ExRes_EDO

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Exerc´ıcios de Ca´lculo Nume´rico
Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
1. Determine a soluc¸a˜o nume´rica aproximada da seguinte Equac¸a˜o Diferencial
Ordina´ria, com o passo h = 0.2:{
y′(x) + 2y(x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]
y(0) = 1
(a) Me´todo de Euler ( Me´todo das Tangentes)
(b) Me´todo de Euler Aperfeic¸oado
(c) Me´todo de Runge-Kutta de 4◦ ordem.
(d) Me´todo de Predic¸a˜o-Correc¸a˜o de 4◦ ordem.
(e) Sabendo-se que a soluc¸a˜o exata da equac¸a˜o e´ y(x) = e−2x, compare com
as soluc¸o˜es aproximadas obtidas nos items anteriores.
2. Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria, dada por:{
xy′(x)− x2y(x)− 2 = 0 ∀x ∈ [1, 2]
y(1) = 3
Fazendo h = 0.1, determine a soluc¸a˜o aproximada no ponto x = 1.5, usando o
me´todo de Euler Aperfeic¸oado.
3. Determine a soluc¸a˜o nume´rica aproximada da seguinte Equac¸a˜o Diferencial
Ordina´ria, de segunda ordem, com o passo h = 0.2: y
′′(x) + y(x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]
y(0) = 0 e y′(0) =
1
pi
(a) Me´todo de Euler ( Me´todo das Tangentes)
(b) Me´todo de Euler Aperfeic¸oado
(c) Sabendo-se que a soluc¸a˜o exata da equac¸a˜o e´ y(x) = (1/pi2) sen(pix),
compare com as soluc¸o˜es aproximadas obtidas nos items anteriores.
4. Um corpo com massa inicial de 200Kg esta´ em movimento sob a ac¸a˜o de uma
forc¸a constante de 2000N . Sabendo-se que esse corpo esta´ perdendo 1Kg de
sua massa por segundo e considerando que a resisteˆncia do ar e´ o dobro de sua
velocidade e que o corpo esta´ em repouso no instante t = 0, enta˜o a EDO que
descreve a variac¸a˜o de sua velocidade e´ dada por v
′(t) =
2000− 2v(t)
200− t ∀t > 0
v(0) = 0
Determine a velocidade do corpo v(t) no instante t = 5 segundos com intervalos
de 0.5 segundos, usando:
(a) Me´todo de Euler Aperfeic¸oado
(b) Me´todo de Runge-Kutta de 4◦ ordem.
(c) Me´todo de Predic¸a˜o-Correc¸a˜o de 4◦ ordem.
(d) Sabendo-se que a soluc¸a˜o exata da equac¸a˜o e´ v(t) = 10 t− 1
40
t2, compare
com a soluc¸a˜o aproximada obtida nos items anteriores.
5. Na teoria da propagac¸a˜o de doenc¸as contagiosas, podemos utilizar uma equac¸a˜o
diferencial para predizer o nu´mero de indiv´ıduos da populac¸a˜o infectado em
um dado tempo, supondo algumas simplificac¸o˜es adequadas. Em particular,
suponha que todos os indiv´ıduos de uma populac¸a˜o fixa tenham a mesma prob-
abilidade de se infectar e que, uma vez infectado, permanec¸am neste estado.
Vamos denotar por x(t) o nu´mero de indiv´ıduos vulnera´veis no tempo t e com
y(t) o nu´mero de infectados. Podemos supor, que a taxa na qual o nu´mero
de infectados muda seja proporcional ao produto de x(t) e y(t), ja´ que a taxa
depende do nu´mero de indiv´ıduos infectados e do nu´mero de indiv´ıduos vul-
nera´veis que existem nesse tempo. Se a populac¸a˜o e´ suficientemente numerosa
para supormos que x(t) e y(t) sejam varia´veis cont´ınuas, podemos expressar o
problema como:
y′(t) = k x(t) y(t)
onde k e´ uma constante e x(t) + y(t) = m e´ a populac¸a˜o total. Podemos
reescrever essa equac¸a˜o, para que contenha apenas y(t), na forma,
y′(t) = k (m− y(t)) y(t) ”Equac¸a˜o de Bernoulli”
Supondo que m = 100.000, y(0) = 1000, k = 2 × 10−6 e que o tempo seja
medido em dias, encontre uma aproximac¸a˜o para o nu´mero de infectados ao
final de 30 dias.
(a) Me´todo de Runge-Kutta de 4◦ ordem.
(b) Me´todo de Predic¸a˜o-Correc¸a˜o de 4◦ ordem.
6. Problema Presa-Predador (Lotka & Volterra) Considere o problema de
predic¸a˜o da populac¸a˜o de duas espe´cies, sendo uma delas a presa e a outra
predadora, cuja populac¸a˜o no tempo t e´ dado por x(t) e y(t). Suponha que a
presa sempre disponha de comida suficiente e que sua taxa da natalidade seja
proporcional a` quantidade de presas vivas nesse tempo, ou seja, a taxa de na-
talidade e´ c1x(t). A taxa de mortalidade da presa depende do nu´mero de presas
e de predadores vivos nesse tempo, que podemos supor, na forma c2x(t)y(t).
Por outro lado, a taxa de natalidade do predador depende de sua disponibil-
idade de comida x(t) e, tambe´m, do nu´mero de predadores dispon´ıveis para
processo de reproduc¸a˜o. Por tal raza˜o, suponha que a taxa de natalidade dos
predadores seja c3x(t)y(t). Suponha que sua taxa de mortalidade seja pro-
porcional a` quantidade de predadores vivos no tempo, ou seja, que a taxa de
mortalidade dos predadores seja c4y(t). Dado que x
′(t) e y′(t) representam,
a alterac¸a˜o nas populac¸o˜es de presas e predadores no tempo, o problema se
expressa por meio do sistema acoplado de equac¸o˜es diferenciais na˜o lineares:
x′(t) = c1 x(t)− c2 x(t)y(t)
y′(t) = c3 x(t)y(t)− c4 y(t)
x(0) = x0, y(0) = y0
(1)
Resolva esse sistema para 0 ≤ t ≤ 4, usando o me´todo de Runge-Kutta
de 4◦ ordem, supondo que x0 = 1000, y0 = 500, c1 = 3, c2 = 0.002,
c3 = 0.0006, c4 = 0.5. Fac¸a o gra´fico das soluc¸o˜es encontradas, regis-
trando ambas as populac¸o˜es em func¸a˜o do tempo, e descreva os fenoˆmenos
f´ısicos encontrados.Sugesta˜o O sistema pode ser resolvido simultaneamente
ou determina-se primeiro o nu´mero de presas x(t1) em (1)1, depois y(t1) em
(1)2, usando x(t1). Calculado y(t1) determine x(t2) em (1)1 usando y(t1) e
assim sucessivamente.
Gabarito da Lista de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Exercício 1: 
 
