Cap 5 Prisma-PDF

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Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 49 
CAPÍTULO 5 - PRISMA 
 
 
Definição 1: Sejam  e  dois planos paralelos e R uma região poligonal contida em . 
Seja r uma reta não paralela a esses planos. 
A união de todos os segmentos 
'PP com P  R e P’   denomina-se prisma. 
 r 
 
 B'  
 C' 
 
 A' D' 
 
 
 
 B 
 C 
 R 
 A D  
 
 
 Prisma oblíquo r 
 
 C’ 
  D' 
 P' 
 A' B' 
 
 
 
  C 
 D 
 
 P 
 A B 
 
 Prisma reto 
 
 
 
 Quando a reta r é perpendicular a  e a , o prisma é dito reto. Caso contrário, diz-se 
que o prisma é oblíquo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 50 
Elementos de um Prisma: 
 
 Vértices: São os pontos: A, B, C, D, A', B', C', D'. 
 Arestas laterais: São os segmentos: 'AA , 'BB , 'CC , 'DD . 
 Faces laterais: são os polígonos: ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'. 
 Diagonais: São os segmentos que unem dois vértices não situados numa mesma face. 
'AC , 'BD , 'CA , 'BD . 
 Bases: A região poligonal R chama-se base inferior ou simplesmente base do prisma. 
 A parte do prisma contida no plano  chama-se base superior. 
 Arestas das bases: São os lados dos polígonos das bases: AB , BC ,CD , 
DA , ''BA , ''CB , ''DC , '' AD . 
 Altura: é a distância entre os planos das bases. 
 
 Observe que para os prismas retos, a altura é a distância PP', mas para os prismas 
não retos, a altura é menor que PP'. 
 
 
Teorema 1: As faces laterais de um prisma são paralelogramos. 
 
 Prova: Seja  o plano definido pelas retas paralelas AA’ e BB’. Como  //  as 
interseções de  com esses planos são retas paralelas. Portanto 'AB // AB e assim 
ABB’A’ é um paralelogramo. 
Analogamente, são paralelogramos os quadriláteros: BCC'B', CDD'C', DAA'D'. 
 ▆ 
 
Teorema 2: As bases de um prisma são polígonos congruentes. 
 
 Prova: Pelo teorema anterior, os lados dos polígonos das bases são respectivamente 
congruentes. Além disso, os ângulos internos desses polígonos são congruentes, pois os 
mesmos têm os lados paralelos. 
 ▆ 
 
 Observe que as faces laterais de um prisma reto são retângulos. 
 
 Os prismas classificam-se segundo suas bases. Por exemplo, um prisma triangular é 
aquele cuja base é um triângulo, um prisma quadrangular é aquele cuja base é um 
quadrilátero e assim por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 51 
Definição 2: Um prisma regular é o prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. 
 
 Num prisma regular, suas faces laterais são congruentes. 
 
 
Definição 3: Uma seção transversal de um prisma é a interseção do prisma com um 
plano paralelo aos planos das bases. 
 
 
Teorema 3: Toda seção transversal de um prisma é um polígono congruente às bases. 
 
 Prova: Duas arestas laterais consecutivas definem um plano cujas interseções com  
e com os planos das bases são retas paralelas. Daí, MN // AB , NP // BC , QP // DC e 
MQ // AD , isto é, os lados da seção transversal são respectivamente congruentes às 
bases. Esses polígonos são congruentes, pois os seus ângulos internos têm os lados 
paralelos. 
 ▆ 
 
 
Definição 4: Uma seção reta de um prisma é a interseção do prisma com um plano 
perpendicular as suas arestas laterais. 
 
 BFMN  ; CDNP  ; AEPM  . 
 
 
 
 
 
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PRISMAS PARTICULARES 
 
 Paralelepípedo: É um prisma cujas bases são paralelogramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Paralelepípedo retângulo: É o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cubo: É o paralelepípedo retângulo cujas arestas são todas congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A união das faces laterais de um prisma chama-se superfície lateral do prisma. A 
área desta superfície é denominada área lateral do prisma. 
 
 A união das faces laterais e as duas bases chama-se superfície total do prisma; sua 
área é denominada área total do prisma. 
 
