Gestao_Modulo2

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A programação da obra pode ser representada de diversas formas 
sendo as mais usuais as seguintes:
- Diagrama ou Cronograma de Barras (Gráfico de Gantt)
- Diagramas de Redes:
 a)Diagrama de Setas - (PERT/CPM)
 b)Diagrama de Blocos (De Precedência, Roy Neo PERT)
PROGRAMAÇÃO DE OBRAS
TIPOS DE REDES 
DE 
PLANEJAMENTO
DIAGRAMA 
DE SETAS
DIAGRAMA 
DE BLOCOS
Existem diversos tipos de cronograma utilizados na programação 
sendo que o Cronograma Físico, que representa desenvolvimento da 
obra ao longo do tempo é o básico, em função dele podemos elaborar 
os demais cronogramas utilizados numa obra:
 Cronograma Financeiro;
 Cronograma de Mão-de-Obra;
 Cronograma de Materiais;
 Cronograma do Equipamento.
É comum representar num só cronograma o desenvolvimento da 
obra e os recursos financeiros sendo então feito o Cronograma 
Físico-Financeiro.
TIPOS DE CRONOGRAMAS
REDE DE PLANEJAMENTO
É a representação gráfica de um programa, na qual se 
apresenta a sequência lógica do Planejamento com as 
interdependências das tarefas, tendo por fim alcançar um 
determinado objetivo.
Na rede são colocadas as durações das atividades 
permitindo uma análise de otimização de TEMPO ou CUSTO e 
programação de calendário.
Um programa pode ser representado por uma REDE.
ATIVIDADE=> Consome tempo ou recurso.
 EVENTO=>Não consome tempo nem recursos, são apenas 
marcos caracterizando instantes do planejamento.
Identificação da 
atividade
EVENTO
INICIAL
EVENTO
FINAL
Duração da 
atividade
REDE DE 
PLANEJAMENTO
5
D
A
2
E
F
C
B
7
4
63
2
3
4
1 5
REDE DE 
PLANEJAMENTO
Para elaborar uma rede de planejamento é necessário 
completo domínio de 3 (três) fatores. São eles:
•Relação entre atividades.
•Ordem de relacionamento de atividades.
•Duração das referidas atividades.
Execução da 
Imprimação.
Execução de 
BASE
Revestimento
Asfáltico
Execução do 
1
2
3 4
A atividade de Execução do Revestimento Asfáltico só poderá 
ser executada se forem executados os serviços de BASE e 
Imprimação. Em outras palavras, a atividade 3-4 depende do 
cumprimento integral das atividades 1-3 e 2-3.
ATIVIDADE DEPENDENTE
ATIVIDADES EM SÉRIE
5
CBA
1 2 3 4
5 5
ATIVIDADES EM PARALELO
5
5
5
C B
A
1 3
2
Tempo Total = 10
PRINCÍPIOS DE ELABORAÇÃO DE UMA REDE
1)Elaborar o programa
•A relação das atividades, interligação (dependência e seqüência) e duração das atividades.
2)Verificar as atividades que podem ser feitas em paralelo.
3)Lembrar que:
Atividade consome tempo e/ou recursos financeiros.
Eventos não consomem tempo, nem recursos financeiros.
4)Evento atingido é o que tem concluídas todas as atividades que a ele chegam (no = 4 abaixo)
C
A
1
2
3
4 5
DB
TIPOS DE RELAÇÃO DE DEPENDÊNCIA 
ENTRE AS ATIVIDADES
5)Uma atividade somente pode ser executada desde que o evento 
inicial tenha sido atingido.
6)Entre dois eventos sucessivos, existe uma só atividade.
C
A
3 5
4
 SIM
3 3
A
B
 NÃO
7)Tudo o que pode atrasar um planejamento e pode ser 
previsto, é uma atividade e não deve ser desprezado. Por 
exemplo: cura do concreto, demora na entrega de 
materiais, disposição de equipamentos, etc.
C
A
3 5
4
 SIM
3 3
A
B
 NÃO
C
A
3 5
4
 SIM
3 5
A
B
 NÃO
PRINCÍPIOS DE ELABORAÇÃO DE UMA REDE (Continuação)
8)Não pode existir circuito na rede.
