Lista de exercícios 9: Integrais de linha

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Lista de exercícios 9
1. Em cada caso, determine equações paramétricas e uma equação vetorial para o segmento
de reta ligando os pontos P e Q:
(a) P = (0, 0, 0), Q = (1, 2, 3)
(b) P = (1,−1, 2), Q = (4, 1, 7)
(c) P = (1, 2), Q = (3,−1)
(d) P = (−2, 4), Q = (6,−1)
(e) P = (−2, 4, 0), Q = (6,−1, 2)
2. Calcule as seguintes integrais de linha:
(a)
∫
C
y ds onde C é a curva de equações paramétricas x = t2, y = t, t ∈ [0, 2]
(b)
∫
C
y
x
ds onde C é a curva de equações paramétricas x = t4, y = t3, t ∈ [1
2
, 1]
(c)
∫
C
xy4 ds onde C é a metade direita do círculo x2 + y2 = 16
(d)
∫
C
yex ds onde C é o segmento de reta que liga o ponto (1, 2) ao ponto (4, 7)
(e)
∫
C
xy + lnx ds onde C é o arco de parábola y = x2 de (1, 1) a (3, 9)
(f)
∫
C
xey ds onde C é o arco de curva x = ey de (1, 0) a (e, 1)
(g)
∫
C
xy dx +
∫
C
x − y dy onde C consiste dos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de
(2, 0) a (3, 2)
(h)
∫
C
sen x dx +
∫
C
cos y dy onde C consiste na metade superior da circunferência
x2 + y2 = 1 de (1, 0) a (−1, 0) e no segmento de reta de (−1, 0) a (−2, 3)
(i)
∫
C
xy3 ds onde C é a curva de equações paramétricas x = 4 sen t, y = 4 cos t, z = 3t,
t ∈ [0, pi
2
]
(j)
∫
C
x2y
√
z ds onde C é a curva de equações paramétricas x = t3, y = t, z = t2, t ∈ [0, 1]
(k)
∫
C
xeyz ds onde C é o segmento de reta que liga o ponto (0, 0, 0) ao ponto (1, 2, 3)
(l)
∫
C
z dx+
∫
C
x dy+
∫
C
y dz onde C consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1)
e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2)
1
(m)
∫
C
x2 dx +
∫
C
y2 dy +
∫
C
z2 dz onde C consiste nos segmentos de reta de (0, 0, 0) a
(1, 2,−1) e de (1, 2,−1) a (3, 0, 2)
3. Em cada caso, esboce o campo vetorial
−→
F :
(a)
−→
F (x, y) =
−→
i + x
−→
j
(b)
−→
F (x, y) =
−→
j
(c)
−→
F (x, y) = y
−→
i +x
−→
j√
x2+y2
(d)
−→
F (x, y) = y
−→
i −x−→j√
x2+y2
(e)
−→
F (x, y, z) = z
−→
j
(f)
−→
F (x, y, z) = y
−→
j
(g)
−→
F (x, y, z) = x
−→
j
(h)
−→
F (x, y, z) =
−→
j −−→i
4. Em cada caso, determine o campo gradiente da função f :
(a) f(x, y) = ln(x+ 2y)
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
5. Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde C é dada pela função vetorial −→r (t):
(a)
−→
F (x, y) = x2y3
−→
i − y√x−→j e −→r (t) = t2−→i − t3−→j , t ∈ [0, 1]
(b)
−→
F (x, y) = ex−1
−→
i + xy
√
x
−→
j e −→r (t) = t2−→i + t3−→j , t ∈ [0, 1]
(c)
−→
F (x, y, z) = yz
−→
i + xz
−→
j + xy
−→
k e −→r (t) = t3−→i − t2−→j + t−→k , t ∈ [0, 1]
(d)
−→
F (x, y, z) = sen x
−→
i + cos y
−→
j + xz
−→
k e −→r (t) = t3−→i − t2−→j + t−→k , t ∈ [0, 1]
(e)
−→
F (x, y, z) = z
−→
i + y
−→
j − x−→k e −→r (t) = t−→i + sen t−→j + cos t−→k , t ∈ [0, pi]
6. Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde −→F (x, y) = (x− y)−→i + xy√x−→j e C é o arco
de círculo x2 + y2 = 4 percorrido no sentido anti-horário de (2, 0) a (0,−2).
