Livro biometria florestal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIOMETRIA FLORESTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eng. Florestal, Prof. Dr. César Augusto Guimarães Finger 
Dep. Ciências Florestais 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 A Engenharia Florestal como ciência, embora bastante antiga na 
Europa, é, para nós, recente, pois apresenta hoje apenas 46 anos. O seu 
primórdio entre nós, como curso universitário, teve lugar na Universidade Federal 
de Viçosa, MG, seguido de vários outros cursos, dentre os quais, o da 
Universidade Federal de Santa Maria, RS, em 1971. 
 A ciência florestal brasileira, embora jovem, contribui de forma ímpar 
no aproveitamento e desenvolvimento dos recursos florestais, buscando sempre 
desenvolver técnicas apropriadas às condições de nossas florestas e de mercado. 
 A Biometria, como ciência exerce, importante papel no âmbito da 
Engenharia Florestal, pois aborda a mensuração dos processos naturais dos 
componentes vegetais de uma floresta visando quantificar, qualificar e conhecer 
seu desenvolvimento e estado atual. 
 Com o objetivo de facilitar o acesso dos estudantes às notas 
bibliográficas e a resultados de pesquisas realizadas reuniram-se anotações de 
aula, ordenadas em seqüência lógica. Este trabalho de Biometria Florestal 
originou-se do livro Fundamentos de Biometria Florestal, editado em 1991 pelo 
autor, e não pretende, de forma alguma, esgotar o assunto, mas apenas reunir 
informações de vários autores que se dedicaram ao tema fornecendo uma visão 
geral da matéria, deixando pormenores para pesquisas mais aprofundadas. Desta 
forma, recomenda-se sempre a complementação do estudo em obras específicas. 
 A fim de torná-la mais acessível e didática, é apresentada a 
resolução de exemplos, mostrando procedimentos de cálculo. 
 
 
Santa Maria, março de 2006. 
 
 
César Augusto Guimarães Finger 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
A Biometria Florestal é um dos ramos da ciência florestal que trata das 
medições das árvores e dos povoamentos, com o fim de avaliar os seus volumes, bem 
como estudar as leis que regem o seu crescimento ao longo do tempo. 
 A palavra BIOMETRIA é de origem grega e significa medida da vida (BIO 
= vida; METRIA = medida). No caso específico florestal, identifica a medida das 
árvores. 
 Segundo PRODAN (1968) a Biometria representa a combinação de todos 
os métodos estatísticos de registro e descrição dos processos da vida. A Biometria 
Florestal envolve, então, a avaliação dos princípios fundamentais das leis naturais e os 
métodos estatísticos importantes para a floresta. 
 A origem da biometria florestal se deve à necessidade de o homem 
estimar ou determinar quantitativamente os recursos florestais, com objetivos 
comerciais, de manejo ou de pesquisa florestal. 
Hoje, a ciência florestal estuda e desenvolve métodos e equipamentos 
com objetivo de detectar quantitativa e qualitativamente as relações entre as variáveis 
dendrométricas diâmetro e altura com o volume de madeira das árvores e a 
capacidade de produção da floresta. 
O presente livro tem como meta apresentar temas que envolvem os 
métodos e os aparelhos empregados na mensuração de diâmetro, altura, volume, fator 
de forma, casca, incremento, distribuição de freqüência e funções de crescimento da 
árvore e do povoamento florestal, bem como uma rápida revisão de alguns conceitos 
estatísticos e de análise de regressão. 
A Biometria Florestal, também chamada de Dendrometria, como disciplina 
do curso de Engenharia Florestal da Universidade Federal de Santa Maria, resulta de 
uma divisão de conteúdos técnicos e científicos que têm continuidade no Inventário 
Florestal e no Manejo Florestal, sendo que o primeiro estuda e desenvolve métodos e 
equipamentos de medição e o segundo utiliza estes conhecimentos e equipamentos 
juntamente com a teoria estatística de amostragem no levantamento de informações a 
Biometria Florestal 
 
 
 
2 
campo que são usadas na elaboração, implementação e controle dos planos de 
manejo florestal. 
Assim, os conteúdos desta divisão resultam de critérios simples, 
buscando tornar a obra mais didática e de fácil compreensão. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
3 
2 PADRONIZAÇÃO DOS SÍMBOLOS FLORESTAIS 
 
 
Ao longo do desenvolvimento da ciência florestal tornou-se necessária a 
observação de critérios mínimos comuns na condução de experimentos florestais, a fim 
de tornar seus resultados comparáveis, assegurar que fossem conduzidos de mesma 
forma (conforme um plano inicial) por diferentes gerações de florestais, que fossem 
observados critérios mínimos de investigação, como o emprego de unidades amostrais 
testemunhas, entre outras. Desta necessidade foi criada, no ano de 1890, em Viena, a 
International Union of Forest Research Organization (IUFRO). 
A IUFRO, preocupada em facilitar a comunicação técnica e homogeneizar 
símbolos para as variáveis dendrométricas, evitando confusão nos meios técnicos e 
dificuldades na interpretação de resultados originados em diferentes regiões e/ou 
publicações de diferentes autores, nomeou, em 1953, uma comissão especial para 
estudar e elaborar uma padronização de símbolos dendrométricos. As recomendações 
dessa comissão foram aceitas pelo plenário do Congresso da IUFRO, em 1956, 
realizado em Oxford e, a partir de então, são usadas para definir as variáveis 
dendrométricas (Van Soest et al, 1959). Finger e Schneider (1988) as reproduziram e 
elas são a seguir, transcritas. 
 
2.1 Símbolos de uso geral 
 
 A simbologia para uso geral na mensuração florestal, de acordo com a 
recomendação da IUFRO, é apresentada na Tabela 1. 
 Os símbolos são grafados em letras minúsculas, pois designam a variável 
dendrométrica da árvore. A grafia em letras maiúsculas deve ser reservada para 
indicar o total por unidade de área (Ex: V = volume por hectare, ou o total da população 
em esquemas amostrais). 
Nos casos em que seja necessário, para melhor identificar uma posição 
de medição ou situação específica, deve-se incluir complementações aos símbolos 
gerais, escritos conforme apresentados nas Tabelas 2 e seguintes. 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
4 
TABELA 1 - Relação de símbolos gerais para uso na mensuração florestal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos, podem ser adicionados sinais gráficos ou subscritos 
numéricos aos símbolos gerais, com a finalidade de tornar menos complexa a 
simbologia. Por exemplo, para expressar o incremento em diâmetro “ di ” entre as 
idades de 10 e 15 anos, pode-se usar o símbolo 
1510di − ou di . A simbologia 1510di − 
apesar de clara, pode se tornar inconveniente quando em fórmulas matemáticas. 
Entretanto, a forma alternativa di pode se tornar ineficiente e complexa se houver 
necessidade de muitos sinais gráficos para representar as variáveis. Ex.: di , xvdi 
 É recomendado ainda que as publicações, mesmo com pequeno número 
de símbolos, devem relacionar, em apêndice e independente de qualquer menção no 
texto, os símbolos utilizados, bem como a descrição precisa de seu significado. 
 
2.2 Símbolos para definir a circunferência, diâmetro e área basal ao nível do peito 
 
A mensuração de variáveis ao nível do peito refere–se, para os países 
que utilizam o sistema métrico, a um ponto ao longo do eixo da árvore distante 1,30 
metros em relação ao nível médio do solo. 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
c circunferência 
d diâmetro 
f fator forma 
g área basal a 1,30m 
h Altura 
i incremento 
k quociente de forma 
n Número (de árvores, anos, etc...) 
p incremento em percentagem 
t Idade 
v Volume 
Biometria Florestal5 
 Os símbolos usados para a circunferência, diâmetro e área basal ao nível 
do peito são respectivamente c, d, g. Quando houver necessidade de tomar essas 
medidas em posição diferente a 1,30 m ou para definir uma grandeza específica dessa 
variável, são adicionados subscritos à direita do símbolo, conforme exemplificado nas 
Tabelas 2 e 3. 
 
TABELA 2 - Símbolos para definir circunferência, diâmetro e área basal ao nível 
de 1,30 m do nível médio do solo 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
c circunferência ao nível de 1,30m de altura 
d diâmetro a 1,30 metro de altura 
gd diâmetro da árvore de área basal média 
d diâmetro médio aritmético 
Md diâmetro da árvore mediana 
gMd diâmetro da árvore com área basal mediana 
+d e −d diâmetro das árvores de HOHENADL 
 g área basal a 1,30m de altura 
 
 
TABELA 3 - Símbolos para definir diâmetro em posições diferentes de 1,30 m do 
nível médio do solo 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
h7,0d 
 
diâmetro tomado a 70% da altura total 
h5,0d diâmetro tomado a 50% da altura total 
h3,0d diâmetro tomado a 30% da altura total 
h2,0d diâmetro tomado a 20% da altura total 
h1,0d diâmetro tomado a 10% da altura total 
6d diâmetro tomado a 6 m de altura 
Biometria Florestal 
 
 
 
6 
 
2.3 Símbolos para definir a altura de árvores 
 
 Os símbolos empregados para representar as alturas médias são 
definidos pela letra h e subscritos conforme a Tabela 4. 
 A altura é definida como a distância linear tomada ao longo do eixo da 
árvore desde o nível médio do solo até a extremidade da copa. Essa medida se refere 
à altura total da árvore, sendo simbolizada por “h”. De forma análoga ao diâmetro 
quando da necessidade de especificar outra posição, ou uma forma de cálculo 
específica, são empregados subscritos conforme a Tabela 4. 
 
TABELA 4 - Símbolos para definir altura 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
 h 
 
altura total da árvore. 
 * fh altura formal de Pressler. 
 Lh altura média segundo Lorey. 
 h altura média aritmética. 
 gh altura da árvore de área basal média. 
 dh altura da árvore de diâmetro médio aritmético. 
 dMh altura correspondente à árvore de diâmetro mediana. 
 gMh altura da árvore de área basal mediana. 
 domh altura média das árvores dominantes. 
também denominada altura dominante. 
 *hØ altura dominante de Weise. 
 * 100h altura dominante de Assmann. 
* Símbolos tradicionais usados nos dias atuais, mas que não se encontram na norma da IUFRO de 1956. 
 
2.4 Símbolos para definir cociente de forma e volume 
 
O cociente de forma é simbolizado pela letra K e especificado por 
subscritos conforme apresentado na Tabela 5. O volume de árvores é simbolizado pela 
Biometria Florestal 
 
 
 
7 
letra v e os subscritos indicam o tipo de volume a que se referem conforme mostra a 
Tabela 6. 
 
TABELA 5 - Símbolos para definir cociente de forma 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
K 
 
cociente de forma artificial baseado no diâmetro à metade da 
altura total ( h5,0d ) e no diâmetro a 1,30 m de altura. 
3,1/6K cociente de forma artificial baseado nos diâmetros a 6 m e 1,30 
m de altura. 
hhK 1,0/5,0
 
 
aK 
cociente de forma verdadeiro baseado nos diâmetros 0,5h 
( h5,0d ) e 0,1h ( hd 1,0 ). 
cociente de forma absoluto. 
 
 
TABELA 6 - Símbolos para definir volume 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
V 
 
volume total do tronco, desde o solo até o ápice, sem 
considerar a madeira dos galhos. Caso não seja indicado é 
considerado como volume com casca. 
7v volume do tronco até o diâmetro mínimo de 7 cm. 
bv volume total da árvore, incluindo a madeira dos galhos. 
b7v volume de madeira até o diâmetro mínimo de 7 cm, incluindo os 
galhos até esse limite. 
av volume total dos galhos de uma árvore. 
a7v volume dos galhos com mais de 7 cm de diâmetro. 
 
 As medições sem casca são, muitas vezes, indicadas com o subscrito “s” 
e o respectivo símbolo, como apresentado na Tabela 7. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
8 
 
 TABELA 7 - Representação de variável sem casca 
 
Símbolo 
 
Significado 
 
sd 
 
diâmetro sem casca. 
sg área basal sem casca. 
 sv volume total sem casca. 
 
2.5 Símbolos para definir o fator de forma 
 
 O fator de forma, segundo o volume que o define, é expresso conforme 
apresentado na Tabela 8. 
 
TABELA 8 - Símbolos para definir fator de forma 
 
Símbolos 
 
Significado 
 
f 
 
fator de forma artificial. 
 7f fator de forma artificial para volume 7v . 
 bf fator de forma artificial para volume bv . 
 b7f fator de forma artificial para volume b7v . 
 h1,0f fator de forma verdadeiro ou de Hohenadl. 
NOTA: O símbolo original usado para variável sem casca é a letra “u“, originado do idioma alemão “ungeschelt “, que 
por razão de associação foi aqui alterada para “s“. 
 
2.6 Símbolos para definir incremento 
 
 O incremento ou crescimento dentro de um período determinado é 
simbolizado pela letra “i” e subscrito de acordo com o apresentado na Tabela 9. 
 Alguns símbolos sugeridos apresentam casas decimais. Neles pode ser 
usado o ponto decimal (0.1h) ou a vírgula (0,1h) sem prejuízo algum. Naturalmente 
que, depois de escolhida uma das formas, esta deve ser seguida até o final do 
trabalho. 
Biometria Florestal 
 
 
 
9 
TABELA 9 - Símbolos para definir incremento 
 
Símbolos 
 
Significado 
i incremento anual de uma árvore. 
I incremento anual por unidade de área. 
_
i 
incremento médio aritmético de “n” árvores em um ano. 
1510i − incremento periódico anual de uma árvore entre as idades de 
10 e 15 anos. 
�
−1510i incremento periódico de uma árvore entre as idades de 10 e 
15 anos. 
di incremento anual de diâmetro da árvore. 
gi incremento anual de área basal da árvore. 
vi incremento anual do volume da árvore. 
b7vi incremento anual de madeira do fuste e galhos até 7 cm de 
diâmetro. 
2010b7vI − incremento periódico anual de fuste e galhos até 7 cm de 
diâmetro, entre as idades de 10 e 20 anos, por unidade de 
área. 
P incremento percentual. 
 
 
2.7 Considerações gerais 
 
O uso de uma simbologia única para a notação de elementos 
dendrométricos é, sem dúvida, uma necessidade geral. 
 As recomendações aprovadas para esse fim pela IUFRO, em 1956, são 
de grande importância e deveriam ser seguidas por todos os técnicos, entretanto, hoje 
se sente a necessidade de que essas recomendações sejam atualizadas para que 
acompanhem as mudanças ocorridas nesse período. Como exemplo disso cita-se a 
omissão da simbologia atualmente empregada para denotar o incremento médio e 
corrente anual. Trata-se das abreviaturas ICA para incremento corrente anual, e IMA 
para o incremento médio anual. O mesmo ocorre no idioma inglês, com CAI (current 
annual increment) e MAI (mean annual incement), e no alemão, com dGZ 
(durchnittlicherGesamtZuwachs) e lGZ (laufenderGesamtZuachs). 
Biometria Florestal 
 
 
 
10 
 
 
3 ESTIMADOR, PRECISÃO, ACURACIDADE E 
ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
 
 
 
 
Ao se realizar uma medição é necessário observar, além da técnica de 
mensuração, os critérios de registro, armazenamento de dados e do resultado de 
cálculo. 
Quando for realizada uma medição qualquer, como, por exemplo, do 
diâmetro de uma árvore, diz-se que a medição será mais acurada quanto maior for a 
aproximação do valor obtido em relação ao verdadeiro diâmetro da árvore. 
Por outro lado, um grupo de alunos ao realizar a medição do diâmetro 
dessa árvore, de forma independente um do outro, obterá uma série de valores dos 
quaisé calculada a média, ou seja, o estimador do verdadeiro valor do diâmetro e o 
desvio padrão entre essas medidas. Assim, diz-se que o estimador será mais preciso 
quanto menor for a variação encontrada entre as medidas tomadas. Desta forma, o 
termo precisão fica vinculado à variação encontrada em uma amostra ou a uma série 
de medidas de uma grandeza em relação a sua média. O termo precisão é 
empregado, ainda, para designar as subdivisões de uma escala de medição; como, por 
exemplo, a subdivisão em milímetros de uma régua e o número de casas de uma 
balança digital. 
 O termo estimador refere-se ao valor que representa ou estima o 
verdadeiro valor, ou seja, o parâmetro resultante da medição de todos os indivíduos 
que compõem uma população qualquer. 
O estimador deve conter as seguintes qualidades: 
a) Justeza ou também dito não tendencioso, sem vício, sem viés ou não 
viesado: refere-se ao estimador que tem sua média igual ao parâmetro populacional θ; 
b) Consistência ou coerência: quando, além de justo, sua variância tende 
a zero, quando o número de observações é suficientemente grande; isto é n → �. Em 
outras palavras, o erro de estimação torna-se pequeno quando for extraída uma 
amostra suficientemente grande; 
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c) Eficiência: refere-se à variância entre dois estimadores de um mesmo 
parâmetro. Se a1 e a2 são estimadores de θ, será mais eficiente aquele que tiver menor 
variância. 
 
3.1 Número de casas decimais 
 
Os valores registrados durante uma medição devem obedecer ao critério 
estabelecido e estar de acordo com a escala do aparelho empregado, sendo incorreto 
registrar mais dígitos do que os efetivamente observados na escala de medição. Por 
exemplo, um aparelho com escala em metros permitirá a obtenção de valores inteiros ( 
8 m , 9 m, 10 m) e não fornecerá acuracidade suficiente para valores em decímetros, 
centímetros e milímetros, como, por exemplo, 8,131 m. 
Também deve ser evitado o registro de mais dígitos do que foi 
efetivamente lido, pois se a medição for feita de metro em metro, o registro do valor 
de 8,0 será uma precisão inexistente e levará a pensar que não se tratava de 8,1 m ou 
8,2 m, quando, na realidade, foi observado somente valor inteiro. De forma análoga, é 
incorreto omitir o zero significante quando estiver indicando a precisão de medição; 
como, por exemplo, em 8,0, pois o valor zero indica a precisão de uma casa decimal 
nas leituras. 
 
3.2 Dígitos significantes 
 
Os dígitos significantes são os números lidos da esquerda para a direita, 
iniciando com o primeiro número não zero e finalizando com o último, que poderá ser 
zero. 
 Assim, exemplificando, os números 25; 2,5; 0,25 e 0,025 têm todos dois 
dígitos significantes e, 25,0; 0,250; e 0,0250 contêm todos três dígitos significantes. 
Quando do registro de dados originais e de resultados de cálculos, deve-
se observar a precisão necessária para permitir a comparação de resultados. Por 
exemplo, registrar o volume de árvores com duas casas decimais levará a sérios 
problemas quando for encontrado entre as árvores uma ou mais com diâmetros e 
alturas reduzidos, pois o primeiro dígito significante poderá estar na terceira ou quarta 
casa após a vírgula. Considere, por exemplo, uma árvore ou uma secção do tronco 
com diâmetro de 5,0 cm, altura de 2,5 m e fator de forma igual a 0,6. O volume 
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calculado será 0,00294 m³, aparecendo, então, o primeiro dígito significante na terceira 
casa decimal. 
 
