Cálculo vetorial matemática aplicada

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Cál
ulo Vetorial
Fábio Azevedo, Esequia Sauter
11 de Novembro de 2015
2
Li
ença
Este material está li
en
iado por seus autores sob a li
ença Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada
(CC BY-SA 3.0)
3
4
Conteúdo
0 Álgebra vetorial 7
0.1 Vetores e es
alares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 O espaço eu
lidiano tridimensional e sua norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Ângulo entre vetores e o produto es
alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4 O produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.5 Sistema de 
oordenadas 
ilíndri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.6 Sistema de 
oordenadas esféri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.7 Exemplos na físi
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.8 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.1 O que é um espaço linear? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.2 Todo espaço linear tem uma base? Axioma da es
olha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.3 Qual amplo é o 
on
eito de norma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.8.4 E o produto es
alar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Curvas e trajetórias 23
1.1 Funções vetoriais de uma variável - 
urvas e trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Comprimento de ar
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Triedro de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Curvatura e Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Superfí
ies 35
2.1 Funções vetoriais de duas variáveis reais - superfí
ies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Casos y = f(x, z), z = f(x, y) ou x = f(y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Campos Es
alares e Campos Vetoriais 39
5
6 CONTEÚDO
Capítulo 0
Álgebra vetorial
O objetivo deste 
apítulo é revisar 
on
eitos bási
os do 
ál
ulo e da álgebra linear ne
essários ao entendimento
do 
ál
ulo vetorial.
0.1 Vetores e es
alares
Na álgebra linear, vetores são de�nidos de forma abstrata 
omo os elementos de um espaço vetorial. Os
vetores são, então, os elementos de um 
onjunto em que estão de�nidas duas operações: a soma de vetores
e o produto de vetores por es
alares obede
endo as propriedades (1). Um es
alar é um número real ou
omplexo. Quando o 
orpo de es
alares é o 
onjunto dos números reais, então dizemos que o espaço vetorial
é real. Quando o 
orpo de es
alares é o 
onjunto dos números 
omplexos, dizemos que o espaço vetorial é
omplexo. Usaremos uma letra latina 
om uma seta para denotar vetores (~u, ~v e ~w). Para que um espaço
vetorial esteja bem de�nido, as seguinte propriedades devem ser satisfeitas:
~u+ ~v = ~v + ~u, (Comutatividade da soma) (1a)
~u+ (~v + ~w) = (~v + ~u) + ~w, (Asso
iatividade da soma) (1b)
(α+ β) ~u = α~u + β~v, (Distributividade da multipli
ação sobre a soma) (1
)
α (~u+ ~v) = α~u + α~v, (Distributividade da soma sobre a multipli
ação) (1d)
α (β~u) = (αβ) ~u, (1e)
~0 + ~v = ~v, (Existên
ia de um vetor nulo) (1f)
0~v = ~0, (1g)
1~v = ~v. (Elemento neutro) (1h)
Observamos que a propriedade asso
iativa dada por (1b) permite que se es
reve a soma de três vetores
~u + ~v + ~w sem ris
o de ambiguidade. A propriedade (1e) é algumas vez 
hamada de asso
iatividade, no
entanto, é 
auteloso observar que ela não estabele
e a asso
iatividade de uma operação, já que o produto
de es
alares é uma operação distinta do produto de um es
alar por um vetor. A propriedade (1f) garante a
existên
ia de um vetor nulo que fun
iona 
om um elemento neutro da soma vetorial.
Observação 1. O vetor nulo
~0 e es
alar nulo 0 são entidades matemáti
as distintas e não devem ser 
on-
fundidas.
A subtração de dois vetores é de�nida por
~u− ~v = ~u+ (−1)~v. (2)
O vetor (−1)~v é também denotado por −~v e tem a seguinte propriedade:
~v + (−~v) = ~v + (−1)~v = (1− 1)~v = 0~v = ~0. (3)
7
8 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
Um 
onjunto de vetores {~v1, ~v2, . . . , ~vn} é dito linearmente dependente (LD), se existem es
alares {α1, α2, . . . , αn}
om pelo menos um αi 6= 0 tal que
n∑
i=1
αi~vi = ~0
Analogamente, um 
onjunto de vetores {~v1, ~v2, . . . , ~vn} é dito linearmente independente (LI) se a identidade
n∑
i=1
αi~vi = ~0
impli
a ne
essariamente que
α1 = α2 = . . . = αn = 0.
Um 
onjunto de vetores LI B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} é dito uma base para um espaço vetorial V se todo vetor
~v ∈ V pode ser es
rito 
omo uma 
ombinação linear dos vetores de B:
~v =
n∑
i=1
αi~ei.
Um espaço vetorial é dito de dimensão �nita se admite uma base 
omposta por um número �nito de
elementos.
Teorema 1. Seja V um espaço vetorial e E = {~e1, ~e2, . . . , ~en} e F = {~f1, ~f2, . . . , ~fm} duas bases de V .
Então n = m. Em outras palavras, todas as bases de espaço linear de dimensão �nita têm o mesmo número
de elementos.
A importân
ia deste teorema reside no fato de permitir a de�nição de dimensão de um espaço vetorial
omo sendo o número de elementos de uma base. Esta de�nição está bem posta, uma vez que este número
independe da es
olha de base.
Outro 
on
eito importante em espaços reais de dimensão �nita é o de orientação de uma base. O leitor já
deve estar familiarizado 
om o 
on
eito de orientação dextrogira e levogira (regra da mão direita e esquerda)
no espaço tridimensional. No entanto este 
on
eito pode ser estendido de forma natural para espaços reais
de n-dimensões. Formalmente falando duas bases B1 e B2 têm a mesma orientação se o determinante da
transformação linear que liga B1 a B2 é positivo.
O espaço vetorial real de n dimensões é denotado Rn.
0.2 O espaço eu
lidiano tridimensional e sua norma
Nossa prin
ipal preo
upação neste 
urso é 
om o espaço eu
lidiano de três dimensões, dada sua importân
ia
para des
rição do espaço na físi
a 
lássi
a.
Figura 1: À esquerda, um sistema levogiro (regra da
mão esquerda). À direita, um sistema dextrogiro (re-
gra da mão direita).
O leitor já tem familiaridade 
om o sistema de
oordenadas 
artesianas (xyz) para representar um
ponto no espaço eu
lidiano tridimensional. Neste
sistema, também 
hamado referen
ial 
artesiano,
ada ponto é representado por um 
onjunto de três
oordenadas x, y e z. Observamos que existem duas
maneiras distintas de orientar tal sistema: usando
a regra da mão direita e a regra da mão esquerda,
que re
ebem o nome de dextrogira e levogira, respe
-
tivamente. Neste texto, daremos preferên
ia pela
orientação dextrogira, que 
onven
ionaremos 
omo
padrão. Uma vez es
olhido um sistema dextrogiro
omo base, um trio de vetores linearmente indepen-
dentes ~u, ~v e ~w é dito dextrogiro se o determinante
det (~u;~v; ~w) (4)
0.2. O ESPAÇO EUCLIDIANO TRIDIMENSIONAL E SUA NORMA 9
é positivo. Re
ipro
amente, o trio ~u, ~v e ~w é dito
levogiro se o determinando for negativo. Veja mais
detalhes no exemplo (2).
Um vetor é representado neste sistema 
omo um trio de números reais, denominados 
omponentes do
vetor ~v e denotados por:
~v = 〈v1, v2, v3〉 . (5)
É natural neste momento de�nir os vetores
~i, ~j e ~k 
omo
~i = 〈1, 0, 0〉
~j = 〈0, 1, 0〉
~k = 〈0, 0, 1〉
(6)
de forma que a expressão (5) podeser es
rita 
omo
~v = v1~i+ v2~j + v3~k. (7)
O vetor nulo é de�nido 
omo vetor 
ujas três 
oordenadas são nulas:
~0 = 0~i+ 0~j + 0~k = 〈0, 0, 0〉 . (8)
A soma de dois vetores é dada pela soma 
omponente a 
omponente, ou seja, se ~u = u1~i + u2~j + u3~k e
~v = v1~i+ v2~j + v3~k, então
~u+ ~v = (u1 + v1)~i+ (u2 + v2)~j + (u3 + v3)~k. (9)
O produto de um vetor por um es
alar é de�nido 
omo a multipli
ação 
omponente a 
omponente pelo
es
alar, ou seja, se ~u = u1~i+ u2~j + u3 ~k, então
α~u = (αu1)~i + (αu2)~j + (αu3)~k. (10)
Exemplo 1. Mostre que o espaço vetorial assim de�nido satisfaz as propriedades (1).
De�nimos também a norma eu
lidiana de um vetor ~v 
omo a distân
ia da origem até o ponto que o vetor
representa e a denotamos por ‖~v‖. Pelo Teorema de Pitágoras, da geometria eu
lidiana, temos:
‖~v‖ =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3 . (11)
Exemplo 2. Veri�que que a norma eu
lidiana satisfaz as seguintes propriedades:
‖α~u‖ = |α| ‖~u‖, (Homogeneidade) (12a)
‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖, (Desigualdade triangular) (12b)
‖~u‖ = 0 =⇒ ~u = ~0, (Separação) (12
)
Figura 2: Representação grá�
a
da desigualdade triangular.
Di
a: Para mostrar a desigualdade triangular, entenda seu signi�
ado
geométri
o. Uma demonstração puramente algébri
a pode ser feita, em-
bora seja mais laboriosa. Veremos mais adiante que o 
on
eito de produto
es
alar permite simpli�
ar os 
ál
ulos.
A �m de simpli�
ar a notação, a norma de um vetor ~v pode ser es
rita
simplesmente 
omo v, ou seja
v = ‖~v‖
Um vetor de norma 1 é 
hamado de vetor unitário. Todo vetor não
nulo pode ser es
rito na forma
~v = vvˆ (13)
10 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
onde v é a norma de ~v e vˆ é um vetor unitário dado por
vˆ =
~v
v
. (14)
O vetor vˆ é 
hamado de versor de ~v. vˆ é um vetor unitário que tem mesmo sentido e direção de ~v.
