Slides do curso Black Belt

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Escola EDTI
Apresentação
Modelo de Melhoria: 
PDSA
Lean Six Sigma
Melhoria vs. Conhecimento
• Boas mudanças resultam da aplicação de conhecimento sobre o 
processo
• Conhecimento é fruto de aprendizado
• O aprendizado das pessoas sobre os processos é realizado de forma 
mais eficiente e eficaz pelo uso do Método Científico
• O Ciclo PDSA é o componente do Modelo de Melhoria que guia o 
aprendizado
Passos do Método Científico
1. Observar um evento
2. Formular uma teoria para a causa do evento; fazer predições com 
base na teoria
3. Testar a teoria através de um experimento
4. Analisar os resultados do experimento e concluir a respeito da 
teoria
5. Relatar os resultados à comunidade científica (publicar o trabalho)
Método Científico nas Organizações (Ciclo 
PDSA)
1. Observar um evento
2. Formular uma teoria para a causa do evento; fazer predições com 
base na teoria
3. Testar a teoria através de um experimento
4. Analisar os resultados do experimento e concluir a respeito da 
teoria
5. Aplicar o conhecimento obtido para realizar mudanças que 
resultem em melhoria
Ciclo PDSA
Adaptado do livro “The Improvement Guide”
Plan
•Objetivo
•Questões e Predições
•Plano para coletar 
dados (O que, Onde, 
Quando)
Do
•Executar o Plano
•Observar e anotar 
eventos não 
planejados
•Iniciar a análise dos 
dados
Study
•Completar a análise 
dos dados
•Comparar resultados 
com as predições
•Resumir o 
aprendizado
Act
•Executar ações em 
função dos resultados
•Outro ciclo?
Rascunho de Deming do Ciclo de 
Shewhart - 1985 
Walter Shewhart
(1891 – 1967)
Quando usar um PDSA?
• Construir conhecimento para ajudar a responder qualquer uma 
das 3 questões fundamentais 
• Testar uma mudança
• Implementar uma mudança
O PDSA é útil para aprender sobre algum 
aspecto do processo ou de uma atividade de 
rotina. Por exemplo, uma coleta de dados de 
um processo, um teste de mudança, uma 
pesquisa com clientes, etc.
Usando PDSA em sequência
• Em um iniciativa de melhoria, ciclos PDSA são utilizados 
para entender a situação atual de um processo, e para 
desenvolver, testar e implementar mudanças – um ciclo 
“puxa” o outro.
PDSA: Exemplo
Questões
1. Como é a distribuição dos valores das 
compras?
2. Quais tipos de compras são mais 
freqüentes?
Predições
1. A maior parte das compras está entre R$ 
2.000 e R$ 3.000
2. O tipo de compra mais freqüente é o 
“Menor preço””. Poucas compras são do 
tipo “”Reservado”
Objetivo: Conhecer como se comporta a demanda para o setor de compras
Plano de coleta de dados
 De uma amostra de 200 compras realizadas nos últimos seis meses anotar o valor e 
o tipo de compras
 O Alberto é responsável por coletar os dados. Instruí-lo sobre como amostrar, 
anotar os valores e digitar em uma planilha
 A Madalena deve preparar um gráfico de frequência dos valores das compras e um 
gráfico de barras com as porcentagens por tipo de compra
 A equipe deve se reunir para analisar os gráficos
DO
 Coletar os dados
 Observar e anotar anomalias durante o processo de coleta dos dados
PLAN
Planilha de dados (24 primeiras linhas)
Amostra Número processo Status Protocolo Emissão OF Total (dias) Valor
1 05/06453 menor preco 8/26/05 9/6/05 7 R$ 333.90
2 05/06463 menor preco 8/24/05 8/31/05 5 R$ 384.79
3 05/06464 reservado 8/24/05 8/31/05 5 R$ 2,880.00
4 05/06465 menor preco 8/25/05 8/30/05 3 R$ 612.00
5 05/06479 menor preco 8/26/05 9/27/05 21 R$ 58.05
6 05/06483 reservado 8/26/05 9/8/05 8 R$ 629.10
7 05/06484 reservado 8/26/05 8/31/05 3 R$ 7,980.00
8 05/06485 reservado 8/29/05 9/12/05 9 R$ 8,343.31
9 05/06486 reservado 8/26/05 9/1/05 4 R$ 892.00
10 05/06487 reservado 8/26/05 9/9/05 9 R$ 4,990.50
11 05/06503 reservado 8/4/05 9/12/05 28 R$ 48.00
12 05/06529 reservado 8/29/05 9/12/05 9 R$ 1,046.00
13 05/06540 reservado 8/30/05 9/15/05 11 R$ 428.91
14 05/06542 reservado 8/29/05 9/9/05 8 R$ 122.50
15 05/06544 reservado 8/29/05 9/6/05 6 R$ 7,024.00
16 05/06545 reservado 8/31/05 9/1/05 1 R$ 20,563.75
17 05/06546 reservado 8/29/05 9/30/05 23 R$ 17,000.00
18 05/06548 reservado 8/30/05 11/7/05 48 R$ 800.00
19 05/06562 reservado 9/1/05 9/5/05 2 R$ 300.00
20 05/06565 reservado 8/31/05 9/22/05 15 R$ 2,048.80
21 05/06566 reservado 8/31/05 9/20/05 13 R$ 7,600.00
22 05/06583 reservado 8/30/05 9/8/05 6 R$ 2,300.00
23 05/06584 menor preco 8/30/05 9/14/05 10 R$ 1,600.00
24 05/06586 menor preco 8/30/05 9/13/05 9 R$ 1,667.00
PDSA: Exemplo 
STUDY
Mais de 80% dos valores estão abaixo de 
R$2K, sugerindo que um processo mais 
simples pode ser desenvolvido para essas 
compras
ACT
1. Entrevistar os compradores para entender as causas de demora em aquisições abaixo de 
R$2K
2. Iniciar um novo ciclo PDSA para avaliar se existe diferenças no tempo médio de aquisição 
entre “Reservado” e “Menor preço”
50% das compras é do tipo “Reservado” , 
contradizendo a predição inicial
Formulário para documentação de PDSA em 
projeto
PDSA Pergunta(s) a serem 
respondidas
Dados que preciso 
coletar para 
responder à(s) 
perguntas(s)
Responsável 
(quem) e quando 
terei os dados
Aprendizados
PDSA vs. PDCA
Fase EDTI DMAIC PDCA
1 Entender
Define
PlanMeasure
2 Desenvolver Analyse
3 Testar Improve Do
4 Implementar Control
Check
Act
• O PDCA é um roteiro de 
projeto, alternativo ao 
DMAIC e útil em projetos 
de baixa complexidade
• O PDSA é roteiro de 
aprendizado.
• Vários PDSA são 
realizados durante um 
projeto
Modelo de Melhoria
Adaptado do “The Improvement Guide”
As Três Categorias de Melhoria
Reduzir ou eliminar problemas, sem aumentar 
custos
Reduzir significativamente os custos, ao mesmo 
tempo que a qualidade é mantida ou melhorada
Aumentar as expectativas dos clientes
Estruturação do 
trabalho em equipe
Trabalho em Equipe
Equipes de Melhoria
Um pequeno grupo de pessoas com habilidades 
complementares, que aprenderam a trabalhar em 
conjunto para alcançar um objetivo comum, 
mantendo-se mutuamente responsáveis pelo 
mesmo. 
Início do trabalho
• Formação da equipe
• Identificar os componentes da equipe
• Atribuir papéis e responsabilidades
• Compreender as equipes e trabalho em equipe 
• Os ciclos de desenvolvimento de equipes
• Estruturação do trabalho
Iniciando um novo esforço de melhoria
• Coisas para ter em mente quando se inicia um novo esforço de 
melhoria:
• Comunique às pessoas da organização porque o projeto foi selecionado e as 
estratégias organizacionais que estão alinhadas com o os objetivos do projeto.
• Oriente as pessoas sobre o apoio disponível dentro e fora da organização.
• Faça os acertos necessários para assegurar que seja disponibilizado tempo para 
que as pessoas atuem no projeto.
• Forneça treinamento e outros recursos necessários para os esforços de 
melhoria.
Quatro Condições para que a equipe tenha 
Sucesso
Baseado no trabalho de Lewin, Weisbord (1987):
• Interdependência
• Liderança 
• Decisão conjunta
• Igual Influência
Etapas no Desenvolvimento de Equipes
Perform Form
Norm Storm
Desenv. da
equipe
Tuckman,1955
Fases do desenvolvimento
• Cada estágio é importante para o desenvolvimento da 
equipe
• Liderança e habilidades de facilitação do trabalho em
equipe ajudam a equipe a atravessar cada estágio
16
Estruturação do trabalho em equipe -
Modelo GRPI
• Esclareça a esfera de atuação do projeto, ordens e autorizações, missão e objetivos, e assegure-se de 
que todos os membros da equipe os compreendam e apoiem. Questione se essa é a equipe 
adequada para o projeto ou se são necessárias pessoas adicionais para a equipe
Objetivos (Goals)
• Esclareça os papéis e as responsabilidades de todos os envolvidos na Iniciativa, incluindo os 
patrocinadores (veja o RACI abaixo), e certifique-se de que todos os membros os entendam e 
tenham as competências necessárias. Certifique-se de que há recursos suficientes e de que se 
necessário as pessoas terão treinamento.
Papéis (Roles)
• Estabeleça normas para o grupo sobre como a equipetrabalhará em conjunto, e defina os métodos 
de resolução de problemas. Garanta que os processos sejam claros, compreendidos, aceitáveis, 
fáceis de seguir, e de que eles são seguidos
Processos (Processes)
• Defina comportamentos de apoio da equipe (inclusive aqueles definidos pelos Valores Corporativos), 
e planeje atividades iniciais para desenvolver um alto nível de confiança e de aceitação de diferenças
Relações interpessoais (Interpersonal Relationships)
Papéis de pessoas na equipe de melhoria
• Patrocinador: ajuda a legitimar o trabalho da equipe; fornece tempo para 
trabalhar no projeto e recursos, quando necessário; exerce o papel de revisor 
objetivo do progresso da equipe.
• Líder: conduz as iniciativas de melhoria. Dedica metade de seu tempo para o 
projeto. Gestor de projetos, especialista em processos, sabe sobre melhoria.
• Proprietário do processo: atua diretamente no processo; sabe como as coisas 
realmente funcionam no processo; tem ideias de mudança; testa as mudanças.
• Especialistas domina o conhecimento específico; ajuda a desenvolver 
protocolos e mudanças baseadas em evidências; lidera mudança na cultura.
• Facilitador: conhecimento de ciência melhoria, incluindo a medição. Presta 
consulta para a equipe. Seu papel no projeto se reduz à medida que a equipe 
progride com o projeto.
Planilha RACI
RACI
N0 Tarefa Responsável Acountable Consultado Informado
A pessoa que realiza a 
ação
A pessoa que é, em 
última instancia, 
responsável
Pessoa que é 
consultada antes da 
ação ser realizada
Pessoa que é 
informada depois 
que a decisão final é 
tomada
Métodos para a Tomada de Decisão
Método 
Quando Usar Este 
Método 
Vantagens Desvantagens 
A decisão é tomada por 
uma pessoa, sem 
discussão com outros 
 prazo criticamente 
curto 
 decisões de rotina 
 uma pessoa possui 
todo o conhecimento 
necessário 
 método mais rápido  não há aprendizado 
 o apoio é 
normalmente limitado 
A decisão é tomada por 
uma pessoa após 
discussão com outros 
 prazo curto 
 decisões de rotina 
 método rápido 
 algum 
compartilhamento de 
conhecimento 
 pouco aprendizado 
 o apoio pode ser 
limitado 
Votação ou decisão por 
maioria 
 número maior de 
pessoas envolvido 
 permite entradas de 
todos 
 não toma muito 
tempo 
 normalmente 
contraria uma parte 
da equipe 
Consenso  decisão afeta muitas 
pessoas 
 aprendizado é um 
aspecto importante 
da atividade 
 ênfase na melhoria a 
longo prazo 
 aprendizado é 
maximizado 
 equipe apóia a decisão 
100% 
 decisão toma tempo 
 necessária uma certa 
maturidade 
profissional por parte 
da equipe 
 