3.3 Arredondamento de dígitos 
 
Após definir o número de dígitos a serem registrados, devem ser 
consideradas as seguintes situações: 
a) Se o número a ser cortado representar menos do que a metade da 
unidade do último dígito a permanecer, o dígito precedente não se altera. Ex: 
93,12 → 93,1. 
b) Se o número a ser cortado representar mais do que a metade da 
unidade do último dígito a permanecer, o dígito precedente é aumentado de um. 
Ex: 93,77 → 93,8. 
c) Se o número a ser cortado for igual à metade, deve ser observada a 
Portaria no 36 de 6 de agosto de 1965, do Instituto Nacional de Metrologia (INMETRO). 
De acordo com essa Portaria, neste caso, deve ser considerado o número precedente. 
Se ímpar, altera-se o valor para mais; se par, não se altera o valor. 
Assim, caso o número precedente seja par, não se aumenta em uma 
unidade, sendo registrado conforme o exemplo: 93,45 → 93,4. 
Caso o número precedente seja ímpar, este será aumentado em uma 
unidade, sendo registrado conforme o exemplo: 93,35 → 93,4. 
 
3.4 Apresentação de resultados 
 
Embora os cálculos devam ser efetuados mantendo-se um número 
conveniente de casas decimais para que não seja perdida precisão e, mesmo 
considerando que, se realizado em computador, em que o número de casas decimais é 
internamente maior do que as apresentadas na tela quando da apresentação dos 
resultados, deve-se considerar as regras de arredondamento de dados e apresentar os 
resultados com um número de casas decimais conveniente, observando-se os critérios 
de precisão e de racionalidade. 
Assim, por exemplo, o resultado do cálculo do volume de madeira 
estocado em um hectare de floresta poderá ser 435,1255486 m³. Logicamente que 
indicar como resultado o número conforme apresentado não faz nenhum sentido, pois 
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ninguém conseguirá medir esta precisão, sete casas decimais. Deve-se proceder ao 
arredondamento do número, registrando-o com uma casa decimal. 
Seguindo o mesmo raciocínio, sugere-se que as demais variáveis 
dendrométricas devam ter os resultados apresentados conforme indicado na Tabela 
10. 
 
TABELA 10 - Número de casas decimais para a apresentação de resultados das 
variáveis dendrométricas 
 
Variável 
 
Nº de casas decimais 
 
Diâmetro 
 
1 
Altura 1 
Volume da árvore 4 
Volume por unidade de área 1 
Área basal da árvore 4 
Área basal por unidade de área 1 
Fator forma 4 
Cociente de forma 4 
Fator casca 4 
 
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4 MEDIÇÕES FLORESTAIS 
 
 
Sendo a biometria, por definição, a parte da ciência florestal que trata das 
medições das árvores, com o objetivo de avaliar os seus volumes e estudar as leis que 
regem o seu crescimento ao longo do tempo, fica implícita a necessidade de se conhecer, 
com precisão, as estimativas do diâmetro, altura, espessura de casca, fator de forma etc. 
 A busca dessas informações tem levado os florestais a melhorarem, 
adaptarem e desenvolverem aparelhos e instrumentos específicos capazes de 
fornecerem as variáveis desejadas com maior precisão, menor custo, no menor espaço 
de tempo e com segurança. 
 Desse modo, existe uma variedade de dendrômetros utilizados nas 
medições florestais, dentre os quais pode se destacar as sutas, as fitas dendrométricas, 
os hipsômetros, os relascópios de Bitterlich e os medidores de casca, entre outros. 
 O emprego de um ou outro dendrômetro depende do estudo a ser realizado, 
da precisão e da rapidez desejada nas medições, dos recursos disponíveis, bem como 
das características da floresta. 
 Caso não existam instrumentos disponíveis, o Engenheiro Florestal, quando 
pertinente, deverá usar sua criatividade e construir um instrumento capaz de solucionar o 
problema. Por esse motivo, também são apresentados aqui, os princípios matemáticos 
empregados na sua constituição. 
 
 
4.1 O diâmetro das árvores 
 
O diâmetro consiste na medida de comprimento de uma linha reta que, 
passando através do centro de um círculo ou esfera, termina ao atingir seus limites 
externos. 
 As medidas mais comuns de diâmetro requeridas na atividade florestal são 
feitas sobre a porção lenhosa das árvores:o tronco principal de uma árvore em pé, seus 
galhos ou porções cortadas. A importância básica na medição dessa variável é que se 
Biometria Florestal 
 
 15 
trata de uma dimensão diretamente mensurável, a partir da qual se pode calcular a área 
da secção transversal e o volume de uma árvore. 
 
4.1.1 Ponto de medição 
 
 O ponto de medição do diâmetro em árvores em pé é definido como o 
diâmetro medido à altura do peito, ou seja, distante 1,30 m a partir do nível do solo. 
 O diâmetro medido a esta altura é denominado de “diâmetro à altura do 
peito“, simbolizado por “d” (IUFRO), mas também grafado na bibliografia por DAP ou dap, 
e expresso em cm. O ponto de medição do dap não é o mesmo em todos os países, em 
decorrência do sistema de medição utilizado, advindo daí certa dificuldade de comparar a 
área basal em nível internacional. 
 
TABELA 11 - Altura de medição dos diâmetros (altura do peito) conforme o país de 
origem 
 
País 
 
Altura de medição (m) 
 
Países que usam o sistema métrico 
 
1,30 
Estados Unidos e Canadá .............. 1,37 
Inglaterra ......................................... 1,29 
Japão .............................................. 1,25 
 
 Os diâmetros também podem ser medidos em posições diferentes, conforme 
a necessidade do estudo. Nestes casos não serão chamados de diâmetro à altura do 
peito, como, por exemplo, a medida h1,0d que será referenciada como diâmetro a 10% da 
altura total. 
 Em terrenos planos a posição para a tomada do dap é facilmente 
determinada, conforme mostra a Figura 1a. Já em terrenos inclinados (Figura 1b), esta 
posição é determinada pelo nível médio do solo, tomando a distância de 1,3 m ao longo 
do eixo da árvore. Nesta mesma situação, pode-se tomar como ponto de referência a 
parte superior do declive, pois, segundo seus defensores, corresponde à altura do toco 
após o abate. 
 
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 16 
 
A determinação do ponto de medição do dap, de acordo com o tipo de fuste 
que será mensurado seguirá o esquema da Figura 2. 
 Quando o tronco apresentar alguma irregularidade à altura do peito (Figura 
2-C), deve-se deslocar o ponto de medição para baixo ou para cima, devendo-se optar 
pela posição mais próxima da real. 
 
 
FIGURA 1 - Pontos de referência para medição do diâmetro, em relação ao nível do solo. 
 
 A ocorrência de troncos bifurcados abaixo de 1,30 m acarretará a medição 
de cada um deles independentemente (Figura 2 D), sendo anotados dois diâmetros como 
se tratasse de duas árvores. Entretanto, se a bifurcação ocorrer acima de 1,30 m, a 
medição será feita normalmente, considerando-se apenas uma árvore (Figura 2 E). Em 
qualquer das situações, considerar a medição de diâmetros cruzados e o emprego da 
média para obter o estimador. 
 
FIGURA 2 - Pontos de referência para tomada de diâmetro em troncos irregulares. 
 
Biometria Florestal 
 
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4.1.2 Efeito da forma do tronco na medição do diâmetro 
 
 O tronco de uma árvore e as demais partes lenhosas apresentam forma 
aproximadamente circular na secção transversal e, para os propósitos de muitas 
medições, assume-se essa forma. Contudo, a secção transversal freqüentemente difere 
da forma circular e, às vezes, sua excentricidade pode assumir alguma importância. 
 O principal objetivo na medição do diâmetro do tronco é determinar a área 
da secção transversal correspondente ao ponto medido. Quando o tronco apresenta 
forma circular, não há problema para determinar a área de secção transversal, sendo um 
simples diâmetro ou circunferência suficiente para sua estimativa. Porém, quando a 
secção transversal não é circular, o diâmetro não expressará a verdadeira área da 
secção. Nesse caso, o problema consiste em encontrar o diâmetro que produz a melhor 
aproximação da área real da secção. 
 Os troncos não circulares, em geral, tendem à forma de uma elipse, embora, 
em alguns casos, a secção transversal possa ser completamente irregular. Por esse 
motivo, nas medições de diâmetro, são tomados dois diâmetros cruzados (90º), 
registrando-se a média. Quando a forma do tronco for elíptica e a média aritmética entre o 
maior e menor diâmetro for utilizada como o diâmetro do círculo, resultará numa super-
estimativa da área real da elipse. Nesse caso para obter a área de secção transversal 
real, uma melhor estimativa será obtida pelo emprego da média geométrica ( 21 dd ⋅ ) e 
não da média aritmética. Se a periferia de um tronco elíptico for medida e, considerando-
se essa medida como a circunferência de um círculo, o diâmetro deste círculo será maior 
do que o diâmetro do círculo cuja área é igual à da elipse. 
 Muitas pesquisas realizadas objetivam determinar o melhor procedimento 
para medição de diâmetros de árvores cujos troncos apresentam formas não circular ou 
elíptica, com o fim de detectar áreas de secção transversal exatas. Entretanto, nenhuma 
delas mostrou alguma evidência conclusiva para a seleção de algum método válido para 
todas as circunstâncias de medição de diâmetro em secções irregulares (Prodan,1965). 
 Conseqüentemente, na prática, o melhor princípio é usar o procedimento 
recomendado para secções elíptica, o qual adquire importância nos casos em que a 
maioria dos troncos apresenta forma irregular e elíptica. Para os troncos com forma 
circular, a média geométrica e a aritmética são iguais. 
 
Biometria Florestal 
 
 18 
 
Nas medições de campo em que são medidos grandes números de árvores, 
como ocorre no interior das unidades amostrais utilizadas nos inventários florestais, é 
usual fazer a média aritmética entre dois diâmetros cruzados e considerá-la como 
estimador do verdadeiro diâmetro da árvore. 
 Considera-se ainda, por motivos de agilidade no trabalho de mensuração, 
além da média aritmética, o registro dos valores com arredondamento para o meio 
centímetro. Essa estratégia permite ao medidor, após a tomada do segundo diâmetro, 
fazer a média mentalmente sem necessidade da exatidão, permitindo que a medição siga 
seu fluxo sem interrupções ou retardos. Veja exemplo na Tabela 12. 
 
TABELA 12 - Diâmetros cruzados tomados a 1,3 m do nível do solo e o valor transcrito 
para a planilha. 
 
Diâmetros 
1 
 
Cruzados 
2 
 
_
d 
 
Arredondamento 
 
Registro 
 
10,0 
 
10,0 
 
 10,00 
 
 10,0 
 
10,0 
10,0 10,5 10,25 10,2 10,0 
10,0 11,0 10,50 10,5 10,5 
10,0 11,5 10,75 10,8 11,0 
 
A aproximação para 0,5 cm, por outro lado, não deverá influenciar na 
precisão do diâmetro médio da unidade, pois, conforme descrito pela Lei de Gauss, os 
erros de excesso e de falta, em medições sucessivas, tendem a se anular. 
 No anexo 1, encontra-se o formulário para coleta de informações 
dendrométricas em florestas implantadas utilizado pela Engenharia Florestal da UFSM. 
 
4.1.3 Diâmetro da copa 
 
 O diâmetro da copa é também uma importante variável, em geral, usada 
para estimar o diâmetro à altura do peito, o volume da árvore, bem como serve como 
variável independente em modelos de crescimento. 
Biometria Florestal 
 
 19 
 Sua medição a campo é feita com a projeção dos limites da copa sobre o 
terreno, seguida pela medição de “n” raios. O número de raios que permite obter um 
estimador consistente do diâmetro da copa depende da sua irregularidade. Em geral, o 
emprego de 6 a 8 raios trazem bons resultados. 
Para a projeção dos limites da copa sobre o terreno, o medidor pode valer-
se de prismas ou utilizar um clinômetro que permita a determinação do ângulo de 90º. 
 As determinações do diâmetro da copa nas fotografias aéreas são mais 
facilmente realizadas do que as medições das projeções da copa sobre o solo,embora 
haja a tendência de que os diâmetros medidos nas fotos sejam, em geral, menores que 
os medidos no solo. Isso se deve às partes das copas que não são visíveis nas fotos. 
Entretanto, as medições nas fotografias aéreas são provavelmente as melhores medidas 
do espaço de crescimento e são bem correlacionadas com a árvore e seu volume. 
 
4.1.4 Aparelhos usados na medição de diâmetro 
 
4.1.4.1 Cálibre ou suta 
 
O cálibre ou suta é, em geral, usado para medir diâmetro quando este for 
menor que 60 centímetros. Cálibres de grandes dimensões são incômodos para 
transportar e mais difíceis de manusear. 
 A suta é geralmente construída em alumínio, existindo também exemplares 
antigos em ferro ou madeira, apresentando características inerentes ao material como 
peso, dureza, resistência às intempéries, entre outras. 
 De qualquer modo, as características desejáveis de uma suta são: 
a) material duro e leve; 
b) à prova de intempéries; 
c) fácil limpeza; 
d) fácil leitura e manuseio. 
 
 Na construção de uma suta, deve-se observar as seguintes condições 
técnicas: 
a) o braço fixo deve ser perpendicular à régua graduada; 
b) os dois braços e a régua devem estar num mesmo plano; 
c) o braço móvel, no momento da medição, deve manter-se paralelo ao fixo e sem 
folga com a barra graduada. 
Biometria Florestal 
 
 20 
 A Figura 3 mostra o desenho esquemático de uma suta. 
 
 
 
FIGURA 3 - Desenho esquemático de uma suta. 
 
 Nas medições, a suta é colocada perpendicularmente ao tronco da árvore, à 
altura de 1,30 m em relação ao solo. A pressão exercida no braço móvel deve ser de 
mesma intensidade para todos os troncos, pois desta pressão poderá decorrer um maior 
afundamento da casca e conseqüentemente, um erro na medição do diâmetro. Em geral, 
faz-se duas medições cruzadas do diâmetro e, após, obtém-se a média. 
 
 
4.1.4.2 Suta finlandesa 
 
Outro modelo de suta é a finlandesa, que consiste de um arco parabólico 
convenientemente graduado e um braço reto. Para a medição do diâmetro, a sua abertura 
deve ser colocada em volta da árvore, tão próxima quanto possível, e a leitura feita 
através de uma visada paralela ao braço reto do calibre, tangenciando o tronco (Figura 4). 
 
FIGURA 4 - Desenho esquemático de uma suta finlandesa. 
 
Biometria Florestal 
 
 21 
 
O emprego dessa suta é especialmente vantajoso quando for necessário 
obter diâmetros do fuste em alturas superiores ao dap. Nesses casos, a suta finlandesa é 
acoplada a uma vara graduada, conforme mostrado na Figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 - Medição com a suta finlandesa em alturas superiores ao dap. 
 
4.1.2.3 Suta de Bitterlich 
 
 Consiste de um instrumento com um braço reto e um arco parabólico, em 
cuja face interna está gravada a escala de medição (Figura 6). A escala está dividida em 
duas partes. Na superior, lê-se o diâmetro em cm e, na face inferior, a área basal 
correspondente ou, em alguns modelos, o número de árvores. 
A leitura na escala é feita fazendo-se a mira a partir de uma agulha 
localizada na extremidade do braço reto da suta e o bordo da casca da árvore em seu 
lado direito. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 22 
 
 
 
 
FIGURA 6 - Suta de Bitterlich. 
 
4.1.4.4 Fitas 
 
 As fitas são de dois tipos, conforme a escala de medição que apresentam. 
 A fita métrica consiste de uma fita flexível, graduada em centímetros (fita de 
costureira), com a qual se obtém a circunferência em centímetros. 
 Quando a circunferência é medida a 1,30 m, denomina-se circunferência à 
altura do peito e é simbolizada por c ou cap. 
 Para obter o diâmetro a partir da circunferência, divide-se o seu valor por pi, 
ou seja: 
 pi= cd 
 
 Outro tipo de fita é a diamétrica. Essa é uma fita flexível, normalmente 
graduada em centímetros no bordo superior e em múltiplos de pi no inferior. Desta forma, 
pode ser lida a circunferência (c) ou diretamente o valor do diâmetro (d) com o mesmo 
instrumento. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 23 
 
4.1.4.5 Vara de Biltmore 
 
 Este aparelho consiste de uma régua com graduação especial para a 
determinação do diâmetro da árvore a partir de um ponto de tangência à circunferência da 
árvore. 
 Para a determinação do diâmetro, deve-se encostar a vara 
perpendicularmente ao eixo da árvore de tal modo que a origem da graduação coincida 
com a linha de visada, tangente ao tronco. 
 A leitura da tangente que passa pelo outro lado indica o valor do diâmetro. 
 A graduação da escala de determinação é dada por: 
dL
L.dS
2
+
= 
 
Onde : S = graduação da régua; 
L = distância entre o olho do observador e o ponto de medição 
(aproximadamente o comprimento do braço do observador); 
d = diâmetro da árvore. 
 
 A Figura 7 mostra o desenho esquemático do tronco de uma árvore sendo 
medido com uma vara de Biltmore. 
 
FIGURA 7 - Esquema da medição de diâmetro com a Vara de Biltmore. 
 
 Como o comprimento do braço varia com o observador, a vara de Biltmore é 
mais empregada para estimativas rápidas de diâmetro e não para medições exatas. 
Biometria Florestal 
 
 24 
 A dificuldade de operação é fazer as duas visadas e segurar a régua sem 
mover a cabeça. 
 A não observância da perpendicularidade da régua, em relação ao eixo da 
árvore, bem como a variação das visadas, a declividade do terreno e a excentricidade da 
árvore geram erros expressivos. 
 
 
4.1.4.6 Suta eletrônica 
 
 A suta eletrônica é igual a suta comum, construída em alumínio e plástico, mas 
oferece a vantagem de armazenar o diâmetro da árvore de forma digital (Figura 8). 
Trata-se, então, de um sistema eletrônico capaz de armazenar os diâmetros 
medidos bem como outras informações da árvore, como, por exemplo, a altura, posição 
sociológica, qualidade do tronco. Para tal, deve-se programar o computador da suta para 
solicitar a entrada das informações desejadas já a partir dos dados de identificação da 
unidade amostral. As informações armazenadas podem, posteriormente, serem 
transmitida para o computador central. 
 