A identidade (13) tem uma importante interpretação geométri
a: todo vetor não nulo pode ser represen-
tado pelo seu módulo e por seu versor, que traz a informação de direção e sentido. Os vetores
~i, ~j e ~k são
exemplos de versores. O vetor nulo é o úni
o vetor ao qual não se pode asso
iar direção e sentido úni
os.
Exemplo 3. Mostre que a norma de um versor 
onforme de�nido em (14) é sempre unitária.
Exemplo 4. Considere os vetores dados por ~u = ~i + ~j, ~v = ~i + 2~j e ~w = 13
~i + 12
~j. Represente estes vetores
em um referen
ial eu
lidiano, 
al
ule suas normas, 
al
ule os versores asso
iados uˆ, vˆ e wˆ e represente-os
no mesmo grá�
o.
Resp: u =
√
2, v =
√
5 e w =
√
13
6 . uˆ =
√
2
2
~i+
√
2
2
~j, vˆ =
√
5
5
~i+ 2
√
5
5
~j, wˆ = 2
√
13
13
~i+ 3
√
13
13
~j
Exemplo 5. Considere o vetor ~u = cosϕ~i+ senϕ~j. Mostre que este vetor é unitário e represente-o gra�
a-
mente quando ϕ = 0, ϕ = π6 , ϕ =
π
2 e ϕ = π
Exemplo 6. Considere o vetor ~u = sen θ cosϕ~i+ sen θ senϕ~j + cos θ~k. Veri�que que este vetor é unitário e
represente-o gra�
amente quando
a) θ = 0
b) θ = π4 e ϕ =
π
4
) θ = π2 e ϕ =
π
4
d) θ = π
Problema 1. Seja ~u = u1~i+ u2~j um vetor não nulo �xo no plano xy e ~v = v
(
cosϕ~i+ senϕ~j
)
um vetor de
norma �xa no plano xy. Considere a função m(ϕ) = ‖~u+ ~v‖ e en
ontre o valor máximo e mínimo de m(ϕ).
Interprete o resultado.
Problema 2. Conforme observado no texto, um trio de vetores ~u, ~v e ~w é dextrogiro se
det (~u;~v; ~w) =
∣∣∣∣∣∣
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3
∣∣∣∣∣∣ > 0.
onde ~u = u1~i+ u2~j + u3~k, ~v = v1~i+ v2~j + v3~k e ~w = w1~i+ w2~j + w3~k. Faça o que se pede:
a) Veri�que que se ~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro então ~v, ~u e ~w é levogiro.
b) Veri�que que se ~u, ~v e ~w forma um sistema dextrogiro então ~v, ~w e ~u e ~w, ~u e ~v são dextrogiros.
) Veri�que que o trio ~u, ~v e ~w é dextrogiro quando ~u =~i+~j, ~v = −2~i+~j e ~w =~i+~j + ~k.
d) Veri�que que o trio ~u, ~v e ~w é dextrogiro quando ~u =~i+~j, ~v = −2~i+~j e ~w =~i. Interprete gra�
amente.
Problema 3. Considere um sistema de 
oordenadas 
artesianas dextrogiro 
onstruído da seguinte forma:
• O 
entro da Terra 
oin
ide 
om a origem do sistema.
• O extremo norte da Terra inter
epta o eixo z em valores positivos.
• O observatório de Greenwi
h está sob plano xz 
om x > 0.
0.2. O ESPAÇO EUCLIDIANO TRIDIMENSIONAL E SUA NORMA 11
Considere a superfí
ie terrestre 
om uma esfera de raio R⊕. Denote a longitude por λ e a latitude por φ.
Conve
ione 
omo positivas a longitude leste e a latitude norte. Veja �gura 3. Seja ~r = x~i + y~j + z~k o vetor
que representa um ponto sobre a superfí
ie da Terra. Responda:
a) Qual a norma do vetor ~r?
b) Qual é o valor da 
omponentes x, y e z de ~r em termos de λ e φ?
) Seja d a distân
ia entre dois pontos sobre a superfí
ie terrestre. Use a lei dos 
ossenos1 para mostrar
que distân
ia δ sobre a superfí
ie esféri
a entre esses mesmos dois pontos é dada por
δ = R⊕ cos
−1
(
1− d
2
2R2⊕
)
Interprete os 
asos parti
ulares d = 0 e d = 2R⊕.
d) Considerando R⊕ = 6378Km e os seguintes valores para as 
oordenadas geográ�
as de Porto Alegre,
Londres e Tóquio, 
onstrua uma tabela 
om os valores de λ e φ e as 
oordenadas xyz em quil�metros
de 
ada uma dessas 
idades.
Lo
alidade Latitude Longitude
Porto Alegre 30◦ 01′ 58′′S 51◦13′ 48′′O
Londres 51◦ 30′ 28′′N 0◦ 7′ 41′′O
Tóquio 35◦ 41′ 22′′N 139◦ 41′ 30′′L
Tabela 1: Coordenadas geográ�
as de algumas 
idades.
e) Contrua uma tabela 
om as distân
ias em linha reta e sobre a superfí
ie da Terra entre 
ada uma dessas
idades.
f) As seguintes 
oordenadas indi
am lo
ais de grande importân
ia 
ultural ou turísti
a, identi�que-os:
Lo
alidade x y z
1 4192,872Km 168Km 4803,175Km
2 1175,603Km 5550,889Km 2912,813Km
3 3996,282Km -127,418Km 4969,143Km
Tabela 2: Coordenadas geográ�
as de três lo
alidades in
ógnitas.
1
Seja um triângulo de lados a, b e c e seja θ o ângulo entre os lados de 
omprimento a e b, então c
2 = a2 + b2 − 2ab cos θ. Ver
também �gura 4 na página 13.
12 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
Figura 3: Representação grá�
a do sistema de 
oordenadas geográ�
as.
Resp: a) r = R⊕ b) x = R⊕ cosφ cosλ, y = R⊕ cosφ senλ e z = R⊕ senφ
Lo
alidade φ λ x y z
Porto Alegre −30, 0328◦ −51, 23◦ 3457, 65 −4305, 07 −3192, 16
Londres 51, 5078◦ −0, 0781◦ 3969,71 -5,41 4992,02
Tóquio 35, 6894◦ 139, 6917◦ 3950,26 3351,05 3720,87
Tabela 3: Coordenadas geográ�
as e 
artesianas de algumas 
idades - solução do item d.
Lo
alidades Distân
ia em linha reta Distân
ia sobre a superfí
ie esféri
a
Porto Alegre-Londres 9260Km 10360Km
Porto Alegre-Tóquio 12700Km 18840Km
Tóquio-Londres 8695Km 9570Km
Tabela 4: Distân
ia entre as 
idades - solução do item e.
Lo
alidade λ φ Identi�
ação
1 48◦51′30′′N 0◦02′24′′L
2 27◦10′27′′N 0◦58′42′′L
3 51◦10′44′′N 0◦01′55′′W
Tabela 5: Solução do item f
0.3. ÂNGULO ENTRE VETORES E O PRODUTO ESCALAR 13
0.3 Ângulo entre vetores e o produto es
alar
Na seção anterior, 
omeçamos a trabalhar 
om vetores no espaço eu
lidiano. No entanto, até o momento
não lidamos expli
itamente 
om ângulos entre vetores. Introduziremos primeiramente o 
on
eito de produto
es
alar ou produto interno entre vetores. O produto es
alar é uma operação que liga um par de vetores a
um es
alar. O produto es
alar entre os vetores ~u e ~v é denotado por ~u · ~v e é de�nida no espaço eu
lidiano
tridimensional 
omo:
~u · ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3 (15)
Figura 4: Lei dos 
ossenos: BC
2
= AB
2
+
AC
2 − 2ABAC cos θ
Considere os vetores ~u, ~v e ~w rela
ionados por
~w = ~u− ~v.
Este trio de vetores pode ser intepretado 
omo os três lados de
um triângulo 
omo na �gura 4. Da lei dos 
ossenos, sabemos
que a seguinte relação é satisfeita:
w2 = u2 + v2 − 2uv cos θ
supondou 6= 0 e v 6= 0, temos
cos θ =
w2 − u2 − v2
2uv
.
Usamos agora a de�nição de norma de um vetor dada em (11):
u2 = u21 + u
2
2 + u
2
3
v2 = v21 + v
2
2 + v
2
3
w2 = w21 + w
2
2 + w
2
3 = (u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2
Simpli�
ando, temos:
cos θ =
w2 − u2 − v2
2uv
=
u1v1 + u2v2 + u3v3
uv
=
~u · ~v
uv
Esta última expressão nos permite es
rever
~u · ~v = uv cos (~u,~v) = uv cos θ (16)
onde cos (~u,~v) indi
a o 
osseno do ângulo entre os vetores ~u e ~v.
Observação 2. Neste momento, o leitor deve observar que a de�nição que demos originalmente para o
produto es
alar em (15) dependia fortemente do sistema de 
oordenadas es
olhido. No entanto, a identidade
(16) mostra que o valor do produto es
alar depende apenas da norma dos vetores envolvidos e do ângulo entre
esses vetores, ou seja, (16) pode ser usado 
omo uma de�nição intrínse
a (que não depende da es
olha do
sistema de 
oordenadas) de produto es
alar. O produto es
alar do vetor nulo
~0 por qualquer vetor é zero.
O produto es
alar satisfaz as seguintes propriedades:
~u · ~v = ~v · ~u, (Comutatividade) (17a)
~u · (α~v + β ~w) = α(~u · ~v) + β(~u · ~w), (Linearidade) (17b)
~u · ~u = u2, (Respeito à norma) (17
)
|~u · ~v| ≤ uv, (Desigualdade de Cau
hy-S
hwarz) (17d)
As propriedades (17a), (17b) e (17
) podem ser trivialmente demonstradas diretamente a partir da de�nição
de produto es
alar dada em (15).
Exemplo 7. Demonstre essas três propriedades.
