Processos Estocásticos e Teoria da Probabilidade

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PROCESSOS ESTOCA´STICOS
Prof. Daniel Branda˜o
2010
Suma´rio
1 Teoria da Probabilidade 4
1.1 Espac¸o Amostral e Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 A Noc¸a˜o e os Aximas da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Definic¸a˜o da Frequeˆncia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Definic¸a˜o Axioma´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Propriedades Elementares da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Eventos Igualmente Prova´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Espac¸o Amostral Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Eventos Igualmente Prova´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Regra de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Eventos independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Varia´veis Aleato´rias 9
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Varia´veis Aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Eventos Definidos por Varia´veis Aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Propriedades da FX(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Determinac¸a˜o de Probabilidades pela Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o . . . . 10
2.4 Varia´veis Aleato´rias Discretas e fmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Func¸a˜o Massa de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.3 Propriedades da pX(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas e fdp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.3 Propriedades de fX(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Me´dia e Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.1 Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.2 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.3 Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Algumas Distribuic¸o˜es Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7.1 Distribuic¸a˜o Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
2.7.2 Distribuic¸a˜o Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7.3 Distribuic¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7.4 Distribuic¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.5 Distribuic¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.6 Distribuic¸a˜o Normal (ou Gaussiana) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Distribuic¸a˜o Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Varia´veis Aleato´rias Multidimensionais 20
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Varia´veis Aleato´rias Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Propriedades de FXY (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 V.A. Discreta - FMP Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 FMP Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Propriedades de pXY (xi, yj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.3 FMP Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.4 Varia´veis Aleato´rias Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas - FDP Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.1 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade Conjunta . . . . . . . . . . . . 24
3.5.2 Propriedades de fXY (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.3 FDP Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.4 Varia´veis Aleato´rias Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Distribuic¸o˜es Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.1 Func¸a˜o Massa de Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.2 Propriedades de pY |X(yj|xi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.3 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . 26
3.6.4 Propriedades de fY |X(x|y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Coeficientes de Covariaˆncia e Correlac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Me´dia e Variaˆncia Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria 32
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel Aleato´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Varia´vel Aleato´ria g(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Determinac¸a˜o de fY (y) por fX(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Func¸a˜o de Duas Varia´veis Aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Um Func¸a˜o de Duas Varia´veis Aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Duas Func¸o˜es de Duas Varia´veis Aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.3 Determinando fZW (z, w) por fXY (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Esperanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.1 Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de Uma Varia´vel Aleato´ria . . . . . . . . 35
4.4.2 Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de Mais de Uma Varia´vel Aleato´ria . . . 35
4.4.3 Propriedade de Linearidade da Esperanc¸a . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.4 Esperanc¸a Condicional com uma Varia´vel Aleato´ria . . . . . . . . . 35
2
4.5 Func¸o˜es Geradoras de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.2 Func¸a˜o Geradora de Momento Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Func¸a˜o Caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6.2 Func¸o˜es Caracter´ısticas Conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3
Cap´ıtulo 1
Teoria da Probabilidade
O estudo da Teoria da Probabilidade iniciou da ana´lise de certos jogos de azar e possui
aplicac¸o˜es na maioria das a´reas da cieˆncia e engenharia. No´s iremos relebrar os conceitos
ba´sicos de probabilidade.
1.1 Espac¸o Amostral e Eventos
No estudo da probabilidade, qualquer processo de observac¸a˜o e´ referido como um exper-
imento. Os resultados deuma observac¸a˜o sa˜o chamados resultados do experimento.
Um experimento e´ chamado um experimento aleato´rio se seus resultados na˜o podem
ser previstos. Exemplos t´ıpicos de experimento aleato´rio sa˜o jogar um dado ou tirar uma
carta de um mac¸o.
O conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um experimento aleato´rio e´ chamado
espac¸o amostral, e sera´ denotado por S. Um elemento em S e´ chamado de ponto
amostral. Cada resultado de um experimento aleato´rio corresponde a um ponto amostral.
Exemplo 1.1.1. O espac¸o amostral do exeprimento de jogar uma moeda (a) uma vez e
(b) duas vezes e´:
(a)Existem duas possibilidades, cara ou coroa. Enta˜o:
S = {H,T}
(b) Existem 4 poss´ıveis resultados. Eles sa˜o pares de caras e coroas. Enta˜o
S = {HH,HT, TH, TT}
Exemplo 1.1.2. O espac¸o amostral de um experimento de medir (em horas) o tempo de
vida de um transistor:
Claramente todos os poss´ıveis resultados sa˜o todos os nu´meros reais na˜o negativos.
Isto e´,
S = {τ : 0 ≤ τ ≤ ∞}
onde τ representa a vida de um transistor em horas.
Uma vez que no´s identificamos o espac¸o amostral S, como o conjunto de todos os
poss´ıveis resultados de um experimento aleato´rio, vamos rever algumas anotac¸o˜es no
seguinte conjunto.
4
Se ζ e´ um elemento de S, enta˜o no´s escrevemos
ζ ∈ S.
Se ζ na˜o e´ um elemento de S, enta˜o escrevemos:
ζ /∈ S.
Um conjunto A e´ chamado subconjunto de B, denotado por
A ⊂ B.
Se cada elemento de A e´ tambe´m elemento de B
Qualquer subconjunto de um espac¸o amostral S e´ chamado um evento. Um ponto
amostal de S e´ frequentemente referido como um evento elementar.
Note que o espac¸o amostral S e´ o subconjunto de si pro´prio, isto e´, S ⊂ S. Uma
vez que S e´ o conjunto de todos os poss´ıveis resultados, ele e´ frequentemnte chamado de
evento determinado.
1.2 A Noc¸a˜o e os Aximas da Probabilidade
Uma atribuic¸a˜o de um nu´mero real a um evento definido em um espac¸o amostral S e´
conhecido como a medida da probabilidade. Considere um experimento aleato´rio com um
espac¸o amostral S e seja A um evento particular definido em S.
1.2.1 Definic¸a˜o da Frequeˆncia Relativa
Suponha que o experimento aleato´rio e´ repetido n vezes. Se o evento A ocorre n(A) vezes,
enta˜o a probabilidade do evento A, denotado por P (A), e´ definido como
P (A) = lim
n→∞
n(A)
n
onde n(A)/n e´ chamado de frequencia relativa do evento A. Note que este limite talvez
na˜o exista, e, ale´m disso, ha´ muitas situac¸o˜es em que o conceito de repetibilidade talvez
na˜o seja va´lido.
E´ claro que para um evento qualquer A, a frenqueˆncia relativa de A possue as seguintes
propriedades:
1. 0 ≤ n(A)/n ≤ 1, onde n(A)/n = 0 se A na˜o ocorre em nenhuma das n repetic¸o˜es e
n(A)/n = 1 se A ocorre em todas as n repetic¸o˜es.
2. Se A e B sa˜o eventos mutualmente exclusivos, enta˜o
n(A ∪B) = n(A) + n(B)
e
n(A ∪B)
n
=
n(A)
n
+
n(B)
n
.
5
1.2.2 Definic¸a˜o Axioma´tica
Seja S um espac¸o amostral e A um evento em S. Enta˜o na definic¸a˜o axioma´tica, a
probabilidade P (A) de um evento A e´ um nu´mero real atribu´ıdo a A o qual satisfaz os
treˆs seguintes axiomas:
1. P (A) ≥ 0;
2. P (S) = 1;
3. P (A ∪B) = P (A) + P (B), se A ∩B = ∅.
1.2.3 Propriedades Elementares da Probabilidade
Usando os axiomas acima, as seguintes propriedades de probabilidade podem ser obtidas:
1. P (A¯) = 1− P (A);
2. P (∅) = 0;
3. P (A) ≤ P (B) se A ⊂ B;
4. P (A) ≤ 1;
5. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B);
1.3 Eventos Igualmente Prova´veis
1.3.1 Espac¸o Amostral Finito
Considere um espac¸o amostral finito S com n elementos
S = {ζ1, ζ2, ..., ζn}
onde ζi sa˜o eventos elementares. Seja P (ζi) = pi. Enta˜o
1. 0 ≤ pi ≤ 1 i = 1, 2, ..., n;
2.
∑n
i=1 pi = p1 + p2 + ...+ pn = 1;
3. Se A = ∪i∈Iζi, onde I e´ uma colec¸a˜o de subscritos, enta˜o
P (A) =
∑
ζi∈A
P (ζi) =
∑
i∈I
pi
1.3.2 Eventos Igualmente Prova´veis
Quando todos os eventos elementares ζi (i=1,2,...,n) sa˜o igualmente prova´veis, isto e´,
p1 = p2 = · · · = pn
enta˜o, da propriedade 2 acima, temos
pi = 1/n
e
P (A) = n(A)/n
onde n(A) e´ o nu´mero de resultados pertencentes ao evento A e n e´ o nu´mero de pontos
amostrais em S.