G
F
C
B
A
1 2
3
4
5
6
D
G
F
C
B
A
1 2
3
4
5
6
D
PRINCÍPIOS DE ELABORAÇÃO DE UMA REDE (Continuação)
MÉTODOS PARA ESTABELECER UMA REDE
Os dois métodos para montagem de uma rede são:
Regressão => Do FIM para o INÍCIO.
Progressão => Do INÍCIO para o FIM (Mais empregado.)
O mais empregado dos dois é o método da PROGRESSÃO .
Exemplo:
Instalação do 
canteiro
3
Fundações
4
Cálculo 
estrutural
Projeto de 
arquitetura2
Sondagem
1
Estudo da 
viabilidade do 
empreendimento
1 2
3
4
5 6
Neste caso tem-se continuamente o pensamento fixo em qual a atividade ou quais as atividades que vêm 
após uma eventual atividade em análise.
Na montagem da rede são obedecidos os seguintes pontos básicos:
•Objetivo do programa : deve ser bem determinada qual a finalidade a ser alcançada.
•Plano de Trabalho: dever saber bem como as atividades se entrelaçam, ou melhor, devemos conhecer bem os 
procedimentos técnicos das atividades, sabendo quais são as atividades precedentes e sequentes.
•Prazo de Execução: é necessário conhecer bem as durações das atividades.
E = máx. (E anterior + t)
Também chamado de PDI
( Primeira Data de Início )
( 0 )
CEDO
( E )
( 9 ) ( 16 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
( 2 )
( 4 )
CAMINHO CRÍTICO
Após todas as interligações de atividades feitas na rede é necessário saber qual a duração da 
realização da obra e/ou projeto. . Esta duração será igual à soma dos tempos das atividades, os quais 
serão considerados no caminho mais desfavorável. Este caminho é o chamado CAMINHO CRÍTICO.
CEDO de um evento é o tempo necessário para que o evento seja atingido, considerando-se que 
não houve atrasos imprevistos nas atividades antecedentes.
O cedo de cada evento está colocado 
sobre o símbolo do evento em letras vermelhas.
Ou seja, o valor do cedo de um evento é máximo valor entre os valores das várias atividades que 
chegam a este evento, calculando-se o valor, para cada atividade, como resultado da soma do cedo do 
evento onde se inicia a atividade mais o valor do tempo dessa atividade.
TARDE de um evento é a data 
limite de realização de um 
evento. Qualquer execução que 
passar desta data atrasará o 
projeto planejado.
Simbolicamente pode ser 
escrito:
L = min. (L posterior - t)
Veja-se o exemplo a seguir:
Primeiro calculam-se todos os "cedos" e colocam-se entre 
parenteses sobre o símbolo do evento. Pode-se saber assim qual é o 
CAMINHO CRÍTICO.
Verifica-se, portanto, que o cedo do evento 5 é 16, ou seja, E5 = 16.
Supondo-se que por questões contratuais, a obra e/ou projeto 
poderá ou deverá estar executado em 16 dias. Esse tempo será a data 
limite e será o TARDE do evento 5.
Fazendo a imposição de L5 = 16 ( Tarde do evento 5 ) a rede terá o 
seguinte aspecto com a colocação dos "cedos" e dos "tardes" :
( 0 )
TARDE
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
0
6
9 16
4
( 4 )
Neste exemplo, para o evento 4 tem-se:
L4 = 16 - 7 =9
Coloca-se este valor dentro de um retângulo ou quadrado por 
cima do valor do cedo.
( 0 )
TARDE
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
0
6
9 16
4
( 4 )
No evento 3 faz-se as seguintes comparações;
L3= 9 - 5= 4
Ou
L3= 16 - 8 = 8
Escolhe-se o menor valor, que será o tarde do evento 3, isto é,
L3= 4
E assim sucessivamente para todos os eventos até chegar ao último 
evento, tendo-se obtido os valores dos TARDE na rede acima desta forma.
( 0 )
TARD
E( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
3
2
3
4 5
F
0
6
9 16
4
( 4 )
CAMINHO CRÍTICO
No caminho crítico, todos os eventos que ligam as atividades deste caminho 
têm a seguinte característica:
CEDO = TARDE
(válido somente quando cedo e tarde 
do evento final se coincidem)
FOLGA
Folga é a diferença entre o tarde e o cedo.
