AULA 11 Logaritmo Frente 1 versao 1

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Logaritmos 
 
Introdução 
Os logaritmos foram criados numa época em que as ciências, de um modo geral, precisava realizar cálculos de 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números muito grandes ou muito pequenos, e não havia as máquinas 
de calcular. 
 
A vantagem de se usar os logaritmos é que ele transforma uma multiplicação numa adição, uma divisão numa 
subtração, uma potenciação numa multiplicação e uma radiciação numa divisão. 
 
Definição 
 
Logaritmo de um número real e positivo b numa base a, onde, 0 < a  1, é o expoente x ao qual deve-se elevar a base a 
para se obter b. 
 
x
a
formaforma
exponenciallogarítmica
log b x b a  
 
 
Onde: 
b  Logaritmando ou Antilogaritmo (
Rb
 e b > 0) 
a  Base do logaritmo (a  R e 0 < a  1) 
x  Logaritmo 
 
 
Consequências da Definição 
 
Sejam a, b e c números reais e positivos, com 
1a0 
, b > 0, c > 0 , e m um número real. Da definição de logaritmos 
decorrem as propriedades: 
 
 loga 1 = 0 
 loga a = 1 
 loga am = m 
 
ba
bloga 
 
 loga b = loga c  b = c 
 
Dica  antiloga x = b  loga b = x 
 
 
Propriedades dos Logaritmos 
 
 Logaritmo de um Produto 
 
  clogblogcblog aaa 
 
 
 Logaritmo de um Quociente 
 
clogblog
c
b
log aaa 





 
 Logaritmo de uma Potência 
 
blognblog a
n
a 
 
 Logaritmo de uma Raiz 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 11 – Prof Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
blog
n
1
blogblog a
n
1
a
n
a 
 
 
 Mudança de Base 
alog
blog
blog
c
c
a 
 
 Cologaritmo 
 






 
b
1
logblogblogblogco a
1
aaa
 
 
Consequências Importantes 
 
 
    blogalogblog cca 
 
 
 
alog
1
blog
b
a 
 
 
 
blog
k
1
blog aak 
 
 
 
blogkblog aak 
 
 
 
blog
k
n
blog a
n
ak

 
 
 
c clog b log aa b
 
 
 
Sistemas de Logaritmos Especiais 
 
Dentre todos os sistemas de logaritmos, dois deles se destacam por sua importância em Física, Química, Biologia, 
Engenharia, Economia, ... . 
 
 Logaritmo Natural ou Neperiano (base) 
loge x = n x 
 
 Logaritmo Decimal (base 10): 
 
log10 x = log x 
 
Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, este estará necessariamente compreendido entre duas 
potências de 10 com expoentes inteiros e consecutivos. 
 
Exemplo: 
 
X = 0,04 = 4 x 10–2  10–2 < 0,04 < 10–1 
X = 5,1 = 5,1 x 100  100 < 5,1 < 101 
X = 457 = 4,57 x 102  102 < 457 < 103 
 
 Assim, dado x > 0, existe c  Z tal que: 
 
10c  x < 10c+1  log 10c  log x < log 10c+1 
 c  log x < c + 1 
 
 Podemos afirmar que: 
 
log x = c + m em que c  Z e 0  m < 1 
 
 
3 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
c  característica m  mantissa 
 
Ex.: 
log 65.998 = 4,81... = 4 + 0,81...  c = 4 e m = 0,81... 
Observação !!! 
 
A quantidade de algarismos de um número natural diferente de zero é igual a característica do logaritmo decimal desse 
número, somada com 1(um). 
 
Ex.: 
log 498 = 2,69...  498 possui (2 + 1) algarismos 
log 5.859.797 = 6,76...  5.859.797 possui (6 + 1) alg. 
 
 
 
Função Logarítmica 
 
Seja a um número real, positivo e diferente de 1(quer dizer 
 a 1 
). Chamamos de função logarítmica de base a à 
função: 
 
f :  
 definida por f(x) = loga x 
 
Gráficos 
 
 1o caso: a > 1 (função crescente) 
 
 
D(f) = 


 Im(f) = R 
 
 2o caso: 0 < a < 1 (função decrescente) 
 
 
D(f) = 


 Im(f) = R 
 
Observações !!! 
 
 Os gráficos nunca tocam o eixo vertical. 
 Os gráficos cortam o eixo horizontal no ponto 1, ou seja, a raiz da função é x = 1. 
 