(a) Método de Euler (Método das Tangentes) 
 





==
=−=
⇒−=′⇒=+′
10
2
202
0yy
yxfy
dx
dy
xyxyxyxy
)(
),(
)()()()( 
 
Dados do Problema: y0 = 1, h = 0.2, x ∈ [0,1] 
 
Este método consiste em aplicar a seguinte fórmula iterativa: 
 
0 n , yxhfyy nnnn ≥+=+ ),(1 
 
Então: 
 
(1) 
0.60.412)0.2(1y)y,hf(xyy 
22(1)2y)y,f(x , 1y , 0x
1000 1
00000
=−=−+=⇒+=⇒
−=−=−===
 
 
(2) 
0.360.24-0.61.2)0.2(0.6y)y,hf(xyy 
1.22(0.6)2y)y,f(x , 0.6y , 0.2x
2111 2
11111
==−+=⇒+=⇒
−=−=−===
 
 
(3) 
0.2160.144-0.360.2(-0.72)0.36y)y,hf(xyy 
0.722(0.36)2y)y,f(x 0.36, y , 0.4x
3222 3
22222
==+=⇒+=⇒
−=−=−===
 
 
(4) 
0.1296)0.2(-0.4320.216y)y,hf(xyy 
0.4322(0.216)2y)y,f(x , 0.216y , 0.6x
4333 4
33333
=+=⇒+=⇒
−=−=−===
 