Folga = L - E
Em um projeto e/ou obra de um planejamento calcula-se conforme visto acima o 
cedo do último evento. Três casos podem dar-se comrelação ao TARDE deste 
evento:
1o Caso
TARDE = CEDO
Para os eventos críticos a folga será nula, nestes caminhos tem-se TEMPO CEDO 
igual ao TEMPO TARDE.
O exemplo abaixo mostra está situação:
( 0 )
TARDE
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
0
6
9 16
4
( 4 )
2o Caso
TARDE < CEDO
Neste caso o planejamento forneceu com relação ao evento finalíssimo um cedo igual a 16 meses.
No entanto, se existir uma IMPOSIÇÃO de se realizar este programa em 13 meses devemos fazer uma análise 
de CUSTO para verificar a viabilidade desta redução de prazo.
Há necessidade de calcular para cada evento o valor das folgas em função desta redução:
 No evento 5 a seguinte folga: 13 - 16 = -3
No evento 4 a seguinte folga: 6 - 9 = -3
No evento 3 a seguinte folga: 1 - 4 = -3
No evento 2 a seguinte folga: 3 - 2 = 1
 No evento 1 a seguinte folga: -3 - 0 = -3
O caminho crítico será aquele em que:
as folgas forem todas iguais;
as folgas forem as menores das existentes.
( 0 )
TARDE
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
-3
3
6 13
1
( 4 )
Para saber-se onde diminuir os 3 meses resultantes da redução de 16 para 13 
meses torna-se necessário um REESTUDO das atividades a fim de verificar 
onde poderá ser efetuada a REDUÇÃO DO TEMPO DE EXECUÇÃO.
Este reestudo se inicia pelas atividades pertencentes ao caminho crítico.
Ao realizar a redução de tempo de uma atividade crítica, poderá haver o 
consumo da folga de uma outra atividade não-crítica que, neste caso, 
transformar-se-á em atividade crítica, devendo ser também analisada.
( 4 )
( 0 )
Imposição 
de realizar 
em 13 
meses.
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
- 3
3
6 13
1
Como exemplo sabe-se que uma equipe de planejamento possui os dados 
constantes do quadro abaixo, relativos às atividades da rede acima:
2.50025.00025.000520.00074 - 5
50015003.50043.00053 - 4
10.000220.00070.000250.00041 - 3
Custo por
unidade 
acelerada
Dif.
Duração
Dif.
Custos
Custo
acelerado
Duração
acelerada
Custo
Normal
Duração
Normal
Atividades do 
Caminho 
Crítico
( 4 )
( 0 )
Imposição de 
realizar em 
13 meses.
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
9
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
- 3
3
6 13
1
Neste quadro vê-se que o menor custo por unidade acelerada é a 3-4. Nesta atividade 
notamos que por um custo adicional de $ 500,00 conseguimos uma economia de tempo 
de 1 mês.
Entretanto, pelos dados da rede apresentada, necessitamos de uma economia 
de tempo de 3 meses ( IMPOSIÇÃO), ou seja, mais 2 meses.
A próxima atividade a ser analisada é a 4-5, pois verifica-se no quadro 
apresentado que o seu custo por unidade acelerada ( $ 2500,00) é o que vem 
imediatamente após ao da atividade 3-4 ( $ 500,00).
Nota-se pelo quadro que a atividade 4-5 pode ser acelerada em 2 meses, 
completando assim a necessidade ( redução de 3 meses).
Não houve necessidade de utilizar a atividade 1-3, que tem um custo por 
unidade acelerada mais dispendioso do que as duas utilizadas.
2.50025.00025.000520.00074 - 5
50015003.50043.00053 - 4
10.000220.00070.000250.00041 - 3
Custo por
unidade acelerada
Dif.
Duração
Dif.
Custos
Custo
acelerado
Duração
acelerada
Custo
Normal
Duração
Normal
Atividades do 
Caminho 
Crítico
Resumindo:
Próximo custo menor e que nos 
dá uma aceleração de 2 meses, 
completando a necessidade de 3 
meses (16-13).
4 - 5
Menor custo por unidade 
acelerada.
Com 500, conseguimos uma 
economia de 1 mês.
