Álgebra - Caderno 05

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
5
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Funções exponencial e logarítmica
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1Funções exponencial e logarítmica
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Funções exponencial e logarítmica
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1
 FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
Revisão de potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5
Revisão de radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Simplificação de expressões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
As funções f(x) 5 ax e g(x) 5 a2x. . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Aplicações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2 Logaritmo e função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Propriedades operatórias dos logaritmos . . . . . . . . . . . .42
Cálculo de logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
Aplicação dos logaritmos na resolução de equações 
exponenciais e de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Gráfico da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
2121636 (PR)
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MÓDULO
Funções exponencial 
e logarítmica
Trilhos de trem e postes de eletricidade danifica-
dos após o sismo de Kobe, em 17 de janeiro de 1995, 
no Japão.
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
Terremoto é um tremor passageiro que ocorre na 
superfície terrestre. Esse fenômeno natural pode 
acontecer devido a atividades vulcânicas, falhas 
geológicas e, principalmente, pelo encontro de 
diferentes placas tectônicas. Dependendo da in-
tensidade do abalo sísmico, ele pode provocar 
destruição da infraestrutura local, além de mortes.
A escala Richter é utilizada para medir a intensida-
de I de um terremoto, variando de 0 a 9,5. A equa-
ção que dá o valor da intensidade é I 2
3
log E
E0
5 , 
onde E é a energia liberada por um tremor (cuja 
intensidade se quer medir) e E
0
 5 7 ? 1023 kWh 
(valor de referência que corresponde à energia 
liberada no tremor de intensidade mínima men-
surável pelos sismógrafos).
Você sabe o que significa o log na equação da 
intensidade? É um número ou uma incógnita? 
Sabe sua relação com exponenciação?
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4 Funções exponencial e logarítmica
CAPÍTULO
Objetivos:
c Reconhecer as funções 
exponenciais.
c Saber aplicar o 
conceito de função 
exponencial na 
resolução de situações-
-problema.
1 Função exponencial
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Dentre os fenômenos naturais, um dos mais recentemente estudados pelo homem é a radioati-
vidade: propriedade que algumas substâncias têm de emitir radiação e desintegrar-se, transformando-
-se em outras. Uma das mais conhecidas aplicações da radioatividade está na Arqueologia. O tempo 
que uma substância leva para que metade de seus átomos se desintegre é denominado meia-vida. 
Esse termo significa que, a cada período transcorrido, metade da quantidade dos átomos se desinte-
grará e, como esse processo continua, restará metade da quantidade original da substância. 
Sendo o expoente de cada termo correspondente à quantidade de meias-vidas transcorridas, 
teremos: 






1
2
,
1
2
,
1
2
2 3
, etc., o que nos permite generalizar, escrevendo 




1
2
x
 para x meias-vidas 
transcorridas.
A generalização desse padrão dará origem à função exponencial.
Trilobitas eram artrópodes marinhos que surgiram cerca de 545 milhões de anos atrás, no início do período Cambriano, e prosperaram nos oceanos do planeta, 
até serem exterminados na grande extinção do fim do Permiano, cerca de 250 milhões de anos atrás. Testes de carbono-14 confirmaram que o trilobita da foto, 
em Marrocos, tem 500 milhões de anos.
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Funções exponencial e logarítmica
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DR. JACK B
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Consideremos a seguinte situação:
Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1 000 bactérias no início da 
experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de:
a) 3 horas; b) 10 horas; c) x horas.
a) Observe que:
 depois de 1 hora, teremos 2 000 bactérias (2 ? 1 000);
 depois de 2 horas, teremos 4 000 bactérias (4 ? 1 000 ou 22 ? 1 000);
 então, depois de 3 horas, teremos 8 000 bactérias (8 ? 1 000 ou 23 ? 1 000).
b) Depois de 10 horas, teremos 210 ? 1 000 ou 1 024 000 bactérias.
c) Depois de x horas, teremos 2x ? 1 000 bactérias.
De modo geral, o modelo matemático usado para resolver situações como essa é dado pela 
função de tipo exponencial f(x) 5 b ? ax.
No caso das bactérias mencionado anteriormente, o modelo matemático é dado pela função 
de tipo exponencial f(x) 5 b ? 2x, em que b representa a população de bactérias existentes no início 
da experiência, e x, o tempo decorrido.
 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
Será que a expressão ax tem sentido para todo número real x? Vejamos isso retomando o estudo 
da potenciação.
Potência com expoente natural
Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência 
de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais a a:
= …a a a a an
n fatores
? ? ? ?
� ��� ���
Para n 5 1, considera-se por definição que a1 5 a, uma vez que não há produto com um 
único fator.
Vejamos alguns exemplos:
 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32 




3
4
3
4
3
4
9
16
2
5 ? 5 35 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243
 




1
2
1
2
1
2
1
2
1
8
3
5 ? ? 5 14 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 5 1 103 5 10 ? 10 ? 10 5 1 000
Cultura de bactérias em placa de Petri.
Na prática, as bactérias podem 
desenvolver-se sobre uma cama-
da de alimentos e sua população 
é medida pela área que ocupa.
PARA
REFLETIR
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6 Funções exponencial e logarítmica
Propriedade fundamental
Observe que 23 ? 22 5 (2 ? 2 ? 2)(2 ? 2) 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 25 5 23 1 2.
De modo geral, para quaisquer m, n [ N*, podemos provar que:
am ? an 5 am 1 n
Pois em ambos os membros da igualdade, temos o produto de m ? n termos iguais a a.
Essa propriedade (propriedade fundamental da potenciação: multiplicação de potências de 
mesma base) continua válida para um número qualquer de fatores. Para m
1
, m
2
, …, m
p
 quaisquer 
pertencentes a N*, temos:
� ��� ���
…
a a … a a
m1 m2
mp
p fatores
m1 m2 mp
? ? ? 5
1 1 1
Por exemplo, 22 ? 23 ? 25 5 22 1 3 1 5 5 210.
No caso de todos esses expoentes serem iguais (m
1
 5 m
2
 5 … 5 m
p
 5 m), temos:
(am)p 5 amp (potência de potência)
Por exemplo, 
� ������ ������
( )⋅ ⋅3 3 3 … 3 3 32 2 2 2 2 7 14
7 fatores
? ? 5 5 .
Observe também que:
 Se a . 1, então an 1 1 . an.
Bastamultiplicar ambos os membros da desigualdade a . 1 por an, que é positivo:
a ? an . an ⇒ an 1 1 . an
Assim:
a . 1 ⇒ 1 , a , a2 , a3 , … , an , an 1 1 , …
 Se 0 , a , 1, então 1 . a . a2 . a3 . … . an . an 1 1 . …
Potência com expoente inteiro
Como atribuir um significado à potência an (a real positivo), quando n [ Z é um número 
inteiro, que pode ser negativo ou zero?
Isso precisa ser feito de modo que seja mantida a propriedade fundamental am ? an 5 am 1 n.
Inicialmente, vejamos qual deve ser o valor de a0 para a ± 0.
Como a igualdade a0 ? a1 5 a0 1 1 deve ser válida, teremos a0 ? a 5 a. Assim, a única possibilidade 
que temos é definir a0 5 1, com a ± 0.
Em seguida, dado qualquer n [ N*, devemos ter, para a ± 0:
a2n ? an 5 a2n 1 n 5 a0 5 1.
Portanto, a2n ? an 5 1, ou seja, a
1
a
n
n
5
2 . 
Com isso, estendemos o conceito de potência do número real positivo a, com expoentes intei-
ros quaisquer, mantendo a propriedade fundamental.
Exemplos:
1o) 3
1
3
1
9
2
2
5 5
2
2o) 



 



1
2
1
1
2
1
1
8
8
3
3
5 5 5
2
3o) ( )
( )
2
1
2
1
2
2
2
5 5
2
Quando a 5 1, essa sequência é 
constante, com todos os termos 
iguais a 1.
PARA
REFLETIR
Observe os valores da sequência 
e complete-a logicamente:
2 2 2
16 8 4
2
2
2
_
4 32 24 32 2 2 122 1 0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
PARA
REFLETIR
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Funções exponencial e logarítmica
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Inverso de um número a ± 0
Observe que a a a
1
a
a
a
11? 5 ? 5 52 , ou seja, a ? a21 5 1, com a ± 0.
a
1
a
1
5
2 é chamado o inverso de a.
Outras propriedades
1a) Observe que:
 a a
a
a
a
1
a
a a a am n
m
n
m
n
m n m ( n) m n
5 5 ? 5 ? 5 5
2 1 2 2
; , com m, n [ Z.
 Logo:
 
a : a a ou
a
a
am n m n
m
n
m n
5 5
2 2
 com a ± 0 (quociente de potências de mesma base).
2a) Se a ± 0, para m, n [ Z continua valendo
 
(am)n 5 amn
 Por exemplo,
 
( ) ( )( )3 1
3
1
1
9
9 3 32
1
2
2 2 1
5 5 5 5 5
2
2
2
2 2
 Observe também que:
 Se a . 1, então a sequência an é crescente para n [ Z.
 Por exemplo:
 
5 , , , , , , ,
, , , , , , , ,
2 2 2⇒a 2 …2 2 2 2 2 2 2 …
…
1
8
1
4
1
2
1 2 3 4 8 …
3 2 1 0 1 2 3
(sequência crescente)
 Se 0 , a , 1, então a sequência an é decrescente para n [ Z.
 Por exemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒a 12 … 12 12 12 12 12 12 12 …
…8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
…
3 2 1 0 1 2 3
5 . . . . . . .
. . . . . . .
2 2 2
(sequência decrescente)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1 Calcule o valor de ( )






 



a 1
2
2 2( )2 2( )
2
12 212 2
1 1
5 15 1

5 15 1



5 15 1

5 15 1



5 15 1
1
5 1 2 22 22 2( )2 22 2( )2 22 2
2
2 222 2
2
2
.
RESOLUÇÃO:




























a 2
1
1
2
1
2
4
1
1
2
1
2
4 1 5.
2 1

2 1

2 1
1
2 1
1
2 1 1
5 15 1

5 15 1



5 15 1

5 15 1



5 15 1
2
5 1 2
2
5 15 1
4
5 1 1 5 1 54 1 55 1 54 1 5
2 2

2 2

2 22 12 22 1
Logo, a 5 5.
O número zero não tem inverso. 
Por quê?
PARA
REFLETIR
Observe os valores da sequência 
e complete-a logicamente:
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 22 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2
16 8 4 2
4 32 24 32 2 2 12 22 12 2 0 12 20 12 22 20 12 2 2 322 32 22 32 2
PARA
REFLETIR
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8 Funções exponencial e logarítmica
Potência com expoente racional
Veremos agora que significado pode ser dado à potência ar, com a positivo, quando r
m
n
5 
é um número racional (em que m [ Z e n [ Z*), de modo que continue válida a propriedade 
fundamental ar ? as 5 ar 1 s.
Inicialmente, vejamos como podemos definir, por exemplo, 2
1
2 mantendo a propriedade 
fundamental:
2 2 2 2 2
1
2
1
2
1
2
1
2 1
? 5 5 5
1
Assim, 2
1
2 é um número positivo cujo quadrado é igual a 2. Portanto, pela definição de raiz 
quadrada:
2 2
1
2
5 , pois ( ) ( )2 2 212
2
2
5 5
De modo geral, partindo da propriedade fundamental:
ar ? as 5 ar 1 s ou (ar)n 5 ar ? n
e fazendo r
1
n
5 teremos:
a a a a a a a a
1
n
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
n
1
n
n
n
5 ? ? ? 5 5 5 5
1 1 1 ?…)(  …
ou seja, a
1
n é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a a. Pela definição de raiz, esse 
número é an , a raiz n-ésima de a. Logo:
5a a
1
n n , com a real positivo e n 5 2, 3, 4, …
Exemplos:
1o) 8 8 8 2
1
3 13 3
5 5 5
2o) 9 9 9 9 30 ,5
1
2 12
5 5 5 5
3o) 5 5 5 5
2
23 3
1
3
1
3
3
3
1
2 12 2
4o) 




8
27
8
27
2
3
1
3
35 5
Podemos observar também que:
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3 3 3 3
2
23
5 5 ? 5 5 5
1
Portanto, 2 2 .
2
3 23
5
De modo geral, preservando a propriedade fundamental:
ar ? as 5 ar 1 s ou (ar)n 5 ar ? n e fazendo 5r
m
n
, teremos:
5 ? ? 5 5 5
1 1 1 ?( )  a a a a a a amn mn mn mn mn mn mn n mn m
ou seja, a
m
n é um número real positivo cuja n-ésima potência é igual a am.
Pela definição de raiz, esse número é amn , a raiz n-ésima de am. Logo:
a a
m
n mn
5 , com a real positivo e m, n 5 2, 3, 4, …
Constate com exemplos em que 
a aa ama ama an mp
np
a a
np
a aa a5a a para todo p [ N*.
PARA
REFLETIR
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Funções exponencial e logarítmica
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9
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 4
Exemplos:
1o) 5 52 2 8
3
5 35 5
2o) ( ) ( )5 55 5 5
2
3
2
3 3
3o) ( ) ( )5 512 12 18
3
4
3
4 4
4o) 