 
 
FIGURA 8 – Suta eletrônica. 
 
 
4.1.4.7 Relascópio de espelho 
 
 Os relascópios servem, entre outras funções, para determinar os diâmetros 
a diferentes alturas da árvore a partir de distâncias previamente determinadas. 
Biometria Florestal 
 
 25 
 
 
Em razão da importância do tema e versatilidade do Relascópio este será 
abordado num capítulo especial (Veja cap.10 - Relascopia). 
 
 
4.1.7 Principais erros de medição na determinação de diâmetros 
 
 Os principais erros nas medições de diâmetros, segundo Loetsch et al. 
(1973), devem-se à inclinação da suta e pela não observância da altura de medição. 
 A inclinação da suta pode ocorrer em dois planos: 
a) A barra de medição da suta toca a marca de 1,30 m, mas os braços da suta 
estão desviados da horizontal, conforme mostra a Figura 9; 
 
 
FIGURA 9 - Medição incorreta do diâmetro devido a inclinação da suta. 
 
b) A barra graduada está no ponto exato (1,30 m), porém inclinada, fazendo 
com que um braço da suta esteja abaixo e o outro acima de 1,30 m, como mostra a 
Figura 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 26 
 
 
 
FIGURA 10 - Medição incorreta do diâmetro devido à inclinação da suta. 
 
 O mesmo efeito é obtido quando a árvore tem o tronco inclinado e a suta é 
posicionada horizontalmente (plano horizontal). 
 O erro causado pela não observância da altura de medição a 1,30 m é, 
geralmente causado pela fadiga e comumente ocorre no final da jornada de trabalho. A 
Figura 11 representa esse tipo de situação,bem como sua conseqüência. 
 
 
FIGURA 11 - Erros na determinação do volume pela medição do diâmetro em altura 
incorreta. 
Biometria Florestal 
 
 
 
27 
4.2 A altura das árvores 
 
A altura, tal como o diâmetro, é uma característica importante da árvore e/ou 
povoamento, necessária para a determinação do volume. 
A altura de uma árvore, na sua expressão mais simples, é definida como a distância 
linear entre o nível do solo e o ápice (altura total). No entanto, podem ser definidas 
outras alturas ao longo do tronco, dependendo do tipo de estudo a ser realizado. 
A variável altura adquire também importância fundamental no estudo de sítios, ou seja, 
quando se deseja conhecer o comportamento de uma espécie em um determinado 
local, ao longo do tempo. Para o manejo florestal, é importante o conhecimento desta 
variável, pois traduz as respostas em crescimento das árvores segundo os fatores do 
meio em que vegetam. 
 
 
4.2.1 Tipos de altura 
 
De acordo com o demonstrado na Figura 12, podem ser definidas as 
seguintes alturas teóricas: 
 
a) Altura total: é a distância tomada ao longo do eixo da árvore compreendida entre o 
nível do solo e o seu ápice ou a extremidade superior da copa; 
 
b) Altura do fuste: é a distância tomada ao longo do eixo da árvore definida entre a 
superfície do solo e a base da copa; 
 
c) Altura comercial: é a distância tomada ao longo do eixo da árvore, entre o nível do 
solo e a porção superior utilizável do tronco. Esta porção é determinada por bifurcação, 
galhos de grande porte, tortuosidade, forma irregular, defeitos ou por um diâmetro 
mínimo utilizável. O diâmetro mínimo utilizável é variável de acordo com o uso da 
madeira, com as condições de mercado e com o tipo de equipamento disponível na 
indústria. Assim, por exemplo, o diâmetro mínimo para uso na produção de celulose, na 
indústria “A”, é 7 cm sem casca e, na indústria “B” é 4 cm. Já o diâmetro mínimo para 
serraria é 12 cm na indústria “C’’; 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
28 
d) Altura dominante: é a altura média das árvores mais altas de um povoamento. 
Segundo cada autor que a definiu, terá diferentes formas de cálculo e interpretação 
(veja capítulo 11.2.6); 
 
e) Altura do primeiro galho vivo: é a distância tomada ao longo do eixo da árvore, entre 
o nível do solo e o ponto de inserção do primeiro galho vivo; 
 
f) Altura do toco: é a distância entre a superfície do solo e a porção do tronco deixada 
no campo após o corte da árvore; 
 
g) Comprimento comercial: é a distância, ao longo do eixo da árvore, entre a altura do 
toco e a última porção utilizável do tronco; 
 
h) Comprimento de defeito: é a soma das porções de comprimento comercial que não 
podem ser usadas devido a defeitos; 
 
i) Comprimento comercial líquido: é igual ao comprimento comercial menos o 
comprimento defeito; 
 
j) Comprimento da copa: é a distância ao longo do eixo da árvore, entre o ponto de 
inserção e a extremidade superior da copa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
29 
 
 FIGURA 12 - As alturas de uma árvore e as classificações de comprimento 
 
 
4.2.2 Medição da altura 
 
De modo geral, os processos de medição de altura podem ser 
classificados em diretos e indiretos. 
Biometria Florestal 
 
 
 
30 
 Os processos diretos são aqueles em que o operador se apóia na 
habilidade pessoal, a fim de obter estimativas a olho desarmado e sem usar nenhum 
instrumento. 
 Algumas vezes, o operador recorre a uma vara graduada de comprimento 
variável, que é encostada à árvore e serve como referencial. Assim, o operador, a 
uma distância determinada, efetua a estimativa da altura tendo a vara como unidade de 
medida. 
A precisão fá-se em função de vários fatores, entre eles a capacidade do 
observador em realizar a estimativa, o que decorre de zelo, experiência e da distância 
entre o observador e a árvore. 
 Outros procedimentos para estimar a altura são baseados no uso do 
braço e uma vara. Para isso, o observador se afasta da árvore até enquadrá-la no 
tamanho da vara conforme o esquema da Figura 13. 
 
 
 
Figura 13 - Determinação da altura da árvore com o emprego de um bastão como 
referencial. 
 
 
 Sendo oab ≅ oAB 
 
oa
oA
ab
AB
= logo 
oa
abxoAABh == 
 
Onde: ao = distância horizontal entre o observador e árvore; 
 Ao = comprimento do braço do observador; 
Biometria Florestal 
 
 
 
31 
 Ab = comprimento da vara. 
 
Logo, se ab = 20 cm tem-se: 
 
braçocompx
dist
oa
oAh
oa
xoAh
.5
.
5
1
.
20
=== . 
 
 O emprego de uma vara “ab” com comprimento igual ao comprimento do 
braço do observador “ao”, resulta que a altura da árvore será igual à distância do 
observador, pois: 
 
 oA
oa
aboAABh =×== . 
 
Onde ab = ao; 
 h = oA = distância do observador à árvore. 
 
 A altura da árvore estimada, por exemplo, com um bastão de 20 cm, 
ficará determinada dividindo-se a distância horizontal pelo valor correspondente a cinco 
vezes o comprimento do braço do observador. 
 Esses processos tornam-se inviáveis quando se trabalha com um grande 
número de árvores, pois, além da menor acuracidade, demanda muito tempo na 
procura do ponto ideal de medição. 
Os processos indiretos são realizados com o auxílio de aparelhos 
chamados dendrômetros e, mais especificamente, de hipsômetros. 
 Muitas vezes povoamentos jovens ou que apresentam árvores não muito 
altas têm as alturas mais facilmente medidas com o emprego de uma régua graduada. 
Uma dessas réguas, de grande facilidade de transporte e de manuseio, é a Régua 
Altimétrica Retrátil Durkon. 
 Trata-se de uma régua de alcance total de 6,50 m, composta de quatro 
secções quadradas, que podem ser retraídas telescopicamente para 1,80 m (Figura 
14). 
Biometria Florestal 
 
 
 
32 
 A régua possui janela visora, colocada entre 1,60 e 1,70 m, o que permite 
as leituras sempre ao nível dos olhos do operador. As medidas inferiores a 1,80 m são 
feitas diretamente na lateral da primeira secção do instrumento. 
 
 
 
FIGURA 14 - Detalhe de medição com régua telescópica. 
 
 Dentre os aparelhos existentes, muitos são semelhantes quanto ao 
princípio de funcionamento, embora difiram quanto a aparência. Mesmo com o grande 
número existente no mercado, nenhum reúne as características de um aparelho ideal: 
a) fácil e rápido manuseio; 
b) grande precisão; 
c) baixo custo; 
d) longa durabilidade. 
 Em medições da altura de árvores em pé, não é possível obter resultados 
exatos, quer pela natureza do aparelho, quer pela condição do povoamento, onde, 
muitas vezes, não é possível visualizar o ápice e a base da árvore com nitidez a partir 
de um mesmo ponto. 
 Bruce e Schumacher (1950), constataram erros entre 0,30 a 0,60 m na 
medição das alturas em condições ideais de trabalho. 
 Nas melhores condições de funcionamento, são esperados erros da 
ordem de 1 a 2%. 
Biometria Florestal 
 
 
 
33 
 Comparações entre o Blume-Leiss, Haga, Weise e a prancheta 
dendrométrica, em povoamentos de Eucalyptus saligna, não mostraram diferença 
significativa quando comparados com medições feitas com trenas nas árvores 
abatidas. 
 O princípio do funcionamento dos hipsômetros baseia-se na semelhança 
de triângulos (princípio geométrico) ou na tangente de ângulos (princípio 
trigonométrico). 
 
 
4.2.2.1 Aparelhos baseados na semelhança de triângulos 
 
 Os instrumentos baseados na semelhança de triângulos são facilmente 
construídos, em geral não requerem o conhecimento da medição da distância 
horizontal entre o observador e a árvore e, ainda, a altura determinada por aparelhos 
deste princípionão é influenciada pela declividade do terreno. Entretanto, os aparelhos 
assim construídos precisam ser cuidadosamente manejados, pois somente com uma 
mão firme pode-se evitar sérios erros de interpretação, uma vez que em povoamento 
denso, é freqüentemente difícil encontrar o ponto de observação desejado para a 
medição. 
 
 
4.2.2.1.1 Hipsômetro de Christen I 
 
 É um instrumento simples, de fácil construção e manuseio, usado na 
medição de árvores em pé. Tem a vantagem de dispensar a medição da distância 
horizontal do observador até a árvore, evitando-se, desse modo, erros de medição das 
distâncias. 
 O instrumento é construído sobre uma régua de madeira, metal ou 
acrílico, com comprimento total variável, a qual apresenta uma reentrância de 30 cm, 
na qual está gravada a escala para leitura das alturas da árvore, obtidas por cálculos, 
como mostra a Figura 15a. 
 Para a medição da altura da árvore, o operador deve ficar a uma distância 
tal que a base e o ápice da árvore estejam perfeitamente encaixados dentro da 
reentrância de 30 cm do aparelho (Figura 15b). Nessas condições, a altura será 
Biometria Florestal 
 
 
 
34 
determinada pela interseção do raio visual que, partindo do observador, tangencia a 
parte superior de uma vara que serve como escala encostada à árvore. Ainda sob 
essas condições, o operador faz a leitura na escala graduada do hipsômetro, 
determinando diretamente a altura da árvore. 
 
FIGURA 15 - Medição da altura com hipsômetro de Christen I. 
 
 
 Considerando os triângulos OAB e OA’B’ obtém-se a seguinte relação: 
 
'OC
OC
'B'A
AB
= 
 
 A semelhança entre os triângulos OAC e OA’C’ permite a seguinte 
proporcionalidade: 
 
'OC
OC
'C'A
AC
= 
 
Sendo quantidades iguais entre si, tem-se: 
 
'C'A
AC
'B'A
AB
= ou 
Biometria Florestal 
 
 
 
35 
 
 
'C'A
AC.'B'AAB ×= , portanto: 
 
 
'C'A
'B'AACABh ×== 
 
 Observa-se que a altura independe da distância entre o observador e a 
árvore. Para esse instrumento, os comprimentos AC e A’B’ são fixos e representam a 
altura da vara encostada à árvore (2,0 a 4,0 m) e a reentrância de 0,30 m, 
respectivamente. Deve ser observado que quanto menor o comprimento dessa vara, 
mais agrupadas estarão as alturas na escala do aparelho, o que traz dificuldades de 
gravação, bem como de medição a campo. 
 Desse modo, a graduação do instrumento, em função da altura da régua, 
é obtida através da seguinte expressão: 
 
h
'B'AAC
AB
'B'AAC
'C'A ×=×= 
 
Onde: A’C’ = distância tomada a partir da base da reentrância onde será gravada a 
altura; 
 AC = altura da régua a ser encostada à árvore; 
 AB = h = altura da árvore; 
 A’B’ = comprimento da reentrância (0,30 m) 
 
 Pela variação da altura AB na equação consegue-se graduar o aparelho, 
independente da distância. 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
36 
 
4.2.2.1.2 Hipsômetro de Christen II 
 
 É uma derivação do primeiro modelo, que dispensa o uso da régua 
auxiliar encostada na árvore, e , possui uma ranhura a 3 cm da reentrância inferior em 
vez de apresentar a escala graduada, para a determinação das alturas, como mostra a 
Figura 16a e b. 
 O princípio de construção é o mesmo do Christen I. Assim, a altura da 
árvore fica determinada pela linha de pontaria que, passando pela ranhura do 
instrumento, intercepta o tronco em qualquer altura. Esta altura deve ser medida para 
determinar a altura da árvore. 
 A partir das relações dos triângulos semelhantes descritos no Christen I, 
tem-se: 
'C'A
'B'AACh ×= 
 
Sendo: A’B’ = 30 cm 
 A’C’ = 3 cm Logo: 10ACh ×= . 
 
 Portanto, a altura da árvore é obtida multiplicando-se a altura do ponto 
interceptado pelo raio visual no tronco pela constante instrumental 10. 
 Nesse caso, há necessidade da recorrer a um auxiliar de campo para 
marcar o ponto de interseção da linha de visada no tronco da árvore. 
 
 
4.2.2.1.3 Prancheta dendrométrica 
 
 Compõe-se de uma régua de madeira, alumínio ou acrílico, com 
comprimento de 30 cm e altura entre 10 a 15 cm. 
 A leitura das alturas é determinada por um pêndulo colocado no centro da 
prancheta, fixado no seu bordo superior. O bordo inferior é graduado em milímetros, a 
partir do centro, onde se situa o ponto zero da escala. Quando a prancheta está na 
posição horizontal, o pêndulo sobrepõe o ponto zero da escala. 
Biometria Florestal 
 
 
 
37 
 
FIGURA 16 - Medição da altura com o hipsômetro de Christen II. 
 
 
 A Figura 17 mostra o princípio de construção e funcionamento da 
prancheta dendrométrica. 
 
 
 
FIGURA 17 - Medição da altura com a prancheta dendrométrica. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
38 
 
 Observa-se, na Figura 17, que o triângulo EBC é semelhante ao triângulo 
ebc, na posição correspondente à visada do ápice da árvore, onde se obtém a seguinte 
relação: 
 
ec
bc
EC
BC
= ; por tanto, 
 
ec
'bc.ECBC ×= . 
 
Onde: BC = altura 1h ; 
 EC = distância do observador ao objeto; 
 bc = leitura na escala graduada; 
 ec = (altura da prancheta). 
 
Sendo ec = 10 cm, EC = leitura na prancheta e OC = D, tem-se: 
11 l10
Dh ⋅= . 
 
Ao visar a base da árvore, obtém-se, pelo mesmo raciocínio, a seguinte relação: 
 
ec
acECAC ×= . 
 
Sendo A’C’ = 2l = leitura da base do tronco, tem-se: 
 
22 l10
Dh ⋅= 
 
Logo, a altura total será determinada adicionando ou subtraindo as alturas 
parciais 1h e 2h de acordo com a posição relativa do observador em relação à árvore 
(veja Figuras 18,19 e 20), ou seja: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
39 
 
 
21 hhh ±= 
 
 ( )21 ll10
Dh +⋅= 
 
 As leituras I1 e I2 devem ser feitas em centímetros e a distância horizontal 
(D) em metros, para que a altura da árvore resulte em metros. 
Observa-se, neste caso, que a determinação da altura depende da 
distância do observador à árvore, sendo pertinente verificar a necessidade de correção 
da altura, que ocorre caso a distância entre o observador e a árvore não ser a distância 
horizontal. Para maiores esclarecimentos, veja 4.2.2.2.1. 
 
 
4.2.2.2 Aparelhos baseados em tangentes de ângulos 
 
 Os instrumentos baseados na tangente de ângulos são aparelhos que se 
operados em condições ideais apresentam estimativas mais confiáveis do que as 
obtidas por aparelhos de princípio geométrico e permitem ainda maior rapidez nas 
operações a campo. 
 A altura da árvore será conhecida pelo somatório de duas alturas parciais 
e ainda influenciada pela declividade do terreno; a medição da altura só pode ser 
realizada com o conhecimento prévio da distância do observador à árvore; e, a 
deficiência de luz dentro do povoamento, pode impedir a visada dos objetos e tornar 
difícil à determinação ótica das alturas e das distâncias. 
 Muito embora exista um grande número de hipsômetros deste tipo, o 
princípio de funcionamento é o mesmo para todos. 
 Nestes instrumentos a altura será determinada por duas leituras, sendo 
uma na base da árvore e outra no ponto superior desejado, como mostra a Figura 18. 
Biometria Florestal 
 
 40 
 
 
FIGURA 18 - Princípio de funcionamento dos aparelhos baseados em tangentes de 
ângulos. 
 
Se o aparelho usado for graduado em graus, a altura da árvore será obtida 
por: 
 
D
BC
=1 tgα ; portanto, 11 tg hDBC =⋅= α . 
 
Da mesma forma, 
D
CA
tg =2α ; portanto:, 22 htgDCA =∞⋅= . 
 
Logo, a altura da árvore será dada por: 
 
CABCAB += ou seja: ( )2121αα tgtgDhouhhh +⋅=+= 
 
Quando o observador se encontrar em um nível mais baixo que a base da 
árvore (aclive), conforme ilustrado na Figura 19, a altura será dada por: 
Biometria Florestal 
 
 41 
 
( )21 αα tgtgDAB −⋅= , pois: 
 
CABCAB −= , ou 21 hhh −= 
 
 
FIGURA 19 - Esquema de medição da altura no aclive. 
 
Para o caso de o observador se encontrar em nível mais elevado do que a 
base da árvore (declive), como ilustra a Figura 20, a altura será obtida por: 
 
 AB = D.(tg α2 – tg α1), pois: 
 BCCAAB −= ou 12 hhh −= . 
Para a medição da altura de uma árvore situada em terreno plano, aclive ou 
declive, deve-se usar a seguinte regra geral: quando as leituras do ápice ( 1l ) e da base 
( 2l ) forem obtidas em lados opostos de zero, na escala do aparelho, somam-se as 
leituras; quando as leituras do ápice e da base forem obtidas de um mesmo lado, isto 
Biometria Florestal 
 
 42 
é, 1l e 2l à direita de zero (ambas positivas), ou 1l e 2l à esquerda de zero (ambas 
negativas), subtrai-se a menor da maior leitura. 
 
