(xP
 pode ser 
decomposto em n fatores do 1o grau, sendo an (
1
aa
n

) o fator em evidência: 
 
))...()((...
2101
2
2
1
1 nn
n
n
n
n
xxxaaxaxaxaxa   

 
 
5.8.2 Raízes Múltiplas: 
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. 
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto 
é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será 
uma raiz tripla e assim sucessivamente. 
Se o número 

 for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado 
raiz simples ou raiz de multiplicidade 1. 
 
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 51 
Exemplos: 
1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação 
01244593224 23456  xxxxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais: 
Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros 
0...
01
2
2
1
1
 

axaxaxaxa n
n
n
n
 se o número racional 
q
p (com 
Zp
 e 
*Zq
, 
p e q primos entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an 
 
Exemplos: 
1) Resolver a equação 
064 23  xxx
 
Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________ 
Se p, é divisor de a0, então p  {________________________________________} 
Se q, é divisor de an, então q  {________________________________________} 
Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão 
q
p
, logo: 

q
p
{ ______________________________________________________________ } 
Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima. 
 
 
 
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 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolver a equação 
0615452 234  xxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 53 
5.9 EXERCÍCIOS 
1) Calcule m 

 R de modo que o polinômio 
75).1().1()( 2243  xxmxmxP
 
seja do 1o grau em relação 
xa
. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine 
m
 R, para que o polinômio
4).4().16()( 22  xmxmxP
 seja de 
grau 2. 
 
 
 
 
 
3) Calcule os valores de m, n e l para os quais 
)23().25().12()( 23 lxnxmxP 
 seja identicamente nulo. 
 
 
 
 
 
4) Dados 
cxbxaxA  ).1().1()( 2
 e 
cbxaxxB 3)( 2 
, calcule a, b e c para 
que A(x) + B(x) 

 0 
 
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5) Determine os valores de m, n e p, de modo que os polinômios abaixo sejam idênticos 
nxpnmxxpxpnmxP  )()1()()( 2341
 
mmxxpmxxP 25)72(2)( 232 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine os valores de a, b, c e d para que o polinômio 
)()( 3 dxbcxa 
 seja 
idêntico ao polinômio 
14156 23  xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Dado o polinômio 
14)( 23  xxxxP
, calcule: 
a) 
)2(P 
 
 
 
 
 
b) 
)0(
)1()1(
P
PP 
 
 
 
 
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 55 
c) 













2
1
2
)0(
3
1
P
PP
 
 
 
 
 
 
8) Ache o polinômio 
)(xP
 do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e 
2)1( P
e 
4)3( P
. 
 
 
 
 
 
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9) Se 
18313224512)( 23456  xxxxxxxP
, então 
)15(P
 é igual a : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dados os polinômios 
32)( 231  nxmxxxP
 e 
3)( 22  xxxP
, se 
)(1 xP
é 
divisível por 
)(2 xP
, então 
nm
é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
11) Dividindo um polinômio 
)(xP
 por 
)3( x
, resulta um resto 
7
 e um quociente de 
4x
. Qual é 
)(xP
? 
 
 
 
 
12) A divisão do polinômio 
)(xP
 por 
)( ax 
 fornece quociente 
1)( 23  xxxxQ
 e 
resto 
1)( aP
. Sabendo-se que 
15)0( P
, o valor de a é: 
 
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 57 
13) Dados os polinômios 
mxxmxP 23)3()( 3 
 e 
xmxmxmxQ )32()2()1()( 23 
, determine 
)().( xQxP
 de modo que 
1)( QPgr
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Sabendo-se que 
43
105
14 2 




 xx
x
x
B
x
A , calcular A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Se 
64242
1
2 





x
B
x
A
xx
x , então 2A + B é igual a: 
 
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 58 
16) Efetue a decomposição da fração, em soma de frações com denominadores do 1o 
grau. 
a) 
65
13
2 

xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
xxx
xx
23
4169
23
2


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17) Um polinômio 
cbxaxxxP  23)(
 que satisfaz as condições: 
0)1( P
; 
0)()(  xPxP
, qualquer que seja 
x
 real. Qual o valor de 
)2(P
?18) O resto da divisão do polinômio 
xxxxxxxP  392781243)(
, por 
1x
 é: 
 
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19) Dados os polinômios 
5102)( 23  xxxxA
, 
44)( 3  xxxB
, 
3)(  xxC
 e 
2)(  xxD
, determine o valor de:  
)(
)()(2)(
xC
xDxbxA  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Determine o valor de a para que o resto da divisão do polinômio 
12)( 3  xaxxP
 
por 
)3( x
 seja 4. 
 