 
(5) 
0.077762)0.2(-0.2590.1296y)y,hf(xyy 
0.25922(0.1296)2y)y,f(x , 0.1296y , 0.8x
544 5
44444
=+=⇒+=⇒
−=−=−===
4
 
 
(6) x5 = 1.0 , y5 = 0.07776 (Método de Euler) 
 
 
 
(b) Método de Euler Aperfeiçoado (ou Runge-Kutta de 2a Ordem): 
 
Este método consiste em aplicar as seguintes fórmulas iterativas: 
 
 
)(
),(
),(
211
112
11
1
2
kk
h
yy
uxfk
(Preditor) hkyu
yxfk
nn
nn
nn
nn
++=
=
+=
=
+
++
+
 
Assim, temos: 
 
(1) 
 
(Corretor) 0.680.3211.2)20.1(1)k(k
2
h
yy 
1.22u)u,f(xk 
(Preditor) 0.62)0.2(1hkyu 
22y)y,f(xk 
1y , 0x
2101
1112
101
0001
00
=−=−−+=++=
−=−==
=−+=+=
−=−==⇒
==
 
 
(2) 
 
(Corretor) 0.46240.816)-0.1(-1.360.68)k(k
2
h
yy 
0.8162u)u,f(xk 
(Preditor) 0.4081.36)0.2(0.68hkyu 
1.362y)y,f(xk 
0.68y , 0.2x
2112
2222
112
1111
11
=+=++=
−=−==
=−+=+=
−=−==⇒
==
 
 
(3) 
 
(Corretor) 0.3144320.55488)-0.92480.1(0.4624)k(k
2
h
yy 
0.554882u)u,f(xk 
(Preditor) 0.277440.9248)0.2(0.4624hkyu 
0.92482y)y,f(xk 
0.4624y , 0.4x
2123
3332
123
2221
22
=−+=++=
−=−==
=−+=+=
−=−==⇒
==
 
 
(4) 
 
(Corretor) 0.213813760.3773184)-0.6288640.1(0.314432)k(k
2
h
yy 
-0.37731842)2(0.1886592u)u,f(xk 
(Preditor) 0.1886592864)0.2(-0.6280.314432 hkyu 
-0.6288642y)y,f(xk 
0.314432y , 0.6x
2134
4442
134
3331
33
=−+=++=
=−=−==
=+=+=
=−==⇒
==
 
(5) 
 
(Corretor) 60.14539335204032)0.1(-0.6840.21381376)k(k
2
h
yy 
20.256576512u)u,f(xk 
(Preditor) 60.12828825)0.427627520.2(0.21381376hkyu0.427627522y)y,f(xk 
0.21381376y , 0.8x
2145
5552
145
4441
44
=+=++=
−=−==
=−+=+=
−=−==⇒
==
 
 
(6) 
do)Aperfeiçoa (Euler 60.14539335y , 1.0x 55 == 
 
(c) Método de Runge-Kutta (ou Runge-Kutta de 4a Ordem): 
 
Suponha que queremos calcular as aproximações y1, y2, ... , yn para os valores 
verdadeiros y(x1), y(x2), ... , y(xn) e agora queremos calcular yn+1 ≈ y(xn+1). 
 
Então, 
 
∫∫
+
+ ′=′=−
+ hx
x
x
x
nn
n
n
n
n
dxxydxxyxyxy )()()()(
1
1 
 
pelo teorema fundamental do cálculo. Assim, a Regra de Simpson para integração 
numérica fornece: 
 






′+





+′+





+′+′=





′+





+′+′≈− +++ )(xy
2
h
xy2
2
h
xy2)(xy
6
h
)(xy
2
h
xy4)(xy
6
h
)y(x)y(x 1nnnn1nnnn1n
 
)kk2k2(k
6
h
yy
:fórmula a é resultado o feitas, são õessubstituiç estas Quando
)hky,f(xk
k
2
h
y,
2
h
xfk
k
2
h
y,
2
h
xfk
)y,f(xk
:de sinclinaçõe as chamaremos ),y,f(xy)(xy usando forma, Dessa
4321n1n
3n1n4
2nn3
1nn2
nn1
nnnn
++++=
+=