Pulsação: manter o projeto
• Assuntos diversos: 5 min, stand-up, status diário de PDSA e 
próximos passos.
• Reuniões de equipe (1-2 semanas): revisar os resultados e 
cronograma, palnejar ciclos de mudança.
• Revisão com Patrocinador (1-3 x por mês): rever o progresso e os 
planos no nível de resultado.
Cultura e Melhoria
Cultura é direcionada por “pressuposições… que dizem aos 
membros da equipe como perceber, pensar e sentir sobre as 
coisas”
Edgar H.Schein, Organizational Culture and Leadership, 2010
C5
C1
C4
C6
C7C2
C8C3
C9
Muitas microculturas que 
não estão integradas
Uma “cultura” dentro de 
microculturas integradas
C5
C1
C4
C6
C7C2
C8
C3
C9
Cultura e Melhoria
Quantas culturas existem 
em sua organização?
Componentes Organizacionais Que 
Influenciam Como a Cultura é Criada
Medição e 
Informação
Incentivos Projeto 
Organizacional 
Cultura
(Normas e 
Comportamentos)
• Recrutamento
• Treinamento
• Desenvolvimento
• Atitudes
• Valores
• Desempenho
• Avaliações
• Recompensas
• Celebrações
• Compensações
• Dados para 
avaliação
• Dados para 
ação
• Métodos e 
ferramentas 
comuns
• Comunicação
• Educação
• Informação
•Estruturas de 
apoio
• Liderança
Que tipo de cultura de melhoria da qualidade você quer criar?
Questões de 
Recursos 
Humanos
Fonte: R. Lloyd. Quality Health Care: A Guide to Developing and Using Indicators. Jones and Bartlett Publishers, 2004.
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Q X A = E
Qualidade da 
Solução
X
Aceitação da 
Solução
=
Eficácia da 
Solução
“Discussão” e “Dialogo”
Senge (1990) contrastou as ideias de discussão e 
diálogo…
“No aprendizado da equipe, a discussão é a contrapartida 
necessária ao diálogo. Numa discussão, diferentes pontos de vista 
são defendidos e ... isso pode fornecer uma análise útil da 
situação como um todo. No diálogo, diferentes pontos de vista 
são apresentados como meio de descobrir uma nova visão. Numa 
discussão são tomadas decisões. Num diálogo, problemas 
complexos são explorados. Quando uma equipe precisa chegar a 
um acordo e tomar decisões, será necessária uma discussão.
Características do Diálogo
• Oposição é minimizada
• A participação neste "pool de sentido comum" é aumentada
• Constante desenvolvimento e mudança guia as palavras
• Nenhum propósito pré-estabelecido e um novo propósito pode surgir
• Nenhum membro é excluído e nenhum conteúdo específico é excluído
• Surge a consciência da natureza das relações
• Ocorre a transformação das relações
• Há um início de um diálogo que não tem fim
Regras para o feedback
Quem fala Quem ouve
• Comece com aspectos 
positivos 
• Ouça seus próprios 
sentimentos 
• Fala aberta e honesta 
• Dirija-se à pessoa 
diretamente 
• Seja conciso 
• Não especule
• Ouça sem retrucar 
• Não justifique 
• Questões de compreensão 
são permitidas 
• Use o feedback para seu 
desenvolvimento pessoal
Três das principais ameaças para a construção de 
um diálogo
• The Ladder of Inference
(A escada da inferência)
• Conversas 
Difíceis
• Pensamento
de grupo 
Conversas Difíceis
“A conversa difícil é aquele que você não 
quer ter!"
Cada conversa difícil são realmente três 
conversas separadas:
1. A conversa "O que aconteceu?" (os 
fatos objetivos) 
2. A conversa “Sentimentos” (meus 
sentimentos, bem como as dos outros)? 
3. A conversa “Identidade” (uma 
conversa com nós mesmos sobre o que 
esta situação significa para nós)
A Escada da Inferência
"Vivemos em um mundo de crenças autogeradas que permanecem 
em geral não testadas.
Adotamos essas crenças porque eles são baseados em conclusões que 
são inferidas a partir do que observamos, além de nossa experiência 
passada
Nossa capacidade de atingir os resultados que verdadeiramente 
desejamos é corroída pelos certeza de que:
• Nossas crenças são as verdadeiras!
• A verdade é óbvia!
• Nossas crenças são baseadas em dados reais!
• Os dados que selecionamos são os dados reais! “
Fonte: Senge, P. et. al. The Fifth Discipline Fieldbook. Doubleday, New York, 1994, page 242.
A “Escada da Inferência" foi inicialmente 
desenvolvida pelo Dr. Chris Argyris, e 
subsequentemente apresentada por Peter 
Senge's no livro “A Quinta Disciplina –
Caderno de Campo."
A Escada da Inferência
Como escapar do loop da Escada 
da Inferência e melhorar a 
qualidade de nossas decisões
1. Questione suas suposições e 
conclusões
2. Procure por dados que 
contrariam suas suposições e 
conclusões
Exemplos da Escada da Inferência
Sara, sua 
performance não 
chega perto do 
desejável, fala o 
diretor
O diretor 
iniciou o 
processo de 
fritura de Sara
O diretor 
pensa que o 
trabalho de 
Sara é 
inaceitável
Ele implica com 
Sara por que ela 
é mulher
O diretor não 
gostaria de ter 
mulheres na 
equipe
Nas duas ultimas 
reuniões 
marcadas Angela 
não pareceu
Elas são marcadas 
com antecedência 
suficiente e ela não 
pode alegar que não 
sabia
Fiquei sabendo 
que Angela já 
faltou a outras 
reuniões
Angela é 
descompromissada e 
sem interesse
“Um modo de pensar no qual as pessoas se empenham quando estão 
profundamente envolvidas num círculo coeso, quando os esforços dos 
membros em prol da unanimidade sobrepujam suas motivações para 
avaliar realisticamente cursos de ação alternativos. " 
Dr. Irving Janis
Groupthink!
(Pensamentode Grupo)
Os oito sintomas do “Pensamento de Grupo”
• Sintoma 1: Ilusão de invulnerabilidade
• Sintoma 2: A crença na moralidade inerente do grupo
• Sintoma 3: Racionalização
• Sintoma 4: Visão distorcida dos inimigos
Sintoma 5: Autocensura
• Sintoma 6: Pressão direta sobre os membros
• Sintoma 7: Proteção da Mente (contra informações negativas)
• Sintoma 8: Ilusão de Unanimidade
Quatro Maneiras de evitar o Pensamento de 
Grupo
1. Criar um clima aberto para discussão e debate (Estilo aberto de 
liderança, pensamento divergente e não julgamento de atitudes)
2. Evite o isolamento do grupo (Traga perspectivas externas)
3. Atribuir a membros da equipe o papel da Avaliador Crítico (Cada 
membro do grupo deve ser um avaliador crítico; desafiar as "vacas 
sagradas")
4. Evitar ser demasiado diretivo (Os líderes precisam ser menos diretivo e 
recorrer ao grupo para tomar decisões)
Exercício: questões para estabelecer um 
diálogo sobre Pensamento de Grupo
1. Quem tem a responsabilidade primária em uma discussão em grupo, o líder ou os membros
da equipe?
2. Que tipo de decisões se prestam a uma decisão de consenso? Que tipo de decisões se
prestam a uma decisão de comando por um gerente, supervisor ou qualquer outro líder?
3. Você já fez parte de uma decisão de grupo que deu errado? Você era a favor da decisão final
ou um crítico?
4. Quem define o clima ou o tom em reuniões de grupo na maioria das organizações? Em sua? O
clima de uma reunião pode afetar a forma como as decisões são tomadas? Você pode
oferecer um exemplo de como isso ocorreu?
5. Quando um indivíduo fala contra um consenso do grupo em sua organização, qual é o
resultado provável? O indivíduo será recompensado ou censurado?
As lentes do Conhecimento Profundo:
uma ferramenta para o diálogo
O sistema de conhecimento 
profundo proporciona uma 
lente. Ele fornece uma nova 
teoria para compreender e 
otimizar nossas organizações. 
Ele fornece uma oportunidade 
para o diálogo!
Visão 
Sistêmica
Entendimento de 
Variação
Teoria do 
Conhecimento
O Lado 
Humano da 
MudançaMC
Estatística
Probabilidade
Estatística
Incerteza e intuição
• A intuição humana é mal adaptada a situações que envolvem 
incerteza.
• Pesquisas recentes mostram que em situações que envolvem o 
acaso nossos processos cerebrais costumam ser gravemente 
deficientes.
• Os processos aleatórios são fundamentais na natureza, e 
onipresentes em nossa vida cotidiana; ainda assim, a maioria das 
pessoas não os compreende nem pensa muito a respeito.
Um pouco de História
• A teoria da probabilidade tal como a conhecemos hoje, foi em grande parte desenvolvida 
por cientistas como Girolamo Cardamo (1501-1576), Galileu Galilei (1564-1642), Blaise
Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-1665), Jackob Bernoulli (1654-1705), Abraham 
de Moivre (1667-1754), entre outros.
• O desenvolvimento da teoria da probabilidade é muitas vezes associado com os jogos de 
azar em famosos cassinos europeus, como o que está em Monte Carlo. 
• Muitos livros sobre probabilidade e estatística contam a história de Chevalier de Mère, um 
jogador francês, que contou com a ajuda de Pascal em um esforço para obter as 
probabilidades de ganhar em certos jogos de azar, desenvolvendo assim esse campo do 
conhecimento.
Um pouco de História
• Os gregos da Antiguidade se destacam por terem inventado a maneira como a matemática é levada a 
cabo: por meio de axiomas, provas, teoremas etc.
• Por que motivo eles não criaram uma teoria para demonstrar que se jogamos dois dados seria pouco 
sábio apostar uma grande quantia na possibilidade de que ambos caiam com o número 6?
• O futuro se desvelava conforme a vontade dos Deuses
• Insistência na verdade absoluta, provada pela lógica e sustentada pelos axiomas
• Desconhecimento da aritmética; ausência de um sistema de representação numérica fácil de trabalhar. 
Imagine tentar subtrair  de . A notação base 10 só começa a ser usada no século VII d.C.
• Ausência do zero (só surgiu no século IX d.C.)
• O sinal de igual só foi inventado no início do século XVI
Conceitos básicos
• O que significa Probabilidade?
• É uma medida de incerteza. 
• A probabilidade de um evento é uma medida numérica da chance de 
ocorrência do evento
• Probabilidade é medida por um número que varia entre 0 e 1 (0 é a 
probabilidade de um evento impossível e 1 a probabilidade de um evento 
certo)
Experimento aleatório
• Um experimento aleatório é um processo que tem como resultado 
um de um conjunto possível de resultados. O resultado é uma 
observação ou medição documentada.
• Exemplos
• Pagar a conta no prazo: {Sim, Não}
• Tempo para completar uma ligação: {t: t>0}
• Número de cartões de crédito que um cliente possui: {0, 1, 2...}
Evento e espaço amostral
• Cada resultado possível de um experimento aleatório é um evento simples
• O espaço amostral é a coleção de todos os eventos simples
• Um espaço amostral pode ser finito, finito enumerável ou infinito não enumerável
• Um evento é um subconjunto do espaço amostral (um conjunto com um ou 
mais eventos simples)
• O evento vazio é o conjunto com nenhum evento simples (conjunto vazio)
• A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos eventos simples 
que formam o evento
• A probabilidade do evento vazio é zero
União e intersecção de eventos
• A união de dois eventos A e B é o evento formado por todos os 
resultados que estão em A ou B: Notação AB
• A intersecção de dois eventos A e B é o evento formado por todos os 
resultados que estão em A e B: Notação AB
• O evento complementar de um evento A é formado pelos resultados 
que não estão em A: Notação A´ ou AC
• Dois eventos A e B tal que a intersecção deles é vazia são 
mutuamente excludentes ou disjuntos
União e intersecção de eventos
AB
AB
A´
A
Axiomas de probabilidade
1. P (S) = 1, S o espaço amostral
2. Qualquer que seja o evento 𝐴
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
3. Se A 1 e A 2 são dois eventos que disjuntos 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅ , então
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃( 𝐴2)
• Generalizando, se A1, A2, ... , Ak são eventos mutuamente 
disjuntos, então
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑘 ) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + … + 𝑃( 𝐴𝑘)
4. Se A1 e A2 são dois eventos quaisquer, então
𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃( 𝐴2) − 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2)
Notação
• Denotaremos eventos por letras maiúsculas 𝐴, 𝐵,…
• Seja 𝐴 um evento
• Ex1: 𝐴: evento dos números pares no jogo de dados
𝐴 = 2,4, 6
• Ex2: 𝐴: evento onde o tempo para responder a uma solicitação de crédito é 
maior que 9 dias úteis
𝐴 = 𝑡: 𝑡 > 9
Distribuições de 
probabilidade
Estatística
Variáveis aleatórias
• Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que atribui um número 
real a cada resultado do espaço amostral de um experimento 
aleatório
• Variável aleatória discreta
• Assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável
• Variável aleatória contínua
• Assume valores em um intervalo finito ou infinito de números reais
• Notação: em geral a v.a. é denotada por uma letra maiúscula do final 
do alfabeto (X, Y, Z, …);
Exemplo
• Um banco classifica seus clientes como “rentável”, “neutro”, “não 
rentável”. Na base de clientes, a proporção é a seguinte:
• Seja X a v.a. definida como: 1 se cliente é R; 0 se cliente é N e -1 se 
cliente é NR. Distribuição de X: 
Classificação Porcentagem
R 50%
N 40%
NR 10%
X Prob
-1 0.1
0 0.4
1 0.5
Distribuição de probabilidade discreta
• Exemplo: em um censo é coletado o número de filhos do casal
• Para uma família escolhida ao acaso, qual a probabilidade que ela tenha 2 filhos?
Nº de Filhos %.
0 10%
1 30%
2 35%
3 20%
4 5%
Distribuição de probabilidade discreta
• Para uma variável aleatória discreta X com valores x1, x2, ..., xn a 
distribuição de probabilidade é dada por
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
• A distribuição de probabilidade satisfaz
 𝑓 𝑥𝑖 = 1
Distribuição de probabilidade discreta
• Seja 𝑋 o número de filhos do casal;
• 𝑋 = {0,1,2, 3, 4}
• 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = {0.1,0.3, 0.35, 0.20,0.05}, para 𝑥𝑖 = {0, 1,2, 3, 4}
• 𝑋 é uma v.a. discreta
• 𝑃 𝑋 = 𝑖 = 1
Distribuição de probabilidade discreta
• Distribuição de probabilidade da variável aleatória 𝑋
X 0 1 2 3 4 Soma
P(X=xi) 0.10 0.30 0.35 0.20 0.05 1
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
P
(X
)
0 1 2 3 4
X
Distribuição: Número de filhos
Medidas de localização 
e de variação
Estatística
Média ou valor esperado
• Seja 𝑋 v.a. discreta com distribuição {𝑥𝑖, 𝑃(𝑥𝑖); 𝑖 = 1,2, …𝑛}, onde 
𝑃(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
então, 
E X = 𝑀é𝑑𝑖𝑎(𝑋) = (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 × 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒), 
ou
𝐸 𝑋 = 𝜇 = 
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑃 𝑥𝑖
Exercício
• Calcule o valor esperado da variável aleatória 𝑋 que representa o 
número de filhos do exemplo anterior
X 0 1 2 3 4 Soma
P(X)
0.10 0.30
0.35
0.20 0.05 1
Interpretação do valor esperado
• Suponha que você invista no mercado de ações e 𝑋 seja a variável 
aleatória que representa o resultado desse investimento; 𝑋 =
{−27, 120}; 
• Calcule 𝐸 𝑋
Ganho (g) 120,00 -27,00 Total
P(g) 0.20 0.80 1.00
gP(g) 24,00 -21,60 2.40
Exercício
• Uma empresa de seguros vende uma apólice para 1500 proprietários de um modelo de 
bicicleta mountain bike que protege contra roubo por dois anos. O custo de reposição 
dessa bicicleta é $300.00. Suponha que a probabilidade de um indivíduo ser roubado 
durante o período de proteção é 0.15. Assuma que a probabilidade de mais de um roubo 
por indivíduo é zero e que os eventos são independentes.
a. Qual é o preço de venda da apólice para que haja um equilíbrio para a empresa(ganho 
zero, perda zero)?
b.Se a probabilidade de roubo for 0.10, qual é o ganho esperado por apólice dado o valor de 
venda determinado em (a)?
Aplicação do valor esperado em processos 
decisórios
• Uma fábrica de móveis deve decidir se realiza uma ampliação da capacidade 
instalada agora ou se aguarda mais um ano. 
• Uma análise econômica diz que se ela expande agora e as condições 
econômicas permanecerem boas, ela realizará um lucro de R$328.000,00 no 
próximo ano; caso haja uma recessão, ela terá um prejuízo de R$80.000,00. 
• Se ela adia a expansão para o próximo ano, ela terá um lucro de 
R$160.000,00 se as condições permanecerem boas e terá um lucro de 
R$16.000,00 se houver recessão. 
• Se as chances de que ocorra uma recessão é de 2/3, qual é a decisão que 
maximiza seu lucro?
Propriedades da média (valor esperado)
• Seja 𝑎 e 𝑏 duas constantes e 𝑋 e 𝑌 duas variáveis aleatórias. Então:
A. 𝐸(𝑎) = 𝑎
B. 𝐸(𝑏𝑋) = 𝑏𝐸(𝑋)
C. 𝐸(𝑎 + 𝑋) = 𝑎 + 𝐸(𝑋)
D. 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏𝐸(𝑌)
Variância
• Fornece uma medida de dispersão (variação) dos valores em torno 
da média
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝑥𝑖 − 𝜇
2𝑃 𝑥𝑖
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑋 = 𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
• Pode-se mostrar que
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2
onde 𝐸 𝑋2 = 𝑥𝑖
2𝑃 𝑥𝑖
Propriedades da variância
• Seja a e b duas constantes e 𝑋 e 𝑌 duas variáveis aleatórias. Então:
A. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ≥ 0
B. 𝑉𝑎𝑟(𝑎) = 0
C. 𝑉𝑎𝑟(𝑎 + 𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
D. 𝑉𝑎𝑟(𝑏𝑋) = 𝑏2𝑉𝑎𝑟(𝑋)
E. 𝑉𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏𝑋 = 𝑏2𝑉𝑎𝑟 𝑋
F. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 ,
𝑠𝑒 𝑋 𝑒 𝑌 𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Exercício
Um sistema de envasamento consiste em encher um vidro com 
líquido. Os vidros utilizados tem peso médio de 20g e desvio padrão 
0.5g. 
A quantidade de líquido em peso que é colocada no litro pode ser 
regulada, sendo o valor nominal igual a 185g. 
O desvio padrão do sistema de envasamento é 2g. 
1. Qual é o peso médio e o desvio padrão do vidro cheio?
Modelos probabilísticos 
para v.a. discretas
Estatística
Introdução
•Modelos são utilizados em todos os campos 
da ciência.
•Devem simplificar a realidade ao mesmo 
tempo que representam suas principais 
características.
“Todos os modelos estão incorretos, mas 
alguns são úteis” (George Box)
Distribuição Discreta Uniforme
• O modelo mais simples de distribuição discreta é o 
uniforme
f(x) = 1/n
sendo n= número de valores que a variável aleatória 
pode assumir
Ensaios de Bernoulli
•Considere 𝑛 repetições sucessivas de um 
ensaio (ou teste) com apenas dois resultados 
possíveis que respeite as seguintes regras:
a) Em cada ensaio podem ocorrer somente dois resultados possíveis 
(Sucesso (S) e Fracasso (F)).
b) A probabilidade de sucesso (𝑝) e de fracasso (1 − 𝑝 = 𝑞) é mantida em 
todos os testes.
c) Cada ensaio é independente.
Experimento Binomial
Propriedades:
1. O experimento consiste de um sequencia de n 
ensaios idênticos
2. Dois resultados são possíveis em cada ensaio: 
Sucesso e Fracasso (Ensaio de Bernoulli)
3. p=P(S) não muda de ensaio para ensaio
4. Os ensaios são independentes
Distribuição Binomial
• Considere um experimento Binomial
• Seja X o número de Sucessos nos n ensaios
• A variável 𝑋 pode assumir os valores 0,1,2, . . , 𝑛.
• Então, 
𝑃 𝑋 = 𝑚 =
𝑛
𝑚
𝑝𝑚 1 − 𝑝 𝑛
onde 
𝑛
𝑚
=
𝑛!
𝑚! 𝑛−𝑚 !
, para 𝑚 = 0,1,2,… , 𝑛
• Denotamos 𝑋~𝐵𝑖𝑛 𝑛, 𝑝
Propriedades da B(n,p)
1. 𝐸 𝑋 = 𝜇 = 𝑛𝑝
2. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝑛𝑝 1− 𝑝
Exercício
• Um gerente de conta especial faz vinte ligações por dia para clientes 
para oferecer um novo produto. De experiência passada ele estima 
que a chance de vender o produto para um cliente é 0.10.
a) Se sua meta diária é realizar 4 vendas, qual é a probabilidade que 
ele atinja a meta em um determinado dia?
b) Qual é o número médio de vendas que ele realiza por dia?
c) Qual é o desvio padrão do número de vendas?
d) Qual é o valor mais provável de venda?
Distribuição de Poisson
• Um evento S ocorre no tempo (ou espaço) obedecendo os seguintes 
postulados:
a) Independência: o número de vezes que S ocorre em qualquer 
intervalo de tempo é independente do número de ocorrências de 
S em qualquer outro intervalo de tempo disjunto.
b) Falta de agrupamento: a chance de duas ou mais ocorrências de S 
simultâneas pode ser assumida como sendo zero.
c) Razão: a número médio de ocorrências de S por unidade de 
tempo é uma constante, denotada por l, e ela não muda com o 
tempo.
Distribuição de Poisson
•Seja X o número de ocorrências de S por 
unidade de tempo. Se os postulados anteriores 
são válidos, então 𝑋~𝑃 𝜆 e
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
, 𝑥 = 0,1,2, . . .
onde 𝜆 é o parâmetro que indica o número médio de 
ocorrências de X em um intervalo de tempo unitário
Propriedades da Distribuição de Poisson
1. 𝐸 𝑋 = 𝜆
2. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = λ
Exercício
• Ao enlatar leite em pó, é necessário acrescentar um dosador. A não 
inclusão do dosador é considerada uma falha. O número de falhas 
que ocorrem em um lote produzido tem distribuição de Poisson com 
número médio de falhas igual a 5. 
1. Qual é a probabilidade que em um lote:
a) Uma lata esteja sem o dosador?
b) Duas ou mais latas estejam sem o dosador?
2. Qual é o número mais provável de falhas que ocorrem em um 
lote?
Exercício
• A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora
chegam ao caixa do banco para serem atendidos.
A. Qual é a probabilidade de 3 clientes chegarem em qualquer hora?
B. Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos chegarem em qualquer hora?
C. Qual é a média e o desvio padrão para esta distribuição?
Modelos probabilísticos 
para v.a. contínuas
Estatística
Variável aleatória contínua
• Em um Call Center o tempo de atendimento de um 
cliente é monitorado. Os valores possíveis são em 
princípio, infinitos dentro de um intervalo (a,b), a<b.
• Nesse caso, não faz sentido perguntar qual é a 
probabilidade de que o tempo de atendimento seja 
igual a um valor to . Na realidade, essa probabilidade é 
igual a zero
• O que se pode perguntar é qual é a probabilidade que o 
tempo de atendimento esteja dentro de um intervalo 
(x,y), ou seja, P(x<t<y)
Variável aleatória contínua
• A figura abaixo mostra o histograma de amostrasde tamanho 20, 100, 1000 e 10000 da mesma 
distribuição com uma função contínua f(x) aproximando o histograma. Observe que quanto maior o 
tamanho da amostra, melhor a aproximação. A porcentagem de valores abaixo de 9 é aproximada 
pela área sob a curva à esquerda de 9. Quanto maior o tamanho da amostra, melhor a aproximação 
• %(t < 9) ≅ −∞
9
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo
Valores % de valores
(histograma)
Probabilidade
(distribuição)
(Y < 60) 𝑃 𝑌 < 60 = 0.185 P( Y < 60) = 0.167
(Y >70 𝑃 𝑌 > 70 = 0.140 P (Y > 70) = 0.146
60 ≤ y ≤70 𝑃 60 ≤ 𝑦 ≤ 70
= 0.675
P(60 ≤ y ≤70) =
0.687
Função densidade de probabilidade
• Propriedades da fdp
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥
2. A área sob a curva definida por f(x) é igual a 1, ou seja,
 
