3.4 Minimos Quadrados caso discreto

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MÍNIMOS QUADRADOS 
Caso Discreto 
 
Vejamos agora o caso em que a função é dada por 𝑛 + 1 pares de pontos 𝑥!,𝑦! , 𝑥!,𝑦! ,…   , 𝑥!𝑦!   onde 𝑦! = 𝑓 𝑥 , 𝑖 = 0,1,…   ,𝑛 , com os 𝑛 + 1 pontos 𝑥!, 𝑥!,…   , 𝑥! distintos. 
 Procuramos determinar um polinômio (a coeficientes reais) 𝑃! 𝑥 = 𝑎! + 𝑎!𝑥 +⋯+ 𝑎!𝑥! 
de grau no máximo 𝑚, 𝑚 < 𝑛 , tal que: 𝑄 = 𝑓 − 𝑃! ! 
seja mínimo. Usando o produto escalar 𝑓,𝑔 = 𝑓 𝑥! 𝑔(𝑥!)!!!! 
 
O nosso problema resulta em última análise na determinação dos coeficientes 𝑎!,𝑎!,…   ,𝑎! de 𝑃!(𝑥). Onde, por definição: 
 
𝑦 = 𝑦!𝑦!⋮𝑦! ,                      𝑝 =
𝑃!(𝑥!)𝑃!(𝑥!)⋮𝑃!(𝑥!) 
onde 𝑦 e 𝑝 são vetores do ℝ!!!. 
 
Logo, 𝑝 pode ser escrito como: 
 
𝑝 = 𝑎! 11⋮1 + 𝑎!
𝑥!𝑥!⋮𝑥! + 𝑎!
𝑥!!𝑥!!⋮𝑥!! +⋯+ 𝑎!
𝑥!!𝑥!!⋮𝑥!! 
Denotado por: 
𝑢! = 11⋮1 ;                  𝑢! =
𝑥!!𝑥!!⋮𝑥!! , 𝑖 = 1,2,…   ,𝑚 
Logo, temos 𝑝 como: 
 𝑝 = 𝑎!𝑢! + 𝑎!𝑢! +⋯+ 𝑎!𝑢! 
 
Os coeficientes 𝑎!,𝑎!,…   ,𝑎! do polinômio procurado são então dados pelo 
sistema: 𝑢!,𝑢! 𝑢!,𝑢! … 𝑢!,𝑢!𝑢!,𝑢! 𝑢!,𝑢! … 𝑢!,𝑢!⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑢!,𝑢! 𝑢!,𝑢! … 𝑢!,𝑢!
𝑎!𝑎!⋮𝑎! =
𝑦,𝑢!𝑦,𝑢!⋮𝑦,𝑢𝑚 
 
A menos que seja sugerido o produto escalar a ser utilizado, usa-se o produto 
escalar usual do ℝ!!!, isto é: 𝑥,𝑦 = 𝑥! .𝑦!!!!! 
 
Exemplo: 
1) Dada a função 𝑦 = 𝑓(𝑥), por meio da tabela: 
 
x -1 0 1 2 
y 0 -1 0 7 
Ajustá-la por um polinômio do 2º grau, usando o método dos mínimos 
quadrados. 
2) Determinar, pelo método dos mínimos quadrados, a reta mais próxima dos 
pontos 𝑥! ,𝑦! para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) tabelada: 
x -2 -1 0 1 2 
y 0 0 -1 0 7 
 
3) Determinar a parábola mais próxima dos pontos 𝑥! ,𝑦! para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) tabelada: 
x -3 -1 1 2 3 
y -1 0 1 1 -1