 O volume de um prisma é obtido pela fórmula abaixo: 
 
V = B.h, 
 
onde B representa a área da base e h é a altura do mesmo. Justificaremos esta afirmativa 
no Capítulo 7. 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 53 
  Exercício 1: A área total de um cubo é igual a 96 cm2. Calcular o volume desse 
cubo. 
 
Solução: A superfície total de um cubo é constituída de seis quadrados congruentes. Se 
a é a medida do lado de uma das faces então sua área total, A t, é igual a 
 
A t= 6
2a . 
Portanto temos: 6
2a = 96  2a = 
6
96
 = 16  a = 4 cm. 
O volume do cubo é igual a: 
 
 V = (área da base) x altura = 644332  aaa cm3 (Resposta). 
 
 
  Exercício 2: A altura de um prisma triangular regular mede 6 cm e a diagonal de uma 
face lateral mede 10 cm. Calcular a área total e o volume desse prisma. 
 
Solução: As bases desse prisma são triângulos eqüiláteros congruentes e suas faces 
laterais são retângulos também congruentes. 
 
 C 
 
 
 h = 6 d =10 
 
 
 
 A B 
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, obtemos: 
 
AB2 + AC2 = BC2  AB2 + 62 = 102  AB = 8. 
 
A superfície lateral, lS = 3 x (8 x 6) = 144 cm
2. 
Sabemos que a área de um triângulo eqüilátero de lado l é dada por S = 
4
32l
, assim a 
soma das áreas das bases é igual a: 2 x (
4
382
) = 332 cm2. 
Portanto a área total desse prisma é igual a: A t = 144 + 332 cm
2. (Resposta) 
 
O volume é igual a 
 V = B . h = 
4
382
.6 = 96 3 cm3. (Resposta) 
 
 
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  Exercício 3: A aresta lateral de um prisma oblíquo mede 3 cm. Uma seção feita no 
mesmo por um plano perpendicular a estas arestas é um quadrado de lado igual a 1 cm. 
Determinar a área lateral do prisma. 
 
Solução: 
 
 
 A superfície lateral desse prisma é formada por quatro paralelogramos de bases 
medindo 3 cm cada e de altura igual a 1 cm. Portanto a área lateral do mesmo é igual a 
 
lS = 4 x (3 x 1) = 12 cm
2. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Encontrar a área total de um cubo cuja soma das arestas vale 4 m. 
 
 
02. Sabemos que as arestas de três cubos medem 3 dm, 4 dm e 5 dm, respectivamente. 
Calcular a aresta do cubo cujo volume é igual à soma dos volumes desses três cubos. 
 
 
03. Calcular o volume de um cubo, sabendo-se que quando se aumenta sua aresta de 1 
m a área lateral do mesmo cresce de 164 m2. 
 
 
04. A área total de um cubo é 96 m2. De quanto devemos aumentar a aresta para obter 
um cubo de volume igual a 216 m3? 
 
 
05. A aresta de um cubo mede 4 cm. O ponto O é o centro de uma face e AB , uma 
aresta da face oposta. Determinara área do triângulo AOB. 
 
 
06. Determinar o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede 12 cm. 
 
 
07. Determinar as dimensões de um paralelepípedo retângulo sabendo que suas medidas 
são três números inteiros consecutivos e que a diagonal vale 25 cm. 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 55 
08. Achar o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que: 
 
I. as três arestas que concorrem em um mesmo vértice estão em progressão 
aritmética. 
 
 II. a soma dessa três arestas vale 21 m. 
 
 III. a área total do sólido é 276 m2. 
 
 
09. As arestas que concorrem em um vértice de um paralelepípedo retângulo são 
proporcionais aos números 2, 3 e 4. Calcular o comprimento dessas arestas sabendo-
se que o volume do paralelepípedo é igual a 192 m3. 
 
10. Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, sabendo que 
sua área total mede 138 m2 e a soma das áreas de uma base com uma face lateral 
vale 39 m2. 
 
11. Um prisma reto tem como base um hexágono regular. Pede-se o lado da base e a 
altura do prisma, sabendo que seu volume é 4,5 m3 e sua área lateral 12 m2. 
 