5 5 5
2 2
1
3
1
3
3 9
2
3
2
3 23 3
PARA CONSTRUIR
1 (IFSC) O valor correto da expressão numérica E 5 (1022) ? 
? (103) ; (1024) 1 (8 ? 821) 1 1024 é: c
a) 58,0001.
b) 8,000001.
c) 100 001,0001. 
d) 8.
e) 80.
E 5 (1022) ? (103) ; (1024) 1 (8 ? 821) 1 1024
E 5 1022 1 3 2 (24) 1 81 1 (21) 1 0,0001
E 5 105 1 1 1 0,0001
E 5 100 001,0001
2 Calcule o valor de: 
a) ( )27 64 8 413 12 23 12
1
2
1 2 1
( )
( ) ( )
1 2 1 5
5 1 2 1 5 1 2 1 5
5 5 5
27 64 8 4
27 64 8 4 3 8 4 2
9 9 3
1
3
1
2
2
3
1
2
1
2
3 23
1
2
1
2
1
2
b) 








3 ( 2) 1
3
1
2
0 2
1
2
1 2 2
2
2








3 ( 2)
1
3
1
2
1 4 3
4
2
4
1
2
0 2
1
2
1 2 2
5
1 2
5 5
2
2
3 Calcule as potências quando definidas em R:
a) 52 25
b) −62 −36
c) 40 1
d) 10−4 1
10
1
10 000
4
5
e) 


1
2
22
 52 42
f ) (0,3)2 0,09
g) (−8)2 64
h) −20 −1 
i) ( )34
1
2
2
 24
3
j) (−3)3 −27
k) −(−2)3 2(28) 8
l) (−8)1 −8
m) 


1
3
12
 3
n) 136 1
o) 032 0
p) 320 1
4 (IFSP) Considere que:
 a distância média da Terra à Lua é de cerca de 400 000 km; e
 a distância média da Terra ao Sol é de cerca de 150 milhões 
de quilômetros.
Com base nessas informações, em relação à Terra, o Sol está 
N vezes mais longe do que a Lua. O valor de N é: d 
a) 450.
b) 425.
c) 400.
d) 375.
e) 350. 
?
?
5 ? 5
150 10
4 10
37,5 10 375.
6
5
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10 Funções exponencial e logarítmica
Potência com expoente irracional
Vamos agora dar uma ideia de como caracterizar, por exemplo, 2 2. Tomamos as aproximações 
racionais do número irracional 2, que são:
1; 1,4; 1,41; 1,414; …
e temos definidas as potências com expoente racional
21; 21,4; 21,41; 21,414; …
À medida que:
1; 1,4; 1,41; 1,414; … se aproximam de 2 ,
21; 21,4; 21,41; 21,414; … se aproximam de 2 2 .
Usando a calculadora, obtemos:
21 5 2; 21,4 5 2,639015; 21,41 5 2,657371;
21,414 5 2,664749; …; 2 2 5 2,665144…
Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a real positivo. 
É importante observar que ax é sempre um número real positivo.
Potência com expoente real
Lembrando que a união dos números racionais com os números irracionais resulta nos nú-
meros reais, chegamos às potências com expoentes reais mantendo as propriedades mencionadas 
anteriormente.
Assim, são potências com expoente real:
( ) 










2
p
2
2
2
3 2 7 3
23
1
2
5 7 8
2
3
5
6 3
2
5
2
4 2 0
5
Observação:
Quando a 5 0 ou a , 0, algumas potências de base a estão definidas em R e outras não. Por 
exemplo:
03 5 0 2 5 2 5 2( 8) 8 2
1
3 3
5
2
Ó0
1
0
2
R 2 5 2 Ó( 9) 9
1
2 R
A notação científica permite escrever números usando potências de 10. Sua principal uti-
lidade é a de fornecer, num relance, a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse 
escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato.
Um número está expresso em notação científica se está escrito como o produto de dois 
números reais: um número real pertencente ao intervalo [1, 10[ e uma potência de 10.
Veja como se escreve um número em notação científica:
 300 5 3 ? 100 5 3 ? 102
 32,45 5 3,245 ? 10 5 3,245 ? 101
 0,0052 5 5,2 ? 0,001 5 5,2 ? 10 23
 5 249 5 5,249 ? 1 000 5 5,249 ? 103
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
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Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
Resumo das propriedades da potenciação
Sempre que as operações e as potências envolvidas estejam definidas, temos as seguintes pro-
priedades da potenciação, considerando a [ R:
1a) Produto de potências de mesma base:
 am ? an 5 am 1 n
2a) Quociente de potências de mesma base:
 am ; an ou 
a
a
m
n 5 a
m
 
2
 
n
3a) Potência de potência: (am)n 5 am ? n
4a) Potência de um produto: (a ? b)n 5 an ? bn
5a) Potência de um quociente: (a ; b)n ou
 



 5
a
b
a
b
n n
n
 para b ± 0
Exemplos:
1o) 27 ? 23 5 210
2o) 5
5
5
5
9
7
2
3o) a9 ; a4 5 a5
4o) (34)2 5 38
5o) (7 ? 4)3 5 73 ? 43 5 73 ? 26
6o) (12 ; 3)4 5 124 ; 34 5 44 5 28
7o) 



 5
5
7
5
7
m m
m
8o) 9x 1 3 5 9x ? 93 5 32x ? 36
9o) 7x 2 2 5 
7
7
x
2
 
10o) 52x 5 (52)x ou (5x)2
Observação: 
Não podemos considerar (am)n como sendo igual a 
( )
a m
n
. Veja, por exemplo, (23)4 5 212 e 
( )
52 23
4 81.
Consideramos am
n
 equivalente 
( )
a m
n
, por exemplo, 
( )
5 55 5 52
3 23 8.
Veja alguns exemplos em informações científicas:
 a distância média da Terra ao Sol:
 149 600 000 km 5 1,496 ? 108 km;
 a velocidade da luz: 300 000 km/s 5 3 ? 105 km/s;
 a distância em torno da Terra na linha do equador:
 40 075 km 5 4 ? 104 km (aproximadamente);
 a massa de um átomo de oxigênio: 2,7 ? 10223 g;
 a massa de um átomo de hidrogênio: 1,66 ? 10224 g.
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12 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 5 a 7
PARA CONSTRUIR
5 (Enem) A Agência Espacial Norte-Americana (NASA) infor-
mou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra 
e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir 
sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo 
plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da 
Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide 
em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou 
da superfície terrestre.
Asteroide YU 55
Tamanho: 400 m
de diâmetro,
equivalente ao 
tamanho de um
porta-aviões.
Lua
Asteroide YU 55
Passagem:
8 de novembro
às 21h28min
(horário de Brasília).
O asteroide se aproximará
o su�ciente para que cientistas
possam observar detalhes
de sua superfície.
Terra
Proximidade
da Terra:
325 mil km.
Disponível em: <http://noticias.terra.com.br>. Adaptado.
Com base nessas informações, a menor distância que o aste-
roide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a: d
a) 3,25 ? 102 km.
b) 3,25 ? 103 km.
c) 3,25 ? 104 km.
d) 3,25 ? 105 km.
e) 3,25 ? 106 km.
Utilizando a ideia de notação científica, temos:
325 mil km 5 325 ? 103 km 5
5 3,25 ? 102 ? 103 5 3,25 ? 105 km
6 Transforme em uma só potência:
a) 27 ? 25 
212
b) 38 ? 3 ? 32
311
c) x2 ? x ? x8 ? x3 
x14
d) 52 ? 5−6 
524
e) 10x ? 102 
10x 1 2
f ) 3x ? 3−1 
3x 2 1
g) 6x ? 6x 1 1 
62x 1 1
h) 10x ? 102 2 x
102
i) 39 ; 34
35
j) 26 ; 26
20
k) 102 ; 104
1022
l) x2 ; x−1
 x3
m) 10x 1 2 ; 10x 2 2
104
n) 
2
2
9
10
221
o) 
x
x 12
x2
p) 
2
2
x
x 12
21
q) (22)4
28
r) 
( )
2 2
4
216
s) (x3)3
x9
t) x3
3
x27
u) (10−2)−3
106
v) [(a2)2]2
a8
7 (IFCE) Calculando-se o valor da expressão ( )
18 4
2 6 3
,
n
n n
?
?
 en-
contra-se: e 
a) 2n.
b) 6n.
c) 8.
d) 4.
e) 2.
( ) ( )
?
? ?
5
?
? ?
5
?
?
5 5
18 4
2 6 3
18 4
2 6 3
18 4
2 18
4
2
2
n
n n
n
n
n
n
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-5
H-2
1
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade 
deste “selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Lin-
guagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está 
disponível no portal.
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Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
 REVISÃO DE RADICIAÇÃO
Definição
Dados um número real a não negativo e um número natural n, n > 1, chama-se raiz n-ésima 
aritmética de a o número real e não negativo b, tal que bn 5 a:
⇔5 5a b b an n
em que:
 n é o símbolo que indica a operação radiciação e é chamado radical;
 a é um número real chamado radicando;
 n é um número natural diferente de zero chamado índice;
 b é um número real, resultado dessa operação, chamado raiz.
Exemplos:
 1o) 58 23 , pois 23 5 8
 2o) 59 32 , pois 32 5 9
 3o) 5625 54 , pois 54 5 625
Lembre-se de que não é necessário o índice quando se tratar da raiz quadrada, ou seja, 
5 59 9 32 .
Decorrendo da definição, temos 5a ann , para todo a > 0.
Devemos considerar dois casos para an :
 1o caso: n é par
 Se a > 0, temos 5a ann .
 Se a < 0, a .n RÓ
 Exemplos:
 1o) 5 5 581 9 9 92
 2o) 2 5 2 5( 2) 2 244
 3o) R162 Ó
 4o) ( )2 p 5 2 p 5 2 1 p2 2 22 ,
 pois 2 2 p , 0
 2o caso: n é ímpar
 Ra a, an Ó∀5
 Exemplos:
 1o) 5 58 2 23 3
3
 2o) 2 5 2( 3) 355
 3o) 2 5 2 5 28 ( 2) 23 33
Propriedades
Considerando a e b reais não negativos, m inteiro, n e p naturais não nulos, temos as seguintes 
propriedades:
1a) A raiz aritmética de um produto é igual ao produto dos fatores.
 Observe que ? 5 ? 5 ? 5 ?a b (a b) a b a b .n
1
n
1
n
1
n n n
 Portanto:
? 5 ?a b a bn n n
 Veja alguns exemplos:
 ? 5 ?2 3 2 3
 ? 5 52 18 36 6
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14 Funções exponencial e logarítmica
2a) A raiz aritmética de um quociente 
a
b
 com a > 0 e b . 0, é igual ao quociente das raízes 
de a e b.
 Para a > 0 e b . 0, temos:
 



5 5 5
a
b
a
b
a
b
a
b
.n
1
n
1
n
1
n
n
n
 Portanto:
 
5
a
b
a
b
n
n
n
 Veja alguns exemplos:
 5
5
3
5
3
 5 5 5
32
2
32
2
16 4
3a) A potência de um radical aritmético é obtida elevando-se o radical ao referido expoente.
 Observe que ( )( ) 5 5 5a a a an m 1n
m
m
n mn .
 Então:
 
( ) 5a an m mn
 Veja alguns exemplos:
 ( ) 5 52 2 43 2 23 3
 ( ) 5 5 52 2 2 86 6 3
4a) Podemos alterar o índice de um radical aritmético sem alterar o seu valor numérico, mul-
tiplicando ou dividindo o expoente e o índice pelo mesmo número inteiro e positivo.
 Considerando o número natural positivo p, temos:
 5 5 5
?
? ??a a a amn
m
n
m p
n p m pn p
 5 5 5a a a amn
m
n
m p
n p m pn p
;
; ;;
 Dessa maneira:
 5 ?
?
a amn m p
n p
 e 5a amn m p
n p ;;
 Veja alguns exemplos:
 5 5??3 3 334 3 54 5 1520
 5 5 55 5 5 536 3 36 3 12;;
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Funções exponencial e logarítmica
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15
5a) Podemos calcular a raiz de um radical aritmético multiplicando os índices das raízes e 
mantendo inalterado o radicando.
 Considerando o número natural positivo p, podemos afirmar que:
 