 
FIGURA 20 - Esquema de medição da altura no declive. 
 
Resumindo, tem-se: 
mesmo plano: h = 21 hh + (leituras em lados opostos de zero); 
aclive: h = 21 hh − (duas leituras à direita de zero); 
declive: h = 12 hh − (duas leituras à esquerda de zero). 
 
Alguns hipsômetros apresentam escalas graduadas em percentagem e 
arcos trigonométricos. 
A escala percentual é baseada em unidades angulares, representadas pela 
razão entre uma unidade vertical e 100 unidades horizontais. 
Assim, tem-se: 
 
Biometria Florestal 
 
 43 
 tg α = 
100
 mpercentage α
 . 
 
Logo, usando-se a escala percentual, a altura é, segundo o esquema da 
Figura 14, determinada por: 
 
h = ⋅
100
D (percentagem α1 + percentagem α2) . 
 
Para as situações apresentadas nas Figuras 19 e 20, usa-se o mesmo 
raciocínio. 
A escala topográfica (topo ∞) é baseada em unidades angulares 
representadas pela razão de uma unidade vertical para 66 unidades horizontais. 
Nesse caso, a tg ∞ será: 
 
 
66
 topoα
α =tg 
 
( )2166 αα topotopo
Dh +⋅= 
 
 
4.2.2.2.1 Correção da declividade 
 
Quando se realizam medições em terrenos acidentados (aclive ou declive), 
muitas vezes é necessário fazer correções na distância medida. 
O efeito da declividade do terreno sobre a distância pode ser facilmente 
observado com o seguinte exemplo. 
 Considere que a linha A, B e C tem exatamente 8 cm, que a linha A está na 
horizontal, e B e C têm ângulos diferentes. Observe que, apesar de todas as três 
Biometria Florestal 
 
 44 
linhas apresentarem uma leitura na régua igual a 8 cm, somente a linha A tem essa 
medida. As linhas B e C tem medidas menores, as quais dependem do ângulo de 
inclinação, conforme mostra a Figura 21. 
Para a correção da distância faz-se uma visada em um ponto junto à árvore 
em altura igual à altura do olho do observador e lê-se o ângulo na escala do aparelho. 
 
 
 
FIGURA 21 - Variação do valor da distância obtido na trena segundo a variação da 
inclinação do terreno. 
 
A correção da distância medida sobre o terreno para a distância horizontal é 
então obtida pela multiplicação da distância sobre o terreno pelo co-seno do ângulo de 
inclinação, conforme esquema da Figura 22. 
Biometria Florestal 
 
 45 
 
 
FIGURA 22- Determinação do ângulo de inclinação do terreno. 
 
Onde: � = altura dos olhos do observador; por convenção pode ser usado 1,3 m. 
 
Distância corrigida = distância aparente θcosx . 
 
Como a altura da árvore é o produto da distância pelas tangentes dos 
ângulos de visada, a altura corrigida será: 
θ×= coshh aparentecorrigida , 
 
pois;: h = dist x (tg ∝1 +- tg ∝2) * cos θ . 
 
A interpretação da Tabela 13 permite verificar que, para uma mesma 
declividade do terreno (supondo esse efeito na determinação da distância), quanto 
maior for a diferença entre a altura real e a medida, maior será a altura da árvore 
considerada. Da mesma forma, maior será esta diferença com o aumento da 
declividade do terreno. 
 
Biometria Florestal 
 
 46 
TABELA 13 - Altura de árvores corrigidas para diferentes graus de declividade do 
terreno. 
 
Declividade 
 
Altura (m) 
 
graus % 
 
 cos θ 
 
13,00 25,00 40,00 
 
1 1,74 
 
0,999 
 
12,98 24,97 39,96 
3 5,24 0,998 12,97 24,95 39,92 
5 8,75 0,996 12,95 24,90 39,84 
7 12,28 0,992 12,89 24,80 39,68 
9 15,84 0,987 12,83 24,67 39,48 
12 21,26 0,978 12,72 24,45 39,13 
15 26,80 0,966 12,56 24,15 38,64 
25 46,63 0,906 11,78 22,66 36,25 
 
Assim, ao tomar a medida da altura, o observador deve avaliar a 
necessidade da correção do efeito da declividade do terreno sobre a medição da 
distância e, caso necessário, fazer a correção do valor obtido. Para fins de 
padronização de procedimentos, efetuar sempre a correção da distância toda vez que o 
terreno apresentar declividade superior a 8º, situação que provocará um erro de cerca 
de 40 cm da distância ou na altura calculada. 
Como regra geral, o operador deve, ainda, para obter maior precisão devido 
a melhor visualização da árvore e menor erro de operação (menor inclinação do 
aparelho), medir a árvore a uma distância no mínimo igual à altura da mesma. 
 
Por exemplo, considerando-se: 
 - Leitura na base da árvore = +29%; 
 - Leitura no ápice da árvore = -23%; 
Biometria Florestal 
 
 47 
 - Distância sobre terreno = 25m; e 
 - Declividade = 9° = 15,84%; 
 
a altura da árvore será: 
 
52,0
100
52
100
23
100
29
==+ 
�=× mmm 0,132525,0
 altura medida 
Considerando o limite de 8º para a correção da declividade, tem-se: 
Sendo: 45º -------- 100% de declividade 
Cos 9° = 0,9877 
 Altura corrigida = hCos ⋅θ 
 = 0,9877x13 
 = 12,84 m � 12,8 m 
 
O mesmo resultado será obtido ao fazer a correção da declividade 
multiplicando-se a distância medida sobre o terreno por cos ∞ . 
 
 0,9877 x 25 = 24,69 m 
 
52,0
100
23
100
29
=+ 0,52 x 24,69 m = 12,8 m. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
48 
4.2.2.2.2 Clinômetro ou Nível de Abney 
 
É um nível refletor, resistente e prático, conhecido como altímetro de bolso. 
Constituí-se basicamente de um tubo metálico de secção quadrada, através do qual se 
efetuam as visadas do ápice e base da árvore. As leituras são feitas sobre o arco 
graduado de 0 a 90 graus, em ambos os lados de zero. Acoplado ao arco, encontra-se 
um vernier para aproximação de 10 minutos nas medidas angulares. Durante as 
visadas, a luneta arrasta, em seu movimento, o círculo vertical com o respectivo 
vernier. Preso ao vernier existe um nível de bolha, cuja imagem é projetada para a 
objetiva da luneta através de um sistema de espelhos (Figura 23). 
Desse modo, ao visar o ápice ou a base da árvore, aciona-se um parafuso 
de nivelamento que coloca o vernier exatamente na posição vertical. O ponto exato do 
nivelamento é definido pela coincidência da bolha do nível projetada, com o retículo 
horizontal da luneta. 
A altura da árvore será determinada pelo somatório das tangentes dos 
ângulos correspondentes ao ápice e base, multiplicado pela distância horizontaldo 
observador à árvore. 
 
FIGURA 23 - Clinômetro ou Nível de Abney. 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
49 
4.2.2.2.3 Hipsômetro de Blume-Leiss 
 
Este aparelho é o dendrômetro de maior difusão no meio florestal por causa 
de sua precisão, resistência e facilidade de manuseio (Figura 24). 
O aparelho fornece diretamente o produto das tangentes dos ângulos 
trigonométricos pelas distâncias. Assim, a soma das medições fornece a altura da 
árvore. 
Na face anterior do aparelho, onde são feitas as leituras, aparecem quatro 
escalas métricas (15, 20, 30, e 40 m) e uma em % ou graus, dispostas em arcos como 
mostra a Figura 24 a. 
Para as distâncias de 15 e 20 metros, as escalas são graduadas com 
precisão de 0,5 m; para distâncias de 30 e 40 metros, as escalas são graduadas de 
metro em metro. 
As leituras ficam determinadas por um pêndulo. Quando o aparelho está na 
horizontal, o pêndulo sobrepõe a marca do zero em todas as escalas. 
O pêndulo é liberado por um botão situado na parte posterior do aparelho e 
preso por um gatilho localizado na parte frontal. O botão e o gatilho devem ser 
acionados pelo dedo indicador. 
Durante a medição de altura, deve-se ter o cuidado para só prender o 
pêndulo quando este estiver sem oscilação. 
As leituras só podem ser efetuadas se o operador colocar se exatamente em 
uma distância gravada nas escalas (15, 20, 30 ou 40 m) para leitura nas escalas 
métricas correspondentes. 
Para a determinação dessa distância, o operador recorre a uma mira 
auxiliar, específica do aparelho, graduada em 0, 15 e 30 m ou 0, 20 e 40 m na face 
posterior (Figura 24 b). 
A mira, encostada à árvore, será observada através de um dióptro (lente que 
provoca a convergência dos raios luminosos por processo ótico), situado na face 
posterior do aparelho. 
O operador estará à distância desejada quando o valor zero da mira seja 
sobreposto com o valor da distância procurada. Isto ocorre no centro da régua (imagem 
virtual), como está representada na Figura 24 c. 
O aparelho apresenta, na face posterior, os fatores de correção para a 
declividade que devem ser usados segundo a conveniência. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
50 
 
FIGURA 24 - Hipsômetro de Blume-Leiss (a), escala (b), e esquema de 
determinação ótica da distância (c). 
 
Caso seja utilizada outra distância, a leitura será realizada na 5ª escala em 
graus ou %. Esta escala situa-se abaixo das escalas métricas e é apresentada em 
graus ou em percentagem, conforme o modelo do aparelho. Seu emprego requer o 
cálculo das tangentes dos ângulos, como demonstrado anteriormente, bem como a 
determinação da distância entre o observador e a árvore. 
 
 
4.2.2.2.4 Hipsômetro de Haga 
 
É um instrumento muito semelhante ao Blume-Leiss, no que se referàe sua 
construção e princípio de funcionamento. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
51 
A principal diferença entre os instrumentos reside no mostrador de escalas, 
pois o Haga apresenta visível apenas uma escala de cada vez, como mostra a Figura 
25. 
 
FIGURA 25 - Hipsômetro de Haga. 
 
Para se efetuar as leituras na escala de distância desejada, basta girar o 
eixo hexagonal rotativo, que contém uma escala em cada face (15, 20, 25 e 30 m). 
Outra diferença é encontrada na quinta escala do aparelho, que é graduada em 
porcentagem e / ou arcos trigonométricos. 
Para a determinação da distância horizontal, utiliza-se o sistema ótico. O 
aparelho apresenta um telêmetro semelhante ao do Blume-Leiss, diferindo, no entanto, 
a mira auxiliar constituída de uma faixa de tecido, em algodão, contendo duas fixas 
brancas transversais, em plástico, sendo a superior fixa, e a inferior, móvel. 
Sendo a mira composta de material leve, oscila com facilidade em dias com 
vento, o que pode dificultar a determinação das distâncias. 
Em função das características da mira auxiliar, cuja faixa inferior é móvel, 
pode-se determinar qualquer distância a partir da relação entre a distância graduada na 
mira e a distância horizontal correspondente. Por regra de três, determina-se a 
distância entre as faixas que resulta a distância horizontal desejada. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
52 
 
 
 
4.2.2.2.5 Hipsômetro de Suunto 
 
É um clinômetro de precisão usado para medir ângulos verticais, 
declividades e alturas por meio de leituras diretas em graus ou porcentagem. 
O aparelho é resistente, de fácil manejo e compacto, constando de uma 
pequena caixa metálica com, aproximadamente, 8 cm de comprimento por 6,5 cm de 
altura e 1,5 cm de largura. Possui uma ocular, em cujo interior lê-se duas escalas, 
sendo uma graduada de 0 a ± 90 graus e outra de 0 a ± 150% (Figura 26). 
. 
 
FIGURA 26 - Hipsômetro de Suunto. 
 
O aparelho é também disponível com telêmetro, semelhante aos dois 
hipsômetros anteriores. 
Durante a medição, o hipsômetro é visado por um olho, continuando o outro 
aberto para observar o ponto de medição. Por uma ilusão de ótica, a marca interna do 
aparelho é projetada para fora e pode ser observada no ponto de medição (base ou 
ápice da árvore). 
Nesta situação, é feita a leitura e determinada a altura da árvore, a partir da 
solução das tangentes dos ângulos, multiplicada pela distância horizontal, como visto 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
53 
 
 
 
anteriormente. 
A correção da distância para a projeção horizontal ou diretamente da altura 
aparente para a altura corrigida pode ser realizada por redução através do cosseno do 
ângulo de inclinação do terreno, conforme demonstrado em 4.2.2.1 ou através de 
nomograma (Figura 27 a e b). 
Para a correção da altura medida a qualquer distância, através do 
nomograma, usa-se uma régua para unir a escala da esquerda (representa o ângulo de 
inclinação do terreno em graus) com a escala da direita, a qual representa a altura 
aparente (altura medida). A altura corrigida será lida no ponto onde a régua cruza a 
escala central. 
Para uma distância sobre o terreno de 20,0 m (distância aparente), não é 
necessário determinar o ângulo de inclinação do terreno. Usando o nomograma para a 
distância de 20,0 m (Figura 27 b) ,entra-se com valor em % lido na base da árvore na 
escala da esquerda, e une-se este valor com a altura lida para a árvore. A altura 
corrigida ficará também determinada no ponto de cruzamento da régua com a escala 
central. 
 
 
4.2.2.2.6 Hipsômetro Vertex 
 
O hipsômetro Vertex é um aparelho eletrônico de fácil manuseio e alta 
precisão. A principal vantagem deste aparelho é poder fazer a medição a qualquer 
distância, lendo a altura diretamente no visor do aparelho. Essa possibilidade traz 
grande rendimento ao trabalho de campo, pois o medidor só começará a medição 
quando se posicionar em um ponto onde visualize tanto a extremidade da copa, como 
a posição do dap, não ocorrendo perda de tempo na busca de uma distância fixa que 
atenda também as duas condições. 
Além disso, o aparelho fornece em seu visor a distância aparente, o ângulo 
de inclinação do terreno, a distância corrigida e à altura da árvore, podendo-se repetir 
essa operação, de um mesmo local de medição, três vezes. 
O Vertex é composto de duas partes, uma que é o próprio aparelho e outra 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
54 
 
 
 
que consiste de um transponder (Figura 28). Para realizar a medição, o transponder é 
ligado e colocado a altura do dap da árvore que terá sua altura medida. O observador 
fará a mira, vizando o transponder e mantendo o botão vermelho suavemente 
pressionado até observar o ponto vermelho, que serve de indicador da mira, 
desaparecer e retornar a objetiva de forma pulsante. Nesse momento, o aparelho 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
55Biometria Florestal 
 
 
 
 
56 
 
 
 
FIGURA 27 - Nomograma para correção da altura. 
 
mostrará, no visor lateral, a distância aparente, o ângulo de visada e a distância 
corrigida. 
 O observador faz nova mira, também pressionando o botão vermelho, 
visando a extremidade da copa; até observar que o ponto vermelho desaparece da 
objetiva, retornando em seguida. No visor, será registrada a altura da árvore. Essa 
medida poderá ser repetida mais duas vezes, caso desejado, sendo registrado no visor 
lateral as três medidas. 
 A altura da árvore é calculada internamente no aparelho pela tangente dos 
ângulos �1 e �2, multiplicado pela distância corrigida para a projeção horizontal e 
somado ao valor 1,3. Conforme o esquema da Figura 28. 
 
FIGURA 28 - Determinação da altura com o Vertex. 
 
O valor da altura apresentado no visor é resultante de: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
57 
 
 
 
h = ( tg �1 + tg �2 ) * distância aparente * cos � . 
 
 
 
4.2.2.2.7 Principais erros na medição da altura 
 
Em teoria, durante a medição da altura podem ocorrer três tipos de erros, 
embora, na prática ,seja difícil separar seus componentes uma vez que suas causas 
são simultâneas. 
Esses erros segundo Loetsch et al. (1973), podem ser divididos em: 
- erros relacionados com o objeto; 
- erros relacionados com o instrumento; 
- erros relacionados com o observador. 
 
 
4.2.2.2.7.1 Erros relacionados com o objeto a ser medido 
 
De modo geral, as alturas só podem ser bem definidas se for possível 
visualizar, de um mesmo local, o ápice e base da árvore. 
s folhosas, em razão da convexidade e, muitas vezes, devido a 
heterogeneidade na forma da copa têm geralmente sua altura superestimada, em 
decorrência da dificuldade de observação do seu ápice. 
Muitas incertezas na medição são causadas pela densidade do povoamento 
pois este, muitas vezes, dificulta a visualização do ponto de medição. Também o sub-
bosque pode provocar a diminuição da luminosidade, dificultando a visualização da 
base da árvore. 
 
4.2.2.2.7.2 Erro causado pela inclinação da árvore 
 
Caso a árvore que está sendo medida seja inclinada na direção do 
observador ou em sentido contrário, a sua altura será superestimada e sub-estimada 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
58 
 
 
 
respectivamente, em decorrência da variação da distância do ponto de visada da copa 
e da base da árvore em relação ao observador. 
Como exemplo, suponha uma árvore com altura (h) real de 28,0 m e 
distância da perpendicular tomada do ponto de projeção da extremidade da copa sobre 
o solo à base da mesma seja 3,0 m, como mostra a Figura 29. 
 
 
 
 
 
FIGURA 29 - Erro na medição da altura, devido à inclinação da árvore. 
 
 Sendo A’BA um triângulo retângulo, tem-se: 
 
222 A'AB'AAB += 
 
222 A'AABB'A −= 
 
222 328B'A −= 
 775B'A 2 = 
 m 27,8' =BA 
 
Observa-se, portanto, para distâncias do ponto de projeção de copa 
menores que 3,0 m e altura igual a 28,0 m, que a altura B'A não difere muito da 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
59 
 
 
 
verdadeira altura. 
Neste caso, a correção da altura pode ser obtida, segundo Husch et al. 
(1982), determinando-se o ponto sobre o solo correspondente à projeção do ápice da 
árvore e tomando-se esse ponto para a determinação da distância para medição da 
altura da árvore. 
De outra forma, para determinar a altura correta, mede-se o ângulo de 
inclinação Ø e multiplica-se a altura medida pela secante do ângulo conforme mostra a 
Figura 30. Na prática, entretanto, o ângulo � é difícil de ser obtido. 
 
FIGURA 30 - Correção da medição de altura de árvores inclinadas. 
 
