Slides concreto2 lajes

Prévia do material em texto

ESCOLA DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
ENGENHARIA CIVIL
ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO 2
CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS
Parte 1
PROFESSOR: JUAREZ QUADROS
Email: juarez.barbosa@unp.br
Armadura em 2 direções
Tipos usuais de lajes de edifícios
Tipos usuais de lajes de edifícios
Tipos usuais de lajes de edifícios – lajes lisa e cogumelo
Tipos usuais de lajes de edifícios – lajes pré-fabricadas
Comparativo de peso e mão-de-obra 
na montagem de lajes
(fonte: www.termotecnica.ind.br)
Tipo de 
Laje
Lajota Cerâmica Lajota EPS
Pesos/m²
Horas 
h/m²
Pesos/m²
Horas 
h/m²
H12 56,0 kg
0,37 
(pedreiro)
0,74 
(servente)
1,3kg
0,22 
(pedreiro)
0,44 
(servente)
H16 65,6 kg
0,40 
(pedreiro)
0,80 
(servente)
1,7kg
0,24 
(pedreiro)
0,48 
(servente)
H20 75,0 kg
0,44 
(pedreiro)
0,88 
(servente)
2,2kg
0,26 
(pedreiro)
0,53 
(servente)
Tipos usuais de lajes de edifícios – lajes pré-fabricadas
Transferência de forças e de tensões em laje formada por painéis pré-
moldados, comportando-se como diafragma.
Tipos usuais de lajes de edifícios – lajes nervuradas
Lajes Maciças
Lajes – introdução:
• Elementos estruturais planos, isto é, sua espessura é muito inferior à
largura e ao comprimento.
• Recebem a maior parte dos carregamentos suportados por toda a estrutura.
• São pisos e tetos de prédios, tampas e fundo de reservatórios.
• Dimensionadas à flexão (como as vigas), desprezando-se o
dimensionamento para o cisalhamento.
• Cargas para lajes:
 Peso próprio;
 Contrapiso;
 Revestimentos de pisos;
 Pessoas circulando;
 Móveis.
Sistema estrutural: modo como os
elementos estruturais são arranjados.
 Discretização: técnica de
desmembramento da estrutura em
elementos cujos comportamentos
possam ser admitidos como já
conhecidos e de fácil estudo.
Sistemas e elementos estruturais:
Antes de iniciar o estudo do CA, é importante analisar o
comportamento de uma estrutura simples: qual parte da construção
resiste às diversas ações e quem garante o equilíbrio.
 Elementos estruturais: são as peças que compõem uma estrutura
geralmente com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as
demais  vigas, lajes, pilares, etc.
MODELO DE DISCRETIZAÇÃO DE ESTRUTURA:
MODELO FÍSICO PRÓXIMO AO REAL
MODELO REAL
Durabilidade de uma estrutura:
 Dimensionamento
• Deve garantir que a estrutura suporte de forma segura, estável e sem
deformações excessivas todas as solicitações a que está submetida durante
sua execução e utilização.
• Consiste em impedir a ruína (falha) da estrutura ou de seus elementos.
• Ruína: não é apenas o perigo da ruptura que ameaça a vida dos ocupantes.
Também são as situações em que a edificação não apresenta um perfeito
estado para utilização (excesso de deformações, fissuras inaceitáveis etc).
• NBR 6118 (item 5.1.2.3): capacidade de a estrutura resistir às influências
ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural
e o contratante, no início dos trabalhos de elaboração do projeto.
DESEMPENHO EM SERVIÇO:
A estrutura deve manter-se em condições plenas de utilização, não devendo
apresentar danos que comprometam parte ou totalmente o uso para o qual
foi projetada.
CAPACIDADE RESISTENTE:
Segurança à ruptura.
DIRETRIZES PARA DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO:
•Exigências de projeto;
•Vida útil da estrutura;
•Envelhecimento e deterioração;
•Agressividade do ambiente - está relacionada às ações físicas e químicas
que atuam sobre as estruturas de concreto, independente das ações
mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, e da retração
hidráulica.