 
Equações Logarítmicas e Condições de Existência 
 
Na definição de logaritmo, aparecem restrições para os valores de a e b. Notemos que: 
 
 
4 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 








1a0
e
0b
blog a
 
 
 A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na propriedade já vista anteriormente: 
 
loga b = loga c  b = c 
 
Inequações Logarítmicas 
 
Podemos comparar dois logaritmos indicados numa mesma base, através dos gráficos abaixo: 
 
 1o caso: a > 1 (função crescente) 
 
 
 
o sentido da desigualdade se conserva 
 
 
 2o caso: 0 < a < 1 (função decrescente) 
 
 
 
o sentido da desigualdade se inverte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
 
PROBLEMAS DE CLASSE 
 
QUESTÃO 01 
Se logb a = x, logc b = y e loga c = z, então x. y. z é igual 
a 
a) 
5
2
 
b) 2 
c) 
3
2 
d) 1 
e) 
1
3
 
 
QUESTÃO 02 
Calcule o valor de x4, sabendo-se que: 
 
24
xlog
1
xlog
1
xlog
1
842

 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
QUESTÃO 03 
Sejam log2 a = 0,342, log2 b = 0,721 e 
405,0clog2 
. 
Calcule o valor de 
2
2
a b
log
c
 
 
 
 
. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
QUESTÃO 04 
A intensidade D de um terremoto, medida na escala 
Richter, é um número dado pela fórmula empírica D = 
2
.log
3
0
E
E
, na qual E é a energia liberada no terremoto, 
em kilowatt-hora, e E0 = 7 x 103 Kwh. A energia 
liberada em um terremoto de intensidade 4 na escala 
Richter é, em kilowatt-hora, um número compreendido 
entre: 
a) 100 000 e 500 000 
b) 50 000 e 100 000 
c) 10 000 e 50 000 
d) 1 000 e 10 000 
 
QUESTÃO 05 
O valor da soma 
 
10 10 10 10
1 2 3 99
log log log ... log
2 3 4 100
       
          
       
é: 
 
a) 0 
b) –1 
c) –2 
d) 2 
e) 3 
 
 
 
6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 06 
(UFF-RJ) A figura representa o gráfico da função f 
definida de f(x) = log2 x. 
 
A medida do segmento 
PQ
é igual a: 
a) 
6
 d) 2 
b) 
5
 e) log2 
c) log25 
 
QUESTÃO 07 
(U.F. São Carlos-SP) A altura média do tronco de certa 
espécie de árvore, que se destina à produção de 
madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o 
seguinte modelo matemático. 
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1), 
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores 
foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o 
tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação 
até o do corte foi de: 
a) 9 d) 4 
b) 8 e) 2 
c) 5 
 
QUESTÃO 08 
Se 
.ln 2u x
 ; 
.ln3v x
 e 
. 36u ve e
, podemos 
afirmar que x vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
QUESTÃO 09 
(UECE) Na figura a seguir estão representados 
seis retângulos com lados paralelos nos eixos 
coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da 
função f(x) = log2 x, x > 0. 
 
Soma das áreas dos seis retângulos é igual a: 
a) 2 u.a c) 4 u.a 
b) 3 u.a d) 5 u.a 
 
7 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 10 
Seja 15 45
2 22.log log8n 
. Então o valor de n é: 
 
a) 25 
b) 512 
c) 32 
d) 125 
 
QUESTÃO 11 
Observe a matriz 
A,
 quadrada e de ordem três. 
0,3 0,47 0,6
A 0,47 0,6 x
0,6 x 0,77
 
 
  
 
 
 
Considere que cada elemento 
ija
 dessa matriz é o valor 
do logaritmo decimal de 
(i j).
 