( )a a a a aanp 1np 1n
1
p
1
n
1
p
1
n p n p
5 5 5 5 5
?
? ?
 Portanto:
 
a amn
p mp n
5
?
 Veja alguns exemplos:
 2 2 23
5 5 3 15
5 5
?
 2 2 22 2 2 85 5? ?
 É bom lembrar que essas propriedades não são válidas para a adição e para a subtração de 
radicais com o mesmo índice. Por exemplo:
 ? +2 3 2 31
 ?6 3 6 32 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2 Simplifique os seguintes radicais:
a) 32
b) 288
c) 25924
d) 0,01
e) 1253 2
f ) ( )( )( )2 3( )( )2 3 2( )2 31( )12 3
g) ( )( )( )2 5( )( )2 5 2( )2 52( )22 5
RESOLUÇÃO:
a) 32 2 22 2 2 22 2 2 2 2 4 25 45 42 25 42 22 25 4 1 41 42 21 42 22 21 4 1 22 21 22 25 55 52 25 52 2 ? 52 2? 52 2 ? 5? 52 2? 52 2 2 452 4
b) 288 2 3 2 2 35 22 35 22 3 4 12 24 12 2 25 ?5 ?2 35 ?2 3 5 ?5 ?2 25 ?2 2 ? 53? 5
 2 22 2 3 2 3 23 23 23 2 12 24 14 12 24 12 22 24 1 2 23 22 23 2 13 213 25 ?5 ?2 25 ?2 2 ? 5? 53 2? 53 2 ? 53 2? 53 2? 5
c) 2592 2 3 2 2 34 5 42 35 42 34 4 12 24 12 2 445 ?5 ?2 35 ?2 3 5 ?5 ?2 25 ?2 2 ? 53? 5
 2 22 2 3 2 3 23 2 6 26 242 242 24 142 242 2 43 243 24 1 13 21 13 24 44 43 24 43 23 24 46 24 46 25 ?5 ?2 25 ?2 2 ? 5 ? ?3 25 ? ?3 2 3 25 ? ?3 2 54 454 4
d) 0,01 1
100
1
100
1
10
5 55 55 5 5
e) 125 ( 5) 53 3) 53) 532 51252 5 2 5( 52 5( 5) 52 5) 5) 52) 5
f ) ( )( )( )2 3( )( )2 3 2 32 3 2 32 321 5( )1 5( )2 3( )1 5( )1 52 3( )2 31 51 52 3 1 51 52 31 52 32 31 5 2 312 3 , pois 2 32 3 01 .2 31 .2 32 31 .
g) ( )( )( )2 5( )( )2 5 2 52 5 2 52 522 5( )2 5( )2 5( )2 5( )2 52 5( )2 52 52 52 5 2 52 52 52 52 52 52 5 2 12 52 12 5 , pois 2 52 5 02 ,2 52 ,2 52 52 ,
3 Efetue:
a) 625 40 1353 33 36253 3 31 21 2401 23 31 23 3
b) 32 48 8 1081 21 2481 2 2
c) 8 68 6 21 7? 18 6? 18 68 6? 1 ?
d) 128 14583 33 33 31283 313 313 3
e) ( )( )( )( )6 3( )6 3( )( )6 3( )2 1( )( )2 1( )8( )( )1 2( )( )1 2( )2 1( )1 2( )1 22 1
f ) 2 42 432 432 45
g) ( )( )( )( )3 2( )( )3 2 2( )3 21( )13 2
RESOLUÇÃO:
a) 625 40 135 5 25 2 5 35 3 53 33 36253 3 3 45 245 23 335 235 2 335 335 31 21 2401 23 31 23 3 5 15 15 25 15 25 245 25 15 1435 1 ? 25 3? 25 3 ? 55? 5
 
5 5 2 52 5 3 53 5
5 55 5 2 52 5 3 53 5 4 54 5
3 15 53 15 53 32 532 53 32 532 5 33 533 53 33 533 5
3 33 35 53 35 55 53 32 53 32 5 3 33 33 53 33 53 53 34 53 34 5
5 ?5 ?5 55 ?5 535 ? 1 ?1 ?2 51 ?2 52 532 51 ?1 ?331 ? 2 ?2 ?3 52 ?3 5 5
5 15 55 15 55 13 35 13 35 53 35 55 13 35 53 35 13 3 2 53 52 53 52 53 32 53 33 53 33 52 53 33 53 32 53 3
b) 32 48 8 1081 21 2481 2 2 52 51082 5
 
2 22 2 3 23 2 2 3
2 2 2 32 3 2 2 2 3 3
2 22 2 2 32 3 2 22 2 2 32 3 3
2 22 2 4 34 3 2 22 2 2 3 3
4 24 2 4 34 3 2 22 22 22 2 6 36 36 36 3 2 22 22 22 2 2 32 3
5 45 42 25 42 22 25 4 3 23 22 33 22 33
4 44 42 24 42 2 2 34 42 3 2 22 22 22 22 2 2 32 22 32
4 24 22 24 22 22 24 22 34 22 3 2 22 22 22 22 22 22 22 22 32 22 32
22 222 2
5 15 12 25 12 22 25 42 25 12 25 15 4 ? 23 2? 23 2 2 ?2 ?2 32 ?2 3 5
5 ?5 ?2 25 ?2 2 1 ?1 ?2 31 ?2 34 41 ?4 44 41 ?2 34 42 31 ?1 ?4 4 2 ?2 ?2 22 ?2 2 2 ?2 ?2 32 ?2 3 ? 53? 5
5 ?5 ?2 25 ?2 2 1 ?2 31 ?2 34 21 ?4 22 34 22 31 ?1 ?4 2 2 ?2 ?2 22 ?2 2 2 ? ?2 ? ?2 32 ? ?2 32 32 ? ? 5
5 12 25 12 25 12 222 25 12 2 22 22 22 22 2 ? ?2 3? ?2 3 5
5 14 25 14 25 1 2 2 5 22 22 2 5 22 22 2 5 26 32 2 5 26 32 2 5 22 22 2 5 22 22 2 5 2
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16 Funções exponencial e logarítmica
c) 8 68 6 21 7 47 48 147? 18 6? 18 68 6? 1 ? 5? 57 4? 57 4 1 51 51471 5
 
2 3 3 7 2 32 3 3 73 7
2 32 32 32 3 7 37 3 4 34 34 34 3 7 37 3 11 3
4 24 22 34 22 3 3 74 2 4 24 24 24 22 34 22 32 34 23 74 23 74 2
22 322 3
5 ?5 ?2 35 ?2 3 1 ?1 ?3 71 ?3 74 21 ?4 24 21 ?3 74 21 ?1 ?4 2 5 ?5 ?2 35 ?2 3 1 ?1 ?3 71 ?3 74 21 ?4 24 21 ?3 74 21 ?1 ?4 2 5
5 12 35 12 35 12 322 35 12 5 14 35 14 35 1 5
d) 128 1458 2 22 2 33 3 72 272 23 2 63 22 23 22 21 51 51 511 54581 531 5 1 ?2 21 ?2 22 21 ?2 23 22 21 ?1 ?3 2 5? ?? ?2 2? ?7? ?2 272 2? ?? ?73 2? ?3 2 3 2? ?3 22 23 22 2? ?2 2? ?3 22 21 ?2 2? ?? ?1 ?2 23 22 21 ?1 ?3 2? ?2 2? ?3 22 21 ?? ?1 ?3 2
 2 22 2 2 32 3 2 22 2 3 23 2 5 25 2
62 262 26 162 262 2 6 662 362 3 6 6 66 6 66 6 62 26 6 62 22 26 6 63 26 6 63 23 26 6 65 26 6 65 25 ?5 ?2 25 ?2 265 ? 1 ?1 ?2 31 ?2 361 ? 5 12 25 12 25 16 6 65 16 6 62 26 6 62 25 16 6 62 26 6 65 16 6 656 6 656 6 6
e) ( )( )( )( )6 3( )6 3( )( )6 3( )2 1( )( )2 1( )8( )( )1 2( )( )1 2( )2 1( )1 2( )1 22 1 5
 
6 3 6 2 6 18
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3 3
3 23 2 2 32 3 2 3 3 3 2 2 3 6 3
3 23 2 4 34 3
2
2 22 22 32 22 3 2 22 32 22 3 32 2
5 ?5 ?6 35 ?6 3 1 ?1 ?6 21 ?6 2 2 ?2 ?6 12 ?6 1 5
5 ?5 ?2 3 35 ?2 3 3? 12 3 3? 12 3 3 2 3 2? ?2 3 2 2 2 3 2 3? ? ?2 3 2 3 5
5 ?5 ?2 35 ?2 3 1 ?1 ?2 31 ?2 32 21 ?2 22 21 ?2 32 22 31 ?1 ?2 2 2 ?2 ?2 32 ?2 3 ? 53? 5
5 1 23 25 1 23 25 1 22 35 1 22 35 1 2 ? ?2 3? ?2 3 5 1 25 1 25 1 23 35 1 23 3 2 25 1 22 2 3 65 1 23 6 5
5 23 25 23 25 2
f ) ;2 42 4 2 2 2 22 2;2 2 232 432 45 3 22 23 22 235 52 252 23 5 5 5;5 5152 2152 252 252 2 35 ?5 ?5 ?2 25 ?2 235 ? 5 55 52 25 52 23 55 5 53 5?3 5
g) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )3 2( )( )3 2 3 2( )3 2( ) 3 23 2 ( )2( )2 2( )2 2( )2 2 21 5( )1 5( )3 2( )1 5( )1 53 2( )3 21 51 53 2 1 ?3 21 ?3 2 ? 13 2? 13 23 2? 1 5
 3 2 6 2 5 2 65 13 25 13 2 1 5 12 5 21 5 12 5 2
4 Qual é o maior valor entre 2, 7 e 56 46 47 e6 4 ?
RESOLUÇÃO:
Vamos deixar todos os radicais com o mesmo índice:
mmc(2, 4, 6) 5 12 
2 22 2 2 62 64
7 77 7 7 47 49
5 55 5 5 125
12 212 22 1 62 62 22 62 2 62 662 612 122 6122 6
17 717 76 1 26 27 76 27 7 27 427 412 127 4127 4
15 515 54 1 34 35 54 35 5 312 12
5 52 25 52 22 25 52 22 62 25 55 52 6 2 652 6
5 57 75 57 77 75 57 76 27 75 55 56 2 7 457 4
5 55 55 55 55 55 55 54 35 55 55 54 3 5
1 6?1 62 6?2 62 22 6?2 2?2 6
1 2?1 26 2?6 27 76 2?7 7?6 2
1 3?1 34 3?4 35 54 3?5 5?4 3
Em ordem crescente, temos:
49 64 12512 12 12, ,, ,64, ,12, ,
Logo:
7 27 2 56 46 46 47 26 47 26 4, ,7 2, ,7 27 2, ,6 4, ,6 47 26 4, ,7 2, ,6 47 26 4, ,, ,6 4
O maior valor é 54 .
PARA CONSTRUIR
8 Efetue as operações com os radicais:
a) 125 3 5 201 2
 
1 2 5 1 2 5
5 ? 1 2 ? 5
5 1 2 5
125 3 5 20 5 3 5 20
5 5 3 5 2 5
5 5 3 5 2 5 6 5
3
2 2
b) 6 3 75 4 12 271 1 2
 
1 1 2 5
5 1 ? 1 ? 2 5
5 1 1 ? ? 2 ? 5
5 1 1 2 5
6 3 75 4 12 27
6 3 3 5 4 2 3 3
6 3 5 3 4 2 3 3 3
6 3 5 3 8 3 3 3 16 3
2 2 3
2
c) ( )2 3 12 31
 
( )1 5 ? ? 1 ? ? 5
5 1 5 ? 1 ? 5 1 5
2 3 12 3 2 3 12 2 3 3
2 36 2 9 2 6 2 3 12 6 18
d) ( )2 10 3 40 901 2
 
( )1 2 5
5 ? 1 ? ? 2 ? 5
5 1 2 5
5 ? 1 ? ? 2 ? ? 5
5 1 ? 2 ? ? 5
5 1 2 5
2 10 3 40 90
2 10 3 2 40 2 90
20 3 80 180
2 5 3 2 5 2 3 5
2 5 3 2 5 2 3 5
2 5 12 5 6 5 8 5
2 4 2 2
2
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Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
17
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 11
e) ( )( )2 3 3 31 2
 
( )( )1 2 5 2 1 2 5 12 3 3 3 6 2 3 3 3 3 3 3
f ) ( )( )2 3 2 2 31 2
 
( )( )1 2 5 2 1 22 3 2 2 3 2 2 2 6 2 3 6
g) ( )( )2 5 7 5 2 71 2
 
( )( )1 2 5 2 1 2 5 2 22 5 7 5 2 7 10 4 35 35 14 4 3 35
h) ( )( )8 2 32 2 162 2
 
( )( ) ( )( )2 2 5 2 2 5
5 2 2 1 5 2
8 2 32 2 16 2 2 2 4 2 8
16 16 2 8 8 2 8 8 2
9 Coloque os radicais 2 , 4 , 17 e 403 4 6 em ordem crescente.
( ) 5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
??
??
??
??
mmc 2, 3, 4, 6 12
2 2 2 64
4 4 4 256
17 17 17 4 913
40 40 40 1600
12 1 62 6 612 12
13 1 43 4 412 12
14 1 34 3 32 12
16 1 26 2 212 12
Em ordem crescente, temos:
, , ,64 256 1600 4 91312 12 12 12
Logo:
, , ,2 4 40 173 6 4
 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES
Observe a seguir como podemos aplicar as propriedades da potenciação na simplificação de 
expressões.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5 Simplifique a expressão ( )












 













0,001 1000
10
( )0,( )( )0001( )
4
5
2
3?
? .
RESOLUÇÃO:
( )
( ) ( )
( )














 








































 













 













 














0,001 1000
10
( )0,( )( )0001( )
10 ( )10( )
10
( )10( )
10 10
10
10 10
10
10
( )10( ) 10 10 10 10 ou 0,0001.4
5
2
3
3 3( )3 3( )( )10( )3 33 310 4
5
2
( )4( )3
3 1103 12
5
2
12
9
5
2
12
( )4( )2 12 8 1108 12 4102 4
?
? 5( )? 5? 5( )? 5( )0,( )? 50,( )0001( )? 50001
5
?
5
5
?
? 510? 5 ? 510? 5
5 ?( )5 ?5 ?( )5 ?( )10( )5 ?10 5 ?105 ? 5
2
( )2( )
2
2 22 2

2 22 2

2 22 2

2 22 2

102 2102 22 2122 2
2 2102 22 2122 28 12 28 1108 12 22 28 12 422 4
6 Transforme em produto a expressão 2x 2 2 1 2x 2 1.
RESOLUÇÃO:
2x 2 2 1 2x 2 1 5 2x ? 222 1 2x ? 2x 2 1 5 2x (222 1 221) 5
 ↑
 colocando 2x em evidência
2 1
4
1
2
2 3
4
3
4
2x x2x xx x1x x1x xx x xx xx x
x xx x