6
1.4 Probabilidade Condicional
1.4.1 Definic¸a˜o
A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B, denotado por P (A|B),
e´ definido como
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, P (B) > 0
onde P (A ∩B) e´ a probabilidade conjunta de A e B. Similarmente,
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
, P (A) > 0
e´ a probabilidade condicional de um evento B dado o evento A. Das equac¸o˜es acima,
temos
P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
Esta equac¸a˜o e´ usada na maioria das vezes para encontrar a probabilidade conjunta de
eventos.
1.4.2 Regra de Bayes
Da equac¸a˜o acima, podemos obter a seguinte regra de Bayes:
P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
1.5 Probabilidade Total
Os eventos A1, A2, ..., An sa˜o chamados mutualmente exclusivos e exaustivos se
∪ni=1Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = S e Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j
Seja B um evento qualquer em S. Enta˜o
P (B) =
n∑
i=1
P (B ∩ Ai) =
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
o qual e´ conhecida como a probabilidade total do evento B. Seja A = Ai na regra de
Bayes; enta˜o, usando a equac¸a˜o anterior, obtemos
P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
Note que os termos do lado direito sa˜o todos condicionais aos eventos Ai, enquanto que
o termo da esquerda e´ condicional a` B.
7
1.6 Eventos independentes
Dois eventos A e B sa˜o ditos independentes se e somente se
P (A ∩B) = P (A)P (B)
Segue imediatemente que se A e B sa˜o independentes, enta˜o
P (A|B) = P (A) P (B|A) = P (B)
Se dois eventos A e B sa˜o indenpendentes, enta˜o podemos mostrar que A e B¯ sa˜o
tambe´m independentes; isto e´
P (A ∩ B¯) = P (A)P (B¯)
Enta˜o
P (A|B¯) = P (A)
Assim, se A e´ independente de B, enta˜o a probabilidade de A permanece inalterada
independentemente se B acontece ou na˜o.
De uma forma geral, os eventos A1, A2, ..., An sa˜o independentes se e somente se para
cada subconjunto {Ai1, Ai2, ..., Aik} (2 ≤ k ≤ n) destes eventos,
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik) = P (Ai1)P (Ai2)...P (Aik)
Finalmente, definimos um conjunto infinito de eventos como independente e se, somente
se, todo subconjunto finito destes eventos e´ independente.
8
Cap´ıtulo 2
Varia´veis Aleato´rias
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo, introduziremos os conceito de varia´veis aleato´rias. O propo´sito principal
de usar uma varia´vel aleato´ria e´ assim que podemos definir certas func¸o˜es de probabilidade
que tornam conveniente e fa´cil de calcular a probabilidade de va´rios eventos.
2.2 Varia´veis Aleato´rias
2.2.1 Definic¸a˜o
Considere um experimento aleato´rio com espac¸o amostral S. Uma varia´vel aleato´ria X(ζ)
e´ uma func¸a˜o real que associa um nu´mero real chamado valor de X(ζ) para cada ponto
amostral ζ de S. Frequentemente, usamos simplesmente X para esta func¸a˜o em vez de
X(ζ) e usamos “v.a” para denotar a varia´vel aleato´ria.
O espac¸o amostral S e´ chamado de domı´nio da v.a X, e a colec¸a˜o de todos os nu´meros
(valores de X(ζ)) e´ chamado de imagem da v.a X. Assim, a imagem de X e´ subconjunto
dos nu´meros reais.
Note que duas ou mais pontos amostrais diferentes podem dar o mesmo valor de X,
mas diferentes nu´meros na imagem na˜o podem ser atribu´ıdos ao mesmo ponto amostral.
Exemplo 2.2.1. No exeprimento de jogar uma moeda uma vez, podemos definir a v.a X
como
X(H) = 1 e X(T ) = 0 (2.1)
9
Note que podemos tambe´m definir outra v.a., digamos que Y com
Y (H) = 0, Y (T ) = 1 (2.2)
2.2.2 Eventos Definidos por Varia´veis Aleato´rias
Se X e´ uma v.a. e x e´ um nu´mero real fixado, podemos definir o evento (X = x) como
(X = x) = {ζ;X(ζ) = x} (2.3)
Similarmente, para nu´meros fixados x, x1, x2, podemos definir os seguintes eventos:(X ≤ x) = {ζ;X(ζ) ≤ x} (2.4)
(X > x) = {ζ;X(ζ) > x} (2.5)
(x1 < X ≤ x2) = {ζ;x1 < X(ζ) ≤ x2} (2.6)
Exemplo 2.2.2. No experimento de jogar uma moeda treˆs vezes, o espac¸o amostral S1
consistindo de oito pontos amostrais igualmente prova´veis S1 = {HHH, . . . , TTT}. Se
X e´ uma v.a. dando o nu´mero de caras obtidas, calcule (a) P(X=2); (b) P(x¡2).
2.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o
2.3.1 Definic¸a˜o
A func¸a˜o de ditribuic¸a˜o [ ou func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada(fda)] de X e´ a func¸a˜o
definida por
FX(x) = P (X ≤ x) −∞ < x <∞ (2.7)
A maioria das informac¸o˜es sobre um experimento aleato´rio descrito pelo v.a. X e´
determinada pelo comportamento da FX(x).
2.3.2 Propriedades da FX(x)
1. 0 ≤ FX(x) ≤ 1;
2. FX(x1) ≤ FX(x2) se x1 ≤ x2;
3. limxto∞ FX(x) = FX(∞) = 1;
4. limx→−∞ FX(x) = FX(−∞) = 0;
5. limx→a+ FX(a+) = FX(a) a+ = lim0<�→0 a+ �.
Exemplo 2.3.1. Considere a v.a definida no exemplo 2. Calcule e esbocea fda FX(x) de
X.
2.3.3 Determinac¸a˜o de Probabilidades pela Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o
Pela definic¸a˜o de fda, podemos calcular outras probabilidades, tal como P (a < X ≤ b),
P (X > a), e P (X < b):
P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a) (2.8)
P (X > a) = 1− FX(a) (2.9)
P (x < b) = FX(b
−) b− = lim
0<�→0
b− � (2.10)
10
2.4 Varia´veis Aleato´rias Discretas e fmp
2.4.1 Definic¸a˜o
Seja X uma v.a. com fda FX(x). Se FX(x) assume somente valores inteiros e e´ constante
entre esses valores, enta˜o X e´ chamada uma varia´vel aleato´ria discreta.
2.4.2 Func¸a˜o Massa de Probabilidade
Suponha que os saltos em FX(x) de uma v.a. discreta X ocorre nos pontos x1, x2, ... onde
a sequencia pode ser finita ou infinita conta´vel, e assumimos xi < xj se i < j. Enta˜o
FX(xi)− FX(xi−1) = P (X ≤ xi)− P (X ≤ xi−1) = P (X = x) (2.11)
Seja
pX(x) = P (X = x) (2.12)
A func¸a˜o pX(x) e´ chamada de func¸a˜o massa de probabilidade (fmp) da v.a. discreta X.
2.4.3 Propriedades da pX(x)
1. 0 ≤ pX(xk) ≤ 1; k = 1, 2, ...;
2. pX(x) = 0, se x 6= xk(k = 1, 2, ...);
3.
∑
k pX(xk) = 1.
A fda FX(x) de uma v.a. discreta X pode ser obtida por
FX(x) = P (X ≤ x) =
∑
xk≤x
pX(xk) (2.13)
2.5 Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas e fdp
2.5.1 Definic¸a˜o
Seja X uma v.a. com fda FX(x). Se FX(x) e´ cont´ınua e tambe´m possiu uma derivada
dFX(x)/dx a qual existe em toda parte exceto em um poss´ıvel nu´mero de pontos e e´
cont´ınua por partes, enta˜o X e´ chamada uma varia´vel aleato´ria cont´ınua Alternativa-
mente, X e´ uma v.a. cont´ınua somente se a imagem de FX(x) conte´m um intervalo de
nu´meros reais.
Assim, se X e´ uma v.a. cont´ınua, enta˜o
P (X = x) = 0 (2.14)
Note que este e´ um exemplo de um evento com probabilidade 0, isto na˜o e´ necessariamante
o evento imposs´ıvel ∅.
Na maioria das aplicac¸o˜es, a v.a. e´ discreta ou cont´ınua. Mas se a FX(x) de uma v.a.
X possui caracter´ısticas de v.a discreta e cont´ınua, enta˜o a v.a. X e´ chamada v.a. mista.
11
2.5.2 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade
Seja
fX(x) =
dFX(x)
dx
(2.15)
A func¸a˜o fX(x) e´ chamada de func¸a˜o densidade de probabilidade de uma v.a. cont´ınua
X.
2.5.3 Propriedades de fX(x)
1. fX(x) ≥ 0;
2.
∫∞
−∞ dx = 1;
3. fX(x) e´ cont´ınua por partes;
4. P (a < X ≤ b) = ∫ b
a
fX(x)dx.
