2.3 Estimativa do numero de iteracoes

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Cálculo Numérico 
Prof. Me. Raphael Martins 1 
Estimativa do número de iterações 
 
 Dada uma precisão 𝜀 e um intervalo [a,b], é possível saber, a priori, quantas 
iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até que se obtenha 𝑏 − 𝑎 < 𝜀, 
usando o método da Bissecção. 
 
Sabe-se que pelo método da bissecção: 
 𝑏! − 𝑎! = 𝑏!!! − 𝑎!!!2 = 𝑏! − 𝑎!2!   
 
deve-se obter o valor de k tal que 𝑏! − 𝑎! < 𝜀, ou seja, 
 𝑏! − 𝑎!2! < 𝜀   ⇒ 2! > 𝑏! − 𝑎!𝜀 ⇒ 𝑘𝑙𝑜𝑔 2 > log 𝑏! − 𝑎! − log 𝜀 ⇒ 
 𝑘 > log 𝑏! − 𝑎! − log 𝜀log  (2) 
 
 Portanto se k satisfaz a relação acima, ao final da iteração k teremos o intervalo 
[a,b] que contém a raiz 𝜉,  tal que ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ⇒ 𝑥 − 𝜉 ≤ 𝑏 − 𝑎 < 𝜀. 
 
Por exemplo, se desejarmos encontrar 𝜉, o zero da função 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 − 1 
que está no intervalo [2,3] com precisão 𝜀 = 10!! , quantas iterações, no mínimo, 
devemos efetuar? 
 𝑘 > log 𝑏! − 𝑎! − log 𝜀log  (2) 
 𝑘 > log 3− 2 − log 10!!log 2 = log 1 − log 10!!log 2 = log 1 + 2 log 10log 2 = 20,3010 
 ≈ 6,64 ⇒ 𝑘 = 7 
 
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Observações finais 
 
§ Conforme estudado, satisfeitas as hipóteses de continuidade de f(x) em 
[a,b] e de troca de sinal em a e b, o método da bissecção gera uma 
sequência convergente, ou seja, é sempre possível obter um intervalo que 
contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimento deste 
intervalo final satisfaz a precisão requerida; 
§ As iterações não envolvem cálculos laboriosos; 
§ A convergência é muito lenta, pois se o intervalo inicial é tal que 𝑏! − 𝑎! ≫ 𝜀, ou 𝜀 muito pequeno, o número de iterações tende a ser 
muito grande, como por exemplo: 
 𝑏! − 𝑎! = 3𝜀 = 10!! ⇒ 𝑘 ≥ 24,8 ⇒ 𝑘 = 25 
 
neste caso, o algoritmo pode incluir o teste de parada considerando o número máximo 
de iterações.