Vantagens do uso das lajes maciças de concreto armado
a) Melhor distribuição das reações de apoio;
b) Melhor posicionamento dos elementos construtivos, como: redes
hidráulicas, elétricas, insertos metálicos;
c) Melhor rigidez estrutural e redução de deslocamentos horizontais
(apenas no caso convencional – vigas, pilares e lajes);
d) Redistribuição dos esforços solicitantes;
e) Possibilidade de engastamento em lajes e vigas adjacentes.
Desvantagens do uso das lajes maciças de concreto armado
a) Necessidade de carpintaria no local da obra;
b) Volume de concreto, e conseqüentemente, peso próprio maior 
maiores armaduras nas vigas, pilares e fundações
c) Custos maiores para obras pequenas, inviabilizando seu uso.
Funções das lajes:
a) Função resistência: devem suportar seu peso próprio e as
sobrecargas acidentais; e
b) Função isolação: devem isolar térmica e acusticamente os diferentes
andares/pavimentos.
Isotropia: propriedade que caracteriza as
substâncias que possuem as mesmas
propriedades físicas independentemente da direção
considerada.
DESLOCAMENTOS:
Caminho das ações
O sistema estrutural de um edifício deve ser
projetado de modo que seja capaz de resistir a:
 ações verticais; e
 ações horizontais que possam provocar
efeitos significativos ao longo da vida útil da
construção.
a) As ações verticais são constituídas por:
• peso próprio dos elementos estruturais;
• pesos de revestimentos e de paredes
divisórias, além de outras ações permanentes;
• ações variáveis decorrentes da utilização,
cujos valores vão depender da finalidade do
edifício; e
• outras ações específicas, como por exemplo, o
peso de equipamentos.
b) As ações horizontais, onde não há ocorrência de
abalos sísmicos, constituem-se:
• ação do vento; e
• empuxo em subsolos.
O percurso das ações verticais tem início
nas lajes, que suportam, além de seus pesos
próprios, outras ações permanentes e as ações
variáveis de uso, incluindo, eventualmente, peso de
paredes que se apóiem diretamente sobre elas.
Caminho das ações
As lajes transmitem essas ações para as vigas, através das
reações de apoio.
As vigas suportam seus pesos próprios, as reações provenientes
das lajes, peso de paredes e, ainda, ações de outros elementos que nelas
se apóiem, como, por exemplo, as reações de apoio de outras vigas.
Em geral as vigas trabalham à flexão e ao cisalhamento e
transmitem as ações para os elementos verticais − pilares e paredes
estruturais − através das respectivas reações.
Os pilares e as paredes estruturais recebem as reações das vigas
que neles se apóiam, as quais, juntamente com o peso próprio desses
elementos verticais, são transferidas para os andares inferiores e,
finalmente, para o solo, através dos respectivos elementos de fundação.
Desenhos preliminares de formas
A numeração dos elementos (lajes, vigas e pilares) deve ser feita
da esquerda para a direita e de cima para baixo.
Inicia-se com a numeração das lajes – L1, L2, L3 etc. –, sendo que
seus números devem ser colocados próximos do centro delas. Deve-se
indicar a direção de armação das lajes com setas (unidirecional ou
bidirecional).
L01
TABELAS LAJES (PINHEIRO)
O pavimento moldado no local pode ser composto por uma única laje
ou várias
Roteiro do cálculo de pavimentos com lajes maciças
Consiste em:
I. Discretização do pavimento
II. Pré-dimensionamento das espessuras
III. Verificação das flechas
IV. Cálculo dos momentos
V. Avaliação da quantidade de aço necessária para as armaduras
VI. Detalhamento as dimensões de cada ferro das armaduras baseado em
parâmetros iniciais (cargas, apoios, materiais utilizados interação entre
as lajes e condições de estabilidade).
VII. Cálculo das reações de apoio das vigas – suporte de todo o
carregamento (ações sobre a estrutura) apoiado sobreela e resistir ao
esforço provocado por este carregamento: momento.
Pré-dimensionamento:
• A altura final (h) de uma laje é função da deformação-limite ou do momento
no estado-limite último. Para isso, antes de calcular os esforços é necessário
estimar a altura para determinar as cargas e efetuar correções posteriores se
necessário.