 Onde: � = ângulo de inclinação e, 
 B
h
 = sec θ 
 ( ) sec Bh θ⋅= 
 
 
( ) 1
100
 %Bh
2
+
θ
⋅= 
 
Consegue-se reduzir o erro de altura devido à inclinação da árvore, 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
60 
 
 
 
efetuando-se a medição de modo que a linha de pontaria seja perpendicular ao plano 
vertical que contém a árvore, ou seja, a inclinação da árvore é vista à direita ou à 
esquerda do observador. 
Caso não seja possível se colocar nessa posição, é conveniente efetuar a 
medição de um ponto que se distancie o máximo possível da árvore que se deseja 
medir (Figura 31). 
 
 
FIGURA 31 - Erros de medição da altura da árvore inclinada em função da distância do 
observador. 
 
 
Observa-se que à medida que o observador se distancia da árvore, a altura 
medida tende para o valor real da mesma. 
Para uma mesma inclinação da árvore, tanto na direção do observador, 
quanto em direção contrária, o erro de avaliação é tanto menor quanto mais distante 
estiver o observador, conseqüentemente menor será o ângulo de pontaria dado no 
hipsômetro. 
 
 
4.2.2.2.7.3 Erro causado pela forma da copa 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
61 
 
 
 
 
Em geral, as folhosas, por apresentarem copas de forma convexa, dificultam 
a determinação do ponto extremo superior da árvore, acarretando estimativas de altura 
maiores do que a real. 
No exemplo da Figura 32, verifica-se que em razão da forma da copa ocorre 
uma superestimativa da altura quando o observador está na posição A. Verifica-se, 
ainda, que à medida que o observador se afasta da árvore este erro vai diminuindo, 
pois consegue visualizar melhor o ponto correto para a medição da altura (posição B). 
 Na posição A, a altura da árvore será 1h (superestimada), e, na posição B, a 
altura terá o valor correto “h”. 
 
 
FIGURA 32 - Erros na medição da altura em função da forma da copa e distância do 
observador. 
 
4.2.2.2.7.4 Erros relacionados com o aparelho, com o observador e com fatores que 
impedem a visualização da base da árvore 
 
Compreendem todos os erros causados por mal funcionamento do aparelho. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
62 
 
 
 
Por exemplo, no Blume-Leiss pode ocorrer com o uso continuado, folga no ponto de 
inserção do pêndulo, deixando-o fora de centro e, em conseqüência, raspando nas 
escalas, não tendo livre movimentação. Outro exemplo que merece menção é a 
interferência eletrônica sobre o Vertex ocasionando erros grosseiros na determinação 
da distância e alturas. Essa interferência pode ser sentida quando dois aparelhos são 
operados próximos um do outro, como em uma unidade amostral. 
 Os erros relacionados com o observador são aqueles ocasionados pela 
tomada de um ponto incorreto de medição onde ocorre uma má visualização da copa 
ou base da árvore; pela falta de firmeza nas mãos e/ou treinamento inadequado do 
operador, entre outros. 
 Caso o sub-bosque ou outro fator impeça a observação da base da árvore, 
pode-se usar o artifício de visar o tronco a uma altura conhecida, como, por exemplo, o 
dap e após acrescer esta altura na medição, como mostra a Figura 33. 
 
 h = leitura 1 ± leitura 2 + altura pré-determinada 
 
 
FIGURA 33 - Erro na determinação da altura em razão da presença de sub-bosque. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 63 
 
 
5 RELAÇÃO ALTURA E DIÂMETRO 
 
 
A relação altura e diâmetro de uma árvore é, comumente, simbolizada por 
“h/d” e denominada “relação hipsométrica”. 
 No inventário florestal, esta relação é usada para fornecer as alturas de 
árvores que tiveram apenas o diâmetro medido, e na determinação de alturas 
dominantes. 
 
5.1 Características da relação hipsométrica 
 
 A relação hipsométrica, ou relação entre o diâmetro e altura das árvores, 
é regulada geneticamente e só tem sentido quando analisada para uma espécie. É 
fácil observar que espécies distintas podem ter valores de relação h/d diferentes. Um 
Eucalyptus grandis com 20,0cm de diâmetro alcança facilmente a altura de 27,0 m 
(h/d = 27/20 = 135); enquanto o Pinus taeda com o mesmo diâmetro não alcança 
19,0 m (h/d = 19,0/20 = 0,95). Assim, a relação hipsométrica para espécies distintas 
pode ser representada pela Figura 34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 34- Representação da relação hipsométrica para três espécies florestais . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 64 
 Considerando a mesma espécie, a relação hipsométrica diferencia-se 
com a idade. De acordo com as leis naturais, durante o crescimento, a relação 
hipsométrica não produz extensões, mas projeta-se em um novo nível. Esse fato 
deve ser analisado observando-se a dinâmica do povoamento, pois, com o 
crescimento, as árvores finas passam para classes superiores e as árvores das 
classes superiores passam para classes mais altas. Esse crescimento se dá também 
em diâmetro, porém com velocidade diferente, fazendo com que, para o mesmo 
diâmetro, sejam obtidas alturas diferentes (Figura 35). 
 
 
 
FIGURA 35 - Representação da variação da relação hipsométrica em povoamento 
de diferentes idades. 
 
 Ao se observar esta dinâmica durante longo tempo, percebe-se ainda que 
as diferenças de níveis entre as curvas das relações hipsométricas vão diminuindo 
com o aumento da idade, o que reflete a diminuição do vigor das árvores, ou seja, 
na estabilização do crescimento em altura; conforme apresentado na Figura 36, 
apresentada por Loetsch et. al, (1973). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 65 
 
FIGURA 36 - Característica das curvas hipsométricas de Larix (Larix sp.) e Spruce 
(Picea sp.) com a variação do diâmetro. 
 
Onde: h = altura total; 
 k = altura até o ponto de inserção da copa. 
 
 
A influência da qualidade do sítio (qualidade do local para o crescimento 
de uma espécie) também se reflete na relação hipsométrica. 
Considerando florestas de mesma idade, as árvores que crescem em sítio 
bom terão maior diâmetro e altura que as de sítio ruim, estando as alturas 
distribuídas em níveis diferentes, conforme mostra a Figura 37. 
 
 
 
FIGURA 37 - Relação hipsométrica para árvores crescendo em sítio bom e ruim. 
Biometria Florestal 
 
 
 66 
 
De forma geral, pode ser demonstrado que a relação hipsométrica 
apresenta níveis diferenciados com a idade e qualidade do sítio, mas que a 
inclinação desses conjuntos de pontos não difere entre eles. 
 Considerando que existe uma forte associação entre as variáveis 
diâmetro e altura, a relação hipsométrica pode ser descrita por um modelo 
matemático de forma linear ou curvilinear, dependendo da espécie e amplitude dos 
dados observados. 
 Sendo, por exemplo, a fórmula geral do modelo que descreve a relação 
hipsométrica expressa por: 
 XbbY 10 ⋅+= , 
onde Y = variável dependente altura; 
 X = variável dependente diâmetro; 
 0b = representa o intercepto; e, 
 1b = coeficiente angular; 
 
pode ser demonstrado que o coeficiente 1b não difere estatisticamente para a 
mesma espécie em diferentes sítios e idades. 
 Resultados assim foram relatados por: Sterba (1986), para Picea abies; 
por Marschall (1975 apud Sterba,1986), para Abies alba e Picea abies em 
povoamentos mistos; por Finger (1991) para Eucalyptus grandis e E. saligna 
distribuídos sobre florestas de diferentes idades e sítios; por Coelho e Finger (1997), 
para povoamentos de Pinus taeda originados por regeneração natural e por mudas; 
e por Finger, Spathelf e Schneider (1999) para Acacia mearnsii . 
 De acordo com o demonstrado por Sterba (1986) os coeficientes 
angulares de uma função de relação hipsométrica apresentam com o aumento da 
idade do povoamento somente variação ao acaso, enquanto o intercepto tende a 
diminuir (Tabela 14). 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 67 
TABELA 14 - Variação dos coeficientes de intercepto ( 0b ) e angular ( 1b ) em função 
da idade (STERBA, 1986) 
 
IDADE 
 
0b 
 
1b 
 
35 
 
0,233 
 
0,497 
45 0,210 0,501 
55 0,194 0,545 
65 0,178 0,705 
75 0,172 0,659 
85 0,168 0,566 
95 0,165 0,546 
115 0,158 0,677 
125 0,156 0,747 
135 0,157 0,602 
 
 No estudo da relação hipsométrica para povoamento desbastado de 
Pinus elliottii, realizado por Glufke (1996) e Glufke, Finger e Schneider (1997), foi 
demonstrado que as curvas apresentaram, com o aumento da idade, diferentes 
níveis, mas mantiveram a inclinação comum entre elas. 
 Os resultados mostraram ainda que, em áreas com desbaste 
extremamente forte e em idades mais avançadas, a curva mudou a inclinação, não 
refletindo mais a realidade fisiológica. Tal fato é explicado pela interferência humana 
na seleção das árvores para desbaste e pelo reduzido número de remanescentes 
nas unidades amostrais. Por outro lado, no tratamento testemunha sem desbaste e 
no tratamento com 25% da área basal desbastada, foi mantida a mesma inclinação 
para as curvas de relação hipsométrica em todas as idades (Figura 38). 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 68 
 
 
FIGURA 38 - Variação da relação hipsomética de Pinus elliottii com a idade e 
tratamento de desbaste. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 69 
 
5.2 Determinação das curvas de altura e diâmetro 
 
A determinação de uma relação hipsométrica é importante, pois permite 
descrever, com um modelo matemático, a associação entre as variáveis diâmetro e 
altura, possibilitando estimar as alturas não medidas na floresta, bem como 
determinar alturas para diâmetros médios obtidos por cálculo. 
 Essa possibilidade também tem um grande significado econômico, pois 
permite reduzir o número de alturas medidas durante o inventário florestal, sem 
prejuízo de precisão, mas reduzindo sensivelmente o custo da atividade. 
 O modelo matemático que descreve a relação h/d é, em geral, do tipo 
parabólico. Entretanto, para determinar o modelo matemático que descreve a 
relação hipsométrica, deve-se testar vários modelos e selecionar aquele de melhor 
aplicação, segundo os critérios de seleção de modelos usados em análise de 
regressão. 
 A Tabela 15 apresenta alguns modelos matemáticos que podem ser 
usados para descrever a relação altura/diâmetro de árvores. 
 Segundo Schneider (1986), são suficientes na determinação de uma 
relação hipsométrica, em média, 30 a 40 alturas distribuídas em toda a amplitude 
diamétrica. 
 Na relação de altura e diâmetro, evidencia-se a variação biológica, ou 
seja, para um diâmetro “X” qualquer se encontra, no povoamento, árvores com 
alturas Y1, Y2, Y3. 
Dessa forma, quanto maior a heterogeneidade do povoamento, maior 
será o erro da equação. Independentemente do número de troncos medidos, 
deverão ser tomadas ainda as alturas das árvores dominantes, evitando-se assim a 
extrapolação de alturas para as maiores árvores. 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 70 
TABELA 15 - Modelos de relação hipsométrica 
 
Equação 
 
MODELOS 
 
01 
 
( ) 3,1d/bb
1h 2
10
+
+
= 
02 
d
1bb
30,1h
1
10 +=
−
 
03 2
210 dbdbb30,1h ++=− 
04 2
210 dbdbbh ++= 
05 3
3
2
210 dbdbdbbh +++= 
06 
d
1bbh 10 += 
07 
2210 d
1b
d
1bb30,1
h
1
++=− 
08 
2
210
2
dbdbb30,1
h
d
++=− 
09 ( )
d
1bb30,1hlog 10 +=− 
10 dbb30,1h 10 +=− 
11 dbbhlog 10 += 
12 dbbh 10 += 
13 dlogbbhlog 10 += 
14 ( ) dlogbb30,1hlog 10 +=− 
15 ( ) dlogbdlogbb30,1hlog 2210 ++=− 
16 ( ) �
�
�
�
�
�
+
+=−
d1
dlogbb30,1hlog 10 
 Fonte: Schneider (1986) modificado. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 71 
Assim, com base no conjunto de pares de dados de altura e diâmetro 
medidos na unidade amostral durante o inventário florestal, deve-se pesquisar qual o 
modelomatemático que melhor descreve a relação entre essas variáveis. Para isso 
,devem ser testados quatro ou cinco modelos, tomando-se o cuidado de selecionar 
entre modelos aritméticos, logarítmicos e recíprocos. A decisão entre qual deve ser 
escolhido deve-se basear nos critérios de maior Coeficiente de Determinação ( 2r ); 
menor Erro Padrão em percentagem da média, e distribuição uniforme dos resíduos. 
O modelo matemático, assim selecionado, poderá com segurança fornecer 
boas estimativas das alturas das árvores. 
A Figura 39 exemplifica o desenvolvimento de cinco modelos matemáticos 
para o mesmo conjunto de dados. A simples observação dessa Figura permite 
verificar a importância da seleção de um modelo adequado, bem como a 
necessidade de se fazer estimativas somente para a amplitude dos dados 
observados, evitando extrapolações. 
 
 
FIGURA 39 - Desenvolvimento de cinco modelos de regressão para o mesmo 
conjunto de dados. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 72 
Exemplificando a aplicação do cálculo, considere a determinação dos 
coeficientes de regressão de um modelo linear simples a partir dos dados de 
diâmetro e altura (Tabela 16) levantados em uma unidade amostral e o modelo 
matemático ( ) 3,1d/
1h 2
10
+β+β= .
 
 
TABELA 16 – Pares de dados de diâmetro e altura medidos em uma unidade 
amostral. 
 
d (cm) 
 
h (m) 
8,5 7,0 
24,0 23,8 
28,5 27,1 
. . 
. . 
. 
 
1º Passo: verificar se o modelo é linear ou se necessita ser transformado. 
( ) �+β+β= 3,1d/
1h 2
10
 modelo está na forma não linear, pois os coeficientes 
 não estão na forma aditiva ou subtrativa com potência 1. 
 
Transformando-o para a forma linear, tem-se: 
 
a) ( )210 d/
13,1h β+β=− ; 
b) ( )210 d/
13,1h
β+β
=− ; 
 
c) d/
3,1h
1
10 β+β=
−
 ; 
Biometria Florestal 
 
 
 73 
 
d) d/
3,1h
1
10 β+β=
−
 . 
 
Com o modelo na forma linear é possível escrever que: 
 
d
1Xe
3,1h
1Y =
−
= 
 
e o modelo na fórmula geral como: XY 10 ⋅β+β= 
 
 Para o desenvolvimento do cálculo veja o capítulo 18. 
 
 
5.3 Paralelismo das curvas de regressão 
 
 Como exposto anteriormente, o emprego da relação hipsométrica traz 
grande economia de tempo, de recursos humanos e de material para a realização do 
inventário florestal, pois permite reduzir substancialmente o tempo de medição da 
unidade amostral e o custo de levantamento. 
 Espera-se para uma espécie florestal, que a relação hipsométrica descrita 
por um modelo matemático tenha a mesma inclinação, variando apenas o nível em 
função da idade e sítio. É importante lembrar, entretanto, que a intervenção humana, 
sob a forma de desbaste na floresta, pode alterar a relação natural entre o diâmetro 
e a altura, conforme se observa na Figura 38. 
 De posse dessas informações e de milhares de pares de dados de 
diâmetro e altura distribuídos em centenas de unidades amostrais que cobrem 
diferentes idades da floresta e diversos sítios naturais, pode-se investigar a hipótese 
de que as curvas de relação hipsométrica tenham coeficiente angular comum, isto é, 
que não difiram estatisticamente entre eles. 
 O teste da hipótese do paralelismo entre as “n” curvas de regressão, 
representando cada unidade amostral, é feito por análise de covariância e pode ser 
Biometria Florestal 
 
 
 74 
facilmente programado em computador, usando-se uma planilha eletrônica ou com o 
uso de softwares como o SAS. Para isso, utiliza-se a PROC GLM, declarando a 
unidade amostral como CLASS e fazendo a interação da unidade amostral e a 
variável independente na declaração MODEL. Para maiores informações, veja SAS 
(1986), Freese (1970) ou Kozak (1970). Os dois últimos autores apresentam o 
procedimento de cálculo de forma clara permitindo ao leitor a fácil compreensão dos 
cálculos. 
 Sendo a hipótese verdadeira poder-se-á reduzir, ainda mais, o trabalho 
durante o inventário florestal, passando-se a medir, nas unidades amostrais, todos 
os diâmetros e apenas uma altura. Essa altura será correspondente à árvore de 
diâmetro médio, qualquer que seja a sua expressão: diâmetro médio aritmético (d), 
diâmetro da árvore de área basal média ( gd ) etc. (para maiores informações veja o 
capítulo 11). 
Sendo o coeficiente angular da equação de regressão constante, o par de 
dados d e h, medidos na árvore média, possibilitará o cálculo do nível em que passa 
a curva de relação hipsométrica, conforme o seguinte exemplo. 
 Considerando-se o modelo ( ) ,dap/bb3,1h
1
10 +=
−
 calculado por Finger 
(1991) para Eucaliptus saligna e Eucaliptus grandis e os valores de diâmetro e altura 
da árvore média, medidos em uma unidade amostral, respectivamente 24,0 cm e 
28,0 m e, sendo o valor do coeficiente angular igual a 1,04909, tem-se: 
 ( ) 0,24
04909,1b
30,10,28
1
0 +=
−
 
 
 =0b 0,19353-0,04371 
 
�= 14982,0b0 coeficiente de intersecção para a referida unidade 
amostral 
 
Para gerar as demais alturas, tem-se, então, o modelo completo: 
Biometria Florestal 
 
 
 75 
 
 ( ) dap
04909,114982,0
30,10,28
1
+=
−
 
 
que, por transformação para a forma de estimação da altura em metros, será: 
 
 3,1
dap
04909,114982,0
1h 2 +
��
�
�
��
�
�
+
= . 
Biometria Florestal 
 
 
 76 
 
 
6 ÁREA BASAL 
 
A área da secção de um plano, cortando um tronco de uma árvore à altura do 
dap é definida como área de secção transversal ou área basal individual, simbolizada por 
“g”. 
 O somatório das áreas basais de todas as árvores da unidade de área (hectare) 
é definido como “área basal por unidade de área” e simbolizado por “G”. 
 A área basal (G) é uma variável importante, pois é uma medida de densidade 
da floresta e é diretamente relacionada com o volume por hectare. 
 A relação da área basal/ha com a idade é de grande importância, pois pode 
servir para a determinação do ponto de estagnação da floresta. 
 A área basal serve também para indicar, matematicamente, o ponto de máximo 
crescimento da espécie em função das condições de solo, espaçamento etc. 
 Com seu conhecimento, podem ser realizadas avaliações econômicas e 
potenciais da floresta. A associação da área basal com a altura e a um fator de forma 
permite determinar o volume do povoamento ( fhGV ..= ), ou da própria árvore 
( fhgv ⋅⋅= ). 
 