2
7. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
−→
F (x, y) = x
−→
i + (y + 2)
−→
j para
movimentar um objeto sobre a curva dada pela função vetorial
−→r (t) = (t − sen t)−→i +
(1− cos t)−→j , t ∈ [0, 2pi]
8. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
−→
F (x, y) = x sen y
−→
i + y
−→
j para
movimentar um objeto sobre a parábola y = x2 de (−1, 1) a (2, 4)
9. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
−→
F (x, y) = (y + z)
−→
i + (x + z)
−→
j +
(x + y)
−→
k sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de (1, 0, 0) a
(3, 4, 2).
10. Em cada caso determine se o conjunto é ou não: aberto, conexo e simplesmente conexo:
(a) {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}
(b) {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0}
(c) {(x, y) ∈ R2 | 1 < x2 + y2 < 4}
(d) {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 ou 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9}
11. Em cada caso, determine se
−→
F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma
função potencial para ele (ou seja, determine uma função f tal que
−→
F = ∇f):
(a)
−→
F (x, y) = (6x+ 5y)
−→
i + (5x+ 4y)
−→
j
(b)
−→
F (x, y) = (x3 + 4xy)
−→
i + (4xy − y3)−→j
(c)
−→
F (x, y) = xey
−→
i + yex
−→
j
(d)
−→
F (x, y) = ey
−→
i + xey
−→
j
(e)
−→
F (x, y) = (2x cos y − y cosx)−→i + (−x2 sen y − sen x)−→j
(f)
−→
F (x, y) = (1 + 2xy + lnx)
−→
i + x2
−→
j
(g)
−→
F (x, y) = (yex + sen y)
−→
i + (ex + x cos y)
−→
j
12. Em cada caso, determine uma função potencial para
−→
F e calcule a integral
∫
C
−→
F • d−→r ,
onde C é a curva dada:
(a)
−→
F (x, y) = y
−→
i + (x + 2y)
−→
j e C é a semi-circunferência superior que começa em
(0, 1) e termina em (2, 1).
(b)
−→
F (x, y) = x3y4
−→
i + x4y3
−→
j e C é a curva descrita pela função vetorial −→r (t) =√
t
−→
i + (1 + t3)
−→
j , t ∈ [0, 1]
3
(c)
−→
F (x, y, z) = yz
−→
i +xz
−→
j +(xy+2z)
−→
k e C é o segmento de reta de (1, 0,−2) a (4, 6, 3)
(d)
−→
F (x, y, z) = (2xz+ y2)
−→
i +2xy
−→
j + (x2 +3z2)
−→
k e C é a curva descrita pela função
vetorial
−→r (t) = t2−→i + (t+ 1)−→j + (2t− 1)−→k , t ∈ [0, 1]
(e)
−→
F (x, y, z) = y2 cos z
−→
i +2xy cos z
−→
j −xy2 sen z−→k e C é a curva descrita pela função
vetorial
−→r (t) = t2−→i + sen t−→j + t−→k , t ∈ [0, pi]
(f)
−→
F (x, y, z) = ey
−→
i + xey
−→
j + (z + 1)ey
−→
k e C é a curva descrita pela função vetorial
−→r (t) = t−→i + t2−→j + t3−→k , t ∈ [0, 1]
13. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
−→
F = 2y
3
2
−→
i + 3x
√
y
−→
j para mover
um objeto do ponto P = (1, 1) ao ponto Q = (2, 4).
14. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
−→
F = y
2
x2
−→
i − 2y
x
√
y
−→
j para mover um
objeto do ponto P = (1, 1) ao ponto Q = (4,−2).
15. Calcule as seguintes integrais de linha:
(a)
∮
C
xy2 dx+
∮
C
x3 dy, onde C é o retângulo de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3).
(b)
∮
C
y dx− ∮
C
x dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 1.
(c)
∮
C
−→
F •d−→r , onde −→F = xy−→i +x2y3−→j e C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
(d)
∮
C
−→
F • d−→r , onde −→F = x−→i + y−→j e C consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0)
e de (0, 0) a (1, 0) e na parábola y = 1− x2 de (1, 0) a (0, 1).
16. Em cada caso, calcule a integral de linha da função vetorial
−→
F ao longo da curva C dada
com orientação positiva:
(a)
−→
F = ey
−→
i + 2xey
−→
j e C é o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
(b)
−→
F = x2y2
−→
i + 4xy3
−→
j e C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 3) e (0, 3).
(c)
−→
F = (y + e
√
x)
−→
i + (2x + cos(y2))
−→
j e C é a fronteira da região delimitada pelas
parábolas y = x2 e x = y2.
(d)
−→
F = (xe−2x)
−→
i + (x4 + 2x2y2)
−→
j e C é a fronteira da região entre as circunferências
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
(e)
−→
F = y3
−→
i − x3−→j e C é a circunferência x2 + y2 = 4.
(f)
−→
F = sen y
−→
i + x cos y
−→
j e C é a elipse x2 + xy + y2 = 1.
4
17. Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde
(a)
−→
F = (
√
x+ y3)
−→
i + (x2 +
√
y)
−→
j e C consiste no arco de curva y = sen x de (0, 0)
a (pi, 0) e do segmento de reta de (pi, 0) a (0, 0).
(b)
−→
F = y2 cosx
−→
i +(x2+2y sen x)
−→
j e C é o triângulo de (0, 0) a (2, 6) a (2, 0) a (0, 0).
(c)
−→
F = (ex+x2y)
−→
i +(ey−xy2)−→j e C é a circunferência x2+y2 = 25 sendo percorrida
no sentido horário.
18. Em cada caso, determine o rotacional e a divergência do campo vetorial:
(a)
−→
F (x, y, z) = xyz
−→
i − x2y−→k
(b)
−→
F (x, y, z)= x2yz
−→
i + xy2z
−→
j + xyz2
−→
k
(c)
−→
F (x, y, z) =
−→
i + (x+ yz)
−→
j + (xy −√z)−→k
(d)
−→
F (x, y, z) = ex sen y
−→
i + ex cos y
−→
j + z
−→
k
(e)
−→
F (x, y, z) = lnx
−→
i + ln(xy)
−→
j + ln(xyz)
−→
k
19. Em cada caso, determine se
−→
F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma
função potencial para ele (ou seja, determine uma função f tal que
−→
F = ∇f):
(a)
−→
F (x, y, z) = yz
−→
i + xz
−→
j + xy
−→
k
(b)
−→
F (x, y, z) = 3z2
−→
i + cos y
−→
j + 2xz
−→
k
(c)
−→
F (x, y, z) = 2xy
−→
i + (x2 + 2yz)
−→
j + y2
−→
k
(d)
−→
F (x, y, z) = ez
−→
i +
−→
j + xez
−→
k
(e)
−→
F (x, y, z) = ye−x
−→
i + e−x
−→
j + 2z
−→
k
(f)
−→
F (x, y, z) = y cos(xy)
−→
i + x cos(xy)
−→
j − sen z−→k
20. Existe algum campo vetorial
−→
G em R3 tal que rot
−→
G = xy2
−→
i +yz2
−→
j +zx2
−→
k ? Justifique
sua resposta.
21. Existe algum campo vetorial
−→
G em R3 tal que rot
−→
G = yz
−→
i + xyz
−→
j + xy
−→
k ? Justifique
sua resposta.
5