Lajes em balanço
Para lajes armadas em cruz:
O valor expresso por é apenas indicativo, isto é, serve apenas
como pré-dimensionamento, será necessário proceder às verificações do
estado-limite de deformação excessiva (conforme itens 19.3.1 e 17.3.2 e
Tabela 13.3 do item 13.3 da NBR 6118:2014 – LER!)
Critérios de projeto que visam a durabilidade:
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γc E γs
IMPORTANTE!
Ações nas lajes
(pior situação)
Peso próprio de parede de alvenaria de
tijolo furado 1 vez
Dada uma parede de 1,00 x 1,00m =
1,00m², com largura do bloco 19cm, 2cm
de argamassa de revestimento em cada
face, e espessura final 23cm.
• Dimensões 19 x 19 x 9cm
• γtijolo=13kN/m³
• γargamassa=19kN/m³
• 1m² de alvenaria = 50 tijolos
 Logo, a massa dos 50 tijolos é:
[50x(0,19x0,19x0,09)x13]/1m²=2,11kN/m²
AÇÕES A CONSIDERAR NO PROJETO DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO
O peso próprio da argamassa é determinada pelo volume da argamassa nas
direções horizontal e vertical multiplicados pelo peso específico.
[10 x (0,19 x 0,01 x 1,00) x 19 + 5 x (0,19 x 0,01 x 1,00) x 19]/1m² = 0,54kN/m²
O peso do reboco em ambas as faces é = [2x(0,02x1,00x1,00)x19]/1m² = 0,76kN/m²
Peso próprio total será = 2,11+0,54+0,76=3,41kN/m²
Argamassa de 
regularização Material de 
preenchimento 
(entulho)
Exemplo
Exemplo (continuação)
Exemplo (continuação)
Ações nas lajes L01, L04, L05:
Exercício em classe: Calcule as ações permanentes da L02
Ações na laje L03:
Argamassa de 
regularização
Material de 
preenchimento 
(entulho)
ESQUEMA ESTÁTICO
a) Laje isolada em vigas de contorno
Condições iniciais:
- Admite-se a laje engastada nas
vigas de contorno;
- Engaste nas vigas resulta em
momentos de engastamento nas
vigas;
- As vigas giram porque tem pouca
rigidez à torção.
b) Duas lajes contíguas
Condições iniciais:
- Leva-se em conta a existência das
vigas e a continuidade do painel de
lajes;
- As lajes possuem rigidezes
diferentes (h1≠h2);
- A laje menos rígida e as vigas
podem ceder e girar  considera-se
a laje menos rígida engastada na laje
de maior rigidez;
- A laje mais rígida tem maior rigidez
 considera-se a laje mais rígida
apoiada.
- Ambas as lajes são simplesmente
apoiadas nas vigas.
c) Laje em balanço
- A viga é solicitada à ação de um momento uniformemente distribuído 
gera tensões tangenciais da torção mas necessárias ao equilíbrio estrutural;
- Evitam-se deslocamentos excessivos adotando-se espessuras e dimensões
adequadas;
- Nervura de pequena altura na borda da laje imposta por detalhes
arquitetônicos  pequena rigidez e não deve ser admitido como apoio da
laje;
- Esquema estático da laje é engastado na viga e demais lados livres, sem
apoio.
Condições iniciais:
- do desenho acima, percebe-se que a
laje tem três bordas livres, ou seja,
lados da laje onde não existem vigas
de borda;
- V01 garante a condição estática da
laje;
- Considera-se a laje sempre
engastada, independente da sua
rigidez;
Casos práticos de vão efetivos para lajes isoladas, contínuas e em
balanço
Classe do concreto: C20; γc=1,4;
CA-50; c=20mm
Vinculação:
- L1 e L2 tem continuidade e são de portes semelhantes  ambas são
consideradas engastadas.
- Admite-se porte semelhante as lajes que, em seu vínculo comum, o momento
da menor laje é superior que metade do momento da maior laje.
