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LISTA DE EXECÍCIOS AULA 2 – FÍSICA ELETRICIDADE ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA 1) Uma carga puntiforme q1 é mantida em repouso na origem. Uma segunda carga puntiforme q2 é colocada em um ponto a e a energia potencial elétrica desse conjunto de duas cargas é igual a +6,7x10-8 J. Quando a segunda carga se desloca até um ponto b, o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga é igual a -2,7x10-8 J. Qual é a energia potencial elétrica desse conjunto de cargas quando a segunda carga se encontra no ponto b? RESOLUÇÃO: De acordo com os dados fornecidos no enunciado, a energia potencial elétrica no ponto a é: 𝑈𝑎 = 6,7 × 10 −8𝐽 O trabalho da força elétrica quando a carga é deslocada do ponto a para o ponto b é: 𝑊𝑎→𝑏 = −2,7 × 10 −8𝐽 Lembrando que a relação entre trabalho e energia potencial elétrica é dado por: 𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 Logo: 𝑊𝑎→𝑏 = − (𝑈𝑏 − 𝑈𝑎) −2,7 × 10−8 = − (𝑈𝑏 − 6,7 × 10 −8) −2,7 × 10−8 = −𝑈𝑏 + 6,7 × 10 −8 𝑈𝑏 = 6,7 × 10 −8 + 2,7 × 10−8 Portanto a energia o potencial elétrico no ponto b, será: 𝑈𝑏 = 9,4 × 10 −8𝐽 2) Uma carga puntiforme Q=+5,80 µC é mantida em repouso na origem. Uma segunda carga puntiforme q=+2,10 µC com massa igual a 3,60x10-4 Kg é colocada sobre o eixo 0x a uma distância de 0,350 m da origem, conforme a figura. Dado: 𝜖0=8,854 x 10-12 C2/N.m2. Determine: a) Qual a energia potencial U das duas cargas, considerando U igual a zero quando a distância entre as cargas for infinita? b) Considerando que a segunda carga puntiforme é liberada do repouso, qual a velocidade quando a distância da origem é igual a 0,500 m? RESOLUÇÃO: a) Qual a energia potencial U das duas cargas, considerando U igual a zero quando a distância entre as cargas for infinita? Para o cálculo da energia potencial devemos utilizar a equação: 𝑈 = 1 4𝜋𝜖𝑜 𝑄 . 𝑞 𝑟 𝑈 = 1 4.𝜋. 8,854. 10−12 5,8 × 10−6 . 2,10 × 10−6 0,350 𝑈 = 0,3128 𝐽 b) Considerando que a segunda carga puntiforme é liberada do repouso, qual a velocidade quando a distância da origem é igual a 0,500 m? Como a única força que irá atuar na carga será a força elétrica e essa é uma força conservativa, vale a relação: 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 A energia potencial inicial Ui já foi calculada no item (a): Ui = 0,3128 J Na posição r2 = 0,500 m a energia potencial Uf será dada por: 𝑈𝑓 = 1 4𝜋𝜖𝑜 𝑄 . 𝑞 𝑟2 𝑈𝑓 = 1 4. 𝜋. 8,854. 10−12 5,8 × 10−6 . 2,10 × 10−6 0,500 𝑈𝑓 = 0,2189 𝐽 A energia cinética na posição inicial é igual a zero, Ki = 0, visto que a carga parte do repouso. Logo: 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 = 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 𝐾𝑓 + 0,2189 = 0 + 0,3128 𝐾𝑓 = 0,0939 𝐽 Como: 𝐾 = 𝑚. 𝑣2 2 0,0939 = 3,60 . 10−4. 𝑣2 2 𝑣2 = 2 . 0,0939 3,60 . 10−4 𝑣 = √ 2 . 0,0939 3,60 . 