O valor de 
x
 é igual a: 
 a) 0,50 
 b) 0,70 
 c) 0,77 
 d) 0,87QUESTÃO 12 
Até 1970, aproximadamente, os logaritmos facilitavam 
cálculos complexos. Por exemplo, usando a tabela 
abaixo e as propriedades dos logaritmos pode-se 
calcular 
5 209
 
n Logn 
209,000 2,320 
110,000 2,041 
 89,820 1,948 
 9,500 0,977 
 2,910 0,464 
 0,820 – 0,086 
 0,209 – 0,679 
 Seu valor é, aproximadamente: 
a) 9,500 
b) 2,910 
c) 2.041 
d) 1,948 
e) 1,035 
 
QUESTÃO 13 
Se 
2 3 4logx logx logx logx 20,    
 o valor de 
x
 é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
QUESTÃO 14 
Considere a aproximação: 
log2 0,3.
 É correto afirmar 
que a soma das raízes da equação 
2x x2 6 2 5 0   
 é: 
 a) 
7
3
 d) 
4
3
 
 b) 2 e) 1 
 c) 
5
3
 
 
 
 
8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 15 
Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A 
e B. Para a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo 
decimal da soma dos dois números escolhidos não será 
igual à soma de seus logaritmos decimais. Porém, se 
forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade 
se verificará. Com essas informações, pode-se concluir 
que o número r pertence ao intervalo: 
 a) [1, 0; 1, 1]. 
 b) ]1, 1; 1, 2]. 
 c) ]1, 2; 1, 3]. 
 d) ]1, 3; 1, 4]. 
 e) ]1, 4; 1, 5]. 
 
QUESTÃO 16 
Se 
3log (x y) 5 
 e 
5log (x y) 3, 
 então 
2log (3x 8y)
 
é igual a: 
 a) 
9
 
 b) 
24 log 5
 
 c) 
8
 
 d) 
22 log 10
 
 e) 
10
 
 
QUESTÃO 17 
Adotando os valores 
log2 0,30
 e 
log3 0,48,
 em que 
prazo um capital triplica quando aplicado a juros 
compostos à taxa de juro de 20% ao ano? 
a) 5 anos e meio 
b) 6 anos 
c) 6 anos e meio 
d) 7 anos 
e) 7 anos e meio 
 
QUESTÃO 18 
A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo 
necessário para que a quantidade remanescente da 
substância seja metade da quantidade desintegrada. A 
função que expressa a relação entre a quantidade 
presente Q e o tempo t é 
  kt0Q t Q e ,

 em que k é a 
taxa segundo a qual a substância se desintegra. 
Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra 
a uma taxa de 4% ao ano? (Considere 
n2 0,7.)
 
a) 175 anos 
b) 125 anos 
c) 17,5 anos 
d) 12,5 anos 
e) 12 anos 
 
QUESTÃO 19 
O Cientista Arthur Eddington afirmou que o número de 
prótons no universo é 136 . 2256. Usando as aproxima-
ções log2 = 0,30 e log17 = 1,23, assinale a alternativa 
com potência de dez mais próxima do número estimado 
por Eddington. 
a) 1060 
b) 1070 
c) 1080 
d) 1090 
e) 1095 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a 
representação e a compreensão de grandezas que 
apresentam intervalos de variação excessivamente 
grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma 
solução numa escala que vai de 
0
 a 
14;
 caso fosse 
utilizada diretamente a concentração do íon 
H
 para 
fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco 
prática, variando de 
0,00000000000001
 a 
1.
 
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha 
criado uma medida da renda dos habitantes de um país 
chamada Renda Comparativa 
(RC),
 definida por 
0
R
RC log ,
R
 
  
 
 
em que 
R
 é a renda, em dólares, de um habitante desse 
país e 
0R
 é o salário mínimo, em dólares, praticado no 
país. (Considere que a notação log indica logaritmo na 
base 
10.)
 
 
 
QUESTÃO 20 
As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois 
habitantes desse país, são respectivamente iguais a 
1R
 
e 
2R .
 Se a Renda Comparativa de Paulo supera a de 
Rafael em 
0,5,
 então a razão 
1
2
R
R
 vale aproximadamente 
a) 5,0. 
b) 3,2. 
c) 2,4. 
d) 1,0. 
e) 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
PROBLEMAS DE CASA 
 
QUESTÃO 01 
Se 
2 3 4logx logx logx logx 20,    
 o valor de 
x
 é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
QUESTÃO 02 
Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A 
e B. Para a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo 
decimal da soma dos dois números escolhidos não será 
igual à soma de seus logaritmos decimais. Porém, se 
forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade 
se verificará. Com essas informações, pode-se concluir 
que o número r pertence ao intervalo: 
a) [1, 0; 1, 1]. 
b) ]1, 1; 1, 2]. 
c) ]1, 2; 1, 3]. 
d) ]1, 3; 1, 4]. 
e) ]1, 4; 1, 5]. 
 