A fda FX(x) de uma v.a. cont´ınua X pode ser obtida por
FX(x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
fX(ξ)dξ (2.16)
Pela eq. 2.14, se X e´ uma v.a. cont´ınua, enta˜o
P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(2.17)
=
∫ b
a
fX(x)dx = FX(b)− FX(a) (2.18)
2.6 Me´dia e Variaˆncia
2.6.1 Me´dia
A Me´dia (ou valor experado) de uma v.a. X, denotado por µX ou E(X), e´ definida por
µX = E(X) =
{ ∑
k xkpX(xk) se X e´ discreta∫∞
−∞ xfX(x)dx se X e´ cont´ınua
(2.19)
2.6.2 Momento
O n-e´simo momento de uma v.a. X e´ definido por
E(Xn) =
{ ∑
k x
n
kpX(xk) se X e´ discreta∫∞
−∞ x
nfX(x)dx se X e´ cont´ınua
(2.20)
Note que a me´dia de X e´ o primeiro momento de X.
12
2.6.3 Variaˆncia
A variaˆncia de uma v.a. X, denotado por σ2X ou V ar(X), e´ definido por
σ2X = V ar(X) = E{[X − E(X)]2} (2.21)
Assim,
σ2X =
{ ∑
k(xk − µX)2pX(xk) se X e´ discreta∫∞
−∞(x− µX)2fX(x)dx se X e´ cont´ınua
(2.22)
Note da definic¸a˜o 2.21 que
V ar(X) ≥ 0
O desvio padra˜o de uma v.a. X, denotado por σX , e´ a raiz quadrada positiva da V ar(X).
Expandindo o lado direito da eq. 2.21, podemos obter a seguinte relac¸a˜o:
V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2
a qual e´ uma fo´rmula u´til para determinar a variaˆncia.
2.7 Algumas Distribuic¸o˜es Especiais
2.7.1 Distribuic¸a˜o Bernoulli
Uma v.a. X e´ chamada de v.a. de Bernoulli com paraˆmetro p se a fmp e´ dada por
pX(k) = P (X = k) = p
k(1− p)1−k, k=0,1
onde 0 ≤ p ≤ 1.
Pela eq. ??, a fda FX(x) da v.a. Bernoulli X e´ dado por
FX(x) =

0 se x < 0
1− p se 0 ≤ x < 1
1 se x ≥ 1
(2.23)
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. de Bernoulli X sa˜o
µX = E(X) = p (2.24)
σ2X = V ar(X) = p(1− p) (2.25)
Uma v.a. de Bernoulli X e´ associado com algum experimento o qual o resultado pode
ser classificado como um ”sucesso´´ ou um ”fracasso´´, e a probabilidade de um sucesso
e´ p e a probabilidade de um fracasso e´ 1− p.
2.7.2 Distribuic¸a˜o Binomial
Uma v.a. X e´ chamada de v.a. binomial com paraˆmetros (n, p) se sua fmp e´ dada por
pX(x) = P (X = k) =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k k = 0, 1, ..., n (2.26)
onde 0 ≤ p ≤ 1 e (
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! (2.27)
13
o qual e´ conhecido como o coeficiente binomial.
A fda de X correspondente e´
FX(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
pk(1− p)n−k n ≤ x < n+ 1
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. binomial X sa˜o
µX = E(X) = np
σ2X = V ar(X) = np(1− p)
Uma v.a. binomial X e´ associado com algum experimento nos quais n tentativas de
Bernoulli independentes sa˜o executadas e X representa o nu´mero de sucessos que ocorrer
em n experimentos. Note que a v.a. Bernoulli e´ justamente uma v.a. binomial com
paraˆmetros (1, p).
Exemplo 2.7.1. Uma fonte de bina´rios gera os digitos 1 e 0 aleatoriamente com proba-
bilidade 0.6 e 0.4 respectivamente.
(a) Qual a probabilidade de dois 1s e treˆs 0s ocorrerem em uma sequeˆncia de cinco
digitos;
(b) Qual a probabilidade que pelo menos treˆs 1s ocorram em uma sequeˆncia de cinco
digitos.
Exemplo 2.7.2. Uma moeda honesta e´ lanc¸ada 10 vezes. Calcule a probabilidade de
ocorrer 5 ou 6 caras.
2.7.3 Distribuic¸a˜o de Poisson
Uma v.a. X e´ chamada de v.a. de Poisson com paraˆmetro λ(> 0) se sua fmp e´ dada por
pX(k) = P (X = k) = e
−λλ
k
k!
k = 0, 1, ...
A fda correspondente de X e´
FX(x) = e
−λ
n∑
k=0
λk
k!
n ≤ x < n+ 1
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. de Poisson X sa˜o
µX = E(X) = λ
σ2X = V ar(X) = λ
A v.a. de Poisson possui uma gama enorme de aplicac¸o˜es em diversas a´reas porque
ela pode ser usada como uma aproximac¸a˜o para uma v.a. binomial com paraˆmetros (n, p)
quando n e´ grande e p e´ suficientemente pequeno de forma que np e´ de um tamanho
moderado.
E´ fa´cil provar que (
n
k
)
pk(1− p)1−k ≈ e−λλ
k
k!
Alguns exemplos de uma v.a. de Poisson sa˜o:
14
1. O nu´mero de chamadas telefonicas chegando a` um centro de comutac¸a˜o durante
va´rios intervalos de tempo;
2. O nu´mero de erros de impressa˜o em uma pa´gina de um livro;
3. o nu´mero de clientes entrando em um banco durante va´rios intervalos de tempo.
Exemplo 2.7.3. Um canal de transmissa˜o de ru´ıdo tem probabilidade de erro por digito
de p=0.01.
(a) Calcule a probabilidade de receber mais de um erro em 10 digitos.
(b) Repita (a), usando a aproximac¸a˜o de Poisson.
Exemplo 2.7.4. O nu´mero de chamadas telefoˆnicas chegando em um painel de comando
durante um per´ıodo de 10 minutos e´ conhecido como uma v.a. de Poisson X com λ = 2.
(a) Calcule a probabilidade que mais de treˆs chamadas cheguem durante um per´ıodode 10 minutos.
(b) Calcule a probabilidade que nenhuma chamada chegue durante o per´ıodo de 10
minutos.
2.7.4 Distribuic¸a˜o Uniforme
Uma v.a. X e´ chamada v.a. uniforme sobre (a, b) se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
{
1
b−a a < x < b
0 caso contra´rio
A fda correspondente de X e´
FX(x) =

0 x ≤ a
x−a
b−a a < x < b
1 x ≥ b
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. uniforme X sa˜o
µX =
a+ b
2
σ2X =
(b− a)2
12
Uma v.a. X e´ frequentemente usada quando na˜o temos nenhum conhecimento pre´vio
da fda e todos os valores cont´ınuos em algum intervalo sa˜o igualmente prova´veis.
2.7.5 Distribuic¸a˜o Exponencial
Uma v.a. X e´ chamada v.a. exponencial com paraˆmetro λ(> 0) se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
{
λe−λx x > 0
0 x < 0
A fda corespondente de X e´
fX(x) =
{
1− e−λx x ≥ 0
0 x < 0
15
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. exponencial X sa˜o
µX = 1/λ
σ2X = 1/λ
2
Exemplo 2.7.5. Assuma que o tempo de uma chamada telefoˆnica em minutos e´ uma v.a.
exponencial X com paraˆmetro λ = 1/10. Se algue´m chega a uma cabine de telefone pouco
antes de sua chegada, encontre a probabilidade de que voceˆ tera´ que esperar (a) menos
que 5 minutos, e (b) entre 5 e 10 minutos.
2.7.6 Distribuic¸a˜o Normal (ou Gaussiana)
Uma v.a. X e´ chamada v.a. normal se sua fdp e´ dada por
fX(x) =
1√
2piσ
e−(x−µ)
2/2σ2
A fda correspondente de X e´
FX(x) =
1√
2piσ
∫ x
−∞
e−(ξ−µ)
2/(2σ2)dξ =
∫ (x−µ)/σ)
−∞
e−ξ
2/2dξ (2.28)
Esta integral na˜o pode ser resolvida em uma forma fechada e deve ser resolvida nu-
mericamente. E´ conveniente usar a func¸a˜o Φ(z), definida como
Φ(z) =
1√
2pi
∫ z
−∞
e−ξ
2/2dξ
para ajudar a resolver o valor de FX(x). Enta˜o, a eq. 2.28 pode ser escrita como
FX(x) = Φ
(
x− µ
σ
)
Note que Φ(−z) = 1− Φ(z).
A me´dia e a variaˆncia de uma v.a. normal X sa˜o
µX = µ
σ2X = σ
2
Usamos a notac¸a˜o N(µ, σ2) para denotar que X e´ uma v.a. normal com me´dia µ e
variaˆncia σ2. Uma v.a. normal Z com me´dia zero e variaˆncia um - isto e´, Z = N(0, 1) -
e´ chamada de v.a. normal padra˜o.
Exemplo 2.7.6. Uma linha de produc¸a˜o fabrica resistores de 1000-ohm (Ω) que tem
toleraˆncia de 10%. Seja X a v.a. que denota a resisteˆncia do resistor. Assumindo que
X e´ uma v.a. normal com me´dia 1000 e variaˆncia 2500, calcule a probabilidade de um
resistor escolhido aleatoriamente seja rejeitado.