5 125 15 15 1x x5 1x x1x x5 15 1x xx x5 15 1x xx x5 15 15 1



5 15 1 5 ?25 ? 5 ?5 ?
7 Se A 5 2x 1 22x e B 5 2x 2 22x, calcule o valor de A2 2 B2 para 
todo x real.
RESOLUÇÃO:
A2 2 B2 5 (A 1 B)(A 2 B) ⇒ A2 2 B2 5
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒[ ]( )[ ]( )[ ][ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ] ( )[ ]2 2( )2 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]( )[ ]x x( )x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]
A
( )[ ]x x( )x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]
B
( )[ ]x x( )x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]
A
( )[ ]x x( )x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]
B
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� � �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �� � �� �� �� �� � �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �� � �� �� �� �� � �� ��� ��� ��� ����� �
5 1[ ]5 1( )[ ]5 15 1[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]5 1( )5 1[ ]( )2 25 12 2[ ]( )[ ]2 22 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]5 1( )5 1[ ]5 12 25 12 2[ ]5 1x x5 1x x[ ]5 1x x2 25 1x x2 2[ ][ ]1 2[ ]( )[ ]1 21 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]1 2( )1 2[ ]( )2 21 22 2[ ]( )[ ]2 22 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]1 21 2[ ]1 22 21 22 2[ ]1 2x x1 2x x[ ]1 2x x2 21 2x x2 2[ ][ ]1 2[ ]( )[ ]1 21 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]1 2( )1 2[ ]( )2 21 22 2[ ]( )[ ]x x( )x x[ ]1 21 2[ ]( )x x1 2x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x xx x[ ]( )2 2x x2 2[ ]1 2( )1 2[ ]1 22 21 22 2[ ]1 2x x1 2x x[ ]1 2x x2 21 2x x2 2[ ]( )[ ]2 22 2[ ]2( )2[ ]( )2 222 2[ ][ ]2 2( )[ ]2 22 2[ ]( )[ ]2 22 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]2 22 2[ ]( )2 22 22 2[ ]( )[ ]x x( )x x[ ]2 2( )2 2[ ]( )x x2 2x x[ ]( )[ ]x xx x[ ]2 2( )2 2[ ]( )x x2 2x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]2 22 2[ ]2 22 22 22 2[ ]2 2x x2 2x x[ ]2 2x x2 22 2x x2 2[ ][ ]2 2( )[ ]2 22 2[ ]( )[ ]2 22 2[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]2 22 2[ ]( )2 22 22 2[ ]( )[ ]x x( )x x[ ]2 2( )2 2[ ]( )x x2 2x x[ ]( )[ ]x xx x[ ]2 2( )2 2[ ]( )x x2 2x x[ ]( )[ ]2 2( )2 2[ ]x x( )x x[ ]( )2 2x x2 2[ ]2 22 2[ ]2 22 22 22 2[ ]2 2x x2 2x x[ ]2 2x x2 22 2x x2 2[ ]
 
⇒ A2 2 B2 5 [2 ? 2x][2 ? 22x] ⇒
⇒ A2 2 B2 5 4 ? 2x ? 22x ⇒
⇒ A2 2 B2 5 4 ? 20 5 4 ? 1 5 4
8 Escreva a expressão a aa a3a a3a a na forma de potência.
RESOLUÇÃO:
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )a aa a ( )a a( )( )a a ( )a a( ) ( )a( )
a a( )a a( )
3 33 3( )3 3( )a a3 3a aa a3 3( )a a( )3 3( )3 3a a
1
2 ( )1( )( )3( )
1
2 ( )1( )( )1( )( )3( )
1
2
( )4( )( )3( )( )a a3( )3a a
1
2 2
3
5 5( )5 5( )a a( )5 5a a( )a a5 5a a3 35 53 3( )3 35 53 3( )a a( )3 3( )3 3a a5 5a a( )3 33 3a a 25 5 ? 5( )? 5( )a a( )? 5( )? 5a a( )3( )? 5? 53 5
5 5
( )
5 5a a5 5a a( )a a( )5 5a a( )a a3( )3a a5 5a a( )33a a
( )1( )
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18 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 12 a 14 Para aprimorar: 1
PARA CONSTRUIR
10 (IFCE) Para todo número real positivo a, a expressão 
a a a
a
3 5
1 1 é equivalente a: b
a) 1 1 a 1 a.
b) 1 1 a 1 a2.
c) a 1 a.
d) a 1 a2.
e) 1 1 a.
1 1
5
a a a
a
3 5
( )
5
1 1
5
5
1 1
5
5
? 1 1
5 1 1
a a a
a
a a a a a
a
a 1 a a
a
1 a a
3 5
2
2
2
11 Transforme em produto a expressão 3x 1 2 1 3x 2 1 2 3x.
2 2
? 1 ? 2 5 1 2 5
5 1 2 5
5 ? 5 ?
)(
)(3 3 3 3 3 3 3 3 1
3 9
1
3
1
3
25
3
25
3
3
x 2 x 1 x x 2 1
x
x x
12 Simplifique as expressões a seguir para x . 0.
a) x x x
x x
3
1
2
3
2
2 3
? ?
?
2
2
 
2
2
2
2 2
1 1
? ?
?
5 ? 5 ? 5
5 ? 5 ? 5 5
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x
3
1
2
3
2
2 3
3
1
2
3
2
2 3
5
2
3
2
1
5
2
3
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2 5
b) 
x
x
 
2
5 5 5 5 5
)(x
x
x
x
x x x x
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2 1
4
 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vamos agora estudar a função exponencial definida por f(x) 5 ax.
Definição
Dado um número real a (a . 0 e a ± 1), uma função f de R em R* definida por f(x) 5 ax ou 
y 5 ax é denominada função exponencial de base a.
Exemplos:
1o) f(x) 5 3x
2o) y 5 5x
3o) f(x) 5 


1
2
x
4o) f(x) 5 (0,4)x
5o) (x) 5 ( )2 x
6o) f(x) 5 10x
Observação:
As restrições a . 0 e a ± 1 dadas na definição são necessárias, pois:
 Para a 5 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em R).
 Para a . 0 e x 5 
1
2
, por exemplo, não haveria ax (não teríamos uma função em R).
 Para a 5 1 e x qualquer número real, ax 5 1 (função constante).
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Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
19
Gráfico da função exponencial
Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais, a primeira com a . 1 e a segunda 
com 0 , a , 1.
1a) f(x) 5 2x ou y 5 2x
 → → → → → → →
x −3 −2 −1 0 1 2 3
2x 2−3 2−2 2−1 20 21 22 23
y 5 2x
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8
 → → → → → → →
x0 1
1
2
3
4
8
y
1
2
212223 2 3 4
2a) f(x) 5 


1
2
x
 ou y 5 


1
2
x
 → → → → → → →
x −3 −2 −1 0 1 2 3




1
2
x
1
2
3




2
1
2
2




2
1
2
1




2
1
2
0




1
2
1




1
2
2




1
2
3




5



y
1
2
x
8 4 2 1
1
2
1
4
1
8
 ← ← ← ← ← ← ←
Pela observação das tabelas e dos gráficos, podemos concluir que, para uma função exponencial:
 D(f) 5 R, CD(f) 5 R*
1
, Im(f) 5 R*
1
, f(1) 5 a e f(x
1
 1 x
2
) 5 f(x
1
) ? f(x
2
);
 o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1);
 o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; 
 para a . 1, a função é crescente x x a a ;1 2
x1 x2
. . )( ⇒
 para 0 , a , 1, a função é descrescente x x a a1 2
x1 x2
. , )( ⇒ ;
 a função exponencial é sobrejetiva: Im(f) 5 CD(f), ou seja, para todo número real b . 0, existe 
algum x [ R tal que ax 5 b (todo número real positivo é uma potência de a);
 a função exponencial é injetiva ± ±( )⇒ ⇒x x a a ou a a x x1 2 x1 x2 x1 x2 1 25 5 ;
 a função exponencial é bijetiva, logo, admite função inversa;
 a função exponencial é ilimitada superiormente.
x
y
0 1
1
2
3
4
8
212223 2 3
 Como garantir que o gráfico 
passa por (0, 1)?
 Justifique por que o gráfico 
não toca o eixo x e não tem 
pontos nos quadrantes III e IV.
PARA
REFLETIR
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 19 3/31/15 8:53 AM
20 Funções exponencial e logarítmica
Característica fundamental da função exponencial
x
0
 → f(x
0
) 5 ax0
→
→
→
x h f(x h) a a a
k a kf(x )
x 2h f(x 2h) a a a
a a a k f(x h)
x 3h f(x 3h) a a a
k f(x 2h)
0 0
x0 h x0 h k
x0
0
0 0
x0 2h x0 2h
x0 h h k
0
0 0
x0 3h x0 2h h k
0
1 1 5 5 ? 5
5 ? 5
1 1 5 5 ? 5
5 ? ? 5 ? 1
1 1 5 5 ? 5
5 ? 1
1 5
1
5
1 1 5
etc.
Por exemplo, observe no gráfico de f(x) 5 2x (p. 19), fazendo x
0
 5 −1 e h 5 1:
x
0
 5 −1 → f(−1) 5 1
2
x
0
 1 h → −1 1 1 5 0 → f(0) 5 1 5 2 ? f(−1)
x
0
 1 2h → −1 1 2 5 1 → f(1) 5 2 5 2 ? f(0)
x
0
 1 3h → −1 1 3 5 2 → f(2) 5 4 5 2 ? f(1)
etc.
Observação: 
As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) 5 ax podem ser aplicadas em outras 
funções em que a variável aparece no expoente, como:
f(x) 5 2 ? 3x
f(x) 5 5x22
f(x) 5 5x 2 2
Por exemplo, seja f a função de R em R definida por f(x) 5 4x 1 1; vamos:
 calcular f(−2), f(−1), f(0), f(1) e f 



3
2
;
 construir o gráfico de f e determinar D(f) e Im(f).
 




f( 2) 4 1
1
16
1
17
16
1,0625
f( 1) 4 1
1
4
1
5
4
1,25
f(0) 4 1 1 1 2
f(1) 4 1 4 1 5
f
3
2
4 1 64 1 8 1 9
2
1
0
1
3
2
2 5 1 5 1 5 5
2 5 1 5 1 5 5
5 1 5 1 5
5 1 5 1 5
5 1 5 1 5 1 5
2
2
x y
−2
1716
1,06255
−1
5
4
1,255
0 2
1 5
3
2
9
x
y
1
1 20
2
3
5
4
2122
D(f) 5 R
Im(f) 5 {y [ R|y . 1}
Acréscimos iguais dados a x fa-
zem que f(x) fique multiplicada 
sempre pela mesma constante.
PARA
REFLETIR
O que muda no gráfico de f(x) 5
5 4x 1 1 em relação ao gráfico 
de f(x) 5 4x ?
PARA
REFLETIR
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Funções exponencial e logarítmica
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E
M
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IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
21
EXERCÍCIO RESOLVIDO
9 A seguir temos os gráficos das funções exponenciais f e g 
definidas por f(x) 5 rx e g(x) 5 sx.
x
y
2,25
22
f(x) 5 rx
x
y
g(x) 5 sx
2
6,25
Com base nos gráficos, responda:
a) r . 1 ou 0 , r , 1?
b) s . 1 ou 0 , s , 1?
c) f é crescente ou decrescente? E g é crescente ou de-
crescente?
d) f(7) é maior, menor ou igual a f(3)?
e) g(5) é maior, menor ou igual a g(4)?
f ) Traçando os gráficos de f e g no mesmo sistema de eixos, 
em que ponto os gráficos vão se intersectar?
Observação:
As funções f e g não possuem zeros (raízes).
g) Entre as sentenças seguintes, identifique as de f e g:
 I. 


 



f (x) 2
3
x
5
 II. 


 



f (x) 2
5
x
5 
 III. 


 



g(x) 3
2
x
5
IV. 


