Transformada de Fourier matemática aplicada

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Análise de Fourier
Fábio Azevedo, Esequia Sauter
14 de Outubro de 2015
2
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ença Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada
(CC BY-SA 3.0)
3
4
Conteúdo
1 Introdução 7
2 Revisão de números 
omplexos e funções trigonométri
as 9
2.1 Funções trigonométri
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Números 
omplexos e fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Séries de Fourier 17
3.1 Funções periódi
as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Representações da série de Fourier e diagramas de espe
tro 29
4.1 Forma harm�ni
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Forma exponen
ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Diagramas de espe
tro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Propriedades das Séries de Fourier 43
5.1 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Fen�meno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Transformada de Fourier 47
6.1 Passagem do dis
reto para o 
ontínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Representações da transformada de Fourier e diagramas de espe
tro 55
7.1 Forma trigonométri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Diagramas de espe
tro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Propriedades da transformada de Fourier 61
8.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Passagem do 
ontínuo para o dis
reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Apli
ação: Sinais Dis
retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 Equações diferen
iais par
iais 83
9.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Equação do 
alor 
om termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.4 Vibrações livres transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.5 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5
6 CONTEÚDO
A Tabelas 91
Capítulo 1
Introdução
...
7
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O
Capítulo 2
Revisão de números 
omplexos e funções
trigonométri
as
2.1 Funções trigonométri
as
De�nição 1. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < π2 , seno de θ (sin(θ)) é de�nido pelo número real asso
iado
ao triângulo retângulo de ângulos θ rad, π2 − θ rad e π2 rad 
omo a razão do 
ateto oposto ao ângulo θ e a
hipotenusa. O 
osseno é a razão do 
ateto adja
ente ao ângulo θ e a hipotenusa.
De�nição 2. (Extensão das funções trigonométri
as)
a) Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, as funções trigonométri
as são estendidas da seguinte forma:
cos(θ) = − cos(π − θ) se θ ∈
(π
2
, π
]
sin(θ) = sin(π − θ) se θ ∈
(π
2
, π
]
cos(θ) = − cos(θ − π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
sin(θ) = − sin(θ − π) se θ ∈
[
π,
3π
2
)
cos(θ) = cos(2π − θ) se θ ∈
(
3π
2
, 2π
]
sin(θ) = − sin(2π − θ) se θ ∈
(
3π
2
2π
]
b) A extensão para todos os números reais se dá pela periodi
idade:
cos(θ + 2kπ) = cos(θ), k ∈ Z
sin(θ + 2kπ) = sin(θ), k ∈ Z
De�nição 3. Dado um número real θ, 0 ≤ θ < 2π, de�ne-se tangente de θ por
tan(θ) =
sin(θ)
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
se
ante de θ por
sec(θ) =
1
cos(θ)
, θ 6= π
2
e θ 6= 3π
2
,
9
10 CAPÍTULO 2. REVIS�O DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
osse
ante de θ por
csc(θ) =
1
sin(θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π
e 
otangente de θ por
cot(θ) =
cos(θ)
sin(θ)
, θ 6= 0 e θ 6= π.
Proposição 1. Dado x, y ∈ R, valem as seguintes a�rmações:
a)
sin2(x) + cos2(x) = 1
b)
sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)
)
sin(x− y) = sin(x) cos(y)− sin(y) cos(x)
d)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
e)
cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sin(y) sin(x)
f )
cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(y) sin(x)
g)
cos(2x) = cos2(x) − sin2(x)
h)
tan(x+ y) =
tan(x) + tan(y)
1− tan(x) tan(y) , x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
i) As séries de Taylor do seno e 
osseno são dadas por
sin(x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− · · ·
cos(x) =
∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
− · · ·
2.2 Números 
omplexos e fórmula de Euler
De�nição 4. Um número 
omplexo é de�nido pelo par ordenado (a, b) de números reais que satisfazem as
seguintes operações de adição e multipli
ação:
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)
(a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1).
O 
onjunto dos números 
omplexos é denotado por C.
2.2. NÚMEROS COMPLEXOS E FÓRMULA DE EULER 11
Observação 1. (Números 
omplexos)
a) Os números 
omplexos da forma (a, 0) são identi�
ados 
om os números reais (a, 0) ≡ a.
b) O número 
omplexo (0, 1) é 
hamado de unidade imaginária e denotada por i. Observe que i2 = −1
) Os números 
omplexos da forma z = (a, b) são rotineiramente denotados na sua forma retangular por
z = a+ bi, onde a é a parte real de z (Re (z) = a ) e b é a parte imaginária de z (Im (z) = b ).
d) A representação geométri
a do número z = a+ bi no plano 
omplexo é dada por um plano 
artesiano
onde um eixo mar
a a parte real e o outro mar
a a parte imaginária (veja �gura 2.1).
De�nição 5. Dado um número 
omplexo z = a+bi, de�nimos módulo de z (|z|) por |z| = √a2 + b2. Também
de�nimos argumento θ de z por
θ =


tan−1
(
b
a
)
se a > 0
π
2 se a = 0 e b > 0
3π
2 se a = 0 e b < 0
tan−1
(
b
a
)
+ π se a < 0
A representação geométri
a de |z| e θ está na �gura 2.1.
Im
Re
a
b
θ
|z| = √a2 + b2
Figura 2.1:
De�nição 6. A forma trigonométri
a de um número 
omplexo z = a+ bi é
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) ,
onde |z| = √a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sin(θ) é o argumento.
Exemplo 1. Para es
rever o número z = 2 − 2i na forma trigonométri
a, 
al
ulamos o módulo |z| =√
22 + (−2)2 = 2√2 e o argumento, que satisfaz sin(θ) = − 2
2
√
2
= −
√
2
2 e cos(θ) =
2
2
√
2
=
√
2
2 , ou seja,
θ = 7π4 . Logo, z = 2
√
2
(
cos
(
7π
4
)
+ i sin
(
7π
4
))
.
De�nição 7. Dado z ∈ C, de�nimos exponen
ial de z porez = 1+ z +
z2
2!
+
z3
3!
+
z4
4!
+ · · · =
∞∑
k=1
zk
k!
12 CAPÍTULO 2. REVIS�O DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Proposição 2. (Fórmula de Euler) Dado θ ∈ R, vale a identidade
eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Demonstração. De fato,
eiθ = 1 + iθ +
(iθ)2
2!
+
(iθ)3
3!
+
(iθ)4
4!
+
(iθ)5
5!
+ · · ·
= 1 + iθ − θ
2
2!
− i θ
3
3!
+
θ4
4!
+ i
θ5
5!
+ · · ·
= 1− θ
2
2!
+
θ4
4!
+ · · ·+ i
(
θ − θ
3
3!
+
θ5
5!
+ · · ·
)
= cos(θ) + i sin(θ)
De�nição 8. A forma exponen
ial de um número 
omplexo z = a+ bi é
z = |z|eiθ,
onde |z| = √a2 + b2 é o módulo de z e θ satisfazendo a = |z| cos(θ) e b = |z| sin(θ) é o argumento.
Exemplo 2. Para es
rever o número z = 2− 2i na forma exponen
ial, 
al
ulamos o módulo |z| = 2√2 e o
argumento θ = 7π4 e es
revemos z = 2
√
2ei
7pi
4
.
Problema 1. Mostre que
sin(θ) =
eiθ − e−iθ
2i
e
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
Demonstração. Observe que pela fórmula de Euler vale
eiθ = cos(θ) + i sin(θ) (2.1)
e
e−iθ = cos(θ) − i sin(θ). (2.2)
A diferença das equações (2.1) e (2.2) nos dá a expressão para o seno e a soma delas nos dá a expressão para
o 
osseno.
Exemplo 3. Para 
al
ular cos2(θ) usando as expressões do problema 1 fazemos o seguinte:
cos2(θ) =
(
eiθ + e−iθ
2
)2
=
(
eiθ
)2
+ 2e−iθe−iθ +
(
e−iθ
)2
4
=
2 + e2iθ + e−2iθ
4
=
1 + e
2iθ+e−2iθ
2
2
=
1 + cos(2θ)
2
2.3. EXERCÍCIOS 13
2.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 1 Rela
ione A e θ 
om os valores 
onhe
idos de B e C que satisfazem a identidade
A cos(x− θ) = B cos(x) + C sin(x), ∀x ∈ R
sabendo que 0 ≤ θ < 2π e A ≥ 0.
Resposta do exer
í
io 1: A =
√
B2 + C2 e θ satisfaz simultaneamente cos(θ) = B√
B2+C2
e sin(θ) =
C√
B2+C2
.
Exer
í
io 2 En
ontre A e θ 
om A ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π tal que
a) A cos(x − θ) = 3 cos(x) + 4 sin(x)
b) A cos(x − θ) = 3 cos(x) − 4 sin(x)
) A cos(x − θ) = −3 cos(x) + 4 sin(x)
d) A cos(x − θ) = −3 cos(x)− 4 sin(x)
e) A cos(x − θ) = sin(x)
f) A cos(x − θ) = 2 cos(x)
g) A cos(x − θ) = −2 cos(x)
Resposta do exer
í
io 2:
a) A = 5, θ = ϕ
b) A = 5, θ = 2π − ϕ
) A = 5, θ = π − ϕ
d) A = 5, θ = π + ϕ
e) A = 1, θ = π2
f) A = 2, θ = 0
g) A = 2. θ = π
onde ϕ = cos−1
(
3
5
)
= sin−1
(
4
5
)
= tan−1
(
4
3
) ≈ 0.9272952rad
Exer
í
io 3 Es
reva os seguintes números 
omplexos na forma exponen
ial. Cal
ule também o 
om-
plexo 
onjugado de 
ada um. Represente-os no plano 
omplexo e identi�que no grá�
o as partes real e
omplexa, o argumento e o módulo.
a) 2 + 3i
b) −2 + 3i
) 3− 4i
d) −3− 4i
e) 4
f) 5i
14 CAPÍTULO 2. REVIS�O DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
g) −5
h) −4i
Resposta do exer
í
io 3:
a)
√
13eiθ, θ = tan−1
(
3
2
)
b)
√
13eiθ, θ = π − tan−1 ( 32)
) 5eiθ, θ = 2π − tan−1 ( 43)
d) 5eiθ, θ = π + tan−1
(
4
3
)
e) 4
(
4e0
)
f) 5ei
pi
2
f) 5eiπ
g) 4ei
3pi
2
Exer
í
io 4 Es
reva os seguintes números 
omplexos na forma retangular. Represente-os no plano
omplexo e identi�que no grá�
o as partes real e 
omplexa, o argumento e o módulo.
a) e5πi
b) e3πi+2
) 4e2πi
d) 2e
pi
2 i+1e−2
e) 4e−
pi
4 i
f) 5e
pi
4 i
Resposta do exer
í
io 4:
a) −1
b) −e2
) 4
d) 2e−1i
e) 2
√
2 (1− i)
f)
5
√
2
2 (1 + i)
Exer
í
io 5 Cal
ule e es
reva na forma retangular.
a) (2− 3i)(4 + 2i)− eiπ(2i+ 1)
b)
(√
2
2 + i
√
2
2
)3
)
3−2i
−1+i
2.3. EXERCÍCIOS 15
d)
5+5i
3−4i +
20
4+3i
e)
3i30−i19
2i−1
Resposta do exer
í
io 5:
a) 15− 6i
b)
(
ei
pi
4
)3
= ei
3pi
4 = −
√
2
2 + i
√
2
2
)
−5−i
2
d) 3− i
e)
3i2−i3
2i−1 =
−3+i
2i−1 = 1 + i
Exer
í
io 6 Mostre a identidade
[cos(θ1) + i sin(θ1)] · [cos(θ2) + i sin(θ2)] = cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)
diretamente a partir das identidades trigonométri
as para soma de ângulos.