 
 
 
 
 
 
21) Qual é o número real que se deve adicionar a 
xxxxP  23 2)(
, para se obter um 
polinômio divisível por
3x
? 
 
 
 
 
 
22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da 
divisão de: 
a) 
1325)( 234  xxxxxP
 por 
)2( x 
 
 
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a
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 61 
b) 
12)( 23  xxxP
 por 
)1( x 
 
 
 
c) 
235)( 2  xxxP
 por 
)3( x 
 
 
 
 
d) 
154)( 45  xxxP
 por 
)1( x 
 
 
 
 
e) 
232)( 23  xxxxP
 por 
)12( x 
 
 
 
 
f) 
12)( 2  xxxP
 por 
)32( x 
 
 
 
 
23) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule P(x): 
 
 
 
 
 
 
 
3 a b c d e 
2 - 1 1 - 2 1 
 
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 62 
24) Resolver as equações algébricas abaixo: 
a) 
010132 23  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
0183137 234  xxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
045 24  xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
0122 23  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
0313133 23  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 63 
f) 
08)2(10)4( 2  xxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
x
xx
xx



4
82
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
06116 3456  xxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
25) Determine todas as raízes da equação 
0)( xP
, sendo 
629369)( 2
3
 xxxxP
. Sabe-se que é divisível por 
)3( x
. 
 
 
 
 
 
 
 
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 64 
26) Uma raiz da equação 
064 23  xxx
 é igual a soma das outras duas. As raízes 
dessa equação são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) Determine o produto das raízes da equação 
06116 23  xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) 
1m
 
2) 
4m
 
3) 
5
2
;
2
1
 nm
 e 
2
3
l
 
4) 
2
1
;
2
1
 ba
 e 
0c
 
5) 
1m
; 
2n
 e 
3p
 
6) 
1a
, 
3b
, 
2c
 e 
2d
 
7) a) 
329 
 
 b) - 10 
 c) 
27
140 
8) 
2)( 2  xxxP
 
9) – 3 
10) 8 
11) 
572  xx
 
12) 16 
13) 
xxxxx 4342 2346 
 
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a
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 65 
14) A = 2 e B = 3 
15) 
2
3 
16) 
3
10
2
7
)




xx
a
 
 
2
4
1
32
)




xxx
b
 
17) 
6)2( P
 
18) 6 
19) 
22  xx
 
20) 
3
1
 
21) – 12 
22) a) 
443)( 23  xxxxQ
 e 
11)( xR
 
 b) 
12)( 2  xxxQ
 e 
0)( xR
 
 c) 
185)(  xxQ
 e 
56)( xR
 
 d) 
14)( 234  xxxxxQ
 e 
0)( xR
 
 e) 
xxxQ 22)( 2 
 e 
2)( xR
 
 f) 
2
1
)(  xxQ
 e 
4
1
)( xR
 
23) 
75472)( 234  xxxxxP
 
24) a) 
}2;1;5{
 
 b) 
}3;2;1{
 
 c) 
}2;1;2{ 
 
 d) 
}1;
2
1;1{
 
 e) 
}3;1;
3
1{
 
 f) 
}2;2{
 
 g) 
}2{
 
 h) 
}3;2;1;0{
 
25) 






3;
3
2
;
3
1 
26) 
}1;3;2{ 
 
27) P = 6 
 
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a
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 66 
6. TRIGONOMETRIA 
6.1 TRIGONOMETRIA BÁSICA 
 
 
c
b
 
 a adjacente cateto do medida
 a oposto cateto do medida
 tg
a
c
 
hipotenusa da medida
 a adjacente cateto do medida
 cos
a
b
 
hipotenusa da medida
 a oposto cateto do medida
 sen










 
 