12. A diagonal da base de um prisma quadrangular regular é d = 24 m e a altura os 3/4 do 
lado da base. Calcular a área total do prisma. 
 
13. A diagonal da base de um prisma quadrangular regular é 10 m e a altura representa 
os 4/5 do lado da base. Determinar a área total e o volume do sólido. 
 
14. Dá-se um prisma reto cuja base é um retângulo tendo um lado triplo do outro. 
Sabemos que a altura mede 12 m e a área total vale 966 m2. Determinar as 
dimensões da base. 
 
15. Determinar o volume de um prisma quadrangular regular cuja base está inscrita em 
uma circunferência de 6 m de comprimento, sendo a altura igual ao diâmetro dessa 
circunferência. 
 
16. A figura abaixo representa um prisma reto que repousa sobre uma de suas faces 
laterais. Suas bases são trapézios. Os comprimentos das arestas paralelas da base 
são 4 cm e 9 cm, os comprimentos das arestas não paralelas são 5 cm e 6 cm e 
BF = 12 cm. Determine a área da superfície lateral do prisma. 
 
 H G 
 
 
 E F 
 D C 
 
 
 A B 
 
17. Um prisma reto tem uma aresta lateral de comprimento 3 cm e o perímetro de sua 
base é 34 cm. Qual é a área da de sua superfície lateral? 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 5: Prisma Prof. Sinvaldo Gama 56 
18. Se uma face lateral de um prisma é um retângulo, pode-se concluir que todas as faces 
laterais são retângulos? 
 
19. As bases do prisma abaixo são triângulos eqüiláteros e suas faces laterais são 
retângulos. Sabe-se que o comprimento da aresta da base é 6 e a altura do prisma é 
10. Calcular a área da superfície total do prisma. 
 
 F 
 
 
 
 D E 
 
 
 C 
 
 
 
 A B 
 
20. A base de um paralelepípedo é um retângulo de dimensões 6 por 15. Duas faces 
opostas são quadrados que formam um ângulo de 60o com a base. Um plano 
perpendicular a aresta maior da base intercepta o paralelepípedo segundo uma região 
retangular. Determine a área da superfície total. 
 
 
 
 6 
 60o 
 15 
 
21. Uma barra de prata tem a forma de um prisma reto cuja base é um trapézio. As bases 
do trapézio medem 7 cm e 10 cm. A altura da barra é 5 cm e seu comprimento é 30 
cm. Se a prata pesa 10,5 gramas por cm3, quanto pesa a barra? 
 
22. Ao introduzir-se um objeto de metal em um tanque retangular, contendo água, de 
dimensões 50 cm por 37 cm, o nível da água sobe 1 cm. Qual é o volume do objeto? 
 
23. Num prisma triangular oblíquo a seção reta é um triângulo eqüilátero de 9 3 m2 de 
área. A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção. Calcule, em m2, a 
área lateral do prisma. 
 
24. A aresta de um cubo mede 4 cm. O ponto O é o centro de uma face e AB , uma 
aresta da face oposta. Determinar a área do triângulo AOB. 
 
25. Num prisma reto cuja área total mede 42 cm2, tem como base um triângulo isósceles. 
Neste, o lado da base é igual a altura, sendo esta a terça parte da altura h, do sólido. 
Calcular a medida de h. 
 
 
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RESPOSTAS 
 
01. 2/3 m2. 02. 6 dm. 03. 8000 m3. 04. 2 m 05. 4 5 cm2. 
 
06. 432 2 cm2. 07. 3cm, 4cm, 5 cm 08. 280 m3. 
 
09. 4 m, 6 m, 8 m 10. 90 m3. 
 
11. l = 2/3 m; h = 4 3 /3m. 12. 1440 m2. 
 
13. A t = 260 m
2; V = 200 2 m3. 14. 7 m e 21 m. 15. 108 m3. 
 
16. 288. 17. 102. 18. Não 19. 18 3 . 
 
20. 18 (14 + 5 3 ). 21. 13,3875 kg. 22. 1850 cm3. 
23. 108 m2. 24. 2 20 cm2 25. h = 
51
126

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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