Exer
í
io 7 Use a identidade anterior e o prin
ípio da indução matemáti
a para mostrar a fórmula de
De Moîvre:
[cos(θ) + i sin(θ)]
n
= cos(nθ) + i sin(nθ)
Exer
í
io 8 Use a identidade anterior para 
al
ular a razão
1
[cos(θ) + i sin(θ)]
n = cos(nθ)− i sin(nθ)
sem usar a exponen
ial 
omplexa.
Exer
í
io 9 Repita os três problemas anteriores usando a exponen
ial 
omplexa dada por
eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Exer
í
io 10 Cal
ule
a)
cos(pi4 )+i sin(
pi
4 )
cos(pi6 )+i sin(
pi
6 )
b)
[
cos
(
π
4
)
+ i sin
(
π
4
)] [
cos
(
π
6
)
+ i sin
(
π
6
)]3
Resposta do exer
í
io 10:
a) cos
(
π
12
)
+ i sin
(
π
12
)
b) cos
(
3π
4
)
+ i sin
(
3π
4
)
16 CAPÍTULO 2. REVIS�O DE NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Exer
í
io 11 Mostre as seguintes identidades:
sin3 θ =
3
4
sin θ − 1
4
sin 3θ
cos4 θ =
1
8
cos 4θ +
1
2
cos 2θ +
3
8
Di
a: Expresse as funções trigonométri
as em termos de exponen
iais e use o bin�mio de Newton
Exer
í
io 12 Use o bin�mio de Newton para veri�
ar que as funções sinn(t) e cosn(t) podem ser
es
ritas na forma
a0
2
+
n∑
k=1
[ak cos(kt) + bk sin(kt)]
Exer
í
io 13 Deduza as seguintes identidades trigonométri
as
a) cos(x) cos(y) = cos(x+y)+cos(x−y)2
b) sin(x) sin(y) = cos(x−y)−cos(x+y)2
) sin(x) cos(y) = sin(x+y)+sin(x−y)2
Exer
í
io 14 Cal
ule as seguintes integrais onde n e m são inteiros não negativos.
a)
∫ 2π
0
sin(nx)2dx
b)
∫ 2π
0 sin(nx) sin(mx)dx, n 6= m
)
∫ 2π
0
cos(nx)2dx
d)
∫ 2π
0 cos(nx) cos(mx)dx, n 6= m
e)
∫ 2π
0 sin(nx) cos(mx)dx
Resposta do exer
í
io 14:
a) π se n > 0 e 0 se n = 0.
b) 0.
) π de n > 0 e 2π se n = 0.
d) 0
e) 0
Exer
í
io 15 Familiarize-se 
om as seguintes identidades:
a) eix = cos(x) + i sin(x).
a) e−ix = cos(x)− i sin(x).
) |eiθ| = 1, ∀θ ∈ R.
d) eiθ = e−iθ, ∀θ ∈ R.
e) |ex| = eRe (x).
f) cos(x) = e
x+e−x
2
g) sin(x) = e
x−e−x
2i
Capítulo 3
Séries de Fourier
Neste 
apítulo, apresentamos o 
on
eito de Série de Fourier de uma função periódi
a f(t) e apresentamos
exemplos de expansão. A brevidade da apresentação se deve ao fato que esperamos que o estudante já tenha
tido um 
ontato prévio 
om o 
on
eito.
3.1 Funções periódi
as
De�nição 9. Uma função f : R → R é dita periódi
a de período T (também 
hamada de T-periódi
a) se
existe uma 
onstante positiva T tal que
f(t) = f(t+ T )
para todo t ∈ R.
Observação 2. Se uma função f é periódi
a de período T , então, f também é periódi
a de período nT onde
n ∈ N., já que
f(t) = f(t+ T ) = f(t+ 2T ) = f(t+ 3T ) = · · · = f(t+ nT ).
Exemplo 4. As funções f(t) = sin(t) e g(t) = cos(t) são periódi
as de período 2π.
Exemplo 5. A função 
onstante f(t) = 1 é periódi
a e admite qualquer T > 0 
omo período.
De�nição 10. Algumas funções periódi
as admitem um menor período, 
hamado de período fundamental.
A frequên
ia fundamental é então dada por ff =
1
T e a frequên
ia angular fundamental é dada por wf =
2π
T .
Proposição 3. O período fundamental das funções f(t) = sin(wt) e g(t) = cos(wt) é 2πw .
Demonstração. Para provar isso, supondo que T é um período de f(t), isto é, f(t+ T ) = f(T ) para todo t.
Em espe
ial, para t = 0, temos:
sin(wT ) = sin(0) = 0.
Logo, wT = nπ, onde n é um natural positivo. Observe que πw não pode ser o período fundamental, pois
tomando t = π2w , temos
1 = sin
(
w
( π
2w
))
6= sin
(
w
( π
2w
+
π
w
))
= −1.
Como, por 
onstrução do 
ír
ulo trigonométi
o, temos:
sin
(
w
(
t+
2π
w
))
= sin(wt+ 2π) = sin(wt),
então
2π
w é o período fundamental. Observe quew é a frequên
ia angular fundamental. Um ra
io
ínio análogo
vale para g(t).
17
18 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Exemplo 6. Vamos 
al
ular o período fundamental da função f(t) = sin(w1t)+sin(w2t). Ambas as par
elas
que 
ompoem f(t) são periódi
as, 
om períodos T1 =
2π
w1
n e T2 =
2π
w2
m, onde n e m são inteiros positivos. A
função f(t) é periódi
a se existirem m e n tais que T1 = T2, ou seja,
2π
w1
n = 2πw2m. Isso impli
a em
w2
w1
= mn .
Essa identidade só é possível se w1 e w2 forem ra
ionais, pois m e n são inteiros positivos. Por exemplo,
i) se w1 =
2
3 e w2 =
3
2 , então
3/2
2/3 =
9
4 =
m
n e os menores inteiros positivos que satisfazem a identidade
são m = 9 e n = 4. Logo, o período fundamental da função f(t) = sin
(
2
3 t
)
+ sin
(
3
2 t
)
é
2π
2/3 · 4 = 12π e
a frequên
ia angular fundamental é
2π
12π =
1
6 ;
ii) a função f(t) = sin (2t) + sin (πt) não é periódi
a, pois não existem inteiros positivos n e m que
satisfazem
2
π =
m
n .
Teorema 1. Se f(t) é uma função integrável T -periódi
a, então o valor da integral de�nida dentro de um
período não depende do ponto ini
ial, isto é:
∫ x+T
x
f(t)dt
não depende do valor x. Em espe
ial, vale a identidade:
∫ T
0
f(t)dt =
∫ T/2
−T/2
f(t)dt.
Demonstração. Primeiro, es
revemos
x
T = n+α, isto é, 
omo um número inteiro n mais uma parte fra
ionária
α ∈ [0, 1) e 
on
luímos que podemos es
rever x = nT + y, onde y = αT , isto é 0 ≤ y < T .
I :=
∫ x+T
x
f(t)dt =
∫ (n+1)T+y
nT+y
f(t)dt
=
∫ (n+1)T
nT+y
f(t)dt+
∫ (n+1)T+y
(n+1)T
f(t)dt
Inserimos a mudança de variáveis t = nT + u e t = (n+ 1)T + v:
I =
∫ T
y
f(u+ nT )du+
∫ y
0
f(v + (n+ 1)T )dv
Da periodi
idade, temos que f(u) = f(u+ nT ) e f(v) = f(v + (n+ 1)T ):
I =
∫ T
y
f(u)du+
∫ y
0
f(v)dv
=
∫ y
0
f(v)dv +
∫ T
y
f(u)du
Como u e v são variáveis mudas, as integrais envolvidas podem ser es
ritas em termos de t da seguinte forma:
I =
∫ y
0
f(t)dt+
∫ T
y
f(t)dt
=
∫ T
0
f(t)dt
3.2. SÉRIES DE FOURIER 19
3.2 Séries de Fourier
De�nição 11. Seja T > 0, de�nimos polin�mio trigonométi
o de grau N uma função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
N∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sin(wnt)]
onde wn =
2πn
T .
De�nição 12. Seja T > 0, de�nimos série trigonométri
a toda função do tipo:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sin(wnt)]
onde wn =
2πn
T .
Problema 2. Mostre que T é um período para séries e polin�mios trigonométri
os a
ima de�nidos.
Teorema 2 (Relações de ortogonalidade). As funções trigonométri
as admitem as seguintes relações de
ortogonalidade: ∫ T
0
sin
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
dt =
{
0, n 6= m
T
2 , n = m 6= 0
(3.1a)
∫ T
0
cos
(
2πnt
T
)
cos
(
2πmt
T
)
dt =


0, n 6= m
T
2 , n = m 6= 0
T, n = m = 0
(3.1b)
∫ T
0
cos
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
dt = 0 (3.1
)
aqui n e m são inteiros não negativos.
Demonstração. Para obter (3.1a), usamos a seguinte identidade trigonométri
a:
sin(a) sin(b) =
cos(a− b)− cos(a+ b)
2
om a = 2πntT e b =
2πmt
T , isto é:
sin
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
− cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
Se n = m 6= 0, temos:∫ T
0
sin
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1− cos
(
4πnt
T
)]
dt =
T
2
Se n 6= m, temos:
∫ T
0
sin
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
cos
(
2π(n−m)t
T
)
− cos
(
2π(n+m)t
T
)]
dt = 0
Para obter (3.1b), usamos a seguinte identidade trigonométri
a:
cos(a) cos(b) =
cos(a− b) + cos(a+ b)
2
20 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
om a = 2πntT e b =
2πmt
T , isto é:
cos
(
2πnt
T
)
cos
(
2πmt
T
)
=
cos
(
2π(n−m)t
T
)
+ cos
(
2π(n+m)t
T
)
2
Se n = m 6= 0, temos:∫ T
0
cos
(
2πnt
T
)
cos
(
2πmt
T
)
dt =
1
2
∫ T
0
[
1 + cos
(
4πnt
T
)]
dt =
T
2
Se n 6= m, temos: Caso n = m = 0, então cos ( 2πntT ) = 1, isto é:∫ T
0
cos
(
2πnt
T
)
cos
(
2πmt
T
)
dt =
∫ T
0
1dt = T
Para obter (3.1
), usamos a seguinte identidade trigonométri
a:
cos(a) sin(b) =
sin(a+ b) + sin(a− b)
2
om a = 2πntT e b =
2πmt
T , isto é:
cos
(
2πnt
T
)
sin
(
2πmt
T
)
=
sin
(
2π(n+m)t
T
)
+ sin
(
2π(n−m)t
T
)
2
E integrando 
onforme feito para os 
asos anteriores, temos o resultado.
Teorema 3. Seja f(t) uma função de�nida por uma série trigonométri
a da forma
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[an cos(wnt) + bn sin(wnt)] (3.2)
Então sob determinadas hipóteses de 
onvergên
ia, os 
oe�
ientes an e bn são dados pelas seguintes
expressões:
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt (3.3a)
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt (3.3b)
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sin(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sin(wnt)dt (3.3
)
onde wn =
2πnt
T .
Demonstração. Multipli
amos a equação (3.2) por cos(wmt) e obtemos
cos(wmt)f(t) =
a0
2
cos(wmt) +
∞∑
n=1
[an cos(wnt) cos(wmt) + bn sin(wnt) cos(wmt)] .
Seguimos integrando em [0, T ] e temos:
∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt =
∫ T
0
a0
2
cos(wmt)dt+
∞∑
n=1
[
an
∫ T
0
cos(wnt) cos(wmt)dt+ bn
∫ T
0
sin(wnt) cos(wmt)dt
]
.