−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑒 𝑏, ou seja,
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Média e variância de v.a. contínuas
• Uma variável aleatória contínua 𝑋, em geral, também tem uma 
média e uma variância com o mesmo significado e as mesmas 
interpretações discutidas anteriormente para o caso discreto, mas o 
seu cálculo envolve integrais e não serão objeto de nosso trabalho 
aqui. 
• Para as distribuições que estudaremos aqui, a média e a variância 
serão fornecidas em cada caso.
A distribuição Normal (Gaussiana)
• Dentre as muitas distribuições contínuas usadas em estatística, a mais 
importante é a Distribuição Normal ou Gaussiana. 
• Ela tem a forma de um sino e está associada com os nomes de Pierre 
Laplace e Carl Gauss. 
• Seu estudo remonta ao século XVIII
A distribuição Normal (Gaussiana)
• Importância
• O “efeito central do limite”.
• A robustez ou insensibilidade dos procedimentos estatísticos mais 
comumente usados a desvios da suposição de distribuição normal.
O Efeito Central do Limite
• Seja 𝜀 o erro “total” de medição
• Sob certas condições, geralmente encontradas no mundo da experimentação, podemos 
escrever 𝜀 como a soma dos seus componentes
𝜀 = 𝑎1𝜀1 + ⋯+𝑎𝑛𝜀𝑛
• Exemplo:
• 𝜀: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎
• 𝜀1: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚
• 𝜀2: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜
• 𝜀3: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖çã𝑜
• etc...
O Efeito Central do Limite
• Se a porcentagem individual de contribuição é pequena e o número 
de componente é grande, a distribuição dos erros tende a ser normal
O Efeito Central do Limite - exemplo
• A distribuição de médias de amostras pode ser aproximada pela 
Distribuição Normal
Distribuição da média dos resultados de lançamento de n dados.
Teorema Central do Limite
•Resultado Importante:
Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória de uma variável aleatória X 
com média , variância 2 e distribuição F(x) e seja a média da 
amostra dada por
 𝑋 = 
𝑋𝑖
𝑛
Então a distribuição de 𝑋 converge para a distribuição Normal com 
média  e variância 2/n, ou seja,
 𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎2
𝑛
Procedimentos robustos derivados da 
suposição de normalidade
• Muitas técnicas estatísticas são derivadas da suposição de 
normalidade das observações originais. 
• Em muitos casos, aproximação, em vez de normalidade exata, é 
tudo que se requer para que estes métodos sejam aplicáveis. 
• Considerando isto, eles são ditos robustos à não-normalidade. 
• Desta forma, a menos que seja especificamente alertado, não se 
deve ter excessiva preocupação acerca de normalidade exata.
Distribuição Normal
Muitas características de qualidade contínuas tem distribuição 
razoavelmente simétrica e podem ser aproximadas por uma curva em 
forma de sino conhecida como Curva Normal, que corresponde à 
distribuição Normal ou Gaussiana;
D
e
n
s
it
y
207205204203202201200199198197196195
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Normal 
Definição de uma Curva Normal
Toda Curva Normal é definida por dois números:
1) Média: medida do centro.
2) Desvio padrão: medida de dispersão.
Distribuição Normal
Utilizamos a notação 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2
A fdp de X é dada por
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒
−
1
2𝜎2
𝑥−𝜇 2
−∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞, −∞ ≤ 𝜇 ≤ ∞, 𝜎2 > 0
Propriedades da Distribuição Normal
Para qualquer Distribuição Normal temos:
Cálculo de probabilidades com a curva 
normal
Quando X~𝑁(0,1), chamamos distribuição normal padrão e as probabilidades 
encontram-se tabeladas
Softwares, como o Excel, também possuem fórmulas que realizam esse cálculo
Cálculo de probabilidades com a 𝑁 𝜇, 𝜎2
• Seja 𝑋~𝑁 𝜇,𝜎2
• Considere 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
. Pode-se mostrar que 𝑍 tem distribuição normal 
e
𝐸 𝑍 = 0
𝑉𝑎𝑟 𝑍 = 1
Portanto, 𝑍~𝑁 0,1
Cálculo de probabilidades com a 𝑁 𝜇, 𝜎2
• Se quisermos calcular 𝑃(𝑋 < 𝑏) fazemos
𝑃 𝑋 < 𝑏 = 𝑃
𝑋 − 𝜇
𝜎
<
𝑏 − 𝜇
𝜎
= 𝑃 𝑍 < 𝑧0
onde 𝑧0 =
𝑏−𝜇
𝜎
• Procuramos na tabela 𝑁(0,1) o valor 𝑧0
Exemplo
O diâmetro de uma peça pode ser aproximado pela distribuição 
Normal com média 0.2508 e desvio padrão 0.0005. A especificação 
para do diâmetro da peça é 0.2500±0.0015. Qual é a proporção de 
peças que são produzidas dentro da especificação?
92%0.919240.000000.91024
4.6)P(Z1.4)P(Z1.4)Z4.6P(
0.0005
0.2508-0.2515
Z
0.0005
0.2508-0.2485
P0.2515)XP(0.2485


