Estradas e Transportes 3ª Parte

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Capítulo 4 - Concordância de Curvas Verticais
4.1 Introdução
O perfil de uma estrada deve ser escolhido de forma tal que permita, aos veículos que a percorrem, uma razoável uniformidade de operação. A escolha do perfil ideal está intimamente ligada ao custo da estrada, especialmente ao custo de terraplenagem. As condições geológicas e geotécnicas das áreas atravessadas pela estrada vão ter grande influência na escolha do perfil, pois, tanto na execução dos cortes como nos aterros, condições desfavoráveis do solo natural podem exigir a execução de serviços especiais de alto custo, como escavações em rocha, obras especiais de drenagem ou obras de estabilização de cortes e aterros.
Assim, muitas vezes, a diminuição de altura de um corte ou de um aterro pode reduzir sensivelmente o custo de um determinado trecho de estrada. Nem sempre essas reduções são possíveis, devido às características técnicas mínimas exigidas.
4.2 Inclinações Máximas e Mínimas das Rampas
Baseando-se no comportamento dos veículos nas rampas podemos tirar elementos para a determinação das inclinações máximas admissíveis.
Rampas com até 3% permitem o movimento dos veículos de passageiros sem restrições, afetam muito pouco a velocidade dos caminhões leves e médios e são indicados para estradas com alta velocidade de projeto.
Rampas com até 6% tem pouca influência no movimento dos veículos de passageiros, mas afetam bastante o movimento de caminhões, especialmente caminhões pesados, sendo recomendadas apenas para estradas com baixas velocidades de projeto.
Rampas com inclinação superior a 6% só devem ser usadas em estradas secundárias, de baixo volume de tráfego, onde a perda de velocidade dos caminhões não provoque constantes congestionamentos, ou em estradas para o tráfego exclusivo de veículos de passageiros.
Quando a topografia do terreno for desfavorável poderão ser adotados valores maiores do que os aconselhados para as rampas máximas, de forma a dar maior liberdade ao projetista, evitando assim pesados movimentos de terra e traçados com cortes e aterros excessivamente altos ou mesmo evitando viadutos e túneis que irão onerar a execução da estrada. O uso de tais medidas só pode ser feito em casos muito especiais, onde uma grande redução de custos justifique a deficiência do projeto.
A tabela abaixo mostra valores da inclinação máxima das rampas aconselhadas pelo DNIT e o DER-SP.
	Condições
Topográficas
Locais
	Inclinação Máxima das Rampas em %
	
	Classificação das Rodovias
	
	Classe Especial
	Classe I
	Classe II
	Classe III
	Plana 
	3
	3
	4
	4
	Ondulada
	4
	4,5
	5
	6
	Montanhosa
	5
	6
	7
	8
4.3 Tipos de Curvas Verticais
As curvas verticais têm por objetivo concordar as rampas projetadas e devem ser escolhidas de forma a atender às condições de segurança, boa aparência, boa visibilidade e permitir a drenagem adequada da estrada. As curvas mais utilizadas como curvas de concordância vertical são: circunferências e parábolas.
A parábola simples de eixo vertical é uma das curvas mais usadas por dar uma boa aparência à curva, boa concordância entre rampas e ser uma curva onde as cotas de seus diversos pontos podem ser facilmente obtidas através de cálculos rápidos. A figura abaixo mostra os tipos de curvas verticais:
4.4 Propriedades das Curvas Verticais Parabólicas
O ponto I de interseção de duas tangentes à parábola, traçada a partir de dois pontos quaisquer P1 e P2 pertencentes à parábola localiza-se de forma que as projeções dos segmentos P1-I e P2-I, numa direção perpendicular aos diâmetros de parábola sejam iguais. 
P1-I = P2-I = L/2
A medida do comprimento da curva é feita sobre a projeção horizontal da curva, porque as inclinações das rampas são usualmente pequenas.
Chamando-se de (i a diferença algébrica entre as inclinações das tangentes, e Lc o comprimento da curva, teremos:
(i = i2 - i1
Chamando-se de positiva (+ i) as rampas ascendentes no sentido do estaqueamento e de negativas (- i) as rampas descendentes, o sinal de (i dado pela equação acima dependerá do tipo de curva analisada e dos valores de i2 e i1.
(i /Lc = variação do greide por unidade de comprimento.
Lc / (i = k ( distância horizontal necessária para obter-se 1 % de variação do greide.
4.5 Escolha do Comprimento de Curvas Verticais
O comprimento de uma curva vertical (Lc) é escolhido em função de uma análise cuidadosa dos diversos fatores condicionantes do projeto, com o objetivo de obter-se um greide econômico com características técnicas satisfatórias.
A parábola simples, usada para curva vertical, é uma curva muito próxima a uma circunferência, por isso é usual referir-se ao valor do raio (Rv) da curva vertical, que deve ser entendido como sendo o menor raio instantâneo da parábola, isto é, uma circunferência de raio (Rv) igual ao raio instantâneo do vértice da parábola. A equação abaixo relaciona Rv e Lc.
Lc = (i . Rv
Onde: 
Lc: comprimento da curva vertical;
(i: diferença algébrica dos greides das rampas;
Rv: menor raio instantâneo da curva parabólica.
Para as curvas convexas adota-se Rv negativo e para as curvas côncavas Rv positivo.
4.6 Comprimento Mínimo das Curvas Verticais
4.6.1 Curvas Verticais Convexas
O comprimento mínimo para curvas verticais convexas é determinado em função das condições necessárias de visibilidade da curva, isto é, é escolhido de forma a dar ao motorista o espaço necessário para uma frenagem segura, quando este avista um obstáculo parado na sua faixa de tráfego. Assim, para todas as curvas convexas das estradas devemos ter condições de visibilidade que permitam que o motorista aviste um obstáculo sobre sua faixa de tráfego quando ainda estiver a uma distância ( Df do obstáculo.
Para a determinação do menor valor do comprimento da curva vertical, de forma a ser respeitada a distância de visibilidade Df, precisamos primeiramente definir as grandezas h1 (altura da vista do motorista em relação a pista) e h2 (altura mínima do obstáculo) e considerar dois casos possíveis:
a) Quando a visibilidade da curva é menor que o comprimento da curva (Lc). Nesse caso, na condição mais desfavorável, tanto o veículo quanto o obstáculo estarão sobre a curva.
Calculamos o Lcmin pela seguinte fórmula:
Onde:
(i= i2 - i1;
Df = distância mínima de frenagem;
h1 = altura do observador em relação a pista;
h2 = altura do obstáculo.
Para os valores usuais h1 = 1,15 m e h2 = 0,15 m, temos:
b) Quando a visibilidade na curva é maior que o comprimento da curva (Lc). Nesse caso o veículo e o obstáculo estarão respectivamente sobre a rampa que precede e que sucede a curva.
Calculamos Lcmin, para este caso com a seguinte fórmula:
Para os valores usuais h1 = 1,15 m e h2 = 0,15 m, temos:
Valores muito pequenos para Lc não são desejáveis é aconselhável que os valores adotados para Lc nunca sejam inferiores aos dados pela seguinte equação:
Lc ( 0,56.Vp
Onde:
Lc: comprimento da curva (m);
Vp: velocidade de projeto (km/h).
4.6.2 Curvas Verticais Côncavas
Ao contrário das curvas convexas, as curvas côncavas não apresentam problema de visibilidade e o comprimento mínimo dessas curvas deve ser determinado em função da análise de condições de conforto, drenagem da curva e visibilidade noturna.
Quando um veículo percorre uma curva côncava a noite, a faixa de iluminação dos faróis depende da posição destes em relação ao solo e da abertura do feixe luminoso. Aconselha-se o uso de h1 = 0,75 m, para a altura dos faróis em relação à estrada e ( = 1( para o angulo de abertura do feixe luminoso em relação ao eixo longitudinal do veículo.
 Para o caso de Lc ( Df:
Lcmin = (i . Df 2/1,5 + 0,0355
 