Vinculação:
- L1 é bem maior que L3  L3 é
engastada em L1;
- L1 não engasta em L3  caso
contrário provocaria grandes
regiões com momentos
negativos
L1 L2 L3 L4
L1 x x
L2 x
L3 x
L4 x x
L1 L2 L3 L4
TIPO 2B 2A 3 14
lx (cm) 380 460 230 110
ly (cm) 690 500 500 460
0,7.ly (cm) 483 350 350 -
l* (cm) 380 350 230 -
n 1 1 1 -
dest (cm) 9,12 8,4 5,52 8,80
ϕadot (cm) 1,00 1,00 1,00 1,00
c (cm) 2,5 2,5 2,5 2
hest (cm) 13,12 12,4 9,52 12,3
hfinal (cm)
λ 1,82 1,09 2,17 4,18
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Reações de apoio
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Reações de apoio
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Reações de apoio
a) Cálculo pela geometria da laje:
kN/m²
m²
m
- Reação vx será:
Carregamento total (p) x Área da figura (An)
comprimento do bordo contíguo à área
(lx ou ly)
CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Reações de apoio
b) Cálculo pela utilização de tabelas:
ou
O valor do coeficiente ν é
retirado da tabela e é em função
do tipo da vinculação da laje
(colunas) e do l (linhas).
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
a) Equação diferencial da superfície elástica
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
a) Equação diferencial da superfície elástica
Compatibilização dos momentos positivos e negativos
Compatibilização dos momentos positivos e negativos
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
b) Cálculo por meio de tabelas
, isto é:
Momento positivo 
(“ferro positivo”)
Momento negativo 
(“ferro negativo”)
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
b) Cálculo por meio de tabelas
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
b) Cálculo por meio de tabelas
VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES VERTICAIS (FLECHAS)
VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES VERTICAIS (FLECHAS)
VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS (CISALHAMENTO)
a) Lajes sem armadura para força cortante
onde,
VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS (CISALHAMENTO)
a) Lajes sem armadura para força cortante
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
d
z
KZ 
FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES
OBS: É conveniente de se trabalhar com formulação adimensional devido à facilidade ao se utilizar sistemas de unidades diferentes. Além disso, pode-se 
racionalizar de forma mais produtiva a utilização de graficos e tabelas.
1) Expressão de Md
Md = ( 0,68 . x. d - 0,272 .x² ) . bw . fcd
Dividindo-se ambos os membros da equação de Md por ( bw.d².fcd ), tem-se:
KMD = Md e x/d= KX Logo: KMD = 0,68 . (KX) - 0.272 . (KX)²
bw . d² . Fcd
onde KX só poderá variar de 0 a 1 (eq. só contém termos adimensionais), i.e., x=0 e x=d.
para x = 0 → início do domínio ② → KX = x /d = 0 → KMD = 0 Obs: KX é a posição da L.N. na seção
para x = d → fim do domínio ④ → KX = x / d = 1 → KMD = 0,408
2) Expressão para o braço de alavanca (z)
z = d - 0,4 . ( x )
Dividindo-se os dois termos por d, tem-se:
z / d = (d - 0,4 . x ) / d = 1 - 0,4 . x / d
KZ = z / d e KX = x / d, tem-se: KZ = 1 - 0,4 . KX
3) Expressão para o cálculo da armadura
As = (Md / z . Fs) e z = KZ . ( d ) → As = (Md / (KZ . d . fs))
KMD KX KZ εc εs
0,0050 0,0074 0,9971 0,07429 10,000
D
O
M
ÍN
IO
 ②
0,0100 0,0148 0,9941 0,15016 10,000
0,0150 0,0223 0,9911 0,22764 10,000
0,0200 0,0298 0,9881 0,30679 10,000
0,0250 0,0373 0,9851 0,38769 10,000
0,0300 0,0449 0,9820 0,47038 10,000
0,0350 0,0526 0,9790 0,55494 10,000
0,0400 0,0603 0,9759 0,64143 10,000
0,0450 0,0680 0,9728 0,72993 10,000
0,0500 0,0758 0,9697 0,82051 10,000
0,0550 0,0837 0,9665 0,91326 10,000
0,0600 0,0916 0,9634 1,00826 10,000
0,0650 0,0996 0,9602 1,10559 10,000
0,0700 0,1076 0,9570 1,20536 10,000
0,0750 0,1156 0,9537 1,30766 10,000
0,0800 0,1238 0,9505 1,41260 10,000