3.2. SÉRIES DE FOURIER 21
Pelo teorema 2, se m 6= n, as par
elas do lado direito são nulas. A úni
a par
ela não nula é aquela onde
m = n. Supondo m = n 6= 0, temos: ∫ T
0
cos(wmt)f(t)dt = am
T
2
,
onde obtemos a expressão (3.3b). Supondo m = n = 0, obtemos a expressão (3.3a). Um argumento análoga
para 
al
ular bn.
Observação 3. Observe que 
omo cos(0) = 1, a fórmula de an 
om n = 0 re
ai na fórmula para a0.
De�nição 13. Seja f(t) uma função T -periódi
a integrável em [0, T ]. De�nimos 
omo a série de Fourier
asso
iada à função f , a série trigonométri
a 
ujos 
oe�
ientes são dados por (3.3).
Observe que a série de Fourier de uma função f(t) não é ne
essariamente igual a função f(t). De fato,
não se pode se quer garantir que a série de Fourier asso
iada a uma função integrável seja 
onvergente.
Estas questões teóri
as fogem do es
opo do nosso 
urso e são normalmente tratadas em 
ursos de análise
matemáti
a (veja, por exemplo, [1℄, [4℄ e [3℄).
Teorema 4. Seja f uma função periódi
a de período T , suave por partes e des
ontínua no máximo em um
número �nito de saltos dentro de 
ada intervalo, então a série de Fourier 
onverge em 
ada ponto t para
f(t+) + f(t−)
2
,
onde f(t+) e f(t−) são os limites laterais à direita e à esquerda, respe
tivamente. Observe que nos pontos t
onde f(t) é 
ontínua, então f(t+) = f(t−) e a série de Fourier 
onverge para f(t).
Exemplo 7. Seja f(t) uma função dada por
f(t) = |t|, −1 ≤ t < 1
f(t+ 2) = f(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e 
ontínua em todos os pontos. Portanto se apli
a o teorema 4. Observamos
1
1 2 3 4−1
y = f(t)
t
que essa é uma função par, ou seja, f(t) = f(−t). A �m de explorar essa simetria, utilisaremos as fórmulas
(3.3) envolvendo integrais simétri
as, isto é,
a0 =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sin(wnt)dt
22 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
onde T = 2 e wn =
2πn
T = πn. Logo,
a0 =
∫ 1
−1
|t|dt = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an =
∫ 1
−1
|t| cos(πnt)dt = 2
∫ 1
0
t cos(πnt)dt = 2
[
t sin(πnt)
πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sin(πnt)πn
dt
= 2
[
t sin(πnt)
πn
+
cos(πnt)
π2n2
]1
0
= 2
(−1)n − 1
π2n2
bn =
∫ 1
−1
|t| sin(πnt)dt = 0.
onde se usou que |t|, |t| cos(πnt) são funções pares em t e |t| sin(πnt) é ímpar em t. Assim, temos
f(t) =
1
2
− 4
π2
(
cos(πt) +
1
32
cos(3πt) +
1
52
cos(5πt) + · · ·
)
Observe que, quando t = 0, obtemos 
omo subproduto da série de Fourier da f(t) a soma da seguinte série
numéri
a:
1 +
1
32
+
1
52
+ · · · = π
2
8
. (3.4)
A �gura 3.1 apresenta os grá�
os da série que representa a função f(t) 
om um termo, dois termos e três
termos.
1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.1: Grá�
os de f0(t) =
1
2 (azul), f1(t) =
1
2− 4π2 cos(πt) (verde) e f2(t) = 12− 4π2
(
cos(πt) + 132 cos(3πt)
)
(vermelho).
Exemplo 8. Seja g(t) uma função dada por
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t+ 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e 
ontínua em todos os pontos ex
eto por saltos nos inteiros, onde a função
vale a média aritméti
a dos limites laterais. Portanto se apli
a o teorema 4.
Observamos que essa é uma função ímpar, ou seja, f(t) = −f(−t). Novamente, utilisaremos as fórmulas
(3.3) envolvendo integrais simétri
as:
a0 =
∫ 1
−1
g(t)dt = 0
3.2. SÉRIES DE FOURIER 23
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
an =
∫ 1
−1
g(t) cos(πnt)dt = 0
bn =
∫ 1
−1
g(t) sin(πnt)dt = 2
∫ 1
0
g(t) sin(πnt)dt = 2
∫ 1
0
sin(πnt)dt
=
2
πn
[− cos(πnt)]10 = 2
1− (−1)n)
πn
Logo,
g(t) =
4
π
(
sin(πt) +
1
3
sin(3πt) +
1
5
sin(5πt) + · · ·
)
.
A �gura 3.2 apresenta os grá�
os da série que representa a função g(t) 
om um termo, dois termos, três
termos e quatro termos.
1
−1
1 2 3 4−1
t
Figura 3.2: Grá�
os de g0(t) =
4
π sin(πt) (azul), g1(t) =
4
π
(
sin(πt) + 13 sin(3πt)
)
(verde), g2(t) = g(t) =
4
π
(
sin(πt) + 13 sin(3πt) +
1
5 sin(5πt)
)
(vermelho) e g3(t) = g(t) =
4
π
(
sin(πt) + 13 sin(3πt) +
1
5 sin(5πt) +
1
7 sin(7πt)
)
(preto).
24 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
Exemplo 9. Seja h(t) uma função dada por
f(t) = t, 0 < t < 1
f(t) =
1
2
, t = 1
f(t+ 1) = f(t), ∀t ∈ R.
Essa função é suave por partes e 
ontínua ex
eto por salto nos inteiros onde h(t) assume o valor médio dos
limites laterais. Portanto se apli
a o teorema 4.
1
1 2 3 4−1
y = h(t)
t
Utilisaremos as fórmulas (3.3) envolvendo integrais no intervalo [0, 1], isto é,
a0 = 2
∫ 1
0
tdt = 2
[
t2
2
]1
0
= 1
an = 2
∫ 1
0
t cos(2πnt)dt = = 2
[
t sin(2πnt)
2πn
]1
0
− 2
∫ 1
0
sin(2πnt)
2πn
dt
= 2
[
t sin(2πnt)
2πn
+
cos(2πnt)
4π2n2
]1
0
= 0
bn = 2
∫ 1
0
t sin(2πnt)dt = = 2
[
− t cos(2πnt)
2πn
]1
0
+ 2
∫ 1
0
cos(2πnt)
2πn
dt
= 2
[
− t cos(2πnt)
2πn
+
sin(2πnt)
4π2n2
]1
0
= − 1
πn
Logo,
h(t) =
1
2
− 1
π
(
sin(2πt) +
1
2
sin(4πt) +
1
3
sin(6πt) + · · ·
)
.
Observação 4. Os 
oe�
iente bn da série de Fourier de uma função par são nulos bem 
omo os 
oe�
iente
an da série de Fourier de uma função ímpar também o são.
Problema 3. Demonstre a observação 4.
3.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 16 Verique as seguintes a�rmações são verdadeiras e justi�que:
1. A soma de funções periódi
as é uma função periódi
a.
2. Toda função periódi
a possui uma representação em série de Fourier.
3.3. EXERCÍCIOS 25
3. Séries de Fourier 
onvergentes são 
ontínuas.
4. Seja f(x) uma função real ímpar, então f(0) = 0.
5. Seja f(x) uma função real par, então f(0) = 0.
6. Seja f(x) uma função real ímpar diferen
iável, então f ′(0) = 0.
7. Seja f(x) uma função real par diferen
iável, então f ′(0) = 0.
8. Seja f(x) uma função real par diferen
iável, então f ′(x) é uma função ímpar.
9. Seja f(x) uma função real ímpar diferen
iável, então f ′(x) é uma função par.
10. Seja f(x) uma função real par integrável, então
∫ x
0
f(s)ds é uma função ímpar.
11. Seja f(x) uma função real ímpar integrável, então
∫ x
0 f(s)ds é uma função par.
12. A úni
a função real par e ímpar é a função f(x) = 0.
13. Toda função real pode ser es
rita de forma úni
a 
omo a soma de uma função ímpar e outra par.
Resposta do exer
í
io 16: São verdadeiras: 4, 7, 8,9,10,11,12 e 13.
Exer
í
io 17 Identi�que a paridade das sequintes funções. Verique quais delas são periódi
as.
1. f(x) = sin(x2).
2. f(x) = sin2(x).
3. f(x) = cos(x) + esin(x)
4. f(x) = cos(πx) + esin(x)
5. f(x) = 2
6. f(x) = (sin(x) + cos(x) + 1)5
7. f(x) = (cos(2x) + 1)7
8. f(x) = sin2(πx) + cos(πx)
9. f(x) = sin(x) cos(x)
10. f(x) = sin(1 + cos(x))
Resposta do exer
í
io 17: São pares: 1,2,5,7, 8 e 10. É ímpar: 9. São periódi
as: 2,3,5,6,7,8, 9 e 10.
Exer
í
io 18 Seja f(t) um função periódi
a integrável de período T e F (t) =
∫ t
0 f(τ)dτ . En
ontre
uma 
ondição ne
essária e su�
iente para que F (t) seja periódi
a de período T .
Resposta do exer
í
io 18: A 
ondição é
∫ T
0 f(τ)dτ = 0. Lembre-se que vo
ê deve veri�
ar que esta
ondição é ne
essária e su�
iente.
Exer
í
io 19 En
ontre a frequên
ia angular fundamental das seguintes funções periódi
as:
a) f(t) = sin(πt)
b) cos2(πt)
) cos3(πt)
26 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE FOURIER
d) ecos(t)
e) cos(2t) + cos(4t)
f) cos(2t) + sin(3t)
h) cos(6t) + sin(10t) + sin(15t)
i) 2 + cos(3t)
Resposta do exer
í
io 19: π, 2π, π, 1, 2, 1, 1, 3
Exer
í
io 20 Considere a função periódi
a de período T dada na região (−T/2, T/2) por
f(t) =


0, −T/2 ≤ t < −d/2,
1, −d/2 ≤ t ≤ d/2,
0, d/2 < t ≤ T/2.
onde d é uma 
onstante entre 0 e T .
Estude a paridade desta função. En
ontre sua representação em série de Fourier.
Resposta do exer
í
io 20:
a0
2
=
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt =
1
T
∫ d/2
−d/2
dt =
d
T
an =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ d/2
−d/2
cos(wnt)dt =
2
T
sin(wnt)
wn
∣∣∣∣d/2
−d/2
=
4
wnT
sin(wnd/2)
Como wn =
2πn
T , temos an =
2
πn sin
(
πn dT
)
e, portanto
f(t) =
d
T
+
∞∑
n=1
an cos(wnt) =
d
T
+
2
π
∞∑
n=1
1
n
sin
(
πnd
T
)
cos(wnt)
Exer
í
io 21 Cal
ule a soma da série
f(t) =
∞∑
n=0
bn sin(nt)
onde 0 < b < 1 e mostre que
f(t) =
b sin(t)
1− 2b cos(t) + b2 .
Com base neste resultado, obtenha o valor da integral de�nida dada por∫ 2π
0
b sin(t) sin(kt)
1− 2b cos(t) + b2dt.
Resposta do exer
í
io 21: Di
a: Lembre que sin(x) = e
ix−e−ix
2i
Exer
í
io 22 Considere a função periódi
a de período T dada para −T/2 < t < T/2 por
f(t) =
{
t, |t| ≤ d/2,
0, d/2 < |t| < T/2,
onde 0 < d ≤ T . Cal
ule sua representação em série de Fourier. Estude o 
aso parti
ular d = T . Di
a:∫
u cos(u)du = cos(u) + u sin(u) + C e
∫
u sin(u)du = sin(u)− u cos(u) + C
3.3. EXERCÍCIOS 27
Resposta do exer
í
io 22: bn =
4
T
∫ d/2
0
t sin(wnt)dt =
T sin( pidnT )−dnπ cos(pidnT )
π2n2
Exer
í
io 23 Tra
e o grá�
o e obtenha a representação em série de Fourier das seguintes funções:
a) f(t) = | sin(πt)|
b) g(t) =
∑∞
n=−∞ δ(t− nT ) onde T > 0.