 
6.1 Determinação da área basal 
 
 A determinação da área basal pode ser feita através dos seguintes métodos: 
 a) Medição direta de todos os diâmetros com cálculo da área basal de cada 
árvore expresso em 2m e somatório das mesmas, expresso em 2m /há; 
 b) Por meio de fotografias aéreas (escalas 1:10.000, 1:8.000 ou menor ), nas 
quais se procura relacionar o diâmetro da copa com o dap, ou a superfície da copa com a 
área basal; 
 c) Por Relascopia: contagem das árvores em relação a uma determinada banda 
ou unidade relascópica, com o uso do relascópio de Bitterlich. 
Biometria Florestal 
 
 
 77 
 
6.1.1 Cálculo da área basal 
 
 A área basal pode ser rapidamente conhecida pelo emprego das seguintes 
fórmulas: 
 
4
d.g
2pi
= ou 
pi
=
.4
cg
2
 
 
Onde: g = área de secção transversal em 2m ; 
 d = diâmetro ao nível do dap em metro; 
 c = circunferência à altura do peito em metro. 
 
 Os valores de “g” podem também ser encontrados em tabelas específicas, 
expressos a partir dos diâmetros em centímetro ou da circunferência. 
 Com o emprego das fórmulas anteriormente apresentadas, está se 
considerando a secção ao nível do dap como circular, entretanto, isso nem sempre aocorre. Em espécies do gênero Pinus e Araucaria, esta aproximação é muito boa, 
podendo a área basal ser expressa pela superfície do círculo. 
 Dependendo da natureza do trabalho e da espécie em questão, é conveniente 
estudar a forma das secções das árvores. 
 Quando a espécie estudada apresentar secção elíptica, pode ser conveniente 
que o diâmetro seja determinado pela média geométrica de dois diâmetros cruzados. O 
uso da média aritmética origina um diâmetro maior que o real e, conseqüentemente, uma 
área basal individual maior que a da secção da elípse, conforme foi abordado no Capítulo 
4. 
 A Figura 40 apresenta a curva de crescimento da área basal em função da 
idade, e a Tabela 17, alguns modelos matemáticos que podem ser usados para estimar a 
área basal por hectare (G) a partir de uma ou mais variáveis independentes. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 78 
 
FIGURA 40 - Curva de crescimento da área basal em função da idade. 
 
TABELA 17 - Modelos para descrever a área basal por hectare 
 
Equação 
 
Modelo 
 
1 
 
h.bbGV 10 += 
2 2
210 h.bbbGV ++= 
3 2
10041003210010 hbt.hbt.bhbbG ++++= 
4 2
210 NbNbbG ++= 
5 ( )g22g10 hlog.bhlog.bbexpG ++= 
 
Onde: h = altura total; 
 100h = altura dominante; 
 t = idade; 
 N = número de árvores/ha; 
 gh = altura da árvore de área basal média. 
Biometria Florestal 
 
 
 79 
 
 
 
7 DETERMINAÇÃO DO VOLUME DAS ÁRVORES 
 
 
7.1 Introdução 
 
A árvore é constituída de quatro partes principais: raiz, tronco, fuste e copa. A 
parte mais importante, em termos de uso geral, é o fuste. O toco e a copa foram 
desprezados por muito tempo. Com a escassez de madeira, estas porções começaram a 
ganhar importância, sendo necessária a sua quantificação para uso como combustível e 
para estimar o volume de material deixado na colheita, estimando, por vezes a quantidade 
de nutrientes que voltam ao solo com a degradação do material. 
 A determinação direta do volume das partes da árvore é feita, em geral, em 
árvores amostras, para obter dados básicos para estudo de funções que descrevam as 
relações entre as várias dimensões da árvore e seu volume. 
 O fuste das árvores apresenta formas bastante variadas em razão do meio 
ambiente, da espécie, idade, manejo e de suas aptidões genéticas. Árvores da periferia, 
isoladas ou largamente espaçadas, sujeitas a maior intensidade de luz e, praticamente, 
livres de competição apresentam a forma natural, espontânea ou também dita específica. 
Essas se caracterizam por possuir copas amplas, de grande comprimento e largura, 
gerando galhos grossos e fuste bastante afilado. 
 Árvores do interior do povoamento, cuja sobrevivência se dá através da 
competição por água, luz e nutrientes, tendem à forma sem ramificações laterais, 
adquirindo formação reta com pequena copa. Essa forma é conhecida como forma 
florestal típica. 
 Em plantas da divisão “Angiospermae” ocorre, com freqüência, que a gema 
apical perde a atividade de alongamento enquanto as gemas secundárias passam a se 
desenvolver com maior intensidade, originando galhos laterais de dimensão apreciável, 
dando origem a tronco comercial curto, terminando abruptamente. 
Biometria Florestal 
 
 
 80 
 Em coníferas, nas quais a gema apical se desenvolve continuamente, 
prolongando-se entre a copa, encontra-se, com freqüência, uma parte superior do tronco 
mais delgada, diferenciada das ramificações laterais pelo maior diâmetro. 
 Analisando-se uma árvore de forma típica, encontra-se uma grande amplitude 
de variação de formas desde as perfeitamente semelhantes a uma forma geométrica 
definida, até aquelas de difícil definição. Como exemplo, podem ser citadas as espécies 
do cerrado que são tortuosas e de difícil comparação com uma forma geométrica. A 
determinação do volume dessas árvores só pode ser feita por imersão das toras em água 
ou por seccionamento dos troncos em pequenas partes, o que torna a operação morosa e 
onerosa. 
 
7.2 Estudo matemático das formas 
 
 Os modelos dendrométricos objetivam analisar a cubagem das árvores através 
de recursos matemáticos, comparando os sólidos geométricos de revolução às formas 
naturais das árvores, a fim de determinar o seu volume. Esses sólidos são chamados de 
“protótipos dendrométricos” ou sólidos padrões comparáveis com a forma do tronco ou 
partes deste. Os protótipos são obtidos pela rotação da curva geral r2 wpy ⋅= ao redor do 
eixo “X”. 
 Para fins de estudo, considera-se na Biometria Florestal: 
 
rwpg ⋅=w e 4/.2 piww dg = 
 
Onde: wd = diâmetro do tronco a uma distância w da extremidade da copa; 
wg = área basal do tronco a igual distância; 
p = parâmetro que descreve o tamanho do corpo de rotação. 
 
 A forma do sólido de revolução de acordo com o valor assumido por “r” varia 
conforme exemplificado na Figura 41. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 81 
 
FIGURA 41 - Sólidos de revolução de acordo com a variação do parâmetro r 
(STERBA, 1986). 
 
Para os valores do expoente de forma “r” apresentados na Tabela 18, são gerados 
diferentes sólidos de revolução. 
 
 TABELA 18 - Variação da forma geométrica com a variação de r 
 
r 
 
 Designação 
0 Cilindro 
1 Parábola quadrática 
2 Cone 
3 Neilóide 
 
 
7.3 Volume dos sólidos de revolução 
 
 O estudo matemático do volume das árvores, considerando-se suas secções 
circulares, embora estas não sejam círculos perfeitos, parte do pressuposto que as figuras 
Biometria Florestal 
 
 
 82 
geométricas relacionadas originam os sólidos de revolução correspondentes ao sofrerem 
uma rotação em torno do seu eixo principal. 
 Cubar uma árvore ou parte dela é, portanto, tomar o volume total ou parcial dos 
sólidos de revolução que mais se lhes assemelham. 
 O volume do sólido de revolução é obtido pela integração da área basal sobre o 
comprimento total do tronco. 
 Sendo: 
 
hr
w
r
h
ww
h
w
p
r
wdwpdgv
0
1
00 1
.. �
+
=�=�=
+
=
 
 
 
h
0
1rwp
1r
1
v �⋅⋅
+
=
+
 
 
 
 Substituindo-se w por h, tem-se: 
 
 hhp
1r
1
v r ⋅⋅⋅
+
= 
 
e sendo rhp ⋅ igual a área basal na base do sólido ( ug ), obtém-se: 
 
 �⋅⋅
+
= hg
1r
1
v u fórmula da área terminal. 
 
 Caso se escolha a área na metade da altura em vez da área da secção 
terminal, então a fórmula passa a ser escrita por: 
 
 
r
u hpg ⋅= 
 
sendo: rwp ⋅ e fazendo 2/hw = tem-se; 
Biometria Florestal 
 
 
 83 
 
( ) ( ) ( )rurrr ghphp 2/12/1.2/ ⋅=⋅=⋅=∂ , logo se: 
 
( )rug 2/1⋅=∂ , então rug 2⋅∂= 
 
Substituindo-se na fórmula do volume de área terminal hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= , 
tem-se: 
 
 �⋅∂⋅⋅
+
=
r2h
1r
1
v Fórmula para a metade da altura. 
 
 
7.4 Fator de forma (f) e altura formal (fh) do sólido de revolução 
 
 O fator de forma (f) é definido como um fator que reduz o volume do cilindro 
formado pela área basal e altura para o verdadeiro volume do sólido de revolução. 
 A derivação do fator forma para o sólido de revolução permite conhecer a 
magnitude e a variação desta variável. 
 Considerando-se as fórmulas de volume para área terminal ( )( ) hg1r/1v u ⋅⋅+= 
e a do volume do cilindro ughv ⋅= tem-se para o fator forma: 
 
 
( )
hg
hg1r/1f
u
u
u
⋅
⋅⋅+
= , 
 
 ( )1r/1fu += . 
 
 São gerados diferentes uf de acordo com o valor de r que descreve o sólido, 
conforme apresentado na Tabela 19. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 84TABELA 19 - Variação dos fatores de forma ( uf ) com a variação do parâmetro r 
(Sterba , 1986) 
 
Parâmetro r 
 
0 
 
0,5 
 
1,0 
 
1,5 
 
2,0 
 
2,5 
 
3,0 
Fator forma na 
porção terminal 
 
1 
 
0,66 
 
0,5 
 
0,4 
 
0,33 
 
0,29 
 
0,25 
 
 Os resultados da Tabela 19 mostram que o fator forma da área terminal é, no 
máximo, igual a 1. O valor uf médio é de 0,49, e o desvio padrão ± 0,26, alcançando, 
então, o coeficiente de variação de ± 54%. 
 Em relação ao volume calculado como referência para a metade da altura do 
sólido, tem-se: 
 
r2h
1r
1
v ⋅⋅∂⋅
+
= , 
 
e o volume do cilindro que passa nesta posição é expresso por: 
 hvcil ⋅∂= . 
Sendo, então, o fator de forma na metade da altura expresso por: 
 ( ) 1r
2f
r
2/1
+
= 
 
 O fator de forma 2/1f também depende do valor assumido pelo parâmetro r, 
como demonstrado na Tabela 20. 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 85 
TABELA 20 - Variação dos fatores de forma ( 2/1f ) com a variação do parâmetro “r” 
(STERBA, 1986) 
 
 Os resultados evidenciam que o fator de forma baseado na metade da altura é, 
em geral, maior que 1,0. 
 O valor médio de 2/1f calculado foi de 1,29 com desvio padrão de ± 0,39 e 
coeficiente de variação igual a 31%. 
 Assim, pode-se concluir que o fator de forma na metade da altura não depende 
tanto da forma do sólido de revolução quanto o fator de forma na extremidade deste ( uf ). 
 
7.4.1 Altura formal 
 
A altura formal (fh) corresponde à altura de um cilindro que passa pelo 
diâmetro da árvore e que tenha volume igual ao volume do sólido de revolução. 
Na Figura 42, está representado o volume do cilindro e a altura formal, 
ambos com base no diâmetro de referência tomado na base do sólido de revolução. 
 
 
FIGURA 42- Representação esquemática da altura formal. 
 
 
Parâmetro 
 
0 
 
0,5 
 
1,0 
 
1,5 
 
2,0 
 
2,5 
 
3,0 
Fator forma 
na metade da altura 
 
1,0 
 
0,94 
 
1,0 
 
1,13 
 
1,33 
 
1,62 
 
2,0 
Biometria Florestal 
 
 
 86 
Pressler definiu uma altura onde o diâmetro é a metade do diâmetro de 
referência. 
 Neste ponto, a área da secção representa um quarto da área secção ao nível 
do dap. A altura, assim definida, é fácil de ser encontrada e pode servir como estimador 
da altura formal como demonstrado a seguir (Figura 43). 
 
 
FIGURA 43 - Representação esquemática da altura de Pressler. 
 
 Onde: w = distância do ápice ao ponto de cobertura; 
 h = altura total; 
 d = diâmetro; 
 R = altura de Pressler. 
 
Assim, sendo rw wpg ⋅= e rhpgu ⋅= , a área da secção no ponto de cobertura 
de valor igual a um quarto da área na base (gu), tem-se que: 
 4/gg uR = e 4/hpwp rr ⋅=⋅ 
 
 logo: 4/hw rr = e, assim, ( )r 4/1hw ⋅= . 
 
 Como w é a distância do ápice do sólido para medidas tomadas a partir da 
base, a fórmula passa a ser escrita como: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 87 
 
 ( )( )r 4/11.hR −= 
 
 Com a introdução de diferentes expoentes de forma fica demonstrado, na 
Tabela 21, que a altura formal e a altura de Pressler apresentam diferenças desprezíveis 
conforme Sterba (1986). 
 
TABELA 21 - Variação da altura formal com diferentes valores de “r”. 
 
Verifica-se que para valores de “r” entre 1 e 3, a altura formal vale 2/3 do 
valor de R ou seja: 
( ) ( ) 3/2R/hfh/R/f uu ≈⋅= 
 
Sendo a altura formal o produto de uf e h tem-se: ( ) R3/2f h ⋅= e, assim, 
o volume pode ser obtido por : ( ) R3/2gv ⋅⋅= 
 
 Essas relações demonstradas para o sólido de revolução podem ser aplicadas 
à árvore, recebendo a denominação de altura formal de Pressler. 
 Para expoentes “r” iguais a 1 e 2, os valores são exatos e, para os demais, 
uma aproximação. Os desvios, nestes casos, variam entre -0,5 e +1,3%. 
 Para o cilindro a definição de Pressler, não tem sentido, pois não existe local 
onde o diâmetro seja a metade da base. 
 As relações apresentadas para os sólidos de revolução podem ser aplicadas 
aos troncos das árvores, observando-se, entretanto, que os troncos não apresentam uma 
forma genérica única, mas várias formas geométricas. 
Parâmetro r 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
uf 1,0 0,66 0,50 0,40 0,33 0,29 0,25 
hR - 0,94 0,75 0,60 0,50 0,43 0,37 
( )h/R/fu (1,5) 0,70 0,67 0,66 0,67 0,67 0,68 
Biometria Florestal 
 
 
 88 
 Conforme Husch et al. (1982), os troncos de coníferas raras vezes são cones, 
parabolóides ou neilóides padrões, eles geralmente assumem formas intermediárias entre 
o cone e o parobolóide. Já a parte comercial do fuste das folhosas são teoricamente 
considerados como semelhantes a troncos de cones neilóides, parabolóides e, 
ocasionalmente, cilíndricos, mas, em geral, tem a forma variando entre o tronco de cone e 
o tronco de um parabolóide. O mais correto, segundo os autores, é considerar o tronco de 
qualquer árvore composto de vários sólidos geométricos (Figura 44). 
 
 
FIGURA 44 - Formas geométricas associadas ao tronco de uma árvore 
(Husch et al., 1982). 
 
 
 Na Tabela 22, são apresentadas fórmulas para o cálculo do volume de sólidos 
geométricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 89 
TABELA 22 - Volume dos principais sólidos de revolução. 
 
Onde: h = altura ou comprimento da secção; 
 ig = área basal na secção “i” (base); 
 1ig + = área basal na secção “i +1” (ponta da secção); 
 mg = área basal na metade da secção; 
 
* fórmula de Smalian; 
 ** fórmula de Huber; 
 *** fórmula de Newton 
 
 
O volume dos sólidos de revolução pode ser obtido pelas fórmulas 
apresentadas na Tabela 22. Caso os sólidos reais compreendidos pelos troncos das 
árvores se ajustassem perfeitamente com os modelos teóricos, bastaria determinar o valor 
de r para cada caso e cubar a árvore como se fosse um sólido de revolução. Como isso 
não ocorre na realidade, costuma-se seccionar a árvore em certo número de partes, a fim 
de estimar o seu volume comercial ou total. 
 
Sólido de revolução 
 
Equação de volume 
Cilindro ( )hgv ⋅= 
Parabolóide ( )hg21v i ⋅⋅= 
Cone ( )hg31v i ⋅⋅= 
Neilóide ( )hg41v i ⋅⋅= 
Tronco de parabolóide ( )
( ) **ghv
*1gg2hv
m
ii
⋅=
++⋅=
 
Tronco cone ( )1gggg3hv i1iii ++⋅+⋅= + 
Tronco de Neilóide 
�
�
��
�
� +⋅++⋅+⋅= ++ 1i
2
1i
3
i
3
i
2
ii ggg1ggg3/hv
 
Neilóide, Cone, ou Tronco de Parábolóide ( ) ***ggg4g6hv 1iimi ++++⋅= 
Biometria Florestal 
 
 
 90 
O exemplo a seguir foi formulado considerando dados de uma árvore, 
portanto, com tronco constituído de vários sólidos geométricos. 
Para maior facilidade de cálculo, foram utilizadas poucas secções, 
resultando valores estimados para diâmetro, às vezes pouco precisos. 
 Considerando-se, por exemplo, uma árvore de altura igual a 21,6 m, e 
diâmetro a altura do peito de 29,0 cm, o diâmetro à metade da altura igual a 21,0 cm, a 
4,0m abaixo igual a 23,0 cm e 4,0 m acima igual a 18,0 cm, tem-se, conforme 
exemplificado na Figura 45, deseja-se conhecer: 
 
 
 
FIGURA 45 - Representação esquemática do tronco da árvore. 
 
a) Qual o sólido de revolução que representa a forma da árvore? 
 
Sendo rw wpg ⋅= linearizando-se o modelo para a solução por 
mínimos quadrados, tem-se: wrpgw lnlnln ⋅+= 
 
 
 
 
 Y b0 b1 X 
 
Obtendo-se os somatórios, tem-se: 
Biometria Florestal 
 
 
 91 
 
 h d g y x y² x² x.y 
 6,8 18,0 0,0254 - 3,6712 1,9169 
 10,8 21,0 
 14,8 23,020,3 29,0 
 � -12,93225 10,00172 42,2883 25,6617 - 31,7916 
 
 0b = - 5,318020; 
 1b = 0,833840; 
 
2r = 0,950992 (coeficiente de determinação). 
 
