Apostila de Geometria Analítica e Álgebra Linear - 1º Semestre

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
Instituto de Matema´tica Estat´ıstica e F´ısica
NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA ANALI´TICA
Professora: Dra. Fab´ıola Aiub Sperotto
Dra. Daiane Freitas
Colaborador
Felipe de Freitas Vilar
Rio Grande, 2016.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
http://www.furg.br/
INSTITUTO DE MATEMA´TICA FI´SICA E ESTATI´STICA
http://www.imef.furg.br/
i
Suma´rio
1 Estudo da Reta 1
1.1 Revisa˜o: Estudo da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vetores 9
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Operac¸o˜es entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Gabarito da Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.10.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10.2 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11 Gabarito - Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Retas e Planos 63
3.1 Retas no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ii
3.4 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Gabarito - Lista 1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6 Equac¸o˜es do Plano no Espac¸o (R3) . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.9 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.10 Gabarito - Lista 2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Coˆnicas 116
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1 Translac¸a˜o de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Para´bola com centro gene´rico . 123
4.2.3 Equac¸o˜es Parame´tricas da para´bola . . . . . . . . . . 126
4.2.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Elipse com centro gene´rico . . . 132
4.3.3 Circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.4 Equac¸o˜es Parame´tricas da elipse . . . . . . . . . . . . 135
4.3.5 Parametrizac¸a˜o do C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.2 Equac¸a˜o Canoˆnica da Hipe´rbole com centro gene´rico . 141
4.4.3 Equac¸o˜es Parame´tricas da Hipe´rbole . . . . . . . . . . 142
4.4.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5 Lista de exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.7 Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.8 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.9 Superf´ıcie coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.10 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.10.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.11 Mudanc¸as de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.11.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.12 Equac¸o˜es Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
iii
4.12.1 C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.12.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.13 Equac¸o˜es Polares das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.13.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.14 Coordenadas Cil´ındricas e Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.15 Lista de exerc´ıcios: Superf´ıcies e Coordenadas Polares . . . . 175
iv
Cap´ıtulo 1
Estudo da Reta
1.1 Revisa˜o: Estudo da Reta
Conceito de Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)
e´ o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A e
b ∈ B:
A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}
Exemplo 1. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.
A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
Produtos cartesianos importantes:
Sendo R - conjunto dos reais.
Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que
x e y sa˜o nu´meros reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈
R; ∀y ∈ R}.
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) do par (x,y).
Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), em
que x,y e z sa˜o nu´meros reais.
O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈
R}.
1
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) e z e´ a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).
Coordenadas Cartesianas na reta
Uma reta orientada e´ uma reta na qual tomamos um sentido positivo de
percurso (flecha).
Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-
denada, portanto, o ponto P e´ um par ordenado (x,y). Note que o plano
cartesiano e´ formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. O
eixo x e´ perpendicular ao eixo y.
Exemplo 2. Pontos no plano cartesiano.
Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.
Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma
reta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A intersec¸a˜o dessas duas
retas e´ o ponto A.
2
Distaˆncia entre dois pontos
Para falar em distaˆncia entre dois pontos devemos lembrar do Teorema
de Pita´goras,que relaciona as medidas dos lados de um triaˆngulo retaˆngulo.
Os lados que formam um aˆngulo reto sa˜o denominados catetos e o lado
oposto ao aˆngulo reto e´ chamado de hipotenusa. Assim, temos
a2 = b2 + c2.
Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)
|−−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
|−−→PQ| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ponto Me´dio
Considere treˆs pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), onde
P e´ o ponto me´dio entre A e B, enta˜o AP = PB. Portanto,
x =
(x1 + x2)
2
, y =
(y1 + y2)
2
P =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
3
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
Usuário
Realce
A Reta
E´ fa´cil perceber que dois pontos distintos definem uma u´nica reta. Con-
sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta´ sobre
a reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pela
figura abaixo.
Tal condic¸a˜o de alinhamento e´ satisfeita se os triaˆngulos ABM e APN
forem semelhantes,
PN
AN
=
BM
AM
Portanto,
y − y0
x− x0 =
y1 − y0
x1 − x0 .
Onde, x0,y0,x1,y1 sa˜o nu´meros conhecidos. Tal constante e´ o coefici-
ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variac¸a˜o 4y das
ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variac¸a˜o4x de suas abscissas.
4
a =
4y
4x =
y1 − y0
x1 − x0 .
Enta˜o,
y1 − y0
x1 − x0 = a ou y − y0 = a(x − x0) e´ a equac¸a˜o na forma ponto
coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,
enta˜o a forma da equac¸a˜o reduzida da reta e´ dada por
y = ax+ b.
Sendo assim, a e´ o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Di-
zer que y = ax+b e´ uma equac¸a˜o de uma dada reta significa que todo ponto
da reta tem coordenadas que satisfazem sua equac¸a˜o. Reciprocamente, todo
par ordenado que satisfaz sua equac¸a˜o e´ um ponto da reta.
Declividade ou coeficiente angular
Considere uma reta r na˜o paralela ao eixo Oy e α sua inclinac¸a˜o, o
coeficiente angular a e´ o nu´mero real que expressa a tangente trigonome´trica
de sua inclinac¸a˜o α.
a = tgα
Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :
A equac¸a˜o da reta horizontal e´ y = b.
5
A equac¸a˜o da reta vertical e´ x = c.
6
Exemplo 3. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da
reta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), enta˜o:
a =
7− 3
4− 2 =
4
2
= 2
Equac¸a˜o da reta conhecidos um ponto e a declividade:
Considere P (x,y) um ponto gene´rico sobre a reta e a a declividade (co-
eficiente angular), temos
tgα = a =
y − y1
x− x1 ⇒ y − y1 = a(x− x1)
Exemplo 4. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular da
reta e´ 2, usando a equac¸a˜o (y − y1) = a(x− x1), temos:
(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.
Equac¸a˜o Geral da reta:
Toda reta possui uma equac¸a˜o na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e c
sa˜o constantes e a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, chamada de equac¸a˜o
geral da reta.
Retas paralelas
Duas retas sa˜o paralelas quando na˜o existe um ponto comum a elas. Por-
tanto, duas retas sa˜o paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinac¸a˜o
a e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.
7
Retas concorrentes
Exemplo 5. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,
determinar o ponto P de intersec¸a˜o das retas r e s.
Soluc¸a˜o: Resolver o seguinte sistema:{
3x+ 2y − 7 = 0
x− 2y − 9 = 0
Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda
equac¸a˜o, y =
−5
2
. Portanto, P (4,
−5
2
).
Retas perpendiculares
Duas retas sa˜o perpendiculares quando o aˆngulo entre elas e´ 90◦. Sejam,
r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s sa˜o perpendiculares se ma = −1.
8
Cap´ıtulo 2
Vetores
2.1 Introduc¸a˜o
Existem dois tipos de grandezas: as grandezas escalares (munidos por
nu´meros reais) e as grandezas vetoriais (que na˜o podem ser representados
por um u´nico nu´mero). Exemplos de grandezas escalares: comprimento,
temperatura, tempo, entre outras.
As grandezas vetoriais sa˜o usadas por matema´ticos e cientistas para lidar
com quantidades que na˜o podem ser descritas ou representadas por um
u´nico nu´mero, sa˜o quantidades que tem tamanho e direc¸a˜o, e incluem forc¸a,
velocidade, acelerac¸a˜o, entre outras.
Por exemplo, para descrevermos uma forc¸a, precisamos registrar a direc¸a˜o
e o sentido nos quais ele atua, bem como seu tamanho.
No deslocamento de um corpo, precisamos indicar em qual direc¸a˜o e sen-
tido ele se move e a distaˆncia percorrida.
Antes de definir o que e´ um vetor propriamente dito, vamos recordar
alguns conceitos importantes.
Reta Orientada – Eixo: Uma reta r e´ orientada quando fixarmos nela
um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
9
Segmento Orientado: Um segmento orientado e´ determinado por um
par ordenado de pontos, o primeiro e´ chamado origem ou ponto inicial do
segmento, o segundo chamado extremidade ou ponto final.
Segmento Nulo: E´ aquele cuja extremidade coincide com a origem. Os
segmentos nulos teˆm comprimento igual a` zero.
Segmentos Opostos: Se AB e´ um segmento orientado, o segmento ori-
entado BA e´ oposto de AB.
Comprimento de um segmento (ou magnitude):
Se fixarmos uma unidade de comprimento a cada segmento orientado temos