14 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
Observe que α(~u · ~v) = (α~u) · ~v pelo que podemos es
rever α~u · ~v sem ris
o de ambiguidade.
Exemplo 8. Use (17a) e (17b) para mostrar a seguinte propriedade:
(α~u+ β~v) · ~w = α(~u · ~w) + β(~v · ~w)
A desigualdade de Cau
hy-S
hwarz (17d) pode ser demonstrada a partir de (16) uma vez que
−1 ≤ cos θ ≤ 1.
No entanto, uma demonstração puramente algébri
a pode ser dada a partir das propriedades (17a), (17b) e
(17
). Dada a beleza desta demonstração e da possibilidade de generalização, apresentamo-na a seguir:
Consideramos primeiramente os versores uˆ e vˆ de�nidos em (14) e 
al
ulamos
‖uˆ+ vˆ‖2 = (uˆ+ vˆ) · (uˆ+ vˆ) = 2 + 2uˆ · vˆ
‖uˆ− vˆ‖2 = (uˆ− vˆ) · (uˆ− vˆ) = 2− 2uˆ · vˆ
onde usamos que uˆ · uˆ = vˆ · vˆ = 1 posto que a norma de um versor é sempre 1. Agora observamos que
‖uˆ+ vˆ‖2 ≥ 0 e ‖uˆ− vˆ‖2 ≥ 0, pelo que temos:
−1 ≤ uˆ · vˆ ≤ 1
O que impli
a |uˆ · vˆ| ≤ 1. Como ~u = uuˆ e ~v = vvˆ, temos
|~u · ~v| ≤ uv
Observamos que 
om uma demontração puramente algébri
a para a desigualdade de Cau
hy-S
hwarz,
podemos derivar uma demonstração puramente algébri
a da desigualdade triangular (12b). Ver também a
dis
ussão do ex
í
io 2. Para tal 
onsidere a seguinte identidade:
‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v) · (~u+ ~v) = u2 + 2~u · ~v + v2
Como ~u · ~v ≤ |~u · ~v| ≤ uv, temos:
‖~u+ ~v‖2 ≤ u2 + 2uv + v2 = (u+ v)2
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
‖~u+ ~v‖ ≤ (u+ v) = ‖~u‖+ ‖~v‖
Dois vetores não nulos ~u e ~v são dito ortogonais se o ângulo entre eles é 90◦, ou seja, se cos (~u,~v) = 0.
De (16), isto a
onte
e quando ~u · ~v = 0. Usamos o símbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade:
~u⊥~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0 (18)
Em espe
ial os vetores unitários
~i, ~j e ~k são ortogonais, ou seja:
~i ·~j =~i · ~k = ~j · ~k = 0.
Exemplo 9. Considere os vetores dados por ~u = ~i + ~j, ~v = ~i + 2~j e ~w = 13
~i + 12
~j 
onforme exer
í
io 4.
Cal
ule o ângulo entre esses vetores.
Resp: 18, 43◦, 11, 3◦ e 7, 13◦
0.4. O PRODUTO VETORIAL 15
Exemplo 10. Mostre que se α e β são es
alares diferentes de zero e ~u e ~v são vetores não nulos, então
cos (α~u, β~v) = cos (~u,~v) .
Interprete geometri
amente esta identidade.
Exemplo 11. Mostre que se ~u = u1~i+ u2~j + u3~k então u1 = ~u ·~i, u2 = ~u ·~j e u3 = ~u · ~k. Con
lua que
~u =
(
~u ·~i
)
~i+
(
~u ·~j
)
~j +
(
~u · ~k
)
~k.
Exemplo 12. Sejam ~u =
√
2
2
(
~i+~j
)
e ~v =
√
2
2
(
~i−~j
)
. Mostre que estes vetores são unitários e ortogonais
entre si. En
ontre dois vetores unitários distintos ortogonais tanto a ~u quanto a ~v.
Resp: −~k e ~k.
Exemplo 13. Sejam ~u = 2~i + ~j + ~k e ~v = 2~i − ~j − ~k. Mostre que estes vetores são ortogonais entre si.
En
ontre dois vetores unitários distintos ortogonais tanto a ~u 
omo a ~v.
Resp:
√
2
2
(
~j − ~k
)
e
√
2
2
(
−~j + ~k
)
.
Exemplo 14. En
ontre três vetores ~u, ~v e ~w tais que:
a) (~u · ~v) ~w = ~0 mas ~u (~v · ~w) 6= ~0
b) (~u · ~v) ~w 6= ~u (~v · ~w) e ambos não nulos.
Exemplos de respostas: a) ~u =~i, ~v = ~j e ~w = ~j. b) ~u =~i, ~v =~i+~j e ~w = ~j.
Problema 4. Sejam os vetores ~u = cos(θ1)~i+ sen(θ1)~j e ~v = cos(θ2)~i+ sen(θ2)~j então
cos (~u,~v) = cos(θ1 − θ2).
Con
lua que o ângulo θ entre ~u e ~v é dado por
θ =
{ |θ1 − θ2|, |θ1 − θ2| ≤ 180◦
360◦ − |θ1 − θ2|, |θ1 − θ2| > 180◦
ontanto que θ1 e θ2 estejam entre 0 e 360
◦
. Interprete geometri
amente este resultado.
Problema 5. Seja ~u um vetor não nulo �xo e ~v um vetor de norma não nula �xa. Mostre que ‖~u + ~v‖
tem um ponto de máximo quando uˆ = vˆ e um ponto de mínimo quando uˆ = −vˆ. Interprete o resultado
geometri
amente e 
ompare 
om o problema (1).
Di
a: ‖~u+ ~v‖2 = u2 + v2 + 2~u · ~v e (16).
0.4 O produto vetorial
Além do produto es
alar entre vetores, de�nimos também o produto vetorial. Enquanto o produto es
alar de
dois vetores é um es
alar, o produto vetorial é um ter
eiro vetor. O produto vetorial entre ~u = u1~i+u2~j+u3~k
e ~v = v1~i+ v2~j + v3~k é denotado ~u× ~v e é de�nido em 
oordenadas 
artesianas 
omo:
~u× ~v = (u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k (19)
A de�nição de produto vetorial pode pare
er à primeira vista arbitrária e fortemente dependente do sistema
de 
oordenadas es
olhido. No entanto, mostraremos que o produto vetorial admite uma formulação intrínse
a,
ou seja, que não depende do sistema de 
oordenadas es
olhido. Ademais, veremos que tanto o produto es
alar
omo o produto vetorial surgem naturalmente no estudo da físi
a 
lássi
a.
16 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
O produto vetorial possui as seguintes propriedades:
~u× ~v = −~v × ~u, (Anti
omutatividade) (20a)
(α~u+ β~v)× ~w = α (~u× ~w) + β (~v × ~w) , (Linearidade à esquerda) (20b)
~u× (α~v + β ~w) = α (~u× ~v) + β (~u× ~w) , (Linearidade à direita) (20
)
(~u× ~v) · ~u = (~u× ~v) · ~v = 0, (Ortogonalidade) (20d)
‖~u× ~v‖ = uv sen(~u,~v). (Norma) (20e)
det (~u;~v; ~u× ~v) = u2v2 sen2(~u,~v) > 0. (Orientação dextrogira) (20f)
Nas duas últimas propriedades, sen(~u,~v) denota o seno do ângulo entre os vetores ~u e ~v. Observa-se que
quando ~u ou ~v é nulo, este ângulo não está bem de�nido, estas identidades devem ser então interpretadas
omo ‖~u× ~v‖ = 0 e det (~u;~v; ~u× ~v) = 0.
A última propriedade signi�
a que o trio ~u, ~v e ~u× ~v forma um sistema dextrogiro.
Exemplo 15. Mostre as propriedades (20a), (20b) e (20
).
A propriedade da ortogonalidade pode ser demonstrada diretamente da de�nição de produto vetorial e
produto es
alar:
(~u× ~v) · ~u =
[
(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k
] (
u1~i+ u2~j + u3~k
)
= (u2v3 − u3v2)u1 + (u3v1 − u1v3)u2 + (u1v2 − u2v1)u3 = 0
igualmente temos:
(~u× ~v) · ~v =
[
(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k
] (
v1~i+ v2~j + v3~k
)
= (u2v3 − u3v2) v1 + (u3v1 − u1v3) v2 + (u1v2 − u2v1) v3 = 0
Para provar a propriedade (20e), mostraremos primeiramente a seguinte (interessante) identidade:
‖~u× ~v‖2 + |~u · ~v|2 = u2v2 (21)
Da de�nição de norma e de produto vetorial temos:
‖~u× ~v‖2 =
∥∥∥(u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k∥∥∥2
= (u2v3 − u3v2)2 + (u3v1 − u1v3)2 + (u1v2 − u2v1)2
=
(
u22v
2
3 − 2u2u3v2v3 + u23v22
)
+
(
u23v
2
1 − 2u1u3v1v3 + u21v23
)
+(
u21v
2
2 − 2u1u2v1v2 + u22v21
)
. (22)
Da de�nição de norma e de produto es
alar temos:
|~u · ~v|2 = (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 = u21v21 + u22v22 + u23v23 + 2u1u2v1v2 + 2u1u3v1v3 + 2u2u3v2v3.
Somando estas últimas duas expressões, simpli�
ando e reagrupando termos, 
hegamos ao resultado desejado:
‖~u× ~v‖2 + |~u · ~v|2 = (u1v1 + u2v2 + u3v3)2
= u21v
2
1 + u
2
1v
2
2 + u
2
1v
2
3 + u
2
2v
2
1 + u
2
2v
2
2 + u
2
2v
2
3 + u
2
3v
2
1 + u
2
3v
2
2 + u
2
3v
2
3
=
(
u21 + u
2
2 + u
2
3
) (
v21 + v
2
2 + v
2
3
)
= u2v2.