16
2.8 Distribuic¸a˜o Condicional
Ja´ vimos que a probabilidade condicional de um evento A dado o evento B e´ definido
como
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
P (B) > 0
A fda condicional FX(x|B) de uma v.a. X dado o evento B e´ definido por
FX(x|B) = P (X ≤ x|B) = P{(X ≤ X) ∩B}
P (B)
A fda condicional FX(x|B) tem as mesmas propriedades de FX(x).Em particular,
FX(−∞|B) = 0 FX(∞|B) = 1
P (a < X ≤ b|B) = FX(b|B)− FX(a|B)
Se X e´ uma v.a. discreta, enta˜o a fmp condicional pX(xk|B) e´ definida como
pX(xk|B) = P (X = xk|B) = P{(X = xk) ∩B}
P (B)
Se X e´ uma v.a. cont´ınua, enta˜o a fdp condicional fX(x|B) e´ definida como
fX(x|B) = dFX(x|B)
dx
2.9 Exerc´ıcios
1. A probabilidade de um bem sucedido lanc¸amento de foguete e´ igual a 0,8. Suponha
que tentativas de lanc¸amento sejam feitas ate´ que tenham ocorrido 3 lanc¸amentos
bem sucedidos. Qual o nu´mero me´dio de tentativas para a ocorreˆncia dos 3 lanc¸amentos
bem sucedidos?
2. Considere a v.a discreta X que tem como fmp
pX(x) =
(
1
2
)xk
;xk = 1, 2, 3, ...
Seja A = {ζ;X(ζ) = 1, 3, 5, 7, ...}. Calcule P (A).
3. Considere a func¸a˜o dada por
p(x) =
{
k
x2
;x = 1, 2, 3, ...
0, caso contrario
onde k e´ uma constante. Calcule o valor de k tal que p(x) pode ser a fmp de uma
v.a discreta X.
4. Sabe-se que o disquete produzido por uma empresa A sera´ defeituoso com proba-
bilidade 0.01. A empresa vende o disquete em pacotes de 10 e oferece a garantia de
substituic¸a˜o que, no ma´ximo, 1 dos 10 discos esta´ com defeito. Calcule a probabili-
dade que um pacote comprado tera´ que ser substituido.
17
5. Um sistema de transmissa˜o digital tem uma probabilidade de erro de 10−6 por d´ıgito.
Calcule a probabilidade de 3 ou mais erros em 106 d´ıgitos usando a aproximac¸a˜o da
Distribuic¸a˜o de Poisson.
6. Sabe-se que o tempo (em horas) entre consecutivos acidentes de tra´fego pode ser
descrito por uma v.a exponencial X com paraˆmetro λ = 1/60. Calcule (a) P (X ≤
60), (b) P (X > 120); e (c) P (10 < X ≤ 100).
7. Dados Bina´rios sa˜o transmitidos atrave´s de um canal de ru´ıdos em blocos de 16
d´ıgitos bina´rios. A probabilidade que um d´ıgito recebido e´ em erro como resultado
do canal de ru´ıdo e´ 0.01. Assuma que os erros ocorridos em va´rias posic¸o˜es d´ıgito
dentro de um bloco sa˜o independentes.
(a) Calcule a me´dia e a variaˆncia do nu´mero de erros por bloco.
(b) Calcule a probabilidade que o nu´mero de erros por blocos e´ maior ou igual a 4.
8. Seja a v.a cont´ınua X que denota o peso ( em libras) de um pacote. O conjunto
imagem do peso do pacote e´ entre 45 e 60 libras.
(a) Determine a probabilidade que um pacote ter peso maior que 50 libras.
(b) Calcule a me´dia e a variaˆncia de peso dos pacotes.
dica: Assuma que X e´ uma distribuic¸a˜o uniforme (45,60).
9. Em uma produc¸a˜o de chips de memoria de computador, a empresa A produz um
chip com defeito para cada nove chips bons. Seja X o tempo para falha (em meses)
dos chips. Sabendo que X e´ uma v.a exponencial com paraˆmetro λ = 1/2 para um
chip defeituoso e λ = 1/10 para um chip bom. Calcule a probabilidade que um chip
comprado aleatoriamente ira´ falhar antes de (a) seis meses de uso; (b) um ano de
uso.
10. Seja X a v.a denota o nu´mero de componentes defeituosos em um amostra aleato´ria
de n componentes, selecionado sem reposic¸a˜o de um total de N componentes, r das
quais esta˜o com defeitos. A v.a X e´ conhecida como a v.a hipergeome´trica com
paraˆmetros (N, r, n).
(a) Calcule a fmp de X.
(b) Calcule a me´dia e a variaˆncia de X.
Dica: Para Achar E(X), note que:
(
r
x
)
=
r
x
(
r − 1
x− 1
)
e
(
N
n
)
=
n∑
x=0
(
r
x
)(
N − r
n− x
)
Para encontrar a V ar(X), primeiro calcule E[X(X − 1)].
11. Um lote de 100 fus´ıveis e´ inspecionado pelo seguinte processo: cinco fus´ıveis sa˜o
selecionados aleatoriamente, e se todos cinco ”enchem”a amperagem especificada,
o lote e´ aceito. Suponha que o lote contenha 10 fus´ıveis defeituosos. Calcule a
probabilidade de aceitac¸a˜o do lote.
Dica: Seja X a v.a igual ao nu´mero de fus´ıveis defeituosos na amostra de 5 e use o
resultado do problema anterior.
18
12. Suponha que a probabilidade que um bit transmitido atrave´s de um canal de co-
municac¸a˜o digital e recebido com erro e´ 0.1. Assumindo que as transmisso˜es sa˜o
eventos independentes, calcule a probabilidade que o terceiro erro ocorra no 10o bit.
19
Cap´ıtulo 3
Varia´veis Aleato´rias
Multidimensionais
3.1 Introduc¸a˜o
Em muitas aplicac¸o˜es e´ importante estudar duas ou mais v.a.’s definidas no mesmo espac¸o
amostral. Neste cap´ıtulo, no´s primeiro consideraremos o caso de duas v.a.’s com dis-
tribuic¸o˜es associadas e algumas propriedades, tal como independencia de v.a.’s. Estes
conceitos sa˜o enta˜o extendidos para o caso de va´rias v.a.’s definidas em um mesmo espac¸o
amostral.
3.2 Varia´veis Aleato´rias Bidimensionais
3.2.1 Definic¸a˜o
Seja S o espac¸o amostral de um experimento aleato´rio. Seja X e Y duas v.a.’s. Enta˜o o
par (X, Y ) e´ chamado de v.a. bidimensional (ou vetor aleato´rio bidimensional), se cada
X e Y associam um nu´mero real com cada elemento de S. Assim, a v.a. bidimensional
(X, Y ) pode ser considerado como uma func¸a˜o que para cada ponto ζ em S associa um
ponto (x, y) no plano. O contra-domı´nio de uma v.a. bidimensional (X, Y ) e´ denotado
por Rxy e definido por
Rxy = {(x, y); ζ ∈ S e X(ζ) = x, Y (ζ)= y}
Se a v.a.’s X e Y sa˜o cada uma, por si mesmas, v.a.’s discretas, enta˜o (X, Y ) e´ chamada
v.a. bidimensional discreta.
Similarmente, se X e Y sa˜o cada uma, por si mesmas, v.a.’s cont´ınuas, enta˜o (X, Y )
e´ chamada v.a. bidimensional cont´ıua.
Se X ou Y e´ discreta e a outra e´ cont´ınua, enta˜o (X, Y ) e´ chamada v.a. bidimensional
mista.
Exemplo 3.2.1. Considere um experimento de lanc¸ar uma moeda honesta duas vezes.
Seja (X, Y ) uma v.a. 2D, onde X e´ o nu´mero de caras que ocorre nos dois lanc¸amentos
e Y e´ o nu´mero de coroas que ocorre nos dois lanc¸amentos. Calcule P (X = 2, Y =
0), P (X = 0, Y = 2), P (X = 1, Y = 1)
20
3.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Conjunta
3.3.1 Definic¸a˜o
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada conjunta (fda conjunta) de X e Y , denotada por
FXY (x, y), e´ a func¸a˜o definida por
FXY (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) (3.1)
O evento (X ≤ x, Y ≤ y) na equac¸a˜o 3.1 e´ equivalente ao evento A ∩ B, onde A e B
sa˜o os eventos definidos por
A = {ζ ∈ S;X(ζ) ≤ x} e B = {ζ ∈ S;Y (ζ) ≤ y}
e
P (A) = FX(x) e P (B) = FY (y)
Assim,
FXY (x, y) = P (A ∩B)
Se, para valores particulares de x e y, A e B sa˜o eventos independentes de S, enta˜o
FXY (x, y) = P (A ∩B) = P (A)P (B) = FX(x)FY (y)
Duas v.a.s X e Y sera˜o chamadas independentes se
FXY (x, y) = FX(x)FY (y)
para todos os valores de x e y.