associado um nu´mero real que e´ a medida do segmento em relac¸a˜o aquela
unidade. O comprimento do segmento AB e´ indicado por AB.
O comprimento do segmento AB representado na figura abaixo e´ deno-
tado por AB = 6u.c.
A
| | | | |
B
-
| |
u
Direc¸a˜o: A direc¸a˜o de um segmento e´ da origem para a extremidade.
Dois segmentos orientados na˜o nulos teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas su-
portes desses segmentos sa˜o paralelas ou se sa˜o coincidentes:
10
Figura 2.1: Segmentos orientados paralelos com mesma direc¸a˜o
Figura 2.2: Segmentos paralelos de sentidos opostos e mesma direc¸a˜o
Figura 2.3: Segmentos orientados sobre retas coincidentes e mesma direc¸a˜o
11
Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sa˜o equipolentes quando
teˆm a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Vetores
Por definic¸a˜o, um vetor e´ um segmento de reta orientado, que em lin-
guagem habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambe´m
denominada ponto inicial) e uma extremidade (tambe´m denominada ponto
terminal), sua direc¸a˜o e´ da origem para a extremidade. Invertendo a seta
obtemos um vetor com direc¸a˜o contra´ria. Observe a figura:
Figura 2.4: Definic¸a˜o de vetor
Notac¸a˜o:
−→
AB. O vetor tambe´m costuma ser indicado por letras minu´sculas
~v ou em negrito v, enta˜o ~v = B−A. Ou algumas vezes por letras maiu´sculas
em negrito, por exemplo, F, para denotar forc¸a.
Quando escrevemos ~v =
−→
AB, significa que o vetor ~v e´ determinado pelo
segmento de reta orientado AB. Um mesmo vetor
−→
AB e´ determinado por
uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse ve-
tor. Assim, um segmento determina um conjunto que e´ o vetor, e qualquer
um destes representantes determina o mesmo vetor.
As caracter´ısticas de um vetor ~v sa˜o as mesmas de qualquer um de seus
representantes, isto e´: o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor sa˜o o mo´dulo,
direc¸a˜o e o sentido de qualquer um de seus representantes.
12
Figura 2.5: representantes do vetor u
Vetores iguais: Dois vetores
−→
AB e
−→
CD sa˜o iguais se, e somente se,
−→
AB=
−→
CD. Ou se, ~u =
−→
AB e ~v =
−→
CD, enta˜o ~u = ~v.
Vetor Nulo: Qualquer ponto do espac¸o e´ representante do vetor zero ou
vetor nulo, e e´ indicado por ~0 ou
−→
AA isto e´, a origem coincide com a extre-
midade. Este vetor na˜o possui direc¸a˜o e sentidos definidos.
Vetores Opostos: Pela figura abaixo observamos queo vetor
−→
A1B1, e´ o
vetor oposto de
−→
AB e, podemos indicar por -
−→
A1B1.
Figura 2.6: 2 vetores opostos
Vetor Unita´rio: Um vetor ~v e´ unita´rio se |~v| = 1. Por exemplo, os veto-
res da base canoˆnica padra˜o no espac¸o (R3) dados por: ~i=(1,0,0), ~j=(0,1,0)
e ~k=(0,0,1) sa˜o vetores unita´rios.
Versor: Versor de um vetor na˜o nulo ~v e´ o vetor unita´rio de mesma
13
direc¸a˜o e mesmo sentido de ~v. Sempre que ~v 6= 0, seu comprimento na˜o e´
zero.
~u =
∣∣∣∣ 1|~v|
∣∣∣∣ = 1|~v|~v = 1
Conclui-se que ~u =
~v
|~v| , e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~v chamado
versor do vetor na˜o-nulo ~v.
Por exemplo, tomemos um vetor ~v de mo´dulo 3, ~|v|=3.
~v
-| |
- ~u
ff −~u
O vetor ~u que tem o mesmo sentido de ~v e´ chamado versor de ~v.
Vetores Colineares: Dois vetores ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem a mesma
direc¸a˜o. Em outras palavras: ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem representantes
AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Figura 2.7: Vetores colineares
Vetores Coplanares: Se os vetores na˜o nulos ~u, ~v e ~w (na˜o importa o
nu´mero de vetores) possuem representantes EF , HG e IJ pertencentes a
um mesmo plano pi, diz-se que eles sa˜o coplanares.
Dois vetores ~u e ~v quaisquer sa˜o sempre coplanares, pois podemos sempre
tomar um ponto no espac¸o e, com origem nele, imaginar os dois represen-
tantes de ~u e ~v pertencendo a um plano pi que passa por este ponto.
Treˆs vetores podera˜o ou na˜o ser coplanares.
14
Figura 2.8: Vetores colineares 2
Figura 2.9: Vetores coplanares
2.2 Operac¸o˜es entre Vetores
Duas operac¸o˜es que envolvem vetores sa˜o a adic¸a˜o de vetores e a multi-
plicac¸a˜o por escalar.
Me´todos Geome´tricos:
- Me´todo da Triangulac¸a˜o: Consiste em colocar a origem do segundo ve-
tor coincidente com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resul-
tante) e´ o que fecha o triaˆngulo (origem coincide com a origem do primeiro,
extremidade coincide com a extremidade do segundo).
15
Figura 2.10: Me´todo da triangulac¸a˜o
- Me´todo do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois ve-
tores coincidentes e construir o paralelogramo. O vetor soma e´ a diagonal
cuja origem coincide com a origem dos dois vetores. A outra diagonal e´ a
diferenc¸a entre os vetores.
Figura 2.11: Me´todo do paralelogramo
16
2.2.1 Agora tente resolver!
1. Usando os me´todos anteriores, copie os vetores ~u, ~v, ~w o que for ne-
cessa´rio para esboc¸ar os vetores abaixo:
a) ~u+ ~v
b) ~u− ~v
c) ~u+ ~v + ~w
d) ~u− ~w
2. Dados os vetores −→u , −→v , −→w , de acordo com a figura, construir o vetor
−→
t = 3−→u − 2−→w + 1
2
−→v .
Observac¸a˜o:
1. Quando os vetores tem o mesmo sentido:
17
2. Quando os vetores tem sentidos opostos:
Propriedades da Adic¸a˜o: Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adic¸a˜o,
admite as seguintes propriedades:
• Comutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u
18
Figura 2.12: Propriedade Comutativa
• Associativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
Figura 2.13: Propriedade Associativa
• Elemento neutro: ~u+ 0 = ~u
• Elemento oposto (ou sime´trico): ~u+ (−~u) = 0
se ~u =
−→
AB, o seu sime´trico e´
−→
BA e escrevemos
−→
AB= −
−→
BA ou ~u = −~u
A diferenc¸a entre os vetores ~u e ~v, e´ definida como soma de ~u com o
oposto de ~v, ~u+ (−~u) = ~u− ~v.
Multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um vetor: Dado um vetor na˜o nulo
~v e um nu´mero real a 6= 0 chama-se produto do nu´mero real a pelo vetor ~v,
o vetor a~v tal que:
19
• Mo´dulo: |a~v| = |a||~v|.
-O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de ~v.
• Direc¸a˜o: a~v e´ paralelo a ~v.
-Isto e´, tem a mesma direc¸a˜o de ~v.
• Sentido: a~v e ~v tem o mesmo sentido se a > 0, e contra´rio se a < 0.
-Se a = 0 ou ~v = 0 enta˜o a~v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilata
o vetor, ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor.
Propriedades da multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar:
Considere ~v e ~u vetores e a, b ∈ R, temos:
i. a(b~v)=(ab)~v - Associativa
ii. (a+b)~v=a~v+b~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de escalares.
iii. a(~u+~v)=a~u+a~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores.
iv. 1~v=~v - Identidade.
Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii:
�
�
��
~u
-~v
��
��
��
���1
~u+ ~v�
�
�
�
�
��
2~u
-2~v
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
2~u+ 2~v
Aˆngulo entre vetores: E´ o aˆngulo formado por duas semi-retas OA e OB
de mesma origem O, este aˆngulo e´ indicado por θ.
20
1. Se ~u ‖ ~v e teˆm mesmo sentido e direc¸a˜o, enta˜o θ = 0.
-~u
-~v
2. Se eles teˆm sentidos contra´rios, enta˜o θ = pi.
ff ~u
-~v
3. Se θ = pi/2, os vetores sa˜o ortogonais.
6
~v -
~u
Observac¸o˜es:
6
~v -
~u
�
�
�
�
�
��
O
A
B
C−−−−−−−
|
|
|
|
~u+ ~v
∆OBC : |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2
-O vetor nulo e´ considerado ortogonal a qualquer vetor.
Exemplo 6.
21
Figura 2.14: aˆngulo entre vetores
2.2.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u,~v e ~w, da figura abaixo, construir os vetores:
a) ~x = 2~u− 13~v
b) ~r = 12~v − w + 23~u
2. Dada a figura a seguir, onde M,N e P sa˜o os pontos me´dios de AB,
BC, CA, respectivamente, represente os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM em
func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC.
22
2.3 Vetores no Plano
De modo geral, dados dois vetores quaisquer na˜o colineares, para cada
vetor ~v representado no mesmo plano de ~v1 e ~v2 , existe uma so´ dupla de
nu´meros reais a1 e a2 tal que
~v = a1~v1 + a2~v2
Quando isto acontece, podemos dizer que o vetor ~v pode ser escrito como
combinac¸a˜o linear de ~v1 e ~v2. E o conjunto B formado pelos vetores
{~v1, ~v2} e´ chamado de base do plano.
Os nu´meros a1 e a2 sa˜o chamados de componentes ou coordenadas do
vetor ~v na base B. As bases mais utilizadas sa˜o as ortonormais. Uma base
representada por {e1, e2} e´ ortonormal, se seus vetores e1 e e2 sa˜o perpen-
diculares e unita´rios, isto e´, |~e1| = |~e2| = 1.
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores do
plano sempre podera˜o ser escritos como uma combinac¸a˜o linear de veto-
res {~i,~j} que formam uma base ortonormal no plano xOy.
Observac¸a˜o: Qualquer vetor ~v = (a1,a2) pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos vetores da base em R2:
~v = (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2) = a1(1,0) + a2(0,1) = a1~i+ a2~j
23
Figura 2.15: vetores da base canoˆnica do plano
Expressa˜o Anal´ıtica de um Vetor
Fixada a base {~i,~j}, fica estabelecida uma correspondeˆncia biun´ıvoca
entre os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de nu´meros reais. Assim,
a cada vetor ~v do plano pode-se associar um par (x,y) de nu´meros reais que
sa˜o suas componentes na base dada.
Um vetor no plano e´ um par ordenado (x,y) de nu´meros reais e repre-
sentamos por: ~v = (x,y) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Onde:
x e´ a primeira componente, e e´ chamada abscissa de ~v,
y e´ a segunda componente, e e´ chamada ordenada de ~v.
Para as operac¸o˜es alge´bricas de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de um vetor por
um escalar sa˜o va´lidas as propriedades vistas anteriormente (comutativa,
associativa, elemento neutro, elemento oposto, distributivas em relac¸a˜o a
adic¸a˜o de vetores e a adic¸a˜o de escalares).
Igualdade de vetores: ~v = (x1,y1), e ~j = (x2,y2), sa˜o iguais se x1 =
x2,y1 = y2 (coordenadas correspondentes iguais).
Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor
−→
AB onde a origem e´ o
ponto A(x1,y1) e extremidade B(x2,y2), onde
−→
OA= (x1,y1), e
−→
OB= (x2,y2),
enta˜o:
−→
AB=
−→
OB −
−→
OA= (x2,y2)− (x1,y1) = (x2 − x1,y2 − y1)
Exemplo 7. Dados os pontos A(5,3) e B(2,7) determine o vetor −→v = −−→AB.
24
Soluc¸a˜o:
−→
AB=B −A = (2,7)− (5,3) = (−3,4).
Observac¸a˜o: lembre-se que um vetor teminfinitos representantes que
sa˜o os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo
sentido. Dentre os infinitos representantes do vetor
−→
AB , o que melhor repre-
senta e´ aquele que tem origem emO(0,0) e extremidade em P (x2−x1,y2−y1).
O vetor ~v =
−→
AB e´ o vetor posic¸a˜o ou representante natural de
−→
AB .
Operac¸o˜es:
• Adic¸a˜o: ~u+ ~v = (x1 + x2,y1 + y2) = (x2 + x1,y2 + y1) = ~v + ~u
Exemplo 8. Se ~u = (1,2) e ~v = (−2,2), enta˜o:
~u+ ~v = (1,2) + (−2,2) = (1 + (−2),2 + 2) = (−1,4)
25
Figura 2.16: Adic¸a˜o de vetores
• Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar
α~u = (αx1,αy1)
Exemplo 9. Se α = 2, enta˜o:
α~u = 2(1,2) = (2,4)
• −~u = (−1)~u = (−x1,− y1)
Exemplo 10.
−~u = −(1,2) = (−1,− 2)
• ~u− ~v = (x1 − x2,y1 − y2)
Exemplo 11. ~u− ~v=(1,2)-(-2,3)=(1-(-2),2-3)=(3,-1)
Mo´dulo de um vetor: O mo´dulo ou comprimento do vetor ~v = (a,b) e´
um nu´mero real na˜o negativo, definido por:
|~u| = √a2 + b2
Isso e´ facilmente demostrado pelo Teorema de Pita´goras.
Pelo gra´fico, percebemos que aplicando o teorema de Pita´goras: |~u|2 =
a2 + b2, onde os catetos a e b do triaˆngulo sa˜o as coordenadas do vetor no
plano e a hipotenusa c e´ exatamente a medida do vetor ~u.
Logo, |~u| = √a2 + b2.
26
Exemplo 12. Encontre as componentes e o mo´dulo (ou comprimento) do
vetor de origem A(−3,4) e extremidade B(−5,2).
Soluc¸a˜o:
~v =
−→
AB= B −A = (−5,2)− (−3,4) = (−2,− 2)
|
−→
AB | = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2u.c.
Distaˆncia entre dois pontos: Dados os pontosA(x1,y1) eB(x2,y2) a distaˆncia
e´ definida por:
d(A,B) = |
−→
AB | =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
2.3.1 Agora tente resolver!
1. Sejam ~u = (3,− 2) e ~v = (−2,5) encontre as componentes dos vetores:
a) 3~u
b) ~u+ ~v
c) 2~u− 3~v
d) 35~u+
4
5~v
2. Sendo A(1, − 2), B(2,1), C(3,2), D(−2,3) decompor os vetores −−→BD e−−→
AD +
−−→
DC tomando como base os vetores
−−→
AB e
−→
AC.
Ponto me´dio: Dados A(x1,y1) e B(x2,y2), o ponto me´dio representado
por M(x,y) e´ portanto, M = (x1+x22 ,
y1+y2
2 ).
Ja´ que
−→
AM=
−→
MB
M −A = B −M
27
(x− x1,y − y1) = (x2 − x,y2 − y)
x− x1 = x2 − x
y − y1 = y2 − y
Resolvendo as equac¸o˜es respectivamente em relac¸a˜o a x e y.
x =
x1 + x2
2
e
y =
y1 + y2
2
Condic¸a˜o de Paralelismo de dois vetores: Dois vetores ~u = (x1,y1),
e ~v = (x2,y2), sa˜o paralelos se, ~u = α~v, ou seja o vetor ~u e´ mu´ltiplo escalar de
~v. Portanto, (x1,y1) = α(x2,y2), que pela condic¸a˜o de igualdade x1 = αx2,
e y1 = αy2, temos
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Exemplo 13. Os vetores ~u = (12,8) e ~v = (6,4) sa˜o paralelos pois,
12
6
=
8
4
= 2 = α.
~u = 2~v.
Exemplo 14. Dados ~u = (3,2), ~v = (−1,4). Encontre ~w na igualdade:
4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)
Soluc¸a˜o:
4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)
4~w − ~u− 2~v = 3~w − 6~u
4~w − 3~w = −6~u+ ~u+ 2~v
~w = −5~u+ 2~v
~w = −5(3,2) + 2(−1,4)
~w = (−15,− 10) + (−2,8)
~w = (−17,− 2)
28
2.3.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (2,− 4), ~v = (−5,1) e ~w = (−12,6). Determinar
a1, a2 tais que ~w = a1~u+ a2~v.
2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesianoA(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4)
e responder as seguintes questo˜es:
a) O vetor
−−→
AB e´ ortogonal ao vetor
−−→
CD? Justifique.
b) O vetor
−−→
DA e´ paralelo ao vetor
−−→
BC?
3. Determine o ponto C tal que
−→
AC = 3
−−→
AB sendo A(0,− 4) e B(1,2).
4. Verdadeiro ou Falso:
a) Se ~u = ~v enta˜o |~u| = |~v|.
b) Se |~u| = |~v| enta˜o ~u = ~v.
c) Se ~u ‖ ~v enta˜o ~u = ~v.
5. Dados os vetores −→u = (4,5) e −→v = (3,4), calcular −→u + −→v , 2−→u e 2−→v .
Fac¸a a representac¸a˜o geome´trica dos vetores resultantes no plano.
6. Observac¸a˜o:
Para resolver o pro´ximo exerc´ıcio, lembrar das seguintes notac¸o˜es:
- (⊥) - Condic¸a˜o de perpendicularismo - aˆngulo e´ igual a 90◦.
- (‖) - Condic¸a˜o de paralelismo.
A figura abaixo representa um retaˆngulo. Decidir se e´ verdadeira ou
falsa cada uma das afirmac¸o˜es:
a)
−→
AF⊥
−→
CB
b)
−→
BA‖
−→
CA
29
c)
−→
AD⊥
−→
DF
d)
−→
AF=
−→
EC
Exemplo 15. Aplicac¸a˜o: Um jato, voando para leste a 600mi/h sem vento,
encontra um vento de popa de 70mi/h atuando no sentido de 60◦ em relac¸a˜o
ao nordeste. O jato mante´m-se seguindo rumo ao leste, mas devido ao vento,
adquire uma nova velocidade em relac¸a˜o ao solo e uma direc¸a˜o e um sentido
novos. Qual seria essa nova velocidade?
Soluc¸a˜o:
Sando ~u = a velocidade do avia˜o sozinho e ~v =velocidade do vento de
popa. Enta˜o, |~u| = 600 e |~v| = 70 . A velocidade do avia˜o em relac¸a˜o ao
solo e´ dada pela magnitude e pela direc¸a˜o do vetor resultante ~u + ~v. Se o
eixo x positivo representar o leste e o eixo y positivo representar o norte,
enta˜o as componentes de ~u e ~v sera˜o
~u = (600,0) e ~v = (70cos(60)◦,70sen(60◦)) = (35,35
√
3).
Portanto,
~u+ ~v = (635,35
√
3)
|~u+ ~v| =
√
6352 + (35
√
3)2 ' 637,88mi/h
30
2.4 Vetores no Espac¸o
O produto cartesiano R× R× R ou R3 e´ o conjunto
R3 = {(x,y,z)/x,y,z ∈ R}
e sua representac¸a˜o geome´trica e´ o espac¸o cartesiano determinado pelos
treˆs eixos cartesianos Ox,Oy e Oz, ortogonais dois a dois.
Portanto, x, y, z formam o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Um vetor−→v pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores da base ortonormal
representados por {~i,~j,~k}, onde, ~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0) e ~k = (0,0,1), estes
vetores sa˜o representados com a origem no mesmo ponto O.
Assim, temos:
O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde ao vetor ~i.
O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde ao vetor ~j.
O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde ao vetor ~k.
Figura 2.17: Representac¸a˜o Geome´trica do espac¸o tridimensional
Observac¸a˜o 1: Representac¸a˜o da base e´ no sentido positivo. Esta base
obedece a` regra da Ma˜o direita.
A base canoˆnica representada pelo conjunto B = {~i,~j,~k} e´ formada por
vetores unita´rios, portanto |~i| = |~j| = |~k| = 1, e dois a dois ortogonais com
origem em O.
31
Figura 2.18: Base Ortonormal
O vetor
~v = x~i+ y~j + z~k
tambe´m pode ser expresso por ~v = (x,y,z) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Exemplo 16. ~v = 2~i− 3~j + ~k=(2,-3,1)
Observac¸a˜o 2: Nos eixos coordenados em R3 cada dupla de eixos de-
termina um plano:
a) o plano xOy ou simplesmente xy;
b) o plano xOz ou xz;
c) o plano yOz ou yz.
Estes treˆs planos dividem o espac¸o em oito partes, chamadas de octantes:
1. Primeiro octante: (x,y,z)
2. Segundo octante: (−x,y,z)
3. Terceiro octante: (−x,− y,z)
4. Quarto octante: (x,− y,z)
E assim sucessivamente, formando oito octantes.
32
Figura 2.19: Planos Coordenados
Observac¸a˜o 3: Para marcar um ponto no espac¸o tridimensional, trac¸amos
pelo ponto P planos paralelos aos planos coordenados formando um para-
lelip´ıpedo retaˆngulo, a intersec¸a˜o destes planos forma a terna (a,b,c) de
nu´meros reais, chamadas coordenadas de P .
33
Figura 2.20: Ponto P no espac¸o tridimensional
Igualdade, Operac¸o˜es, Vetor definido por dois pontos, Ponto
Me´dio, Paralelismo, Mo´dulo: Sa˜o ana´logas a`s do plano.
Exemplo 17. Dados os pontos P=(2,-3,4) e Q=(4,5,2), calcule o ponto
me´dio.
Soluc¸a˜o: M e´ o ponto me´dio entre P e Q, enta˜o M = (2+42 ,
−3+5
2 ,
4+2
2 ) =
(3,1,3)
Exemplo 18. Calcule o mo´dulo do vetor
−→
PQ, onde P e Q sa˜o os pontos
do exemplo anterior.
Soluc¸a˜o:
−→
PQ= Q − P = (4,5,2) − (2, − 3,4) = (2,8, − 2) e |−−→PQ| =√
22 + 82 + (−2)2 = √4 + 64 + 4 = √72 = 6√2
Exemplo 19. Dados os pontos A(0,1,-1), B(1,2,-1) e os vetores ~u=(-2,-
1,1), ~v=(3,0,-1) e ~w=(-2,2,2), verificar se existem nu´meros a1, a2, a3 tais
que:
~w = a1
−→
AB +a2~u+ a3~v
Soluc¸a˜o:
34
~w = a1(1,1,0) + a2(−2,− 1,1) + a3(3,0,− 1)
~w = (a1,a1,0)+ (−2a2,− a2,a2) + (3a3,0,− a3)
(−2,2,2) = (a1 − 2a2 + 3a3,a1 − a2,a2 − a3)
a1 − 2a2 + 3a3 = −2
a1 − a2 = 2
a2 − a3 = 2
Resolvendo este sistema chegamos em: a1 = 3, a2 = 1 e a3 = −1.
Condic¸a˜o de Paralelismo: Dois vetores ~u = (x1,y1,z1) e ~v = (x2,y2,z2)
sa˜o paralelos se ~u = k~v, onde k ∈ R, e
(x1,y1,z1) = k(x2,y2,z2)
(x1,y1,z1) = (kx2,ky2,kz2)
Mas, pela definic¸a˜o de igualdade: x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2, ou:
x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
= k
Esta e´ a condic¸a˜o de paralelismo de dois vetores.
Exemplo 20. Dados os vetores ~u=(-2,3,-4), ~v=(-4,6,-8) sa˜o paralelos?
Soluc¸a˜o:
−2
−4 =
3
6
=
−4
−8 =
1
2
~u =
1
2
~v.
Logo, eles sa˜o paralelos.
2.4.1 Agora tente resolver!
1. Sendo ~u = 2~i− 3~j + 6~k, determinar |~u|.
2. Determinar z tal que o vetor ~v = (1,− 2,z) tenha mo´dulo igual a 3.
3. Se ~w = (k,k,k) e´ um vetor unita´rio, determinar k.
4. Se ~c = (2,1, − 3) e ~d = (m,n, − 9), determinar m e n tal que ~c seja
paralelo a ~d.
35
2.5 Lista 1
1. Determine o vetor −→w , sabendo que 2(−→u + 3−→w ) +−→v = 2−→v −−→w , onde−→u = (6,4) e −→v = (3,− 2).
2. Sabendo que 2−→u + −→v = (13,4, − 1), determinar a, b e c, sendo −→u =
(2,− 1,c),−→v = (a,b− 2,3).
3. Nos itens abaixo encontre os seguintes vetores e represente os vetores
resultantes no gra´fico:
(a) Dados os pontos O(0,0), A(3,6), B(4, − 8), C(−1,3), determine−→
OA,
−−→
AB,
−−→
CB,
−→
OA+
−−→
CB,
−−→
AB −−→OA.
(b) Dados os pontosO(0,0,0), A(2,3,4), B(−1,1,3), C(3,2,1), determine−→
OA,
−−→
BC,
−→
OA+
−−→
CB.
4. Dados os vetores −→u = (1, − 1,5),−→v = (2,4, − 1),−→w = (3, − 2),−→t =
(5,7), determine os seguintes mo´dulos:
a. |−→u |
b. |−→v |
c. |−→w |
d. |−→t |
e. E´ poss´ıvel calcular |−→u +−→w |?
5. Dados os vetores −→u = (0,1,2),−→v = (−2,4,− 6), calcule:
a. |−→u +−→v |
b. |−→u − 3−→v |