Agora que dispomos da identidade (21), usamos (16) para es
rever
‖~u× ~v‖2 = u2v2 − |~u · ~v|2 = u2v2 − [uv cos (~u,~v)]2 = u2v2 [1− cos2 (~u,~v)] = u2v2 sen2 (~u,~v)
Extraímos a raiz quadrada, observando que sen (~u,~v) ≥ 0 e obtemos o resultado desejado (20e). Um 
aso
parti
ular importante é quando os vetores ~u e ~v estão na mesma direção. Como sen 0 = sen 180◦ = 0, o
produto vetorial de dois vetores paralelos é
~0.
0.4. O PRODUTO VETORIAL 17
Para demonstrar a propriedade (20f), 
al
ulamos o determinante envolvido
det (~u;~v; ~u× ~v) =
∣∣∣∣∣∣
u1 v1 (u2v3 − u3v2)
u2 v2 (u3v1 − u1v3)
u3 v3 (u1v2 − u2v1)
∣∣∣∣∣∣
=
(
u21v
2
2 − u1u2v1v2
)
+
(
u23v
2
1 − u1u3v1v3
)
+
(
u22v
2
3 − u2u3v2v3
)
− (u1u2v1v2 − u22v21)− (u1u3v1v3 − u21v23)− (u2u3v2v3 − u23v22)
Figura 5: Regra da mão direita.
Agora basta observar que esta expressão é idên-
ti
a a (22), ou seja, ‖~u × ~v‖2 e portanto o determi-
nante det (~u;~v; ~u× ~v) é positivo.
A importân
ia desta propriedade está no fato que
se ~w = ~u×~v então o trio de vetores ~u, ~v e ~w forma um
sistema dextrogiro. Além disso, por 
ausa da pro-
priedade (20d), ~w deve ser ortogonal tanto aos veto-
res ~u, ~v. Finalmente, observando a propriedade da
norma (20e), podemos estabele
er a seguinte iden-
tidade para o produto vetorial de dois vetores não
olineares ~u e ~v:
~u× ~v = uv sen (~u,~v) eˆ (23)
onde o versor eˆ é ortogonal ao plano gerado por ~u e
~v e forma um sistema dextrogiro 
om eles.
A norma do produto vetorial entre os vetores ~u
e ~v pode ser interpretada 
omo a área do paralelogramo 
ujos lados são ~u e ~v (ver �gura 6. A direção do
produto vetorial é então ortogonal ao plano gerado por ~u e ~v e o sentido é dado pela regra da mão direita.
Figura 6: Interpretação geométri
a do produto vetorial.
A de�nição de produto vetorial dada em (19) pode ser mais fa
ilmente lembrada através do seguinte
determinante formal:
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ (24)
que pode ser 
al
ulado pela regra de Sarrus.
18 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
O produto vetorial entre os vetores unitários
~i, ~j e ~k pode ser obtido da de�nição (19) ou da 
ara
terização
geométri
a do produto vetorial:
~i×~i = ~0, ~i×~j = ~k, ~i× ~k = −~j
~j ×~i = −~k, ~j ×~j = ~0, ~j × ~k =~i
~k ×~i = ~j, ~k ×~j = −~i, ~k × ~k = ~0 (25)
Exemplo 16. Seja ~u =~i+ 2~j e ~v = 3~i− 2~j, 
al
ule o vetor ~w = ~u× ~v.
Solução 1 Cal
ularemos primeiramente usando o determinante (24):
~w =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 2 0
3 −2 0
∣∣∣∣∣∣ =~i(0 − 0) +~j(0− 0) + ~k(−2− 6) = −8~k
Solução 2 Cal
ularemos usando as propriedades (20) e as relações (25):
~w = ~u× ~v =
(
~i+ 2~j
)
×
(
3~i− 2~j
)
= 3(~i×~i)− 2(~i×~j) + 6(~j ×~i)− 4(~j ×~j)
= 3~0− 2~k − 6~k − 4~0 = −8~k
Exemplo 17. Refaça os ex
í
ios 12 e 13 usando o 
on
eito de produto vetorial.
Exemplo 18. En
ontre três vetores ~u, ~v e ~w tais que ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w.
Exemplo de resposta: ~u =~i, ~v =~i e ~w = ~k.
Exemplo 19. Simpli�que as seguintes expressões:
a) ~u× ~u
b) ~u× uˆ
) ~u · ~u
d) ~u · uˆ
e) (~u+ ~v) · (~u+ ~v)
f ) (~u+ ~v)× (~u+ ~v)
g) (~u− ~v) · (~u− ~v)
h) (~u− ~v)× (~u− ~v)
i) (~u+ ~v) · (~u− ~v)
j) (~u+ ~v)× (~u− ~v)
Resp:
~0,~0,u2,u,u2 + 2~u · ~v + v2, ~0, u2 − 2~u · ~v + v2, ~0, u2 − v2, 2~v × ~u
Problema 6. Mostre que ~u · (~v × ~w) = det (~u;~v; ~w). Con
lua que o trio de vetores ~u, ~v e ~w forma um
sistema dextrogiro se ~u · (~v × ~w) > 0 e levogiro se ~u · (~v × ~w) < 0. Interprete geometri
amente.
0.5 Sistema de 
oordenadas 
ilíndri
as
0.5. SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS 19
Figura 7: Representação de um ponto de 
oordenadas
ilíndri
as.
No sistema de 
oordenadas 
ilíndri
as, um ponto P
é representado pelas 
oordenadas ρ, φ e z. A 
o-
ordenada z é a mesma do sistema de 
oordenadas
retangulares. A 
oordenada ρ indi
a a distân
ia en-
tre a origem e a projeção Q de P sob o eixo xy.
Finalmente φ é o ângulo entre o semi-eixo x > 0 e o
ponto Q. Ver �gura 7. É fá
il ver que
x = ρ cosφ (26a)
y = ρ senφ (26b)
onde
ρ =
√
x2 + y2 (27)
A 
oordenadas ρ, φ e z são 
omumente denotamina-
das de �distân
ia radial�, �azimute� e �altura�.
As equações (26) podem ser rees
ritas 
omo
cosφ =
x
ρ
=
x√
x2 + y2
(28a)
senφ =
y
ρ
=
y√
x2 + y2
(28b)
Exemplo 20. Os seguintes pontos são dados em 
o-
ordenadas 
artesianas, en
ontre suas representações
em 
oordenas 
ilíndri
as:
a) 〈1, 1, 1〉
b) 〈1,−1, 1〉
) 〈−1, 1, 1〉
d) 〈−1,−1, 1〉
Resp:
(√
2, π4 , 1
)
,
(√
2, 5π4 , 1
)
,
(√
2, 3π4 , 1
)
e
(√
2, 7π4 , 1
)
.
Exemplo 21. En
ontre uma expressão para distân
ia de um ponto à origem em 
oordenadas 
ilíndri
as
Resp:
√
ρ2 + z2
20 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
0.6 Sistema de 
oordenadas esféri
as
Figura 8: Representação de um ponto de 
oordenadas
esféri
as.
No sistema de 
oordenadas 
ilíndri
as, um ponto P
é representado pelas 
oordenadas r, φ e θ. A 
oorde-
nada r indi
a a distân
ia do ponto P até a origem,
sendo 
onsistente 
om a de�nição de módulo de um
vetor. A 
oordenada φ é o mesmo ângulo do sistema
de 
oordenadas 
ilíndri
as, ou seja, é o ângulo entre
o semi-eixo x > 0 e o ponto Q (projeção de P no
plano xy). O ângulo θ é o ângulo entre a reta que
liga a origem até o ponto P e o semi-eixo z > 0. Ver
�gura 8. A relação entre a 
oordenadas no sistema
de 
oordenadas esféri
as e no sistema de 
oordena-
das 
ilíndri
as é dada pelas projeções:
z = r cos θ (29a)
ρ = r sen θ (29b)
Usando (26), en
ontramos a relação entre o sistema
de 
oordenadas esféri
as e 
artesianas:
x = r sen θ cosφ (30a)
y = r sen θ senφ (30b)
z = r cos θ (30
)
Analogamente, pode-se es
rever:
r =
√
x2 + y2 + z2 (31a)
cos θ =
z
r
=
z
x2 + y2 + z2
(31b)
cosφ =
x
ρ
=
x
x2 + y2
(31
)
senφ =
y
ρ
=
y
x2 + y2
(31d)
Exemplo 22. Os seguintes pontes são dados em 
oordenadas 
artesianas, en
ontre suas representações em
oordenas esféri
as (ver também ex
í
io 20):
a) 〈1, 1, 1〉
b) 〈1,−1, 1〉
) 〈−1, 1, 1〉
d) 〈−1,−1, 1〉
Resp:
(√
3, π4 , θ
)
,
(√
3, 5π4 , θ
)
,
(√
3, 3π4 , θ
)
e
(√
3, 7π4 , θ
)
, onde θ = cos−1
(√
3
3
)
≈ 0, 955.
0.7 Exemplos na físi
a
Na me
âni
a, o trabalho de uma força 
onstante atuando sobre um 
orpo que se move 
om velo
idade
onstante é dado pelo produto es
alar da força pelo deslo
amento:
W = ~F · △~r
O torque de uma força em relação a um eixo dado é dado por
~τ = ~r × ~F
0.8. NOTAS 21
onde ~r é o vetor que liga o ponto onde a força é apli
ada e o pondo onde o torque é medido.
A força
~F que uma 
ampo magnéti
o ~B produz em uma partí
ula de 
arga elétri
a q em movimento 
om
velo
idade ~v é dado pela lei de Lorentz: ~F = q~v × ~B.
0.8 Notas
0.8.1 O que é um espaço linear?
A de�nição de espaço vetorial dada em (1) é ampla e engloba 
on
eitos bem mais gerais que os espaços
eu
lidianos de dimensão 2 e 3 
om os quais o leitor tem maior familiaridade. Asfunções reais f : R→ R, por
exemplo, formam espaço vetorial onde os es
alares são dados pelos números reais. O vetor nulo, neste 
aso, é
a função f(x) = 0. Este espaço não tem dimensão �nita pois os polin�mios Pn(x) = x
n
para n = 0, 1, 2, 3, . . .
formam uma família in�nita de vetores linearmente independentes (isso é uma 
onsequên
ia do teorema
fundamental da álgebra).
