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LISTA DE EXECÍCIOS AULA 4 – FÍSICA ELETRICIDADE FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM PRÓTON 1) Um feixe de prótons (q=1,6.10-19 C) se move a 3,0.105 m/s num campo magnético uniforme, com módulo igual a 2,0 T, orientado ao longo do eixo positivo 0z, como mostra a figura a seguir. A velocidade de cada próton está contida no plano xz, formando um ângulo de 30° com o eixo +0z. Determine a força que atua sobre o próton. RESOLUÇÃO: Este problema utiliza a expressão para campo magnético que atua numa partícula carregada em movimento. A figura mostra que os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� estão no plano xy. O ângulo entre estes vetores é de 30°. Assim, o problema pede o módulo, direção e sentido da força �⃗⃗� . A carga é positiva, logo a força está no mesmo sentido que o produto vetorial �⃗⃗� × �⃗⃗� . A regra da mão direita mostra que a força está orientada para a parte negativa do eixo 0y. Assim, o módulo da força pode ser calculado por: 𝐹 = 𝑞𝑣𝑠𝑒𝑛𝛷 𝐹 = (1,6. 10−19𝐶)(3,0. 105 𝑚/𝑠)(2,0 𝑇)(𝑠𝑒𝑛30°) 𝐹 = 4,8. 10−14 𝑁 Da mesma forma, podemos também utilizar a notação vetorial para calcular módulo, direção e sentido da força �⃗⃗� : �⃗⃗� = 𝑞�⃗⃗� × �⃗⃗� �⃗⃗� = (3,0. 105 𝑚 𝑠 ) (𝑠𝑒𝑛30°)�̂� + (3,0. 105 𝑚 𝑠 ) (𝑐𝑜𝑠30°)�̂� �⃗⃗� = (2,0 𝑇)�̂� �⃗⃗� = 𝑞�⃗⃗� × �⃗⃗� �⃗⃗� = (1,6. 10−19𝐶) (3,0. 105 𝑚 𝑠 ) (2,0 𝑇) × (𝑠𝑒𝑛30°�̂� + 𝑐𝑜𝑠30°�̂�) × �̂� �⃗⃗� = (−4,8. 10−14 𝑁)𝒋 ̂ Lembre-se de que �̂� × �̂� = −𝒋 ̂e �̂� × �̂� = 𝟎. Novamente obtemos que a força está no sentido negativo de 0y, com módulo igual a 4,8.10 -14 N. CÁLCULO DE FLUXO MAGNÉTICO 2) A figura a seguir mostra a vista de perfil de um plano com área de 3,0 cm2 em um campo magnético uniforme. Sabendo que o fluxo magnético através de uma área é igual a 0,90 mWb, calcule o módulo do campo magnético e determine a direção e o sentido do vetor da área. RESOLUÇÃO: Como o campo é uniforme, B e Φ permanecem constantes em todos os pontos sobre a superfície. Logo, podemos usar a equação abaixo para calcular o fluxo: 𝛷𝐵 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝛷 A área A é igual a 3,0. 10 -4 m 2 . A direção de �⃗⃗� é perpendicular à superfície, de modo que Φ pode ser 60° ou 120°. Porém, 𝛷𝐵, B e A possuem todos valores positivos, logo, cosΦ também deve ser positivo. Esse fato elimina a solução de 120°. Assim, Φ=60° e obtemos: 𝐵 = 𝛷𝐵 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛷 = 0,90. 10−3 𝑊𝑏 (3,0. 10−4 𝑚2)(𝑐𝑜𝑠60°) = 6,0 𝑇 O vetor da área �⃗⃗� é perpendicular à área no sentido indicado na figura abaixo: MOVIMENTO DE ELÉTRONS EM UM FORNO MICROONDAS 3) Um magnétron de um forno micro-ondas emite ondas eletromagnéticas com frequência f=2450 MHz. Qual é o módulo do campo magnético necessário para que os elétrons se movam em órbitas circulares com essa frequência? RESOLUÇÃO: O problema se refere a um movimento circular e a incógnita é o módulo do campo B. Para relacionar a velocidade angular em um movimento circular à massa e à carga da partícula e ao módulo do campo magnético B, usamos a seguinte equação: 𝜔 = 𝑣 𝑅 = 𝑣 |𝑞|𝐵 𝑚𝑣 = |𝑞|𝐵 𝑚 A velocidade angular que corresponde à frequência f é: 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋(2450. 