6. Sabendo que −→u = (2,a − 1,6),−→v = (c,2,4b), determinar a, b e c, tal
que 3−→u +−→v = −→O.
7. Representar no gra´fico os vetores:
(a) No R2: represente os vetores
−−→
AB correspondentesA(6,−10), B(4,5);
A(10,3), B(−2,− 1); A(3,3), B(6,− 2).
(b) No R3: represente:
−−→
AB = (3,4,5),
−−→
CD = (−4,6,− 9),−−→EF = (3,−
4,7),
−−→
GH = (4,4,− 6).
8. Dados os pontos A(1,0,−1), B(4,2,1), C(1,2,0), determinar o valor de
m para que |~v|=7, sendo ~v = m
−→
AC +
−→
BC.
9. Apresentar o vetor gene´rico que satisfaz a condic¸a˜o:
(a) Paralelo ao eixo dos x.
36
(b) Representado no eixo dos z.
(c) Paralelo ao plano xy.
(d) Paralelo ao plano yz.
(e) Ortogonal ao eixo dos y.
(f) Ortogonal ao eixo dos z.
(g) Ortogonal ao plano xy.
(h) Ortogonal ao plano xz.
10. Dado o vetor ~w = (3,2,5), determinar a e b de modo que os vetores
~u = (3,2,− 1) e ~v = (a,6,b) + 2~w sejam paralelos.
11. A reta que passa pelos pontos A(−2,5,1) e B(1,3,0) e´ paralela a` reta
determinada por C(3,− 1,− 1) e D(0,m,n). Determinar o ponto D.
12. Suponha que A,B e C sejam os ve´rtices de um placa triangular onde
A(4,2,0), B(1,3,0) e C(1,1,3) enta˜o:
(a) fac¸a um esboc¸o da placa triangular.
(b) encontre o vetor com origem no ve´rtice C e extremidade no ponto
me´dio do lado AB.
(c) encontre o vetor com origem no ve´rtice C cujo comprimento e´
dois terc¸os do vetor do item anterior.
13. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos
A(3,− 1,4) e B(1,− 2,− 3).
14. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distaˆncia ao ponto A(−1,2,−
2) seja igual a 3.
2.6 Gabarito da Lista 1
1. −→w = (−9
7
,
−10
7
)
2. a = 9, b = 8, c = −2
3. a.
−→
OA = (3,6),
−−→
AB = (1, − 14),−−→CB = (5, − 11),−→OA + −−→CB = (8, −
5),
−−→
AB −−→OA = (−2,− 20)
4. |−→u | = √27, |−→v | = √21,|−→w | = √13,|−→t | = √74,|−→u +−→w |@
5. |−→u +−→v | = √45, |−→u − 3−→v | = √557
6. a =
1
3
, b =
−18
4
,c = −6
7. gra´ficos.
37
8. m =
−26
10
,m = 3
9. (x,0,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),(x,y,0),(0,0,z),(0,y,0)
10. a = 9, b = −15
11. D(0,1,0)
12.
−−−→
CPm = (
3
2
,
3
2
,− 3),−→u = 2
3
−−−→
CPm = (1,1,− 2)
13. P (3,0,0)
14. z = 0, z = −4
38
2.7 Produtos de Vetores
2.8 Produto Escalar
Neste cap´ıtulo vamos desenvolver algumas ideias e conceitos relacionados
a aˆngulos e ortogonalidade. O produto escalar (ou produto interno) entre
dois vetores, como o pro´prio nome diz, resulta em um escalar.
Considere os seguintes vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k,
representamos ~u · ~v, ao nu´mero real
~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2
Esta operac¸a˜o entre vetores gera como resultado sempre um nu´mero
real e o produto escalar vale tanto no R2 (no plano) como no R3 (no espac¸o).
Exemplo 21.
~u·~v = (1,−2,−1).(−6,2,−3) = 1(−6)+(−2)(2)+(−1)(−3) = −6−4+3 = −7
Representamos o produto escalar por ~u · ~v, leˆ-se ~u escalar ~v.
Propriedades do Produto Escalar:
Dados dois vetores, ~u e ~v ∈ R3 e um escalar m ∈ R, temos:
1. ~u · ~u ≥ 0, sera´ nulo se ~u for nulo.
Observe que ~u·~u ≥ 0, sera´ positivo porque a soma de quadrados sempre
resulta em valores positivos e sera´ igual a zero somente se ~u = 0.
−→u · −→u = (a,b,c) · (a,b,c) = a2 + b2 + c2 ≥ 0
−→u · −→u = 0⇐⇒ a2 + b2 + c2 = 0⇐⇒ a = b = c = 0
⇐⇒ −→u = (0,0,0) = −→0 .
2. ~u · ~v = ~v · ~u (O produto escalar e´ comutativo).
3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w (Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o).
4. (m~u) · ~v = m(~u · ~v) = ~u · (m~v) (Associativa)
5. ~u · ~u = |~u|2
Note que ~u ·~u = (x, y, z) · (x, y, z) = x2+y2+z2 e |~u| =
√
x2 + y2 + z2
enta˜o |~u|2 = x2 + y2 + z2 = ~u · ~u
39
Figura 2.21: Aˆngulo entre dois vetores
Aˆngulo entre dois vetores: O produto escalar entre os vetores ~u e ~v pode
ser escrito na forma:
~u · ~v = |~u| · |~v|cosθ,
onde θ e´ o aˆngulo formado entre ~u e ~v.
Por definic¸a˜o, dados dois vetores na˜o nulos, o aˆngulo procurado e´ o menor
aˆngulo formado por dois representantes destes vetores, com a mesma origem,
observe a figura 2.21.
Pela definic¸a˜o de produto escalar, podemos obter o aˆngulo θ entre dois
vetores gene´ricos ~u e ~v.
Desta forma,
~u · ~v =
{
0 se ~u ou ~v for nulo
|~u| · |~v|cosθ (2.1)
enta˜o,
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v| ,
desde que nenhum deles seja nulo.
Demonstrac¸a˜o: Aplicando a lei dos cossenos da geometria plana, que
estabelece que c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(θ).
Se o triaˆngulo e´ retaˆngulo com os catetos a e b e a hipotenusa c, a lei
acima se reduz ao Teorema de Pita´goras c2 = a2+b2, enta˜o pela figura 2.22:
40
Figura 2.22: Lei dos cossenos
se c = ~w, b = ~u e a = ~v, temos: em notac¸a˜o vetorial
|~w|2 = |~u|2 + |~v|2 − 2|~u||~v|cos(θ)
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2
Uma vez que ~w = ~u− ~v, a forma de ~w e´ (u1 − v1,u2 − v2,u3 − v3)
Assim,
|~u|2 = (
√
u21 + u
2
2 + u
2
3)
2 = u21 + u
2
2 + u
2
3
|~v|2 = (
√
v21 + v
2
2 + v
2
3)
2 = v21 + v
2
2 + v
2
3
|~w|2 = (√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v2)2)2 =
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2
e
|~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
portanto,
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
|~u||~v|cos(θ) = (u1v1 + u2v2 + u3v3)
cos(θ) =
(u1v1 + u2v2 + u3v3)
|~u||~v| =
~u · ~v
|~u||~v|
assim,
θ = arccos
(
~u · ~v
|~u||~v|
)
. (2.2)
41
Observac¸a˜o 1
Em relac¸a˜o ao aˆngulo θ:
θ e´ agudo se (0 ≤ θ < 90◦), se e somente se, ~u · ~v > 0.
θ e´ reto (θ = 90◦), se e somente se, ~u · ~v = 0.
θ e´ obtuso (90◦ < θ ≤ 180◦), se e somente se, ~u · ~v < 0.
Observac¸a˜o 2
|~u+ ~v|2 = (~u+ ~v)(~u+ ~v) = ~u · ~u+ ~u · ~v + ~v · ~u+ ~v · ~v = |~u|2 + 2~u~v + |~v|2.
Se θ = 90◦, os vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais =⇒ |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2.
Do mesmo modo
|~u− ~v|2 = |~u|2 − 2~u~v + |~v|2
e
|~u+ ~v||~u− ~v| = |~u|2 − |~v|2
Exemplo 22. Encontreo aˆngulo entre ~u = −2~i−~j + ~k e ~v =~i+~j.
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
cos(θ) =
(−2,− 1,1) · (1,1,0)√
(−2)2 + (−1)2 + 12 · √12 + 12
cos(θ) =
−3√
12
=
−√3
2
θ = 120◦
Exemplo 23. Encontre o aˆngulo θ entre ~u =~i− 2~j− 2~k e ~v = 6~i+ 3~j+ 2~k.
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
42
cos(θ) =
(1,− 2,− 2) · (6,3,2)√
(1)2 + (−2)2 + (−2)2 · √62 + 32 + 22
cos(θ) =
−4
21
=⇒ θ ' 100,95◦
Vetores ortogonais:
Dois vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais se, o produto escalar deles e´
nulo:
~u · ~v = 0.
Exemplo 24. ~u = 3~i − 2~j + ~k e´ ortogonal a ~v = 2~j + 4~k pois ~u · ~v =
(3)(0) + (−2)(2) + (1)(4) = 0.
O ~0 e´ ortogonal a todo vetor ~u, pois ~0 · ~u = (0,0,0) · (3,− 2,1) = 0.
2.8.1 Agora tente resolver!
1. Determinar o vetor −→v , ortogonal ao eixo Oy que satisfaz as condic¸o˜es:
−→v · −→a = 12 e −→v · −→b = 6, onde −→a = (1,2,− 4) e −→b = (−1,2,6).
2. Determine z tal que ~u = (1,− 3,2) e ~v = (5,− 3,z) sejam ortogonais.
3. Encontrar o vetor ~m ortogonal aos vetores ~u = (3,2,− 2) e ~v = (−1,−
3,− 4), de mo´dulo igual a 6.
4. Determinar para que valores de α e β os vetores ~a = (−2,3,α) e ~b =
(β,− 6,2) sejam:
a) colineares;
b) ortogonais, se α = 2β.
Aˆngulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor: Considere o vetor
~v = x1~i + y1~j + z1~k. Chamamos de aˆngulos diretores de ~v os aˆngulos α, β
e γ que ~v forma com os vetores ~i, ~j, ~k como podemos observar pela figura
2.23.
Cossenos diretores de ~v sa˜o os cossenos de seus aˆngulos diretores, isto e´,
cos(α), cos(β), cos(γ). Assim, por exemplo,
cos(α) =
~v ·~i
|~v||~i| =
x
|~v|
os demais seguem de mesma forma.
43
Figura 2.23: Aˆngulos diretores
Exemplo 25. Dados A(2,2,-3), B(3,1,-3) calcular os aˆngulos diretores ~v =
−→
AB.
Soluc¸a˜o:
−→
AB= B −A = (3,1,− 3)− (2,2,− 3) = (1,− 1,0)
Ou seja
−→
AB= 1~i− 1~j + 0~k
Agora vamos calcular seus aˆngulos diretores:
cos(α) =
−→
AB ·~i
|
−→
AB ||~i|
=
x
|
−→
AB |
=
1√
12 + (−1)2 + 02 =
1√
2
=
√
2
2
Enta˜o α = 45◦
cos(β) =
y
|
−→
AB |
=
−1√
12 + (−1)2 + 02 =
−1√
2
=
−√2
2
Enta˜o β = 135◦
cos(γ) =
z
|
−→
AB |
=
0√
12 + (−1)2 + 02 = 0
Enta˜o γ = 90◦.
Vetor projec¸a˜o: Dados dois vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0 e ~v 6= 0, queremos
determinar um vetor que e´ a projec¸a˜o do vetor ~u sobre o vetor ~v. As figuras
44
ilustram duas situac¸o˜es,
Figura 2.24: vetor projec¸a˜o
Figura 2.25: vetor projec¸a˜o 2
45
Observando a figura 2.25, trac¸ando uma reta r paralela ao vetor −→u e con-
siderando um vetor ortogonal a reta r, com origem no ponto C, percebe-se
que vetor −→a , e´ a projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u . Note que −→b = −→v −−→a ,
e´ ortogonal a −→u e a −→a . Com a ideia geome´trica em mente, vamos enunciar
a seguinte propriedade:
Dados dois vetores −→u 6= −→O e −→v , existe um u´nico vetor −→a que verifica:
1. −→a ‖−→u
2. −→v −−→a ⊥−→u ⇒ (−→v −−→a ) · −→u = 0.
O vetor −→a e´ chamado de projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u , e indicamos:
−→a = proj~u~v.
Pela condic¸a˜o (1): −→a = α−→u , e, pela condic¸a˜o (2) (−→v − −→a ) · −→u = 0, se−→a = α−→u , temos −→v · −→u − α−→u · −→u = 0, enta˜o
α =
~v · ~u
|~u|2
proj~u~v =
(
~v · ~u
|~u|2
)
· ~u
Exemplo 26. Encontre a projec¸a˜o ortogonal de ~u = 6~i + 3~j + 2~k em ~v =
~i− 2~j − 2~k.
Soluc¸a˜o:
~a = proj~v~u =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =(
(6,3,2) · (1,− 2,− 2)
12 + (−2)2 + (−2)2
)
· (1,− 2,− 2) =(
6− 6− 4
1 + 4 + 4
)
· (1,− 2,− 2) =(−4
9
)
· (1,− 2,− 2) =
(−4
9
,
8
9
,
8
9
)
Exemplo 27. Encontre a projec¸a˜o ortogonal de uma forc¸a ~F = 5~i+ 2~j em
~v =~i− 3~j.
Soluc¸a˜o:
~w = proj~v ~F =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =
(
(5,2) · (1,− 3)
12 + (−3)2
)
· (1,− 3) =
(−1
10
)
· (1,−
3) =
(−1
10
,
3
10
)
.
46
2.8.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (4,7,3),~v = (2,2,1) e ~w = (0,− 5,2) calcule:
a) (~u+ ~v) · ~w.
b) proj~u~v.
c) ~u · (~v − 2~w).
d) proj~u ~w.
2. Associe cada item com uma das afirmac¸o˜es e justifique:
(1) ~u = (−2,3,− 2),~v = (−1,2,4).
(2) ~u = (−1,0,3),~v = (−3,0,1).