 



g(x) 5
2
x
5
RESOLUÇÃO:
a) 0 , r , 1
b) s . 1
c) f é decrescente, e g é crescente.
d) f(7) , f(3)
e) g(5) . g(4)
f ) No ponto (0, 1).
g) 


 



 



 



f(x) 2
3
; g(x) 5
2
x x

x x

x x
5
x x
5 55 5

5 5



5 55 5

5 5



5 55 5 ; g5 5(x5 5)5 5
PARA CONSTRUIR
13 Verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de 
uma função exponencial.
a) f(x) 5 9x 
b) f(x) 5 (0,666...)x 
c) f(x) 5 (−4)x 
d) y 5 2x 
e) y 5 x2
f ) f(x) 5 0x
g) f(x) 5 1x
h) 

f (x)
1
5
x
5
a, b, d, h
14 Dada a função exponencial f(x) 5 4x, determine:
a) f(3)
f(3) 5 43 5 64
b) f(−1)
f(21) 5 421 5 
1
4
c) 

f
1
2



 5 5 5f
1
2
4 4 2
1
2
d) 

f
1
2
2
2
2 5 5 5)(f 12 4 1
4
1
2
1
2
1
2
e) m tal que f(m) 5 1 
4m 5 1 ⇒ m 5 0
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22 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 18 Para aprimorar: 2
15 (UFRN) A pedido do seu orientador, um bolsista de um labo-
ratório de Biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos 
dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma 
cultura de microrganismos. 
N
t
20
2
10
0
Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que 
a cultura crescia segundo o modelo matemático, N 5 k ? 2at, 
com t em horas e N em milhares de microrganismos. 
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo 
bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados 
com t 5 4 horas e t 5 8 horas. 
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, 
nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na 
quantidade de microrganismos de: d
a) 80 000.
b) 160 000.
c) 40 000.
d) 120 000.
16 Construa o gráfico das funções e confirme as observações 
feitas sobre as funções exponenciais.
a) f: R → R* dada por f(x) 5 3x 
y
x
21
1
2
3
4
5
6
7
8
y 5 3x
9
10
10212223 2 3
b) f: R → R* definida por f(x) 5 


1
4
x
y
x
21
1
2
3
4
5
6
7
8
y 5
102122 2
x
1
4
En
em
C-5
H-2
0
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns 
exemplos:
 4x 5 32 25 5x 1 x51 




1
3
81
x
5 22x 5 2x 1 12
Resolução de equações exponenciais simples
Vamos primeiramente resolver equações exponenciais que podem ser transformadas numa 
igualdade de potências de mesma base.
Para resolvê-las, usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para a . 0 e 
a ± 1, temos:
⇔a a x xx1 x2 1 25 5
Do gráfico, temos:
(0,10) ⇔ 10 5 k ? 2a ? 0 ⇔ k 5 10
e
⇔
⇔
⇔
5 ?
5
5
?
(2, 20) 20 10 2
2 2
a
1
2
a 2
2a
 
Logo, 5 ?N(t) 10 2
t
2 e, portanto, se o modelo estiver 
correto, o aumento na quantidade de microrganismos 
entre t 5 4 e t 5 8 horas deve ter sido de:
N(8) 2 N(4) 5 160 2 40 5 120 000
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A
 
 
Á
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G
E
B
R
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23
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10 Resolva as equações:
a) 3x 2 1 5 81
b) 


 



1
2
4
x
3
5
c) 2 152 12 22 1x 32 1x 32 12 22 1x 32 2x 32 1x 42 1x 42 12 22 1x 42 2x 42 1
2x 32x 3
d) 9 1
27
x 1
5
x 11x 1
e) 0,75 9
16
x
5
RESOLUÇÃO:
a) 3x 2 1 5 81
 Vamos transformar a equação dada numa igualdade de 
potências de mesma base:
 3x 2 1 5 81 ⇒ 3x 2 1 5 34
 Igualando os expoentes, temos:
 x 2 1 5 4 (equação do 1o grau em x) ⇒ x 5 5
 Verificação: x 5 5 ⇒ 3x 2 1 5 35 2 1 5 34 5 81
 S 5 {5}
b) 


 



1
2
4
x
3
5
 
{ }{ }
( ) ( )



 



 ⇒ ⇒( )⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
1
2
4 2( )4 2( )⇒ ⇒4 2( )⇒ ⇒4 2( )4 2⇒ ⇒4 2⇒ ⇒4 2⇒ ⇒ ( )2( )
2 2⇒ ⇒2 2⇒ ⇒ x 2
3
x 2
3
S { }2{ }{ }3{ }
x
3 ( )1( )( )⇒ ⇒1( )1⇒ ⇒x
1
34 234 2⇒ ⇒4 23⇒ ⇒34 2 x 2( )x 2( )( )2( )x 2x 22
1
3
x2 2x2 2⇒ ⇒2 2x⇒ ⇒x2 2
2
3⇒ ⇒3⇒ ⇒
5 55 5⇒ ⇒5 5⇒ ⇒( )⇒ ⇒5 55 5⇒ ⇒4 25 5⇒ ⇒4 25 55 54 2( )⇒ ⇒4 2( )4 2⇒ ⇒5 55 5⇒ ⇒( )4 25 54 2⇒ ⇒35 5 5
5 2⇒ ⇒5 2⇒ ⇒2 2⇒ ⇒5 2⇒ ⇒5 22 2⇒ ⇒3⇒ ⇒5 25 23 5 55 5⇒5 5x5 5 2
5 2{ }5 2{ }
2 24 22 22 2( )2 24 22 2( )2 2( )( )1( )2 22 21 4 234 22 23
2 222 2
 
Faça a verificação do item b.
PARA
REFLETIR
c) 2 1x 32 1x 32 1x 42 1x 42 1
2x 32x 32 152 12 12 22 1x 32 12 22 12 2x 32 1x 42 12 22 12 2x 4
 Como 1 5 20, podemos escrever 2 2x 32 2x 32 2−2 2x 3x 32 2x 42 2x 42 20
2x 32x 32 252 22 2x 422 22x 4
 x2 2 3x 2 4 5 0 (equação do 2o grau em x)
 ∆ 5 25
 x’ 5 4 e x” 5 21
 S 5 {−1, 4}
d) ( )⇒ ⇒⇒ ⇒( )⇒ ⇒ ⇒9 1
27
( )3( )( )⇒ ⇒3( )3⇒ ⇒1⇒ ⇒1⇒ ⇒
3
3 3x 1 ( )2( )( )⇒ ⇒2( )2⇒ ⇒x 1
3
⇒ ⇒
3
⇒ ⇒ 2x3 32x3 32 33 32 33 35 55 5⇒ ⇒5 5⇒ ⇒( )⇒ ⇒5 55 5⇒ ⇒( )⇒ ⇒3( )3⇒ ⇒5 55 5⇒ ⇒( )3⇒ ⇒ 3 353 3x 11x 1 x 11x 1 1 23 31 23 32 31 22 33 32 33 31 21 22 3
 
{ }{ }
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
2x⇒ ⇒2x⇒ ⇒2 3⇒ ⇒2 3⇒ ⇒ 2x 3 2
2x⇒ ⇒2x⇒ ⇒5 x⇒ ⇒5 x⇒ ⇒ 5
2
S { }5{ }{ }2{ }
1 5⇒ ⇒1 5⇒ ⇒2 31 5⇒ ⇒2 3⇒ ⇒1 5⇒ ⇒1 52 32 5⇒ ⇒2 5⇒ ⇒2 3⇒ ⇒2 5⇒ ⇒2 52 3 2x2 5 2 23 22 23 2
⇒ ⇒5 2⇒ ⇒ 5 2
5 2{ }5 2{ }
e) ⇒ 


 



 ⇒0,75 9
16
75
100
9
16
x
x
5 55 55 5⇒5 55 5

5 55 5

5 5



5 55 5
 
⇒ 


 



 ⇒ 


 



 



 



 ⇒3
4
3
4
3
4
3
4
x 2
x 2
2
x 2

x 2

x 2
3
x 2
5 55 55 5⇒5 55 5

5 55 5

5 5



5 55 5 x 25x 2
 S 5 {2}
11 Calcule x e y neste sistema de equações:











5 1
3 9 1
9
x y5 1x y5 1
x y3 9x y3 9
5 155 1
? 53 9? 53 9x y? 53 9x y? 53 9? 5x y
1x y1x y5 1x y15 11x y
RESOLUÇÃO:
5x 1 y 5 1 ⇒ 5x 1 y 5 50 ⇒ x 1 y 5 0
3x ? 9y ⇒ 1
9
 ⇒ 3x ? 32y 5 3−2 ⇒
⇒ 3x 1 2y 5 3−2 ⇒ x 1 2y 5 −2
Os valores de x e y serão obtidos resolvendo-se o sistema do 
1o grau: 
{x y 0x 2y 21 5x y1 5x y1 5x 21 5x 2y 21 5y 2y 22y 2 ⇒ x 5 2 e y 5 −2
S 5 {(2, −2)}
12 Resolva as seguintes equações:
a) 3 ? 4x 1 1 5 96
b) 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18
c) 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0
RESOLUÇÃO:
a) 3 ? 4x 1 1 5 96 ⇒ 4x 1 1 5 96
3
 ⇒ 4x 1 1 5 32 ⇒
 ⇒ (22)x 1 1 5 25 ⇒ 22x 1 2 5 25 ⇒
 ⇒ 2x 1 2 5 5 ⇒ 2x 5 5 2 2 ⇒ 2x 5 3 ⇒ x 5 3
2
 S 5 { }{ }{ }3{ }{ }2{ }
b) 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18 ⇒ 2x ? 22 1 2x ? 2−1 5 18 (propriedade 
am 1 n 5 am ? an)
 Fazendo 2x 5 y, temos:
 y ? 4 1 y ? 1
2
 5 18 ⇒ 4y
y
2
181 51 5
y
1 5 ⇒
 ⇒ 8y 1 y 5 36 ⇒ 9y 5 36 ⇒ y 5 4
 2x 5 y e y 5 4 ⇒ 2x 5 4 ⇒ 2x 5 22 ⇒ x 5 2
 S 5 {2}
c) 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0 ⇒ (2x)2 2 9(2x) 1 8 5 0 (propriedade 
2mn 5 (2m)n)
 Fazendo 2x 5 y, temos:
 y2 2 9y 1 8 5 0 (equação do 2o grau em y)
 ∆ 5 49
 y’ 5 8 e y” 5 1
 Como 2x 5 y, temos:
 
2 1 2 2 x 0
2 8 2 2 x 3
x x2 1x x2 1 2 2x x2 20
x x2 8x x2 8 2 2x x2 23{ ⇒ ⇒2 2⇒ ⇒x x⇒ ⇒x x2 2x x2 2⇒ ⇒⇒ ⇒x x 0⇒ ⇒⇒ ⇒2 2⇒ ⇒x x⇒ ⇒x x2 2x x2 2⇒ ⇒x x 3⇒ ⇒5 52 15 52 1x x5 52 1x x5 52 15 5x x⇒ ⇒5 52 2⇒ ⇒5 52 25 5⇒ ⇒x x⇒ ⇒x x5 55 5⇒ ⇒2 2x x2 2⇒ ⇒⇒ ⇒x x5 55 5x x2 2⇒ ⇒5 5⇒ ⇒x x x 05x 05 52 85 52 8x x5 52 8x x5 52 85 5x x⇒ ⇒5 52 2⇒ ⇒5 52 25 5⇒ ⇒xx⇒ ⇒x x5 55 5⇒ ⇒2 2x x2 2⇒ ⇒x x5 55 5x x2 2⇒ ⇒5 5⇒ ⇒x x x 35x 3
 S 5 {0, 3}
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 23 3/31/15 8:53 AM
24 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 19 a 22 Para aprimorar: 3 a 5
PARA CONSTRUIR
17 (ESPM-SP) Se (4x)2 5 16 ? 2x
2
, o valor de xx é: b
a) 27.
b) 4.
c) 
1
4
.
d) 1.
e) 
1
27
.2
Como 
1
5 ? 5
1 5
2 5
5
(4 ) 16 2 2 2
x 4 4x
(x 2) 0
x 2
x 2 x
2
4x x
2
4
2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
segue-se que xx 5 22 5 4.
18 Descubra qual par (x, y) é a solução do sistema




4 8 1
4
9 27 3
x y
x 2y
? 5
? 5
? 5
? 5
1 5 2 ? 2
1 5
2 2 5
1 5
5 5
1 5 5 2
5 2( )



⇒



⇒
⇒



⇒ ⇒
⇒






2 2 2
3 3 3
2x 3y 2 ( 1)
2x 6y 1
2 3y 2
2x 6y 1
3y 3 y 1
2x 6 1 x
5
2
S
5
2
,1
2x 3y 2
2x 6y 1
2
19 Resolva as seguintes equações:
a) 2x 2 3 1 2x 2 1 1 2x 5 52
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 52 2 (2 2 1) 52
2
1
8
1
2
1 52 2
13
8
52
2 52
8
13
2 32 2 2 x 5
S {5}
x 3 x 1 x x 3 1
x x
x 4
1
x x 5
⇒ ⇒
⇒ 

 ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
? 1 ? 1 5 1 1 5
1 1 5 ? 5
5 ? 5 5 5
5
b) 7x 1 7x 2 1 5 8
 
2
1 ? 5 1 5
? 5 5 ? 5 5
5
7 7 7 8 7 1
1
7
8
7
8
7
8 7 8
7
8
7 7 x 1
S {1}
x x 1 x
x x 1
1
x
)(⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
c) 4 ? 2x 1 2x 2 1 5 72
 
2 2
? 1 ? 5 1 5
1 5 ? 5 5 ?
5 5 5
5
4 2 2 2 72 2 (4 2 ) 72
2 4
1
2
72 2
9
2
72 2 72
2
9
2 16 2 2 x 4
S {4}
x x 1 x 1
x x x 8
1
x x 4
)(
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
d) 1 3 1
3
1
x
x
1
2
5 2
 
2
2
5 2 2 5 2 ? 1 ? 5
1 5 5 5 5 2
5 2
3 1
3
2 3 1 2 3 3 2 3 1
3 (1 2) 1 3
1
3
3 3 x 1
S { 1}
x
x
x x x x
x x x 1
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
20 (UFPR) Uma pizza a 185 °C foi retirada de um forno quente. 
Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65 °C será 
possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem 
se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus 
Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minu-
tos, pela expressão T 5 160 3 220,8t 1 25. Qual é o tempo 
necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza 
com as mãos nuas, sem se queimar? c 
a) 0,25 minuto. 
b) 0,68 minuto. 
c) 2,5 minutos. 
d) 6,63 minutos. 
e) 10,0 minutos. 
?
?
?
T 160 2 25
65 160 2 25
40 160 2
2
1
4
2   2
0,8t 2
t 2,5 minutos
0,8t
0,8t
0,8t
0,8t
0,8t 2
= +
= +
=
=
=
− = −
=
−
−
−
−
− −
21 (Cefet-MG) O produto das raízes da equação exponencial 
3 ? 9x 2 10 ? 3x 1 3 5 0 é igual a: b
a) 22.
b) 21.
c) 0.
d) 1.
Vamos resolver como uma equação de 2o grau (como foi feito no 
item c do exercício resolvido 12).
2
? 2 ? 1 5
? 2 ? 1 5
5 5 5
5 5 2
3 9 10 3 3 0
3 3 10 3 3 0
3
10 8
6
3 3 ou 3 3
x 1 ou x 1
x x
x 2 x
x x x 1
)(
⇒
⇒ ⇒
⇒ ± ⇒ ⇔
⇔
Logo, o produto das raízes será dado por 1 ? (21) 5 21. 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 24 3/31/15 8:53 AM
Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
25
 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Desigualdades como as seguintes são chamadas inequações exponenciais:
3x 2 1 > 27
,25 5x
<
28
1
16
x 1
x
Para resolvê-las, devemos nos lembrar de que a função exponencial f(x) 5 ax é crescente para 
a . 1 e decrescente para 0 , a , 1.
 f(x) 5 ax com a . 1
Neste caso de a . 1, o sentido da desigualdade foi conservado.
 f(x) 5 ax com 0 , a , 1 
Neste caso de 0 , a , 1, o sentido da desigualdade foi trocado.
x
y
am
an
0 n
(0, 1)
m
Função crescente
am . an ⇔ m . n
x
y
an
am
0 m n
(0, 1)
am , an ⇔ m , n
x
y
am
an
0m n
(0, 1)
x
y
an
am
0n m
(0, 1)
Função decrescente
am . an ⇔ m , n am , an ⇔ m . n
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 25 3/31/15 8:53 AM
26 Funções exponencial e logarítmica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
13 Resolva as inequações:
a) 2x 1 7 , 32
b) 10x 2 3 . 1
c) 