3.3.2 Propriedades de FXY (x, y)
A fda conjunta de duas v.a.’s possuem muitas propriedades ana´logas a`s das fda de uma
v.a. simples.
• 0 ≤ FXY (x, y) ≤ 1;
• Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2 enta˜o FXY (x1, y1) ≤ FXY (x2, y1) ≤ FXY (x2, y2) e FXY (x1, y1) ≤
FXY (x1, y2) ≤ FXY (x2, y2)
• limx→∞;y→∞ FXY (x, y) = FXY (∞,∞) = 1;
• limx→−∞ FXY (x, y) = FXY (−∞, y) = 0;
• limy→−∞ FXY (x, y) = FXY (x,−∞) = 0
• limx→a+ FXY (a+, y) = FXY (a, y);
• limy→b+ FXY (x, b+) = FXY (x, b);
• P (x1 < X ≤ x2, Y ≤ y) = FXY (x2, y) − FXY (x1, y); P (X ≤ x, y1 < Y ≤ y2) =
FXY (x, y2)− FXY (x, y1);
21
3.3.3 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Marginal
Visto que
lim
y→∞
(X ≤ x, Y ≤ y) = (X ≤ x, Y ≤ ∞) = (X ≤ X)
desde que a condic¸a˜o y ≤ ∞ e´ sempre satisfeita. Enta˜o
lim
y→∞
FXY (x, y) = FXY (x,∞) = FX(x) (3.2)
Similarmente,
lim
x→∞
FXY (x, y) = FXY (∞, y) = FY (y) (3.3)
As fda’s FX(x) e FY (y), quando obtidas pelas equac¸o˜es 3.2 e 3.3, sa˜o referidas como as
fda’s marginais de X e Y respectivamente.
Exemplo 3.3.1. A fda conjunta de uma v.a. 2D e´ dada por
FXY (x, y) =
{
(1− eαx)(1− e−βy) x ≥ 0; y ≥ 0;α, β > 0
0 caso contra´rio
(a) Calcule as fda’s marginais de X e Y .
(b) Mostre que X e Y sa˜o independentes.
(c) Calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 1), P (X ≤ 1), P (Y > 1), P (X > x, Y > y)
3.4 V.A. Discreta - FMP Conjunta
3.4.1 FMP Conjunta
Seja (X, Y ) uma v.a. 2D discreta e suponha que (X, Y ) assumam os valores (xi, yj) para
um certo conjunto de inteiros i e j. A func¸a˜o
pXY = P (X = xi, Y = yj)
e´ chamada a func¸a˜o massa de probabilidade conjunta (fmp conjunta) de (X, Y ).
3.4.2 Propriedades de pXY (xi, yj)
1. 0 ≤ pXY (xi, yj) ≤ 1;
2.
∑
xy
∑
xy pXY (xi, yj) = 1;
3. P [(X, Y ) ∈ A] = ∑∑(xi,yj)∈RApXY (xi, yj), onde o somato´rio e´ sobre os pontos
(xi, yj) no contra-domı´nio RA correspondente ao evento A.
A fda conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) e´ dada por
FXY (x, y) =
∑
xi≤x
∑
yj≤y
pXY (xi, yj)
22
3.4.3 FMP Marginal
Suponha que para um valor fixo X = xi, a v.a. Y pode assumir apenas os poss´ıveis
valores yj (j = 1, 2, ..., n). Enta˜o
P (X = xi) = pX(xi) =
∑
yi
pXY (xi, yj)
onde o somato´rio e´ tomado sobre todos os pares (xi, yj) com xi fixo. Similarmente,
P (Y = yj) = pY (yj) =
∑
xi
pXY (xi, yj)
onde o somato´rio e´ tomado sobre todos os pares (xi, yj) com yj fixo.
As fmp’s pX(xi) e pY (yj) sa˜o chamadas de fmp’s marginais de X e Y , respectivamente.
3.4.4 Varia´veis Aleato´rias Independentes
Se X e Y sa˜o v.a.’s independentes, enta˜o
pXY (xi, yj) = pX(xi)pY (yj)
Exemplo 3.4.1. Dois dados honestos sa˜o jogados. Considere uma v.a. 2D (X, Y ).
Seja X = 0 ou 1 conforme o primeiro dado mostre um nu´mero par ou ı´mpar de pontos.
Similarmente, seja Y = 0 ou 1 conforme o segundo dado.
(a) Encontre o contra-domı´nio RXY de (X, Y );
(b) Calcule a fmp’s conjuntas de (X, Y ).
Exemplo 3.4.2. Considere um canal de comunicac¸a˜o bina´rio mostrado na figura Seja
(X, Y ) a v.a. 2D onde X e´ a entrada do canal e Y e´ a saida do canal. Seja P (X = 0) = 0.5
e P (Y = 1|X = 0) = 0.1, e P (Y = 0|X = 1) = 0.2.
(a)Calcule a fmp conjunta de (X, Y );
(b)Encontre a fmp’s marginais de X e de Y ;
(c)X e Y sa˜o independentes?
23
3.5 Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas - FDP Conjunta
3.5.1 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade Conjunta
Seja (X, Y ) uma v.a. 2D cont´ınua com fda FXY (x, y). A func¸a˜o
fXY (x, y) =
∂2fXY (x, y)
∂x∂y
(3.4)
e´ chamada func¸a˜o densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ). Integrando a Eq. 3.4,
obtemos
FXY (x, y) =
∫ x
−∞
∫ y
−∞
fXY (ξ, η)dηdξ
3.5.2 Propriedades de fXY (x, y)
1. fXY (x, y) ≥ 0;
2.
∫∞
−∞
∫∞
−∞ fXY (x, y)dydx = 1;
3. fXY (x, y) e´ cont´ınua para todos os valores de x e y exceto em um conjunto finito de
pontos;
4. P [(X, Y ) ∈ A] = ∫ ∫
RA
fXY (x, y)dydx
5. P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = ∫ d
c
∫ b
a
fXY (x, y)dxdy
Visto que P (X = a) = 0 = P (Y = c), segue-se que
P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d)
= P (a ≤ X < b, c ≤ Y < d)
= P (a < X < b, c < Y < d) =
∫ d
c
∫ b
a
fXY (x, y)dxdy
3.5.3 FDP Marginal
Pela Eq. 3.2,
FX(x) = FXY (x,∞) =
∫ x
−∞
∫ ∞
−∞
fXY (ξ, η)dηdξ
Enta˜o,
fX(x) =
dFX(x)
dx
=
∫ ∞
−∞
fXY (x, η)dη
ou
fX(x) =
∫ ∞
∞
fXY (x, y)dy (3.5)
Similarmente,
fY (y) =
∫ ∞
−∞
(x, y)dx (3.6)
As fdp’s fX(x) e fY (y), quando obtidas pelas equac¸o˜es 3.5 e 3.6, sa˜o chamadas de fdp’s
marginais de X e de Y , respectivamente.
24
3.5.4 Varia´veis Aleato´rias Independentes
Se X e Y sa˜o independentes, temos
FXY (x, y) = FX(x)FY (y)
Enta˜o
∂2FXY (x, y)
∂x∂y
=
∂
∂x
FX(x)
∂
∂y
FY (x)
ou
fXY (x, y) = fX(x)fY (Y ) (3.7)
Assim, dizemos que duas v.a.’s X e Y sa˜o independentes se e somente se a Eq. 3.7 e´
satisfeita.
Exemplo 3.5.1. A fdp conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) e´ dada por
fXY (x, y) =
{
k(x+ y) 0 < x < 2, 0 < y < 2
0 caso contra´rio
onde k e´ uma constante.
(a)Calcule o valor de k;
(b) Encontre as fdp’s marginais de X e Y ;
(c) X e Y sa˜o independentes?
Exemplo 3.5.2. Suponha que seja selecionado um ponto aleatoriamente dentro de um
c´ırculo com raio R. Se colocarmos o centro do c´ırculo na origem e definir X e Y para
as coordenadas dos pontos escolhidos, enta˜o (X, Y ) e´ uma v.a. uniforme 2D com fdp
conjunta dada por
fXY (x, y) =
{
k x2 + y2 ≤ R2
0 x2 + y2 > R2
onde k e´ uma constante.
(a) Determine o valor de k.
(b) Calcule as fdp’s marginais de X e Y .
(c) Encontrar a probabilidade da distaˆncia entre a origem e o ponto selecionado na˜o
ser maior do que a.
3.6 Distribuic¸o˜es Condicionais
3.6.1 Func¸a˜o Massa de Probabilidade Condicional
Se (X, Y ) e´ uma v.a. 2D com fmp conjunta pXY (x, y), enta˜o a fmp condicional de Y dado
X = xi, e´ definido por
pY |X(yj|xi) = pXY (xi, yj)
pX(xi)
pX(xi) > 0.