QUESTÃO 03 
Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da 
expressão 
3 2
A Blog B log A
 é: 
a) 10 
b) 6 
c) 8 
d) 
A B
 
e) 12 
 
QUESTÃO 04 
Se 
3log (x y) 5 
 e 
5log (x y) 3, 
 então 
2log (3x 8y)
 
é igual a: 
a) 9 d) 
22 log 10
 
b) 
24 log 5
 e) 10 
c) 8 
 
QUESTÃO 05 
A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo 
necessário para que a quantidade remanescente da 
substância seja metade da quantidade desintegrada. A 
função que expressa a relação entre a quantidade 
presente Q e o tempo t é 
  kt0Q t Q e ,

 em que k é a 
taxa segundo a qual a substância se desintegra. 
Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra 
a uma taxa de 4% ao ano? (Considere 
n 2 0,7)
. 
a) 175 anos d) 12,5 anos 
b) 125 anos e) 12 anos 
c) 17,5 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 06 
Seja A o conjunto de todos os valores de k para os quais 
a equação, em x, 
 x 3log 5 x k  
 admite uma raiz 
inteira. O número de elementos de A é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
QUESTÃO 07 
O número log2 7 está entre: 
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 4. 
e) 4 e 5. 
 
QUESTÃO 08 
Diversas pesquisas apontam o endividamento de 
brasileiros. O incentivo ao consumismo, mediado pelas 
diversas mídias, associado às facilidades de crédito 
consignado e ao uso desenfreado de cartões são alguns 
dos fatores responsáveis por essa perspectiva de 
endividamento. 
(Fonte: Jornal o Globo, de 4 de setembro de 2011 – Texto Adaptado) 
 
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% 
ao mês sobre o saldo devedor e que um usuário com 
dificuldades financeiras suspende o pagamento do seu 
cartão com um saldo devedor de R$ 660,00. Se a 
referida dívida não for paga, o tempo necessário para 
que o valor do saldo devedor seja triplicado sobre regime 
de juros compostos, será de: 
Dados: 
log3 0,47;
 
log1,12 0,05.
 
a) nove meses e nove dias 
b) nove meses e dez dias 
c) nove meses e onze dias 
d) nove meses e doze dias 
e) nove meses e treze dias 
 
QUESTÃO 09 
Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo
b 1
, se 
2
b
1
log a 6
log 2
 
, então a∙b é igual a: 
a) 12 
b) 16 
c) 32 
d) 64 
 
QUESTÃO 10 
A solução da equação (0,01) x = 50 é: 
a) – 1 + log
2
. 
b) 1 + log
2
. 
c) – 1 + log 2. 
d) 1 + log 2. 
e) 2 log 2. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 11 
(UEL-PR) Considere A, B e C números reais positivos 
com 
A 1, B 1 e C 1.  Se 
Alog B 2
 e 
A C
3
log C log A
5
 
 conclui-se que o valor de 
Blog C
 é: 
a) 
1
2
 
b) 
5
3
 
c) 
1
6
 
d) 
5
6
 
e) 
25
9
 
 
QUESTÃO 12 (UFSM-RS-2012) 
Suponha que um campo de futebol seja colocado em um 
sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura 
 
Para que o ponto 
  2
10 10
(x 35)A 1 + log (x 1) , log
tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e 
suficiente que: 
a) x > 1 
b) x = 5 
c) x < 1 
d) x = 5 
e) x > 5 
 
QUESTÃO 13 
(Unimontes-MG) Acrescentando-se 16 unidades a um 
número, seu logaritmo na base 3 aumenta 2 unidades. 
Esse número é: 
a) 2 
b) 3 
c) 8 
d) 4 
 
QUESTÃO 14 
(Univali-SC) Se 
5 5log 2 a e log 3 b 
, então log26 é: 
a) b 
b) ab 
c) a + b 
d) 
a b
b

 
e) 
a b
a

 
 
 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 15 
(UFMG) Seja 
2 22log 15 log 45n 8 .