 





Propriedade da distribuição Normal
• O seguinte resultado é útil quando temos de trabalhar com a soma de duas ou mais 
variáveis aleatórias Normais.
• Se Xi ~ N(μi,σi
2) , i=1,2,...,n são variáveis aleatórias independentes e a1, a2, ... an
constantes. Então
 𝑎𝑖𝑋𝑖 ~𝑁 𝑎𝑖 𝜇𝑖, 𝑎𝑖
2𝜎𝑖
2
ou seja, a combinação de variáveis com distribuição Normal também tem distribuição 
Normal.
Exercício
• O peso bruto de um produto é a soma do peso líquido mais o peso 
da embalagem. Suponha que a máquina que embala o produto é tal 
que o peso líquido colocado na embalagem tem distribuição Normal 
com média igual a 300 g e desvio padrão igual a 2 gramas. O peso da 
embalagem tem distribuição Normal com média igual a 5 g e desvio 
padrão igual a 0.5 g.
a) Qual é a distribuição do peso bruto do produto?
b) Qual dos dois processos é mais preciso?
Distribuição exponencial
• A distribuição exponencial é muito utilizada quando 
trabalhamos com tempo para ocorrência de um evento, por 
exemplo, tempo para atendimento de uma chamada)
𝑓 𝑥 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥
onde x 0
1086420
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
X
D
e
n
s
it
y
0.5
1
2
Alfa
Distribution Plot
Exponential
Distribuição exponencial - propriedades
• Se 𝑋~𝐸𝑥𝑝 𝛼 , então:
𝐸 𝑋 =
1
𝛼
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
1
𝛼2
Relação entre a Poisson e a Exponencial
• Quando usamos a distribuição de Poisson para modelar, por 
exemplo, o número de ligações em um intervalo de tempo é possível 
mostrar que o tempo entre duas ligações sucessivas terá distribuição 
exponencial, ou seja, sob certas condições:
Seja 𝑋: o número de chamadas e 𝑌: tempo entre essas chamadas
𝑋~𝑃 𝜆 ⇔ 𝑌~𝐸𝑥𝑝 𝜆
Exercício
• Suponha que o tempo entre duas ligações seja modelada por uma 
distribuição exponencial de parâmetro 1 minuto. 
• Qual a chance de não acontecerem mais do que 3 ligações em um 
minuto?
Estudo de uma 
população
Estatística
Inferência
• Considere uma população ou um processo e uma variável de 
interesse medida em uma amostra
• Os dados da amostra podem ser usados para realizar inferências 
sobre a população ou o processo
• As características (parâmetros) de interesse são em geral
• A forma da distribuição da variável
• A média
• O desvio padrão
Inferência sobre a média e o desvio padrão
• A inferência sobre a média e o desvio padrão da população pode ser 
feita de três formas:
• Estimação pontual
• Intervalo de confiança
• Teste de hipóteses
• Obs.: 
• Essas inferências só fazem sentido se os dados se ajustam a uma 
distribuição e se o processo está estável 
• É importante fazer inicialmente o gráfico de controle e em seguida o gráfico 
probabilístico)
Estimação pontual
• Representa-se os valores de uma amostra de tamanho n por 
x1, x2, ..., xn.
• A estimação pontual da média e do desvio padrão da 
população são dados pela média amostral e pelo desvio 
padrão respectivamente
1n
)x(x
s :Padrão Desvio
n
x
x :Média
2
i
i






Intervalo de confiança para a média
• A estimação pontual não fornece informação sobre a 
precisão da estimativa
• A precisão de uma estimativa pode ser medida através da 
margem de erro
• A margem de erro da estimativa pontual da média é dada 
por 
 *2M.E.
n
s