 



1
2
4
x 1
x 3
>
x 11x 1
x 31x 3
d) 


 



 



 



1
3
1
3
x2 x 2

x 2

x 2
1
x 2
.
2
e) 4 , 2x 1 1 < 32
f ) 
1
9
9 3x 19 3x 19 3x, <9 3, <9 39 3x 19 3, <, <x 19 3x 129 32x 1
RESOLUÇÃO:
a) 2x 1 7 , 32 ⇒ 2x 1 7 , 25 → desigualdade de potências de 
mesma base 
 a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desigualdade)
 x 1 7 , 5 ⇒ x , 5 2 7 ⇒ x , −2
 
x
22
 S 5 {x [ R | x , 22}
b) 10x 2 3 . 1 ⇒ 10x 2 3 . 100 → desigualdade de potências 
de mesma base
 a 5 10 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desigualdade)
 x 2 3 . 0 ⇒ x . 3
 
x
3
 S 5 {x [ R | x . 3}
c) 


 



1
2
x 1x 11x 1
 > 4x 1 3 ⇒ (221)x 1 1 > (22)x 1 3 ⇒
 ⇒ 22x 2 1 > 22x 1 6
 a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desigualdade)
 2x 2 1 > 2x 1 6 ⇒ 2x 2 2x > 6 1 1 ⇒ 
 ⇒ 23x > 7 ⇒ 3x < 27 ⇒ x 7
3
< 2
 
x
2
7
3
 
S x5 <S x{ }{ }5 <{ }2{ }S x{ }S x5 <S x5 <{ }5 <{ }S x | x{ }5 <| x5 <{ }{ }| x 7{ }3{ }{ }R{ }5 <{ }R5 <R{ }{ }[{ }5 <{ }[5 <[{ }
d) 


 



 



 



1
3
1
3
x2 x 2

x 2

x 2
1
x 2
.
2
 Como já temos uma desigualdade com potências de 
mesma base, podemos escrever:
 ⇒a 1
3
0 a 15 ,5 ,⇒5 ,15 ,0 a5 ,0 a , (troca-se o sentido da desigualdade)
 x2 2 x , 2 ⇒ x2 2 x 2 2 , 0
 x2 2 x 2 2 5 0
 Δ 5 9 . 0
 x’ 5 2 e x” 5 21
 
x2
2
1 1
21
 S 5 {x [ R | 21 , x , 2}
e) 4 , 2x 1 1 < 32 ⇒ 22 , 2x 1 1 < 25 ⇒
 ⇒ 2 , x 1 1 < 5 ⇒ 2 2 1 , x < 5 2 1 ⇒
 ⇒ 1 , x < 4
 
x
1 4
 
 S 5 {x [ R | 1 , x < 4}
f ) 
1
9
9 1 3x x9 1x x9 1 3x x, 29 1, 29 19 1x x9 1, 2, 2x x<x x<x x
 A solução procurada é a solução do sistema
 











9 1
9
9 3
x 1
x 19 3x 19 3x
.
9 3<9 3
x 12x 1
9 3x 129 32x 1
 Resolvendo cada inequação separadamente:
 
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
9 1
9
9 9⇒ ⇒9 9⇒ ⇒ x 1 1 x⇒1 x 0
9 3 3 3⇒ ⇒3 3⇒ ⇒ 2x 2 x x 2
x 1 x 19 9x 19 9 1⇒ ⇒1⇒ ⇒
x 19 3x 19 3x 23 3x 23 3x 23 3x 23 3x⇒ ⇒x⇒ ⇒
. .. .⇒ ⇒. .1. .9 9. .9 9⇒ ⇒9 9⇒ ⇒. .⇒ ⇒. .9 99 9x 19 9. .. .x 1⇒ ⇒9 9x 1⇒ ⇒x 19 9. .. .9 9⇒ ⇒x 1. .x 19 9 2 .x 12 .x 1 2 .1 x2 .⇒1 x2 .2 .1 x
< <⇒ ⇒< <9 3< <9 3 3 3< <3 3⇒ ⇒3 3⇒ ⇒< <⇒ ⇒< <3 3x 2< <⇒ ⇒x 2< << <x 23 3x 23 3< << <x 2⇒ ⇒3 3⇒ ⇒x 2⇒ ⇒x 23 3< << <3 3⇒ ⇒x 2< <x 23 33 3x 23 3< << <x 2⇒ ⇒3 3x 2⇒ ⇒x 23 3< << <3 3⇒ ⇒x 2< <x 23 3 2 <2 x2 <2 x x 2<x 2
2 212 29 92 2x 12 2x 1 9 9x 19 92 29 92 2x 1 2
2 29 32 23 32 29 3x 19 32 29 32 2x 1 x 22 23 3x 23 32 22 2x 23 3x 23 32 23 32 2x 2
 A intersecção das duas soluções é a solução do sistema
 S 5 {x [ R | 0 , x < 2}
14 Determine o domínio D das seguintes funções:
a) f (x) 3 9x3 9x3 95 25 23 95 23 9
b) 




 




g(x) 10
16 1
2
5
2
RESOLUÇÃO:
a) Para que exista f(x), devemos ter 3x 2 9 > 0. Então:
 3x > 9 ⇒ 3x > 32 ⇒ x > 2
 Logo, D 5 {x [ R | x > 2}.
b) Para que exista g(x), devemos ter 

16
1
2
0
x
2 .2 .

2 .2 .



2 .2 .

2 .2 .



2 .2 .
1
2 . . Então:
 



 ⇒








 



 ⇒16 1
2
1
2
1
2
4 x
x 4

x 4

x 4
1
x 4 x
. .. .. .

. .. .



. .. .

. .. .



. .. . ⇒. .

. .. .



. .. .

. .. .



. .. .
1
. .
1
. . 2 ,4 x2 ,4 x
x 42x 4
 Logo, D 5 {x [ R | x . 24}.
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 26 3/31/15 8:53 AM
Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
PARA CONSTRUIR
22 Resolva as inequações exponenciais a seguir:
a) 25x . 23x 1 10
5x . 3x 1 10 ⇒ 2x . 10 ⇒ x . 5
5 x
S 5 {x [ R | x . 5}
b) 3 35 x
2 4
,
2 2
5 2 x2 , −4 ⇒ −x2 , 2 9 ⇒ x2 . 9
x' 5 3 e x'' 5 −3 
11
23 3
2
x
S 5 {x [ R | x , 23 ou x . 3}
c) 2 2
x x x2( ) ( ).2
x2 2 x . x ⇒ x2 2 2x . 0 ⇒ x(x 2 2) . 0
x' 5 0 e x'' 5 2
11
0 2
2
x
S 5 {x [ R | x , 0 ou x . 2}
d) (0,01) (0,01)x x x 1
2
,
2 2
x2 2 x . x 2 1 ⇒ x2 2 2x 1 1 . 0
Δ 5 0
x 5 1 
11
1 x
S 5 {x [ R | x ± 1}
23 (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu gerente so-
bre investimentos. Ele tem um capital inicial de R$2 500,00 e 
deseja saber depois de quanto tempo de investimento esse 
capital, aplicado a juros compostos, dobrando todo ano, pas-
sa a ser maior que R$ 40 000,00. Qual foi a resposta dada por 
seu gerente? 
a) 1,5 ano
b) 2 anos 
c) 3 anos 
d) 4anos 
e) 5 anos 
Sabendo que um capital C, após t anos, aplicado a uma taxa de 
juros i, produz um montante M dado por M 5 C(1 1 i)t, vem:
40 000 , 2 500 ? 2t ⇒ 2t . 16 ⇒ t . 4
24 (FGV-SP) Seja a um número maior que 1. Nessas condições, 
qual é o conjunto solução da inequação a ax 1 x 1
3 2
<
2 2 ?
x3 2 1 < x2 2 1 ⇒ x3 2 x2 < 0 ⇒ x2(x 2 1) < 0
I x2 5 0 ⇒ x 5 0 
11
0 x
II x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1
1
1
2 x
Quadro de resolução:
II
S
I
2
1
2
2
1
2
1
1
1
0 1
0 1
S 5 {x [ R | x < 1}
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 27 3/31/15 8:53 AM
28 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 23 e 24 Para aprimorar: 6 e 7
25 Resolva os sistemas de inequações:
a) 1 , 2x 2 1 , 16
20 , 2x 2 1 , 24 ⇒ 0 , x 2 1 , 4 ⇒ 1 , x , 5
x1 5
S 5 {x [ R | 1 , x , 5}
b) 10 , 100x , 1000
⇒ ⇒, , , , , ,10 10 10 1 2x 3 1
2
x
3
2
1 2x 3
x1
2
3
2
5 ,{ }S x 12 x 32,R[
c) 
1
4
2 1
2
x 3
< <
2
222 < 2x 2 3 < 221 ⇒ 22 < x 2 3 < 21 ⇒ 1 < x < 2
x1 2
S 5 {x [ R | 1 < x < 2}
d) 






1
9
1
3
3
x x 1
x
, <
2
2 2
, < 2 < 2 ,
1
3
1
3
1
3
x
2
x 1 2x
2x x 1
x
2) ) )( ( ( ⇒
I ⇒ ⇒2 < 2 2 < 2 >x
2
x 1 x 2x 2 x
2
3
II x 2 1 , 2x ⇒ 2x , 1 ⇒ x . 21
II
S
I
21
2
3
2
3
S x R{ }5 > 23x∈
II
I
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 28 3/31/15 8:53 AM
Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
 AS FUNÇÕES f(x) 5 ax e g(x) 5 a−x
Dada uma função exponencial f definida por f(x) 5 ax, chamamos de recíproca da função 
exponencial f a função g tal que g(x) 5 a2x.
Por exemplo, se f(x) 5 2x, sua recíproca é:
( )5 52g(x) 2 12x
x
.
Veja os gráficos das duas funções.
x
y
121
1
2
4
222
0
f(x) 5 2xg(x) 5 22x
Vemos que o gráfico de g(x) é simétrico ao gráfico de f(x) em relação ao eixo y, isto é, se dobrar-
mos a página exatamente no eixo de y, os gráficos de f(x) e g(x) coincidem. Essa não é uma caracte-
rística exclusiva da função exponencial. Para qualquer função f: R → R, os gráficos de f(x) e f(−x) são 
simétricos em relação ao eixo y.
O número irracional e e a função exponencial ex
Vamos considerar a sequência ( )11 1n
n
 com n [ {1, 2, 3, 4, …}:
( ) ( )        
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1
1
1
, 1
1
2
, 1
1
3
, , 1
1
10
, , 1
1
100
, , 1
1
500
, ,
2 ,000 2,2500 2,3703 2,5937 2,7048 2,7156
1 2 3 10 100 500
1 1 1 1 1 1… … … …
1 1 1, 1
1
1 000
, , 1
1
50 000
, 1,
1
n
,
2,7169 2,7182
1000 50000 n
… … … …))) (((
↓ ↓
Note que 1 1
n
1 é sempre maior do que 1, quando n [ N*.
Quando n aumenta indefinidamente, a sequência 