0.8.2 Todo espaço linear tem uma base? Axioma da es
olha.
Um problema importante é des
obrir se todo espaço linear admite uma base. Este problema é mais 
ompli
ado
do que pode pare
er e 
onduz a uma profunda dis
ussão sobre os próprios fundamentos da matemáti
a. De
fato, pode-se mostrar que, o axioma da es
olha impli
a que todo espaço linear tenha uma base.
O axioma da es
olha é um dos axiomas da teoria de 
onjuntos padrão que tem diversas 
onsequên
ias
ontraintuitivas e �si
amente inesperadas. Um exemplo das bizarrias produzidas pelo axioma da es
olha é
o 
hamado paradoxo de Bana
h-Tarski: Dada uma esfera no espaço eu
lidiano de três dimensões, é possível
ortá-la em um número �nito de pedaços e rearranjar esses pedaços de forma a 
onstruir duas esferas idênti
as
à original. Em outras palavras, o axioma da es
olha apli
ado ao espaço eu
lidiano tridimensional traz 
omo
onsequên
ias a não preservação de �volume� frente a translações e rotações. Para de�nir de forma razoável
os 
on
eitos de 
omprimento, área e volumes, foi ne
essário o desenvolvimento da teoria da medida no �nal
do Sé
ulo XIX e iní
io do Sé
ulo XX. A solução en
ontrada foi 
onstruir uma medida apenas em uma família
de sub
onjuntos 
hamamos 
onjuntos mensuráveis.
Vejamos um exemplo de espaço linear de dimensão: é fá
il veri�
ar que o 
onjunto de todos os polin�mios
P (x) = a0+a1x+a2x
2+. . . anx
n
formam um espaço linear frente às operações usuais de soma e multipli
ação
por um es
alar. A base deste espaço é dada pelos mon�mios Pn(x) = x
n
para n = 0, 1, 2, 3, . . . pois 
ada
polin�mio pode ser es
rito 
omo uma 
ombinação linear �nita de elementos desse base. No entanto, não é
possível mostrar desta forma 
ontrutiva uma base para o espaço das funções reais ou mesmo para as funções
reais 
ontínuas. A existên
ia de uma base para estes espaços é um 
on
eito abstrato não 
ontrutivo.
0.8.3 Qual amplo é o 
on
eito de norma?
Vimos que o 
on
eito de espaço linear é muito mais amplo e útil que pare
ia. E quanto à norma? Estamos
familiariados 
om a norma eu
lidiana, mas será que é possível de�nir outras normas no espaço R
n
de forma
a satisfazer as propriedades (12)? A norma eu
lidiana em um espaço de dimensão n é dada por
‖~x‖ = (x21 + x22 + . . . x2n)1/2
De fato é possível mostrar que podemos alterar esta expressão para
‖~x‖p = (|x1|p + |x2|p + . . .+ |xn|p)1/p
om p ≥ 1 de forma a preservar todas as propriedades da norma.
Mas será que é possível de�nir uma norma no espaço das funções reais? Esta é uma pergunta 
ompli
ada,
mas podemos simpli�
ar exigindo um pou
o mais desse espaço. Por exemplo, vamos 
onsiderar o espaço das
funções reais 
ontínuas de�nidas no intervalo [0, 1]. Neste espaço é possível de�nir a seguinte norma:
‖f(x)‖ = max
x∈[0,1]
|f(x)| (32)
22 CAPÍTULO 0. ÁLGEBRA VETORIAL
ou seja, a norma de uma função 
ontínua é dada pelo máximo de seu módulo no intervalo.
No entanto, esta não é a úni
a maneira de de�nir uma norma neste espaço, outra possibilidade é:
‖f(x)‖p =
(∫ 1
0
|f(x)|pdx
)p
(33)
onde p ≥ 1.
A norma (33) é 
hamada de norma Lp de uma função e a norma (32) é 
hamada de norma do máximo
ou norma in�nito ou norma L∞. Isso porque
lim
p→∞
‖f(x)‖p = max
x∈[0,1]
|f(x)|.
Esta normas ex
em enorme importân
ia na teoria de funções 
om importantes apli
ações no estudo das
equações diferen
iais.
0.8.4 E o produto es
alar?
Uma operação 
om as propriedades (17) é um produto es
alar. Produtos es
alares não apare
em apenas em
espaços de duas ou três dimensões: mesmo espaços de dimensão in�nita podem possuir um produto es
alar.
Tomemos 
omo exemplo novamente o espaço das funções 
ontínuas de�nidas no intervalo [0, 1]. A seguinte
operação possui todas as propriedades de um produto es
alar:
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx.
Observe o leitor que foi usada a notação 〈, 〉 para indi
ar o produto interno. Este produto interno induz a
seguinte norma:
‖f‖2 = (〈f, f〉)1/2 =
(∫ 1
0
f(x)2dx
)1/2
que é o 
aso parti
ular de (33) quando p = 2. A desigualdade de Cau
hy-S
hwarz admite a seguinte forma:
∫ 1
0
f(x)g(x)dx ≤
(∫ 1
0
f(x)2dx
)1/2(∫ 1
0
g(x)2dx
)1/2
Capítulo 1
Curvas e trajetórias
Neste 
apítulo, estudamos funções vetoriais do tipo ~r(t), ou seja, uma função que asso
ia um parâmetro real
a vetores no plano ou espaço. Tais função vetoriais, que dependem de apenas uma variável, são os exemplos
mais simples que estudaremos.
1.1 Funções vetoriais de uma variável - 
urvas e trajetórias
Uma função vetorial de uma variável é uma função da forma
~r : D → R3,
onde D ⊆ R é o domínio de de�nição de ~r e t é um parâmetro - podendo ser interpretado 
omo o tempo ou
não. Em 
oordenadas 
artesianas, uma função vetorial assume a seguinte forma:
~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k
Exemplo 23. São exemplos de funções vetoriais
a)
~f(t) = sen(t)~i+ cos(t)~j
b) ~g(t) = t~i+ cosh(t)~k
)
~h(t) = 2 cos(t)~i+ 4 sen(t)~j + t~k, 0 ≤ t ≤ 8π
Uma 
urva no espaço pode ser representada pelo 
onjunto de pontos de uma função vetorial ~r(t) não
onstante em todo o seu domínio. Um ponto ~r(t) de uma parametrização é dito regular se ~r ′(t) 6= 0. Uma
parametrização é dita regular em t se ~r ′(t) 6= 0 em todos os pontos. É possível de�nir orientação para uma
urva regularmente parametrizada, a orientação é dada pelo sentido de 
res
imento do parâmetro t.
Exemplo 24. A função vetorial
~f(t) = cos(t)~i + sen(t)~j para 0 ≤ t ≤ 2π des
reve uma 
ir
unferên
ia de
raio 1 
entrada na origem sobre o plano xy orientada no sentido anti-horário.
Exemplo 25. A função vetorial
~f(t) = cos(t)~i+ sen(t)~j + t~k para t ∈ R des
reve uma héli
e 
ir
ular, 
omo
mostra a �gura 1.1.
Problema 7. Re
onheça e represente gra�
amente as 
urvas des
ritas pelas seguintes funções vetoriais:
a)
~f(t) = sen(t)~i+ cos(t)~j + ~k, 0 ≤ t ≤ π
b)
~f(t) = sen(t)~i+ 2 cos(t)~k, 0 ≤ t ≤ 2π
)
~f(t) = sen(t)~i+ cos(t)~k, −∞ < t <∞
d)
~f(t) = t~i+
√
4− t2 ~j, −2 ≤ t ≤ 2
23
24 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
e)
~f(t) = t~i+ cosh(t)~j, −∞ < t <∞
f )
~f(t) = sinh(t)~i + cosh(t)~j, −∞ < t <∞
Resp: Semi
ir
unferên
ia de raio 1 
entrada em (0, 0, 1) sobre o plano z = 1. Elipse de semi-eixos 1 e 2
entrada na origem sobre o plano xz. Héli
e 
ir
ular levogira de raio 1 e passo 2π. Semi
ir
unferên
ia de
raio 2 
entrada na origem sobre o plano xy e y ≥ 0. Uma 
atenária sobre o plano xy. Uma hipérbole.
x y
z
Figura 1.1: Função vetorial asso
iada
à uma héli
e 
ir
ular dextrogira.
O limite, a derivação e a integração vetorial são de�nidas 
ompo-
nente a 
omponente no sistema de 
oordenadas 
artesiano:
lim
t→a
~r(t) = lim
t→a
x(t)~i + lim
t→a
y(t)~j + lim
t→a
z(t)~k (1.1)
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
~i+
dy(t)
dt
~j +
dz(t)
dt
~k (1.2)∫ b
a
~r(t)dt =
∫ b
a
x(t)dt~i +
∫ b
a
y(t)dt~j +
∫ b
a
z(t)dt~k (1.3)∫
~r(t)dt =
∫
x(t)dt~i +
∫
y(t)dt~j +
∫
z(t)dt~k (1.4)
Teorema 2 (Regras de derivação). A derivada de funções vetoriais
satisfaz as seguintes identidades:
1. Se ~r(t) é um vetor 
onstante, então ~r′(t) = ~0.