Similarmente, podemos definir pX|Y (xi|yj) como
pX|Y (xi|yj) = pXY (xi, yj)
pY (yj)
pY (yj) > 0.
25
3.6.2 Propriedades de pY |X(yj|xi)
1. 0 ≤ pY |X(yj|xi) ≤ 1;
2.
∑
yj
pY |X(yj|xi) = 1.
Observe que se X e Y sa˜o independentes, enta˜o
pY |X(yj|xi) = pY (yj) e pX|Y (xi|yj) = pX(xi)
3.6.3 Func¸a˜o Densidade de Probabilidade Condicional
Se (X, Y ) e´ uma v.a. 2D com fdp conjunta fXY (x, y), enta˜o a fdp condicional de Y , dado
que X = xi, e´ definido por
fY |X(y|x) = fXY (x, y)
fX(x)
fX(x) > 0.
Similarmente, podemos definir fX|Y (x|y)
fX|Y (x|y) = fXY (x, y)
fY (y)
fY (y) > 0.
3.6.4Propriedades de fY |X(x|y)
1. fY |X(y|x) ≥ 0;
2.
∫∞
−∞ fY |Xdy = 1
Como definido no caso discreto, se X e Y sa˜o independentes, enta˜o
fY |X(x, y) = fY (y) e fX|Y (x|y) = fX(x)
Exemplo 3.6.1. Considere a v.a. 2D (X, Y ) com fdp conjunta
fXY (x, y) =
{
k(x+ y) 0 < x < 2, 0 < y < 2
0 caso contra´rio
(a) Encontre as fdp’s condicionais fY |X(y|x) e fX|Y (x|y);
(b) Encontre P (0 < Y < 1/2|X = 1).
Exemplo 3.6.2. A fdp conjunta da v.a. (X, Y ) e´ dada por
fXY (x, y) =
{
1
y
e−x/ye−y x > 0, y > 0
0 caso contra´rio
(a) Mostre que fXY (x, y) satisfaz a propriedade (2) das fdp’s;
(b) Calcule P (X > 1|Y = y).
26
3.7 Coeficientes de Covariaˆncia e Correlac¸a˜o
A (k, n)-e´simo momento de uma v.a. bidimensional (X, Y ) e´ definido por
mkn = E(X
kY n) =
{ ∑
yj
∑
xi
xki y
n
j pXY (xi, yj) caso discreto∫∞
−∞
∫∞
−∞ x
kynfXY (x, y)dxdy caso cont´ınuo
Se n = 0, obtemos o k-e´simo momento de X e se k = 0 obtemos o n-e´simo momento de
Y . Assim,
m10 = E(X) = µX e m01 = E(Y ) = µY
Se (X, Y ) e´ uma v.a. bidimensional discreta, enta˜o
µX =
∑
yj
∑
xi
xipXY (xi, yj)
=
∑
xi
xi
∑
yj
pXY (xi, yj)

=
∑
xi
xipX(xi)
Da mesma forma,
µY =
∑
xi
∑
yj
yjpXY (xi, yj)
=
∑
yj
yj
[∑
xi
pXY (xi, yj)
]
=
∑
yj
yjpY (yj)
Similarmente, temos
E(X2) =
∑
yj
∑
xi
x2i pXY (xi, yj) =
∑
xi
x2i pX(xi)
E(Y 2) =
∑
yj
∑
xi
y2jpXY (xi, yj) =
∑
xi
y2jpX(xi)
Se (X, Y ) e´ uma v.a. bidimensional cont´ınua, enta˜o
µX =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
xfXY (x, y)dxdy
=
∫ ∞
−∞
x
[∫ ∞
−∞
fXY (x, y)dy
]
dx
=
∫ ∞
−∞
xfX(x)dx
27
E,
µY =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
yfXY (x, y)dxdy
=
∫ ∞
−∞
y
[∫ ∞
−∞
fXY (x, y)dx
]
dy
=
∫ ∞
−∞
yfY (y)dy
Similarmente,
µX =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x2fXY (x, y)dxdy =
∫ ∞
−∞
x2fX(x)dx
µY =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
y2fXY (x, y)dxdy =
∫ ∞
−∞
y2fY (y)dx
A variaˆncia de X e de Y sa˜o facilmente obtidas. O (1, 1)-e´simo momento conjunto de
(X, Y )
m11 = E(XY )
e´ chamado de correlac¸a˜o de X e Y . Se E(XY ) = 0, enta˜o dizemos que X e Y sa˜o
ortogonais. A covariaˆncia de X e Y , denotado por Cov(X, Y ) ou σXY e´ definido como
Cov(X, Y ) = σXYE[(X − µX)(Y − µY )] (3.8)
Expandindo a Eq. 3.8, obtemos
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) (3.9)
Se Cov(X, Y ) = 0, enta˜o dizemos que X e Y sa˜o na˜o-correlatados. Da Eq. 3.9, vemos
que X e Y sa˜o na˜o-correlatados se
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Note que se X e Y sa˜o independentes, enta˜o pode ser mostrada que elas sa˜o de-
scorrelatadas, mas o oposto na˜o e´ verdeiro em geral: isto e´, o fato de X e Y serem
descorrelatadas, em geral, na˜o implica na sua independeˆncia. O coeficiente de correlac¸a˜o,
denotado por ρ(X, Y ) ou ρXY e´ definido por
ρ(X, Y ) =
Cov(X, Y )
σXσY
=
σXY
σXσY
Pode ser provado que |ρXY | ≤ 1.
Note que o coeficiente de correlac¸a˜o de X e Y e´ uma medida de dependeˆncia linear
entre X e Y .
Exemplo 3.7.1. Suponha que a v.a. 2D (X, Y ) e´ uniformemente distribuida sobre um
c´ırculo unita´rio.
(a) X e Y sa˜o independentes?
(b) X e Y sa˜o correlatados?
Exemplo 3.7.2. Seja (X, Y ) uma v.a. 2D com fdp conjunta
fXY (x, y) =
x2 + y2
4pi
e−(x
2+y2)/2 ∞ < x <∞,−∞ < y <∞
Mostre que X e Y na˜o sa˜o independentes mas sa˜o descorrelatadas.
28
3.8 Me´dia e Variaˆncia Condicionais
SE (X, Y ) e´ uma v.a. 2D discreta com fmp conjunta pXY (xi, yj), enta˜o a me´dia condicional
(ou esperanc¸a condicional) de Y dado X = xi, e´ defeinido por
µY |xi = E(Y |xi) =
∑
yj
yjpXY (yj|xi)
A variaˆncia condicional de Y dado que X = xi e´ definido por
σ2Y |xi = V ar(Y |xi) = E[(Y − µY |xi)2|xi] =
∑
yi
(yi − µY |xi)2pY |xi(Y |xi)
a qual pode ser reduzida para
V ar(Y |xi) = E(Y 2|xi)− [E(Y |xi)]2
A me´dia de X dado Y = yj e a variaˆncia de X dado Y = yj sa˜o definidas por expresso˜es
similares.
Note que a me´dia condicional de Y dado X = xi, e´ uma func¸a˜o de xi somente.
Similarmente, a me´dia condicional de X dado Y = yj e´ uma func¸a˜o de yj.
Se (X, Y ) e´ uma v.a. 2D cont´ınua com fdp conjunta fXY (x, y), a me´dia condicional
de Y dado X = x e´ definido por
µY |x = E(Y |x) =
∫ ∞
∞
yfY |X(y, x)dy
A variaˆncia condicional de Y dado X = x e´ definida como
σY |x = V ar(Y |x) =
∫ ∞
−∞
(y − µY |x)2fY |X(y|x)dy
Que pode ser reduzida para
V ar(Y |x) = E(Y 2|x)− [E(Y |x)]2
Exemplo 3.8.1. A fdp conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) dada por
fXY (x, y) =
{
k 0 < y ≤ x < 1
0 caso contra´rio
(a) Calcule as fdp’s marginais de X e Y .
(b) Encontre as fdp’s condicionais fY |X(y|x) e fX|Y (x|y)
(c) Calcule as me´dias condicionais E(Y |x) e E(X|y).
(d) Calcule as variaˆncias condicionais V ar(Y |x) e V ar(X|y).
3.9 Exerc´ıcios
1. Considere um experimento de tirar aleatoriamente treˆs bolas de uma urna contendo
duas vermelhas, treˆs brancas e quatro bolas azuis. Seja (X, Y ) uma v.a bidimen-
sional onde X e Y denotam, respectivamente, o nu´mero de bolas vermelhas e de
bolas brancas selecinadas.
(a) Calcule a imagem de (X, Y ).
(b) Calcule as fmp’s conjuntas de (X, Y ).
(c) X e Y sa˜o independentes?
29
2. A fmp de uma v.a bidimensional (X, Y ) e´ dada por
pxy(xi, yj) =
{
k(2xi + yj), xi = 1, 2; yj = 1, 2
0, caso contra´rio
onde k e´ uma constante.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Calcule as fmp’s marginais de X e Y .
(c) X e Y sa˜o independentes?