6.1.1 Tabelas 
 
 
 
 
 
 
6.1.2 QUADRANTES 
 
 
 
 
 
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais 
x cotg 1 x cosecx tg 1 x sec 
sen x
1
 x cosec 
 xcos
1
 x sec 
 
 xtg
1
 x cotg 
 xcos
sen x
 x tg
1 cos sen 
 
2222
22



 xx
 
rad
6

 = 30° 
rad
4

 = 45° 
rad
3

 = 60° 
rad
2

 = 90° 
 rad = 180° 
 30° 45° 60° 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 1 
3
 
 0° 90° 180° 270° 360° 
sen 0 1 0 -1 0 
cos 1 0 -1 0 1 
tg 0 ∄ 0 ∄ 0 
 
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 67 
6.2 EXERCICIOS DE SALA 
1) Dado o triângulo retângulo da figura, calcule: 
a) 
sen
 
 
 
 
b) 
cos
 
 
 
 
c) 
tg
 
 
 
 
d) 
sen
 
 
 
 
e) 
cos
 
 
 
 
f) 
tg
 
 
 
 
 
2) Calcule a medida de x no triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a
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 68 
3) Calcule a medida de x no triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule a medida de x no triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sabendo que 
5
4
cos 
 calcule a medida de x 
 
 
 
 
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 69 
6) Sabendo que 
0,2senx 
 e 
x
 2°Q determine: 
a) 
xcos
 b) 
tgx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
xsec
 d) cosec x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) cotg x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Complete a tabela: 
 
 
Graus 
 
40 120 135 150 180 210 
 
Radianos 
 
 
5

 
10
3
 
3
5
 
12

 
3
20
 
 
Quadrante 
 
1° 
 
Matemática BásicaProf
a
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 70 
8) Calcule o valor da expressão: 
 
 
3
cos.
6
cos
 
3
sen . 
4
sen
 y 



 
 
 
9) Calcule o valor da expressão: 
 
3
cot.
6
tg
 
3
cos . 
4
sen
 y 


g

 
 
 
 
 
10) Calcule o valor da expressão: 
 
3
sec.
6
tg
 
3
sen
 y 



 
 
 
 
11) Calcule o valor da expressão: 
 
 
6
sec.
6
cosec
 
3
 cotg . 
4
 tg3
 y 



 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 71 
12) Provar a identidade 
xsenxx 442 cos12cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Provar a identidade 
xtgxsenx cos.
cotgx-1
cossecx - x sec

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Provar a identidade 
xxsenxx cos.cotcsc  
 
Matemática Básica Prof
a
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 72 
15) Provar a identidade 
12cos 244  xsenxsenx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) 
tgbtga
ba
tgbtga
.
cotcot


 
 
 
 
 
 
 
 
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a
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 73 
6.3 OPERAÇÃO COM ARCOS 
6.3.1 Adição e Subtração: 
 senb.cosa-sena.cosbb)sen(a
cos.cos.b)sen(a

 asenbbsena
 
 sena.senbcosa.cosbb)-cos(a
sena.senb-cosa.cosbb)cos(a


 
 
tga.tgb1
tgb-tga
b)-tg(a
.1
b)tg(a





tgbtga
tgbtga
 
6.3.2 Arco Duplo 
atg
tga
asena
2
22
1
2
tg2a
 coscos2a
2sena.cosasen2a




 
6.3.3 Arco Metade 
 
cos1
cos1
2
a
tg
2
cos1
2
a
cos
 
2
cos1
2
a
sen
a
a
a
a







 
 
6.3.4 Transformação em produto 
 
2
.
2
qp
-2sencosq-cosp
2
cos.
2
qp
2coscosqcosp
 
2
cos.
2
q-p
2sensenq-senp
2
cos.
2
qp
2sensenqsenp
qp
sen
qp
qp
qp








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
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 74 
Gabarito: 
 