(3) ~u = (6,3,4),~v = (18,9,12).
( ) ~u e ~v na˜o sa˜o nem paralelos nem ortogonais.
( ) ~u e ~v sa˜o paralelos.
( ) ~u e ~v sa˜o ortogonais.
3. Dados os vetores ~m = (1,− 3,4),~n = (3,− 4,2) e ~o = (−1,1,4), calcular
a projec¸a˜o do vetor ~m na direc¸a˜o do vetor ~n+ ~o.
4. Sabendo que −→v = (4,10,10) e −→u = (1,1,4) calcule a projec¸a˜o ortogonal
de −→v sobre −→u , e decomponha o vetor −→v como soma de dois vetores
(−→a e −→b ), sendo −→a paralelo a −→u , e −→b ortogonal a −→u .
2.9 Produto Vetorial
Dados dois vetores ~u e ~v, estamos em busca de um novo vetor, simulta-
neamente ortogonal aos vetores ~u e ~v, denotado por ~u×~v que denominamos
de produto vetorial de ~u e ~v.
Para definirmos o produto vetorial, devemos lembrar da orientac¸a˜o de
base positiva no espac¸o. Considere treˆs vetores ~u, ~v e ~w, como mostra a
figura a seguir.
47
O conjunto {~u,~v, ~w} nesta situac¸a˜o geome´trica forma uma base de veto-
res do espac¸o, pois os vetores sa˜o na˜o coplanares.
Considere a rotac¸a˜o em torno do menor aˆngulo, em torno de O, assim
o vetor ~u e´ o primeiro vetor da base, que tera´ o mesmo sentido do vetor ~v,
que sera´ definido como o segundo vetor da base. Se a rotac¸a˜o for no sentido
anti-hora´rio a base e´ positiva. Sendo assim {~u,~v, ~w}, e´ positiva.
Vale lembrar que a base canoˆnica e´ representada no sentido positivo,
assim {~i,~j,~k} nessa ordem e´ positiva.
Observac¸a˜o 1: Usando um dispositivo pra´tico da figura 2.26 , observa-
mos a ordem circular dos vetores da base canoˆnica.
Pelo dispositivo temos:
48
Figura 2.26: Sentido Positivo
~i×~j = ~k,
de maneira ana´loga, temos que: ~j × ~k =~i e ~k ×~i = ~j.
Ja´ no sentido hora´rio, pela figura 2.27, observamos a ordem circular no
sentido negativo.
Figura 2.27: Sentido Negativo
~j ×~i = −~k, de maneira ana´loga, temos que: ~i× ~k = −~j e ~k ×~j = −~i .
Pelo sentido anti-hora´rio temos o sentido positivo da base: {~i,~j,~k},
{~j,~k,~i} e {~k,~i,~j}.
No sentido hora´rio {~j,~i,~k}, {~i,~k,~j} e {~k,~j,~i} o sentido da base e´ nega-
tivo.
49
Definic¸a˜o:
Ao contra´rio do produto escalar, que resulta em um escalar, e pode ser
definido tanto como vetores do espac¸o como vetores do plano, o produto
vetorial so´ pode ser definido em vetores do espac¸o ja´ que esta´ ligado essen-
cialmente ao conceito de orientac¸a˜o no espac¸o.
Representamos o produto vetorial por ~u× ~v, leˆ-se ~u vetorial ~v.
Observac¸a˜o 2:
• −→u ×−→v = ~0 Se o produto vetorial resultar em um vetor nulo ~0 significa
que um dos vetores e´ nulo ou os vetores sa˜o colineares.
• o vetor resultante tem:
i. mo´dulo |~w| = |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ii. a direc¸a˜o do vetor resultante ~w e´ simultaneamente ortogonal a ~u
e ~v.
iii. o sentido e´ tal que {~u,~v, ~w} e´ dado pela base positiva orientada
do espac¸o.
Ca´lculo do produto vetorial
Considere a base canoˆnica de R3, {~i,~j,~k}.
Usando a definic¸a˜o de produto vetorial, a observac¸a˜o 1 e sabendo que:
~i×~i = 0
~j ×~j = 0
~k × ~k = 0
O produto vetorial entre ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k,
representado por (~u × ~v) sera´ expresso em coordenadas. Vamos obter as
coordenadas, estendendo por linearidade, assim:
~u× ~v = (x1~i+ y1~j + z1~k)× (x2~i+ y2~j + z2~k)
= (x1x2)(~i×~i) + (x1y2)(~i×~j) + (x1z2)(~i×~k) + (y1x2)(~j×~i) + (y1y2)(~j×
~j) + (y1z1)(~j × ~k) + (z1x2)(~k ×~i) + (z1y2)(~k ×~j) + (z1z2)(~k × ~k)
= (x1x2)(0)+(x1y2)(~k)+(x1z2)(−~j)+(y1x2)(−~k)+(y1y2)(0)+(y1z2)(~i)+
(z1x2)(~j) + (z1y2)(−~i) + (z1z2)(0)
Portanto, ~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i− (x1z2 − z1x2)~j + (x1y2 − y1x2)~k, que
correspondeao determinante
50
~u× ~v =
 ~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
 = [y1 z1
y2 z2
]
~i−
[
x1 z1
x2 z2
]
~j +
[
x1 y1
x2 y2
]
~k
O s´ımbolo que utilizamos acima na˜o e´ um determinante, pois a primeira
linha conte´m vetores e na˜o escalares. No entanto, e´ uma forma de cal-
cular semelhante ao desenvolvimento do determinante. Esta representac¸a˜o
simbo´lica auxilia apenas o ca´lculo de ~u× ~v em coordenadas.
Propriedades do Produto Vetorial:
i. ~u× ~u = ~0
Pela definic¸a˜o de produto vetorial, temos que |~u × ~v| = |~u||~v|sen(θ)
enta˜o |~u× ~u| = |~u||~u|sen(0◦) = 0.
ii. ~u× ~v = −~v × ~u
-ff
@
@
@R
6
-~u−~u
~v
~w
iii. ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.
Sendo ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3):
~u× (~v + ~w) =
(x1,y1,z1)× ((x2,y2,z2) + (x3,y3,z3)) =
(x1,y1,z1)× (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3) =
(y1(z2 + z3) − z1(y2 + y3), − x1(z2 + z3) + z1(x2 + x3),x1(y2 + y3) −
y1(x2 + x3)) =
(y1z2 − z1y2 + y1z3 − z1y3,− x1z2 + z1x2 − x1z3 + z1x3,x1y2 − y1x2 +
x1y3 − y1x3) =
(y1z2−z1y2,−x1z2+z1x2,x1y2−y1x2)+(y1z3−z1y3,−x1z3+z1x3,x1y3−
y1x3) =
= ~u× ~v + ~u× ~w
51
iv. (m~u)× ~v = m(~u× ~v)
(m~u)×~v = (m(x1,y1,z1))×(x2,y2,z2) = (mx1,my1,mz1)×(x2,y2,z2) =
(my1z2 −mz1y2,−mx1z2 + x2mz1,mx1y2 −my1x2) =
m(y1z2 − z1y2,− x1z2 + x2z1,x1y2 − y1x2) = m(~u× ~v)
v. ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores e´ nulo ou se ~u e ~v sa˜o
colineares.
Se um dos vetores e´ nulo, teremos no produto vetorial uma linha nula,
logo seu determinante e´ nulo. De mesma forma, se os vetores sa˜o
colineares temos duas linhas do determinante mu´ltiplas, logo o deter-
minante tambe´m e´ nulo.
vi. ~u × ~v e´ ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v. Pelo produto
escalar: −→u · (−→u ×−→v ) = −→v · (−→u ×−→v ) = 0.
Veja pela base canoˆnica {~i,~j,~k} como o resultado do produto vetorial
de cada par de vetores, resulta sempre no terceiro de tal maneira que
este e´ ortogonal aos outros dois.
vii. |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2 Identidade de Lagrange.
viii. se ~u 6= 0 e ~v 6= 0 e se θ e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v : |~u × ~v| =
|~u||~v|sen(θ). Se |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (|~u||~v|cosθ)2
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2(1− cos2(θ))
|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2sen2(θ)
Portanto, o comprimento ou norma e´ |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ix. ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w
x. Sentido de −→u ×−→v : regra da ma˜o direita:
52
Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Vetorial: A a´rea de um paralelo-
gramo determinado pelos vetores ~u e ~v e´ numericamente igual ao mo´dulo do
produto vetorial |~u× ~v| como podemos observar pela figura.
Ca´lculo da a´rea do paralelogramo:
A´rea(ABCD) =(AB)h, onde (AB) =|
−→
AB | = |~u|.
Temos que h=(AD)sen(θ), em que (AD) = |
−→
AD | = |~v|.
Logo, A´rea(ABCD)=|~u||~v|senθ = |~u× ~v|.
Exemplo 28. Dados os vetores ~u = (2,1,−1), ~v = (−1,1,3), calcular a a´rea
do paralelogramo formado por ~u e ~v.
Soluc¸a˜o:
|~u×~v| =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
2 1 −1
−1 1 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(3− (−1))−~j(6− (1)) +~k(2− (−1)) = |4~i−
5~j + 3~k| = |(4, − 5,3)| = √42 + (−5)2 + 32 = √16 + 25 + 9 = √50 = 5√2
u.a.
53
Exemplo 29. Calcular a a´rea do triaˆngulo formado pelos pontos A(-1,1,0),
B(2,1,-1), C(-1,1,2).
Soluc¸a˜o: Primeiramente, calcularemos os vetores
−→
AB e
−→
AC.
−→
AB= B −A = (2,1,− 1)− (−1,1,0) = (3,0,− 1)
−→
AC= C −A = (−1,1,2)− (−1,1,0) = (0,0,2)
Agora vamos calcular a a´rea do paralelogramo formado por estes vetores:
|
−→
AB ×
−→
AC | =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
3 0 −1
0 0 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(0−0)−~j(6−0)+~k(0−0) = |0~i−6~j+0~k| = |(0,−6,0)|
(2.3)
Portanto, a a´rea do paralelogramo e´ |
−→
AB ×
−→
AC | = √(−6)2 = √36 =
6u.a.
Mas, o exerc´ıcio pergunta qual o valor da a´rea do triaˆngulo formado pelo
pontos A, B e C. Conforme a figura a seguir, a a´rea do triaˆngulo e´ exata-
mente a metade da a´rea do paralelogramo, ou seja 3 u.a.
2.9.1 Agora tente resolver!
1. Obtenha o vetor −→x tal que −→x ·(−→i −−→j ) = 0 e −→x ×(−→i +2−→k ) = −→i −1
2
−→
k .
2. Dados os vetores ~u = 3~i− 2~j + 4~k e ~v =~i− 3~j − 2~k. Calcule ~u× ~v e
|~u× ~v|.
3. Nos itens abaixo, encontre ~u×~v , o mo´dulo (comprimento) e a direc¸a˜o
do vetor unita´rio resultante de :
54
a) ~u = 2~i− 2~j − ~k,~v =~i− ~k.
b) ~u = 2~i+ 3~j,~v = −~i+~j.
c) ~u = 2~i− 2~j + 4~k,~v = −~i+~j − 2~k.
4. Sabendo que a a´rea de um paralelogramo e´ 2
√
6 e que os lados do pa-
ralelogramo sa˜o determinados pelos vetores ~u = (3,1,− 1), ~v = (a,0,2),
determine o valor de a.
5. Considerando os vetores ~a = (1,2,3),~b = (−1,1,2),~c = (2, − 4,3) e
~d = (2,− 1,0), calcular (~a×~b) · (~c× ~d).
6. Dados −→u = (2, − 1,1),−→v = (1, − 1,0) e −→w = (−1,2,2), calcule −→v ×
(−→w −−→u ).
2.10 Produto Misto
Chama-se produto misto dos vetores ~u = x1~i+y1~j+z1~k, ~v = x2~i+y2~j+
z2~k e ~w = x3~i+ y3~j+ z3~k, tomados neste ordem, ao nu´mero real ~u · (~v× ~w).
O produto misto de ~u, ~v e ~w tambe´m e´ indicado por (~u,~v, ~w).
Do resultado do produto vetorial:
~v × ~w = (y2z3 − z2y3)~i− (x2z3 − z2x3)~j + (x2y3 − y2x3)~k
Temos que:
~u·(~v× ~w) = (x1~i+y1~j+z1~k)·[(y2z3−z2y3)~i−(x2z3−z2x3)~j+(x2y3−y2x3)~k]
Sabendo que o produto escalar de dois vetores ortogonais e´ nulo, so´ tere-
mos resultados quando houver produto escalar entre o mesmo vetor unita´rio
da base canoˆnica.
x1(y2z3 − z2y3)~i ·~i+ y1(x2z3 − z2x3)~j ·~j + z1(x2y3 − y2x3)~k · ~k =
x1y2z3 − x1z2y3 + y1x2z3 − y1z2x3 + z1x2y3 − z1y2x3 =
x1y2z3 + y1x2z3 + z1x2y3 − (x1z2y3 + y1z2x3 + z1y2x3)
Logo, o que temos e´:
~u · (~v × ~w) =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
Propriedades:
55
i. (~u,~v, ~w) = 0 se um dos vetores e´ nulo, se dois deles sa˜o colineares, ou
se os treˆs sa˜o coplanares.
ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: (~u,~v, ~w) =
(~v, ~w, ~u) = (~w, ~u,~v).
iii. (~u,~v, ~w + ~r) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v, ~r)
iv. (~u,~v,m~w)=(~u,m~v, ~w)=(m~u,~v, ~w)=m(~u,~v, ~w)
Exemplo 30. Encontre o produto misto ~u,~v, ~w, onde ~u = (3,2,1), ~v =
(1,1,1), ~w = (2,1,1).
Soluc¸a˜o:
~u · (~v × ~w) = 3 + 4 + 1− (2 + 3 + 2) = 8− 7 = 1
