produtoescalar Algebra Linear

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Produto Escalar 
Produto Escalar 
• Chama-se produto escalar (ou produto 
interno) de dois vetores u e v o número real 
representado por u.v ou < u,v > e calculado 
pela soma dos produtos das componentes 
correspondentes dos vetores. 
 Se u = (x1, y1) e v = ( x2, y2 ) então 
 u.v = x1.x2 + y1.y2 . 
 Se u = (x1, y1 , z1) e v = ( x2, y2 , z2) então 
 u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2. 
1) Determinar u.v, sabendo que u = (1,-2) e v = (4,2). 
 
2) Sejam os vetores u = (3,2,1) e v = (-1, -4, -1). Calcular: 
a) 2u 
b) (u + v).(2u – v) 
c) <u,u> 
d) 0.v 
 
3) Dados os vetores u = 3i -5j + 8k e v = 4i -2j – k, calcular 
u.v. 
4) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), 
calcular 
 
 
 
 

BCAB
Propriedades 
Propriedades do Produto Escalar 
 
 a) u.v = v.u 
 b) u.(v + w) = u.v + u.w 
 c) α(u.v) = (αu).v = u.(α v), com α  |R. 
 d) se u = 0, u.u = 0 
 e) se u ≠ 0, u.u > 0 
 f) u.u = |u|2 
 
5) Sendo |u| = 4 e |v| = 2 e u.v = 3, calcular 
(3u – 2v).(-u + 4v). 
 
 
 
 
Obs.: |u + v|2 
 
 
Definição geométrica: 
 
Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo 
entre eles, então 
 
 u.v = |u|.|v|.cos θ. 
6) Sendo |u| = 2, |v| = 3 e 60º o ângulo entre u 
e v, calcular: 
a) u.v 
 b) |u + v|2 
 c) |u – v|2 
 
• Obs.: Qual o ângulo entre os vetores 
 u = (-1,2,1) e v = (2,1,1)? 
Condição de ortogonalidade 
Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo 
entre eles, então 
 u.v = |u|.|v|.cos θ. 
Se θ = 90º, cos θ =0. 
Dessa forma: 
 u.v = 0 
Projeções Ortogonais 
Sejam os vetores 
 e u v
 não nulos e 

 o ângulo ente eles. 
Pretendemos decompor um dos vetores, digamos 
v
, tal que: 
1 2v v v 
 
Sendo 
1 2/ / e v u v u
. 
 
O vetor 
1v
 é chamado de projeção ortogonal de 
v
 sobre 
u
 e é indicado por: 
1
u
v proj v
 
Observe que o vetor 
1v
 é paralelo ao vetor 
u
. 
Desta forma podemos determinar a projeção como: 
u
uu
uv
vprojv u 









 1 
7) Dados os vetores 
(1,3, 5)v  
e 
(4, 2,8)u  
, 
decomponha 
v
 como 
1 2v v v 
 sendo 
1 2/ / e v u v u
. 
8) Um triângulo no espaço tridimensional é formado 
 
pelos vértices 
     1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C 
. 
 
 Determine a medida da altura desse triângulo 
 
 em relação à base AB. 
Resumão – Produto Escalar 
• Representação 
• Como se calcula 
• Resultado 
• Definição geométrica 
• Aplicações: 
– Cálculo de ângulo entre vetores 
– Condição de ortogonalidade 
– Projeção Ortogonal 
 
 
Capítulo 2: 
Produto 
Escalar 
- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49) 
Amanhã – Trazer os livros