++=






++=
=
=′≈′






+′
+
+
método. o
para diferentes sinclinaçõe serão porque 
2
h
xy4 termo o termos de soma em separamos que Repare n
 
Então, para este exercício, faremos: 
 
(1) 
-1.328-2(0.664)0.664) f(0.2,)hky,f(xk 
-1.68-2(0.84)0.84) f(0.1,k
2
h
y,
2
h
xfk 
-1.6-2(0.8)0.8) f(0.1,k
2
h
y,
2
h
xfk 
22y)y,f(xk
1y , 0x
3014
2003
1002
0001
00
===+=
===





++=
===





++=
−=−==⇒
==
 
0.67041.328)3.363.22(
6
0.2
1)k2k2k(k
6
h
y y 432101 =−−−−+=++++= 
 
(2) 
 
0.44943616)k2k2k(k
6
h
y y 
-0.890291256)-2(0.445140.4451456) f(0.4,)hky,f(xk 
1.1262720.2k-2yk
2
h
y,
2
h
xfk 
1.072640.2k2yk
2
h
y,
2
h
xfk 
-1.34082(0.6704)2y)y,f(xk
0.6704y , 0.2x
432112
3124
212113
111112
1111
11
=++++=
===+=
−=−=





++=
−=−−=





++=
=−=−==⇒
==
 
 
(3) 
 
10.30130200)k2k2k(k
6
h
y y 
2-0.5968512)hky,f(xk 
80.75505274k
2
h
y,
2
h
xfk 
60.71909785k
2
h
y,
2
h
xfk 
2-0.898872316)2(0.4494362y)y,f(xk
0.44943616y , 0.4x
432123
3234
2223
1222
2221
22
=++++=
=+=
−=





++=
−=





++=
=−=−==⇒
==
 
 
(4) 
 
90.19170841)k2k2k(k
6
h
y y 
45-0.3229957)hky,f(xk 
20.69902064k
2
h
y,
2
h
xfk 
10.48208320k
2
h
y,
2
h
xfk 
02-0.6026040001)2(0.3013022y)y,f(xk
10.30130200y , 0.6x
432134
3344
2333
1332
3331
33
=++++=
=+=
−=





++=
−=





++=
=−=−==⇒
==
 
 
(5) 
 
10.30673347k
2
h
y,
2
h
xfk 
39-0.3834168419)2(0.1917082y)y,f(xk
90.19170841y , 0.8x
1442
4441
44
−=





++=
=−=−==⇒
==
 
 
40.12852132)k2k2k(k
6
h
y y 
81-0.2545887)hky,f(xk 
40.32207014k
2
h
y,
2
h
xfk 
432145
3454
2443
=++++=
=+=
−=





++=
 
 
(6) 4)(RK 40.12852132y , 1.0x 55 == 
 
 
(d) Método da Predição-Correção de 4a Ordem (Métodos de Adams): 
 
 
(1) Adams-Bashforth (Preditor): 
 
 )y,f(xf notação a usando , )9f37f59f(55f
24
h
yu nnn3n2n1nnn1n =−+−+= −−−+ 
 
(2) Adams-Moulton (Corretor): 
 
 
),()( * 112111 5199
24
+++−−++ =+−++= nn
*
1nnnnnnn uxff onde , ffff
h
yy 
 
 
Primeiro, devemos calcular y1 , y2 e y3 por Runge-Kutta de 4a Ordem(RK-4). Depois, 
para calcular de y4 em diante, usamos o Preditor e o Corretor de Adams acima. 
 
