perímetro, área e volume dos sólidos

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Geometria Plana e espacial
	
	
Curso de Engenharia Civil – Uniritter
Matemática básica – turma PTA
Prof. Flávia Couto
 
 
 
 
 
 
 
Geometria
 
 
 
 
Alunos:
Graciele machado
Jone Fagundes 
 
Porto Alegre
Março de 2014
1ª parte: Geometria plana.
Hexágono Regular, Hexágono regular inscrito em um círculo e Hexágono circunscrito respectivamente: 
 
Área:
Como o hexágono é a união de 6 triângulos equiláteros, calculamos: 
Lembrando que no hexágono circunscrito a altura de cada triângulo é igual ao raio do círculo e no hexágono inscrito em um círculo todos os lado dos triângulos são iguais ao raio do círculo.  	Assim, como	 
Perímetro:
Como todos os lados do hexágono regular têm a mesma medida, então calculamos seu perímetro somando todos os seus lados, como com todas as figuras:
P= 6.a (sendo a= a medida de cada lado.)
EXEMPLO:
Dado um círculo de área 144π, calcule a área e o perímetro do hexágono circunscrito e inscrito neste círculo.
Resolução: 
Área do círculo = πr²; Logo, πr²=144π, então r=12.
Área e perímetro do hexágono inscrito na circunferência
Raio(r) = lado(a), então lado=12; Portanto, A= 6(12²√3)/4 = 3.144√3/2 = 216√3 unidade de área(u.a.).
Perímetro= 6.a = 6.12 = 72 unidades de comprimento (u.c.).
Área e perímetro do hexágono circunscrito:
Altura(h) = r ; logo, h=12. A altura do triângulo equilátero = a√3/2 = 12. Então a= 12.2/√3 n= 24√3/3 = 8√3. Consequentemente, A= 6.a.h/2 = 6.8√3.12= 576√3 u.a.
Perímetro= 6.a = 6. 8√3 = 48√3 u.c.
2ª parte: Geometria espacial.
Cubo:
Todos os vértices de um cubo contêm o mesmo comprimento. Suas faces são todas quadradas.
 
Área da base: a.a = a²
Área lateral: 4. a²
Área total= soma de todas as faces= 6. a²
Volume= área da base. altura; logo, v= a³
diagonal da face: aplicamos Pitágoras: d²=a²+a²; logo, d= a√2
Diagonal do cubo: aplicamos Pitágoras, sendo D²=d²+a². Então encontramos D=a√3
Paralelepípedo:
Todas as faces são retangulares iguais dois a dois.
 
área da base: a.b
área lateral: 2ac + 2bc
área total: 2ab + 2ac + 2bc
volume: a.b.c
diagonal do paralelepípedo: d² = a² + b² + c²
diagonal da base, aplicamos Pitágoras: x² = b² + a²
a altura é correspondida pelo vértice "c"
Cone:
É um sólido que se obtém girando um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos, que será a altura do sólido.
Área da base (círculo): πr²
área lateral: podemos notar que é 1/4 de um círculo de raio g (geratriz): πg²/4 ou π vezes o raios da base vezes a geratriz (πrg).
Área total: πrg + πr²
volume (πr²h)/3. Lembrando que um cone corresponde a 1/3 de um cilindro de revolução, o que justifica a divisão pelo número 3.
Apótema de um triângulo isósceles será sempre 1/3 da altura. seria o caso se fizéssemos uma secção meridiana no cone.
 
Cilindro de Revolução:
É um sólido que se obtém através da rotação de um retângulo em torno de um eixo.
Área da base: πr²
Área lateral: base =2πr, que é perímetro do círculo; altura é a geratriz; então, 2πr.g (Base, altura).
Área total: 2πr² + 2πrg (soma dos dois círculos e do retângulo formado).
Volume: πr².g (área da base vezes a altura) 
 