 Então, o valor de n 
é: 
a) 52 
b) 83 
c) 25 
d) 53 
 
QUESTÃO 16 - (Unicamp-SP-2013) 
Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 
740ºC. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 
40ºC. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro 
varia de acordo com a função 
   
t
12
0 ar arT t T T 10 T

   
 
Sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e 
TAR a temperatura do ar. Com essa função, concluímos 
que o tempo requerido para que a temperatura no centro 
atinja 140ºC é dado pela seguinte expressão, com log na 
base 10: 
a) 12 . [log (7) – 1)] minutos 
b) 12 . [1 – log (7)] minutos 
c) 12 . log (7) minutos 
d) 
1 log(7)
minutos
12
  
 
 
QUESTÃO 17 (UERJ-2013) 
Um logo usado para abastecer uma cidade foi 
contaminado após um acidente industrial, atingindo o 
nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível 
inicial. Leia as informações a seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu 
volume sejam renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode 
ser calculado por meio da seguinte equação: 
    0,1 x0T(x) T 0,5
 
Considere D o menor número de dias de suspensão do 
abastecimento de água, necessário para que a toxidez 
retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é 
igual a: 
a) 30 
b) 32 
c) 34 
d) 36 
 
QUESTÃO 18 
(UFES) O valor real de m para o qual as raízes da 
equação 
 23 3log x m log x 0  
apresentam produto 
igual a 9 é: 
a) m = 9 
b) m = 3 
c) m = 2 
d) 
1
m
9

 
e) 
1
m
3

 
 
 
 
 
 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
QUESTÃO 19 
(FUVEST-SP) O número real a é o menor entre os 
valores de x que satisfazem a equação 
   2 2 2
2a 4
2log 1 2x log 2x 3. Então, log
3
 
    
 
 é 
igual a: 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 1 
d) 
3
2
 
d) 2 
 
QUESTÃO 20 
(UFMG) Em uma calculadora científica, ao se digitar um 
número positivo qualquer e, em seguida, se apertar a 
tecla log, aparece, no visor, o logaritmo decimal do 
número inicialmente digitado. Digita-se o número 10 000 
nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, a 
tecla log, até aparecer um número negativo no visor. 
Então, é CORRETO afirmar que o número N é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
 
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE CASA 
 
Questão 01: 
Resolução: Sabendo que 
bloga b loga, 
 para todo 
a
 real positivo, temos: 
2 3 4
2
10 2
log x log x log x log x 20 log x 2 log x 3 log x 4 log x 20 10 log x 20
1 1
 log x 2 log x 2 x 10 x x x 0,01.
10010

              
             
 
* Na primeira passagem usamos a propriedade citada, na quinta passagem usamos a definição de logaritmo e na sexta 
passagem usamos a propriedade do expoente negativo. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 02: 
Resolução: O número 
r
 é tal que: 
4
log (4 r) log4 log r log (4 r) log 4r 4 r 4r r r 1,33.
3
            
 
 
Portanto, 
r 1,3;1,4 .  
 
* Na primeira passagem usamos a propriedade da soma de logaritmos, cuidado para não confundir. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 03: 
Resolução: Sejam 
a, b
 e 
c
 reais positivos, com 
a 1
 e 
c 1.
 
Sabendo que 
b
c clog a b log a 
 e que 
c
a
1
log a ,
log c

 temos: 
3 2 3 2
A B A B A B B
B
3 2 3 2B
A B A B
B
1
log B log A 3 log B 2 log A log B log A 6 log A
log A
log A
 log B log A 6 log B log A 6.
log A
 
          
 
      
 
 
Observação: As condições 
A 1
 e 
B 1
 não foram observadas no enunciado. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 04: 
Resolução: Lembrando que 
c
blog a c a b ,  
 com 
a 0
 e 
1 b 0, 
 temos: 
 
5
3
3
5
log (x y) 5 x y 3 x y 243 2x 243 125 x 184
 
log (x y) 3 x y 125 2x 863 x y 125x y 5
184 y 125 x 184
 .
y 125 184 y 59
        
   
       
  
 
   
 
 
Portanto, 
       
       
2 2 2 2 2 2
10
2 2 2 2 2 2
log 3x 8y log 3 184 8 59 log 3x 8y log 552 472 log 3x 8y log 1024 
 log 3x 8y log 2 log 3x 8y 10.log 2 log 3x 8y 10.1 log 3x 8y 10
                
           
 
* Na terceira passagem as duas equações foram somadas, na quinta foi substituído o valor de x encontrado. 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 05: 
Resolução: Queremos calcular o valor de 
t
para o qual 
0QQ(t) .
2