Resposta do exer
í
io 23:
a) f(t) = 2π − 4π
∑∞
n=1
cos(2nπt)
4n2−1
1
1 2 3 4−1
y = f(t)
t
b) g(t) = 1T +
2
T
∑∞
n=1 cos
(
2πn
T t
)
1
y = g(t)
t
−T T 2T 3T
Exer
í
io 24 Use o item a do exer
í
io anterior para obter uma representação em Série de Fourier da
função
h(t) = | cos(πt)|
.
Resposta do exer
í
io 24:
h(t) = f
(
1
2
− t
)
=
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
cos (nπ − 2nπt)
4n2 − 1 =
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
(−1)n cos (2nπt)
4n2 − 1
28 CAPÍTULO3. SÉRIES DE FOURIER
Capítulo 4
Representações da série de Fourier e
diagramas de espe
tro
No 
apítulo anterior, vimos que uma função periódi
a pode ser representa 
omo uma série trigonométri
a. No
entanto, sobretudo em apli
ações em Físi
a e Engenharia, a série de Fourier é apresentada em outras formas,
a forma harm�ni
a (ou amplitude-fase) e a forma exponen
ial. Neste 
apítulo veremos 
omo 
onstruir estas
representações e introduziremos o 
on
eito de diagramas de espe
tro de uma função periódi
a.
4.1 Forma harm�ni
a
A forma harm�ni
a, também 
hamada de forma amplitude-fase, da série de Fourier de uma função f(t) é
dada 
onforme a seguir:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt− θn),
onde wn =
2πn
T , An são 
onstantes não negativas 
hamadas de amplitude e θn são ângulos de fase. Para
rela
ionar esta representação 
om a forma trigonométri
a, usamos a identidade trigonométri
a
cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b),
om a = wnt e b = θn. Assim temos:
f(t) = A0 +
∞∑
n=1
An cos(wnt− θn)
= A0 +
∞∑
n=1
An [cos(wnt) cos(θn) + sin(wnt) sin(θn)]
= A0︸︷︷︸
a0/2
+
∞∑
n=1
[An cos(θn)︸ ︷︷ ︸
an
cos(wnt) +An sin(θn)︸ ︷︷ ︸
bn
sin(wnt)]
Comparando os termos da representação trigonométri
a, temos que:
a0
2
= A0
an = An cos(θn)
bn = An sin(θn)
Observe que
a2n + b
2
n = A
2
n
29
30 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
e, 
omo An ≥ 0 por hipótese, temos que
An =
√
a2n + b
2
n.
Também temos
cos(θn) =
an√
a2n + b
2
n
sin(θn) =
bn√
a2n + b
2
n
Observe que sempre é possível 
onverter uma forma na outra e os ângulos de fase estão uni
amente
de�nidos em 
ada volta do 
i
lo trigonométri
o.
Exemplo 10. Considere um função periódi
a (T = 4) dada pelo grá�
o
1
−1
1 2 3 4 5 6−1
y = f(t)
t
Os 
oe�
ientes de Fourier são dados por
a0
2
=
1
4
∫ 4
0
f(t)dt =
1
4
∫ 1
0
1dt =
1
4
an =
2
4
∫ 4
0
f(t) cos(wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
cos
(πn
2
t
)
dt =
1
πn
[
sin
(πn
2
t
)]1
0
=


0, n par
1
πn (−1)
n−1
2 n ímpar
bn =
2
4
∫ 4
0
f(t) sin(wnt)dt =
1
2
∫ 1
0
sin
(πn
2
t
)
dt =
1
πn
[
− cos
(πn
2
t
)]1
0
=
{ 1
πn , n ímpar
1
πn
(
1− (−1)n2 ) n par
Para es
rever a forma harm�ni
a da série de Fourier da função f(t) 
al
ulamos as amplitudes An e as
fases θn. Para n = 0, temos a0 =
1
2 e, portanto, A0 =
a0
2 =
1
4 . Para n = 1, temos a1 = b1 =
1
π e,
onsequentemente, A1 =
√
1
π2 +
1
π2 =
√
2
π e θ1 =
π
4 . Os 
ál
ulos foram repetidos de forma análoga para
n = 2, 3, 4 e 5 e apresentados na tabela 4.1. Portanto,
f(t) =
1
4
+
1
π
[√
2 cos
(π
2
t− π
4
)
+ cos
(
πt− π
2
)
+
√
2
3
cos
(
3π
2
t− 3π
4
)
+
√
2
5
cos
(
5π
2
t− π
4
)
+ · · ·
]
4.2 Forma exponen
ial
A forma exponen
ial de uma série de Fourier é obtida quando se substiuem as funções trigonométri
as
sin(wnt) e cos(wnt) por suas representações em termos de exponen
iais 
omplexos, isto é
cos(wnt) =
eiwnt + e−iwnt
2
e sin(wnt) =
eiwnt − e−iwnt
2i
4.2. FORMA EXPONENCIAL 31
n an bn An θn
0
1
2 0
1
4
1
1
π
1
π
√
2
π
π
4
2 0 1π
1
π
π
2
3 − 13π 13π
√
2
3π
3π
4
4 0 0 0
5
1
5π
1
5π
√
2
5π
π
4
Tabela 4.1:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos(wnt) +
∞∑
n=1
bn sin(wnt)
=
a0
2
+
∞∑
n=1
an
(
eiwnt + e−iwnt
2
)
+
∞∑
n=1
bn
(
eiwnt + e−iwnt
2i
)
Reagrupando os termos e usando o fato que
1
i = −i, temos:
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an − ibn
2
eiwnt +
∞∑
n=1
an + ibn
2
e−iwnt (4.1)
Agora observamos que as de�nições 3.3 dadas por
a0 =
2
T
∫ T
0
f(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t)dt
an =
2
T
∫ T
0
f(t) cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(wnt)dt
bn =
2
T
∫ T
0
f(t) sin(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sin(wnt)dt
Embora estas expressões estejam de�nadas apenas para n > 0, elas fazem sentidos para qualquer n inteiro.
Neste 
aso, valem as seguintes identidades:
a−n = an, b−n = −bn b0 = 0.
onde se usou que w−n =
2π(−n)
T = − 2πnT = −wn e a paridade das funções 
osseno e seno.
Estendendo estas de�nições para qualquer inteiro, introduzimos os 
oe�
ientes Cn dados por:
Cn =
an − ibn
2
(4.2)
32 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
Observe que estes 
oe�
ientes estão de�nidos para para número inteiro n, assim temos:
C0 =
a0 − ib0
2
=
a0
2
e
C−n =
a−n − ib−n
2
=
an + ibn
2
Substituindo estas expressões para C0, Cn e C−n em (4.1), obtemos:
f(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cne
iwnt +
∞∑
n=1
C−ne−iwnt
Es
revemos agora esta última expressão em um úni
o somatório:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt
(4.3)
onde se usou que w−n =
2π(−n)
T = − 2πnT = −wn
Observamos também que os 
oe�
ientes Cn podem ser es
ritos das seguinte forma mais enxuta:
Cn =
an − ibn
2
=
1
T
∫ T
0
f(t) [cos(wnt)− i sin(wnt)] dt
=
1
T
∫ T
0
f(t)e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)e−iwntdt
Exemplo 11. A função f(t) dada no exemplo 7 pode ser es
rita na forma exponen
ial 
om os seguintes
oe�
ientes:
C0 =
a0
2
=
1
2
Cn =
an − ibn
2
=
2 (−1)
n−1
π2n2 + 0
2
=
(−1)n − 1
π2n2
, n 6= 0
Exemplo 12. A função g(t),
g(t) =
4
π
(
sin(πt) +
1
3
sin(3πt) +
1
5
sin(5πt) + · · ·
)
,
al
ulada no exemplo 8 pode ser es
rita na forma exponen
ial 
om os seguintes 
oe�
ientes:
C0 =
a0
2
= 0
e
Cn =
an − ibn
2
=
0− i2 1−(−1)nπn
2
= i
(−1)n − 1
πn
, n 6= 0.
Logo,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt − · · · ,
4.3. DIAGRAMAS DE ESPECTRO 33
4.3 Diagramas de espe
tro
Diagramas espe
tro são representações grá�
as dos 
oe�
ientes de Fourier Cn asso
iados a uma função pe-
riódi
a f(t). Como os 
oe�
ientes Cn são números 
omplexos, é 
omum representá-los na forma de módulo
e fase, isto é:
Cn = |Cn|eiφn .
O ângulo de fase assim de�nido 
oin
ide 
om o 
on
eito de argumento do número Cn.
Exemplo 13. A função
f(t) = −1 + 2 cos(t) + 4 sin(2t)
é periódi
a 
om periodo fundamental 2π e pode ser es
rita na forma exponen
ial da seguinte forma:
f(t) = −1 + 2
(
eit + e−it
2
)
+ 4
(
e2it − e−2it
2i
)
= 2ie−2it + e−it − 1 + eit − 2ie2it
Assim, identi�
amos 
in
o 
oe�
ientes não nulos:
C−2 = 2i = 2e
ipi
2 =⇒ |C−2| = 2, φ−2 = π2
C−1 = 1 =⇒ |C−1| = 1, φ−1 = 0
C0 = −1 = 1eπ =⇒ |C0| = 1, φ0 = π
C1 = 1 =⇒ |C1| = 1, φ1 = 0
C2 = −2i = 2e−ipi2 =⇒ |C2| = 2, φ2 = −π2
Os digramas de espe
tro de amplitude e fase são dados a seguir:
1
2
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
1 2 3−1−2−3
φn
wn
π
2
−π2
π
−π
Exemplo 14. As primeiras raias do digrama de espe
tro da função do exemplo 12,
g(t) = · · ·+ 2i
5π
e−5iπt +
2i
3π
e−3iπt +
2i
π
e−iπt − 2i
π
eiπt − 2i
3π
e3iπt − 2i
5π
e5iπt − · · · ,
são dados na �gura a seguir
34 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π
2
π
|Cn|
wn
−5π −4π −3π −2π −π
π 2π 3π 4π 5π
φn
wn
π
2
−π2
π
−π
4.4 Exer
í
ios
Exer
í
io 25 Esbo
e os diagramas de amplitude e fase do espe
tro das seguintes funções periódi
as:
a) f(t) = sin(t)
b) f(t) = 3 cos(πt)
) f(t) = 1 + 4 cos(πt)
d) f(t) = 2 cos2(2πt)
e) f(t) = 8 sin3(2πt) + 2 cos(6πt)
f) f(t) = sin(2πt)+ cos(3πt)
Observação: Considere a fase φ no intervalo −π ≤ φ ≤ π
Resposta do exer
í
io 25:
a) Observe que
sin(t) =
1
2i
(
eit − e−it) = i
2
e−it − i
2
eit
e a frequên
ia angular fundamental é wF = 1. Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.1.
b) Observe que
3 cos(πt) =
3
2
(
eiπt + e−iπt
)
=
3
2
e−iπt +
3
2
eiπt
e a frequên
ia angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.2.
4.4. EXERCÍCIOS 35
1
2
1 2 3−1−2−3
|Cn|
wn
1 2 3−1−2−3
φn
wn
π
−π
Figura 4.1:
1
2
|Cn|
wn−2π −π π 2π
φn
wn
π
−π
−2π −π π 2π
Figura 4.2:
) Observe que
1 + 4 cos(πt) = 1 + 2
(
eiπt + e−iπt
)
= 1 + 2e−iπt + 2eiπt
e a frequên
ia angular fundamental é wF = π. Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.3.