Interpretac¸a˜o Geome´trica do Mo´dulo do Produto Misto:
O volume de um paralelep´ıpedo e´ definido pela a´rea da base pela sua altura
(Ab · h). A a´rea da base do paralelep´ıpedo e´ |~u × ~v|. Seja θ o aˆngulo entre
os vetores e ~u×~v e ~w. Sendo ~u×~v um vetor ortogonal a` base, a altura sera´
paralela a ele, e , portanto, h = |~w||cos(θ)|.
Assim,
V = |~u× ~v||~w||cos(θ)|
Fazendo ~u× ~v = ~n,
V = |~n| · |~w||cos(θ)|
Sabendo que ~n · ~w = |~n||~w|cos(θ).
O volume do paralelep´ıpedo e´ definido pelo mo´dulo do produto misto deter-
minado pelos vetores ~u, ~v e ~w.
V = |~n · ~w| = |(~u× ~v) · ~w|
56
Exemplo 31. Encontre o volume da caixa determinada por ~u = (1,2,− 1),
~v = (−2,0,3), ~w = (0,7,− 4).
Soluc¸a˜o:
V = |(~u,~v, ~w)| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
−2 0 3
0 7 −4
∣∣∣∣∣∣ = |0+0+14− (0+21+16)| = |14−37| =
| − 23| = 23u.v.
Observac¸a˜o 3: O volume do tetraedro ABCD e´ 16 do volume do parale-
lep´ıpedo.
Exemplo 32. Calcule o volume do tetraedro sabendo que as arestas sa˜o
determinadas pelos vetores ~u = (−1,1,0), ~v = (−1,0,1) e ~w = (3,2,7).
57
Soluc¸a˜o: V = |(~u,~v, ~w)| = 16
∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−1 0 1
3 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 16 |12| = 2u.v.
Exemplo 33. Verificar se os pontos A(0,1,1), B(1,0,2), C(1,−2,0) e D(−2,2,−
2) sa˜o coplanares.
Soluc¸a˜o: Os pontos pertencem ao mesmo plano se os vetores
−−→
AB =
(1, − 1,1),−→AC = (1, − 3, − 1) e −−→AD = (−2,1, − 3) sa˜o coplanares, isto
acontece se o produto misto entre eles e´ zero. Assim,
det
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 −3 −1
−2 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Duplo Produto Vetorial: Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v =
x2~i+ y2~j + z2~k e ~w = x3~i+ y3~j + z3~k, chama-se duplo produtovetorial dos
vetores ~u, ~v e ~w ao vetor ~u× (~v × ~w).
Observac¸a˜o: O produto vetorial na˜o e´ associativo: ~u × (~v × ~w) 6= (~u ×
~v)× ~w.
Decomposic¸a˜o do Duplo Produto Vetorial: E´ poss´ıvel decompor o duplo
produto vetorial na diferenc¸a de dois vetores com coeficientes escalares:
~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w
Esta fo´rmula pode ser escrita sob a forma de determinantes:
~u× (~v × ~w) =
∣∣∣∣ ~v ~w~u · ~v ~u · ~w
∣∣∣∣
2.10.1 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~a = (3, − 1,1),~b = (1,2,2) e ~c = (2,0, − 3), calcule
(~a,~b,~c).
2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ~u = (2,m,0), ~v =
(1,− 1,2) e ~w = (−1,3,− 1) sejam coplanares?
3. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores ~i,~j,~k.
4. Determine o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~u =
(0,− 1,2), ~v = (−4,2,− 1) e ~w = (3,4,− 2).
5. Calcular o volume do Tetraedro de baseABC e ve´rtice P , ondeA(2,0,0), B(2,4,0), C(0,3,0)
e P (2,− 2,9).
58
2.10.2 Lista 2
1. Dados os vetores ~u = (2,3, − 1),~v = (4, − 2, − 3), determinar −→x de
modo que 4−→x − 2−→v = −→x + (−→u · −→v )−→u .
2. Dados os vetores ~u = (3,− 2,4), ~v = (1,2,− 4), calcular
(a) (3~u− ~v) · (~v − 4~u)
(b) (~u+ 3~v).(~u− ~v)
3. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular:
(a) (2~u− 3~v) · ~u
(b) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)
4. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (2,4,5) sobre o eixo x?
5. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~a = (4,5, − 3) sobre o eixo
y?
6. Determinar o vetor −→v paralelo ao vetor −→u = (1,3,−1) tal que −→v ·−→u =
44.
7. Encontre o vetor projv~u:
(a) ~v = 2~i− 4~j +√5~k,~u = −2~i+ 4~j −√5~k
(b) ~v = 10~i+ 11~j − 2~k, ~u = 3~j + 4~k
(c) ~v = 5~j − 3~k, ~u =~i+~j + ~k
8. Determine o vetor projec¸a˜o de ~u = (2,3,4) sobre ~v = (1,− 1,0).
9. Encontre os aˆngulos entre os vetores:
(a) ~u = 2~i+~j, ~v =~i+ 2~j − ~k
(b) ~u =
√
3~i− 7~j, ~v = √3~i+~j − 2~k
10. Encontre a medida dos aˆngulos do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(-1,0),
B(2,1), C(1,-2).
11. Se ~u = 2~i−~j + 4~k, ~v = 2~i+ 6~j − 2~k e ~w = −2~i+ 2~k, determinar:
(a) |~u× ~w|
(b) (2~v)× (3~u)
(c) (~u× ~w) + (~w × ~v)
12. Dados os pontos A(3,2,1), B(3,0,5) e C(2,−1,−1), determinar o ponto
D tal que (
−→
AD) = (
−→
BC)× (
−→
AC).
59
13. Dados os vetores ~u = (6,− 2,1) e ~v = (2,− 2,0), calcular:
(a) A a´rea do paralelogramo determinado por ~u e ~v.
(b) A altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor ~v.
14. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo (
−→
AB) = (1, − 1,3) e
(
−→
AD) = (3,− 3,2).
15. Sejam ~u = 5~i−~j + ~k, ~v = ~j − 5~k, ~w = −15~i+ 3~j − 3~k. Quais vetores,
se e´ que existem, sa˜o (a) perpendiculares? (b) paralelos? Justifique.
16. Dados os vetores ~u = (2,−1,3) e ~v = (2,3,3) e ~w = (2,0,−4), calcular:
(a) (~u,~v,~w)
(b) (~w,~u,~v)
17. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
(a) ~u = (2,2,k) e ~v = (2,0,1) e ~w = (k,4,k).
(b) ~u = (2,k,2) e ~v = (1,0,k) e ~w = (3,− 1,1)).
18. Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores ~u = (3, − 1,4),~v =
(2,1,0) e ~w = (−2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a` base
definida pelos vetores ~u e ~v.
19. Sejam A(2,4, − 2), B(6,0,1), C(3, − 2,1) e D(6,1,3) ve´rtices de um te-
traedro. Calcular o volume deste tetraedro.
20. Sejam A(2,1,6), B(4,1,3), C(1,16,2) e D(3,1,1) ve´rtices de um tetrae-
dro. Calcular o volume deste tetraedro.
21. Sejam os vetores ~u = (2,1,0), ~v = (1,0,2) e ~w1 = 2~u−~v, ~w2 = 3~v− 2~u,
e ~w3 = ~i + ~j + 2~k. Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido
por ~w1, ~w2, ~w3.
22. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1) , determi-
nar o valor de m para que seja de 20 u.v o volume do paralelep´ıpedo
determinado pelos vetores
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD.
23. Dados os vetores na˜o nulos ~u, ~v, ~w, use as notac¸o˜es do produto escalar
e do produto vetorial, conforme seja apropriado:
(a) A projec¸a˜o vetorial de ~u em ~v.
(b) O volume do paralelep´ıpedo determinado por ~u, ~v e ~w.
24. Quatro ve´rtices consecutivos de um paralelep´ıpedo sa˜oA(1, 4, 12), B(6,−8, 14),
C(−5, 12, 6) e D(9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelep´ıpedo.
60
25. Do tetraedro de arestas OA, OB e OC, sabe-se:
−→
OA = (x,3,4),
−−→
OB =
(0,4,2),
−−→
OC = (1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja
igual a 2u.v.
26. Encontre o vetor ~u tal que ~u× (~i−~j) = 2(~i+~j−~k), tal que o mo´dulo
de −→u seja √6.
27. Determinar o vetor ~m = (a,b,c), tal que:
~m · (2,3,4) = 9
~m× (−1,1,− 1) = (−2,0,2)
2.11 Gabarito - Lista 2
1. −→x = (18
3
,
11
3
,− 11
3
)
2. −488,−68
3. 11,−4
4. 2u.c.
5. 5u.c.
6. −→v = (4,12,− 4)
7. (−2,4,−√5), 1
9
(10,11,− 2), 1
17
(0,5,− 3)
8. (−1
2
,
1
2
,0)
9. θ = arcos(
4√
5
√
6
); θ = arcos(− 1√
2
√
13
)
10. Â : θ = arcos(
1√
5
); B̂ : θ = arcos(
3
5
); Ĉ : θ = arcos(
1√
5
)
11.
√
152; (132,− 72,− 84); (−14,− 12,− 14)
12. (−13,6,3)
13.
√
72u.a.; 3u.c.
14.
√
98 = 7
√
2u.a.
15. −→w e −→u sa˜o paralelos.
16. −56;−56
61
17. (a)
4
3
; (b)
2
3
,−1
18. 41u.v.; h =
41√
105
=
41
√
105
105
u.c.
19.
49
6
u 8,17u.v.
20. 105u.v.
21. 16u.v.
22. m = 6
23. proj−→v
−→u =
(−→u · −→v
−→v −→v
)
−→v ; |(−→u ,−→v ,−→w )|
24. 604u.v.
25. 11,− 1
26. (1,1,2)
27. (1,1,1)
62
Cap´ıtulo 3
Retas e Planos
3.1 Retas no R3
No estudo da reta no plano cartesiano, R2, e´ fa´cil perceber que dados dois
pontos distintos obtemos uma u´nica reta, que e´ definida por uma equac¸a˜o
linear, para maiores detalhes, revise o cap´ıtulo 1.
Agora, com o estudo da reta no espac¸o (R3), uma reta e´ determinada
por um ponto e um vetor indicando a direc¸a˜o da reta.
Consideramos uma reta r que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) e com direc¸a˜o
do vetor na˜o nulo ~v = (a,b,c). Dado um ponto P qualquer, esse pertence a
reta r se, e somente se, o vetor
−→
AP e´ paralelo ao vetor ~v. Enta˜o,
−→
AP= t~v, para algum t real. (3.1)
Da equac¸a˜o (3.1), temos que P − A = t~v ⇒ P = A+ t~v, ou em coorde-
nadas
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c) (3.2)
Essa equac¸a˜o e´ denominada equac¸a˜o vetorial da reta r no espac¸o tri-
dimensional R3. O vetor ~v e´ o vetor diretor da reta e t e´ denominado
paraˆmetro.
A reta no R3 e´ o conjunto de todos os pontos A(x1,y1,z1) para os quais−→
AP‖ ~v e o paraˆmetro t depende da localizac¸a˜o do ponto A ao longo da reta.
Exemplo 34. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A(6,1,-8) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i+~j + ~k.
Soluc¸a˜o: O vetor ~v = 2~i +~j + ~k pode ser reescrito na forma de coorde-
nadas: ~v = (2,1,1).
63
Figura 3.1: Reta paralela ao vetor ~v
Enta˜o, a equac¸a˜o vetorial da reta e´
(x,y,z) = (6,1,− 8) + t(2,1,1)
Se desejarmos obter pontos da reta r, atribu´ımos valores para o paraˆmetro
t. Assim, para
t = 0⇒ (6,1,− 8)
t = 1⇒ (8,2,− 7)
e assim por diante. Se o paraˆmetro t assumir todos os valores reais teremos
todos os infinitos pontos da reta.
Exemplo 35. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A(1,-3,2) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 5~j − 4~k.
Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, (3,5,-4). A equac¸a˜o
vetorial da reta fica
(x,y,z) = (1,− 3,2) + t(3,5,− 4).
Equac¸o˜es Parame´tricas: Da equac¸a˜o vetorial da reta (3.2): (x,y,z) =
(x1, y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda (x,y,z) = (x1+at,y1+bt,z1+ct) e pela condic¸a˜o
64
de igualdade entre vetores, igualamos as componentes correspondentes dos
dois lado, e temos:
x = x1 + at
y = y1 + bt −∞ < t < +∞
z = z1 + ct
(3.3)
O paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas e´ u´nico para cada ponto da
reta de coordenadas (x,y,z). Desta forma, para cada valor do paraˆmetro
t, obtemos um pontoda reta e quando t varia no intervalo −∞ a +∞, as
equac¸o˜es parame´tricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da
reta.
Exemplo 36. Dado o ponto A(4,6,-8) e o vetor ~v=(1,-2,3):
a) Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e tem
direc¸a˜o de ~v.
b) Encontrar dois pontos B e C de r de paraˆmetros t = 1 e t = 8,
respectivamente.
Soluc¸o˜es:
a)