Exercício 1: 
a) 0,8 
b) 0,6 
c) 1,33 
d) 0,6 
e) 0,8 
f) 0,75 
 
2) 
310x
 
3) 
)13(5 x
 
4) 
6x
 
5) 
6,3x
 
Exercício 6: 
a) 
5
62

 
b) 
12
6

 
c) 
12
65

 
d) 
5
 
e) 
62
 
 
8) 
2
 
9) 
4
23 
10) 
4
3 
11) 
4
3 
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
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 75 
7. LOGARITMOS 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 LOGARITMO DECIMAL ( BASE 10 ) : 
nn 10loglog 
 
Quando a base não estiver escrita, subentende-se que a base vale 10 
7.2 LOGARITMO NEPERIANO ( BASE E ) : 





 ) irracional número ( 2,71828 e 
Nlog Nln e 
7.3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO: 
 
7.4 PROPRIEDADES: 
 Mlog 
a
1
 Mlog Mlog
 Mlog a Mlog
 )
N
M
(log Nlog Mlog
 (MN)log Nlog Mlog
b
a
1
b
a
b
b
a
b
bbb
bbb




 
Matemática Básica Prof
a
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 76 
7.5 MUDANÇA DA BASE A PARA A BASE B : 
 
 a log 
 log 
 log
b
b NNa 
 
7.6 EXERCÍCIOS DE SALA 
1) Aplicando a definição, resolva as equações : 
a) 
2187log3x
 
 
 
b) 
000000001,0logx 
 
 
c) 
001,0logln 2  ex 
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 77 
d) 
e
x
1
ln1024log 2 
 
 
 
e) 
125log
625
1
log 55 x 
 
 
f) 
16log
64
1
log
2
4
1 x
 
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
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 78 
g) 
)001,0(loglog)9(loglog 334 x
 
 
 
 
h) 2ln15log32log3 23 23   ex 
 
 
 
2) Resolva as equações sabendo que 
301,02log 
 
a) 
02,010 x
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 79 
b) 
52 1 x
 
 
 
 
 
c) 
5log2 x
 
 
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 80 
d) 
1,05 12 x
 
 
 
 
 
e) 
20010 1 x
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 81 
f) 
14log
2
1

x 
 
 
 
g) 
12,0log.
5
2
log 3  x
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 82 
h) 
2
2
1
log
8
1
log  x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Resolver as equações : 
a) 
2log 2 x
 
 
b) 
3)2(log 32 x
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 83 
c) 
3)2(log 32 x
 
 
 
d) 
18log 2 x
 
 
 
e) 
18log 8 x
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 84 
f) 
1loglog 42  xx
 
 
 
4) Calcule o valor de 
)82(log 22  xxy
 quando: 
a) 
0x
 
b) 
2x
 
c) 
4x
 
d) 
4x
 
5) Calcule : 
5
766
3
5432 49log1log1log525log4log3log8log 
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 85 
6) Calcule : 4
1
log
1 2210logln  e
 
 
 
7) Resolva a equação 
2loglog 333  xx
 
 
8) Resolva a equação 
2
5
4loglog 4  xx
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 86 
9) Resolva a equação 
xx 22 loglog 
 
 
10) Resolva a equação 3log3log
3
2
xx xx 
 
 
 
Matemática Básica Prof
a
 Paula Benevides 
 87 
Gabarito: 
Exercício 1: 
a) 
7x
 
b) 
9xc) 
5x
 
d) 
2
21
x
 
e) 
1x
 
f) 
5x
 
g) 
impossívelx 
 
h) 
10
5524 e
x


 
 
Exercício 2: 
a) 
699,1x
 
b) 
322,1x
 
c) 
699,2x
 
d) 
215,0x
 
e) 
301,3x
 
f) 
796,1x
 
g) 
146,5x
 
h) 
699,1x
 
 
Exercício 3: 
a) 
10
1
x
 
b) 
0x
 
c) 
2
3
x
 
d) 
6x
 
e) 
8
63
x
 
f) 
4x
 
 
Exercício 4: 
a) Impossível 
b) Impossível 
c) Impossível 
d) 4 
 
5) 
30
7

 
6) 
4
5 
7) 
3
1
x
 
8) 
216  xex
 
9) 
100x
 
10) 
3
1
3  xex