2.
d
dt [α~r1(t) + β~r2(t)] = α
d~r1(t)
dt + β
d~r2(t)
dt
3. Se f(t) é uma função real, então ddt [f(t)~r(t)] = f
′(t)~r(t) +
f(t)d~r(t)dt
4.
d
dt [~r1(t) · ~r2(t)]= ~r1(t) · d~r2(t)dt + d~r1(t)dt · ~r2(t)
5.
d
dt [~r1(t)× ~r2(t)] = ~r1(t)× d~r2(t)dt + d~r1(t)dt × ~r2(t)
Demonstração. Os dois primeiros ítens podem ser obtidos diretamente de (1.2). A veri�
ação �
a a 
argo do
leitor. O item três pode ser obtido de uma apli
ação da regra da 
adeia a (1.2):
d
dt
[f(t)~r(t)] =
d
dt
[
f(t)x(t)~i + f(t)y(t)~j + f(t)z(t)~k
]
= [f ′(t)x(t) + f(t)x′(t)]~i+ [f ′(t)y(t) + f(t)y′(t)]~j + [f ′(t)z(t) + f(t)z′(t)]~k
= f ′(t)
[
x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k
]
+ f(t)
[
x′(t)~i+ y′(t)~j + z′(t)~k
]
= f ′(t)~r(t) + f(t)~r ′(t)
A derivada do produto es
alar de duas funções vetoriais é dado por:
d
dt
[~r1(t) · ~r2(t)] = d
dt
[x1(t)x2(t) + z1(t)z2(t) + z1(t)z2(t)]
= [x′1(t)x2(t) + x1(t)x
′
2(t)] + [y
′
1(t)y2(t) + y1(t)y
′
2(t)]
+ [z′1(t)z2(t) + z1(t)z
′
2(t)]
= ~r1(t) · d~r2(t)
dt
+
d~r1(t)
dt
· ~r2(t)
Finalmente a derivada do produto vetorial pode ser obtida de:
d
dt
[~r1(t)× ~r2(t)] = d
dt
[y1(t)z2(t)− z1(t)y2(t)]~i
+
d
dt
[z1(t)x2(t)− x1(t)z2(t)]~j
1.1. FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL - CURVAS E TRAJETÓRIAS 25
+
d
dt
[x1(t)y2(t)− y1(t)x2(t)]~k
= [y′1(t)z2(t) + y1(t)z
′
2(t)− z′1(t)y2(t)− z1(t)y′2(t)]~i
+ [z′1(t)x2(t) + z1(t)x
′
2(t)− x′1(t)z2(t)− x1(t)z′2(t)]~j
+ [x′1(t)y2(t) + x1(t)y
′
2(t)− y′1(t)x2(t)− y1(t)x′2(t)]~k
= [y′1(t)z2(t)− z′1(t)y2(t)]~i
+ [z′1(t)x2(t)− x′1(t)z2(t)]~j
+ [x′1(t)y2(t)− y′1(t)x2(t)]~k
+ [y1(t)z
′
2(t)− z1(t)y′2(t)]~i
+ [z1(t)x
′
2(t)− x1(t)z′2(t)]~j
+ [x1(t)y
′
2(t)− y1(t)x′2(t)]~k
= ~r1(t)× d~r2(t)
dt
+
d~r1(t)
dt
× ~r2(t)
Problema 8. Dada a função vetorial ~r(t) = t2~i+ et~j − 2 cosπt ~k, 
al
ule:
a) lim
t→0
~r(t)
b)
d~r(t)
dt
) ~r ′(1)
d)
∫ 1
0
~r(t)dt
e)
∫
~r(t)dt
Resp:
~j − 2~k, ~r′ (t) = 2t~i + et~j + 2π senπt ~k, ~r′ (1) = 2~i + e~j, 13~i + (e − 1)~j,
(
1
3 t
3 + C1
)
~i + (et + C2)~j +(− 2π senπt+ C3)~k
Problema 9. Veri�que que a função vetorial dada por
~f(t) = 1−t
2
1+t2
~i+ 2t1+t2
~j, −∞ < t <∞ representa uma
urva 
ontida em uma 
ir
unferên
ia no plano xy 
entrada na origem. Identi�que o raio desta 
ir
unferên
ia,
identi�que a 
urva e isole os quatro quadrantes.
Resp: raio=1, 
entro na origem. Q1 : 0 < t < 1, Q2 : t > 1, Q3 : t < −1, Q4 : −1 < t < 0. A 
urva é a
ir
unferên
ia menos o ponto 〈−1, 0〉.
Problema 10. En
ontre a derivada de 
ada uma das funções vetoriais do exemplo 31
Resp:
~f ′(t) = cos(t)~i− sen(t)~j, ~g′(t) =~i+ sinh(t)~k, ~h′(t) = cos(t)~i − sen(t)~j + ~k
Problema 11. Mostre as seguintes identidades:
a)
d~r(t)
dt
· rˆ(t) = r′(t)
b)
d
dt
[~r(t)× ~r ′(t)] = ~r(t)× ~r ′′(t)
)
dr(t)
dt
=
1
r(t)
~r(t) · ~r ′(t)
d)
drˆ(t)
dt
=
~r ′(t)
r(t)
− ~r(t) · ~r
′(t)
r(t)3
~r(t)
26 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
Observação: Lembre-se que rˆ(t) = ~r(t)r(t) e r(t) = ‖~r(t)‖.
Demonstraremos agora um importante teorema do 
ál
ulo vetorial:
Teorema 3. Uma função vetorial ~u(t) possui norma 
onstante se e somente se ~u(t) · ~u ′(t) = 0.
Demonstração. Como ‖u‖2 = ~u(t) · ~u(t), temos
d‖u‖2
dt
=
d
dt
[~u(t) · ~u(t)] = ~u · d~u
dt
+
d~u
dt
· ~u = 2~u · d~u
dt
Assim, se ‖u‖ for 
onstante, a derivada à esquerda é nula e temos ~u(t) · ~u ′(t) = 0. Re
ipro
amente se
~u(t) · ~u ′(t) = 0, então ‖u‖ deve ser 
onstante.
Observação 3. Uma importante interpretação deste teorema é que se ~v(t) representa a velo
idade de uma
partí
ula no instante de tempo t, então se o módulo da velo
idade v(t) for 
onstante e não nulo então a
a
eleração ~a = ~v ′(t) é perpendi
ular à velo
idade sempre que for não nula.
Exemplo 26. Seja ~r(t) o vetor posição de uma partí
ula dado por
~r(t) = a cos(wt)~i + b sen(wt)~j
Cal
ule o vetor velo
idade ~v e o vetor a
eleração ~v dados por ~v = ~r ′(t) e ~a = ~v ′(t).
1.2 Comprimento de ar
o
Dada uma 
urva parametrizada pela função vetorial ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b], estamos inte-
ressados no problema de 
al
ular o 
omprimento L do ar
o de des
rito por uma 
urva ~r(t), a ≤ t ≤ b.
bP0
bP1
bPi
bPi+1
Figura 1.2: Aproximação poligonal do 
ompri-
mento do ar
o
Seja a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b uma partição
equidistante do domínio 
om ∆t = ti − ti−1 e Pi = ~r(ti),
i = 0, 1, · · · , n, pontos sobre a 
urva, 
omo mostra a �gura
1.2. Uma possível aproximação para o 
omprimento da 
urva
é dado pelo 
omprimento da poligonal. Observe que o 
om-
primento do segmento Pi−1Pi é dado por ‖Pi − Pi−1‖, logo,
a aproximação para o 
omprimento da 
urva é
Ln =
n∑
i=1
‖Pi − Pi−1‖
=
n∑
i=1
√
(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 + (zi − zi−1)2
=
n∑
i=1
∆t
√
(xi − xi−1)2
(∆t)2
+
(yi − yi−1)2
(∆t)2
+
(zi − zi−1)2
(∆t)2
=
n∑
i=1
√(
xi − xi−1
∆t
)2
+
(
yi − yi−1
∆t
)2
+
(
zi − zi−1
∆t
)2
∆t.
Naturalmente, L = limn→∞ Ln. Como o lado direito da
última igualdade é uma soma de Riemann, temos:
L =
∫
b
a
√(
dx(t)
dt
)2
+
(
dy(t)
dt
)2
+
(
dz(t)
dt
)2
dt =
∫ b
a
‖~r ′(t)‖dt.
(1.5)
Logo, o 
omprimero do ar
o s quando a parâmetro 
orre de a até t é
s(t) =
∫ t
a
‖~r ′(τ)‖dτ, a ≤ t ≤ b. (1.6)
1.3. TRIEDRO DE FRENET-SERRET 27
1.3 Triedro de Frenet-Serret
Seja a 
urva des
rita pela função vetorial ~r(t). Queremos en
ontrar um vetor que seja tangente à 
urva em
um dado ponto. Para tal tomamos o limite
lim
h→0
~r(t+ h)− ~r(t)
h
Este limite 
onverge para ~r′(t) e, geometri
amente, para o vetor tangente à 
urva no ponto P relativo a ~r(t)1
sempre que ~r′(t) 6= ~0. O sentido do vetor ~r ′(t) é dado pela parametrização da 
urva, em outras palavras, o ve-
tor ~r ′(t) aponta no sentido em que o parâmetro t 
res
e.
~r(t)
~r ′(t)
x
y
1
Figura 1.3: O vetor tangente ~r ′(t)
Exemplo 27. Consideramos a 
ir
unferên
ia parametrizada
onforme a seguinte função vetorial:
~r(t) = cos(wt)~i + sen(wt)~j, w > 0.
A derivada de ~r(t) é dada por
~r ′(t) = −w sen(wt)~i + w cos(wt)~j.
Veja na �gura 1.3, uma representação grá�
a da 
ir
unferên
ia,
do vetor ~r(t) e de sua derivada ~r ′(t). Os vetores ~r(t) e ~r′(t)
são ortogonais em função do teorema 3. A norma de ~r ′(t) vale
‖~r ′(t)‖ =
√
[−w sen(wt)]2 + [w cos(wt)]2
=
√
w2 [sen2(wt) + cos2(wt)] = w
Observe que a norma do vetor tangente depende de 
omo a
urva é parametrizada e não apenas da 
urva em si. A �m de
trabalhar 
om um objeto que independe da parametrização, é
natural de�nirmos o vetor tangente unitário, denotado por
~T
(veja �gura 1.4):
‖~T (t)‖ = ~r
′(t)
‖~r ′(t)‖ , ~r
′(t) 6= ~0. (1.7)
A 
ondição de existên
ia para o vetor
~T é a função vetorial que parametriza a 
urva seja diferen
iável que
sua derivada seja diferente de zero, ou seja, que a parametrização seja regular.