 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
Então, sabendo que 
k 0,04
 e considerando 
n 2 0,7,
 obtemos: 
    
0,04t 0,04t 1 0,04t 1 0,04t0
0
Q 1
 Q e e 2 e n 2 n e 1 n 2 0,04 t n e
2 2
0,70
 0,7 0,04 t 1 0,7 0,04 t t t 17,5 anos.
0,04
                 
          
 
* Na passagem 2, usamos a propriedade dos expoentes negativos, na passagem 3, aplicamos “logaritmo” dos dois lados, 
na passagem 4 usamos a propriedade do logaritmo e na passagem 5 substituímos o valor dado na questão. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 06: 
Resolução: Pelas condições de existência dos logaritmos, segue que a equação possui solução inteira para os valores 
de 
x,
 tais que: 
5 x 0 x 5 x 5
 e e e .
1 x 3 0 1 3 x 3 3 0 3 4 x 3
     
 
          
 
 
Desse modo, como não existe nenhum número inteiro 
x
 que satisfaz ambas as condições, qualquer que seja o valor 
real de 
k,
 segue que 
A  
 e, portanto, 
n(A) 0.
 
* No segundo passo da primeira desigualdade multiplicamos toda a desigualdade por (–1) para obtermos a desigualdade 
final. Na segunda desigualdade foi somado 3 unidades para isolar o x. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 07: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
x 2 3 2 x 3
2log 7 x 2 7 4 7 8 2 7 2 2 2 2 2 x 3.              
 
* Na passagem 1, usamos a definição e na última passagem usamos o fato de que, se a base é maior que 1, conserva-
se o sinal da desigualdade.* Na terceira passagem escolhemos o 4 e 8, pois são potências de 2. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 08: 
Resolução: O tempo necessário para que um capital 
C
 triplique, aplicado a uma taxa de 
12%,
 capitalizado 
mensalmente, é dado por: 
 n n n3C C 1 0,12 1,12 3 log 1,12 log3 n log 1,12 log3 0,05 n 0,47
0,47
 n n 9,4 n 9 0,4
0,05
           
      
 
isto é, 
9
 meses e 
0,4 30 12 
 dias. 
* Na passagem 1 segue a teoria, na passagem 2 aplicamos “logaritmo” dos dois lados, na passagem 3, usamos a 
propriedade do logaritmo, na passagem 4 substituímos os valores dados na questão e no final transformamos 0,4 meses 
em dias. 
Assim, temos: 9 meses e 12 dias. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 09: 
Resolução: Temos que 
6
2 2 2 2
b
1
log a 6 log a log b 6 log a b 6 a b 2 a b 64.
log 2
             
 
* Na passagem 1, usamos mudança de base, em especial a mudança inversa (veja a teoria), na passagem 2, usamos a 
propriedade da soma de logaritmos e na penúltima passagem, usamos a definição. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 10: 
Resolução: Do enunciado, temos: 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
 
x x x
x
2 2
1 1 100 1 100
(0,01) 50 50 log log
100 100 2 100 2
1
 x log log100 log 2 x log 10 log 10 log 2 2x log 10 2log 10 log 2
100
 2x 1 2 1 log 2 2x 2 log 2

     
           
     
 
             
 
         
1
2
1
 2x 2 log 2 x 1 log 2
2
 x 1 log 2 x 1 log 2.
 
 
 
 
         
 
       
 
 
* Na passagem 2, aplicamos “logaritmo” dos dois lados, na passagem 3, usamos a propriedade do logaritmo, na 
passagem 4, usamos a propriedade do expoente das potências de 10, na passagem 5, usamos a propriedade do 
logaritmo, na passagem 9 dividimos tudo por 2, na passagem 10, usamos a propriedade do logaritmo e na última 
passagem, usamos a propriedade dos expoentes fracionários. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 11: 
Resolução: Usando as propriedades de logaritmo, temos: 
C A
A
3 1 3 5
log A log C
5 log C 5 3
    
. Assim, dividindo 
Alog C
por 
Alog B
, temos: 
5
3A
B B
A
log C 5 1 5
 log C log C
log B 2 3 2 6
     
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 12: 
Resolução: Para que as coordenadas sejam iguais, temos: 
       
     
 
2 2
10 10 10 10 10
2 2 2
10 10
22 2
log x 1 1 log x 35 log x 1 log 10 log x 35 
 log 10 x 1 log x 35 10 x 1 x 35 10x 10 x 35 
 x 35 10x 10 0 x 10x 25 0 x 5 0 x 5 0 x 5
        