3 - 4
Não foi necessário usar a atividade de 1 - 3 cujo custo é mais dispendioso.
Para diminuir de 16 meses para 13 meses o custo é:
1 x 500 + 2 x 2.500 = 5.500,00
Se nosso projeto permitir um custo desta envergadura pode-se aceitar o prazo 
imposto. Substituindo nas atividades o tempo normal pelo acelerado tem-se:
( 4 )
( 0 ) ( 8 ) ( 13 )
( 2 )
8
G
4
D
5
6
E
3
C
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
0
5
8 13
4
3o Caso
TARDE > CEDO
Neste caso dá-se ao contrário, ou seja, ao invés de reduzir tem-se que 
AMPLIAR o prazo de execução. 
Exemplo: Seja de 19 meses o novo prazo desejado para a execução do programa 
que inicialmente tinha apresentado um CEDO de 16 meses
( 4 )
( 9 ) ( 16 )
( 2 )
8
G
5
D
7
6
E
4
B
2
A
1
2
3
4 5
F
3
9
12 19
7
3
( 0 )
3=3 - 0No evento 1 
 :
7=9 - 2No evento 2 
 :
3=7 - 4No evento 3 
 :
3=12 - 9No evento 4 
 :
3=19 - 16No evento 5 
 
50021.00019.000920.00074 - 5
---1---3.00063.00053 - 4
2.5002500045.000650.00041 - 3
Economia de 
custo por
unidade 
desacelerada
Dif.
Duração
Dif.
Custos
Custo
desacelera
do
Duração
desacelerada
Custo
Normal
Duração
Normal
Atividades do 
Caminho 
Crítico
 
Vê-se pelo quadro que a atividade que tem a maior economia de custo por unidade desacelerada é a 1-3. 
Aumentando o prazo de planejamento nesta atividade de 4 para 6 meses consegue-se uma economia de 
custo igual a 2 x 2500 = 5000.
Pode-se ainda aumentar 1 mês apenas na atividade 4-5, isto é, de 7 para 8 meses, e teremos uma economia 
de custo igual a 1 x 500 = 500.
(Segunda maior economia) 
Aumenta o prazo em 1 mês.
4 - 5
(Mais economia) Aumente o 
prazo em 2 meses.
1 - 3
Completada a necessidade ( 3 meses) tem-
se uma economia de:
2 x 2.500 + 1 x 500 = 5.500,00
( 6 )
( 11 ) ( 19 )
( 2 )
8
G
5
D
8
6
E
3
C
6
B
2
A
1
2
3
4 5
F
0
8
11 19
6
UDT
PDT
A
8
A
FOLGA
TD = 19 – 1 = 18
3( 1 ) ( 14 ) 199 11
FOLGA
8
UDI
PDI
Primeira chance de realizar a atividade.
Última chance de realizar a atividade.
8
( 14 – 1 ) - 8 = 5
PDT
3( 1 ) ( 14 ) 196 9
( 14 – 1 ) - 8 = 5
PDI
Folga Livre
8
OUTRAS FOLGAS
FOLGA LIVRE(FL) : atraso máximo que uma atividade pode 
ter, sem alterar a data fixada para o CEDO DO EVENTO final 
desta atividade.
FL = ( Cf -Ci) - t
FD= (19 – 3 ) - 8 = 8
3( 1 ) ( 14 ) 1911
FD=( 19 – 3 ) - 8 = 8
FOLGA DEPENDENTE(FD)
É o prazo de que se dispõe a partir do TARDE do evento inicial de uma 
atividade, para realizar esta atividade e concluí-la até ao máximo do TARDE 
do evento final desta mesma atividade. 
FL = ( Tf - Ti ) - t
8
FI = ( 14 – 3 ) - 8 = 3
PDT
3( 1 ) ( 14 ) 196 11
FI = ( 14 – 3 ) - 8 = 3
FOLGA INDEPENDENTE (FI)
É o prazo que se dispõe a partir do TARDE do evento inicial de uma atividade para 
realizar esta atividade e concluí-la ao máximo do CEDO do evento final desta mesma 
atividade.
FI = (Cf -Ti) - t
DURAÇÕES ALEATÓRIAS
 
Numa rede de planejamento utilizando o MÉTODO 
DO CAMINHO CRÍTICO (CPM) admite-se que o 
tempo de duração de cada atividade seja perfeitamente 
conhecido. 