Observação 4. Quando ~r(t) representa a trajetória de uma partí
ula ao longo do tempo, a derivada ~r (t) é
a velo
idade ~v(t) da partí
ula. Neste 
aso, o vetor tangente unitário é o versor asso
iado a ~v(t):
~v(t) = v(t)vˆ(t) = v(t)~T (t).
A norma de ~v(t), denotada por v(t), é 
hamada de velo
idade es
alar. O vetor ~T (t) indi
a o sentido e a
direção da velo
idade.
O vetor
~T pode ser de�nido de forma alternativa 
omo segue: olhamos s 
omo função de t na expressão
(1.6) e observamos que s′(t) = ‖~r ′(t)‖ > 0. Assim, s(t) é uma função 
ontínua e monótona de t. Também,
usando a rega da 
adeia, temos:
d~r
dt
=
d~r
ds
ds
dt
=
d~r
ds
‖~r ′(t)‖.
Como ~r′(t) representa o vetor tangente, então
d~r
ds
=
1
‖~r ′(t)‖
d~r
dt
= ~T
representa um vetor tangente unitário.
1
O leitor atento ao formalismo pode tomar esta 
oma umade�nição de vetor tangente. Adiante, veremos que esta de�nição
é 
onsistente 
om o vetor tangente do 
ál
ulo de funções de uma variável.
28 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
Problema 12. Considere as funções vetoriais dadas por
~f(t) = cos(πt)~i + sen(πt)~j
~g(t) = cos(πt3)~i + sen(πt3)~j
Veri�que que ambas parametrizam a mesma 
urva quando −1 ≤ t ≤ 1. Veri�que se as parametrizações são
regulares e 
ompare o 
omportamento da derivada em t = 0. Que 
onsequên
ias isso tem para a existên
ia
do vetor tangente unitário?
~T
~N
~B
x y
z
Figura 1.4: Triedro de Frenet-Serret
Agora, queremos de�nir um vetor ortogonal a
~T que esteja
no mesmo plano formado por ~r′(t) e ~r′′(t). Para isso, usamos
o resultado do teorema 3. Observe que a função vetorial
~T (t) possui módulo 
onstante e, portanto, ~T (t) · ~T ′(t) = 0.
Observe que
~T (t) e ~T ′(t) estão ambos no plano formado por
~r′(t) e ~r′′(t) e são ortogonais entre si. No entanto, ~T ′(t) não
é ne
essariamente unitário. Logo, faz sentido de�nir o vetor
normal unitário 
omo
~N =
~T ′(t)
‖~T ′(t)‖
.
A �gura 1.4 apresenta a representação de alguns vetores nor-
mais unitários.
Finalmente, vamos de�nir um vetor unitário que é simul-
tanemente ortogonal a
~T e ~N . A forma natural de obter
um vetor ortogonal a outros dois vem do produto vetorial.
Assim, o vetor binormal unitário é de�nido 
omo
~B = ~T × ~N.
Das propriedades de produto vetorial, temos que
~B, além de ortogonal a ~T e ~N , é unitário e forma um sistema
dextrogiro. O trio
~T , ~N e ~B é 
hamado de triedro de Frenet-Serret. A �gura 1.4 apresenta a representação
de alguns triedros de Frenet-Serret.
Problema 13. Cal
ule a 
urvatura e torção de 
ada 
urva:
a) ~r = a cos(t)~i + a sen(t)~j, a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π
b) ~r = a cos(t)~i + a sen(t)~j + ct~k, a > 0, b > 0, t > 0
1.4 Curvatura e Torção
Nessa seção, estamos interessados em de�nir, a 
ada ponto da 
urva, funções que medem o quanto ela está
tor
ida ou 
urvada, isto é, se a 
urva é muito diferente de uma reta ou se está fora de qualquer plano do
espaço. Primeiro, de�niremos uma função 
hamada de 
urvatura, que mede a 
ada ponto do domínio, a
variação do vetor tangente 
om respeito ao 
omprimento de ar
o s. Naturalmente, queremos que a reta
tenha 
urvatura nula, pois ela não difere da sua tangente em ponto algum. Para fa
ilitar a visualização,
podemos 
omeçar pensando apenas nas 
urvas que estão 
ontidas em algum plano. A �gura 1.5 nos dá uma
ideia de 
urvatura.
Pelo teorema 3, temos que
d~T
ds é paralelo ao vetor normal
~N , ou seja,
d~T
ds
= κ ~N, (1.8)
onde κ(t) > 0 é uma função es
alar 
hamada de 
urvatura. Por outro lado, 
al
ulamos a variação do vetor
tangente 
om respeito ao 
omprimento de ar
o s usando a regra da 
adeia
d~T
ds
=
d~T
dt
dt
ds
=
d~T
dt
1
|s′(t)| ,
1.4. CURVATURA E TOR�O 29
Curvatura nula
Curvatura pequena Curvatura grande
Figura 1.5: Ideia de 
urvatura.
onde s(t) é a função que mede o 
omprimento do ar
o dado pela expressão (1.6). Usando o fato que s′(t) =
‖~r′(t)‖, temos:
d~T
ds
=
1
‖~r′(t)‖
d~T
dt
.
Portanto, podemos es
rever
κ(t) =
‖~T ′(t)‖
‖~r′(t)‖ .
De�nimos também, para 
ada ponto t do domínio, o raio de 
urvatura ρ(t) da forma:
ρ(t) =
1
κ(t)
.
O raio de 
urvatura tem a seguinte interpretação geométri
a: 
onsidere um ponto ~r(t0) onde da 
urvatura
não é nula e de�na o ponto ~r(t0) + κ(t0) ~N , 
hamado de 
entro de 
urvatura. O 
ír
ulo 
entrado no 
entro
de 
urvatura e raio ρ(t0) é tangente a 
urva em t0 e possui a mesma 
urvatura (veja a �gura 1.6).
Exemplo 28. Dada a 
urva y = x2, vamos en
ontrar a 
urvatura e o raio de 
urvatura no ponto x = 1.
Primeiro, en
ontramos uma parametrização para essa 
urva, por exemplo, ~r = t~i+ t2~j. Cal
ulamos:
~r′ =~i+ 2t~j,
‖~r′‖ =
√
1 + 4t2,
~T =
1√
1 + 4t2
(
~i + 2t~j
)
e
~T ′ = − 4t√
(1 + 4t2)3
~i+
(
− 8t
2√
(1 + 4t2)3
+
2√
1 + 4t2
)
~j,
Em t = 1, temos:
‖~r′‖ =
√
5,
~T ′ = − 4√
53
~i+
(
− 8√
53
+
2√
5
)
~j = − 4√
53
~i+
2√
53
~j,
e
‖~T ′‖ =
√
16
53
+
4
53
=
2
5
.
Portanto,
κ(1) =
‖~T ′‖
‖~r′‖ =
2
5
√
5
e
ρ(1) =
5
√
5
2
.
veja representação geométri
a na �gura 1.6.
30 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
1
2
3
4
5
6
−1
1 2−1−2−3−4−5
Centro de 
urvatura
Figura 1.6: Cír
ulo de 
urvatura
O leitor deve ter observado que 
onhe
endo
somente a 
urvatura não é possível re
onstruir
uma 
urva a partir de um ponto dado. Um
urva pode não estar 
ontida em plano algum no
espaço e, por isso, pre
isamos de�nir uma fun-
ção es
alar, 
hamada torção, que mede a mag-
nitude da variação do vetor binormal. A �gura
1.7 apresenta uma ideia de torção: uma 
urva
ontida em algum plano no espaço tem torção
nula e quando maior a variação 
om respeito ao
plano de�nido por
~T e ~N , maior a torção. O
leitor deve tomar 
uidado na interpretação da
�gura 1.7, pois se esti
armos inde�nidamente
a héli
e 
ir
ular representada, ela voltará a se
aproximar de uma reta, que tem torção nula
(veja problema 15). Sabendo que a torção será
de�nida em termos da variação do vetor binor-
mal 
om respeito ao 
omprimento de ar
o s(t),
fazendo algumas observações:
d ~B
ds
=
d
ds
(
~T × ~N
)
=
d~T
ds
× ~N + ~T × d
~N
ds
.
Usando a expressão (1.8), temos que
d~T
ds = κ
~N ,
logo
d ~B
ds
= ~T × d
~N
ds
.
Isso impli
a que
d ~B
ds é ortogonal a
~T . Mas, pelo teorema 3, temos que d
~B
ds é ortogonal a
~B. Logo, d
~B
ds é
paralelo a
~N , ou seja,
d ~B
ds
= −τ ~N, (1.9)
onde τ é 
hamado de torção. O sinal negativo tem um propósito: quando τ > 0, d
~B
ds está no sentido de
− ~N ; então se P é um ponto sobre a 
urva movendo-se no sentido positivo, ~B gira em torno de ~T 
omo um
parafuso de ros
a direita sendo apertado (veja a �gura 1.8). Em alguns 
ontextos, 
al
ulamos a módulo da
torção, dada por
|τ | =
∥∥∥∥∥d
~B
ds
∥∥∥∥∥ = ‖
~B′(t)‖
‖~r′(t)‖ .
Ainda, de�nimos o raio de torção por
σ(t) =
1
τ(t)
.
Podemos 
al
ular
d ~N
ds em termos da 
urvatura e da torção:
d ~N
ds
=
d
ds
(
~B × ~T
)
=
d ~B
ds
× ~T + ~B × d
~T
ds
.
Usando as expressões (1.8) e (1.9), es
revemos
d ~N
ds
= −τ ~N × ~T + ~B × κ ~N.
ou seja,
d ~N
ds
= −κ~T + τ ~B. (1.10)
1.4. CURVATURA E TOR�O 31
Torção nula
x
y
z
Torção pequena
x
y
z
Torção grande
x
y
z
Figura 1.7: Ideia de torção.
As equações (1.8), (1.9) e (1.10) são 
hamadas de Fórmulas de Frenet-Serret.