36 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
1
2
|Cn|
wn−2π −π π 2π
φn
wn
π
−π
−2π −π π 2π
Figura 4.3:
d) Observe que
2 cos2(2πt) = 2
(
e2iπt + e−2iπt
2
)2
=
e−4iπt + 2 + e4iπt
2
=
1
2
e−4iπt + 1 +
1
2
e4iπt
e a frequên
ia angular fundamental é wF = 4π. Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.4.
1
|Cn|
wn−4π −2π 2π 4π
φn
wn
π
−π
−4π −2π 2π 4π
Figura 4.4:
4.4. EXERCÍCIOS 37
e) Observe que
8 sin3(2πt) + 2 cos(6πt) = 8
(
e2iπt − e−2iπt
2i
)3
+ 2
(
e6iπt + e−6iπt
2
)
= (i + 1)e6iπt − 3ie2iπt + 3ie−2iπt + (1− i)e−6iπt
=
√
2e
pi
4 ie6iπt + 3e−
pi
2 ie2iπt + 3e
pi
2 ie−2iπt +
√
2e−
pi
4 ie−6iπt
e a frequên
ia angular fundamental é wF = 2π. Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.5.
1
2
3
|Cn|
wn−6π −4π −2π 2π 4π 6π
φn
wn
π
−π
−6π
−4π −2π
2π
4π 6π
Figura 4.5:
f) Observe que
sin(2πt) + cos(3πt) =
(
e2iπt − e−2iπt
2i
)
+
(
e3iπt + e−3iπt
2
)
= − i
2
e2iπt +
i
2
e−2iπt +
1
2
e3iπt +
1
2
e−3iπt
e a frequên
ia angular fundamental é wF = π (ver exer
í
io 19 na página 25). Veja os diagramas de
espe
tro na �gura 4.6.
Exer
í
io 26 Esbo
e os diagramas de amplitude e fase do espe
tro, indi
ando pelo menos as 
in
o
primeiras raias positivas e negativas, das seguintes funções periódi
as:
a) f(t) =
∑∞
n=−∞
eipint
n2+1
b) f(t) =
∑∞
n=1
sin(nt)
n2
38 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
1
|Cn|
wn−3π −2π −π π 2π 3π
φn
wn
π
−π
−3π
−2π −π
π
2π 3π
Figura 4.6:
Resposta do exer
í
io 26:
a) Observe que f(t) já está na forma exponen
ial e a frequên
ia fundamental é wF = π. Também temos:
n ωn |Cn| φn
−5 −5π 1(−5)2+1 = 126 0
−4 −4π 1(−4)2+1 = 117 0
−3 −3π 1(−3)2+1 = 110 0
−2 −2π 1(−2)2+1 = 15 0
−1 −π 1(−1)2+1 = 12 0
0 0 1(0)2+1 = 1 0
1 1π 112+1 =
1
2 0
2 2π 122+1 =
1
5 0
3 3π 132+1 =
1
10 0
4 4π 142+1 =
1
17 0
5 5π 152+1 =
1
26 0
Veja o diagrama de amplitude na �gura 4.7.
b) Começamos es
revendo a função f(t) =
∑∞
n=1
sin(nt)
n2 na forma exponen
ial:
∞∑
n=1
sin(nt)
n2
=
∞∑
n=1
1
n2
(
eint − e−int
2i
)
=
∞∑
n=1
1
2in2
eint +
∞∑
n=1
(
− 1
2in2
e−int
)
=
∞∑
n=1
(
− i
2n2
eint
)
+
−∞∑
n=−1
i
2n2
eint.
4.4. EXERCÍCIOS 39
1
|Cn|
wn−5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π
Figura 4.7:
A frequên
ia angular fundamental é wF = 1 e as amplitudes e fases são dados na tabela abaixo.
ωn = n |Cn| φn
−5 150 π2
−4 132 π2
−3 118 π2
−2 18 π2
−1 12 π2
0 0 −
1 12 −π2
2 18 −π2
3 118 −π2
4 132 −π2
5 150 −π2
Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.8.
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
|Cn|
wn
1
2
φn
wn
1 2 3 4 5
−1−2−3−4−5
π
−π
Figura 4.8:
40 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
Exer
í
io 27 Esbo
e os diagramas de espe
tro das séries de Fourier dos problemas 23 e 24 da página
27.
Resposta do exer
í
io 27:
• problema 23, a)
f(t) =
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
cos(2nπt)
4n2 − 1
=
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
1
4n2 − 1
(
e2nπit + e−2nπit
2
)
=
2
π
−
∞∑
n=1
2
π(4n2 − 1)e
2nπit −
−∞∑
n=−1
2
π(4n2 − 1)e
2nπit
Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.9.
|Cn|
wn
2
π
2π 4π 6π−2π−4π−6π
φn
wn
2π 4π 6π
−2π−4π−6π
π
−π
Figura 4.9:
• problema 24
h(t) =
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
(−1)n cos(2nπt)
4n2 − 1
=
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
(−1)n
4n2 − 1
(
e2nπit + e−2nπit
2
)
=
2
π
−
∞∑
n=1
2(−1)n
π(4n2 − 1)e
2nπit −
−∞∑
n=−1
2(−1)n
π(4n2 − 1)e
2nπit
Veja os diagramas de espe
tro na �gura 4.10.
4.4. EXERCÍCIOS 41
|Cn|
wn
2
π
2π 4π 6π−2π−4π−6π
φn
wn
2π 4π 6π−2π−4π−6π
π
−π
Figura 4.10:
Exer
í
io 28 Mostre que se f(t) é uma função real, então C−n = Cn. Em espe
ial, |C−n| = |Cn|.
Exer
í
io 29 Mostre que se f(t) é um deslo
amento no tempo de g(t), isto é, f(t) = g(t− k), então os
oe�
iente de Fourier Cfn da função f e C
g
n da função g são iguais em módulo e, portanto, possuem o mesmo
diagrama de espe
tro de amplitude.
42 CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
Capítulo 5
Propriedades das Séries de Fourier
5.1 Teorema de Parseval
De�nição 14. De�ne-se a potên
ia média de um função periódi
a f(t) 
omo
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt
Exemplo 15. A potên
ia média da função f(t) = A cos(wt) é dada por
P f =
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt
=
1
T
∫ T
0
A2 cos
(
2π
T
t
)2
dt
=
A2
T
∫ T
0
(
cos
(
4π
T t
)
+ 1
2
)
dt
=
A2
2
onde se usou que w = 2πT e identidade trigonométri
a dada por:
cos(x) =
(
eix + e−ix
2
)
=
e2ix + 2 + e−2ix
4
=
cos(2x) + 1
2
.
Exemplo 16. Seja V (t) = A cos(wt) uma fonte de tensão 
om frequên
ia w = 60Hz = 120πrad/s ligado a
um resistor de resitên
ia RΩ. A potên
ia no resistor é
P (t) =
V (t)2
R
e a potên
ia média Pm é
Pm =
1
T
∫ T
0
P (t)dt =
1
T
∫ T
0
V (t)2
R
dt,
onde T = 160s. Por outro lado, a potên
ia média é 
al
ulada em termos da tensão média por
Pm =
V 2m
R
,
ou seja,
V 2m =
1
T
∫ T
0
V (t)2dt. (5.1)
43
44 CAPÍTULO 5. PROPRIEDADES DAS SÉRIES DE FOURIER
O exemplo 15 nos dá o valor da potên
ia média do sinal V (t) = A cos(wt). Logo,
Vm =
A√
2
.
Se Vm = 127V , então a amplitude do sinal é aproximadamente A ≈ 180.
Observação 5. Na expressão (5.1), Vm também é 
hamado de valor RMS do sinal v(t) (Root mean square):
VRMS =
√
1
T
∫ T
0
V (t)2dt.
Teorema 5 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função periódi
a representável por uma série de Fourier,
então vale a seguinte identidade.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
|Cn|2. (5.2)
Demonstração.
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt = 1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt
Como f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt
, temos
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cneiwnt =
∞∑
n=−∞
Cn eiwnt =
∞∑
n=−∞
Cne
−iwnt
Substituindo esta expressão para f(t) na de�nição de potên
ia média, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt = 1
T
∫ T
0
f(t)f(t)dt =
1
T
∫ T
0
f(t)
[ ∞∑
n=−∞
Cne
−iwnt
]
dt
=
1
T
∞∑
n=−∞
[
Cn
∫ T
0
f(t)e−iwntdt
]
Como Cn =
1
T
∫ T
0 f(t)e
−iwntdt, temos:
1
T
∫ T
0
|f(t)|2dt =
∞∑
n=−∞
CnCn =
∞∑
n=−∞
|Cn|2
Exemplo 17. Seja g(t) um função dada no exemplo 8, isto é,
g(t) = −1, −1 < t < 0
g(t) = 0, t = 0 ou t = 1
g(t) = 1, 0 < t < 1
g(t+ 2) = g(t), ∀t ∈ R.
Vimos no exemplo 8 que sua expansão em série de Fourie é da forma:
g(t) =
4
π
(
sin(πt) +
1
3
sin(3πt) +
1
5
sin(5πt) + · · ·
)
.
5.2.FENÔMENO DE GIBBS 45
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
Cal
ularemos agora a potên
ia média desta função através de sua representação no tempo e depois em frequên-
ia:
Pf =
1
T
∫ T
0
|g(t)|2dt = 1
2
∫ 2
0
|g(t)|2dt = 1
2
∫ 2
0
1dt = 1
Alternativamente, temos pelo Teorema de Parseval:
Pf =
∞∑
n=−∞
|Cn|2 =
∞∑
n=−∞
∣∣∣∣an − ibn2
∣∣∣∣2 = 14
∞∑
n=−∞
|bn|2
Como b−n = bn, temos que |b−n| = |bn| e ainda temos que b0 = 0, portanto:
Pf =
1
2
∞∑
n=1
|bn|2 = 1
2
(
4
π
)2(
1 +
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
)
usando a equação (3.4) da página 22, temos:
Pf =
1
2
(
4
π
)2
π2
8
= 1
5.2 Fen�meno de Gibbs
A 
onvergên
ia das somas par
iais da série de Fourier de uma função suave por partes em torno de um salto
apresenta os
ilações 
ujas amplitudes não 
onvergem para zero. A 
onvergên
ia ponto a ponto a
onte
e, mas
se olharmos para o valor absoluto da diferença entre a função e soma par
ial sempre en
ontramos um ponto
onde esse valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto. Esse fen�meno é 
hamado de Fen�meno de
Gibbs
46 CAPÍTULO 5. PROPRIEDADES DAS SÉRIES DE FOURIER
1
−1
1 2 3 4−1
y = g(t)
t
1
0.1 0.2 0.3 0.4
Capítulo 6
Transformada de Fourier
A série de Fourier é uma ferramenta para representar funções periódi
as. Como os problemas de interesse
podem envolver funções não periódi
as, neste 
apítulo de�niremos uma representação para essas funções que
possuem interpretação 
omo extensão do 
on
eito de série de Fourier.