No entanto, utilizando a Técnica de Avaliação e 
Revisão de Programas (PERT) as atividades têm o 
tempo de duração definido, por uma DURAÇÃO 
ALEATÓRIA.
Pela semelhança de ambos os métodos é que 
normalmente costuma-se denominar ambos pela sigla 
PERT-CPM.
ANÁLISE DE RISCO
No trabalho de planejamento na maioria das vezes 
conhece-se a duração de algumas atividades e 
desconhece-se de outras. Portanto, usa-se as 
durações das atividades que se pode determinar e 
para as duvidosas quanto ao seu exato tempo de 
duração pode-se escolher dois caminhos:
Adota-se como tempo de duração da atividade 
aqueleque for julgado mais provável de acordo 
com a nossa análise e o bom senso;
Faz-se uma análise PERT da distribuição dos 
tempos de duração. Para comodidade de cálculo, 
supõe-se que esta distribuição de tempos se dê 
segundo a lei Beta de probabilidade. 
ANÁLISE DE RISCO
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Para chegar-se à lei Beta é necessário iniciar-se 
relembrando o que seja uma Distribuição Normal.
Seja uma análise da altura de várias pessoas adultas 
existentes numa certa região.
Verifica-se que um número pequeno de pessoas tem 
altura inferior a 1 metro. São os anões.
Igualmente, existe um número muito pequeno de pessoas 
com altura superior a 2,40 metros. São os gigantes.
Portanto, a grande maioria das pessoas têm a altura ao 
redor de 1,70 metros.
Colocando-se estes dados num gráfico tem-se que a 
simetria da curva mostra uma DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
dos dados coletados.
ANÁLISE DE RISCO
ANÁLISE DE RISCO
DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL
DISTRIBUIÇÃO BETA 
Supõe-se, agora, que a pesquisa com relação à grande maioria de 
pessoas tenha dado outro resultado, isto é, que a grande maioria 
tenha suas alturas ao redor de 1,50 m.
A curva representativa não será mais simétrica, isto é, não 
será mais normal.
A curva, neste caso, será assimétrica e diz-se que a 
DISTRIBUIÇÃO é BETA .
Por 
conveniência de 
cálculo e fórmulas 
empregadas, os 
criadores do PERT 
adotaram a curva 
BETA como sendo a 
curva segundo a qual 
as atividades aleatórias 
se distribuem com 
relação à Freqüência.
TEMPO MÉDIO
Seja a análise do tempo de duração de uma 
atividade intitulada “ESCAVAÇÃO E CARGA DE 
MATERIAL DE JAZIDA”.
Esta análise nos fornece três campos de duração:
1 - Tempo Otimista: é o tempo em que imagina-se condições 
ótimas para a execução da atividade, como: condições ótimas de 
terreno, tempo seco etc. 
2 - Tempo Pessimista: é o tempo em que imagina-se adversidade 
para a execução da atividade como: umidade do terreno, problemas 
com distância de transporte, chuvas etc.
3 - Tempo Mais Provável: é o tempo que representa, na opinião da 
pessoa que estima os tempos de duração, aquele que usual e 
normalmente a atividade considerada leva para ser executada.
te 
a   4m   b
6
Fazendo a seguinte representação:
 a = Tempo OTIMISTA, isto é, o tempo mínimo para a 
execução da atividade;
 b = Tempo PESSIMISTA, isto é, o tempo máximo para a 
execução da atividade;
m = Tempo MAIS PROVÁVEL, isto é, o tempo que 
usualmente esta atividade levaria se fosse repetida várias 
vezes.
te = Tempo esperado.
Pela Teoria das Probabilidades, tem-se:
Estatisticamente, o TEMPO ESPERADO representa um valor que 
possui 50% de probabilidade de ser alcançado e 50% de não ser 
alcançado.
Levantando uma perpendicular no valor de te ( tempo de duração) até alcançar 
a curva, tem-se que a área de um lado sob a curva será igual à área do outro lado, 
sob a curva .
Consulta-se então um especialista em serviço de TERRAPLENAGEM entregando-lhe os dados do projeto.
Para efeito deste exemplo imagina-se, porém que não tenhamos a sondagem do terreno por meio da qual o 
especialista poderia conhecer a natureza das várias camadas de terra no local.