3. Considere um experimento de jogar duas moedas treˆs vezes. A moeda A e´ honesta,
mas a moeda B na˜o e´ honesta, com P (H) = 1/4 e P (T ) = 3/4. Considere uma v.a
bidimensional (X, Y ), onde X denota o nu´mero de caras resultantes da moeda A e
Y denota o nu´mero de caras resutantes da moeda B.
(a) Ache a imagem de (X, Y ).
(b) Calcule as fmp’s conjuntas de (X, Y ).
(c) Calcule P (X = Y ), P (X > Y ) e P (X + Y ≤ 4).
4. Um elaborador tem usado dois processos de produc¸a˜o diferentes para fabricar chips
de memo´ria de computador. Seja (X, Y ) uma v.a bidimensional onde X denota o
tempo de falha do chip criado pelo processo A e Y denota o tempo de falha do chip
criado pelo processo B. Assuma que a fdp de (X, Y ) e´
fxy(xi, yj) =
{
abe−(ax+by), x > 0; y > 0
0, caso contra´rio
onde a = 10−4 e b = 1.2(10−4), determine P (X > Y ).
5. Considere a v.a bidimensional (X, Y ) do problema 2.
(a) calcule as fmp’s condicionais pY |X(yj|xi) e pX|Y (xi|yj).
(b) Calcule P (Y = 2|X = 2) e P (X = 2|Y = 2).
6. Seja (X,Y) uma v.a bidimensional. Se X e Y sa˜o independentes, mostre que X e Y
sa˜o descorrelatados.
7. Suponha que a fmp conjunta de uma v.a bidimensional (X,Y) e´ dada por
pxy(xi, yj) =
{
1/3, (0, 1), (1, 0), (2, 1)
0, caso contra´rio
(a) X e Y sa˜o independentes?
(b) X e Y sa˜o descorrelatadas?
8. Seja (X,Y) uma v.a bidimensional com fdp conjunta
fxy(x, y) =
x2 + y2
4pi
e−(x
2+y2)/2 −∞ < x <∞, −∞ < x <∞
Mostre que X e Y na˜o sa˜o independentes mas sa˜o descorrelatadas.
30
9. Considere a v.a bidimensional (X,Y) do problema 2. Calcule a me´dia e a variaˆncia
condicionais de Y dado xi = 2.
10. Considere um experimento de jogar uma moeda honesta treˆs vezes. Seja (X,Y) a
v.a bidimensional onde X denota o nu´mero de caras nos primeiros dois lanc¸amentos
e Y denota o nu´mero de caras no terceiro lanc¸amento.
(a) Ache a imagem de X, Y e de (X,Y).
(b) Calcule (i) P (X ≤ 2, Y ≤ 1); (ii) P (X ≤ 1, Y ≤ 1); e (iii) P (X ≤ 0, Y ≤ 0).
11. A fdp conjunta de (X,Y) e´ dada por
fxy(x, y) =
{
e−(x+y), x > 0, y > 0
0, caso contra´rio
(a) X e Y sa˜o independentes?
(b) Calcule as fdp’s condicionais de X e Y.
31
Cap´ıtulo 4
Func¸a˜o de uma Varia´vel Aleato´ria
4.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo estudaremos um pouco sobre os conceitos ba´sicos de func¸o˜es de varia´veis
aleato´rias e investigaremos ovalor esperado de uma certa func¸a˜o de uma varia´vel aleato´ria.
4.2 Func¸o˜es de Uma Varia´vel Aleato´ria
4.2.1 Varia´vel Aleato´ria g(X)
Dado uma v.a. X e uma func¸a˜o g(X), a expressa˜o
Y = g(X)
define uma nova v.a. Y . Com y um nu´mero dado, denotamos Dy o subconjunto de RX
(contra-domı´nio de X) tal que g(x) ≤ y. Enta˜o
(Y ≤ y) = [g(X) ≤ y] = (X ∈ Dy)
onde (X ∈ Dy) e´ o envento consistindo de todos os resultados ζ tal que o ponto X(ζ) ∈
DY .
Enta˜o
FY (y) = P (Y ≤ y) = P [g(X) ≤ y] = P (X ∈ Dy)
Se X e´ uma v.a. cont´ınua com fdp fX(x), enta˜o
FY (y) =
∫
DY
fX(x)dx
4.2.2 Determinac¸a˜o de fY (y) por fX(x)
Seja X uma v.a. cont´ınua com fdp fX(x). Se a transformac¸a˜o y = g(x) e´ um-a-um e
possui a transformac¸a˜o inversa
x = g−1(y) = h(y)
enta˜o a fdp de Y e´ dada por
fY (y) = fX(x)
∣∣∣∣dxdy
∣∣∣∣ = fX [h(y)] ∣∣∣∣dh(y)d(y)
∣∣∣∣
32
Note que se g(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua mono´tona crecente ou decrescente, enta˜o a
transformac¸a˜o y = g(x) e´ uma-a-uma.
Se a transformac¸a˜o y = g(x) na˜o e´ uma-a-uma, fY (y) e´ obtida como segue: Denotando
as ra´ızes reais de y = g(x) por xk, isto e´ ,
y = g(x1) = · · · = g(xk) = · · ·
enta˜o
fY (y) =
∑
k
fX(xk)
|g′(xk)|
onde g′(x) e´ a derivada de g(x).
Exemplo 4.2.1. Seja Y = aX + b. Determine a fdp de Y , se X e´ uma v.a. uniforme
em (0, 1).
Exemplo 4.2.2. Seja Y = X2. Calcule a fdp de Y se X e´ uma v.a. uniforme em (1, 2).
4.3 Func¸a˜o de Duas Varia´veis Aleato´rias
4.3.1 Um Func¸a˜o de Duas Varia´veis Aleato´rias
Dado duas v.a.’s X e Y e uma func¸a˜o g(x, y), a expressa˜o
Z = g(X, Y )
define uma nova v.a. Z. Sendo z um nu´mero dado, denotamos DZ o subconjunto de RXY
[contra-domı´nio de (X, Y )] tal que g(x, y) ≤ z. Enta˜o
(Z ≤ z) = [g(X, Y ) ≤ z] = {(X, y) ∈ DZ}
onde {(X, Y )inDZ} e´ o evento consistindo de todos os resultados ζ tal que o ponto
{X(ζ), Y (ζ)}inDZ .
Enta˜o
FZ(z) = P (Z ≤ z) = P [g(X, Y ) ≤ z] = P{(X, Y ) ∈ DZ}
Se X e Y sa˜o v.a.’s cont´ınuas com fdp conjunta fXY (x, y), enta˜o
FZ(z) =
∫ ∫
DZ
fXY (x, y)dxdy
4.3.2 Duas Func¸o˜es de Duas Varia´veis Aleato´rias
Dado duas v.a.’s X e Y e duas func¸o˜es g(x, y) e h(x, y), a expressa˜o
Z = g(X, Y ) e W = h(X, Y )
define duas novas v.a.’s Z e W . Sendo z e w dois nu´meros dados, denotamos por DZW o
subconjunto de RXY [contra-domı´nio de (X, Y )] tal que g(x, y) ≤ z e h(x, y) ≤ w. Enta˜o
(Z ≤ z,W ≤ w) = [g(X, Y ) ≤ z, h(X, Y ) ≤ w] = {(X, Y ) ∈ DZW}
33
onde {(X, Y ) ∈ DZW} e´ o evento consistindo de todos os resultados poss´ıveis ζ tal que o
ponto {X(ζ), Y (ζ)} ∈ DZW .
Enta˜o
FZW (z, w) = P (Z ≤ z,W ≤ w) = P [g(X, Y ) ≤ z, h(X, Y ) ≤ w]
= P{(X, Y ) ∈ DZW}
No caso cont´ınuo, temos
FZW (z, w) =
∫ ∫
DZW
fXY (x, y)dxdy
4.3.3 Determinando fZW (z, w) por fXY (x, y)
Seja X e Y v.a.’s cont´ınuas com fdp conjunta fXY (x, y). Se a transformac¸a˜o
z = g(x, y) e w = h(x, y)
e´ injetiva e possui a transformac¸a˜o inversa
x = q(z, w) e y = r(z, w)
enta˜o a fdp conjunta de Z e W e´ dada por
fZW (z, w) = fXY (x, y)|J(x, y)|−1
onde x = q(z, w), y = r(x, y), e
J(x, y) =
∣∣∣∣∣ ∂g∂x ∂g∂y∂h∂x ∂h∂y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ ∂z∂x ∂z∂y∂w
∂x
∂w
∂y
∣∣∣∣
o qual e´ o jacobiano da transformac¸a˜o.
Definimos
J(x, y) =
∣∣∣∣ ∂q∂z ∂q∂w∂r
∂z
∂r
∂w
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∂x∂z ∂x∂w∂y
∂z
∂y
∂w
∣∣∣∣
enta˜o
|J(z, w)| = |J(x, y)|−1.