Intervalo de confiança para a média
) 
n
s
* tx , 
n
s
*tx( 1)(n0.025,1)(n0.025,  
 
n
s
*t*2 1)(n0.025, 
t0.025,(n-1) é o percentil 2.5% da distribuição t-Student
com (n-1) graus de liberdade
Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional é dado por
A amplitude do intervalo de confiança é dada por
Intervalo de confiança para o desvio padrão








2
0.975
2
0.025 χ
1)-(n
s , 
χ
1)-(n
s
X20.025,(n-1) e X
2
0.025,(n-1) são os percentis 2.5% e 97.5% 
respectivamente da distribuição Qui-quadrado com 
(n-1) graus de livberdade
Um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão populacional é dado 
por
Exemplo
7654321
Median
Mean
5.004.754.504.254.003.753.50
1st Q uartile 3.0775
Median 4.3000
3rd Q uartile 5.4075
Maximum 7.1900
3.6055 4.7912
3.4452 4.9665
1.2644 2.1342
A -Squared 0.22
P-V alue 0.813
Mean 4.1983
StDev 1.5876
V ariance 2.5205
Skewness 0.026119
Kurtosis -0.694410
N 30
Minimum 1.2200
A nderson-Darling Normality Test
95% C onfidence Interv al for Mean
95% C onfidence Interv al for Median
95% C onfidence Interv al for StDev
95% Confidence Intervals
Summary for tempo de atendimento
Teste de hipóteses
Estatística
Exemplo 1: trajeto
• Você utiliza um determinado trajeto para o trabalho todos 
os dias.
• Você coleta os tempos de deslocamento dos últimos 2 anos
Exemplo 1: trajeto
• Um colega lhe propõe um novo trajeto (supostamente mais rápido)
• Passo 1: formalização do teste
𝐻0: 𝜇 ≥ 30 𝑣𝑠. 𝐻𝐴: 𝜇 < 30
Exemplo 1: trajeto
• No dia seguinte você utiliza o trajeto sugerido e gasta 29 minutos
• Qual a sua decisão?
Devemos coletar mais dados!
Exemplo 1: trajeto
• 9 observações são coletadas 𝑋 = 29
• 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 ≈
1
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜
=
1
𝜎
• A precisão de 𝑋 pode ser calculado como
𝜎 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟
1
𝑛
 𝑋𝑖 =
𝜎
𝑛
• Quanto maior a amostra, maior a precisão!
Exemplo 1: trajeto
• Critério: 𝐶∗ = 𝑋 − 𝜇
• Precisamos corrigir o critério pela precisão
𝐶 =
 𝑋 − 𝜇
𝜎/ 𝑛
• Supondo 𝜎 = 1
𝐶 =
29 − 30
1/ 9
= −3
• Qual a sua decisão? 𝐶 esta suficientemente afastado?
Exemplo 1: trajeto
• Como visto anteriormente, 𝑋~𝑁 0,1/3 ⇒ 𝐶~𝑁 0,1
• Calculamos 𝑃(𝐶 < −3) utilizando a tabela da 𝑁 0,1
• Quanto menor for 𝑃(𝐶 < −3) maior a evidência de 𝐻𝐴 e, portanto, rejeitamos 𝐻0
-3 0
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝐶 < −3) = 0.001
Exemplo 1: trajeto
• Dessa forma completamos os 4 passos:
1. Teste:𝐻0: 𝜇 = 30 𝑣𝑠. 𝐻𝐴 : 𝜇 < 30
2. Critério: 𝐶 =
 𝑋−𝜇
𝜎/ 𝑛
3. Distribuição de referência: 𝐶~𝑁 0,1
4. Nível de significância: 𝑃 𝐶 ≤ −3 = 0.001
Exemplo 1: trajeto
• Caso 𝜎 tenha que ser estimado por
𝑆 =
 𝑥𝑖 − 𝑋
𝑛 − 1
• O critério fica
𝐶 =
 𝑋 − 𝜇
𝑆/ 𝑛
~𝑡𝑛−1
obs: 𝑡𝑛−1= t de student com 𝑛 − 1 graus de liberdade
Exemplo 1: trajeto
• Suponha que na realização dos 9 trajetos os tempos tenham sido:
30.1, 29.7, 27.3, 29.1, 28.3, 28.4, 31.0, 28.1, 29.0
• Nesse caso:
 𝑋 = 29 𝑆 = 1.132 𝑡 =
 𝑋 − 𝜇
𝑆/ 𝑛
= −2.65
𝑃 𝑡8 < −2.65 = 0.015
Exemplo 1: trajeto
• Observação:
Uma diferença que é estatisticamente significante pode não ser 
significante do ponto de vista prático!
Exemplo
Chamada Tempo Chamada Tempo Chamada Tempo 
1 2.53 11 5.57 21 4.81 
2 5.52 12 4.60 22 4.82 
3 3.53 13 3.84 23 7.19 
4 3.26 14 5.37 24 2.39 
5 6.31 15 3.42 25 5.52 
6 4.04 16 4.51 26 5.01 
7 4.09 17 1.84 27 1.94 
8 1.22 18 6.89 28 4.60 
9 3.42 19 3.53 29 2.35 
10 5.01 20 6.75 30 2.07 
 
Voltando ao exemplo anterior, uma empresa monitorou o tempo 
gasto para atender uma chamada de um cliente em um call center. 
Trinta atendimentos forma medidos. Os dados obtidos encontram-
se na tabela abaixo.
Teste de hipóteses
• No exemplo, suponha que o objetivo era que o tempo 
médio de atendimento fosse igual a 3.50 minutos. O 
objetivo estava sendo alcançado?
• Teste de Hipótese
Ho: 0 = 3.50 vs. H1: 0  3.50
n
s
μy
 t: testedo Critério 00


Teste de hipóteses
• Calculando o critério
• p-valor = 0.023  Há evidência para rejeitar H0
• OBS.: o gráfico de controle deve ser feito antes do cálculo do p-valor. Caso haja causas 
especiais atuando no processo, não se deve calcular o p-valor 
2.41
30
1.5876
.5034.1983
n
s
μy
t 00 




Passos para se testar hipóteses
• Formalização do teste, ou tradução do problema a ser resolvido na forma de 
um teste de hipóteses: formule as hipótese nula e alternativa (P)
• Construção de um critério para realizar o teste (P)
• Planeje a coleta de dados (P)
• Realize a coleta de dados (D)
• Calcule a estatística (critério) (S)
• Compare o critério com uma distribuição de referência e calcule a evidência 
contra a hipótese nula (p-valor – nível de significância) (S)
• Decida o que fazer (A)
Análise do p-valor
• Se o p-valor for menor que 1%, rejeita-se a hipótese nula
• Se o p-valor for maior que 10%, não rejeita-se a hipótese nula
• Se o p-valor estiver entre 1% e 10%, deve-se considerar outros fatores para 
se tomar uma decisão, como o risco, custo, etc.
Obs. As recomendações acima são as usuais e são adequadas 
para a maior parte dos casos. Porém, a decisão de rejeitar ou 
não uma hipótese deve ser feita levando em consideração os 
riscos e custos associados com a decisão. Significância 
estatística não é a mesma coisa que importância!
Define
Define
• Objetivo
• Definir e comunicar o foco e os indicadores do projeto ao grupo de melhoria
• Atividades
• Fazer o SIPOC do processo
• Fazer o CONTRATO do projeto
• Construir o DIAGRAMA DIRECIONADOR inicial do projeto 
Contrato do Projeto de 
Melhoria
Define
Contrato de Projeto
• O que é?
• Contrato é um acordo entre o patrocinador e o time de melhoria sobre o que 
é esperado do projeto
• Deve conter uma descrição clara do incômodo que se pretende aliviar
• Tem o objeto de alinhar o escopo do projeto
• Quando utilizar?
• Todo projeto Lean Six Sigma deve ter um contrato
Contrato
Business Case
Descrição do problema
(“o que está errado”)
Meta
(“Quanto deve ser o impacto”)
+
Resulta no
Business Case
(“qual o benefício do impacto no negócio”)
Exemplo:
A redução de entregas atrasadas em 15% para 3% irá aumentar a satisfação 
dos clientes e reduzirá custos de multas contratuais em R$350.000,00 em um 
ano
Exemplo – Reduzir tempo de parada de 
máquina
Exemplo – Reduzir tempo de parada de 
máquina
Cuidados com metas
Metas podem causar problemas sistêmicos nas 
organizações devido a
• Estreitamento do foco
• Comportamento antiético 
• Aumento de assunção de riscos
• Diminuição da cooperação
• Diminuição da motivação intrínseca.
Tenha cuidado ao aplicar metas na sua 
organização
Cuidados com metas
• Possíveis consequências do uso inadequado de metas numéricas 
• Falsificar dados ou distorcer o sistema de medição
• Atingir a meta em detrimento do sistema
• Metas devem ser
• 1. Desafiadoras
• 2. Possíveis
“Atribuir uma meta para alguém sem fornecer um método é uma 
crueldade!” (Deming)
Cuidados com metas
• A Toyota se baseia nos resultados da experimentação para aprender o 
que funciona e o que não funciona, mas esse processo não terá êxito se 
os funcionários sentirem que têm de ocultar notícias desfavoráveis ou 
fabricar resultados positivos.
• A definição de objetivos que são arrojados e aparentemente impossíveis 
funciona pari passu com a cultura da experimentação, em que a 
recompensa real não é o êxito ou o fracasso,mas sim o conhecimento 
acumulado a partir de diversas experiências de aprendizagem de alta 
qualidade
Cuidados com metas
“Desenvolver um carro dos sonhos, que limpa o ar, evita acidentes, torna 
mais saudáveis e mais felizes todos os que o dirigem e atravessa o globo 
com um tanque de combustível.”
“Permear ambições grandiosas através de toda a organização é a 
missão mais importante da administração”
Katsuaki Watanabe, Ex-CEO da Toyota
“Os funcionários podem melhorar facilmente de 5 a 10%. Por isso eu não gosto de objetivos que podem 
ser medidos como 100%, tendo eles sido completos ou não. Prefiro definir metas desafiadoras, em que as 
pessoas atingem menos, e avaliar a estratégia utilizada, ainda que eles não tenham conseguido realizá-las 
a tempo.”
Cuidados com metas
• Algumas formas de estabelecer metas:
• Observar outras organizações que tenham realizado objetivos similares.
• Dê alguns conceitos básicos ou ideias que poderiam resultar na realização 
do objetivo.
• Extrair ideias dos próprios participantes, fazendo perguntas, tais como, "O 
que seria necessário para obter uma redução de 50 por cento no tempo de 
enviar uma encomenda? "
SIPOC
Define
SIPOC
• O que é?
• Uma ferramentas para representar os aspectos relevantes do processo que 
será foco de melhoria
• Objetivo
• Identificar e documentar em um diagrama os aspectos relevantes do 
processo
• Quando utilizar?
• Sempre que existir falta de compreensão sobre o processo por algum 
integrante da equipe ou stakeholder do projeto
SIPOC
F
O
R
N
E
C
E
D
O
R
E
S
 