106 𝑠−1) = 1,54. 1010 𝑠−1 Assim, o campo magnético B pode ser obtido por: 𝐵 = 𝑚𝜔 |𝑞| = (9,11. 10−31 𝑘𝑔)(1,54. 1010 𝑠−1) 1,60. 10−19 𝐶 = 0,0877 𝑇 FORÇA MAGNÉTICA NUM CONDUTOR RETILÍNEO 4) Uma barra de cobre retilínea conduz uma corrente de 50,0 A de oeste para leste em uma região entre polos de um grande eletroímã. Nessa região, existe um campo magnético no plano horizontal orientado para o nordeste (ou seja, considerando uma rotação de 45° do leste para o norte), com módulo igual a 1,2 T. a) Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética que atua sobre uma seção de 1,0 m da barra; b) Mantendo-se a barra no plano horizontal, como ela deve ser orientada para que o módulo da força seja máximo? Qual é o módulo da força nesse caso? RESOLUÇÃO: A figura a seguir indica a situação: Podemos determinar o módulo da força magnética pela seguinte equação: 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 A direção e o sentido da força magnética são determinados pela regra da mão direita. Alternativamente, podemos calcular o vetor força (módulo, direção e sentido) usando a equação: �⃗⃗� = 𝐼𝒍 × �⃗⃗� a) Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética que atua sobre uma seção de 1,0 m da barra: O ângulo Φ entre a direção da corrente e o campo é igual a 45°. Assim: 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛𝛷 = (50,0 𝐴)(1,0 𝑚)(1,20 𝑇)(𝑠𝑒𝑛45°) = 42,4 𝑁 A direção da força é perpendicular ao plano formado pela corrente e pelo campo, ambos contidos no plano horizontal. Logo, a força deve ser vertical; a regra da mão direita mostra que o sentido da força é de baixo para cima (saindo do plano da figura). Um segundo modo de calcular módulo, direção e sentido da força magnética F é usando o sistema de coordenadas de um eixo 0x apontando de oeste para leste, o eixo 0y do sul para o norte e o eixo 0z de baixo para cima. Portanto: 𝒍 = (1,0 𝑚)�̂� �⃗⃗� = (1,20 𝑇)[(𝑐𝑜𝑠 45°)�̂� + (𝑠𝑒𝑛45°)𝒋̂] �⃗⃗� = 𝐼𝒍 × �⃗⃗� �⃗⃗� = (50 𝐴)(1,0 𝑚)�̂� × (1,20 𝑇)[(𝑐𝑜𝑠 45°)�̂� + (𝑠𝑒𝑛45°)𝒋̂] = (42,4 𝑁)�̂� Se o condutor estivesse em equilíbrio mecânico sob a ação do próprio peso e da força magnética de baixo para cima, seu peso seria igual a 42,4 N e sua massa seria: 𝑚 = 𝑤 𝑔 = 42,4 𝑁 9,8 𝑚/𝑠2 = 4,33 𝑘𝑔 b) Mantendo-se a barra no plano horizontal, como ela deve ser orientada para que o módulo da força seja máximo? Qual é o módulo da força nesse caso? O módulo da força é máximo quando Φ=90°. Portanto, 𝒍 é perpendicular a �⃗⃗� . Para obtermos a força de baixo para cima, giramos a barra no sentido dos ponteiros do relógio de 45°, a partir da orientação indicada na figura, de modo que a corrente passa a ser orientada a sudeste. Assim, a força magnética possui módulo: 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵 = (50 𝐴)(1,0 𝑚)(1,20 𝑇) = 60,0 𝑁 E a massa da barra que pode ser sustentada pela força magnética é: 𝑚 = 𝑤 𝑔 = 60,0 𝑁 9,8 𝑚/𝑠2 = 6,12 𝑘𝑔 TORQUE MAGNÉTICO SOBRE UMA BOBINA CIRCULAR 5) Uma bobina circular com raio de 0,0500 m possui 30 espiras e está situada sobre um plano horizontal. Ela conduz uma corrente de 5,0 A no sentido anti-horário, quando observada de cima para baixo. A bobina está em um campo magnético uniforme orientado da esquerda para a direita, com módulo igual a 1,20 T. Calcule o módulo do momento magnético e o módulo do torque sobre a bobina. RESOLUÇÃO: Este problema usa a definição de momento magnético e a expressão para torque sobre um dipolo magnético em um campo magnético. A figura a seguir mostra a situação: O módulo μ do momento magnético de uma única espiral do fio é dado em termos de corrente e da área da bobina pela equação: 𝜇 = 𝐼𝐴 Para N espiras, o momento magnético é N vezes maior. O módulo do torque τ é determinado pela seguinte equação: 𝜏 = μ𝐵𝑠𝑒𝑛Φ A área A da bobina é: 𝐴 = π𝑟2 = π(0,0500 𝑚)2 = 7,85. 10−3 𝑚2 O momento magnético de cada espira da bobina é dada por: 𝜇 = 𝐼𝐴 = (5,0 𝐴)(7,85. 10−3 𝑚2) = 3,93. 10−2 𝐴.𝑚2 O momento magnético total de todas as 30 espiras da bobina é: 𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (30)3,93. 10 −2 𝐴.𝑚2 = 1,18 𝐴.𝑚2 O ângulo Φ entre a direção de �⃗⃗� e a direção de �⃗⃗� (que está ao longo da normal ao plano da bobina) é igual a 90°. Assim, o módulo do torque τ é: 𝜏 = 𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛Φ = (1,18 𝐴.𝑚 2)(1,20 𝑇)(𝑠𝑒𝑛 90°) = 1,41 𝑁.𝑚 CAMPO MAGNÉTICO DE UM FIO ÚNICO 6) Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente de 1,0 A. Paraqual distância, a partir do eixo do condutor, o módulo do campo magnético produzido pela corrente é igual ao módulo aproximado do campo magnético médio na superfície da Terra? (Considere um valor aproximadamente igual a 0,5.10 -4 T). RESOLUÇÃO: O condutor retilíneo é descrito como longo, o que significa que seu comprimento é muito maior do que a distância a partir do condutor no qual medimos o campo. Por isso podemos aplicar os conceitos de campo magnético em um fio único. A geometria é a indicada pela figura a seguir: Assim, deve ser utilizada a seguinte equação de modo que todas as grandezas contidas nela são conhecidas exceto o valor da distância r, que é a incógnita do problema: 𝐵 = 𝜇0𝐼 2𝜋𝑟 Substituindo os valores, temos: 𝑟 = 𝜇0𝐼 2𝜋𝐵 = (4𝜋. 10−7 𝑇. 𝑚 𝐴) (1,0 𝐴) 2𝜋(0,5. 10−4 𝑇) = 4. 10−3 𝑚 = 4 𝑚𝑚 FORÇA ENTRE FIOS PARALELOS 7) Dois fios supercondutores retilíneos e paralelos, separados por uma distância de 4,5 mm, conduzem correntes iguais, porém sem sentidos contrários, com módulo igual a 15000 A. Qual é a força por unidade de comprimento F/L entre os dois fios supercondutores? RESOLUÇÃO: A figura indica a situação: A incógnita do problema é a força magnética por unidade de comprimento do fio, determinada pela equação: 𝐹 𝐿 = 𝜇0𝐼𝐼′ 2𝜋𝑟 Como as correntes estão em sentidos contrários, os dois fios se repelem. Assim, a força por unidade de comprimento é: 𝐹 𝐿 = 𝜇0𝐼𝐼′ 2𝜋𝑟 = (4𝜋. 10−7 𝑇. 𝑚 𝐴)(15000 𝐴) 2 2𝜋(4,5. 10−3 𝑚) 𝐹 𝐿 = 1,0. 104 𝑁/𝑚
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