1
1
n
n
1 tende muito lentamente 
para o número irracional e 5 2,7182818284…
Uma função exponencial muito importante em Matemática é aquela cuja base é e:
f(x) 5 ex
Funções envolvendo essa função exponencial ex aparecem com muita frequência nas 
aplicações da Matemática e na descrição de fenômenos naturais.
Algumas calculadoras possuem uma tecla com o número irracional e.
Veja a seguir a função exponencial ex e sua recíproca e−x para valores de x de 0 até 6.
www.ser.com.br
Acesse o portal para plotar fun-
ções exponenciais com o aplica-
tivo Construtor de gráficos.
2121636_SER1_EM_CAD5_MAT_ALG_CAP1_01a34_PR_AL.indd 29 3/31/15 8:53 AM
30 Funções exponencial e logarítmica
x ex e2x x ex e2x
0,0 1,0000 1,00000 3,0 20,086 0,04979
0,1 1,1052 0,90484 3,1 22,198 0,04505
0,2 1,2214 0,81873 3,2 24,533 0,04076
0,3 1,3499 0,74082 3,3 27,113 0,03688
0,4 1,4918 0,67032 3,4 29,964 0,03337
0,5 1,6487 0,60653 3,5 33,115 0,03020
0,6 1,8221 0,54881 3,6 36,598 0,02732
0,7 2,0138 0,49659 3,7 40,447 0,02472
0,8 2,2255 0,44933 3,8 44,701 0,02237
0,9 2,4596 0,40657 3,9 49,402 0,02024
1,0 2,7183 0,36788 4,0 54,598 0,01832
1,1 3,0042 0,33287 4,1 60,340 0,01657
1,2 3,3201 0,30119 4,2 66,686 0,01500
1,3 3,6693 0,27253 4,3 73,700 0,01357
1,4 4,0552 0,24660 4,4 81,451 0,01228
1,5 4,4817 0,22313 4,5 90,017 0,01111
1,6 4,9530 0,20190 4,6 99,484 0,01005
1,7 5,4739 0,18268 4,7 109,95 0,00910
1,8 6,0496 0,16530 4,8 121,51 0,00823
1,9 6,6859 0,14957 4,9 134,29 0,00745
2,0 7,3891 0,13534 5,0 148,41 0,00674
2,1 8,1662 0,12246 5,1 164,02 0,00610
2,2 9,0250 0,11080 5,2 181,27 0,00552
2,3 9,9742 0,10026 5,3 200,34 0,00499
2,4 11,023 0,09072 5,4 221,41 0,00452
2,5 12,182 0,08208 5,5 244,69 0,00409
2,6 13,464 0,07427 5,6 270,43 0,00370
2,7 14,880 0,06271 5,7 298,87 0,00335
2,8 16,445 0,06081 5,8 330,30 0,00303
2,9 18,174 0,05502 5,9 365,04 0,00274
3,0 20,086 0,04979 6,0 403,43 0,00248
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Funções exponencial e logarítmica
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M
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A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
 APLICAÇÕES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo 
geral, não se apresenta na forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, 
como em:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
15 (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas 
após o início de certo experimento, é dado pela expressão 
N(t) 5 1 200 ? 20,4t. Nessas condições, quanto tempo após o 
início do experimento a cultura terá 38 400 bactérias?
RESOLUÇÃO:
N(t) 5 1 200 ? 20,4t ⇒ N(t) 5 38 400
Igualando, temos: 
1 200 ? 20,4t 5 38 400 ⇒ 20,4t 5 38 400
1200
 ⇒
⇒ 20,4t 5 32 ⇒ 20,4t 5 25 ⇒ 0,4t 5 5 ⇒
⇒ t 5
0,4
5 5 12,5h ou 12h30min
Portanto, a cultura terá 38 400 bactérias após 12h30min.
PARA CONSTRUIR
26 Numa certa cultura, há 1 000 bactérias num determinado ins-
tante. Após 10 min, existem 4 000. Quantas bactérias existi-
rão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula 
P 5 P
0
 ? ekt, em que P é o número de bactérias, t é o tempo 
em horas, e k é a taxa de crescimento?
P 5 P
0
 ? ekt 5 4 000 5 
?
1000e
k
1
6 ⇒ e
k
6 5 4 ⇒ ⇒5e e
k
6 1,4
⇒ ⇒. .k
6
1,4 k 8,4
P 5 1 000e8,4 ? 1 5 1 000(e4,2)2 5 1 000(66,686)2 . 4 447 022
Observação: os valores usados foram obtidos da tabela.
27 O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em 
todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo 
começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia-
-vida de 5 730 anos, e como é relativamente fácil saber o ní-
vel original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da 
atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada 
para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14 
decai com o tempo pós-morte segundo a função exponen-
cial ( )A(t) A 120
t
5 730
5 ? , em que A
0
 é a atividade natural do 
C-14 no organismo vivo, e t é o tempo decorrido em anos 
após a morte.
Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi le-
vado ao laboratório para ter sua idade estimada. Verificou-
-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo 
que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora, qual 
é a idade aproximada do fóssil? 
Retirada de fóssil de bicho-preguiça na Toca do Barrigudo, localizada 
na serra da Capivara, Piauí.
A função que relaciona a atividade de C-14 no fóssil em função do 
tempo é ( )5 ?A(t) A 120
t
5730
. Segundo o enunciado, A(t) 5 7 e A
0
 5 896. 
Então:
7 896
1
2
7
896
1
2
1
128
1
2
1
2
1
2
7
t
5730
t 40 110 40 mil anos
t
5730
t
5730
t
5730
7
t
5730
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
5 ? 5
5 5
5 5 .
A
D
R
IA
N
O
 G
A
M
B
A
R
IN
I/
P
U
L
S
A
R
 I
M
A
G
E
N
S
f(x) 5 C ? akx
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
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32 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 25 a 27 Para aprimorar: 8 a 10
28 (PUC-RS) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula q 5 10 ? 2k ? t, onde q 
representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 
horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é:d
a) 
35
5
.2
b) 
33
10
.2
c) 
5
33
.2
d) 
10
33
.2
e) 
100
33
.2
Para t 5 3,3 h, sabe-se que q 5 5 g. Logo,
⇔
⇔
⇔
5 ? 5
5 2
5 2
? 2
5 10 2 2 2
3,3k 1
k
10
33
k 3,3 3,3k 1
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Calcule as potências com expoente inteiro em R.
a) 34
b) (2,5)2
c) (−2)3
d) (−2)6
e) 05
f ) 50
g) ( )2 2
h) 6−2
i) 


3
2
1
2
2
2 Calcule o valor de:
a) ( )





x
1
3
3 3
3
1 1
2
5 2 1 2 2
2
2
2
b) y 2 2 2
2 2
2 2 1
2 1
5
1 2
2
2 2
2 2
3 Escreva na forma de potência de 10:
a) 10 000 000
b) 0,001
c) 1006
d) 1 00022
e) (0,01)4 
f ) (0,1)8 
g) 0,0001
1000
h) 
10
0,001
i) (0,0001)−3 
j) 100−6 
4 Calcule as potências em R quando definidas:
a) 5
2
7
b) 2
3
4
c) ( )12
1
2
d) ( )3
4
5
e) 9
1
2
f ) 0
3
8
g) 2
1 1
3
h) 80,666…
i) 70,4
5 Escreva na forma de um produto de potências, de um quo-
ciente de potências ou de uma potência de potência:
a) 5x 1 y b) 4x 2 3 c) 73x d) (5x)4
6 Escreva como potência de base 3:
a) 2 187
b) 
1
9
c) 1
d) 815
e) 
3
3
f ) 275
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa 
para casa". As resoluções encontram-se no portal, 
em Resoluções e Gabaritos.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
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Funções exponencial e logarítmica
M
A
T
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M
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IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
33
7 (Mack-SP) Calcule o valor da expressão 2 2 2
2 2
n 4 n 2 n 1
n 2 n 1
1 1
1
1 1 2
2 2
.
8 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada sentença abaixo:
a) ( ) x x2 5
b) ( ) x x2 5 , se x . 0
c) ( ) x x2 5
d) ( ) x x3 5
e) ( ) 49 75 ±
f ) ( ) ( 3) 322 5 2
g) ( ) ( 5) 522 5
h) ( ) 52 R2 [
9 Calcule cada radical:
a) 196
b) 5123
c) 60
d) 200
e) 12504
f ) 0,1253
10 Transforme em um só radical:
a) 2 5?
b) 
5
2
c) 53
d) 2 3
e) 5 234
f ) 2 2 2
g) 2 2 23 4? ?
h) 
3 3
3
23 34
45
?
i) x x3 ?
j) 2 23 4?
11 Simplifique cada expressão:
a) ( )( )5 2 5 22 1
b) ( )( )7 2 7 22 1
c) ( )1 2 21
d) ( )5 3 22
e) 3 5 3 51 ? 2
f ) 7 2 6 7 2 61 ? 2
12 Simplifique a expressão 12 10 10 10
12 10 10
.
3 4 8
1 4
? ? ?
? ?
2 2
2 2
13 Escreva sob a forma de potência a expressão x x .56
14 (UnB-DF) Escreva na forma de potência a expressão x
x
.
45
15 Cada gráfico a seguir representa uma função exponencial do 
tipo f(x) 5 ax. Identifique a lei de formação de cada uma delas.
a) 
x
y f
2
1
4
b) 
x
y
3
1
27
8
f
c) 
x
y
f
1
1
0,7
16 Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou de-
crescentes (D):
a) f(x) 5 4x 
b) f(x) 5 πx
c) f(x) 5 




2
2
x
d) f(x) 5 ( )3 x
e) f(x) 5 




3
2
x
 
f ) f(x) 5 (0,01)x
g) f(x) 5 ( )15
x
h) f(x) 5 2−x
17 Compare as potências, colocando entre elas o símbolo de 
maior, menor ou igual:
a) (0,9)8 (0,9)5
b) 475 473
c) 




3
3
9 8
 




3
3
9 8
d) ( )3 5 2 ( )35 2
18 f, g e h são funções de R em R dadas por f(x) 5 2 ? 3x, 
g(x) 5 5x 2 2 e h(x) 5 5x22. Determine:
a) f(2) 
b) g(2)
c) h(2)
d) f(−1)
e) g(0)
f ) h(0) 
g) x tal que h(x) 5 125
h) x tal que g(x) 5 3
En
em
C-5
H-2
0
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
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34 Funções exponencial e logarítmica
19 Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x:
a) 2x 5 64 
b) 3x 2 2 5 9
c) 525 125x 2x
2
 
d) 10 1
10
1 x
5
2
e) ( )2 4x 5
f ) 3 1
27
2 x
5
2
g) 
1
2
8
x 4
x 2
2



 5
2
1
20 (Cefet-MG) O conjunto solução da equação 64 16x x 2x 2
2 2
5
1 2 
é o conjunto: 
a) S 5 {2}.
b) S 5 {4}.
c) S 5 {22, 2}.
d) S 5 {2, 4}.
21 Se 



3 1
2 2
x + y
x 2y
5
5
1
, qual é o valor de x 2 y?
22 Resolva:
a) 32x 1 2 ? 3x 2 15 5 0
b) 22x 1 1 1 3 ? 2x 1 1 5 8
c) 4x 1 2 2 3 ? 2x 1 3 5 160
d) 
9 3
4
3 0
x
x1
2 5
e) 3 9
3
8x
x
2 5
23 Resolva as inequações exponenciais:
a) 3x 2 2 . 9
b) ( )2 12x 3
3
,
1
c) 3x 1 1 1 3x 1 2 , 108
d) (0,5)x 2 1 1 (0,5)x 2 2 < 48
24 Determine o domínio D das funções:
a) f (x) 2 16x5 2
b) f (x) (7 ) 7x x 2x5 2
c) f (x) 1
3 27x 1
5
2
1
d) f (x)
x
2 32x
2 1
5
2
1
25 (UEG-GO) Certa substância radioativa desintegra-se de modo 
que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não de-
sintegrada da substância é S 5 S
0
 ? 220,25t, em que S
0
 representa 
a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor 
de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?
26 Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a 
cada 8 anos. Qual é o crescimento estimado para um período 
de 24 anos?
27 Os biólogos afirmam que, sob condições ideais, o número de 
bactérias em uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa 
de crescimento é proporcional ao número de bactérias pre-
sentes no início do intervalo de tempo considerado. Suponha-
mos que 2 000 bactérias estejam inicialmente presentes em 
uma certa cultura e que 4 000 estejam presentes 30 minutos 
depois. Quantas bactérias estarão presentes no fim de 2 horas?
PARA PRATICARPARA APRIMORAR
1 (FGV-SP) Qual é o valor da expressão 
( ) ( )
( )( )
a b a b a b
a b a b a b
2 1 2 4 1 2
3 2 1 1
? ? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 2
2 2 2
 
quando a 5 1023 e b 5 1022? 
2 Construa o gráfico da função f de R em R definida por 
f(x) 5 2x 2 1 e determine Im(f ).
3 (Fuvest-SP) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) 
de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita 
desse país. Suponha que a população de um país cresça à 
taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capi-
ta dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa 
constante de, aproximadamente:
Dado: 2 1,035.20 . 
a) 4,2%.
b) 5,2%.
c) 6,4%.
d) 7,5%.
e) 8,9%.
4 (Mack-SP) Considere a equação a R2 4 1
2
, ax x 2
ax 1
2
[? 5
2
2
, 
cujas raízes têm soma e produto iguais. O valor de a é: 
a) −3. b) −2. c) 1. d) −1. e) 3.
5 (Ufscar-SP) O par ordenado (x, y), solução do sistema 



4 32
3 3
x y
y x
5
5
1
2
, é: 
a) ( )5, 32
b) ( )5, 322
c) ( )3, 23
d) ( )1, 32
e) ( )1, 12
6 Resolva as seguintes inequações:
a) a3x 2 1 > ax 1 7, quando 0 , a , 1
b) a a3x 4 x
2
.
1 , quando a . 1 
7 Determine o domínio D das funções:
a) f (x) 1
16
2x 15 2 2
b) f (x) 3 2 3 7x x 15 1 ? 21
8 Seja a função exponencial f(x) 5 abkx, b . 0 e b ± 1. Mostre 
que, se f(a) 5 m e f(b) 5 n, então a imagem da média aritmé-
tica de a e b por f será a média geométrica de m e n (ou seja, 
mostre que 

f
a b
2
mn1 5 ).
9 Considere uma substância radioativa de meia-vida P que ini-
cia o processo de desintegração. Que porcentagem de sua 
massa ainda restará após metade da sua primeira meia-vida?
10 Resolva a equação 4x 1 6x 5 2 ? 9x. (Dica: divida ambos os 
membros por 9x.) 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
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35
CAPÍTULO
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
Objetivos:
c Conceituar logaritmos.
c Conhecer e reconhecer 
a função logarítmica.
c Saber aplicar o 
conceito de função 
logarítmica na 
resolução de situações-
-problema.
Funções exponencial e logarítmica
2
Logaritmo e função 
logarítmica
No século XVII, o matemático escocês John Napier descobriu uma ferramenta para simplificar 
os cálculos comuns na Astronomia e na navegação: o logaritmo natural. Era um método que 
transformava multiplicações em adições e divisões em subtrações. Como os cálculos eram feitos 
manualmente, tornou-se mais fácil localizar um navio, determinar o rumo a seguir, etc. 
Em 1638, foi desenvolvida a régua de cálculo pelo matemático inglês William Oughtred, que se 
apoiou na tábua de logaritmos criada por Napier em 1614. Esse foi um passo em direção à calcula-
dora e à construçãodos computadores. 
Uma importante aplicação dos logaritmos é a escala Richter, na área da sismologia, que fornece 
as magnitudes dos terremotos. Desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e 
Beno Gutenberg, é uma escala logarítmica. No início, a escala Richter era graduada de 1 a 9, já que 
terremotos mais fortes não eram co muns na Califórnia (local onde Richter e Gutenberg faziam seus 
estudos). Mas teoricamente não existe limite para essa medida.
S
C
IE
N
C
E
 S
O
U
R
C
E
Calculadora antiga criada por John 
Napier, também conhecido como Neper.
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36 Funções exponencial e logarítmica
 LOGARITMO
Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no pe-
ríodo de 2004 a 2020, é de aproximadamente 1,2% ao ano. Em quantos anos a população da América 
Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Nessas condições, podemos organizar o seguinte quadro:
Tempo População
Início P
0
1 ano P
1
 5 P
0
 ? 1,012
2 anos P
2
 5 (P
0
 ? 1,012)1,012 5 P
0
(1,012)2
3 anos P
3
 5 P
0
(1,012)3
: :
x anos P
x
 5 P
0
(1,012)x
Supondo que a população dobrará após x anos, temos:
P
x
 5 2P
0
Daí:
( )⇔P (1,012) 2 P 1,012 20 x 0
x
5 5
Não é possível resolver essa equação usando os conhecimentos adquiridos até aqui.
Com o objetivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade entre 
potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de logaritmo.
Definição de logaritmo de um número
Considere as seguintes questões: 
A que número x se deve elevar:
a) o número 2 para se obter 8?
b) o número 3 para se obter 
1
81
?
 Observe as resoluções:
a) 2x 5 8 ⇔ 2x 5 23 ⇔ x 5 3
 O valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e é representado por log
2 
8 5 3.
 Assim:
 log
2
 8 5 3 ⇔ 23 5 8
b) 5 5 5 5 22⇔ ⇔ ⇔3 1
81
3 1
3
3 3 x 4x x
4
x 4
 O valor −4 chama-se logaritmo do número 1
81
 na base 3 e é representado por 
log 1
81
43 5 2
Dados os números reais positivos a e b, com a ± 1, se b 5 ac, então o expoente c chama-se 
logaritmo de b na base a, ou seja:
log
a
 b 5 c ⇔ a
c
 5 b, com a e b positivos e a ± 1.
 OBSERVAÇÃO
100% 1 1,2% 5 101,2% 5
5 101,2
100
 5 1,012
Um pouco de história
Há cerca de 400 anos, em 
1614, o escocês John Napier 
revolucionaria os métodos de 
cálculo da época com a des-
coberta dos logaritmos. O 
loga ritmo de Napier não era 
exatamente o que usamos 
hoje, nem era associado ao 
conceito de expoente, mas a 
essência era a mesma.
Naquela época, multipli-
car, dividir, calcular potências 
e extrair raízes eram trabalhos 
extremamente árduos, pois 
eram feitos a partir de senos.
Hoje em dia, com o ad-
vento das calculadoras eletrôni-
cas, multiplicar, dividir, calcular 
potências e extrair raízes não é 
mais uma dificuldade. Nem por 
isso os logaritmos tornaram-se 
inúteis, pois a possibilidade 
de definir loga ritmos como 
expoentes (mérito do inglês 
John Wallis em 1685) e a ideia 
de base para os logaritmos (do 
galês William Jones em 1742) 
transformaram o logaritmo em 
um im prescindível instrumen-
to de resolução de equações 
exponenciais.
É esse logaritmo mo-
derno, definido como um 
expoente, que estudaremos 
neste capítulo.
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37Funções exponencial e logarítmica
Nessa equivalência temos:
Forma logarítmica log
: log
: log
:
a
b c
c aritmo
a base do aritmo
b
5
logaritmando




Forma exponencial a b
: potência
: base da potência
: expo
c
5
b
a
c eente




Vejamos mais alguns exemplos:
 log
3
 81 5 4 ⇔ 34 5 81
 ( )⇔log 5 2 5 5
5
2
5 5
 ( )⇔log 32 5 12 3212
5
5 2 5
2
 log
8
 1 5 0 ⇔ 80 5 1
Observações:
1a) De acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo: log
3
 (−81), log
10
 0, log
0
 3, 
log−2 8 e log1 6. Experimente aplicar a definição nesses casos.
2a) Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, log 2 é o logaritmo de 2 na 
base 10. Aos loga ritmos na base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs.
Quando falamos logaritmo, esta-
mos nos referindo a um número.
PARA
REFLETIR
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Determine:
a) log
2
 128 
b) log 9g 9
3
g 9
3
g 9 
c) log 3 31g 31g 3
9
RESOLUÇÃO:
a) Representando por x o valor procurado, temos:
 log
2
 128 5 x ⇒ 2x 5 128 ⇒ 2x 5 27 ⇒ x 5 7
 Portanto, log
2
 128 5 7.
b) 5 5 5
5 55 5 5
( )( )( )( )( )( )⇒ ⇒5 5⇒ ⇒⇒ ⇒( )⇒ ⇒( )⇒ ⇒5 5( )5 5⇒ ⇒⇒ ⇒( ) ⇒
⇒ ⇒5 5⇒ ⇒5 5 ⇒
log 9g 9 x 35 5x 35 5( )x 3( )( )x 3⇒ ⇒x 35 5⇒ ⇒5 5x 3x 3⇒ ⇒( )⇒ ⇒x 3( )x 3⇒ ⇒( )⇒ ⇒x 3x 3⇒ ⇒5 5( )5 5⇒ ⇒⇒ ⇒( )x 35 5x 3( )5 5⇒ ⇒x 3⇒ ⇒( )5 5( )⇒ ⇒⇒ ⇒( )x 3x 3( )5 5⇒ ⇒x 3⇒ ⇒( ) 9 3( )9 3( )⇒ ⇒9 3⇒ ⇒ 3
3 3⇒ ⇒3 3⇒ ⇒5 5⇒ ⇒3 35 53 3⇒ ⇒ x
2
2 x⇒2 x 4
3
g 9
3
g 9
x ( )1( )( )2( )x 2
x
23 323 3⇒ ⇒3 32⇒ ⇒23 32⇒ ⇒2⇒ ⇒
 Logo, log 9g 9 4
3
g 9
3
g 9 5 .
c) log lg log log1g l1g l
9
3 3
3
2g l3 3g lg l3 3 3
2 2
lo
2 2
g
2 22 2
g
2 232 2
5 ?g l5 ?g log5 ? 5
2 22 22 22 2
g
2 22 22 22 232 22 22 22 2
( )( )1( )1( )( )2( )3 3( )13 3( )( )3 3
2 2
( )
2 2
3 3
2 2
( )( )
2 2
5 ?
( )
5 ?3 35 ?3 3( )( )5 ?
 
log ( )
3
g (
3
g (
3
g (2g ( 2
3
2
3
2
2
g (
2
g (3 3g (3 3g (g (2g (3 33 32 3 3 3
2
g (
2
g (g (3 35 5g (5 53 3 5
2
2 2)2 222 2g (3 3xg (x3 3g (3 35 55 53 3xg (x3 3g (5 5x5 53 3
x
x x2x x2x xx x3 3x x23 3x xx x3 33 3x x23 3x xx x3 32 2x x2 23 32 2x xx x2 223 32 22 23 3x xx x3 322 2x x2 23 3⇔ ⇔g (⇔ ⇔g ( )⇔ ⇔2⇔ ⇔3 3⇔ ⇔g (3 3⇔ ⇔g (⇔ ⇔3 33 3⇔ ⇔g (3 3⇔ ⇔g (⇔ ⇔3 3 3 3⇔ ⇔3 323 3⇔ ⇔⇔ ⇔3 35 5⇔ ⇔)5 5⇔ ⇔⇔ ⇔5 53 35 5⇔ ⇔⇔ ⇔5 5g (3 35 55 53 3⇔ ⇔g (⇔ ⇔3 3g (5 5⇔ ⇔5 53 3 x x⇔ ⇔3 3x x⇔ ⇔3 3⇔ ⇔x x23 3x xx x3 3⇔ ⇔⇔ ⇔3 32x x⇔ ⇔x x3 3 ⇔
⇔ 5 55 5 23
2
3
4
⇔5 5⇔5 5x5 5x5 5
 Portanto, log 3 3 3
41
g 31g 3
9
5 2 .
2 Sabe-se que log
a
 25 5 2. Calcule a.
RESOLUÇÃO:
O número a procurado deve ser positivo e diferente de 1 
(1 ± a . 0).
5 5 5 5⇒ ⇒5 5⇒ ⇒5 5 ± ⇒± ⇒± ⇒± ⇒5 5± ⇒5 55 5± ⇒log 25 25 55 25 5a 2⇒ ⇒a 2⇒ ⇒5 5⇒ ⇒a 25 5a 2⇒ ⇒5 a⇒ ⇒5 a⇒ ⇒ 25± ⇒25± ⇒5 5± ⇒255 525± ⇒ a 55 5a 55 5 ±a 5ag 2ag 2
2a 22a 2⇒ ⇒a 22⇒ ⇒2a 2
Logo, a 5 5 (o valor 25 não deve ser considerado, pois a . 0).
3 Calcule o número real A sabendo que
5 1A l5 1A l5 1og5 1og5 10,5 10,5 10015 10015 1 log 1
1610
5 1105 1 2
RESOLUÇÃO:
 log
10
 0,001 5 x ⇒ 10x 5 0,001 ⇒
 ⇒ 10x 5 1023 ⇒ x 5 23
 5 5 5
5 5
⇒ ⇒⇒ ⇒5 5⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒5 5⇒ ⇒5 5
log 1
16
y 25 5y 25 5⇒ ⇒y 2⇒ ⇒5 5⇒ ⇒5 5y 25 5y 2⇒ ⇒1
16
2 1
2
2 2⇒ ⇒2 2⇒ ⇒5 5⇒ ⇒2 25 52 2⇒ ⇒ y 45 5y 45 5 2y 4
2
y y⇒ ⇒y y⇒ ⇒5 5⇒ ⇒y y5 5y y⇒ ⇒1y y⇒ ⇒1⇒ ⇒y yy y1 2y y
4
y 42y 4⇒ ⇒y 4⇒ ⇒5 5⇒ ⇒y 4y 4⇒ ⇒2 2y 42 2⇒ ⇒2 2⇒ ⇒y 4⇒ ⇒y 42 25 5⇒ ⇒2 25 52 2⇒ ⇒y 4y 4⇒ ⇒5 52 2y 42 2⇒ ⇒
Portanto, 5 1 5 2 1 2 5 2A l5 1A l5 1og5 1og5 10,0015 10,0015 1 log 1
16
( 35 2( 35 2 ) (1 2) (1 24) 7105 1105 1 2 .
.
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38 Funções exponencial e logarítmica
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 4 Para aprimorar: 1 e 2
4 Sabe-se que log
3
 x 5 22. Calcule x.
RESOLUÇÃO:
O número x deve ser positivo (x . 0). Pela definição de loga-
ritmo, ⇒x 3 x 1
9
2
5 5⇒5 5x 35 5x 3 x5 52 .
5 Calcule log
2
 (log
3
 81).
RESOLUÇÃO:
log
3
 81 5 x ⇒ 3x 5 81 ⇒ x 5 4
Então: log
2
 (log
3
 81) 5 log
2
 4 5 2
PARA CONSTRUIR
1 Usando a definição, calcule:
a) log
3
 27
log
3
 27 5 x ⇒ 3x 5 27 ⇒ 3x 5 33 ⇒ x 5 3
b) log
5
 125 
log
5
 125 5 x ⇒ 5x 5 125 ⇒ 5x 5 53 ⇒ x 5 3
c) log 10 000 
log 10 000 5 x ⇒ 10x 5 104 ⇒ x 5 4
d) log 321
2
log1
2
5
32
1
2
32 2 2 55 5 5 5 2x x
x
x⇒ ( ) ⇒ ⇒2
e) log
10 
0,01
log
10
 0,01 5 x ⇒ 10x 5 0,01 ⇒ 10x 5 10−2 ⇒ x 5 −2
f ) log
2
 0,5
log , ,
2
1
0 5 2 0 5 2
1
2
2 25 5 5 5x x
x x x⇒ ⇒ ⇒ ⇒2 5 21
g) log 82
⇒ ⇒ ⇒5 5 5 5log 8 x 2 8 2 (2 ) x 3
2
2
x x 3
1
2
h) log 324
⇒ ⇒ ⇒ ⇒5 5 5 5 5log 32 x 4 32 (2 ) (2 ) 2x 5
2
x
5
4
4
x 2 x 5
1
2
i) log
2
 0,25
log
2
 0,25 5 x ⇒ 2x 5 0,25 ⇒ 2x 5 
1
4
 ⇒ 2x 5 222 ⇒ x 5 22
j) log
7
 7