Então, agora vamos resolver o exercício com esse método: 
(1) 
 
Pela letra (c), temos y1 = 0.6704, y2 = 0.44943616 e y3 = 0.301302001 
 
Com as identificações x0 = 0 , x1 = 0.2 , x2 = 0.4 , x3 = 0.6 e f(x,y) = -2y, obtemos: 
 
 20.60260400)y,f(xf
; 0.89887232)y,f(xf; 1.3408)y,f(xf; 2)y,f(xf
333
222111000
−==
−==−==−==
 
 
Com os valores acima, o Preditor (1) nos fornece então: 
 
 40.20364072323)(-11.71935
24
0.2
10.30130200 )9f37f59f(55f
24
h
yu 012334 =+=−+−+=
 
Para utilizar o corretor, precisamos primeiro de: 
 
80.407281442u)u,f(xf 444
*
4 −=−== 
 
Assim, temos: 
 
20.201623277)11.9614474(
24
0.2
10.30130200 )f5f19f(9f
24
0.2
yy 123
*
434 =−+=+−++=
 
(2) 
 
Ainda temos que calcular y5. Vamos repetir o processo: 
 
Preditor: 
0.13464061362)(-8.037919
24
0.2
20.20162327 )9f37f59f(55f
24
h
yu 123
*
445 =+=−+−+=
 
Corretor: 
 
10.269281222u)u,f(xf onde , )f5f19f(9f
24
0.2
yy 555
*
523
*
4
*
545 −=−==+−++= 
 
Assim, temos finalmente: 
 
80.134558841)8.04773081(
24
0.2
20.20162327y5 =−+= 
 
 Portanto, Ordem) Quarta de Correção(Predição 80.13455884y , 1.0x 55 −== 
 
 
 (e) 30.13533528ey(1) 2 == − 
 
Portanto, o Método de Predição-Correção de 4a Ordem se aproximou mais do 
resultado, mostrando que os algoritmos de ordem superior são mais 
precisos. 
 
 
Exercício 2: 
 
{ y)f(x,
x
2
xy
dx
dy
x
2
xy(x)(x)y0
x
2
xy(x)(x)y02y(x)x(x)yx
x
2
=+=⇒+=′⇒=−−′⇒=−−′
÷
 
 
Usar Euler Aperfeiçoado para: 
 
0.1h 1,x 3,y
x
2
xyy)f(x,
dx
dy
00 ===
+==
 
 
até x5 = 1.5. 
 
 
Exercício 3: 
 
 
Obs.: Toda vez que tivermos um exercício sobre Equação 
Diferencial de Segunda Ordem, devemos transformá-la 
em um sistema de Equações de Primeira Ordem, fazendo 
a substituição y’ = z (aqui usei z, mas poderia ser 
qualquer outra variável arbitrária). 




===′
===′
′=−==′′⇒=+⇒=+′′
pi
1
z , -yz)y,g(x,z
0y , z z)y,f(x,y
:õessubstituiç seguintes as fazer Vou
)yy,f(x,y
dx
yd
y0y
dx
yd
0y(x)(x)y
0
0
2
2
2
2
 
 
 
(a) Usando Método de Euler, temos que resolver o sistema: 
 



−=+=
+=+=
+
+
nnnnnnn
nnnnnnn
hyzzyxhgzz
hzyzyxhfyy
),,(
),,(
1
1
 
 
 
Assim, temos: 
 
(1) 
 
60.31830988
pi
1
0.2y-zz 
70.06366197
pi
1
0.200.2zyy
0x ,
pi
1
z 0,y
001
001
000
===
=





+=+=⇒
===
 
 
(2) 
 
0.305577490.2yzz 
40.127323950.2zyy
0.2x 6,0.31830988z 7,0.06366197y
112
112
111
=−=
=+=⇒
===
 
 
(3) 
 
90.280112690.2yzz 
20.188439450.2zyy
0.4x ,0.30557749z 4,0.12732395y
223
223
222
=−=
=+=⇒
===
 
 
(4) 
 
80.242424800.2yzz 
10.244461990.2zyy
0.6x 9,0.28011269z 2,0.18843945y
334
334
333
=−=
=+=⇒
===
 
 
(5) 
 
90.193532400.2yzz 
20.292946950.2zyy
0.8x 8,0.24242480z 1,0.24446199y
445
445
444
=−=
=+=⇒
===
 
 
Em outras palavras, 
 
90.19353240(1,0)y
20.29294695y(1.0)
≈′
≈
 (Euler) 
 
 
(b) Usando o Método de Euler Aperfeiçoado: 
 
Usando o mesmo sistema encontrado no item (a): 
 
 