10−4 = √521,6667 = 22,84 𝑚 𝑠 3) Uma partícula com carga igual a +6,70 nC está em um campo elétrico uniforme �⃗⃗� , orientado da direita para a esquerda. Ela é liberada do repouso e se desloca para a esquerda; depois de se deslocar 8,5 cm, verifica-se que sua energia cinética é igual a +3,10x10-6 J. Determine: a) Qual o trabalho realizado pela força elétrica? b) Qual é o potencial do ponto inicial em relação ao ponto final? c) Qual é o módulo do campo elétrico uniforme �⃗⃗� ? RESOLUÇÃO: a) Qual o trabalho realizado pela força elétrica? De acordo com o teorema trabalho energia cinética temos: 𝑊 = ∆𝑘 = 𝑘𝑓 − 𝑘𝑖 Como na posição inicial a carga q parte do repouso (Vo = 0) a energia cinética também será igual a zero (Ki = 0), e segundo o enunciado, depois de se deslocar 8,5 cm sua energia cinética será igual a +3,10 x 10-6 J, logo o trabalho realizado pela força elétrica será: 𝑊 = 𝑘𝑓 = + 3,10 × 10 −6 𝐽 b) Qual é o potencial do ponto inicial em relação ao ponto final? Pela relação do trabalho e energia potencial, o trabalho que a força elétrica realiza para deslocar a carga do ponto a para o ponto b é igual a: menos a variação da energia potencial elétrica entre os dois pontos. 𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 Ou seja, 𝑊𝑎→𝑏 = −(𝑈𝑏 − 𝑈𝑎) Rearranjando a equação: 𝑊𝑎→𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 Mas como, 𝑈𝑎 = 𝑞𝑜𝑉𝑎 e 𝑈𝑏 = 𝑞𝑜𝑉𝑏 Obtemos: 𝑊𝑎→𝑏 𝑞𝑜 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 Considerando que o potencial elétrico no ponto b é igual a zero, 𝑉𝑏 = 0, sendo 𝑞𝑜 = 6,70 × 10 −9𝐶 e o trabalho calculado no item (a) 𝑊𝑎→𝑏 = + 3,10 × 10 −6 𝐽 então, substituindo valores na equação, temos: 𝑊𝑎→𝑏 𝑞𝑜 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 + 3,10 × 10−6 6,70 × 10−9 = 𝑉𝑎 − 0 Logo: 𝑉𝑎 = + 3,10 × 10−6 6,70 × 10−9 = 462,6866 𝑉 c) Qual é o módulo do campo elétrico uniforme �⃗⃗� ? Pela relação da diferença de potencial entre dois pontos, separados por uma distancia d, e o campo elétrico, temos: 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝐸. 𝑑 Logo: 𝐸 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 𝑑 𝐸 = 462,6866 0,085 𝐸 = 5443,3718 𝑁 𝐶 4) Com base na figura a seguir determine: a) Qual é o potencial elétrico no ponto a? b) Qual é o potencial elétrico no ponto b? c) Qual a diferença de potencial entre os pontos a e b? d) Qual a energia potencial elétrica armazenada no sistema formado pelas duas cargas? Utilize nos cálculos o valor aproximado da constante de proporcionalidade para o vácuo k = 9 x 109 N.m2/C2. RESOLUÇÃO: Tanto o ponto a quanto o ponto b estão sob a influência do potencial das duas cargas elétricas (positiva e negativa). Para determinar o potencial elétrico em qualquer um dos pontos temos que levar em consideração a contribuição de cada uma das cargas. Conceitos físicos aplicáveis: Equação do potencial elétrico para uma carga puntiforme. Equação da energia potencial elétrica para sistemas de cargas puntiformes. a) Qual é o potencial elétrico no ponto a? A carga positiva gera um potencial elétrico igual a: 𝑉+𝐴 = 𝑘 𝑄+ 𝑟+𝑎 𝑉+𝐴 = 9. 10 9 7,5. 10−9 0,03 𝑉+𝐴 = 2250 𝑉 A carga negativa gera um potencial elétrico igual a: 𝑉−𝐴 = 𝑘 𝑄− 𝑟−𝑎 𝑉−𝐴 = 9. 10 9 −7,5. 