5.1 Espaco vetorial COMBINACAO LINEAR DE VETORES

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

ÁLGEBRA	
  LINEAR_______________	
  
Prof.	
  Me.	
  Raphael	
  Martins	
  
COMBINAÇÃO	
  LINEAR	
  DE	
  VETORES	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  
	
  
	
   Sejam	
  os	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!	
  do	
  espaço	
  vetorial	
  V	
  e	
  os	
  escalares	
  𝑎!,𝑎!,… ,𝑎!.	
  Qualquer	
  vetor	
  𝑣 ∈ 𝑉	
  da	
  forma:	
  	
   𝑣 = 𝑎!𝑣! + 𝑎!𝑣! +⋯+ 𝑎!𝑣!	
  	
  é	
  combinação	
  linear	
  dos	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!.	
  	
  
Exemplo:	
  	
   No	
  espaço	
  vetorial	
  IR3,	
  o	
  vetor	
  𝑣 = (−7,−15, 22)	
  é	
  uma	
  combinação	
  linear	
  dos	
  vetores	
  𝑣! = (2,−3, 4)	
  e	
  𝑣! = (5, 1,−2)	
  porque:	
  	
   𝑣 = 4𝑣! − 3𝑣!	
  	
  de	
  fato:	
  	
  (−7,−15, 22)  =  4(2,−3, 4)  − 3(5, 1,−2)                                                        =   (8,−12, 16)  +  (−15,−3, 6)                                                        =   (−7,−15, 22)	
  	
  
Exercícios	
  	
  Os	
  problemas	
  1,	
  2	
  e	
  3,	
  a	
  seguir	
  se	
  referem	
  aos	
  vetores	
  𝑣! = (1,−3, 2)	
  e	
  𝑣! = (2, 4,−1)	
  do	
  	
  IR3.	
  	
   1) Escrever	
  o	
  vetor	
  𝑣 = (−4,−18, 7)	
  como	
  combinação	
  linear	
  dos	
  vetores	
  𝑣!	
  e	
  𝑣!.	
  2) Mostrar	
  que	
  o	
  vetor	
  𝑣 = (4, 3,−6)	
  não	
  é	
  combinação	
  linear	
  dos	
  vetores	
  𝑣!	
  e	
  𝑣!.  3) Determinar	
  o	
  valor	
  de	
  k	
  para	
  que	
  o	
  vetor	
  𝜇 = (−1, 𝑘,−7)	
  seja	
  combinação	
  linear	
  de	
  𝑣!	
  e	
  𝑣!.  4) Verificar	
  de	
  quantas	
  maneiras	
  o	
  vetor	
  𝑣 = 5,2 ∈ ℝ  !	
  pode	
  ser	
  escrito	
  como	
  combinação	
  linear	
  dos	
  vetores	
  𝑣! = 1,0 , 𝑣! = 0,1 𝑒  𝑣! = 3,1 .  	
  	
  
SUBESPAÇO	
  VETORIAL	
  GERADO	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  
	
  Sejam	
  V	
  um	
  espaço	
  vetorial	
   e	
  𝐴 = 𝑣!, 𝑣!, . . . , 𝑣! ⊂ 𝑉,	
  𝐴 ≠ ∅.	
  O	
   conjunto	
   S	
  de	
   todos	
  os	
   vetores	
  de	
  V	
  que	
  são	
  combinaçoes	
  lineares	
  dos	
  vetores	
  de	
  A	
  é	
  um	
  subespaço	
  vetorial	
  de	
  V.	
  De	
  fato,	
  se	
  	
   𝜇 = 𝑎!𝑣! + 𝑎!𝑣! +⋯+ 𝑎!𝑣!	
  e	
   𝑣 = 𝑏!𝑣! + 𝑏!𝑣! +⋯+ 𝑏!𝑣!	
  	
  são	
  dois	
  vetores	
  de	
  S,	
  pode-­‐se	
  escrever:	
  	
  I)	
  𝜇 + 𝑣 = (𝑎! + 𝑏!)𝑣! + 𝑎! + 𝑏! 𝑣! +⋯+ (𝑎! + 𝑏!)𝑣!	
  II)	
  𝛼𝜇 = (𝛼𝑎!)𝑣! + (𝑎𝛼!)𝑣! +⋯+ (𝛼𝑎!)𝑣!	
  	