Prisma reto:
São prismas em que as arestas laterais são perpendiculares às bases. Suas alturas correspondem às laterais, então h=l. A área total será a soma de todas as faces.
	retos
	descrição
	área da base
	área lateral
	área total
	volume
	triangular
regular
	as faces de base são triângulos equiláteros e possui três faces laterais retangulares.
	A= a²√3/4
	A= 3.a.h (base.altura)
	A= 3.a.h + 2.(a²√3/4) 
	V= (a²√3/4)h 
(Área base.altura)
	triangular 
retângulo 
	as faces da base são triângulos retângulos e possui três faces laterais retangulares.
	A= a.b/2 
(lado.lado base/2)
	A=a.h + b.h + c.h
	A=(ah + bh + ch)+2(ab/2)
	V= (a.b/2)h
	quadrangular
regular
	faces da base são quadradas e possui quatro faces laterais retangulares.
	A= a²
	A= 4.a.h
	A= 4.a.h + 2.(a²)
	V= a².h
	pentagonal
regular
	faces da base são pentagonais de arestas com mesmo comprimento e possui cinco faces laterais retangulares.
	A= 5(a²√3/4)
	A= 5.a.h
	A= 5.a.h + 2(5.a²√3/4)
	V= 5(a²√3/4)h
	Hexagonal
regular
	faces da base são hexagonais com arestas de mesmo comprimento e possui seis faces lateais retangulares.
	A= 6(a²√3/4)
	A= 6.a.h
	A= 6.a.h + 2(6.a²√3/4)
	V= 6(a²√3/4)h
Prismas Oblíquos:
São prismas em que as arestas laterais não são perpendiculares às bases. Suas altura são diferentes de seus comprimentos laterais.
a= lado; h= altura.
	Oblíquos
	descrição
	área da base
	área lateral
	área total
	volume
	triangular
regular
	as faces de base são triângulos equiláteros e possui três faces laterais retangulares.
	A= a²√3/4
	A= 3.a.h (base.altura)
	A= 3.a.h + 2.(a²√3/4) 
	V= (a²√3/4)h 
(Área base.altura)
	triangular 
retângulo 
	as faces da base são triângulos retângulos e possui três faces laterais retangulares.
	A= a.b/2 
(lado.lado base/2)
	A=a.h + b.h + c.h
	A=(ah + bh + ch)+2(ab/2)
	V= (a.b/2)h
	quadrangular
regular
	faces da base são quadradas e possui quatro faces laterais retangulares.
	A= a²
	A= 4.a.h
	A= 4.a.h + 2.(a²)
	V= a².h
	pentagonal
regular
	faces da base são pentagonais de arestas com mesmo comprimento e possui cinco faces laterais retangulares.
	A= 5(a²√3/4)
	A= 5.a.h
	A= 5.a.h + 2(5.a²√3/4)
	V= 5(a²√3/4)h
	Hexagonal
regular
	faces da base são hexagonais com arestas de mesmo comprimento e possui seis faces lateais retangulares.
	A= 6(a²√3/4)
	A= 6.a.h
	A= 6.a.h + 2(6.a²√3/4)
	V= 6(a²√3/4)h
Pirâmides:
É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se chama base; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado vértice da pirâmide.
a= lado; ap= apótema; h= altura.
	retas
	descrição
	área da base
	área lateral
	área total
	volume
	triangular
regular
	a face da base um triângulo equilátero e possui três faces laterais triangulares iguais.
	A= a²√3/4
(área do triângulo)
	A= 3(a.ap/2) (base.altura)
	A= 3(a.ap/2 + (a²√3/4) 
(área da base mais a área lateral)
	V=( (a²√3/4)h)/3
(Área base.altura)
	tetraedro regular
	todas as faces são triângulos equiláteros iguais.
	A=a²√3/4
	A= 3(a²√3/4)
	A=4(a²√3/4)
	V= (a³√2)/12
	quadrangular
regular
	a face da base é quadrada e possui quatro faces laterais triangulares iguais.
	A= a²
	A= 4(a.ap/2)
	A= 4(a.ap/2) + a²
	V= (a².h)/3
	pentagonal
regular
	faces da base são pentagonais de arestas com mesmo comprimento e possui cinco faces laterais retangulares.
	A= 5(a²√3/4)
	A= 5(a.ap/2)
	A= 5(a.ap/2) + 5(a²√3/4)
	V= (5(a²√3/4)h)/3
	Hexagonal
regular
	faces da base são hexagonais com arestas de mesmo comprimento e possui seis faces lateais retangulares.
	A= 6(a²√3/4)
	A= 6(a.ap/2)
	A= 6(a.ap/2) + 6(a²√3/4)
	V= (6(a²√3/4)h)/3
Esferas:
É um sólido obtido através da rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.
Diâmetro= 2r
Área da esfera: A= 4πr²
Volume: (4πr³)/3
Área do círculo máximo: πr²
EXEMPLOS DE DOIS SÓLIDOS QUAISQUER.
a)sabendo que o diâmetro da base de um cilindro de revolução é 10 e a altura é o dobro do raio, calcule p volume do sólido.
resolução:
lembrando que a base do cilindro de revolução é uma circunferência, concluímos que o raio é a metade do diâmetro de medida 10, portanto o raio mede 5 u.c.
a área da base, então, é 25πr (πr²).
a altura é o dobro do raio, cuja medida passou a ser 5 u.c., então a altura será 10 u.c.
para calcularmos o volume multiplicaremos a área da base pela altura, então obteremos 25πr.10 = 250πr.
b) O volume de um cubo é 373. Calcule a diagonal e a área total do sólido.
Resolução:
 v= a³; v=343; então a³=343 = 7; aresta do cubo= 7
sabendo que a diagonal do cubo é a√3, teremos, 7√3 como diagonal do cubo.
a área total é a soma de todas as faces, então a face será 7² (a²) = 49.
por ter 6 faces o cubo, multiplicaremos a áreada face por 6 (6.a²), 49.6 = 294 u
Bibliografias.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/paralelepipedo.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/geometria-metrica-espacial.htm
http://hpdemat.apphb.com/Espacial
http://cleanlourenco.blogspot.com.br/2010/03/prismas-e-piramides.html
http://matematicacomlaura.blogspot.com.br/2010/12/piramide-cone-e-esfera.html
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm.
	
	
	
	Trabalho de matemática
	Professora Flavia Couto
	Centro Universitário Uniritter