Para o caso de Lc ( Df:
Lcmin = 2 . Df - 1,5 + 0,0355 / (i
Para Lc e Df em metros e h1 = 0,75 m.
Para aumentar a segurança e o conforto das estradas, deve-se usar curvas côncavas com os maiores comprimentos possíveis, a adoção de valorespróximos aos mínimos admissíveis leva à curvas muito curtas que devem ser evitadas sempre que possível.
Em curvas de mesmo raio, o conforto nas convexas é maior do que nas côncavas, porque nas primeiras os efeitos das forças de gravidade e centrífuga tendem a compensar-se ao passo que nas côncavas tendem a somar-se.
4.7 Cálculo das Cotas dos Pontos das Curvas Verticais Parabólicas
A parábola simples de eixo vertical é uma das curvas que melhor atende as exigências de um bom perfil, neste tópico trataremos apenas do cálculo dessas curvas.
A projeção horizontal da distância entre os pontos PCV e PIV é igual à projeção horizontal da distância entre os pontos PIV e PTV, que é igual a Lc/2.
E(PCV) = E(PIV) - Lc/2
E(PTV) = E(PIV) + Lc/2
Cota do PCV = cota do PIV - (i1 . Lc)/2 
Cota do PTV = cota do PIV + (i2 . Lc)/2 
4.7.1 Cálculo das Cotas dos Pontos da Parábola em relação a um sistema de eixos ortogonais com Origem no PCV.
Equação da parábola: y = ax2 + bx + c
na origem (PCV): dy/dx = i1, inclinação da tangente à curva.
2ax + b = i1
x = 0
b = i1
no (PTV): dy/dx = i2, inclinação da tangente à curva.
2ax + b = i2
x = Lc
2.a. Lc + i1 = i2
a = (i2 - i1) / 2 . Lc
Sendo (i= i2 - i1 e chamando de L a abscissa x de um ponto genérico da curva teremos:
Equação da curva: y = ((i/2 . Lc) . L2 + i1 . L
A equação acima nos fornece a ordenada (y) de qualquer ponto da curva de abscissa (L), permitindo a determinação das coordenadas dos pontos da curva em relação ao PCV.
Coordenadas de Pontos da Curva em Relação ao PCV
PCV: x = 0 y = 0
PTV: x = Lc y = (i1 + i2) . Lc/2
M: x = Lv/2 y = ((i . Lc / 8) + (i1 . Lc / 2)
V (ponto de ordenada máxima ou mínima da curva), da equação da curva:
dy/dx = ((i . L/Lc) + i1
Ponto de máximo ou de mínimo: dy/dx = 0
((i . L/Lc) + i1 = 0
L0 = (i1 . Lc) / (i = - i1 . Rv (abscissa do ponto V)
y0 = (L0 . i1) / 2 = (- i12 . Lc) / 2 . (i (ordenada do ponto V)
4.7.2 Cálculo da Flecha em Relação às Cotas da Primeira Rampa
Em relação ao sistema de coordenadas da figura abaixo, podemos calcular as flechas nos seguintes pontos:
F = ((i . Lc) / 8 ( flecha para L = Lc/2;
f = (4 . L2/ Lc2) . F ( flecha para qualquer ponto da curva.
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