SaídasEntradas Processo
C
L
IE
N
T
E
S
S I P O C
SIPOC: Formulário
Fornecedores Entradas Processo Saídas Clientes
Passos do Processo
Exemplo de SIPOC
Fornecedores Inputs Processo Outputs Clientes
Paciente
Agulhas
Laboratório 
ResultadoMédico
Realizar 
exame de 
sangue
Médico
Recebe paciente
e requisição
Prepara 
paciente
Retira 
sangue
Analisa 
sangue
Preenche 
relatório
Passos do Processo
Seringas
Álcool
Outros materiais
Requisição
Diagrama direcionador
Define
Diagrama direcionador
• O que é?
• Organiza as ideias e teorias a respeito das possíveis mudanças que resultarão em 
melhoria.
• O diagrama direcionador inicial irá refletir os conhecimentos da equipe sobre o 
sistema de causas que então poderão ser testados.
• O diagrama deve ser atualizado conforme o conhecimento da equipe à respeito 
do problema também evolui.
• Quando utilizar?
• Depois de preencher o Contrato e o SIPOC é o momento da equipe colocar seu 
conhecimento atual, teorias e primeiras atividades no diagrama direcionador.
Nível de detalhe
Problema ou 
oportunidade
Diagrama direcionador
Exemplo – reduzir custo com descarte V1 
(inicial)
Exemplo – reduzir custo com descarte V2 
(intermediária)
Exemplo – reduzir custo com descarte V3 
(final)
Exemplo
Measure
Measure
• Objetivo
• Conhecer o processo em detalhes (Porta do Processo)
• Avaliar o desempenho do processo através de dados (Porta de Dados)
• Atividades
• Fazer o Fluxograma do processo
• Identificar variáveis a serem medidas
• Desenvolver planos para coletar e analisar dados
• Verificar a estabilidade do processo
• Calcular a Capabilidade do processo
Fluxograma
Measure
Fluxograma
• O que é?
• Ferramenta que tem diferentes utilidades, dependendo da fase do projeto:
• Conhecimento sobre o Processo (MEASURE)
• Identificação de pontos de medição (MEASURE)
• Identificação de complexidades (ANALYSE)
• Desafiar atividades (ANALYSE)
• Projeto ou Modificação do Processo (IMPROVE)
• Padronização de Procedimentos (CONTROL)
• Quando utilizar
• Se o projeto tem objetivo de melhorar um processo (fluxo) essa ferramenta 
provavelmente será útil
Fluxograma
S I C O P 
SIMBOLOGIA UTILIZADA:
Indica que uma atividade está sendo desenvolvida.
Indica um ponto de decisão no processo.
Indica que um documento deu entrada ou saída do 
processo.
Indica fim e início do processo.
EMITIR CHEQUE P/ 
PGTO
VALOR 
CORRETO?
ENTREGAR AO 
CAIXA
FIM
SIM
NÃO
Indica uma conexão com 
ramificações do 
processo.
Indica o fluxo do 
processo.
Fluxograma
Macro
Midi
Mini
Fluxograma: nível de detalhes
Fluxograma – vertical
Processo de avaliação de solicitação de empréstimo
Fluxograma – multifuncional
Multifuncional 
(desdobrado)
Fluxograma – versões de um processo
O que o gerente 
pensa que é
O que é 
realmente
O que deveria 
ser
O que 
poderia ser
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n
Foque aqui durante a 
fase Analyse
Foque aqui durante a 
fase Improve
Sistema de medição
Measure
Característica e medida 
O
Variáveis
de Input
Variáveis de
Processo
Variáveis de
Output
PI
X1,, X2 , ... , Xk Y
S C
Y = f(X1,, X2 , ... , Xk)
Processo de medição
Mundo Físico
Mundo
Comportamental
Mundo
Sensorial
Observar 
e/ou 
Medir
Observações e 
Medições 
Documentadas
Dados
A medição é um processo que atribui um 
valor a uma característica
Características Processo de Medição Resultado
Processo de medição
• Método que estabelece relação entre 
uma propriedade e um valor em uma 
escala
Processo de 
Medição
• Questionários
• Instrumentos
• etc.
Método de 
mensuração
Exemplos de características e medição
Mundo Físico: Execução de uma tarefa 
Medir: Tempo gasto para realizar a tarefa 
Instrumento de medição: Cronômetro 
Medida: Minutos gasto na realização da 
tarefa 
Mundo Comportamental: Realização de uma reunião 
Medir: Atitude das pessoas na reunião 
Instrumento de medição: Observação 
Medida: Atitude positiva, atitude negativa, 
atitude neutra 
Mundo sensorial: Provar um alimento 
Medir: Aroma 
Instrumento de medição: Provadores 
Medida: Ruim, regular, bom, excelente 
 