6.1 Passagem do dis
reto para o 
ontínuo
Podemos 
onstruir uma representação em séries de Fourier para um função f(t) não-periódi
a sempre que nos
restringimos a um intervalo �nito [−T/2, T/2], isto é, 
onstruímos a função fT (t) T-periódi
a que 
oin
ide
om f(t) no intervalo 
itado:
fT (t) = f(t), −T/2 ≤ t < T/2
fT (t+ T ) = fT (t), ∀t ∈ R (6.1)
Exemplo 18. Considerando a função f(t) = e−|t|, de�nimos funções fT (t) 
omo na equação (6.1) e apre-
sentamos os grá�
os de f(t) e fT (t) para T = 2 e T = 4 na �gura 6.1. Observe que a função fT (t) 
arrega
y = f(t) = e−|t|
t
y = fT (t), T = 2
t
y = fT (t), T = 4
t
Figura 6.1:
onsigo informação sobre a função f(t). Naturalmente, gostaríamos de poder obter o limite T → ∞, a �m
de aproximar fT (t) tanto quando possível de f(t). Como T representa o período da função fT (t), quando T
res
e a frequên
ia fundamental wF des
res
e. A função fT (t) possui série de Fourier da forma
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt,
47
48 CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE FOURIER
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwntdt =
1
T
∫ T/2
−T/2
e−|t| (cos(wnt)− i sin(wnt)) dt
=
2
T
∫ T/2
0
e−|t| cos(wnt)dt =
2
T
∫ T/2
0
e−t cos(wnt)dt
=
2
T
[
wn sin(twn)− cos(twn)
w2n + 1
e−t
]T/2
0
=
2
T
[
wn sin
(
Twn
2
)− cos (Twn2 )] e−T2 + 1
w2n + 1
=
2
T
[wn sin (nπ)− cos (nπ)] e−T2 + 1
w2n + 1
=
2
T
1− (−1)ne−T2
w2n + 1
(6.2)
Observemos os diagramas de espe
to para fT (t) multipli
ado por T quando T = 2, T = 4 e T = 8 na �gura
6.2.
1
2
|TCn|
wn
T = 2
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 4
π 2π 3π−π−2π−3π
1
2
|TCn|
wn
T = 8
π 2π 3π−π−2π−3π
Figura 6.2:
Como a distân
ia entre duas raias espe
trais é igual a wF , a densidade de raias aumenta, tornando mais
densa na reta. A serie de Fourier da função fT (t) é dada por
fT (t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt,
onde
Cn =
1
T
∫ T/2
−T/2
fT (τ)e
−iwnτdτ =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwnτdτ.
6.1. PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO 49
De�nimos agora a função
FT (w) =
∫ T/2
−T/2
f(τ)e−iwτdτ
e es
revemos fT (t) em termos de FT (w):
fT (t) =
∞∑
n=−∞
1
T
FT (wn)e
iwnt
=
∞∑
n=−∞
wF
2π
FT (wn)e
iwnt
(6.3)
=
∞∑
n=−∞
∆w
2π
FT (wn)e
iwnt
=
1
2π
∞∑
n=−∞
FT (wn)e
iwnt∆w (6.4)
Observe que a função FT (w) 
onverge para 
ada frequên
ia w para a função
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt.
Fazendo T →∞, a soma a direita na equação (6.4) é uma soma de Riemann que 
onverge para uma integral:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw,
onde
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
Exemplo 19. Continuamos 
om o exemplo 18. Dada a função f(t) = e−|t|, podemos es
rever
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw,
onde
F (w) = lim
T→∞
∫ T/2
−T/2
e−|t|e−iwtdt
= lim
T→∞
(
2
(−1)ne−T2 + 1
w2 + 1
)
=
2
w2 + 1
,
onde usamos a expressão para TCn dada por (6.2). De fato, usando uma tabela de integrais (ou método dos
resíduos), temos
1
2π
∫ ∞
−∞
2
w2 + 1
cos(wt)dw =
1
2π
∫ ∞
0
1
w2 + 1
cos(wt)dw (6.5)
= e−|t| (6.6)
50 CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE FOURIER
6.2 Transformada de Fourier
De�nição 15. Seja f(t) uma função real (ou 
omplexa), de�ne-se a transformada de Fourier F (w) de f(t)
omo:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt.
De�nição 16. Seja F (w) uma função real (ou 
omplexa), de�ne-se a transformada inversa de Fourier f(t)
de F (w) 
omo:
f(t) = F−1{F (w)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw.
Observação 6. É 
ostumeiro em Físi
a e Engenharia usar a variável k na transformada de Fourier de
função em x, isto é,
F (k) = F{f(x)} =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx
f(x) = F−1{F (k)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (k)eikxdk.
Os pares de variáveis t-w e x-k são 
hamados de pares de variáveis re
ípro
as. A letra k é o número de onda,
on
eito análogo no espaço ao 
on
eito de frequên
ia angular no tempo, isto é, enquanto w = 2πT , k =
2π
λ ,
onde λ é o 
omprimento de onda.
Exemplo 20. Seja
f(t) =
{
eat se t < 0
e−bt se t > 0
onde a e b são 
onstantes positivas. A �gura 6.3 mostra o grá�
o de f(t) para a = 1 e b = 3.
1
1 2 3−1−2−3
y = f(t)
t
Figura 6.3: Grá�
o de f(t) = et, se t < 0 ou f(t) = e−3t se t > 0.
A transformada de Fourier de f(t) é 
al
ulada da seguinte forma:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eate−iwtdt+
∫ ∞
0
e−bte−iwtdt
=
∫ 0
−∞
eat (cos(wt) − i sin(wt)) dt+
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sin(wt)) dt
=
∫ ∞
0
e−at (cos(wt) + i sin(wt)) dt+
∫ ∞
0
e−bt (cos(wt) − i sin(wt)) dt
=
a
a2 + w2
+
iw
a2 + w2
+
b
b2 + w2
− iw
b2 + w2
=
a
a2 + w2
+
b
b2 + w2
+ i
(
w
a2 + w2
− w
b2 + w2
)
onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.1.
6.3. EXERCÍCIOS 51
Exemplo 21. Cal
ulamos a transformada de Fourier do delta de Dira
 δ(t− a), a ∈ R da seguinte forma:
F (w) = F{δ(t− a)} =
∫ ∞
−∞
δ(t− a)e−iwtdt
= e−iwa
Exemplo 22. Considere a função dada por
f(x) =
{
1 se |x| < ℓ
0 se |x| ≥ ℓ
A transformada de Fourier desta função é dada por:
F (k) =
∫ ∞
−∞
f(x)e−ikxdx =
∫ ℓ
−ℓ
e−ikxdx
=
∫ ℓ
−ℓ
(cos(kx)− i sin(kx)) dx
= 2
∫ ℓ
0
cos(kx)dx
=
2
k
sin(kx)|x=ℓx=0 =
2 sin(kℓ)
k
6.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 30 Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma 
onstante positiva e u(t) é a função
Heaviside. Tra
e o grá�
o de f(t) e obtenha sua transformada de Fourier.
Resposta do exer
í
io 30:
1
1 2 3
y = f(t)
t
Figura 6.4: Grá�
o de f(t) = e−tu(t).
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
0
e−ate−iwtdt
=
∫ ∞
0
e−at (cos(wt) − i sin(wt)) dt
=
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
onde se usou os itens 1 e 2 da tabela A.1.
52 CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE FOURIER
Exer
í
io 31 Considere a função f(t) = e−at
2
onde a é uma 
onstante positiva. Tra
e o grá�
o de
f(t) e obtenha sua transformada de Fourier.
Resposta do exer
í
io 31:
1
1 2 3−1−2−3
y = f(t)
t
Figura 6.5: Grá�
o de f(t)= e−t
2
.
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
e−at
2
e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
e−at
2
(cos(wt)− i sin(wt)) dt
= 2
∫ ∞
0
e−at
2
cos(wt)dt
=
√
π√
a
e−
w2
4a
onde se usou o item 8 da tabela A.1.
Exer
í
io 32 Cal
ule a transformada inversa da função F (w) = δ(w − w0) + δ(w + w0)
Resposta do exer
í
io 32: f(t) = 1π cos(wt)
Exer
í
io 33 Cal
ule a transformada inversa da função F (k) = e−k
2
Resposta do exer
í
io 33: f(x) = 1
2
√
π
e−
x2
4
Exer
í
io 34 Mostre que se f(t) é uma função real par, então sua transformada de Fourier é uma
função real.
Exer
í
io 35 Mostre que se f(t) é uma função real ímpar, então sua transformada de Fourier é uma
função imaginária.
Exer
í
io 36 Mostre que se f(t) é uma função real, então sua a parte real da tranformada de Fourier
de f(t) é uma função par e a parte imaginária é ímpar.
Exer
í
io 37 Cal
ule a transformada de Fourier da função
f(t) =
∞∑
j=0
δ(t− j)e−j .
6.3. EXERCÍCIOS 53
Resposta do exer
í
io 37:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞

 ∞∑
j=0
δ(t− j)e−j

 e−iwtdt
=
∞∑
j=0
∫ ∞
−∞
δ(t− j)e−je−iwtdt
=
∞∑
j=0
e−je−iwj =
∞∑
j=0
e−(1+iw)j
=
1
1− e−(1+iw) =
1
1− e−1 (cos(w) − i sin(w))
=
1
1− e−1 cos(w) + ie−1 sin(w)
=
1− e−1 cos(w)− ie−1 sin(w)
(1− e−1 cos(w))2 + e−2 sin2(w)
=
1− e−1 cos(w)− ie−1 sin(w)
1− 2e−1 cos(w) + e−2
54 CAPÍTULO 6. TRANSFORMADA DE FOURIER
Capítulo 7
Representações da transformada de
Fourier e diagramas de espe
tro
Neste 
apítulo apresentaremos as representações da transformada de Fourier e introduziremos o 
on
eito de
diagramas de espe
tro.
7.1 Forma trigonométri
a
A forma exponen
ial da transformada de Fourier de uma função f(t) foi de�nida no 
apítulo 6 e é dada por
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt.
Se f(t) é uma função real, então podemos separar a parte real e imaginária da transformada de Fourier,
onforme a seguir:
F (w) = F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t) (cos(wt) − i sin(wt)) dt
=
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt − i
∫ ∞
−∞
f(t) sin(wt)dt
:= A(w) − iB(w),
onde
A(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt
B(w) =
∫ ∞
−∞
f(t) sin(wt)dt
Nesses termos, a função f(t) pode ser es
rita 
omo:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) − iB(w)) (cos(wt) + i sin(wt)) dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) +B(w) sin(wt)) dw
+
i
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) sin(wt) −B(w) cos(wt)) dw
55
56CAPÍTULO 7. REPRESENTAÇÕES DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
Usando o fato que A(w) é uma função par e B(w) é uma função ímpar, temos:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
(A(w) cos(wt) +B(w) sin(wt)) dw
=
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) +B(w) sin(wt)) dw
A tabela abaixo 
ompara as formas trigonométri
a e exponen
ial das séries e transformadas de Fourier
Forma exponen
ial Forma trigonométri
a
Série de Fourier f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos(wnt) + bn sin(wnt))
Transformada de Fourier f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) +B(w) sin(wt)) dw
Exemplo 23. Considere a função f(t) = e−atu(t) onde a é uma 
onstante positiva e u(t) é a função
Heaviside. A transformada de Fourier F (w) de f(t) foi 
al
ulada no exer
í
io 30 da página 51 e é dada por:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
Usando representação trigonométri
a da transformada de Fourier, temos:
f(t) =
1
π
∫ ∞
0
(A(w) cos(wt) +B(w) sin(wt)) dw,
onde
A(w) =
a
a2 + w2
B(w) = − w
a2 + w2
7.2 Diagramas de espe
tro
Diagrama de espe
tro da transformada de Fourier é a representação grá�
a da transformada de Fourier F (w)
asso
iadas a uma função f(t). Da mesma forma 
omo o diagrama de espe
tro da série de Fourier se divide
em amplitude e fase, o diagrama de espe
tro da transformada de Fourier se divide em magnitude e fase. Ou
seja, o grá�
o de |F (w)| é a diagrama de magnitude e o grá�
o de φ(w) é o diagrama de fase, onde
F (w) = |F (w)|eiφ(w),
Exemplo 24. No exemplo 18 da página 47 
al
ulamos a transformada de Fourier da função f(t) = e−|t|:
F (w) =
2
w2 + 1
.