0,0850 0,1320 0,9472 1,52029 10,000
0,0900 0,1402 0,9439 1,63085 10,000
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444010,000
0,1000 0,1569 0,9372 1,86108 10,000
0,1050 0,1653 0,9339 1,98104 10,000
0,1100 0,1739 0,9305 2,10441 10,000
0,1150 0,1824 0,9270 2,23137 10,000
0,1200 0,1911 0,9236 2,36208 10,000
0,1250 0,1998 0,9201 2,49672 10,000
0,1300 0,2086 0,9166 2,63549 10,000
0,1350 0,2174 0,9130 2,77860 10,000
0,1400 0,2264 0,9094 2,92627 10,000
0,1450 0,2354 0,9058 3,07875 10,000
0,1500 0,2445 0,9022 3,23627 10,000
0,1550 0,2537 0,8985 3,39914 10,000
0,1580 0,2592 0,8963 3,500 10,000
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104
D
O
M
ÍN
IO
 
③
C
A
-6
0
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,1306
0,1850 0,3107 0,8757 3,5000 7,7662
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204
0,1950 0,3304 0,8678 3,5000 7,0919
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793
KMD KX KZ εc εs
( 
fc
k>
3
5
M
P
a 
) 0,2050 0,3507 0,8597 3,5000 6,4814
D
O
M
ÍN
IO
 ③
C
A
-6
00,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971
0,2150 0,3713 0,8515 3,5000 5,9255
0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658
0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170
0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785
0,2350 0,4142 0,8343 3,5000 4,9496
0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297
0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181
0,2458 0,4383 0,8247 3,5000 4,4850
( 
fc
k≤
3
5
M
P
a 
) 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144
D
O
M
ÍN
IO
 ③
C
A
-5
0
D
O
M
ÍN
IO
 ④
C
A
-6
0
0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181
0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287
0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459
0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691
0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981
0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324
0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719
0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162
0,2950 0,5587 0,7765 3,5000 2,7649
0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179
0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748
0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355
0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997
0,3199 0,6284 0,74864 3,5000 2,0698
D
O
M
ÍN
IO
 ④
C
A
-5
0
0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672
D
O
M
ÍN
IO
 ③
C
A
-2
50,3250 0,6437 0,7425 3,5000 1,9376
0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8110
0,3350 0,6748 0,7301 3,5000 1,6869
0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652
0,3450 0,7077 0,7169 3,5000 1,4458
0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283
0,3550 0,7427 0,7029 3,5000 1,2125
0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983
0,3628 0,7718 0,69128 3,5000 1,0349
0,3650 0,7803 0,6879 3,5000 0,9853
D
O
M
ÍN
IO
 ④
C
A
-2
50,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732
0,3750 0,8213 0,6715 3,5000 0,7618
0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506
0,3850 0,8665 0,6534 3,5000 0,5392
0,3900 0,8913 0,6435 3,5000 0,4269
0,3950 0,9179 0,6328 3,5000 0,3131
0,4000 0,9468 0,6213 3,5000 0,1965
0,4050 0,9788 0,6085 3,5000 0,0757
0,4080 1,0000 0,6000 3,5000 0,0000
TA
B
EL
A
S 
PA
R
A
 C
Á
LC
U
LO
 D
A
 A
R
M
A
D
U
R
A
 L
O
N
G
IT
U
D
IN
A
L 
-
FL
EX
Ã
O
 S
IM
P
LE
S 
-
A
R
M
A
D
U
R
A
 
SI
M
P
LE
S 
-
SE
Ç
Ã
O
 R
ET
A
N
G
U
LA
R
 -
D
IA
G
R
A
M
A
 R
ET
A
N
G
U
LA
R
 E
Q
U
IV
A
LE
N
TE
LIMITES DE KX LIMITES DE KX 
CA 60 0,4384 fck ≤ 35 ≤ 0,50
CA 50 0,6283 fck > 35 ≤ 0,40
CA 25 0,7717 NBR 6118 (Mpa)
(Domínio ③)
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
BARRAS INFERIORES
ARMADURA DE CANTO
ARMADURA DE CANTO
ABERTURAS E FUROS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO