ExRes_zerosfunc

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Exerc´ıcios de Ca´lculo Nume´rico
Zero de Func¸a˜o
1. Deˆ um exemplo de func¸a˜o f(x), que tenha pelo menos uma raiz, que na˜o pode
ser determinada usando o Me´todo da Bissec¸a˜o.
2. Deˆ um exemplo de func¸a˜o f(x), que tenha pelo menos uma raiz, onde o Me´todo
de Newton-Raphson na˜o converge.
3. A equac¸a˜o x2 − 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como ra´ızes. Considere a func¸a˜o de
iterac¸a˜o dada por ϕ(x) = x2 − 6x + 12. Determine o intervalo (a, b), onde
para qualquer que seja x0 escolhido a sequeˆncia xn+1 = ϕ(xn) converge para a
raiz x = 3. Mostre que a convergeˆncia e´ quadra´tica.
4. Para determinar a raiz quadrada de um nu´mero c ≥ 0, basta resolver a equac¸a˜o
x2−c = 0. E´ poss´ıvel determinar sua raiz quadrada usando a func¸a˜o de iterac¸a˜o
ϕ(x) = c/x. Justifique a resposta.
5. As func¸o˜es de iterac¸o˜es ϕ1(x) = x
2/2−2x+4 e ϕ2(x) = x2/2−2.5x+5, geram
sequeˆncias convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproximac¸a˜o inicial
x0 ∈ (1.5, 3). Qual das duas func¸o˜es geram sequeˆncias mais rapidamente
convergente para esta raiz. Justifique a resposta.
6. Determine um intervalo (a, b) e uma func¸a˜o de iterac¸a˜o ϕ(x) associada, de tal
forma que ∀x0 ∈ (a, b) a func¸a˜o de iterac¸a˜o gere uma sequeˆncia convergente
para a(s) raiz(es) de cada uma das func¸o˜es abaixo, usando o me´todo iterativo
linear (MIL) com toleraˆncia ² ≤ 1.10−3.
(a) f1(x) =
√
x− e−x
(b) f2(x) = ln(x)− x+ 2
(c) f3(x) = e
x/2 − x3
(d) f4(x) = sen(x)− x2
(e) f5(x) = x/4− cos(x)
7. Determine a(s) raiz(es) da func¸a˜o f1(x), usando o me´todo da Bissec¸a˜o, Me´todo
da Falsa posic¸a˜o e da Falsa posic¸a˜o modificada com toleraˆncia ε = 1.10−3.
Quantas iterac¸o˜es foram necessa´rias para cada um dos me´todos.
8. Determine as ra´ızes do exerc´ıcio (6), usando o Me´todo de Newton-Raphson.
9. Determine as ra´ızes do exerc´ıcio (6), usando o Me´todo das Secantes.
10. Determine os pontos extremos do exerc´ıcio (6), usando o Me´todo de Newton-
Raphson.
11. Determine o ponto de intersecc¸a˜o entre as func¸o˜es f1(x) e f2(x), f2(x) e f3(x)
e entre f1(x), f2(x) e f3(x).
12. O Teorema do Valor Me´dio, diz que para func¸a˜o diferencia´vel f(x), existe um
nu´mero 0 < α < 1, tal que :
f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a+ α(x− a))
Considere a = 0; α = 1/2 e f(x) = arctan(x). Determine o x > 0 que satisfaz
a igualdade acima.
13. Sabe-se que se x = ξ e´ uma raiz dupla de f(x) enta˜o o Me´todo de Newton-
Raphson na˜o converge quadraticamente. Mostre que se
f ′(ξ) = 0, mas todas as outras condic¸o˜es de convergeˆncia esta˜o satisfeitas,
enta˜o a iterac¸a˜o:
xn+1 = ϕ(xn) = xn − 2f(xn)
f ′(xn)
converge quadraticamente.
14. Seja x = ξ uma raiz de f(x), tal que f ′(ξ) 6= 0 e f”(ξ) = 0. Mostre que neste
caso o Me´todo de Newton-Raphson tem convergeˆncia cu´bica.
15. Encontre todas as ra´ızes reais do polinoˆmio abaixo pelo me´todo de Newton-
Raphson.
p(x) = x4 − 2x3 + 4x− 1.6
16. Uma pessoa tomou um empre´stimo de A reais, que acrescenta os juros no total
antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em
porcentagem, e´ q e o empre´stimo e´ pelo prazo de n meses, a quantia total que
o tomador concorda em pagar e´:
C = A+ A.n.
q
100
.
Isto e´ dividido por n para dar o total de cada pagamento P , ou seja
P =
C
n
= A
( 1
n
+
q
100
)
Isto e´ perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento .( E´ chamado
o empre´stimo com acre´scimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador
esta´ pagando e´ alguma coisa ale´m de q%, porque ele na˜o conserva o total do
empre´stimo por todos os n meses: Ele esta´ pagando-o de volta com o decorrer
do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinac¸a˜o
de uma raiz x da equac¸a˜o:
F (x) = (Ax− P )(1 + x)n + P = 0
Isto fornece a taxa de juros por per´ıodo de pagamento, que pode ser convertida
em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja A = R$1000, n = 24 e
q = 5%. Determine a verdadeira taxa de juros.
Gabarito – Zero de Função 
 
Exercício 1: 
 
Um exemplo é ( ) R r ,r - x f(x) 2 ∈= 
 
 
A raiz x = r não pode ser determinada pelo Método da Bisseção porque f(x) •��� R. x ∈∀ 
Temos também que (x)f ′ muda de sinal quando x se aproxima de r. 
 
Exercício 2: 
 
Seja r a raiz de f(x). O método de Newton-Raphson pode não convergir se U[
�
− é 
“grande”. 
 
Um exemplo: f(x) = arctg(x). 
 
 
Para algum ][1.39,1.40xc ∈ , se c0 xx > , a seqüência }{xn diverge, rxn − cresce a 
cada iteração. 
 
Duas observações-extras: 
 
1. Se c0 xx = , então o método produz o ciclo c,...3c2c1 xx,xx,xx −==−= 
2. Se c0 xx < , a seqüência }{xn converge para r = 0. 
 
Exercício 3: 
 
I = (2, 4). 
 
127xxf(x)
126xx(x)
2
2
+−=
+−=
 
 
Supondo 2.1x0 = , temos: 
 
3.81126(2.1)(2.1)x 21 =+−= 
3.6561x2 = 
3.43046721x3 = 
93.18530201x4 = 
73.03433683x5 = 
83.00117901x6 = 
93.00000138x7 = 
72.99999999x8 = 
23.00000000x9 = 
82.99999999x10 = 
3x11 = 
3x12 = 
. 
. 
. 
∞→= k 3,xk 
 
Obs.: Se eu escolher ., ∞→== k quando x 2,x k0 4 
 Se eu escolher ., ∞→== k quando x 4,x k0 4 
 Mas, se eu escolher .k quando 3,x 4,x2 k0 ∞→=<< 
 
 
Para mostrar que a convergência é quadrática, temos que aplicar: 
 
∞→≤≤=
−
−+
∞→
n quando 1,C0 C, 
rx
rx
lim
2
n
1n
n
 
 
Então: 
 
1
3x
3x
lim
3x
96xx
lim
3x
3126xx
lim
3x
3)((
lim
3x
3x
lim
2
n
2
n
n2
n
n
2
n
n2
n
n
2
n
n2
n
n
n2
n
1n
n
=
−
−
=
−
+−
=
−
−+−
=
−
−
=
−
−
∞→∞→∞→∞→
+
∞→
 
 
Portanto, a convergência é quadrática. 
 
 
Exercício 4: 
 
Condição suficiente para convergência: 1(r)×-11(r)× <′<⇒<′ 
 
Aqui, sabemos que as raízes são: cr e cr 21 −== 
 
Então, c x ou cxcxcx1
x
c
(x)×
2
2
>−<⇒>⇒>⇒<=′ 
 
 
.
x
c
 (x)× iteração de função a usando 0c número um de quadrada raiz a determinar
 possível é não logo ), ,c()c- ,(- I intervalo ao pertencem não r e r Como 21
=≥
∞+∪∞=
 
Exercício 5: 
 
0 (2) '× que temos 2), (r raiz da esproximidad Nas
2x(x)'×42x
2
x
(x)×
1
1
2
1
=≈
−=⇒+−=
 
0.5 (2)'× que temos 2) (r raiz da esproximidad Nas
2.5x(x)'×52.5x
2
x
(x)×
2
2
2
2
=≈
−=⇒+−=
 
 
Como (2)'× (2)'× 21 < , então (x)×1 convergirá mais rapidamente para a raiz. 
 
Veja o comportamento de ambas as funções: 
 
 
 Para (x)1ϕ Para (x)2ϕ 
 
Exercício 6: 
 
(0,1). r que percebemos te,Graficamen
e(x)×exex0ex
ex(x)f (a)
2x
1
2xxx
x
1
∈
=⇒=⇒=⇒=−
−=
−−−−
−
 
 
 
Um bom intervalo para encontrar a raiz é I = (0.42, 0.44). 
 
Usando 0.43x0 = , temos: 
 
0.001...0.00223864Æ90.42733368x
0.001...0.00262619Æ80.42509504x
0.001...0.00307945Æ60.42772124x
0.001..0.0036128.Æ50.42464179x
0.0019...0.00423600Æ0.42825465x
0.001..0.0049702.Æ10.42401864x
0.001.0.005826..Æ0.42898893x
0.001.0.006837..Æ20.42316208x
8
7
6
5
4
3
2
1
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
 
ação! a aproxim aqui está0.00101660.00086000Æ90.42669863x
0.001208...0.00100875Æ90.42583863x
0.00106...0.00118303Æ20.42684739x
0.0019...0.00138769Æ20.42566436x
0.0019...0.00162738Æ20.42705206x
0.0015...0.00190901Æ30.42542467x
14
13
12
11
10
9
⇒<=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
 
 
2x
2
2x
2
e(x)exln(x)2x02xln(x)
2xln(x)(x)f (b)
−−
=⇒=⇒=−⇒=+−
+−=
 
 
 
 
o!aproximaçã a está aqui0.00190.00017093Æ 30.15862656 x
0.00190.00107703Æ 20.15879750x
0.0010.00675957Æ 10.15987454 x
0.00110.04141107Æ 10.16663411x
0.00180.22195481Æ 20.20804518 x
:temos 0.43,x usando
3.5) (3,r e 0.5) (0,r: raízes duas Temos
5
4
3
2
1
0
21
⇒<=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
=
∈∈
 
 
( ) ( ) x/63x/61/331/3x/23x/23x/2
3x/2
3
e(x)xexexe0xe
xe(x)(c)f
=⇒=⇒=⇒=⇒=−
−=
 
 
 
2). (1,r gráfico, pelo Então, ∈ 
ção!a aproximaaqui está 0.001...0.00050106Æ1.2270175x
0.001..0.0024496.Æ61.22751856x
0.00120.01196182Æ41.22996823x
0.00140.05806994Æ61.24193005x
rbitrária) inicial aproximação1.3 (uma ax
4
3
2
1
0
⇒<=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
=
 
 
2
4 xsen(x)(x)(d)f −= 
 
 
sen(x) (x) em encontrada ser de terá raiz outraA 
ízesuma das ra0.00160.00043057Æ20.87697329x
0.00130.00118271Æ80.87740386x
10.87858658x
90.88184699x
0.89092581x
50.91694774x
70.99874670x
1.5x
��� (0,r
sen(x)(x)
42
7
6
5
4
3
2
1
0
1
41
−=
⇒<=⇒=
>=⇒=
=
=
=
=
=
=
∈
=
 
 



=⇒


=⇒=⇒=−
−=
444
0
4
4
5
5
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xfe
arccos)(arccos)cos()cos(
)cos()()(
 
 
 
 a raizmação parauma aproxi0.0014390.00039915Æ91.25243640x
0.0018040.00151628Æ51.25203725x
0.0011470.00576106Æ31.25355354x
0.00180.02187348Æ21.24779248x
0.00190.08326641Æ11.26966597x
0.00180.31360044Æ21.18639955x
:temos 1.5x Usando
6
5
4
3
2
1
0
⇒<=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
>=⇒=
=
 
 
 
 
Exercício 7: 
 
(i) Método da Bisseção: 
 
 
44140625)(0.4375,0. r 
 010.021252735)(0.4414062f 0.44140625
2
0.44531250.4375
x
4453125)(0.4375,0. r 
 010.02669334)(0.4453125f 0.4453125
2
0.4531250.4375
x
453125)(0.4375,0. r 070.03750692(0.453125)f 0.453125
2
0.468750.4375
x
46875)(0.4375,0. r 070.05886918(0.46875)f 0.46875
2
0.50.4375
x
5)(0.4375,0. r 07-0.8873924(0.4375)f 0.4375
2
0.50.375
x
0.5) (0.375, r 043-0.0749168(0.375)f 0.375
2
0.50.25
x
0.5) (0.25, r 0 83-0.2788007(0.25)f 0.25
2
0.50
x
0.5) (0, r 010.10057612(0.5)f 0.5
2
10
x
1); (0,r
ex(x)f
17
16
15
14
13
12
11
10
x
1
∈⇒
>=⇒=
+
=
∈⇒
>=⇒=
+
=
∈⇒>=⇒=
+
=
∈⇒>=⇒=
+
=
∈⇒<=⇒=
+
=
∈⇒<=⇒=
+
=
∈⇒<=⇒=
+
=
∈⇒>=⇒=
+
=
∈
−=
−
 
 
50.43847562xoximada é a raiz aprPortanto, 
0.00150.0009756225-0.43847560.43945125Æ 50.43847562
2
0.439451250.4375
x
43945125)(0.4375,0. r 
 00.018521265)(0.4394512f 0.43945125
2
0.441406250.4375
x
9
9
18
=
<==⇒=
+
=
∈⇒
>=⇒=
+
=
 
(ii) Método da Falsa Posição: 
 
Aqui, usamos média ponderada entre a e b com pesos |f(b)| e |f(a)|, respectivamente. 
 
( )
7)0.61269983 (0,r
040.2408655637)(0.6126998f70.61269983
1)(80.63212055
1)1(558)0(0.632120
x
080.63212055(1)f; 01(0)f 1 0,r
opostos. sinais têm f(b) e f(a) que visto ,
f(a)f(b)
bf(a)af(b)
f(a)f(b)
f(a)bf(b)a
x
10
11
∈⇒
>=⇒=
−−
−−
=
>=<−=⇒∈
−
−
=
+
+
=
o!aproximaçã uma está aqui0.00118510.00011491
Æ20.42630578x
4)0.42642069 07,(0.3799218r062150.0001673194)(0.4264206f
40.42642069
90.0675369087840.00650266
9)0.067536905(0.43089775668784)7(0.0065020.37992180
x
5)0.43089775 07,(0.3799218r07840.0065026855)(0.4308977f 
50.43089775 
9)0.06753690(40.24086556
9)0.067536907(0.61269983564)7(0.2408650.37992180
x
7)0.61269983 07,(0.3799218r
090.06753690 -07)(0.3799218f70.37992180
71.61269983
7(-1)0.61269983 -
x
4
1
3
1
2
11
⇒<=⇒=
∈⇒>=⇒
=
+
−−
=
∈⇒>=⇒
=
−−
−−
=
∈
⇒<=⇒==
 
 
Exercício 8: Usar Método de Newton-Raphson para as letras (a), (b), (c), (d), (e) do Ex. 6. 
 
Exercício 9: Usar Método das Secantes para as letras (a), (b), (c), (d), (e) do Ex. 6. 
 
Exercício 10: Pontos extremos são pontos onde f’(x) = 0. Resolver essa equação por 
Newton-Raphson para as letras (a), (b), (c), (d), (e) do Ex. 6. 
 
 
Exercício 11: 
 
2xln(x)ex
(x)f(x)f (i)
x
21
+−=−
=
−
 
 
�����
	
w(x)
2xexx xex2xexln(x)
:obtemos equação, da esquerdo membro no x isolando
−+−− −
=⇒−+−=
 
 
 
2). (1,r e 1) (0,r: raízes duas temos abaixo, gráfico Pelo 21 ∈∈ 
 
 
 
Vamos resolver pelo Método de Newton-Raphson usando 4 casas decimais: 
 
o!aproximaçã uma está Aqui,0.0762x
0.0762x
0.0759x
:temos 0.07x Usando
)(xh
)h(x
xx
:Raphson-Newton de fórmula a aplicar Para
1
x
1
e
x2
1
(x)h
2xln(x)ex h(x)
:equações as uso já Aqui,
3
2
1
0
n
n
n1n
x
x
⇒=
=
=
=
′
−=
+−+=′
−+−−=
+
−
−
 
0.6506(0.0762)f(0.0762)f 21 −== 
 
Portanto, um dos pontos de interseção é 0.6506)- (0.0762,P1 = 
 
0.9365(1.3998)f(1.3998)f
1.3998x
1.3998x
:temos 1.4,x Usando
2). (1,r para Agora,
21
2
1
0
2
==
=
=
=
∈
 
 
Então, outro ponto de interseção é 0.9365) (1.3998,P2 = 
 
��� ���� 
	
�
	
(x)h
3
(x)h
x/23x/2
32
21
x2xln(x)exe 2 x - ln(x)
(x)f(x)f (ii)
++−=⇒−=+
=
( ) :1 0, r raiz uma apenas temos abaixo, gráfico Pelo ∈ 
 
Vamos resolver pelo Método de Newton-Raphson usando 4 casas decimais: 
 
 
0.9774) (0.8021, é interseção de ponto O
0.9774(0.8021)f(0.8021)f
0.8021x
0.8021x
0.8022x
0.8116x
:temos 0.7,x Usando
1
x
1
3xe
2
1
(x)f
2xln(x)xe f(x)
:Obs.
32
4
3
2
1
0
2x/2
3x/2
==
=
=
=
=
=
+−−=′
−+−−=
 
0.97740.4472(0.8021)f
9774)(0.8021,0.Pff
0.93650.7293(1.3998)f
0.65061.0384(0.0762)f
9365)(1.3998,0.P
0.6506)(0.0762,P
:ff
1
32
3
3
2
1
21
≠=
=⇒∩
≠−=
−≠=
=
−=
∩
 
 
 
mente.simultanea f e f ,f entre interseção de ponto existe não Portanto, 321 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 12: 
 
( )
( )
2). (1, r então 0, x pede exercício O: Obs.
x4
4x
 arctg(x) 
/4x4
1
x arctg(x) 
4
x1
1
x arctg(x)
:temos ,
x1
1
arctg(x) que Sabendo
2
x
f x arctg(x)
2
x
f 0) - (x arctg(0) arctg(x)
:temos equação, na dados valores os doSubstituin
(x)h
2
(x)h
22
2
0
2
1
∈>
+
=⇒



+
=⇒








+
=
+
=
′



′=



′+=
���
	
���
	
���
	
 
 
Vamos resolver por Método de Newton-Raphson com duas casas decimais: 
 
1624x9xx
4x5x
(x)f
4x
4x
 - arctg(x) f(x)
248
24
2
+++
−
=′
+
=
 
 1.29Então, x 
1.29x
1.29x
:temos 1.4, x Usando
2
1
0
≈
=
=
=
 
 
 
Exercício 13: 
 
Definição: uma raiz ε da função f(x) é dita de multiplicidade p se 0 �_J�ε )|”�0�H� 
g(x) = (x - ε )-p f(x). 
 
Note que nessas condições: f( ε ) = f’(ε ) = f” ( ε ) = ... = fp-1 (ε ) = 0. 
 
Vamos mostrar agora um algoritmo, que tem convergência quadrática, mesmo quando 
as raízes têm multiplicidade p > 1. 
 
Considere o desenvolvimento de Taylor de f(x) na vizinhança da raiz ε . Então: 
 
),(),(
!
)(
)(
!
)(
...)(
!
)(
)()()()(
Æx onde Âf
p
Æx
Æf
p
Æx
Æf
Æx
ÆfÆxÆfxf p
p
p
p
∈
−
=
−
++′′
−
+′−+=
2
2
 
pois pela hipótese Æ é uma raiz de multiplicidade p. Derivando f(x), obtemos que: 
 
)(
)!(
)(
)(
!
)(
)(
Âf
p
Æx
Âf
p
Æx
pxf p
p
p
p
1
11
−
−
=
−
=′
−−
 
 
Definimos h(x) = 
)(
)(
xf
xf
′
. 
 
Então, 
 
0
p
1
Æ�(ÂÂ��fÆ�(x
1)!(p
p!(ÂÂfÆ�(x
lim
�(x)(xf
f(x)
lim
Æx
h(x)
lim
p1p
pp
ÆxÆxÆx
≠=
−−
−
−
=
−′
=
−
−
→→→
 
 
Da definição de multiplicidade conclui-se que h(x) tem uma raiz x = Æ simples ou de 
multiplicidade 1, pois 
 
0�(xlim
p
1
h(x)lim
ÆxÆx
=−=
→→
 
 
Dessa forma pode ser empregado qualquer método numérico para obtenção da raiz de 
h(x), mantendo a ordem de convergência. Em particular para o Método de Newton-
Raphson, temos: 
 
0,1,...n 
xh
xh
xx
n
n
nn =
′
−=+ ,
)(
)(
1 
 (1) 
Por definição, 
 
[ ] )()(
)(
)()(
)(
)( xh
xf
xf
xf
(x)f(x)f
-1(x)h 
xf
xf
xh
′
′′
−=
′
′′
=′⇒
′
= 1
2
. 
 
Assim temos o seguinte algoritmo para determinar a raiz simples da função h(x): 
 







′
−=
=
′
′′
−=′
′
=
+
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
n
n
n1n
n
n
n
n
n
n
n
xh
xh
xx
0,1,... n , xh
xf
xf
xh
xf
xf
xh
1 (2) 
 
 
Definição (Ordem de Convergência): Seja )( nn xx 3=+1 , n = 0, 1, 2,... uma seqüência 
convergente com 0=
∞→
n
n
xlim e seja V uma vizinhança da raiz 0 tal que Vxn ∈ para todo 
n. Então a iteração converge com ordem p > 1 em V, se )(VC× p∈ e 
 
( ) ( ) 0Æ× e 1)-(p1,2,...,j , 0Æ× (p)(j) ≠=∀= 
 
 
 
 
 
Proposição: Considere a seguinte modificação do Método de Newton-Raphson 
 
0,1,...n 
xf
xf
pxx
n
n
nn =
′
−=+ ,
)(
)(
1 
 
Seja p a multiplicidade da raiz Æ de f(x). Prove que o método iterativo acima tem 
convergência quadrática. 
 
Prova: Usando a definição acima, basta mostrar que ( ) 0Æ× ≠′′ , onde 
 
)(
)(
)(
xf
xf
pxx×
′
−= 
 
 
Exercício 14: 
 
 
Seja x = Æ uma raiz de f(x), tal que ( ) ( ) 0Æf e 0Æf =′′≠′ . Então do MNR tem-se que 
 
)(
)(
n
n
nn
xf
xf
xx
′
−=+1 
 
Subtraindo Æ em ambos os lados da igualdade e definindo o erro Æxe nn −= tem-se 
 
)(
)(
n
n
nn
xf
xf
ee
′
−=+1 (1) 
 
Fazendo o desenvolvimento de Taylor de x na vizinhança de nx temos: 
 
( )nnnnnnnnn xx onde , Âfxxxfxxxfxxxfxf ,)(
!
)(
)(
!
)(
)()()()( ∈′′′
−
+′′
−
+′−+=
32
32
. (2) 
 
Tomando x = Æ em (2), obtemos 
 
)(
!
)(
)(
!
)(
)()()( n
n
n
n
nnn Âf
e
xf
e
xfexfÆf0 ′′′−′′+′−==
32
32
 (3) 
 
Dividindo a igualdade por 0)(xf n ≠′ , obtemos 
 
)(
)(
!
)(
)(
)(
!
)(
)(
)(
n
nn
n
nn
n
n
n
xf
Âfe
xf
xfe
e
xf
xf
′
′′′
−
′
′′
+−=
′
−
32
32
 (4) 
 
Substituindo em (1), obtemos que 
 
)(
)(
!
)(
)(
)(
!
)(
n
nn
n
nn
n
xf
Âfe
xf
xfe
e
′
′′′
−
′
′′
=+
32
32
1 (5) 
 
Fazendo n ∞→ tem-se que 0
xf
xf
n
n
n
=
′
′′
∞→ )(
)(
lim . Logo, 
 
0C
Æf
Æf
xf
Âf
e
e
n
n
n
n
n
n
≠=
′
′′′
−=
′
′′′
−=
∞→
+
∞→ )(!
)(
)(!
)(
lim
)(
lim
333
1 
 
 
Portanto a ordem de convergência é cúbica nesse caso. 
 
 
 
 
Exercício 15: 
 
6142 34 .−+−= xxxp(x) 
 
 
Gráfico de x4 – 2x3 = 1.6 – 4x 
 
 
 
 
Pela tabela abaixo: 
 
x -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 
p(x) 22,4 -2,6 -1,6 1,4 6,4 37,4 142,4 
 
Temos duas raízes duplas: 1) r e r 2 ,(),( 0121 ∈−−∈ 
 
Vamos então aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini com Newton-Raphson: 
 
Para ),( 121 −−∈r , com uma aproximação inicial de 0x = 1,50 e usando duas casas 
decimais, temos: 
 
 1 -2 0 4 -1,6 
-1,50 1 -3,50 5,25 -3,88 4,22 = p(1,50) 
-1,50 1 -5,00 12,75 -23,00 = p’(-1,50) 
 
 
1,32
23,00
4,22
1,50
)(xp
)p(x
xx
0
0
01 −≈+−=
′
−= 
 
 1 -2 0 4 -1,6 
-1,32 1 -3,32 4,38 -1,78 0,75 = p(-1,32) 
-1,32 1 -4,64 10,50 -15,64 = p’(-1,32) 
 
1,27
15,64
0,75
1,32
)(xp
)p(x
xx
1
1
12 −≈+−=
′
−= 
 
 1 -2 0 4 -1,6 
-1,27 1 -3,27 4,15 -1,27 0,01= p(-1,27)§� 
-1,27 1 -4,54 9,92 -13,87 = p’(-1,27) 
 
Então, 1,27r1 ≈ 
 
Para ),( 1 r 02 ∈ , com uma aproximação inicial de 0x = 0,50, vamos usar duas casas 
decimais. Como já achamos uma das raízes ( 1,27r1 ≈ ) então vamos usar apenas os 
coeficientes do último q(x). Assim, temos: 
 
 
 
 
 1 -3,27 4,15 -1,27 
0,50 1 -2,77 2,75 0,11 = p(0,50) 
0,50 1 -2,27 1,62 = p’(0,50) 
 
 
0,43
1,62
0,11
0,50
)(xp
)p(x
xx
0
0
01 ≈−=
′
−= 
 
 1 -3,27 4,15 -1,27 
0,43 1 -2,84 2,93 -0,01 = p(0,43) 
0,43 1 -2,41 1,89 = p’(0,43) 
 
0,44
1,89
0,01
0,43
)(xp
)p(x
xx
1
1
12 ≈+=
′
−= 
 
 
 1 -3,27 4,15 -1,27 
0,44 1 -2,83 2,90 0,01 = p(0,44) §�� 
0,44 1 -2,39 1,85 = p’(0,44) 
 
Então, 0,44r2 ≈ 
 
Exercício 16: 
 
Dados do problema: 
 
A = 1000 reais 
N = 24 meses = 2 anos 
q = 5% a.m = 60% a.a. 
 
Substituindo esses dados na segunda equação do enunciado, que dá o valor de P, 
temos: 
 
( ) ( ) reais 11001,110000,60,51000
100
60
2
1
1000 P ==+=


+= 
 
Agora, substituindo os valores de A, P e n na equação de F(x), temos: 
 ( ) 0129x10xx012x9x10x F(x) 01100x)1100)(1 - (1000xF(x) 2232 =−+⇒=−+=⇒=++=
 
 
Repare que x = 0 é uma das raízes da equação. Mas como se trata de taxa de juros, 
essa raiz é descartada. 
 
Vamos tentar resolver com o Algoritmo de Briot-Ruffini associado ao Método de Newton-
Raphson. 
 
Pela tabela abaixo: 
 
x 0 1 2 ... 
F(x) -12 7 46 ... 
 
Vemos mudança do sinal de F(x) para �����[∈ . 
 
 
 
 
Com uma aproximação inicial de 0x = 0,50 temos: 
 
 10 9 -12 
0,50 10 14 -5 = p(0,50) 
0,50 10 19 = p’ (0,50) 
 
0,76
19
5
0,50
)(xp
)p(x
xx
0
0
01 ≈+=
′
−= 
 
 
 10 9 -12 
0,76 10 16,60 0,62 = p(0,76) 
0,76 10 24,20 = p’ (0,76) 
 
0,73
24,20
0,62
0,76
)(xp
)p(x
xx
1
1
12 ≈−=
′
−= 
 
 10 9 -12 
0,73 10 16,30 -0,10 = p(0,73) 
0,73 10 23,60 = p’ (0,73) 
 
0,73
23,60
0,10
0,73x3 ≈+= 
 
Então, x §������� a.m. % 6,08 ma
12
73
 a.a. 73% ≈⇒⇒ ..% 
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