  Como	
  I)	
  e	
  II)	
  ∈ 𝑆,	
  por	
  serem	
  combinações	
  lineares	
  de	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!.	
  Logo,	
  S	
  é	
  um	
  subespaço	
  vetorial	
  de	
  V.	
  	
  
• O	
  subespaço	
  S	
  diz-­‐se	
  gerado	
  	
  pelos	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!,	
  ou	
  gerado	
  pelo	
  conjunto	
  A	
  e	
  se	
  representa	
  por	
  𝑆 = [𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!]	
  ou	
  𝑆 = 𝐺(𝐴).	
  
• Os	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!  são	
  chamados	
  geradores	
  dos	
  subespaço	
  S,	
  e	
  A	
  é	
  o	
  conjunto	
  gerador	
  de	
  S.	
  
ÁLGEBRA	
  LINEAR_______________	
  
Prof.	
  Me.	
  Raphael	
  Martins	
  
• Todo	
  conjunto	
  𝐴 ⊂ 𝑉	
  gera	
  um	
  subespaço	
  vetorial	
  de	
  V,	
  podendo	
  ocorrer	
  que	
  𝐺 𝐴 = 𝑉,	
  caso	
  em	
  que	
  A	
  é	
  o	
  conjunto	
  gerador	
  de	
  V.	
  	
  
EXEMPLOS	
  1)	
  Os	
  vetores	
  𝑒! = (1,0)	
  e	
  𝑒! = (0,1)	
  geram	
  o	
  espaço	
  vetorial	
  𝑉 = ℝ!,	
  pois	
  qualquer	
  par	
   𝑥,𝑦 ∈ ℝ!	
  é	
  combinação	
  linear	
  de	
  𝑒!  e	
  𝑒!.	
  2)	
  Os	
  vetores	
  𝑒! = (1,0,0)	
  e	
  𝑒! = (0,1,0)	
  do	
  ℝ!	
  geram	
  o	
  subespaço	
  𝑆 = { 𝑥,𝑦, 0 ∈ ℝ!|𝑥,𝑦 ∈ ℝ}:	
  3)	
   	
   Os	
   vetores	
  𝑒! = (1,0,0),	
  𝑒! = (0,1,0)	
  e	
  𝑒! = (0,0,1)	
  do	
  ℝ!	
  geram	
   o	
   espaço	
   vetorial	
  𝑉 = ℝ!,	
   pois	
  qualquer	
  vetor	
  	
  𝑣 = 𝑥,𝑦, 0 ∈ ℝ!	
  pode	
  ser	
  escrito	
  como	
  combinação	
  linear	
  de	
  𝑒!, 𝑒!	
  e	
  	
  𝑒!.	
  	
  	
  
Exercícios	
  
1) Verificar	
  se	
  o	
  conjunto	
  𝐴 = {𝑣! = 1,2 , 𝑣! = (3,5)}	
  geram	
  o	
  ℝ!.	
  2) Verificar	
  se	
  os	
  vetores	
  𝑒! = 1,0 , 𝑒! = 0,1  𝑒  𝜔 = (7,4)	
  geram	
  o	
  ℝ!  	
  	
  
ESPAÇOS	
  VETORIAIS	
  FINITAMENTE	
  GERADOS	
  	
   	
  
	
   Um	
   espaço	
   vetorial	
   V	
   é	
   finitamente	
   gerado	
   se	
   existe	
   um	
   conjunto	
   finito	
  𝐴 ⊂ 𝑉,	
   tal	
   que	
  𝑉 =𝐺(𝐴).	
   	