Definição Operacional
• Atividades comuns em qualidade
• Verificar se um produto é defeituoso
• Contar o número de defeitos em um produto ou serviço
• Medir uma característica de qualidade
• Questões:
• O que é um defeito?
• Como medir um defeito?
• Como medir uma característica de qualidade?
Uma Definição Operacional...
Fornece um 
sentido 
comunicável 
a um conceito
É clara e 
inequívoca
Especifica 
métodos e 
equipamento
s de medição
Identifica 
critérios 
precisos de 
decisão 
A Definição Operacional é um componente essencial do 
Processo de Medição
É uma descrição, em termos quantificáveis, do que medir 
e os passos a seguir para medi-lo de forma consistente
Como você define esses conceitos?
Falha no desenvolvimento de uma definição operacional clara leva, muitas 
vezes, à confusão e mal-entendido
Um imposto justo
Ser rico
Ser pobre
Estar desempregado
Estar limpo
Férias boas
Chegar no prazo
Área urbana
Aquecimento global
Estar contaminado
Definição Operacional
• Componentes
• Objetivo
• Característica de interesse
• Instrumento de medição
• Procedimento
• Critério
Definições operacionais de “chegada no 
prazo”
• Objetivo
• Verificar se uma aeronave chegou no horário no aeroporto
• Característica de interesse
• Horário de chegada da aeronave no aeroporto
• Instrumento de medição
• Relógio referenciado com o relógio da torre de controle
• Procedimento:
• O horário de chegada de um voo será o horário em que o trem de pouso da 
aeronave tocar a pista de pouso 
• Critério
• A aeronave está no prazo se o horário de chegada for igual ao horário 
programado mais ou menos 15 minutos
Tipos de variáveis
Measure
Tipos de Variáveis
• Variáveis Numéricas (Quantitativa)
• São as variáveis que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou 
seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser 
contínuas ou discretas.
• Variáveis Categóricas (Qualitativa)
• São as variáveis que não possuem valores quantitativos,mas, ao contrário, 
são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação 
dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. 
Classificação de dados (simplificada)
Tipo de Variáveis Característica 
de Qualidade
Dado registrado
Categóricas
(Qualitativo)
Classificação
Desempenho da entrega Entrega no prazo/atrasado
Retrabalho Sem/Com
Arranhões Sem/Com
Numérico
(Quantitativo )
Contagem
Mudanças Número de mudanças/projeto
Acidentes Número de acidentes/por mês
Arranhões Número de arranhões/ superfície
Contínuos
Tempo Minutos atrasados
Peso Gramas
Arranhões Tamanho em cm do arranhão
Variáveis de Classificação ou Contagem são também chamados de Atributos
Classifique cada uma das seguintes variáveis como 
classificatória, contagem ou contínua
• Número de estrelas de hotéis
• Quantidade de calorias de um produto 
alimentício
• Número de bolhas em uma garrafa de vidro
• Tempo médio de espera para se atendido em 
um Call Center
• Número de atendentes em um Call Center
• Número de ligações perdidas em um Call Center
• Motivos para ligações perdidas em um Call
Center
• Fontes de consumo de água em uma residência
• Consumo de água em uma residência
• Número de telefones por domicílio
• Número de chamadas de longa distância 
realizadas por mês
• Duração de cada chamada de longa distância
• Cor do telefone utilizado com mais frequência
• Se existe uma linha conectada ao modem na 
residência
• Quantia gasta com livros
• Tempo gasto na livraria por mês
• Se é filiado a algum Partido Político
• Caso seja, a que Partido Político é filiado
• Satisfação com um determinado produto
Custo, tempo e informação
Tipo de variável Tempo para 
medir
Custo para 
medir
Informação por 
unidade medida
Tamanho da amostra 
para a mesma 
quantidade de 
informação
Classificação -
Contagem
Contínua +
Não há uma única forma de medir. A decisão depende de vários fatores
A forma de medir usual, que pode ser adequada para operações de 
rotina, pode não ser adequada em projetos de melhoria 
Análise da variação
Measure
Variabilidade e Estatística
A variação é inerente a todos os
processos
Percepção da Variação
A variação pode ser percebida através dos dados
Reação à variação
• Uma das funções de um gestor é tomar decisões que são baseadas 
na interpretação da variação nos indicadores
• Há 3 meses que as vendas estão abaixo do previsto. Esses dados indicam 
uma tendência? É necessário agir?
• Há diferenças de desempenhos das pessoas na organização. Há alguém que 
realmente necessita de uma assistência especial? Há alguém que merece um 
reconhecimento especial?
• O número de acidentes foi maior que no ano passado. É preciso fazer 
mudanças no ambiente de trabalho? Fazer uma campanha sobre segurança 
no trabalho?
Gráfico de Tendência e 
Causas de Variação
Measure
Gráfico de tendência
• O que é
• Ferramentas para analisar um indicador coletado ao longo do tempo
• Quando utilizar
• Sempre que coletar dados ao longo do tempo
Gráfico de Tendência
• O gráfico de tendência é um gráfico simples e fácil de construir
• Eixo horizontal: tempo
• Eixo vertical: variável sendo monitorada
Análise da variação – causas de variação
24222018161412108642
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Dia
M
in
u
to
s
0
Gráfico de Controle: Hora de Chegada
24222018161412108642
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Dia
M
in
u
to
s
0
Gráfico de Controle: Hora de Chegada
24222018161412108642
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Dia
M
in
u
to
s
0
Gráfico de Controle: Hora de Chegada
24222018161412108642
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Dia
M
in
u
to
s
0
Gráfico de Controle: Hora de Chegada
24222018161412108642
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Dia
M
in
u
to
s
0
Gráfico de Controle: Hora de Chegada
Causas de variação (Shewhart 1931) -
Atividade
Causas de variação (Shewhart)
• Causas comuns
• Causas que são inerentes ao processo todo o tempo, afetam todos que 
atuam no processo, e afetam todos os resultados do processo
• Causas especiais
• Causas que não atuam no processo todo o tempo ou não afetam todo 
mundo, mas que surgem devido a circunstâncias especiais
Como descrever a variação (VOP)?
Mes
Inventario 
(em mil US$) Mes
Inventario 
(em mil US$)
jan/2003 19 jan/2004 20
fev/2003 27 fev/2004 22
mar/2003 20 mar/2004 19
abr/2003 16 abr/2004 16
mai/2003 18 mai/2004 22
jun/2003 25 jun/2004 19
jul/2003 22 jul/2004 25
ago/2003 24 ago/2004 22
set/2003 17 set/2004 18
out/2003 25 out/2004 20
nov/2003 15 nov/2004 16
dez/2003 17 dez/2004 17
Como descrever a variação (VOP)?
Visão Estática
Estatísticas Descritivas
Média, Mediana,
Quartis, Mínimo, Máximo
Amplitude, Desvio Padrão
Histograma
28262422201 81 61 4
25
20
1 5
1 0
5
0
Inventario (em mil US$)
P
e
rc
e
n
t
Histogram of Inventario (em mil US$)
Inventário (em mil US$)
N Mean StDev Mínimo Q1 Mediana Q3 Máximo
24 20.04 3.40 15 17 19.5 22 27
Como descrever a variação (VOP)?
Visão Dinâmica
Gráfico de Tendência
Gráfico de Controle
(Gráfico ao longo do tempo)
R
at
e 
pe
r 1
00
 E
D
 P
at
ie
nt
s
Unplanned Returns to Ed w/in 72 Hours
M
41.78
17
A
43.89
26
M
39.86
13
J
40.03
16
J
38.01
24
A
43.43
27
S
39.21
19
O
41.90
14
N
41.78
33
D
43.00
20
J
39.66
17
F
40.03
22
M
48.21
29
A
43.89
17
M
39.86
36
J
36.21
19
J
41.78
22
A
43.89
24
S
31.45
22
Month
ED/100
Returns
u chart
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
UCL = 0.88
Mean = 0.54
LCL = 0.19
no
v/
20
04
se
t/
20
04
ju
l /
20
04
m
ai
/2
00
4
m
ar
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00
4
ja
n/
20
04
no
v/
20
03
se
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20
03
ju
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20
03
m
ai
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00
3
m
ar
/2
00
3
ja
n/
20
03
35
30
25
20
1 5
1 0
Mes
In
d
iv
id
u
a
l 
V
a
lu
e
_
X=20.04
UCL=31.61
LCL=8.48
I Chart of Inventario (em mil US$)
Causas de variação
• Diferentes estratégias são necessárias para melhorar um processo
estável (somente causas comuns atuam) ou um processo instável
(causas especiais também atuam).
• Método de identificação: Gráfico de Tendência (ou Gráfico de
Controle.)
Regras para distinção de causas de variação
Gráfico de tendência: Minutos adiantados ou atrasados em relação ao especificado
Um ponto muito 
afastado dos demais
Sequencia de oito ou mais 
pontos abaixo ou acima da média
Sequencia de seis ou mais 
pontos crescente ou decrescente
Gráfico de Controle
Regras para distinção de causas de variação 
com gráfico de controle
Exercício 1
• Os dados do último mês são o resultado de causas comuns ou 
especiais? Por que?
• A diretora de recursos humanos tomou a providência adequada?
• O que ela deveria esperar que fossem seus custos mensais de 
treinamento?
A diretora de recursos humanos estava 
examinando suas despesas com 
treinamento dos últimos dois anos. 
Baseada nos últimos 12 meses, ela havia 
colocado no orçamento um custo médio 
de $ 98.000 por mês; mas as despesas do 
último mês foram de $ 105.000. Ela 
queria saber o que havia de diferente com 
o último mês e pediu à sua equipe para 
descobrir o que aconteceu, para que 
pudessem evitar o problema no futuro
Exercício 2
Uma linha de embalagem teve, em 
média, 4 horas de interrupções por 
semana, de 8 de março a 23 de agosto. Já 
que muitos dos problemas estavam 
relacionados a quedas na energia elétrica, 
os técnicos suspeitaram que o 
equipamento de proteção da rede 
elétrica estivesse funcionando mal. Eles o 
substituíram no final de janeiro e então 
continuaram a coletar dados por mais 
oito semanas.
• Acaso o novo equipamento de proteção da rede ajudou?
• Em caso afirmativo, em que semana eles tiveram seu primeiro 
sinal? Há outros sinais de uma mudança no processo?
Exercício 3
Um fornecedor de bens de consumo 
acompanha os pedidos que chegam via 
EDI. Ele quer usar esses dados para 
ajudar a planejar o orçamento para o 
novo ano. Se o processo for estável, os 
gerentespoderão estimar em média 
quantos pedidos serão recebidos a 
cada dia. Mas primeiro eles precisam 
saber se há quaisquer indicações de 
causas especiais no processo.
• Os dados indicam a presença de causa especial ou a variação é toda ela resultado 
de causas comuns? Por que?
• Qual o número médio de pedidos que deveriam esperar por dia?
• Qual o número máximo de pedidos que deveriam esperar receber por dia?
Exercício 4
Uma fábrica que produz cartões de 
plástico (cartões de crédito, cartões de 
identificação de seguro médico, etiquetas 
de embalagem etc.) usa água de um rio 
próximo para refrigerar o equipamento 
usado no processo de aquecimento. Eles 
podem reciclar a água e devolvê-la ao rio, 
contanto que esta não contenha mais de 
50 mg de impurezas. Um técnico 
monitora o volume de impurezas em uma 
amostra que é tirada todos os dias.
• Os dados indicam a presença de uma causa especial ou a variação é, toda ela, 
resultado de causas comuns?
• Se há uma causa especial, qual amostra assinala isso primeiro?
Exercício 5
O gráfico abaixo apresenta o 
número de bagagens perdidas 
num vôo entre os dias 1 de 
março e 3 de abril.
• Qual a amplitude de dados que deve ser esperada para perda de bagagem em um único dia?
• Existem quaisquer indicações de causas especiais?
• A companhia aérea deveria usar ações de causa comum ou causa especial para responder 
ao número de bagagens perdidas no dia 31 de Março?
Análise de indicadores
Measure
Abordagens comuns em análise de dados
• É comum comparar a porcentagem da diferença em relação à média
• A interpretação da porcentagem de variação em relação à média depende 
• Do valor da média (10% de 50 é diferente de 10% de 500)
• Da quantidade de variação presente nos dados: 2% de variação da média pode ser causa especial e 
20% pode ser causa comum
Um relatório gerencial típico
Indicadores Depto Valor Atual Média 
Mensal
% Dif.
Qualidade
Entregas no prazo (%) 20 91.0 91.3 –0.3
Aprovação na primeira vez (%) 12 54 70 –23.0
Sucata/por 1000 Kg produzidos) 19 124 129 –3.9
Produção
Volume Produzido (1000 Kg) 13 34.5 33 +4.5
Custo Total de Produção/100 Kg 13 280.83 278.82 +0.7
Inventário em processo (100 Kg) 17 28 19.7 +42.0
Operações
% Faturam. no prazo 06 74.3 95 –21.8
ju
n/
20
05
m
ar
/2
00
5
de
z/
20
04
se
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20
04
ju
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4
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03
se
t/
20
03
ju
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m
ar
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00
3
35
30
25
20
15
10
5
0
mes
in
v
e
n
ta
ri
o
Gráfico de Tendência: Inventario
Uma forma melhor: analise a série
Adaptado de Donald Wheeler, Understanding Variation: The Key to Managing Chaos. SPC Press: 1993.
Julho/05 é uma 
causa especial?
Princípios da teoria da variação
1. Devemos esperar que as coisas variem. Elas sempre 
variam
2. Entendimento da variação nos diz o que esperar em 
termos de resultados
3. Trabalhe sempre nas causas de variação, as quais são 
sempre encontradas no sistema
4. Entendimento de variação nos diz quando algo especial 
aconteceu
IPC-Fipe recua para 0,08% em 
outubro (05.11.2007 ; 05h44), 
Agência Estado 
O Índice de Preços ao Consumidor 
(IPC) da Fundação Instituto de 
Pesquisas Econômicas (Fipe), da USP, 
fechou o mês de outubro com 
variação de 0,08% na cidade de São 
Paulo. O índice apresentou 
significativo recuo ante a taxa 
setembro (0,24%) e ficou abaixo das 
expectativas dos analistas 
consultados pela Agência Estado, 
que iam de 0,11% a 0,16%. Na 
terceira quadrissemana de outubro, o 
IPC foi de 0,15%. 
Deu no portal Exame...
out/07set/07
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Mês
%
0,08
0,24
Índice Geral da Fipe
 A inflação está caindo?
 As variações são grandes ou pequenas? 
Em relação a quê?
 O que esperar para o mês seguinte?
Quatro meses depois ...
Mês Fipe
jan/06 0.50
fev/06 -0.03
mar/06 0.14
abr/06 0.01
mai/06 -0.22
jun/06 -0.31
jul/06 0.21
ago/06 0.12
set/06 0.25
out/06 0.39
nov/06 0.42
dez/06 1.04
jan/07 0.66
fev/07 0.33
mar/07 0.11
abr/07 0.33
mai/07 0.36
jun/07 0.55
jul/07 0.27
ago/07 0.07
set/07 0.24
out/07 0.08
nov/07 0.47
dez/07 0.82
jan/08 0.52
fev/08 0.19
Gráficos de frequência: 
histograma e Dot-Plot
Measure
Gráfico de Freqüência: Dot Plot
Mês Gasto Mês Gasto
jan/2001 97 jan/2002 96
fev/2001 104 fev/2002 100
mar/2001 99 mar/2002 99
abr/2001 94 abr/2002 96
mai/2001 100 mai/2002 103
jun/2001 99 jun/2002 97
jul/2001 96 jul/2002 96
ago/2001 96 ago/2002 91
set/2001 94 set/2002 98
out/2001 96 out/2002 96
nov/2001 98 nov/2002 95
dez/2001 99 dez/2002 105
Gráfico de Freqüência: Histograma
3074.32 1184.04 631.14 970.81 1126.45 86.00 694.34 757.04
778.88 107.78 809.86 711.36 1403.13 1172.68 197.84 92.50
602.36 489.40 1033.09 732.89 760.71 1275.38 338.41 6.99
253.61 191.21 1249.77 793.21 516.11 27.19 474.35 666.90
43.15 608.39 707.19 2837.39 954.81 15.40 574.56 2106.47
1243.20 933.57 651.78 79.80 1076.80 320.45 3065.79 890.95
928.44 306.15 807.55 2566.06 1063.25 193.04 779.07 1252.07
154.55 629.59 357.53 1132.04 209.84 1239.65 429.08 383.45
1121.12 1142.27 295.61 1689.13 891.68 349.22 3005.68 1572.08
959.55 906.96 453.15 587.72 436.04 623.76 521.65 2589.97
2705.86 458.13 401.17 60.45 2415.94 1503.63 280.52 20.37
1052.25 1348.63 538.09 858.61 347.03 1469.26 891.91 33.00
234.90 1047.04 693.39 513.15 159.12 364.84 3239.65 3637.38
1633.70 176.02 494.01 857.72 1261.66 409.74 27.11 1685.12
1688.66 1065.77 175.59 1449.60 413.37 403.72 1851.64 3711.79
23.84 326.36 592.99 26.40 3689.57 1258.30 934.65 730.77
602.71 386.14 358.21 413.78 208.51 283.67 380.95 2541.23
122.40 414.68 51.22 2.00 601.91 1669.42 987.59 692.49
924.84 245.54 150.13 3850.09 431.53 190.56 537.33 611.32
713.29 2202.69 123.86 45.58 167.57 1768.33 732.66 1218.76
1088.30 2.06 861.27 1014.46 2020.19 1263.97 3042.79 406.31
1561.42 1562.89 400.46 727.84 728.29 775.67 2166.44 368.39
89.54 2076.58 1532.15 571.24 778.95 154.25 702.29 30.00
785.85 141.17 853.03 2100.70 134.10 648.24 1622.95 424.75
185.93 1609.05 4187.47 2478.63 203.56 238.76 451.58 283.78
Considere os dados de 
gasto mensal com 
cartão de crédito de 
200 clientes de uma 
operadora
Gráfico de Freqüência: Histograma
Estatísticas descritivas
Measure
Medidas de localização
• São medidas numéricas que estabelecem
• Entre que valores os dados ocorreram
• Mínimo e Máximo
• Qual é centro dos dados
• Média e Mediana
• Qual é o valor abaixo do qual temos uma certa porcentagem dos dados
• Quartis (Quartil 1 e Quartil 3) e Percentis
Medidas de localização: Mínimo, Máximo e 
Média
• Denote os valores do conjunto de dados por 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛
• Mínimo: 𝑋𝑚𝑖𝑛 = 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
• Máximo: 𝑋𝑚𝑎𝑥 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
• Média: 𝑋 =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
• Mediana: valor central
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
𝑋 𝑛+1
2
, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋 𝑛/2 + 𝑋 1+𝑛/2
2
, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
Medidas de localização: Mediana
• Exemplo (para n impar): Considere os seguintes valores: 
71, 70, 70, 72 e 70
• Os valores ordenados são: 70 70 70 71 72
• A mediana é 70
• Exemplo (para n par): Considere os seguintes valores:
500 550 550 550 600 700 750 2000
• Mediana = (550+600)/2=575 
Média, Mediana e forma da Distribuição
Média =15.20
Mediana = 11.64
Média =15.036
Mediana = 15.035
Distribuição simétrica Distribuição assimétrica
Medidas de localização: Quartis
• O quartil 1: 25% do valores estão abaixo da quartil 1 e 75% dos 
valores estão acima do quartil 1
• O quartil 3: 25% do valores estão acima da quartil 3 e 75% dos 
valores estão abaixo do quartil 3
Medidas de Variação
• Suponha duas linhas de produção, onde medimos o comprimento. 
Os valores aceitáveis são entre 8 e 12. As linhas são equivalentes?
Duas formas de se medir variação:
Amplitude = Máximo-Mínimo
Desvio padrão
Medidas de Variação: Desvio Padrão
• Considere os seguintes dados
70 71 73 74 77 
 