10−9 0,06 𝑉−𝐴 = −1125 𝑉 O potencial elétrico total no ponto a será igual à soma dos potenciais elétricos nesse ponto: 𝑉𝐴 = 𝑉+𝐴 + 𝑉−𝐴 𝑉𝐴 = 2250 𝑉 + (−1125 𝑉) 𝑉𝐴 = 2250 𝑉 − 1125 𝑉 𝐕𝐀 = 𝟏𝟏𝟐𝟓 𝐕 b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? A carga positiva gera um potencial elétrico igual a: 𝑉+𝐵 = 𝑘 𝑄+ 𝑟+𝑏 𝑉+𝐵 = 9. 10 9 7,5. 10−9 0,06 𝑉+𝐵 = 1125 𝑉 A carga negativa gera um potencial elétrico igual a: 𝑉−𝐵 = 𝑘 𝑄− 𝑟−𝑎 𝑉−𝐵 = 9. 10 9 −7,5. 10−9 0,03 𝑉−𝐵 = −2250 𝑉 O potencial elétrico total no ponto b será igual à soma dos potenciais elétricos nesse ponto: 𝑉𝐵 = 𝑉+𝐵 + 𝑉−𝐵 𝑉𝐵 = 1125 𝑉 + (−2250 𝑉) 𝑉𝐵 = 1125 𝑉 − 2250 𝑉 𝑽𝑩 = −𝟏𝟏𝟐𝟓 𝑽 c) Qual a diferença de potencial entre os pontos a e b? ∆𝑉 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 ∆𝑉 = 1125 − (−1125) ∆𝑉 = 1125 + 1125 ∆𝑽 = 𝟐𝟐𝟓𝟎 𝑽 d) Qual a energia potencial elétrica armazenada no sistema formado pelas duas cargas? A energia potencial elétrica armazenada em um sistema formado por duas cargas puntiformes é calculada utilizando a seguinte equação: 𝑈 = 𝑘 𝑄1𝑄2 𝑟12 Logo temos que: 𝑈 = 9. 109 (7,5. 10−9).(−7,5. 10−9) 0,09 = 5,625. 10−6𝐽 CAPACITÂNCIA E CAPACITORES 5) Cada placa de um capacitor com placasparalelas possui área igual a 15,7 cm2 e a distância entre as placas é de 2,07 mm. A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a 8,77 nC. As cargas estão no vácuo (𝜖0=8,854x10 -12 C2/Nm2). Determine: a) Qual é o valor da capacitância? b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? c) Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas? RESOLUÇÃO: a) Qual é o valor da capacitância? Pela relação: 𝐶 = 𝜖𝑜𝐴 𝑑 Onde: a constante de permissividade elétrica no vácuo ∈𝑜= 8,854 × 10 −12 𝐶 2 𝑁𝑚2 , A área das placas do capacitor A = 15,7 cm2 = 1,57 x 10-3 m2 e a distância entre as placas d = 2,07 mm = 2,07 x 10-3 m. Logo, substituindo os valores na equação: 𝐶 = 8,854 × 10−12. 1,57 x 10−3 2,07 x 10−3 = 6,71 × 10−12 𝐹 = 6,71 𝑝𝐹 b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? Segundo o enunciado a carga acumulada no capacitor é Q = 8,77 n𝐶 Pela relação: 𝐶 = 𝑄 ∆𝑉 Usando o valor da capacitância calculado no item (a) do exercício: 6,71 × 10−12 = 8,77 × 10−9 ∆𝑉 ∆𝑉 = 8,77 × 10−9 6,71 × 10−12 ∆𝑉 = 1307 𝑉 c) Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas? 𝐸 = ∆𝑉 𝑑 𝐸 = 1307 2,07 x 10−3 𝐸 = 631403,126 𝑁 𝐶 6) Um capacitor tem placas paralelas de área A= 65 cm² separadas 3,5 mm uma da outra, conforme a figura. Determine: a) Qual a capacitância desse capacitor com vácuo entre as placas? b) Qual a carga armazenada nesse capacitor quando ligado a uma diferença de potencial de 10 V? c) Qual a energia potencial acumulada no capacitor nas condições do item (b)? RESOLUÇÃO: Conceitos físicos aplicáveis: Equação da capacitância para capacitores de placas paralelas; Definição de Capacitância – Relação entre quantidade de carga e diferença de potencial; Energia armazenada em capacitores. a) Qual a capacitância desse capacitor com vácuo entre as placas? 𝐶 = 𝜖0𝐴 𝑑 Onde ∈𝑜= 8,854 × 10 −12 𝐶 2 𝑁𝑚2 , é a permissividade elétrica do vácuo. Antes de substituir os valores de área (A) e distância (d) precisamos converter estes valores para em metros. Sendo assim: 𝑑 = 3,5 𝑚𝑚 = 3,5. 