O especialista, entretanto, é pessoa que conhece razoavelmente a região e as redondezas da obra, em virtude de 
serviços similares de outras obras ali executadas.
Ele estudará os dados do projeto e após a escolha do tipo de execução desta TERRAPLENAGEM se será feita 
com CARREGADEIRA x CAMINHÕES BASCULANTES ou MOTO-ESCRAPERS COM TRATOR DE ESTEIRA 
bem como após analisar as distâncias de transporte dirá:
“Existe uma probabilidade de 10% de ser ótimo o local e serem executadas os serviços, nesta época, sem 
chuvas ou problemas. Nestas condições sua duração será de 50 dias”.
Portanto,
a = tempo otimista = 50 dias 
“Igualmente, existe uma probabilidade de 10% de ser péssimo o local e serem executados os serviços, nesta 
época, com chuvas e problemas. Nestas condições sua duração será de 100 dias.”
Portanto,
b = tempo pessimista = 100 dias
“Existem porém, a probabilidade de 60% de ser regular o local e serem executados os serviços, nesta época, com 
relativa facilidade e tempo regular. Nestas condições sua duração será de 70 dias”.
Portanto,
m = tempo mais provável = 70 dias
Diante destas informações, pode-se calcular o tempo esperado:
te 
a   4m   b
6
50 4   x  70   100
6
430
6
71 ,6  dias
Este tempo 
esperado de 71,6 dias 
terá, portanto, 50% 
de probabilidade de 
ser o tempo de 
duração dos serviços 
de 
TERRAPLENAGE
M.
Fazendo a representação gráfica do exposto, tem-se:
Em virtude da ordenada vertical representar sempre a Freqüência de 
Ocorrência, pode-se desprezar sua representação e representar somente a curva, 
com seus valores na ordenada horizontal:
Tem-se então:
Em virtude:
1 - da pequena diferença entre 70 e 71,6;
2 - da consideração de que 71,6 provém de dados atribuídos pelo próprio 
Estimador (50; 70 e 100);
3 - do fato de ter sido dado a m um grande peso (4 vezes) na média ponderada de 
te;
4 - muitos planejadores preferem adotar um valor único para a atividade em 
questão.
Assim, no caso apresentado dos serviços de TERRAPLENAGEM, 
estes planejadores, em lugar de fazerem os cálculos de te, adotariam 
desde o início o valor 70 como tempo de duração desta atividade.
É preciso tomar muito cuidado com a escolha dos estimadores, a 
fim de que eles se sintam livres de qualquer influência.
Se o estimador sentir responsabilidade pelo tempo estimado da 
atividade, tenderá automaticamente a aumentar o tempo de estimação.
VARIÂNCIA
Variância é uma grandeza estatística que fornece o 
grau de incerteza associado à distribuição.
Se a variância for grande, haverá incerteza a 
respeito do tempo da atividade; se ela for pequena 
haverá pequena incerteza, ou seja, haverá maior 
precisão.
A variância é representada por σ2.
Para o tipo de curva Beta admitido para a 
distribuição dos tempos das atividades do Método 
PERT, a variância tem o seguinte valor, baseado 
numa simplificação matemática:
22
6
)ab(=σ −
onde:
 a = tempo otimista para a 
execução da atividade;
 b = tempo pessimista para a 
execução da atividade.
Calcula-se o valor da variância para o exemplo dos 
serviços de TERRAPLENAGEM já apresentado.
Tem-se:
a = 50 dias
b = 100 dias 
3869
38698,33
6
50
6
50100
2
2222
,=σ
,==)(=)(=σ −
0 
0
6
2
22
=σ
=)mm(=σ −
Se em lugar de se terem aceitas 3 estimativas de tempo 
(otimista, pessimista e mais provável) tivesse sido aceita 
apenas uma, ter-se-ia a coincidência dos três valores.
Neste caso, a =m=b
O valor da variância seria: Portanto, na certeza 
absoluta do tempo de uma 
atividade, a variância é nula.
Quando a variância for 
diferente de zero podemos 
afirmar que a precisão do 
tempo da atividade será tanto 
maior quanto menor for a 
variância.