-3 -2 0 1 4 
 
• A média é 73. Os desvios em relação à média estão na tabela abaixo• A soma dos desvio é zero (de fato, a soma dos desvios em relação à 
média é zero para qualquer conjunto de dados)
Medidas de Variação: Desvio Padrão
• Para calcular o desvio padrão, inicialmente eleva-se os desvios ao 
quadrado (contribuição de cada desvio)
9 4 0 1 16 
 
(9 + 4 + 0 + 1 + 16) / 4 = 7.5
• O próximo passo é somar a contribuição de cada desvio e dividir 
pelo total de valores menos 1
• O último passo é calcular a raiz quadrada da variância amostral que 
é o desvio padrão 
𝐷. 𝑃. = 7.5 = 2.74
Resumo: caracterização de uma variável 
numérica
Estatísticas Descritivas: N_Vendas 
N 60 
Média 201.47 Mediana 201.00 
Desvio Padrão 16.73 Quartil 1 191.00 
Mínimo 170.00 Quartil 3 210.75 
Máximo 243.00 Amp.Interq (IQR) 19.75 
Amplitude 73.00 
 
O que a média e o desvio padrão não 
mostram
• Observe os quatro conjuntos de 
números ao lado
• Todos tem mesma média e 
mesmo desvio padrão
• Os conjuntos são iguais?
N Conj 1 Conj 2 Conj 3 Conj 4
1 40.50 41.64 35.00 44.50
2 41.50 58.36 37.00 45.00
3 42.50 42.29 42.00 45.50
4 43.50 57.71 53.90 46.00
5 44.50 42.93 53.00 46.50
6 45.50 57.07 50.60 47.00
7 46.50 43.57 50.50 47.50
8 47.50 56.43 53.80 48.00
9 48.50 44.21 52.50 48.50
10 49.50 55.79 53.60 49.00
11 50.50 44.86 50.40 49.50
12 51.50 55.14 52.20 50.00
13 52.50 45.50 52.70 50.50
14 53.50 54.50 52.40 51.00
15 54.50 46.14 52.70 51.50
16 55.50 53.86 51.40 52.00
17 56.50 46.79 53.80 52.50
18 57.50 53.21 52.90 53.00
19 58.50 47.43 56.81 72.71
20 59.50 52.57 42.79 49.79
Média 50.00 50.00 50.00 50.00
Desv. Pad. 5.92 5.92 5.92 5.92
O que a média e o desvio padrão não 
mostram
Index
C
o
n
j 
1
20161284
70
60
50
40
Index
C
o
n
j 
2
20161284
70
60
50
40
Index
C
o
n
j 
3
20161284
70
60
50
40
Index
C
o
n
j 
4
20161284
70
60
50
40
Time Series Plot of Conj 1 Time Series Plot of Conj 2
Time Series Plot of Conj 3 Time Series Plot of Conj 4
Cenário
• A porcentagem de pacientes da emergência com dor no peito atendidos 
por um cardiologista em até 10 min foi medida durante 24 semanas. 
Uma mudanças foi feita após a semana 12. O resumo comparando as 12 
primeiras semanas com as doze últimas está na tabela abaixo.
A mudança foi melhoria? 
Pequena ou alta?
Semana 1-12
Média 80%
Max 94%
Min 67%
Semana 13-24
Média 84%
Max 95%
Min 79%
20
/m
ar
06
/m
ar
21
/f
ev
07
/f
ev
24
/ja
n
10
/ja
n
20
/d
ez
06
/d
ez
22
/n
ov
08
/n
ov
24
/o
ut
10
/o
ut
100.00%
90.00%
80.00%
70.00%
60.00%
Data
P
o
rc
Gráfico de Tendência: Porcentagem
Gráficos de barras e 
tabelas
Measure
Gráfico de barras e tabelas
• O que é?
• Ferramenta para estudar a distribuição de dados classificatórios
• Quando utilizar?
• Sempre que os dados coletados forem classificatórios (qualitativos)
Dados classificatórios: Tabelas e Gráficos
• Clientes de uma instituição de 
crédito são classificados como 
“BOM”, “MAU” e “OUTROS”.
Status Freq Porc. 
BOM 5139 51.7% 
MAU 379 3.8% 
OUTROS 4428 44.5% 
Total 9946 100.0% 
 
44.5%
3.8%
51.7%
Category
BOM
MAU
OUTROS
Pie Chart of Freq vs Status
Status
P
e
rc
e
n
t
OUTROSMAUBOM
50
40
30
20
10
0
Chart of Status
Percent within all data.
Dados classificatórios: Gráfico de Tendência
Uma empresa de logística amostrou sessenta 
entregas por semana durante vinte semanas e 
avaliou cada entrega se foi feita no prazo ou 
fora do prazo.
Semana % fora 
do prazo 
1 8.33 
2 3.33 
3 3.33 
4 10.00 
5 11.67 
6 8.33 
7 13.33 
8 6.67 
9 3.33 
10 8.33 
11 6.67 
12 1.67 
13 5.00 
14 15.00 
15 13.33 
16 6.67 
17 8.33 
18 3.33 
19 10.00 
20 13.33 
 
Gráfico de Pareto
Measure
Gráfico de Pareto
• O que é?
• Um gráfico de barras ordenada
• Serve para dar foco em esforços de melhoria
• Conhecida como regra 80/20 ou Vitais vs. Triviais
• Quando utilizar?
• Se o objetivo é reduzir defeitos, então faça um gráfico de Pareto dos 
defeitos para encontrar os vitais.
Exemplo: Defeitos em Manufatura
Valor
Cumul. 
Value 
Diagrama de Pareto 
Variável: Número de defeitos
 
Tipos de Defeitos
V
a
lo
re
s
P
o
rc
e
n
ta
g
e
m
1
2
3
4 5
6 7
1
2
3
4
5
6 7
-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN-1.#QNAN
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 7
O Princípio de Pareto
O Princípio de Pareto se aplica
O Princípio de Pareto não se aplica
Cuidados ao Fazer o Gráfico
O eixo vertical deve 
ter altura igual à 
soma de todas as 
freqüências
Estratificação
Tipo de 
erro
Vendas RH Manuf. Eng. Finan. Trein. Total
Falta 
assinatura
Funcionári
o
2 3 3 2
10
Gerente 25 1 40 1 2 1 70
V.P. 2 2 2 6
Falta 
recibo
Taxi 3 1 3 1 8
Refeição 3 3 6
Estacion. 33 26 1 60
Comb. 2 2 1 5
Total de 
erros
68 3 76 9 6 3 165
Erros em relatório de despesas
Pareto por local e estratificação
freq 76 68 9 6 6
Percent 46.1 41.2 5.5 3.6 3.6
Cum % 46.1 87.3 92.7 96.4 100.0
local OtherFinan.Eng.VendasManuf.
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
fr
e
q
P
e
rc
e
n
t
Pareto Chart of local
Venda e Manuf 65 59 6 4 4 6
Percent 45.1 41.0 4.2 2.8 2.8 4.2
Cum % 45.1 86.1 90.3 93.1 95.8 100.0
Tipo
Ot
he
r
Fa
lta
 r
ec
ib
o 
co
m
b.
Fa
lta
 a
ss
in
.V
.P
.
Fa
lta
 r
ec
ib
o 
re
fe
içã
o
Fa
lta
 re
ci
bo
 e
st
ac
io
n.
Fa
lta
 a
ss
in
.g
er
en
te
160
140
120
100
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
V
e
n
d
a
 e
 M
a
n
u
f
P
e
rc
e
n
t
Pareto Chart of Tipo: Vendas+Manuf.
Modificações no Gráfico de Pareto
• Três alternativas importantes para o eixo vertical são:
• Valor monetário
• Tempo
• Contribuição percentual de cada classificação para o total (tempo, 
ocorrências, dinheiro etc.)
Estreitando o Foco (Macro para Micro) 
Estabilidade na Análise de Pareto 
Se o processo for 
instável, deve ser feita a 
estratificação dos dados 
para separar os dados 
obtidos quando causas 
especiais estavam 
presentes dos dados
Estratificação
Measure
Estratificação
• O que é?
• separação e classificação dos dados, de acordo com fatores ou variáveis 
selecionados. 
• O objetivo é encontrar padrões que auxiliem na compreensão dos 
mecanismos causais de um processo.
• Quando utilizar?
• Sempre que houver interesse de se estudar se o “comportamento” é o 
mesmo em todos os grupos definidos pelos fatores ou variáveis
Exemplo
282624222018
tempo de set-up
282624222018
A
B
tempo de set-up
T
u
r
n
o
3024181261
30
25
20
15
Index
t
e
m
p
o
 d
e
 s
e
t
-
u
p
A
B
Turno
Dotplot of tempo de set-up Dotplot of tempo de set-up por turno
Gráfico de tendência tempo de set-up por turno
Tempo de setup
Turno A Turno B
20 24
19 23
21 28
21 22
22 24
18 24
20 23
20 21
19 25
19 23
23 26
21 27
19 22
20 22
22 25
18 26
O tempo de setup de uma 
máquina foi medido em 
dois turnos. Os tempos 
estão na tabela ao lado.
Gráfico de Controle
Measure
Gráfico de Controle
• O que é?
• Um Gráfico de Controle é um Gráfico de Tendência com limites de controle 
calculados com base estatística
• Ajudam a identificar causas comuns e especiais de variação
• Inicialmente utilizado na linha de produção, pode ser aplicado a qualquer 
indicador
• Quando utilizar?
• Devemos montar um gráfico de controle para todos os indicadores
Gráfico de Controle de Shewhart
Estrutura de um Gráfico de Controle
Tipos de variáveis
Dados Contínuos
Dados de Atributo
Defeitos?
(contagem)
Defeituoso?
(classificação)
Sim!
Sim! Quantos? 2!
Defeito Item produzido
Seleção do Gráfico deControle
Gráficos P
Gráfico de Controle
Gráfico P
• Quando utilizar?
• Sempre que contamos o número de unidades 
defeituosas
• O indicador é uma proporção
• Obs: nem todo dado de porcentagem é dado de 
classificação (razões entre dados contínuos, por 
exemplo)
Exemplo de Gráfico P
 Dados sobre absenteísmo – 90 funcionários 
Dia Total de 
Ausências 
p Ausências Não 
Justificadas