x = 4 + t
y = 6− 2t
z = −8 + 3t
b) Ponto B:
x = 4 + (1) = 5
y = 6− 2(1) = 4
z = −8 + 3(1) = −5
O ponto B tem coordenadas (5,4,-5).
Ponto C:
x = 4 + (8) = 12
y = 6− 2(8) = −10
z = −8 + 3(8) = 16
O ponto C tem coordenadas (12,-10,16).
Observac¸a˜o: O paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas pode se interpre-
tado como o instante de tempo, se por exemplo o ponto P (x,y,z) descreve
o movimento de uma part´ıcula em m.r.u. com o vetor velocidade ~v = (a,b,c).
65
Reta definida por Dois Pontos: A reta definida pelos pontosA(x1,y1,z1)
e B(x2,y2,z2) e´ a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direc¸a˜o do vetor
~v =
−→
AB= (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1).
Figura 3.2: Reta definida por dois pontos
Exemplo 37. Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P (−3,2,−
3) e Q(2,− 2,4).
Soluc¸a˜o:
−→
PQ= (2,− 2,4)− (−3,2,− 3) = (5,− 4,7).
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t
z = −3 + 7t
Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o ponto
Q. Se adicionarmos a restric¸a˜o 0 ≤ t ≤ 1 para parametrizar o segmento
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t 0 ≤ t ≤ 1
z = −3 + 7t
Exemplo 38. Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por
A(3,-1,-2) e B(1,2,4).
66
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, calculando o vetor direc¸a˜o
−→
AB= B − A=(1,2,4)-(3,-1,-
2)=(-2,3,6).
Agora escolhemos um dos pontos, A ou B, e escrevemos a equac¸a˜o pa-
rame´trica da reta. Neste caso escolheremos o ponto B.
x = 1− 2t
y = 2 + 3t
z = 4 + 6t
Equac¸o˜es Sime´tricas: Das equac¸o˜es parame´tricas x = x1 + at, y =
y1 + bt, z = z1 + ct. Isolando o paraˆmetro t:
t =
x− x1
a
, t =
y − y1
b
, t =
z − z1
c
Como cada ponto da reta corresponde um so´ valor de t:
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(3.4)
As equac¸o˜es (3.4) sa˜o denominadas equac¸o˜es sime´tricas da reta. Observe
que para escrever a equac¸a˜o 3.4, a, b, c devem ser na˜o nulos.
Exemplo 39. Escreva as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto
A(3,0,-5) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i+ 2~j − ~k.
Soluc¸a˜o:
Substituindo as coordenadas do vetor direc¸a˜o e o ponto A temos:
x− 3
2
=
y
2
= −z − 5
Exemplo 40. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-
1,4). Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto me´dio
do lado AB e pelo ve´rtice C.
Soluc¸a˜o:
Primeiro, vamos calcular o ponto me´dio M , entre A e B:
67
M = ( (−1)+32 ,
4+(−3)
2 ,
(−2)+6
2 ) = (1,
1
2 ,2).
Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor ~v que comec¸a em
M e termina em C.
~v = C −M = (2,− 1,4)− (1,12 ,2) = (1,− 32 ,2).
Por fim, escreveremos as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo
ponto C e tem vetor diretor ~v.
x = 2 + t
y = −1− 32 t
z = 4 + 2t
Exemplo 41. Verificar se M(13,17,-14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1,−
3,2) + t(3,5,− 4).
Soluc¸a˜o:
Reescrevendo a equac¸a˜o da reta r na forma parame´trica e isolando o
paraˆmetro t, temos:
x = 1 + 3t −→ t = x−13
y = −3 + 5t −→ t = y+35
z = 2− 4t −→ t = z−24
Igualando o paraˆmetro t, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
t =
x− 1
3
=
y + 3
5
=
−z + 2
4
Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equac¸a˜o:
13− 1
3
=
17 + 3
5
=
14 + 2
4
= 4
Logo, verificamos que o ponto M=(13,17,-4) pertence a reta r.
3.2 Agora tente resolver!
1. Escreva as equac¸o˜es das seguintes retas, nas formas parame´trica e
sime´trica para cada um dos casos:
(a) que passa pelos pontos P (−3,− 4,6) e Q(5,3,2);
(b) que passa pelo pontos P (3,5, − 6) e e´ paralela a reta que passa
pelos pontos A(2,3,1) e B(3,− 2,1);
68
(c) que passa pelo ponto (−4,2,5) e e´ paralelo a` reta r : x− 1
2
=
y + 3
3
=
z − 7
4
;
(d) que passa na origem e e´ paralelo a` reta r :
x− 3
5
=
y − 2
−3 =
z + 2
−2 .
2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas dos eixos coordenados.
3. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa no ponto (3,0,4)
e pelo ponto me´dio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5).
Equac¸o˜es Reduzidas: Podemos isolar duas varia´veis em func¸a˜o de
uma terceira, desta forma temos outra maneira de escrever a equac¸a˜o da
reta. Partindo das equac¸o˜es sime´tricas (3.4) vamos isolar as varia´veis y e z
em func¸a˜o de x.
Assim:
y − y1
b
=
x− x1
a
y − y1 = b
a
(x− x1)
y − y1 = b
a
x− b
a
x1
y =
b
a
x− b
a
x1 + y1
y = mx+ n
(3.5)
Observando que
b
a
= m e − b
a
x1 + y1 = n. De forma ana´loga, para
z − z1
a
=
x− x1
c
⇒ z = px+ q (3.6)
As equac¸o˜es (3.5 e 3.6) sa˜o denominadas como equac¸o˜es reduzidas da
reta em func¸a˜o de x.
Observac¸a˜o: Como determinar um ponto e um vetor dada a equac¸a˜o
reduzida da reta:
Podemos isolar a varia´vel independente nas equac¸o˜es reduzidas e com-
para´-las com as equac¸o˜es sime´tricas da reta. Desta forma, temos:
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel x:{
y = mx+ n
z = px+ q
enta˜o, x =
y − n
m
e x =
z − q
p
.
69
Enta˜o, a sua forma sime´trica e´ dada por
x =
y − n
m
=
z − q
p
.
Agora fica fa´cil perceber que a reta passa pelo ponto P = (0,n,q) ∈ y0z
e tem vetor diretor ~v = (1,m,p).
Exemplo 42.
{
y = 3x− 4
z = 4x+ 3
Soluc¸a˜o: P (0,− 4,3) o ponto P e´ obtido fazendo x = 0, ~v = (1,3,4).
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel y:{
x = m1y + n1
z = p1y + q1
enta˜o, y =
x− n1
m1
e y =
z − q1
p1
.
Portanto,
x− n1
m1
= y =
z − q1
p1
.
A reta passa no ponto P (n1,0,q1) ∈ x0z e tem ~v = (m1,1,p1).
• Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel z:{
x = m2z + n2
y = p2z + q2
enta˜o, z =
x− n2
m2
e z =
y − q2
p2
.
Assim, reescrevendo na forma sime´trica temos
x− n2
m2
=
y − q2
p2
= z.
A reta passa no ponto P (n2,q2,0) ∈ x0y e tem ~v = (m2,p2,1).
Exemplo 43. Estabelecer as equac¸o˜es reduzidas da reta r que passa
por A(2,1,-3) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = (2,− 1,1).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
x− 2
2
= −y + 1 = z + 3
Agora, vamos isolar as varia´veis y e z em func¸a˜o de x:
70
x− 2
2
= −y + 1⇒ y = −x
2
+ 2
e,
x− 2
2
= z + 3⇒ z = x
2
− 4
Portanto,
 y = −
x
2
+ 2
z =
x
2
− 4
3.3 Agora tente resolver!
1. Determinar a equac¸a˜o reduzida da reta que passa pelos pontos M(3,−
1,4) e N(4,0,5), em func¸a˜o de x.
2. Determinar a equac¸a˜o reduzida da reta que passa pelos pontosM(−1,5,7)
e N(8,6,9), em func¸a˜o de y.
3. Escreva a equac¸a˜o da reta l, na forma reduzida:

x = 1 + t
y = 2 + 3t
z = 3− t
4. Escreva a equac¸a˜o da reta s, na forma reduzida:

x = 2 + 2t
y = 1− 4t
z = 6− t
5. Determine as equac¸o˜es reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1,−
3) e tem direc¸a˜o do vetor ~s = (3,− 6,4):
a. em func¸a˜o de z,
b. em func¸a˜o de y.
6. A reta r tem a seguinte equac¸a˜o r = (−1,0, − 1) + t(2,1,2). Obtenha
as equac¸o˜es parame´tricas da reta r. E, dado o ponto P (−1,0, − 1),
encontre os pontos de r que distam 6 de P .
7. Escrever um ponto e um vetor das retas:
a. r :
{
x = 3y − 2
3
z = −y + 2
b. s :

y = −6x− 2
5
z =
1
2
x+ 3
71
c. t :

x = 3z +
4
3
y =
3
7
z − 2
d. p :

x = 52z
y = z − 3
2
e. m :
{
x = −y3 + 53
z = 23y − 13
Condic¸a˜o para que 3 pontosestejam em linha reta: SeA(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)
e C(x3,y3,z3) esta˜o alinhados enta˜o
−→
AB e
−→
AC sa˜o colineares:
−→
AB= m
−→
AC,
onde m ∈ R.
x2 − x1
x3 − x1 =
y2 − y1
y3 − y1 =
z2 − z1
z3 − z1 (3.7)
Exemplo 44. Verifique se os pontos A = (1, − 1,7), B(2,2,11) e C(−1, −
7,− 1) esta˜o alinhados.
Soluc¸a˜o:
2− 1
−1− 1 =
2− (−1)
−7− (−1) =
11− 7
−1− 7 = −
1
2
Logo os pontos esta˜o alinhados.
Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados:
1. Uma das componentes de ~v e´ nula: O vetor ~v e´ ortogonal a um dos
eixos coordenados, e a reta r e´ paralela ao plano dos outros eixos:
(a) Se a=0, ~v = (0,b,c) ⊥ Ox ∴ r ‖ yOz. As equac¸o˜es ficam{
x = x1
y − y1
b
=
z − z1
c
(b) Se b = 0, ~v = (a,0,c) ⊥ Oy ∴ r ‖ xOz.
Equac¸o˜es:
{
y = y1
x− x1
a
=
z − z1
c
(c) Se c = 0, ~v = (a,b,0) ⊥ Oz ∴ r ‖ xOy.
Equac¸o˜es:{
z = z1
x− x1
a
=
y − y1
b
72
Figura 3.3: Reta paralela ao plano yOz
Figura 3.4: Reta paralela ao plano xOz
73
2. Duas componentes de ~v sa˜o nulas: O vetor ~v tem direc¸a˜o de um dos
vetores ~i ou ~j ou ~k e a reta e´ paralela ao eixo que tem direc¸a˜o de ~i ou
~j ou ~k:
(a) Se a = b = 0, ~v = (0,0,c) ‖ ~k ∴ r ‖ Oz. Equac¸o˜es:
x = x1
y = y1
z = z1 + ct
Figura 3.5: Reta paralela ao eixo Oz
74
Exemplo 45. r :
{
x = 3
y = 6
(b) Se a = c = 0, ~v = (0,b,0) ‖ ~j ∴ r ‖ Oy. Equac¸o˜es:
x = x1
y = y1 + bt
z = z1
Exemplo 46. r :
{
x = 1
z = 2
Figura 3.6: Reta paralela ao eixo Oy
(c) Se b = c = 0, ~v = (a,0,0) ‖~i ∴ r ‖ Ox. Equac¸o˜es:
x = x1 + at
y = y1
z = z1
Exemplo 47. r :
{
y = −2
z = 3
Observac¸a˜o: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, sa˜o retas particulares:
• a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→i =
(1,0,0).
75
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = t
y = 0
z = 0
• a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→j =
(0,1,0).
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = 0
y = t
z = 0
• a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor −→k =
(0,0,1).
Equac¸o˜es parame´tricas:

x = 0
y = 0
z = t
Exemplo 48. Determinar as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto A(-2,3,-
2) e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 2~k.
Soluc¸a˜o:
Pelo vetor ~v percebemos que e´ perpendicular ao plano Oy e paralelo ao
eixo xOz, enta˜o a equac¸a˜o da reta fica na forma:{
y = 3
x+ 2
3
=
z + 2
2
3.3.1 Agora tente resolver!
1. Estabelecer as equac¸o˜es da reta que passa pelos pontos A(7,4,3) e
B(7,5,4).
2. Determinar as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e tem
direc¸a˜o do vetor ~v = 7~j.
3. Determine a posic¸a˜o relativa das retas em relac¸a˜o aos eixos ou planos
coordenados, e escreva um ponto e um vetor diretor para cada uma
das retas:
a. r :
{
x = 4
y + 1
8
=
z + 1
6
76
b. s :
 x = 2y
4
=
z − 18
−12
c. p :
{
z = 4
x = −2y + 4
d. m :
{
y = −8
z = 6
e. n :
{
x = −4
y = 4
f. o :
{
x = 6
z = −3
4. Determinar a equac¸a˜o da reta, em todas as suas formas poss´ıveis, que
passa no ponto R(2,− 6,8) e
(a) tem direc¸a˜o de ~u = (2,0,− 3)
(b) e´ paralela (‖) ao eixo Oz
5. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas das retas nos seguintes casos:
a. Passa pelo ponto (7,8,6) e e´ perpendicular ao plano xOz.
b. Passa pelo ponto (4,− 4,5) e e´ paralela ao eixo x.
c. Passa pelo ponto (6,− 3,4) e e´ paralela ao eixo z.
d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direc¸a˜o do vetor 2~i−~j.
e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direc¸a˜o do vetor 2~j
6. Considere a reta s :

x = 1 + 2t
y =
3
2
+ t
z = 3 +
3
2
t
encontre a intersec¸a˜o da reta s
com os planos coordenados, xy, yz e xz.
Aˆngulo de duas Retas: Considere duas retas, a reta r1 que passa pelo
ponto A1 e tem direc¸a˜o do vetor ~v1, e a reta r2 que passa pelo ponto A2 e
tem direc¸a˜o do vetor ~v2. Denomina-se aˆngulo de duas retas o menor aˆngulo
formado por r1 e r2, isto e´, o menor aˆngulo de um vetor diretor de r1 e de
um vetor diretor de r2:
cos(θ) =
|~v1 · ~v2|
|~v1||~v2| , 0 ≤ θ ≤
pi
2
Exemplo 49. Calcular o aˆngulo entre as retas
77
r1 :

x = 3 + 3t
y = −6t
z = −1− 2t
r2 :
{
x+ 2
2
=
y − 3
1
=
z
−2
Soluc¸a˜o: Vetor diretor da reta r1 e´ (3,-6,-2), vetor diretor da reta r2 e´
(2,1,-2), enta˜o:
cos(θ) =
|(3,− 6,− 2) · (2,1,− 2)|
|(3,− 6,− 2)||(2,1,− 2)| =
4
21
θ = arccos
(
4
21
)
Condic¸a˜o de Ortogonalidade entre duas retas: Dadas duas retas r1 e r2
e seus respectivos vetores ~v1 e ~v2, a condic¸a˜o de ortogonalidade (ver produto
escalar) diz que se ~v1 · ~v2 = 0 ou
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 , enta˜o as retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exemplo 50. As retas r :
{
y = −2x+ 1
z = 4x
s :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
sa˜o ortogo-
nais?
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor da reta r e´ (1,-2,4) e o vetor diretor da reta s e´ (-2,1,1),
enta˜o:
(1,− 2,4) · (−2,1,1) = −2− 2 + 4 = 0, logo as retas sa˜o ortogonais.
Condic¸a˜o de Paralelismo entre duas retas: Se duas retas r1 e r2 sa˜o pa-
ralelas, enta˜o seus vetores ~v1 e ~v2 sa˜o paralelos: ~v1 = m~v2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Exemplo 51. Sejam ~u=(8,-6,2) e ~v=(-4,3,-1) vetores diretores das retas r
e s respectivamente. Essas retas sa˜o paralelas?
Soluc¸a˜o:
8
−4 =
−6
3
=
2
−1 = 2, logo as retas sa˜o paralelas.
Retas Coplanares: A reta r1 que passa pelo ponto A1 e tem direc¸a˜o do
vetor ~v1, e a reta r2 que passa pelo ponto A2 e tem direc¸a˜o do vetor ~v2, sa˜o
coplanares se ~v1, ~v2 e
−→
A1A2 forem coplanares, isto e´, se for nulo o produto
misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2).
78
Figura 3.7: Retas paralelas
Exemplo 52. Determinar o valor de m para que as retas r :
{
y = mx+ 1
z = 3x− 1
s :

x = t
y = 1 + 2t
z = −2t
sejam coplanares.
Soluc¸a˜o: O vetor diretor de r e´ ~v1 = (1,m,3) e de s ~v2 = (1,2, − 2) e o
vetor
−→
A1A2 e´ A2 − A1 = (0,1,0) − (0,1, − 1) = (0,0,1). Fazendo o produto
misto, temos:
((1,m,3),(1,2,− 2),(0,0,1)) =
∣∣∣∣∣∣
1 m 3
1 2 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 2−m⇒ m = 2
Para que as retas sejam coplanares m = 2.
Posic¸o˜es relativas de duas retas:
1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano, podem ser: Paralelas,
Concorrentes, Coincidentes.
2. Retas Na˜o Coplanares: Sa˜o as retas reversas.
- Como classificar cada uma:
79
1. Analisar os vetores direcionais das retas.
2. Se os vetores forem colineares enta˜o as retas sa˜o paralelas ou coinci-
dentes.
3. Se as retas forem paralelas e o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0 enta˜o,
as retas sa˜o coplanares. Se as retas na˜o forem paralelas e o produto
misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0 enta˜o, as retas sa˜o concorrentes, mas se o
produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) 6= 0 sa˜o reversas.
Exemplo 53. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x
2
=
y − 1
−1 = z s :

x = 2− 4t
y = 2t
z = −2t+ 1
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor de r e´ (2,-1,1) e de s e´ (-4,2,-2), temos que:
2
−4 =
−1
2
=
1
−2 = −
1
2
Logo as retas sa˜o paralelas e consequentemente sa˜o colineares. Elas sa˜o
coincidentes?
Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos:
s :

x = −2
y = 2
z = −1
Agora vamos substituir os pontos em r:
r :
{ −2
2
=
1
−1 = −1
Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outro
ponto de s, escolhemos t = 0.
s :

x = 2
y = 0
z = 1
r :
{
2
2
=
−1
−1 = 1
Temos outro ponto em comum, logo as retas sa˜o coincidentes.
80
3.3.2 Agora tente resolver!
1. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
s :

x = 5 + t
y = 2− t
z = −7− 2t
2. Verificar se as seguintes retas sa˜o paralelas ou ortogonais(perpendiculares):
a. r :
x+