DESVIO PADRÃO
A matemática provou que, numa distribuição normal,
1 - 68% dos valores, aproximadamente, se localizam dentro de um 
desvio-padrão de ± 1 ao redor da média.
2 - 95% dos valores, aproximadamente, se localizam dentro de um 
desvio-padrão de ± 2 ao redor da média.
3 - 99,7% dos valores, aproximadamente, se localizam dentro de 
um desvio-padrão de ± 3 ao redor da média.
6
a-b=σ 2σ
Existem, portanto, numa distribuição normal, 6 desvios-padrão 
característicos.
Designando por σ o valor de cada um destes desvios-padrão.
Tem-se então:
σ = Desvio-padrão
Existem bases matemáticas para admitir que os valores calculados e 
oriundos de uma distribuição normal sejam usados para os fins de PERT com 
distribuição BETA.
Do mesmo modo com a variância, temos que o desvio-padrão também nos 
fornece uma idéia do grau de incerteza associado à distribuição.Para avaliar o grau de incerteza alguns preferem calcular a variância, 
enquanto outros escolhem o desvio-padrão.
Quando as durações são aleatórias já vimos que são calculados para cada 
atividade os tempo esperados, te.
Em seguida, estes tempos esperados são admitidos como se fossem os 
tempos exatos de todas as atividades.
=
Tudo se passa, deste ponto em diante, da 
mesma forma como já foi explicado para 
as atividades de tempos perfeitamente 
determinados.
Calculam-se os “CEDOS” , os 
“TARDES” e o CAMINHO CRÍTICO 
do mesma modo já explicado.
Folgas
Admitindo-se que os tempos 
esperados das atividades sejam exatos 
define-se todas as FOLGAS (TOTAL, 
LIVRE) como FOLGAS MÉDIAS 
(TOTAL, LIVRE), em que os “CEDOS” 
e os ‘TARDES” são admitidos como 
acima explicado.
VARIÂNCIA TOTAL DE UMA REDE DE 
PLANEJAMENTO
A Variância Total de uma rede de 
Planejamento é igual à soma das variâncias das 
atividades consideradas segundo o caminho 
crítico.
Este fato provém de considerações de teorema 
de matemática que determina que a média da 
soma de variáveis aleatórias é igual à soma das 
médias destas variáveis aleatórias.
A variância Total também é chamada 
Variância Média.
TEMPO ESPERADO TOTAL DE UM 
PLANEJAMENTO
Pelas mesmas considerações do teorema 
de matemática aludido, pode-se definir 
TEMPO ESPERADO TOTAL de uma 
Planejamento com durações aleatórias.
TEMPO ESPERADO TOTAL de um 
Planejamento é igual à soma dos tempos 
esperados das atividades consideradas 
segundo o caminho crítico.
O Tempo Esperado Total também é 
chamado Tempo Esperado Médio.
Exercício de aplicação
Seja calcular os "Cedos", os "Tardes", o Caminho Crítico, as Variâncias, a Variância Total, os Tempos 
Esperados e o Tempo Esperado Total da seguinte rede PERT:
1
3
5 7 8
6
2 4
1116107 - 8
101596 - 7
91365 - 7
81254 - 7
71034 - 5
6923 - 6
5723 - 5
4622 - 4
2311 - 3
3411 - 2
mbaATIVIDADE
a 4 m b
6
s2 b a
6
2
s2 Sabemos que:
te = Tempo esperado = 
 = Variância = 
*1,0011,667 - 8
1,0010,666 - 7
*1,349,165 - 7
1,348,164 - 7
*1,346,834 - 5
1,345,833 - 6
0,684,833 - 5
*0,434,002 - 4
0,102,001 - 3
*0,252,831 - 2
CAMINHO CRÍTICOteATIVIDADE
s2
Apresentação da rede colocando os valores dos Tempos Esperados, os 
"Cedos" e os "Tardes" e marcando o Caminho Crítico 
s2
1 8
s2
1 2
s2
2 4
s2
4 5
s2
5 7
s2
7 8
s2
1 8
0,25 0, 43 1,34 1,34 1,00 4,36
s2
1 8
4,36
t
e
1 8
t
e
1 2
t
e
2 4
t
e
4 5
t
e
5 7
t
e
7 8
t
e
1 8
2,83 4, 00 6, 83 9,16 11 ,66 34 ,48
t
e
1 8
34 ,48
Cálculo da Variância Total (ou Variância Média)
- Na rede de eventos 1 a 8 temos:
Substituindo os valores temos:
Cálculo do tempo Esperado Total (ou Tempo Esperado Médio)
- Na rede de eventos 1 a 8 temos:
Substituindo os valores temos:
Ao longo do caminho crítico teríamos a seguinte representação gráfica 
das atividades aleatórias:
Quanto à representação da atividade Soma, que representa o tempo 
esperado total e a variância total, não se tem muita certeza quanto à exata 
forma da curva.