O modelo passa a ser escrito: 
xgw ln833840,0318020,5ln ⋅+−= ou seja: 833840,0004902,0 xgx ⋅= 
 
sendo r = 0,8333840 � Assume-se que o sólido de revolução tem uma forma 
próxima à de uma parábola quadrática. 
 
b) Qual o fator de forma? 
 
Fórmula da área terminal:
 hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= 
 
 5453,0
1833840,0
1
hg
hg
1r
1
f
u
u
u =
+
�
⋅
⋅⋅
+
= 
 
Fórmula na metade da secção: ( )2/1r g2h1r
1
v ⋅⋅⋅
+
= 
 
Biometria Florestal 
 
 
 92 
( )
( )
( )
( ) 9719,021833840,0
1f
2
1r
1
gh
g2h
1r
1
f
833840,0
21
r
21
21
r
21
�⋅
+
=
�⋅
+
�
⋅
⋅⋅⋅
+
=
 
 
c) Qual é a altura de Pressler? 
 
c.1) Por interpolação: 
 
Determinação do diâmetro de referência: 
2833840,0 4sen2063553,06,21004902,0 uuu dgdomg ⋅==×= pi tem-se: 
 
( ) basedadiâmetrocmdu �=⋅= 446,28/4063553,0 pi (deve-se observar que o 
valor estimado nesta posição foi menor que o medido ao dap. Este resultado decorre 
da dificuldade do modelo descrever a variação da forma da árvore visto ser composta 
por vários sólidos de revolução justapostos). Interpolando tem-se: 
 
 h* d 
21,6 m --- 0,00 
 x --- 14,22 
14,8 m --- 18,00 
 
*medida da base para o ápice 
 
Conforme o esquema da Figura 46, tem-se: 
 
FIGURA 46 - Determinação da altura de Pressler. 
Biometria Florestal 
 
 
 93 
 
( ) ( ) ( )[ ]0,00,1822,140,188,140,218,14 −−×−+ 
 
m23,1620,1480,14h =+= 
 
R = 16,2 m do solo 
 
Ou, tomando-se ao ápice como referência: 
 
 
.2,16
24,1636,56,2136,500,188,6
22,1422,14
00,188,60,00,0
mR
mRápicedomx
xx
dw
=
=−==∆−−−
−−−∆−−−∆
−−−−−−
 
 
c.2) Através do expoente de forma: 
 
( )( )r 411hR −= 
( )833840,0 25,016,21R −= 
mR 5,17= 
 
A diferença entre os dois procedimentos de cálculo é atribuída à variação da 
forma do tronco. 
 
d) Qual o volume do tronco? 
 
d.1) Através do expoente de forma: 
 
hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= 
 
( )( ) 32 m7481,0748123,06,2142844,0
83384,1
1
v ≈=⋅pi⋅⋅= 
Biometria Florestal 
 
 
 94 
 
21
r g2h
1r
1
v ⋅⋅⋅
+
= 
 
( )( ) 3283384,0 7272,0421,026,21
83384,1
1
mv =⋅⋅⋅⋅= pi 
 
 
d.2) Por interpolação da altura de Pressler: 
Sendo R32gv u ⋅⋅= , tem-se: 
( ) ( )( ) 32 6876,023,163/24/28446,0 mv =⋅⋅⋅= pi 
 
Diferença entre os volumes calculados: 
 
%91,916876,0
1007481,0
3
3
→−−−−−−−−
−−−
xm
m
 que corresponde a diferença de 
8,1% 
 
e) Qual o volume comercial considerando diâmetro limite 10,0 cm pelo expoente de 
forma? 
 
1º) É necessário conhecer a distância w a partir do ápice da árvore onde se encontra o 
diâmetro de 10,0 cm, conforme esquematizado na Figura 47. 
 
FIGURA 47 - Determinação da distância do ápice onde se encontra o diâmetro limite. 
 
 
10 cm � 
X m � distância do ápice 
Biometria Florestal 
 
 
 95 
Sendo: 
r
r
wrwr
w p
g
wew
p
g
wpg ==�⋅= 
 
( )
ápicedomwww 76,1
001699,0
002990,0
004902,0
10,04
83384,0
83384,0 2
==
⋅
=
pi
 
distância a ser tomada a partir do ápice , onde se localiza o diâmetro de 10 cm. 
 
Sendo 3u m7481,0v = e, 
 
3
1010 007538,076,100785398,083384,1
1
1
1
mvhg
r
v =�⋅⋅=⋅⋅
+
= << . 
 
O volume comercial será dado pela diferença entre o volume até a base e o 
volume até o 10d . 
3
com m7406,0007538,07481,0v =−= 
 
 
7.5 Determinação do volume rigoroso 
 
A determinação rigorosa do volume é entendida como a cubagem de uma 
árvore. 
 Os troncos das árvores não são perfeitamente regulares e, por isso, 
costuma-se subdividi-los em secções e cubá-los individualmente. 
 Em geral, as medições de diâmetro (média de dois diâmetros cruzados) são 
efetuadas a partir do nível do solo nas posições: 0,10, 0,30, 1,30 m e, a partir daí, de 
2,0 m em 2,0 m ou 1,0 m em 1,0 m para cada secção. Outros níveis poderão ser 
estabelecidos dependendo da precisão desejada e da regularidade do tronco. 
 O volume da tora é obtido pelo somatório dos volumes parciais das secções 
e, quanto menor o comprimento da secção, tanto mais próximo será o volume 
calculado do volume verdadeiro. 
 O seccionamento do tronco pode ser feito por comprimentos absolutos 
(método analítico) ou por comprimentos relativos. 
 O termo seccionamento não significa o corte do tronco em partes, mas 
apenas a marcação ao longo do tronco das posições de medição. 
Biometria Florestal 
 
 
 96 
 
7.5.1 Volume por seccionamento em comprimentos absolutos 
 
 Este procedimento é empregado na determinação do volume através dos 
métodos de Huber, Smalian e Newton. 
 
7.5.1.1 Cubagem por Smalian 
 
 Essa fórmula foi concebida por Septofontaines, em 1791 e posteriormente 
introduzida na Alemanha por Smalian, tendo por isso seu nome a ela associado (Silva 
1977). 
 Nessa fórmula o, volume de cada secção é calculado em função do 
comprimento e das áreas basais nas extremidades das secções, como mostra a Figura 
48. 
 
FIGURA 48 - Seccionamento pelo método de Smalian. 
 
 O volume da árvore é dado por: 
 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv . 
 
 
Onde: 000 lgv ⋅= � volume do toco, 
 
Biometria Florestal 
 
 
 97 
( )
i
1ii
i l2
gg
v ⋅
+
=
+
 � volume das secções intermediárias, 
 nnc lg3
1
v ⋅= � volume do cone. 
 
 Quando ocorrem irregularidades nos troncos, pela existência de galhos e 
nós, o ponto de medição pode ser transferido para o local onde o tronco volta ao 
normal. 
 
7.5.1.2 Cubagem por Huber 
 
 Essa fórmula foi criada por Kaestner,em 1758. Em 1825, tornou-se 
conhecida no meio florestal a partir dos estudos de Huber, passando, então, a ser 
conhecida como Fórmula de Huber. 
 Por esse procedimento, o volume da secção será determinado pelo 
comprimento da secção (l) e pela área basal tomada no meio da secção (gm), conforme 
mostra a Figura 48 para uma secção de tora. 
 
 
FIGURA 48 - Seccionamento do tronco pelo método de Huber. 
 
 O volume total da árvore é dado, por: 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv ,
 
 
onde: 000 lgv ⋅= ; 
 
Biometria Florestal 
 
 
 98 
 
 imii lgv ⋅= ; 
 
 nnc lg3
1
v ⋅= .
 
 
 Caso seja de interesse, pode-se determinar o volume do toco junto com o 
volume da primeira secção, incluindo a sua altura no comprimento desta secção. 
 
7.5.1.3 Cubagem por Newton 
 
 A fórmula de Newton utiliza, no cálculo do volume, as áreas basais das 
extremidades inferior ( ig ), do meio da secção ( mig ) e da extremidade superior ( 1ig + ), 
conforme exemplifica a Figura 49 para uma secção de tora. 
 
 
FIGURA 49 - Seccionamento do tronco pelo método de Newton. 
 
De modo análogo aos anteriores, o volume total é dado por: 
 �
=
++=
n
1i
ci0t vvvv , 
 
onde: 000 lgv ⋅= , 
 
 
( ) i1i1mii lgg4g6/1v ⋅++⋅= ++ 
 
 
 nnC lg3
1
v ⋅= 
 
Biometria Florestal 
 
 
 99 
 Caso seja de interesse, pode-se também determinar o volume do toco junto 
com o volume da primeira secção, incluindo a sua altura no comprimento desta secção. 
 
7.5.1.4 Comparação entre as fórmulas de Smalian, Huber e Newton 
 
 As três fórmulas, segundo Silva (1977), dão resultados corretos embora as 
de Huber e Smalian sejam mais empregadas em razão da rapidez de cálculo. A 
fórmula de Newtoné considerada mais precisa, mas o seu uso envolve mais uma 
determinação de diâmetro e mais cálculo. 
 A cubagem de uma mesma árvore pelos processos mencionados apresenta 
valores numéricos de volume diferentes, porém, segundo Spurr (1952), as diferenças 
não são significativas para volumes calculados pelas fórmulas de Smalian e Huber. 
 O emprego de um ou outro método de cubagem dependerá da precisão que 
se deseja, do tempo disponível e da tradição de uso por parte do pesquisador (Silva, 
1977). 
 Segundo Husch et al. (1982), a fórmula de Newton é exata para todos os 
troncos dos sólidos geométricos (parabolóide, neilóide e cone). As fórmulas de Smalian 
e Huber são exatas somente quando o sólido é um tronco de parabolóide. Esses 
autores exemplificam que se as linhas da secção fossem mais convexas que o tronco 
do parabolóide, a fórmula de Huber superestimará o volume e a de Smalian 
subestimará; porém, se as linhas da superfície do tronco fossem mais côncavas que o 
tronco do parabolóide, como em geral acontece, a fórmula de Smalian superestimará e 
a de Huber subestimará o volume. Eles citam ainda que, caso não se admita grandes 
erros na cubagem, não se deve usar a fórmula de Smalian para comprimentos de 
secções de toras maiores que 1,20 m e que, para secções de comprimentos de 2,40 a 
4,80 m, as fórmulas de Newton e Huber fornecem os melhores resultados. Em geral a 
fórmula de Newton apresenta melhores resultados para qualquer parte da árvore, 
exceto para a parte basal com excessiva deformação. Para esta parte, a fórmula de 
Huber dará melhor resultado. 
 As fórmulas da parábola ou do cone são apropriadas para determinar o 
volume da ponta da árvore, e a do cilindro é normalmente empregada para calcular o 
volume do toco, embora sua forma mais aproximada seja o neilóide. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 100 
7.5.2 Volume por seccionamento em comprimentos relativos 
 
 O seccionamento do tronco em comprimento relativo é empregado na 
cubagem de árvores pelo método de Hohenadl. Neste caso, o tronco é dividido em 
cinco ou dez secções relativas de mesmo comprimento independentemente da altura 
da árvore. 
 O método é usado em trabalhos práticos e científicos quando se deseja 
determinar o fator de forma verdadeiro, os verdadeiros quocientes de forma e no 
estudo de forma dos troncos. O método favorece, ainda, a comparação entre diferentes 
formas de troncos, enquanto os métodos de Huber e Smalian não o permitem. O 
seccionamento proposto por Hohenadl implica no conhecimento prévio da altura total 
da árvore, sendo feito do ápice para a base em cinco ou dez secções de igual 
comprimento. Para se obter os cinco comprimentos iguais, deve-se tomar 1/5 da altura 
total e medir os diâmetros na metade da secção, conforme indica a Figura 50. 
 
 
FIGURA 50 - Seccionamento do tronco pelo método de Hohenadl. 
 
 Na sua expressão original, os pontos indicados ao longo do tronco por 
9,0d ; 7,0d ; 5,0d ; 3,0d e 1,0d são os diâmetros relativos nas posições 90; 70; 50; 30 e 10 % 
da altura total da árvore, tomadas a partir do ápice. 
 Visando facilitar a compreensão do método e seguindo a tendência atual 
constante na bibliografia, o ponto de referência para a tomada dos diâmetros nesta 
obra será considerado como a base da árvore (Figura 51). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 101 
 
 
FIGURA 51- Seccionamento do tronco pelo método de Hohenadl (modificado). 
 
 Assim o volume da árvore é dado por: 
( )2 9,02 7,02 5,02 3,02 1,0 ddddd4/h2,0v ++++⋅pi⋅⋅= ; 
 ( )9,07,05,03,01,0 gggggh2,0v ++++⋅⋅= 
 
ou ainda pode ser calculado em função dos quocientes de forma, os quais são 
expressos pela razão entre os diâmetros de Hohenadl e o diâmetro d0,1: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1////4/2,0 21,03,021,05,021,07,021,09,021,0 ++++⋅⋅⋅⋅= dddddddddhv pi 
 
 Os quocientes de forma natural podem ser expressos como segue: 
 
 
1,0
i,0
i,0 d
d
n =
 . 
 exemplificando, o cociente de forma natural 3,0n será obtido pela relação: 
1,0
3,0
3,0 d
d
n =
. 
 
E a fórmula pode ser escrita como: 
 
 
[ ]14/2,0 2 3,02 5,02 7,02 9,021,0 ++++⋅⋅⋅⋅= nnnndhv pi 
 
onde: v = volume do tronco; 
Biometria Florestal 
 
 
 102 
 h = altura total; 
i,0d = diâmetros relativos de Hohenadl; 
 i,0g = área da secção transversal correspondente a do,i 
 i,0n = quocientes de forma; 
Biometria Florestal 
 
 
 103 
 
 
 
 
8 FATOR FORMA 
 
 
8.1 Introdução 
 
As variações na forma do tronco devem-se à diminuição sucessiva dos 
diâmetros da base ao topo da árvore. Essa redução do diâmetro é conhecida como 
“forma da árvore ou taper”, razão fundamental para a variação do volume da árvore em 
função da espécie, diâmetro à altura do peito, idade, manejo e sítio. 
 Após o diâmetro e altura, o fator forma constitui a terceira variável, em 
ordem de importância, na determinação volumétrica. O crescimento em altura é o 
elemento que mais influencia o fator de forma. Desse modo, sabe-se que duas árvores 
geometricamente idênticas, porém com alturas diferentes, têm diferentes fatores de 
forma artificial. Isso ocorre porque, sendo o fator forma o resultado de uma divisão do 
volume cúbico e o volume do cilindro em que a variável altura, embora aplicada no 
cálculo dos dois volumes, não acarreta uma variação proporcional no volume da árvore 
quando se toma para comparação o cilindro ideal. 
 O fator de forma é definido como um módulo de redução, que deve ser 
multiplicado pelo produto da área basal (g) com a altura (h) para se ter o volume de 
uma árvore em pé (Silva, 1977). 
 
 fhgv ⋅⋅= 
 
 À medida que o fator de forma se aproxima de 1, mais cilíndrica é a 
árvore. Fatores iguais a 1 não são obtidos, porque implicaria na forma de um cilindro e 
a árvore apresenta sempre um afilamento ao longo do tronco. 
 O fator de forma médio é calculado sobre um número de árvores 
representativo da população e serve para aproximações rápidas do volume de árvores. 
Biometria Florestal 
 
 
 104 
 
Segundo o processo de cálculo, os fatores de forma podem ser chamados de artificiais 
ou naturais. 
 
 
8.2 Fator de forma artificial 
 
 Genericamente, este fator pode ser obtido pela razão entre o volume 
rigoroso da árvore (total ou parcial), tomado em relação ao volume de um cilindro, cuja 
altura e diâmetro (medido a 1,30 m da base da árvore) sejam iguais aos da árvore 
considerada. 
 
3,1
3,1 dadiâmetrocomcilindrodoVolume
rigorosoVolumef = . 
 
 
O cálculo direto do fator de forma é determinado em função da cubagem 
rigorosa do tronco ou parte dele, em relação ao volume do cilindro correspondente. 
 A expressão do volume de uma árvore em pé é dada por: 
 
 3,1fhgv ⋅⋅= , 
 3,1fh4
d
v ⋅⋅
⋅pi
= . 
 
 O produto ( ) h4/d2 ⋅⋅pi corresponde ao volume do cilindro de mesmo 
diâmetro e altura que a árvore, portanto: 
 
 3,1cilindro fvv ⋅= . 
 
O fator de forma artificial para duas árvores que apresentam a mesma 
forma geométrica diminui com o aumento da altura. 
 Quando o fator de forma for obtido a partir de um grande número de 
árvores, determina-se o fator médio pela expressão: 
Biometria Florestal 
 
 
 105 
 
 
 ( ) ( )��
�
==
=
cr3,1
n
1i
i
3,1 vvfou
n
f
f , 
 
onde: 3,1f = fator de forma artificial médio; 
 if = fator de forma artificial da árvore i; 
 rv = volume rigoroso; 
 cv = volume do cilindro. 
 
 Sendo a forma das árvores variável, obtém-se maior precisão no cálculo 
do volume, usando o fator de forma por classe de diâmetro ou, ainda, estimando-o para 
a árvore como função do diâmetro e altura pelo uso de um modelo de regressão. Para 
determinar o fator de forma comercialprocede-se de maneira idêntica; utilizando-se, 
noentanto, a razão entre o volume comercial e o volume do cilindro comercial, isto é, o 
volume de um cilindro com diâmetro igual ao dap e altura igual a altura comercial da 
árvore. 
 
 
8.3 Fator de forma natural 
 
 O fator de forma natural é definido como a razão entre o volume rigoroso 
da árvore e o volume de um cilindro com diâmetro e altura igual a da árvore, sendo o 
diâmetro tomado a 1/10 da altura total, isto é h1,0d . 
*
h1,0
1,0 dadiâmetrocomcilindrodoVolume
rigorosoVolumef =
 
 
* h1,0d = diâmetro de Hohenadl tendo como referência a base da árvore. 
 
 Uma árvore com 13,0 m de altura tem o h1,0d e o DAP coincidentes, 
gerando, assim, os fatores de forma natural e artificial iguais. Duas árvores com idêntica 
Biometria Florestal 
 
 
 106 
 
forma geométrica e diferentes alturas, possuem diferentes fatores de forma artificial, 
porém o mesmo fator de forma natural. O fator de forma natural pode também ser 
determinado através dos quocientes de Hohenadl, como segue: 
 
( )2 9,02 7,02 5,02 3,01,0 nnnn12,0f ++++⋅= 
 
onde: 2 i,0n = quociente de forma natural. 
 
h1,0
h3,0
h3,0 d
d
=η ; 
h1,0
h5,0
h5,0 d
d
=η ; 
h1,0
h7,0
h7,0 d
d
=η e 
h1,0
h9,0
h9,0 d
d
=η . 
 