  Embora	
   existam	
   espaços	
   vetoriais	
   gerados	
   por	
   um	
   conjunto	
   de	
   infinitos	
   vetores,	
   aqui	
   serão	
  tratados	
  somente	
  espaços	
  vetoriais	
  finitamente	
  gerados.	
  	
  
DEPENDÊNCIA	
  E	
  INDEPENDÊNCIA	
  LINEAR	
   	
  	
   	
  Sejam	
  V	
  um	
  espaço	
  vetorial	
  e	
  𝐴 = 𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! ⊂ 𝑉.	
  A	
  equação	
  	
  𝑎!𝑣! + 𝑎!𝑣! +⋯+  𝑎!𝑣! = 0	
  	
  admite,	
  pelo	
  menos,	
  uma	
  solução	
  trivial:	
  𝑎! = 𝑎! = ⋯ = 𝑎! = 0	
  	
  Diz-­‐se	
  que	
  o	
  conjunto	
  A	
  é	
  linearmente	
  independente	
  (LI)	
  ou	
  que	
  os	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!	
  são	
  LI	
  se	
  admitirem	
  apenas	
  a	
  solução	
  trivial.	
  Se	
  existirem	
  soluções	
  𝑎! ≠ 0,	
  diz-­‐se	
  que	
  o	
  conjunto	
  A	
  é	
  linearmente	
  dependente	
  (LD)	
  ou	
  que	
  os	
  vetores	
  𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!	
  são	
  LD.	
  	
  Exemplos:	
  	
   1) Verifique	
  no	
  espaço	
  vetorial	
  ℝ!,	
  os	
  vetores	
  𝑒! = 1,0 	
  e	
  𝑒! = (0,1),	
  são	
  LI	
  ou	
  LD?	
  2) No	
  espaço	
  vetorial	
  ℝ!,	
  os	
  vetores	
  𝑒! = 1,0,0 , 𝑒! = (0,1,0)	
  e	
  𝑒! = (0,0,1)	
  são	
  LI	
  ou	
  LD?	
  3) No	
  espaço	
  vetorial	
  ℝ!,	
  os	
  vetores	
  𝑒! = 2,3 	
  e	
  𝑒! = (−4,−6),	
  são	
  LI	
  ou	
  LD?	
  4) No	
  espaço	
  vetorial	
  ℝ!,	
  os	
  vetores	
  𝑒! = 1,0 ,	
  𝑒! = (0,1)	
  e	
  𝜔 = (7,4),	
  são	
  LI	
  ou	
  LD?	
  	
  
	
  
OBSERVAÇÃO	
  DA	
  DEPENDÊNCIA	
  E	
  DA	
  INDEPENDÊNCIA	
  LINEAR	
   	
   	
  
	
  Para	
  o	
  caso	
  particular	
  de	
  dois	
  vetores	
  pode-­‐se	
  dizer:	
  dois	
  vetores	
  𝑣!	
  e	
  𝑣!	
  são	
  LD	
  se,	
  e	
  somente	
  se,	
  um	
  vetor	
  é	
  múltiplo	
  escalar	
  do	
  outro.	
  	
  	
  
ÁLGEBRA	
  LINEAR_______________	
  
Prof.	
  Me.	
  Raphael	
  Martins	
  
	
  	
  
PROBLEMAS	
  PROPOSTOS	
  
	
  Nos	
  problemas	
  de	
  1	
  a	
  3	
  verificar	
  se	
  são	
  LD	
  ou	
  LI	
  os	
  conjuntos	
  dados.	
  	
  1) 𝐴 = 5,7 , 3,8 ⊂ ℝ!	
  2) 𝐴 = { 12,6 , (4,2)} ⊂ ℝ!	
  3) 𝐴 = { 1,2,3 , 0,1,2 , (0,0,1)} ⊂ ℝ!