10−3𝑚 𝐴 = 65 𝑐𝑚2 = 1 𝑐𝑚 × 65𝑐𝑚 = 0,01 𝑚 × 0,65 𝑚 = 0,0065 𝑚2 = 6,5. 10−3 𝑚2 Agora substituímos os valores na equação da capacitância: 𝐶 = 𝜖0𝐴 𝑑 𝐶 = (8,854. 10−12). (6,5. 10−3) 3,5. 10−3 = 5,7551. 10−14 3,5. 10−3 = 16,443. 10−12𝐹 = 𝟏𝟔, 𝟒𝟒𝟑 𝒑𝑭 Ao utilizar a calculadora, para evitar um resultado errado, coloque os termos da equação entre parênteses. b) Qual a carga armazenada nesse capacitor quando ligado a uma diferença de potencial de 10 V? 𝐶 = 𝑄 Δ𝑉 Como conhecemos o valor da capacitância C desse capacitor (calculada no item anterior), podemos calcular a carga Q isolando-a na equação acima: 𝑄 = Δ𝑉. 𝐶 Substituindo os valores: 𝑄 = (10 V). (16,443. 10−12𝐹) = 𝟏, 𝟔𝟒𝟒𝟑. 𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑪 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 = 𝑄 𝑒 = 1,6443. 10−10𝐶 1,6. 10−19𝐶 = 1.027.696.428,57 c) Qual a energia potencial acumulada no capacitor nas condições do item (b)? A energia potencial acumulada no capacitor nas condições do item b, pode ser calculada utilizando qualquer uma das relações a seguir: 𝑈 = 𝑄 2𝐶 2 = 1 2 𝐶𝑉2 = 1 2 𝑄𝑉 Escolhendo a última equação, por exemplo: 𝑈 = 1 2 𝑄𝑉 𝑈 = 1 2 (1,6443. 10−10𝐶)(10𝑉) 𝑼 = 𝟖, 𝟐𝟐𝟏𝟓. 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑱 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE E PARALELO DE CAPACITORES 7) Na figura a seguir cada capacitor apresenta: C1=3,0 µF e C2=5,0 µF e Vab=+52,0 V. Calcule: a) A capacitância equivalente. b) A carga em cada capacitor. c) A diferença de potencial através de cada capacitor. RESOLUÇÃO: a) A capacitância equivalente. 1 𝐶𝑒𝑞 = 1 𝐶1 + 1 𝐶2 = 1 3,0 µF + 1 5,0 µF 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏, 𝟖𝟕𝟓 µ𝐅 b) A carga em cada capacitor. A carga Q em cada capacitor em série é a mesma que a carga acumulada Q no capacitor equivalente, portanto Q1=Q2=Q: 𝑄 = 𝐶𝑒𝑞𝑉 = (1,875 µF)(52,0 V) = 𝟗𝟕, 𝟓 µ𝐂 c) A diferença de potencial através de cada capacitor. A diferença de potencial através de cada capacitor é inversamente proporcional à sua respectiva capacitância: 𝑉𝑎𝑐 = 𝑉1 = 𝑄 𝐶1 = 97,5 µ𝐂 3,0 µF = 𝟑𝟐, 𝟓 𝑽 𝑉𝑐𝑏 = 𝑉2 = 𝑄 𝐶2 = 97,5 µ𝐂 5,0 µF = 𝟏𝟗, 𝟓 𝑽 8) Na figura a seguir cada capacitor apresenta: C1=3,0 µF e C2=5,0 µF e Vab=+52,0 V. Calcule: a) A capacitância equivalente. b) A carga em cada capacitor. c) A diferença de potencial através de cada capacitor. RESOLUÇÃO: a) A capacitância equivalente. 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶1 = 3,0 µF + 5,0 µF 𝑪𝒆𝒒 = 𝟖, 𝟎 µ𝐅 b) A carga em cada capacitor. A diferença de potencial através de cada um dos dois capacitores ligados em paralelo é a mesma através do capacitor equivalente, 52,0 V. As cargas Q1 e Q2 são diretamente proporcionais e dadas por C1 e C2 respectivamente: 𝑄1 = 𝐶1𝑉 = (3,0 µF)(52,0 V) = 𝟏𝟓𝟔 µ𝐂 𝑄2 = 𝐶2𝑉 = (5,0 µF)(52,0 V) = 𝟐𝟔𝟎 µ𝐂 c) A diferença de potencial através de cada capacitor. A diferença de potencial através de cada um dos dois capacitores ligados em paralelo é a mesma através do capacitor equivalente.
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