O grá�
o da magnitude |F (w)| é dado na �gura 7.1. Devido o fato de F (w) ser real, a fase é uma função
nula.
7.3. EXERCÍCIOS 57
|F (w)|
w
Figura 7.1:
Exemplo 25. O exemplo 23 da página 56 apresenta a transformada de Fourier da função f(t) = e−atu(t)
onde a é uma 
onstante positiva e u(t) é a função Heaviside:
F (w) =
a
a2 + w2
− iw
a2 + w2
.
Observe que
|F (w)| =
√(
a
a2 + w2
)2
+
(
w
a2 + w2
)2
=
√
a2 + w2
(a2 + w2)
2
=
1√
a2 + w2
e, 
omo a > 0, temos aa2+w2 > 0. Portanto,
φ(w) = tan−1
(
− wa2+w2
a
a2+w2
)
= − tan−1
(w
a
)
.
A �gura 7.2 apresenta o diagrama de espe
tro de magnitude e fase da transformada F (w) de f(t) quando
a = 1.
7.3 Exer
í
ios
Exer
í
io 38 Mostre que a representação trigonométri
a da transformada de Fourier F (w) de uma função
real f(t) separa-a em parte ímpar e parte par. Isto é,
1
π
∫ ∞
0
A(w) cos(wt)dw =
f(t) + f(−t)
2
e
1
π
∫ ∞
0
B(w) sin(wt)dw =
f(t)− f(−t)
2
.
Exer
í
io 39 Mostre que se f(t) é real, F (−w) = F (w).
Exer
í
io 40 Cal
ule a transformada de Fourier e tra
e o diagrama de espe
tro da função f(t) = te−t
2
.
[Di
a: Use integração por partes para transformar a integral dada numa integral tabelada℄.
58CAPÍTULO 7. REPRESENTAÇÕES DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
|F (w)|
w
1
−1
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
φ(w)
w
π
2
−π2
Figura 7.2:
Resposta do exer
í
io 40:
F (w) =
∫ ∞
−∞
te−t
2
e−iwtdt = −2i
∫ ∞
0
te−t
2
sin(wt)dt
= −2i
[
−e
−t2
2
sin(wt)
]∞
0
+ 2i
∫ ∞
0
(
−e
−t2
2
)
w cos(wt)dt
= −iw
∫ ∞
0
e−t
2
cos(wt)dt
= −iw
√
π
2
e−
w2
4 = |F (w)|eiφ(w)
onde
|F (w)| = |w|
√
π
2
e−
w2
4
e φ(w) =
{ −π2 , w > 0,
π
2 , w < 0.
Veja o diagrama de espe
tro na �gura 7.3
7.3. EXERCÍCIOS 59
1
|F (w)|
w
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
φ(w)
w
π
2
−π2
Figura 7.3:
60CAPÍTULO 7. REPRESENTAÇÕES DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DIAGRAMAS DE ESPECTRO
Capítulo 8
Propriedades da transformada de Fourier
8.1 Propriedades
Propriedade 1 (Linearidade ou superposição). Dadas duas funções f(t) e g(t) 
om transformadas de Fourier
F (w) e G(w), respe
tivamente, e α e β duas 
onstantes reais ou 
omplexas, então
F {αf(t) + βg(t)} = αF{f(t)}+ βF{g(t)} = αF (w) + βG(w)
Demonstração. O resultado é direto da linearidade da integral:
F {αf(t) + βg(t)} =
∫ ∞
−∞
(αf(t) + βg(t)) e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
αf(t)e−iwtdt+
∫ ∞
−∞
βg(t)e−iwtdt
= α
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt+ β
∫ ∞
−∞
g(t)e−iwtdt
= αF (w) + βG(w)
Exemplo 26. As transformadas das funções f(t) = e−|t| e g(t) = 1
2
√
π
e−
t2
4
são F (w) = 2w2+1 e G(w) = e
−w2
,
respe
tivamente. Logo,
F {5f(t)− 3g(t)} = 5 2
w2 + 1
− 3e−w2
Propriedade 2 (Transformada da derivada). Dada uma função diferen
iável f(t) tal que
lim
t→±∞ f(t) = 0
e sua transformada de Fourier F (w), então
F{f ′(t)} = iwF (w)
Demonstração. De fato, usando integração por partes, temos
F {f ′(t)} =
∫ ∞
−∞
f ′(t)e−iwtdt
=
[
f(t)e−iwt
]∞
−∞ −
∫ ∞
−∞
−iwf(t)e−iwtdt
= iw
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
= iwF (w)
61
62 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
Observação 7. Essa propriedade re�ete o fato de que a transformada de Fourier de
ompõe a função f(t)
em funções do tipo eiwt 
uja derivada é iweiwt. De fato, esta propriedade poderia ter sido deduzida a partirda representação de f(t) em sua integral de Fourier, isto é:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw.
Diferen
iando em t, obtemos
f ′(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)iweiwtdw =
1
2π
∫ ∞
−∞
[iwF (w)] eiwtdw.
Exemplo 27. Considere a função f(t) = e−at
2
, a > 0, e sua transformada de Fourier (ver exer
í
io 31 da
página 52):
F (w) =
√
π√
a
e−
w2
4a
Usando a propriedade 2, a transformada de Fourier da derivada f ′(t) = −2ate−at2 é dada por:
F{−2ate−at2} = iwF (w) = iw
√
π√
a
e−
w2
4a .
Usando a linearidade, en
ontramos a transformada de Fourier da função te−at
2
:
F{te−at2} = −iw
√
π
2a
√
a
e−
w2
4a .
Compare 
om o exer
í
io 40 da página 57.
Observação 8. As derivadas de ordem superior são 
al
uladas a partir da propriedade 2:
F{f ′′(t)} = F
{
d
dt
(f ′(t))
}
= iwF {f ′(t)}
= (iw)2F {f(t)}
= (iw)2F (w).
De modo geral,
F{f (n)(t)} = (iw)nF (w).
Problema 4. O diagrama de magnitudes da transformada de Fourier F (w) de uma função f(t) é dado na
�gura (8.1). Esbo
e o diagrama de magnitudes da transformada de Fourier da função f ′(t).
1
|F (w)|
w
Figura 8.1:
Propriedade 3 (Deslo
amento no eixo w). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w),
então
F {eatf(t)} = F (w + ia).
8.1. PROPRIEDADES 63
Demonstração. De fato,
F {eatf(t)} = ∫ ∞
−∞
f(t)eate−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e(a−iw)tdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(ia+w)tdt
= F (w + ia)
Exemplo 28. Do exemplo 27 temos que a transformada de Fourier da função f(t) = te−at
2
, a > 0, é dada
por
F (w) = −iw
√
π
2a
√
a
e−
w2
4a .
Logo, a transformada G(w) da função g(t) = tebt−at
2
, b > 0, é dada por
G(w) = F
{
tebt−at
2
}
= F
{
ebtte−at
2
}
= F (w + ib)
= −i(w + ib)
√
π
2a
√
a
e−
(w+ib)2
4a
= (b− iw)
√
π
2a
√
a
e−
w2+2wib−b2
4a
=
√
w2 + b2e−i arctan(
w
b )
√
π
2a
√
a
e−
w2−b2
4a e−i(
wb
2a+
pi
2 )
=
√
w2 + b2
√
π
2a
√
a
e−
w2−b2
4a e−i(
wb
2a +
pi
2 +arctan(
w
b ))
= |G(w)|eiφ(w),
onde
|G(w)| =
√
π
2a
√
a
e−
b2
4a
√
w2 + b2e−
w2
4a
e φ(w) = −
(
wb
2a
+
π
2
+ arctan
(w
b
))
Veja os diagramas de espe
tro de G(w) quando a = b = 1 na �gura 8.2.
Propriedade 4 (Deslo
amento no eixo t). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w),
então
F {f(t− a)} = e−iawF (w).
Demonstração. De fato,
F {f(t− a)} =
∫ ∞
−∞
f(t− a)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iw(s+a)ds
=
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwae−iwsds
= e−iwa
∫ ∞
−∞
f(s)e−iwsds
= e−iawF (w)
64 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
1
|G(w)|
w
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
φ(w)
w
π
−π
Figura 8.2:
Exemplo 29. Do exemplo 18 da página 47 temos que a transformada de Fourier da função f(t) = e−|t| é
dada por F (w) = 2w2+1 . Logo, a transformada de Fourier da função g(t) = e
−|t−2|
é
G(w) =
2
w2 + 1
e−2iw
Observação 9. Um deslo
amento real no tempo não altera o módulo da transformada de Fourier, pois
|e−iaw| = 1 sempre que a e w são reais.
Propriedade 5 (Transformada da integral). Dada uma função integrável f(t) tal que sua transformada de
Fourier F (w) satisfaça F (0) = 0, então
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w).
Demonstração. De�nimos g(t) =
∫ t
−∞ f(τ)dτ e, usando o teorema fundamental do 
ál
ulo, temos g
′(t) = f(t).
Apli
amos a transformada de Fourier na igualdade e temos:
F{g′(t)} = F{f(t)},
ou seja,
F{g′(t)} = F (w).
Observe que
lim
t→∞
g(t) =
∫ ∞
−∞
f(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
f(τ)ei·0·tdτ = F (0) = 0
e
lim
t→−∞
g(t) =
∫ −∞
−∞
f(τ)dτ = 0,
8.1. PROPRIEDADES 65
portanto, podemos usar a propriedade 2 da transformada de Fourier da derivada e obter:
F{g′(t)} = iwF{g(t)}.
Assim,
F (w) = iwF
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
.
Portanto,
F
{∫ t
−∞
f(τ)dτ
}
=
1
iw
F (w).
Propriedade 6 (Teorema da modulação). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w),
então
F {f(t) cos(w0t)} = 1
2
F (w − w0) + 1
2
F (w + w0),
para w0 ∈ R.