===′
===′
pi
1
z , -yz)y,g(x,z
0y , z z)y,f(x,y
0
0
 
 
Temos para o Método de Euler Aperfeiçoado as seguintes fórmulas iterativas: 
 
 Preditores: 
 
 



−=+=
+=+=
+
+
nnnnnnn
nnnnnn1n
hyzzyxhgzv
hzyzyxhfyu
),,(
),,(
1
 
 
 
 Corretores: 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]






+−=++=
++=++=+++++
+++++
1nnn1n1n1nnnnn1n
1nnn1n1n1nnnnn1n
uy
2
h
z)v,u,g(x)z,y,g(x
2
h
zz
vz
2
h
y)v,u,f(x)z,y,f(x
2
h
yy
 
 
 
(1) 
 
[ ]
[ ] 80.31194368uy
2
h
zz
70.06366197vz
2
h
yy
60.31830988hyzv
70.06366197hzyu
0.2h , 
pi
1
z , 0y
1001
1001
001
001
00
=+−=
=++=
=−=
=+=
===
 
 
 
Agora, vocês terão que repetir esse processo até 
encontrar y5 e z5. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4: 
 
Neste exercício, aplique os métodos para: 
 
0.5 h , 0t , 0v
t)f(v,
t200
2v2000
dt
dv
00 ===
=
−
−
=
 
 
 
Exercício 5: 
 
 
Após as devidas substituições, aplique os métodos para: 
 
 
0t 1000,y
0.000002y0.2y
dt
dy
00
2
==
−=
 
 
OBS.: Aqui, não foi fornecido o valor de h. Usei h = 0.5. 
 
Exercício 6: 
 
Obs.: O enunciado não disse o valor de h. Aqui, fiz com h=0.5. 
 
 
 



==−=′
===′
500y , y)x,g(t,0.5y0.0006xyy
1000x , y)x,f(t, 0.002xy-3xx
0
0
 
 
 
As fórmulas iterativas de Runge-Kutta para o passo de (xn,yn) à aproximação seguinte 
(xn+1,yn+1) ≈ (x(tn+1), y(tn+1)) são: 
 
 
 
)G2G2G(G
6
h
yy
)F2F2F(F
6
h
xx
4321n1n
4321n1n
++++=
++++=
+
+
 
 
 
onde: 
 
 
( )334
223
112
1
222
222
hGyhFxhtfF
G
h
yF
h
x
h
tfF
G
h
yF
h
x
h
tfF
yxtfF
nnn
nnn
nnn
nnn
+++=






+++=






+++=
=
,,
,,
,,
),,(
 
 
 
Analogamente fazemos isso para 4321 GGGG ,,, . 
 
 
(1) 
 
786.00018665.56525)470.43592430(150
6
1
500)G2G2G(G
6
h
yy
4155.38654640.0221)6517.2975775(2000
6
1
1000)F2F2F(F
6
h
xx
Então,
665.56525
308.8199974.3851598)0.5(617.637.6398)9.3242)(610.0006(2626398).3242,617.g(0.5,2629G
4640.0221
3247.95057887.9726.6398).3242)(6170.002(26292)3(2629.3246398).3242,617.f(0.5,2629F
235.21796
276.875512.09296)0.5(553.75.75)1.875)(5530.0006(17275)1.875,553.g(0.25,172G
3258.6485
1906.97655165.62575).875)(553.0.002(1721)3(1721.87575)1.875,553.f(0.25,172F
215268.75483.750.5(537.5)0)(537.5)0.0006(1500,537.5)g(0.25,150G
2887.51612.54500)(537.5)0.002(15003(1500)0,537.5)f(0.25,150F
1502503000.5(500)0)(500)0.0006(10000)g(0,1000,5G
200010003000)(500)0.002(10003(1000)00)f(0,1000,5F
500y 1000,x , 0t
432101
432101
4
4
3
3
2
2
1
1
000
=++++=++++=
=++++=++++=
=
=−=−==
=
=−=−==
=
=−=−==
=
=−=−==
=−=−==
=−=−==
=−=−==
=−=−==
===
 
 
Agora, é com vocês! 
 
Façam até t8 = 4. 
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