Como esperávamos, se κ = 0, então d
~T
ds =
~0, o que impli
a que ~T não varia ao longo da 
urva, ou seja,
a 
urva é uma reta. Agora, se τ = 0, então d
~B
ds =
~0 e ~B é um vetor 
onstante. Como ~B · ~T = ~B · d~rds = 0,
então podemos integrar para obter
~B · (~r− ~r0) = 0, onde r0 é um vetor 
onstante da integração. Logo ~r está
ontido no plano ortogonal a
~B.
Exemplo 29. Vamos 
al
ular 
urvatura, raio de 
urvatura e o módulo da torção para a héli
e 
ir
ular
~r(t) = cos(t)~i+ sen(t) + t~k:
~r′(t) = − sen(t)~i+ cos(t) + ~k,
‖~r′(t)‖ =
√
2,
~T (t) = − sen(t)√
2
~i+
cos(t)√
2
+
1√
2
~k,
~T ′(t) = −cos(t)√
2
~i− sen(t)√
2
,
‖~T ′(t)‖ = 1√
2
,
κ(t) =
1√
2
· 1√
2
=
1
2
,
ρ(t) = 2,
~N(t) = − cos(t)~i− sen(t)~j,
~B(t) =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
− sen(t)√
2
cos(t)√
2
1√
2
− cos(t) − sen(t) 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
sen(t)√
2
~i− cos(t)√
2
~j +
1√
2
~k.
~B′(t) =
cos(t)√
2
~i +
sen(t)√
2
~j,
‖ ~B′(t)‖= 1√
2
,
32 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
|τ(t)| = 1
2
.
Problema 14. Cal
ule a 
urvatura, o raio de 
urvatura e o módulo da torção das 
urvas abaixo:
a) ~r = a cosh(t)~i+ b sinh(t)~j, −∞ < t <∞, a > 0, b > 0.
b) ~r = a cos(t)~i + b sen(t)~k, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0, b > 0.
) ~r = a cos(t)~i + a sen(t) + ct~k, t ≥ 0, a > 0, c > 0.
Problema 15. Dada a héli
e 
ir
ular ~r = a cos(t)~i+ a sen(t) + ct~k, t ≥ 0, a > 0, c > 0, 
al
ule o valor de c
para que a torção seja máxima.
~T
~N
− ~N
~B
Curvatura
Torção
~r(t)
Figura 1.8: Curvatura e Torção
A 
urvatura e a torção podem ser 
al
uladas de
maneira mais simples. Para 
on
luir isso, 
omeçamos
al
ulando as derivadas de ~r. Usamos aqui que s′(t) =
‖~r′(t)‖, obtida da equação (1.6):
~r′ =
d~r
ds
ds
dt
= s′ ~T ,
~r′′ = s′′ ~T + s′ ~T ′
= s′′ ~T + s′‖~T ′‖ ~N
= s′′ ~T + s′2κ ~N
e
~r′′′ = s′′′ ~T + s′′ ~T ′ + 2s′s′′κ ~N + s′2
(
κ ~N ′ + κ′ ~N
)
= s′′′ ~T + s′′s′κ ~N +
(
2s′s′′κ+ s′2κ′
)
~N
+ s′3κ(−κ~T + τ ~B)
=
(
s′′′ − κ2s′3) ~T + (3s′′s′κ+ s′2κ′) ~N + s′3κτ ~B,
onde usamos as expressões (1.8) e (1.10). Agora, to-
mamos os seguintes produtos:
~r′ × ~r′′ = s′3κ~B e ~r′ × ~r′′ · ~r′′′ = s′6κ2τ.
Isso impli
a em
‖~r′ × ~r′′‖ = |s′|3κ e ~r′ × ~r′′ · ~r′′′ = ‖~r′ × ~r′′‖2τ.
ou seja,
κ =
‖~r′ × ~r′′‖
‖r′‖3 (1.11)
e
τ =
~r′ × ~r′′ · ~r′′′
‖~r′ × ~r′′‖2 . (1.12)
Observação 5. Uma apli
ação natural é a de
omposição da a
eleração em suas 
omponentes tangen
ial e
normal. Observe que
~r′ = ~v = v ~T = s′ ~T
e
~a = v′ ~T + v2κ ~N.
Con
luímos que a a
eleração está no plano normal a
~B e possui 
omponentes tangen
ial e normal:
~a = aT ~T + aN ~N,
onde aT = v
′
e aN = v
2κ. Então, se a velo
idade possui normal 
onstante, temos que v′ = 0 e a a
eleração
possui apenas 
omponente normal.
1.4. CURVATURA E TOR�O 33
Problema 16. Cal
ule 
urvatura e torção para a 
urva ~r = a cos(t)~i + a sen(t)~j + ct~k, a > 0, c > 0, t > 0
usando as expressões (1.11) e (1.12).
Exemplo 30. Uma moto
i
leta per
orre uma trajetória 
ir
ular de raio 20m 
om velo
idade 
onstante em
módulo. A moto
i
leta poderá derrapar se a a
eleração normal ex
eder 2m/s2. Qual é a velo
idade máxima
do moto
i
leta para que ela não derrape?
34 CAPÍTULO 1. CURVAS E TRAJETÓRIAS
Capítulo 2
Superfí
ies
Neste 
apítulo, estudamos funções vetoriais do tipo
~f(u, v), ou seja, uma função que asso
ia um ponto do
plano real a vetores no espaço.
2.1 Funções vetoriais de duas variáveis reais - superfí
ies
Uma função vetorial de duas variáveis é uma função da forma
~r : D1 ×D2 → R3,
onde D1 ×D2 ⊆ R2 é o domínio de de�nição de ~r e (u, v) ∈ D1 ×D2 são os parâmetros ou as 
oordenadas
de superfí
ie. Em 
oordenadas 
artesianas, uma função vetorial assume a seguinte forma:
~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k
Exemplo 31. São exemplos de funções vetoriais
a)
~f(u, v) = sen(u)~i + cos(v)~j + uv~k
b) ~g(u, v) = sen(u) cos(v)~i + cosh(u) sinh(v)~k + u~k
Uma superfí
ie no espaço pode ser representada pelo 
onjunto de pontos de uma função vetorial ~r(u, v)
não 
onstante em todo o seu domínio. A seguinte interpretação ajuda entender essa função: se �xamos v
e temos que ~r(u, v) des
reve uma 
urva e ~ru(u, v) é um vetor tangente a essa 
urva. Da mesma forma, se
�xamos u temos que ~r(u, v) des
reve uma 
urva e ~rv(u, v) é um vetor tangente a essa 
urva. Se essas 
urvas
não forem paralelas, temos um sistema de 
oordenadas 
urvilíneo para es
rever todos os pontos da superfí
ie.
Pense no globo terrestre, o medidiano de Greenwi
h e a linha do Equador: o globo 
omo uma superfí
ie,
Greenwi
h e Equador 
omo duas 
urvas e longitude e latitude 
omo um sistema de 
oordenadas 
urvilíneo.
Observe que esse sistema 
urvilíneo �
a bem de�nido quando ~ru e ~rv não são paralelos nos pontos do domínio.
Chamamos de superfí
ie regular aquela que satisfaz
~ru × ~rv 6= ~0
Exemplo 32. A superfí
ie
~r = a sen(u) cos(v)~i + a sen(u) sen(v)~j + a cos(u)~k, a > 0, 0 ≤ u, v ≤ 2π,
des
reve uma esféra 
entrada na origem e raio a. De fato, 
olo
ando
x = a sen(u) cos(v), y = a sen(u) sen(v) e z = a cos(u),
temos que
x2 + y2 + z2 = a2.
Problema 17. Veri�que que
~r = cosh(u) cos(v)~i+ cosh(u) sen(v)~j + sinh(u)~k, 0 ≤ v ≤ 2π, u ∈ R
des
reve um hiperbolóide de uma folha.
35
36 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES
2.2 Casos y = f(x, z), z = f(x, y) ou x = f(y, z)
x
y
z
O 
aso parti
ular da superfí
ie representada por uma
função z = f(x, y), podemos assumir uma parame-
trização natural ~r = u~i + v~j + f(u, v)~k. Analoga-
mente para os 
asos y = f(x, z) ou x = f(y, z), po-
demos assumir, respe
tivamente, as parametrizações
~r = u~i+ f(u, v)~j + v~k ou ~r = f(u, v)~i+ v~j + u~k. Para
o 
aso z = f(x, y) (analogamente para os demais), a
ondição ~ru × ~rv 6= ~0 assume a forma
~ru × ~rv =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 fu(u, v)
0 1 fv(u, v)
∣∣∣∣∣∣
= −fu~i− fv~j + ~k 6= ~0.
Isso impli
a em fu 6= 0 ou fv 6= 0. Voltaremos a
dis
utir esse assunto nos próximos 
apítulos, quando
o vetor gradiente estiver de�nido.
A �gura 2.1 apresenta uma lista das prin
ipais quá-
dri
as estudadas na dis
iplina de Cál
ulo Diferen
ial e
Integral 
om funções de várias variáveis. As equações
são as seguintes:
a) Cone elípti
o: z2 =
x2
a2
+
y2
b2
.
b) Elipsóide:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
) Parabolóide Elípti
o: z =
x2
a2
+
y2
b2
d) Parabolóide Hiperbóli
o: z =
x2
a2
− y
2
b2
e) Hiperbolóide de uma folha:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
f) Hiperbolóide de duas folhas: −x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
2.2. CASOS Y = F (X,Z), Z = F (X,Y ) OU X = F (Y, Z) 37
Cone Elípti
o
x y
z
Elipsóide
x y
z
Parabolóide Elípti
o
x y
z
Parabolóide Hiperbóli
o
x y
z
Hiperbolóide de uma folha
x y
z
Hiperbolóide de duas folhas
x y
z
Figura 2.1: Quádri
as
38 CAPÍTULO 2. SUPERFÍCIES
Capítulo 3
Campos Es
alares e Campos Vetoriais
39
40 CAPÍTULO 3. CAMPOS ESCALARES E CAMPOS VETORIAIS
Bibliogra�a
41