             
                
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 13: 
Resolução: Chamando o número procurado de x, temos: 
   
    2
3 3 3 3 3
x 16 x 16
log x 16 log x 2 log x 16 log x 2 log 2 3
x x
16
 x 16 9x 8x 16 x x 2
8
  
           
 
        
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 14: 
Resolução: Primeiramente, vamos encontrar 
5log 6
, temos: 
5 5 5 5 5log 2 a; log 3 b log 2 log 3 a b log 6 a b        
 
Queremos 
2log 6
, então usamos a propriedade da mudança de base. 
5
2 2
5
log 6 a b
log 6 log 6 
log 2 a

  
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
Questão 15: 
Resolução: Da equação 
2 log 15 log 452 2n 8
 

, temos: 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
225
2 log 15 log 45 log 15 log 45 log 225 log 45 log log 5
45
       
, assim, substituindo: 
 
log 5 32log 5 3 log 5 log 53 32 2 2n 8 n 2 n 2 n 2 n 5 n 125

          
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 16: 
Resolução: Dados: 
 0 arT 740 ; T 40 ; T t 140     
 
Da equação, temos: 
       
 
t t t
12 12 12
0 ar ar
t t t t
1 112 12 12 12
T t T T 10 T 140 740 40 10 40 100 700 10
100 1
 10 10 10 7 log 10 log 7 
700 7
t t
 log 10 1 log 7 1 log 7 t 12 lo
12 12
  
   
 
                 

       

 
            
 
g 7
 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 17: 
Resolução: Da equação, temos: 
     
0,1x 0,1x0,1x 1 1 0,1x 1 0,1x
0 0 0
1 1
T x T 0,5 T 10T 2 10 2 log 10 log 2
2 10
1
 1 0,1 x log 2 1 0,1 x 0,3 0,03x 1 x x 33,33
0,03
                
 
               
 
Como a quantidade de dias é um número inteiro, então o menor, número de dias D é 34 dias. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 18: 
Resolução: Chamando as raízes da equação de a e b, temos: 
   
2 0
3 3 3 3 3
m m
3 3
log x m log x 0 log x log x m 0 log x 0 x 3 x 1, logo a 1.
Ou log x m 0 log x m x 3 , logo b 3
             
      
 
Do enunciado temos que a.b = 9, assim: 
m m m 2a b 1 3 9 3 9 3 3 m 2         
 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 19: 
Resolução: Ajeitando a equação, temos: 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 
   
 
 
     
 
 
2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 23
22
1 x 2
2log 1 x 2 log x 2 3 log 1 x 2 log x 2 3 log 3
x 2
1 x 2
 2 1 x 2 8x 2 1 2x 2 x 2 8x 2 x 2 6x 2 1 0
x 2
b 4ac 6 4.1.1 36 4 32
6 32 6 4 2 6
x 2 x 2 x
2.1 2
 
 
         
 
 

            
              
    
    
 
 
2
2
6 2 4 24 2 2 6 2 4.2
 x x
2.22. 2 2 2. 2
6 2 8 3 2 4 3 2 4 3 2 4
 x x . Logo x ou x
4 2 2 2
 
    
   
     
 
Como a é o menor valor, então 
3 2 4
a
2


, logo: 
1
2
2 2 2 2 2 2
2
3 2 4
2 4
22a 4 3 2 4 4 3 2
log log log log log 2 log 2
3 3 3 3
2a 4 1
 log 
3 2
  
             
          
         
 
 
 
  
 
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 20: 
Resolução: Faremos, cada aperto de tecla: 
1º aperto: 
4
10 10log 10000 log 10 4 
, assim aparecerá no visor, o valor 4. 
2º aperto: 
 210 10 10log 4 log 2 2log 2 2 0,3 0,6   
. 
3º aperto: 
10 10 10 10 10 10
6
log 0,6 log log 6 log 10 log 2.3 log 10
10
    
 
10 10 10 10 10
10
log 0,6 log 2 log 3 log 10 0,30 0,47 1 log 0,6 0,77 1 
 log 0,6 0,23
        
  
 
Assim, concluímos que no terceiro aperto, aparece um número negativo, ou seja, N = 3. 
 
Resposta: Alternativa B