Se por acaso houver dois caminhos críticos numa mesma rede adotar-se-á 
a curva final para aquele que possuir menor variância total.
PROBABILIDADE DE REALIZAÇÃO DE UM 
EVENTO COM DATA PREFIXADA
Pelo planejamento efetuado determinamos as datas da 
realização dos eventos das atividades.
Podemos, então, determinar a probabilidade de realização 
destas datas, principalmente as do caminho crítico e a do evento 
finalíssimo.
Imaginemos que em nosso último exemplo que se tenha 
fixado a data de 36 semanas como conclusão finalíssima de 
todas as atividades.
Verificamos no exemplo apresentado existir a possibilidade 
teórica de término com a data de 34,48 semanas e variância de 
4,36.
Examinemos agora qual a probabilidade de atraso que 
existe.
K
T
e
T
em
s
s 4,36
K
T
e
T
em
s
36 ,00 34 ,48
4,36
1,52
2,09
@ 0,7
Já dissemos que o valor do evento finalísimo possui uma distribuição 
normal. A matemática nos fornece a seguinte expressão: 
onde:
K = Fator de Probabilidade
Te = Tempo preestabelecido para a conclusão do evento 
= 36,00
Tem = Tempo Estimado Médio para a realização do 
evento. É o cedo do evento = 34,48
 = Desvio-padrão do evento, ou seja, a raiz quadrada da variância deste evento = 
. (Não esquecer que para esta finalidade foram consideradas apenas as 
atividades do caminho crítico).
Substituindo estes valores na expressão de K, temos:
Entrando com o valor de K = 0,7 na Tabela de Valores de uma 
Função de Distribuição Normal verificamos que a este valor 
corresponde uma probabilidade de 75,80% de realização.
Em outras palavras: existe uma probabilidade de 
75,80% de se concluir o evento final na data prefixada.
Se tal probabilidade de realização existe, é claro que a 
probabilidade de não realização é igual a 100% - 75,80% = 
24,20%.
TABELA DE VALORES DE UMA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
95,541,78,08- 1,4
94,521,66,68- 1,5
93,321,55,48- 1,6
91,921,44,46- 1,7
90,321,33,59- 1,8
88,491,22,87- 1,9
86,431,12,28- 2,0
84,131,01,79- 2,1
81,590,91,39- 2,2
78,810,81,07- 2,3
75,800,70,82- 2,4
72,570,60,62- 2,5
69,150,50,47- 2,6
65,540,40,35- 2,7
61,790,30,26- 2,8
57,930,20,19- 2,9
53,980,10,13 - 3 
50,000,00,00Menor que - 3
Probabilidade
P (%)
Fator de 
probabilidade
K
Probabilidade
P (%)
Fator de 
probabilidade
K
TABELA DE VALORES DE UMA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL
Probabilidade
P (%)
Fator de 
probabilidade
K
Probabilidade
P (%)
Fator de 
probabilidade
K
100,00Maior que 3,0--
99,873,046,02- 0,1
99,812,942,07- 0,2
99,742,838,21- 0,3
99,652,734,46- 0,4
99,532,630,85- 0,5
99,382,527,43- 0,6
99,182,424,20- 0,7
98,632,321,19- 0,8
98,612,218,41- 0,9
98,212,115,87- 1,0
97,722,013,57- 1,1
97,131,911,51- 1,2
96,411,89,68- 1,3
Se a data prefixada fosse 40 em lugar de 36, 
teríamos:
K
40 ,00 4, 48
4,36
5,52
2,09
2,64@2,6
Para K = 2,6 a probabilidade de realização é 
igual a P = 99,53%, ou seja, quase certeza absoluta.
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