Exemplo 4.3.1. A voltagem V e´ um func¸a˜o do tempo t e e´ dada por
V (t) = X cos(ωt) + Y sin(ωt)
na qual ω e´ uma frequencia angular constante e X = Y = N(0;σ2) e sa˜o independentes.
(a) Mostre que V (t) pode ser escrita como
V (t) = R(cos(ωt−Θ))
onde R =
√
X2 + Y 2 e Θ = tan−1 X
Y
.
(b) Calcule as fdp’s das v.a.’s R e Θ e mostre que R e Theta sa˜o independentes.
34
4.4 Esperanc¸a
4.4.1 Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de Uma Varia´vel Aleato´ria
A esperanc¸a de Y = g(X) e´ dada por
E(Y ) = E[g(X)] =
{ ∑
i g(xi)pX(xi) caso discreto∫∞
−∞ g(x)fX(x)dx caso cont´ınuo
4.4.2 Esperanc¸a de uma Func¸a˜o de Mais de Uma Varia´vel Aleato´ria
Seja X1, . . . , Xn n v.a.’s e seja Y = g(X1, . . . , Xn). Enta˜o
E(Y ) = E[g(X)] =
{ ∑
x1
· · ·∑xn g(x1, . . . , xn)pX1···Xn(x1, . . . , xn) c. d.∫∞
−∞ · · ·
∫∞
−∞ g(x1, . . . , xn)fX1···Xn(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn c. c.
4.4.3 Propriedade de Linearidade da Esperanc¸a
Note que a operac¸a˜o esperanc¸a e´ linear, e temos
E
(
n∑
i=1
aiXi
)
=
n∑
i=1
aiE(xi)
onde os a′is sa˜o constantes. Se as v.a.’s X e Y sa˜o independentes, enta˜o temos
E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]
A relac¸a˜o acima pode ser generalizado para um conjunto mutualmente independentes
de n v.a.’s X1, . . . Xn:
E
[
n∏
i=1
gi(Xi)
]
=
n∏
i=1
e[gi(Xi)]
4.4.4 Esperanc¸a Condicional com uma Varia´vel Aleato´ria
Ja´ definimos a esperanc¸a condicional de Y dado X = x , E(Y |x), o que e´, em geral, uma
func¸a˜o de x, dizemos H(X). Agora H(X) e´ uma func¸a˜o da v.a. X; isto e´,
H(X) = E(Y |x)
Assim, E(Y |x) e´ uma func¸a˜o da v.a. X. Note que E(Y |x) tem a seguinte propriedade
E[E(Y |X)] = E(Y ).
Exemplo 4.4.1. Seja X uma v.a. uniforme sobre (0, 1) e Y = eX
(a)Encontre E(Y ) usando fY (y);
(b)Encontre E(X) usando fX(x).
Exemplo 4.4.2. Seja X e Y definidos por
X = cos Θ e Y = sin Θ
onde Θ e´ uma v.a. uniformemente distribuida sobre (0, 2pi).
(a) Mostre que X e Y sa˜o descorrelatadas;
(b) Mostre que X e Y sa˜o independentes.
35
4.5 Func¸o˜es Geradoras de Momento
4.5.1 Definic¸a˜o
A func¸a˜o geradora de momento de uma v.a. X e´ definido por
MX(t) = E(e
tX) =
{ ∑
i e
txipX(xi) caso discreto∫∞
−∞ e
txfX(x)dx caso cont´ınuo
onde t e´ uma varia´vel real. Note que MX(t) pode na˜o existir para algumas v.a.’s. Em
geral, MX(t) existira´ somente para aqueles valores de t para o qual a soma ou integral
converge absolutamente. Suponha que MX(t) existe. Se expressarmos e
tX formalmente e
tomarmos a esperanc¸a, temos
MX(t) = E(e
tX) = E
[
1 + tX +
1
2!
(tX)2 + · · ·+ 1
k!
(tX)k + · · ·
]
= 1 + tE(X) +
t2
2!
E(X2) + · · ·+ t
k
k!
E(Xk) + · · ·
Suponha que MX(t) existe. Se expressarmos e
tX formalmente e tomarmos a esperanc¸a,
temos
MX(t) = E(e
tX) = E
[
1 + tX +
1
2!
(tX)2 + · · ·+ 1
k!
(tX)k + · · ·
]
(4.1)
= 1 + tE(X) +
t2
2!
E(X2) + · · ·+ t
k
k!
E(Xk) + · · · (4.2)
e o k-e´simo momento de X e´ dado por
mk = E(X
k) = MX(0)
com k = 1, 2, . . ., onde
M
(k)
X (0) =
dk
dtk
MX(t)
∣∣∣∣
t=0
4.5.2 Func¸a˜o Geradora de Momento Conjunta
A func¸a˜o geradora de momento conjunta MXY (t1, t2) de duas v.a.’s X e Y e´ definda por
MXY (t1, t2) = E[e
(t1X+t2Y )]
onde t1 e t2 sa˜o varia´veis reais. Procedendo como na eq. 4.1, podemos estabelecer que
MXY (t1, t2) = E[e
(t1X+t2Y )] =
∞∑
k=0
∞∑
n=0
tk1t
n
2
k!n!
E(XkY n)
e o (k, n) momento conjunto de X e Y e´ dado por
mkn = E(X
kY n) = M
(kn)
XY (0, 0)
onde
M
(kn)
XY (0, 0) =
∂k+n
∂kt1∂nt2
MXY (t1, t2)
∣∣∣∣
t1=t2=0
36
Exemplo 4.5.1. Seja o momento de uma v.a. discreta X dado por
E(Xk) = 0.8 k = 1, 2, ...
(a)Encontre a func¸a˜o geradora de momento de X;
(b)Calcule P (X = 0) e P (X = 1).
Exemplo 4.5.2. Calcule a func¸a˜o geradora de momento de uma v.a. normal padra˜o
X = N(0; 1) e calcule os treˆs primeiros momentos de X.
4.6 Func¸a˜o Caracter´ıstica
4.6.1 Definic¸a˜o
A func¸a˜o Caracter´ıtica de uma v.a. X e´ definida por
ΨX(ω) = E(e
jωX =
{ ∑
i e
jωxipX(xi) caso discreto∫∞
−∞ e
jωxfX(x)dx caso cont´ınuo
(4.3)
quando ω e´ uma varia´vel real e j =
√−1. Note que ΨX(ω) e´ obtida trocando t em MX(t)
por jω se MX(t) existe. Assim, a func¸a˜o caracter´ıstica possue todas as propriedades da
func¸a˜o geradora de momento.
Agora,
|ΨX(ω)| =
∣∣∣∣∣∑
i
ejωxipX(xi)
∣∣∣∣∣ ≤∑i
∣∣ejωxi∣∣ pX(xi) = ∑
i
pX(xi) = 1 <∞
para o caso discreto e
|ΨX(ω)| =
∣∣∣∣∫ ∞−∞ ejωxfX(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞−∞ ∣∣ejωx∣∣ fX(x)dx =
∫ ∞
−∞
fX(x)dx = 1 <∞
para o caso cont´ınuo.
Dessa forma, A func¸a˜o caracter´ıstica ΨX(ω) e´ sempre definida mesmo se a func¸a˜o
momento MX(t) na˜o e´. Note que ΨX(ω) da Eq. 4.3 para o caso cont´ınuo e´ a transformada
de Fourier ( com o sinal de j trocado) de fX(x). Por causa deste fato, se ΨX(ω) e´
conhecida, fX(x) pode ser encontrada pela transformada de Fourier inversa; isto e´,
fX(x) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
ΨX(ω)e
−jωxdω
4.6.2 Func¸o˜es Caracter´ısticas Conjuntas
A func¸a˜o caracter´ıstica conjunta ΨXY (ω1, ω2) de duas v.a.’s X e Y e´ definida por
ΨXY (ω1, ω2) = E[e
j(ω1X+ω2Y )] =
{ ∑
i
∑
k e
j(ω1xi+ω2yk)pXY (xi, yk) caso discreto∫∞
−∞
∫∞
−∞ e
j(ω1x+ω2y)fXY (x, y)dxdy caso cont´ınuo
(4.4)
onde ω1 e ω2 sa˜o varia´veis reais.
37
A expressa˜o da equac¸a˜o 4.4 para o caso cont´ınuo e´ reconhecida como a transformada
de Fourier bidimensional ( com o sinal de j trocado) de fXY (x, y). Assim, da transformada
de Fourier inversa, obtemos
fXY (x, y) =
1
(2pi)2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
ΨXY (ω1, ω2)e
−j(ω1x+ω2y)dω1dω2
Das equac¸o˜es 4.3 e 4.4 vemos que
ΨY (ω) = ΨXY (ω, 0) e ΨY (ω) = ΨXY (0, ω)
as quais sa˜o chamadas func¸o˜es caracter´ısticas marginais.
Exemplo 4.6.1 (4.59). A func¸a˜o caracter´ıstica de uma v.a. X e´ dada por
ΨX(ω) =
{
1− |ω|, |ω| < 1
0 |ω| > 1
Calcule a fdp de X.
38
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