Demonstração. De fato,
F {f(t) cos(w0t)} = F
{
f(t)
(
eiw0t + e−iw0t
2
)}
=
∫ ∞
−∞
f(t)
eiw0t + e−iw0t
2
e−iwtdt
=
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w−w0)tdt+
1
2
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(w0+w)tdt
=
1
2
F (w − w0) + 1
2
F (w + w0)
Exemplo 30. Considere a função f(t) = cos(w0t)e
−a|t|
, a > 0. Podemos obter a transformada de Fourier
de f(t) a partir da transformada de Fourier da função g(t) = e−a|t|. Basta apli
ar o teorema da modulação
à função g(t), 
uja transformada de Fourier é dada por G(w) = 2aw2+a2 :
F {g(t) cos(w0t)} = 1
2
G(w − w0) + 1
2
G(w + w0)
=
1
2
2a
(w − w0)2 + a2 +
1
2
2a
(w + w0)2 + a2
=
a
(w − w0)2 + a2 +
a
(w + w0)2 + a2
Propriedade 7 (Teorema da 
onvolução). Dadas duas funções f1(t) e f2(t) 
om suas respe
tivas transfor-
madas de Fourier, F1(w) e F2(w), então
a) (Convolução no tempo)
F{(f1 ∗ f2)(t)} = F1(w)F2(w),
b) (Convolução na frequên
ia)
(F1 ∗ F2)(w) = 2πF{f1(t)f2(t)}
ou
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} = 2πf1(t)f2(t),
onde ∗ indi
a a 
onvolução de duas funções:
(f1 ∗ f2)(t) =
∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t− τ)dτ
66 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
Demonstração. a) Usando as de�nições de transformada de Fourier e 
onvolução de duas funções, temos:
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
(f1 ∗ f2)(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
f1(τ)f2(t− τ)dτ
)
e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t− τ)e−iwtdt
]
dτ (8.1)
Uma das integrais pode ser 
al
ulada fazendo uma mudança de variável:∫ ∞
−∞
f2(t− τ)e−iwtdt =
∫ ∞
−∞
f2(s)e
−iw(s+τ)ds
= e−iwτ
∫ ∞
−∞
f2(s)e
−iwsds
= e−iwτF2(w) (8.2)
Substituindo a equação (8.2) na equação (8.1), temos
F{(f1 ∗ f2)(t)} =
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)
∫ ∞
−∞
f2(t− τ)e−iwtdt
]
dτ
=
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e
−iwτF2(w)
]
dτ
= F2(w)
∫ ∞
−∞
[
f1(τ)e
−iwτ ] dτ
= F1(w)F2(w)
b) Analogamente, usando as de�nições, temos:
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
(F1 ∗ F2)(w)eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞
F1(v)F2(w − v)dv
)
eiwtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv (8.3)
Também, ∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw =
∫ ∞
−∞
F2(y)e
i(y+v)tdy
= eivt
∫ ∞
−∞
F2(y)e
iytdy
= 2πeivtf2(t) (8.4)
Substituindo a equação (8.4) na equação (8.3), temos
F−1{(F1 ∗ F2)(w)} = 1
2π
∫ ∞
−∞
[
F1(v)
∫ ∞
−∞
F2(w − v)eiwtdw
]
dv
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F1(v)e
ivt2πf2(t)dv
= f2(t)
∫ ∞
−∞
F1(v)e
ivtdv
= 2πf1(t)f2(t)
8.1. PROPRIEDADES 67
Exemplo 31. Considere as funções f(t) = te−t
2
e g(t) = e−a|t|, a > 0 e suas respe
tivas transformadas de
Fourier F (w) = −iw
√
π
2 e
−w24
e G(w) = 2aw2+a2 . A transformada de Fourier da função
h(t) =
∫ ∞
−∞
f(t− τ)g(τ)dτ =
∫ ∞
−∞
(t− τ)e−(t−τ)2e−a|τ |dτ
é 
al
ulada usando o teorema da 
onvolução e é dada por
H(w) = F (w)G(w) = −iwa
√
π
w2 + a2
e−
w2
4
Propriedade 8 (Conjugação). Dada uma função real f(t) e sua transformada de Fourier F (w), então
F (w) = F (−w)
Demonstração. De fato,
F (w) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt, pois f(t) = f(t)
=
∫ ∞
−∞
f(t)eiwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(t)e−i(−w)tdt
= F (−w)
Observação 10. Se f(t) não é uma função real, esta propriedade não se apli
a.
Exemplo 32. Considere as funções f(t) = te−t
2
e sua transformada de Fourier F (w) = −iw
√
π
2 e
−w24
.
Então,
F (−w) = iw
√
π
2
e−
w2
4
e
F (w) = −iw
√
π
2
e−
w2
4 = iw
√
π
2
e−
w2
4 .
Propriedade 9 (Inversão temporal). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w), então
F {f(−t)} = F (−w).
Demonstração.F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
pro
edemos 
om a mudança de variáveis τ = −t:
F {f(−t)} =
∫ ∞
−∞
f(−t)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)eiwτ (−dτ)
=
∫ ∞
−∞
f(τ)eiwτdτ
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e−i(−w)τdτ
= F (−w)
68 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
Propriedade 10 (Simetria ou dualidade). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w),
então
f(−w) = 1
2π
F{F (t)}
Demonstração. Da de�nição de transformada de Fourier, temos
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
Podemos tro
as t e w e 
al
ular f(w) em função de F (t):
f(w) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)eitwdt.
Ou seja,
f(−w) = 1
2π
∫ ∞
−∞
F (t)e−itwdt =
1
2π
F{F (t)}.
Propriedade 11 (Mudança de es
ala). Dada uma função f(t) e sua transformada de Fourier F (w), então
F{f(at)} = 1|a|F
(w
a
)
, ∀a 6= 0.
Demonstração. Da de�nição de transformada de Fourier, temos
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
Fazendo a mudança τ = at, distinguindo dois 
asos: a > 0 e a < 0.
Para o 
aso a > 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a d
(τ
a
)
=
1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
Para o 
aso a < 0, temos:
F{f(at)} =
∫ ∞
−∞
f(at)e−iwtdt
=
∫ −∞
∞
f(τ)e−
iwτ
a d
(τ
a
)
= −1
a
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
Em ambos os 
asos, temos:
F{f(at)} = 1|a|
∫ ∞
−∞
f(τ)e−
iwτ
a dτ
=
1
|a|F
(w
a
)
8.1. PROPRIEDADES 69
Observação 11. A propriedade da inversão temporal (propriedade 9) é um 
aso parti
ular desta propriedade
quando a = −1.
Propriedade 12 (Teorema de Parseval). Seja f(t) uma função real ou 
omplexa e F (w) sua transformada
de Fourier, então vale a identidade: ∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt = 1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw
Demonstração. Partimos da representação de f(t) em sua integral de Fourier:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)eiwtdw
e 
onsequentemente:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdw
e inserimos essa expressão na integral envolvida:∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
f(t)
∫ ∞
−∞
F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdwdt
=
1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(t)F (w)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdtdw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
F (w)F (w)dw
=
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw
Observação 12. Esta integral está asso
iada ao 
on
eito de energia total de um sinal.
Exemplo 33. Considere a função f(t) = e−a|t|, a > 0, e sua transformada de Fourier F (w) = 2aw2+a2 . A
energia asso
iada a essa função pode ser 
al
ulada de duas maneiras distintas:∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
|e−a|t||2dt
=
∫ ∞
−∞
e−2a|t|dt
= 2
∫ ∞
0
e−2atdt
= 2
[
− 1
2a
e−2at
]∞
0
=
1
a
70 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
ou
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw = 1
2π
∫ ∞
−∞
(
2a
w2 + a2
)2
dw
=
4a2
π
∫ ∞
0
1
(w2 + a2)
2 dw
Usando o item 19 da tabela de integrais de�nidas A.1 da página 92 
om m = 0, temos:∫ ∞
0
1
(w2 + a2)
2 dw =
π
4a3
.
Portanto,
1
2π
∫ ∞
−∞
|F (w)|2dw = 4a
2
π
π
4a3
=
1
a
.
Propriedade 13 (Prin
ípio da In
erteza*). Seja f(t) uma função real que satisfaz limt→±∞ f(t) = 0 e
F (w) = F{f(t)} sua transformada de Fourier. Então vale a seguinte estimativa:∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣∣∣∣2
Demonstração. Primeiro observamos que∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt =
∫ ∞
−∞
f(t)f(t)dt
Pro
edemos 
om intregação por partes onde u(t) = f(t)f(t), du(t) = f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t), v(t) = t e
dv(t) = dt. ∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt = −
∫ ∞
−∞
t
(
f ′(t)f(t) + f(t)f ′(t)
)
dt
= −
∫ ∞
−∞
tf ′(t)f(t)dt−
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
Usando a desigualdade de Cau
hy-S
hwarz
1
temos∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
tf(t)f ′(t)dt
∣∣∣∣
≤
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
+
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
= 2
[∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
]1/2
.
Agora, usando o teorema de Parseval (ver propriedade 12), temos∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣∣∣∣2 ≤ 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|f ′(t)|2dt
= 4
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt · 1
2π
∫ ∞
−∞
|F {f ′(t)}|2 dw
=
2
π
∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|iwF (w)|2 dw
1
∣∣∫ f(x)g(x)dx∣∣ ≤ [∫ |f(x)|2dx · ∫ |g(x)|2dx]1/2
8.2. PASSAGEM DO CONTÍNUO PARA O DISCRETO 71
e, �nalmente, ∫ ∞
−∞
|tf(t)|2dt ·
∫ ∞
−∞
|wF (w)|2 dw ≥ π
2
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt
∣∣∣∣2
8.2 Passagem do 
ontínuo para o dis
reto
Nesta seção vamos 
al
ular a transformada de Fourier de uma função periódi
a f(t) que possui representação
em série de Fourier. Para esse propósito, observe que, 
olo
ando F (w) = 2πδ(w − w0), temos
f(t) = F−1{2πδ(w − w0)} = 2π
2π
∫ ∞
−∞
δ(w − w0)eiwtdw = eiw0t.
ou seja,
F{eiw0t} = 2πδ(w − w0). (8.5)
Agora, 
onsidere uma função f(t) que possui representação em série de Fourier:
f(t) =
∞∑
n=−∞
Cne
iwnt.
A de�nição de transformada de Fourier nos dá:
F{f(t)} =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
=
∫ ∞
−∞
( ∞∑
n=−∞
Cne
iwnt
)
e−iwtdt
=
∞∑
n=−∞
Cn
(∫ ∞
−∞
eiwnte−iwtdt
)
= 2π
∞∑
n=−∞
Cnδ(w − wn),
onde usamos a equação (8.5) na última passagem.
Exemplo 34. Dada a função f(t) = cos(w0t), sua representação em série trigonométri
a exponen
ial é
f(t) =
1
2
ew0it +
1
2
e−w0it.
Logo, a sua transformada de Fourier F (w) é dada por:
F (w) = πδ(w − w0) + πδ(w + w0)
Exemplo 35. Considere a função não periódi
a g(t) = e−a|t| cos(w0t), a > 0. A transformada de Fourier
de g(t) é dada por G(w) = a(w−w0)2+a2 +
a
(w+w0)2+a2
(ver exemplo (30)). Observe que
lim
a→0
g(t) = lim
a→0
e−a|t| cos(w0t) = cos(w0t).
Comparando 
om o exemplo 34, é esperando que G(w) 
onvirja para F (w). De fato, observe que a área
abaixo da 
urva é 
onstante 
om respeito a a:∫ ∞
−∞
G(w)dw = a
∫ ∞
−∞
(
1
(w − w0)2 + a2 +
1
(w + w0)2 + a2
)
dw
= a
[
1
a
tan−1
(
w − w0
a
)
+
1
a
tan−1
(
w + w0
a
)]∞
−∞
=
π
2
−
(
−π
2
)
+
π
2
−
(
−π
2
)
= 2π
72 CAPÍTULO 8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
e a 
urva G(w) 
onverge para 0, ex
eto em w = w0 e w = −w0. Portanto o limite de G(w) é F (w). Os
diagramas de magnitude de F (w) e de G(w) para alguns valores de a > 0 e w0 = 1 são apresentados na
�gura 8.3.
1
2
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 1
1
2
3
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.5
1
2
3
4
1 2−1−2
|G(w)|
w
w0 = 1, a = 0.25
1
2
3
1 2−1−2
|F (w)|
w
Figura 8.3:
8.3 Apli
ação: Sinais Dis
retos
Nessa seção vamos dis
utir sobre dis
retização de sinais, em espe
ial, pretendemos responder 
om que frequên-
ia pre
isamos amostrar um sinal real para podermos re
onstruí-lo. Vamos 
onsiderar que o espe
tro da
função f(t) é 
omposto apenas por frequên
ias inferiores a wc, onde wc é 
hamado de frequên
ia de 
orte.
Mostraremos que se 
onhe
ermos apenas os valores de f(t) para t = kT , k ∈ Z, onde T é o período de
amostragem e wa :=
2π
T > 2wc é a frequên
ia de amostragem, então podemos re
onstruir exatamente f(t)
em todos instantes de tempo.
Considere f(t) uma função real, de�niremos fT (t) uma versão dis
retizada deste sinal da seguinte forma:
fT (t) =
∞∑
k=−∞
f(kT )δ(t− kT ),
assim fT (t) é um trem de Dira
's 
ujas amplitudes 
oin
idem 
om o valor da função f(t) nos pontos de
amostragem kT . Veja um exemplo na �gura 8.4. A �m de 
al
ularmos a transforma de Fourier de fT (t),
8.3. APLICA�O: SINAIS DISCRETOS 73