Sendo o volume da árvore dado por: 
 
( ) ( ) 1,02 1,03,12 fhd4/fhd4/v ⋅⋅⋅pi=⋅⋅⋅pi= 
tem-se: 
( )
2
1,0
2
1,0
2
1,0
2
1,0
3,1 d
fd
hd
4
fhd
4f ⋅=
⋅⋅�
�
�
�
�
� pi
⋅⋅⋅
pi
= . 
 
 O quociente entre 2d e 2 1,0d é denominado de quociente de Hohenadl 
sendo representado por: qH = 1,0d/d , podendo-se, então, reescrever as fórmulas como: 
 
2
3,11,0
2
1,03,1 qHffeqH/ff ⋅== . 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 107 
 
 
8.4 Cálculo indireto do fator de forma 
 
 A partir do fator de forma calculado por qualquer um dos processos 
anteriormente citados, pode-se determinar equações matemáticas para estimar o fator 
de forma em função de variáveis de fácil medição. Para isso, após a determinação de 
um número de dados representativos da população, ajusta-se, por regressão, equações 
como, por exemplo, as apresentadas na Tabela 23. 
 
 TABELA 23 - Modelos para fator de forma 
 
MODELO 
2
210 dbdbbf ++= 
d/hbhbbf 210 ++= 
hlogbdlogbbflog 210 ++= 
log f = log b0 + b1 
 
log d +b2
 
log h + b3 log t 
d/lbd/hbd/dbbf 323,010 +++= 
( ) 23hc223,010 d/hbd/hbd/dbbf +++= 
 
 Onde: d = diâmetro a 1,3m; 
 h = altura; 
 l = comprimento da copa; 
 ch = altura da copa; 
 id = diâmetro a uma altura i. 
 
A Tabela 24 apresenta o fator de forma artificial para Eucalyptus grandis, 
em primeira rotação, gerada pelo modelo matemático. 
 
 2322
11
01 dg
hgb
dg
hgb
dg
bbf +++= . 
Biometria Florestal 
 
 
 108 
 
TABELA 24 - Tabela de fator de forma artificial, Eucalyptus grandis, em primeira 
rotação. 
 
cont .... 
Obs: Para ver a continuidade da tabela, consultar Finger (1997). 
 
 
8.5 Cociente de forma 
 
 O cociente de forma é definido como a razão entre dois diâmetros, 
enquanto fator de forma é a razão entre dois volumes. 
A aplicação do cociente de forma é a mesma dada ao fator de forma, ou 
seja, serve de fator de redução para o volume do cilindro. Entretanto, a estimativa do 
volume assim calculado não tem a mesma precisão que a obtida com fator de forma. 
Outra aplicação está no estudo da forma de árvores e em modelos matemáticos como 
variável independente: 
 
 Khgv ⋅⋅= 
 
Biometria Florestal 
 
 
 109 
 
 onde : ddK h5,0= 
 
=h5,0d diâmetro tomado a 50% da altura total da árvore 
 d = dap 
 h = altura 
 k = cociente de forma artificial 
 
 Quando a árvore possuir altura igual a 2,6 m, o d0,5h e d serão 
coincidentes, gerando um valor de k = 1. Alternativamente, Johnson (1910), (apud 
Husch et al., 1982) recomenda que o diâmetro superior seja tomado na metade da 
secção entre o DAP e o topo da árvore. Este novo valor é chamado de cociente de 
forma absoluto (Silva e Paula Neto, 1979). 
 
 3,1a d/'dK = 
 
onde : d’ = diâmetro tomado na metade da secção entre o dap e o topo. 
 
 Os cocientes de forma podem ainda ser empregados em equações de 
volume e de fatores de forma. Segundo Silva (1977), Pollanschütz estabeleceu 
equações para estimar fatores de forma para espécies florestais austríacas e verificou 
que a introdução do cociente de forma ( d/d h3,0 ), juntamente com a altura na forma 
aritmética, apareceriam em todos os modelos testados e que a introdução dos 
cocientes 2h5,0h1,0 ddd ⋅ produziu importante redução da variância total. 
 Outra expressão de cociente de forma é o apresentado por Girard, que o 
desenvolveu em 1933, e que segundo Silva e Paula Neto (1979), pode ser usado como 
variável independente nas equações de volume. 
 O cociente é expresso pela razão entre o diâmetro sem casca no topo da 
primeira tora (16 pés mais uma sobre medida de 1,3 pés, ou seja, a 5,27 m quando a 
tora padrão for 4,87 m e o DAP com casca). Este conceito pode ser aplicado para 
outros comprimentos de tora e serve para a formação de classes de forma. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 110 
 
 h/dK 27,5G = , 
 
Onde: =GK cociente de forma de Girard; 
 =27,5d diâmetro sem casca tomado na extremidade da tora; 
 d = dap com casca. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
111 
 
 
 
9 ESTUDO DA CASCA 
 
 
 
9.1 INTRODUÇÃO 
 
A determinação da espessura da casca e sua variação ao longo do tronco 
são de grande importância, pois, dependendo a espécie florestal, dos objetivos da 
produção e da forma de comercialização da madeira, é necessário conhecer o volume de 
madeira sem casca. Por outro lado, algumas espécies, como a Acacia mearnsii, 
Eucalyptus astringens, Leucaena sp., entre outras, apresentam quantidade de tanino na 
casca que justifica a sua exploração econômica, tornando-se a quantificação deste fator 
de grande interesse comercial. Um exemplo é o trabalho desenvolvido por Schneider 
(1978), intitulado “Modelos de equações e tabelas para avaliar o peso de casca de acácia 
negra, Acacia mearnsii de Wild”. 
 
9.2 Determinação da espessura de casca 
 
 A medição da espessura de casca pode ser feita com a árvore em pé ou 
abatida. Geralmente, essas medições são realizadas nas mesmas posições usadas na 
cubagem rigorosa de Smalian, Huber, Newton e Hohenadl . 
Em decorrência da possibilidade de variação da espessura de casca em uma 
mesma altura de medição (posição de cubagem), decorrente de fatores como clareiras, 
inclinação da árvore; entre outras, deve-se obter na operação a espessura de casca (e), 
em milímetros, pela média de duas ou mais medições opostas no ponto de cubagem. 
 Antes de iniciar os trabalhos de mensuração, é necessário definir o que vai 
ser registrado: se dupla ou simples espessura de casca, e ainda se esta magnitude será 
resultante de duas ou mais medições. 
 A determinação da espessura de casca pode ser obtida por: 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
112 
 
9.2.1 Diferença entre medidas com e sem casca 
 
 Por esse processo, faz-se a medição dos diâmetros com e sem casca em 
cada secção e, posteriormente, por subtração, obtém-se a dupla espessura de casca. 
csdccdE iii −= 
 Onde: Ei = dupla espessura de casca na secção “i”; 
 ccdi = diâmetro com casca na posição “i” ; 
 csdi = diâmetro sem casca na posição “i”. 
 
 
 
FIGURA 52 – Medição do diâmetro com e sem casca. 
 
 
9.2.2 Medição com régua 
 
 Nesse processo, é feitaa retirada da casca com facão, nas posições 
correspondentes aos pontos de medição na cubagem rigorosa. 
 A medição da espessura de casca é feita com régua devendo ser retirada a 
retirada a sobre medida existente no início da escala. 
 Caso a espécie permita retirar a casca por inteiro, tanto da parte externa 
como interna, mantendo-a em um conjunto único (não permanece resíduo da casca viva 
aderida ao lenho), a espessura da casca poderá ser medida diretamente com um 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
113 
paquímetro. Também, neste caso, deve-se obter, no mínimo, mais uma medida, retirando 
outra porção de casca na mesma posição de cubagem, mas em lado oposto do tronco. 
O método, entretanto, não pode ser usado em espécies que não mantêm a 
casca aderida ao tronco quando do corte (seccionamento do tronco). 
 Para maior precisão nas leituras, é comum usar uma outra régua, 
tangencialmente ao tronco, sendo que esta proporcionará uma melhor visualização do 
ponto de medição da espessura de casca. 
 A medição da espessura de casca estará sujeita a menor erro quando obtida 
em secções cortadas, seguido da medição direta da casca. 
 
 
 
 
FIGURA 53 – Medição da espessura de casca com régua. 
 
8.2.3 Medição com o medidor de espessura de casca 
 
 Esse medidor é de uso generalizado e é constituído de uma lâmina de aço 
de forma semicircular oca, onde está gravada a escala milimétrica de medição. 
 Na Figura 54, é apresentado o medidor de espessura de casca, também 
conhecido como medidor de casca sueco. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
114 
 
 
FIGURA 54 - Medidor de espessura de casca. 
 
 As medições são feitas nas posições de cubagem e costuma-se fazer a 
média de duas ou três medidas por posição. 
 Na operação de medição, encosta-se a base do medidor na casca e introduz-
se a lâmina semicircular de forma lenta e gradual até atingir o final da casca, não se 
introduzindo a lâmina ao lenho. 
 Loetsch et al. (1973) citam, com base em experimentos, que se o 
instrumento for introduzido em pequenas pancadas, poderão ocorrer diferenças nos 
resultados de até 15%. 
 
 
9.3 Considerações sobre a medição da espessura de casca 
 
a) As medições devem ser feitas com extremo cuidado, devido à pequena espessura 
da casca; 
b) Algumas espécies apresentam casca macia e fácil de serem perfuradas pelo 
medidor, enquanto outras apresentam casca dura, o que requer mais esforço, 
proporcionando maior possibilidade de introdução da lâmina no lenho e de obter 
sobre estimativas; 
c) Se a medição for feita durante a estação de crescimento, a lâmina poderá penetrar 
mais facilmente no lenho primaveril; 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
115 
d) A existência de espaço livre entre a base do medidor e a casca ou se a régua que 
fica tangente ao tronco estiver mal ajustada à casca, resultará uma tendência de 
superestimar a espessura, enquanto uma maior pressão causará o afundamento da 
casca e conseqüente subestimação da espessura; 
e) A introdução da lâmina no lenho, a não introdução total da lâmina na casca ou a 
retirada de lenho com facão causam erros de magnitude considerável; 
f) Diferenças de milímetros podem acarretar boa percentagem de erros; 
g) Nem todos os métodos de medição são apropriados a todos os tipos de casca. 
Casca como a de Pinus desprende-se em placas, o que torna inviável o uso de 
facão para entalhar, como descrito no método 2. 
 
9.4 Determinação do volume de casca 
 
 O volume de casca pode ser obtido diretamente pela subtração do volume 
com casca e sem casca. 
 
sccc vvcascaVol −= ; 
 
e é expresso em percentagem por: 
 
100
v
vv
casca%
cc
sccc ×
−
= 
 
onde : =ccv volume com casca; 
 =scv volume sem casca. 
 
 O volume de casca aumenta com o diâmetro e com a idade, independente da 
altura da árvore, porém a percentagem de casca diminui à medida que aumenta o 
diâmetro da árvore. Isso ocorre porque o aumento na espessura da casca ou o aumento 
do diâmetro não são proporcionais ao aumento do volume da árvore, acarretando, assim, 
a diminuição da percentagem de casca. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
116 
 
 
9.5 Estimativa da espessura de casca por regressão 
 
 A relação entre espessura de casca, o diâmetro e altura da árvore podem ser 
descritos por um modelo matemático. Entretanto, devido a características dimensionais 
dessas variáveis, a relação apresenta baixo coeficiente de determinação, decorrente da 
baixa inclinação da curva em relação ao eixo da abcissa. 
Hakkila (1967 apud Schneider e Silva, 1979) observou que a relação entre a 
espessura de casca a diferentes níveis de alturas a partir da base da árvore descreve uma 
curva hiperbólica com tendência ao nivelamento, apresentando-se diferente para cada 
espécie. 
 Estudos realizados com diferentes espécies mostraram que a relação entre 
diâmetro com casca e diâmetro sem casca pode permanecer quase constante desde o 
toco até o topo da árvore, como encontrado para Picea abies (nessa espécie ocorre maior 
variação na região da copa, onde o lenho é pouco aproveitado; assim 60 - 70% do tronco 
tem a percentagem de casca constante, igual ao valor obtido ao dap). Outras espécies 
mostram diferentes tipos de casca ao longo do tronco. Também deve ser considerada a 
variação da espessura de casca com o aumento da idade da árvore e com o sítio. 
 Silva (1975), estudando equações de casca para Araucaria, observou que a 
introdução da variável idade e altura melhorou significativamente a precisão das 
estimativas do modelo. 
 Loetsch et al. (1973) citam estudo realizado com Pinus por Östlin, na Suécia, 
no qual foi constatado que o Pinus, no norte do país, tem casca mais fina que no sul. 
Variações na espessura de casca com a idade ou sítio podem justificar a modelagem de 
funções separadas com valores de intercepto distintos. Constataram que, no 
desenvolvimento de equações de regressão para estimar a casca, deve-se estratificar os 
dados quanto a espécies, regiões florestais, formas de crescimento, idade e classe de 
sítio. Em muitas espécies, a espessura de casca não aumenta com o aumento do 
diâmetro; porém, para pequenos diâmetros, o aumento da casca poderá ser curvilinear, 
conforme mostra a Figura 55. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
117 
 Observa-se pela tendência dos dados plotados na Figura 55, que haverá um 
baixo coeficiente de determinação para relação espessura de casca em função do 
diâmetro, gerado pela pequena inclinação da linha de regressão em relação a abcissa. 
Baixos coeficientes de determinação foram também encontrados por Schneider e Silva 
(1979) na seleção de modelos para espessura de casca de Acácia Negra (Tabela 25). 
 
 
FIGURA 55 - Relação da espessura de casca para Tectona grandis na Tailândia (Loetsch 
et al. 1973). 
 
 
TABELA 25 - Equações de dupla espessura de casca, referenciadas ao dap, para acácia 
negra 
 
EQUAÇÃO 
 
R² 
 
00617,057930,0dE += d 
 
0,0970 
dlog85375,035318,11ELog +=+ 0,3623 
dt20143,0t71564,1d78396,178896,4E −++= 0,3540 
dlog85489,035192,0Elog += 0,3626 
thlog3499,0dhlog1068,2dlog4066,32859,1Elog +−+= 0,5000 
 Sendo: d = diâmetro à altura do peito; t = idade; h = altura. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
118 
 
 9.6 Cálculo do fator de casca 
 
 O método de determinação do fator de casca é, segundo Husch et al. (1982), 
fácil de aplicar e fornece resultados suficientemente acurados para muitos propósitos . 
 O diâmetro sem casca ( scd ) pode ser calculado a partir do diâmetro com 
casca ( ccd ) com a expressão : 
 
 b2dd ccsc ⋅−= , 
 
onde; scd = diâmetro sem casca; 
 ccd = diâmetro com casca; 
 b = espessura de casca (simples).Com valores de scd e ccd , pode-se calcular o fator de casca (K) médio para 
uma série de dados pelas expressões a seguir: 
 
 
( )
�
� ⋅
= 2
cc
sccc
d
ddK , portanto 
�
�
=
cc
sc
d
dK 
 
 
 A relação será considerada constante ao longo do tronco, isto é, a medida 
que “ ccd ” diminui o “ scd ” também diminui, e conseqüentemente, a espessura de casca “b” 
também. 
 Sendo determinado o fator de casca (K), pode-se obter scd a partir de 
ccd pela equação: 
 
 Kdd ccsc ⋅= . 
 
a espessura de casca b, correspondente ao valor médio K, pode ser obtida por: 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
119 
 
 ( )sccc dd21b −= ; 
 ( )cccc dKd21b ⋅−= ; 
 ( )K1d21b cc −= 
 
 O mesmo valor médio de K pode ser usado para obter o volume cúbico de 
casca ( bv ) e volume cúbico de madeira sem casca ( )ccv a partir do volume cúbico com 
casca ( )ccv . 
 Considerando-se o diâmetro com casca ( ccd ) e sem casca ( scd ) e L como o 
comprimento do tronco, tem-se : 
 
 L
d
v cccc ⋅= 4
2pi
 e Ldv scsc ⋅= 4
2pi
 
 
 
 como Kdd ccsc ⋅= , tem-se: 
 
( ) L
4
Kd
v
2
cc
sc ⋅
⋅⋅pi
=
 
 
 
cc
2
sc vKv ⋅= e o volume de casca vb será: 
 
 scccb vvv −= 
 cc
2
ccb vKvv ⋅−= 
 ( )*K1vv 2ccb −⋅= e, em percentagem, tem-se: 
 
 ( ) ( ) 100K1%v 2b ⋅−= 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
120 
 Chamberlain e Meyer apud Husch et al. (1982), verificaram uma diferença na 
estimativa do volume de casca entre madeira empilhada com casca e sem casca em 
relação ao valor expresso pela equação ( )2ccb K1vv −⋅= . Essa diferença deve-se à 
grande rugosidade e as fissuras encontradas na casca que, adicionado ao peso da 
madeira sobre a casca, ocasionou a diferença. Assim, por propósitos práticos, esta 
equação é reescrita da forma: 
 
 ( )2ccb K1v8,0v −⋅⋅= . 
 
O fator 0,8 não deve ser usado indiscriminadamente para outras espécies, sendo 
necessário estudar a necessidade e o valor do fator de correção a ser aplicado. 
 
 
9.7 Considerações sobre fator de casca 
 
 Quando os valores de “ scd ” são plotados como função de ccd , a relação 
poderá ser linear ou aproximadamente linear com intercepto zero ou próximo a zero, 
assumindo, a equação de regressão, a forma dKdsc ⋅= , onde ( )1bK = . 
 Segundo Husch et al. (1982) a magnitude do fator varia com a espécie, idade 
e sítio, sendo que a maior variação ocorre em relação à espécie. 
 Na apresentação do fator de casca (K), este foi considerado constante para 
todas as alturas; embora, para muitas espécies, esses fatores de casca não são 
freqüentemente os mesmos na base e na parte superior da árvore, devendo-se, nesse 
caso, usar regressão múltipla para descrever o fator. Na Tabela 26, são apresentados, 
como exemplo, os fatores de casca e erro (%), considerando-se o fator de casca médio 
para diferentes espécies e regiões. 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
121 
 
TABELA 26 - Fatores de casca (K) e erro (%) para diferentes espécies e regiões 
(Schneider e Silva,1979) 
 
Local 
 
Espécie 
 
K 
 
Erro 
 
Triunfo, RS 
 
Acacia mearnsii 
 
0,9217 
 
0,036% 
Java Ocidental Acacia decurrens 0,9159 1,30% 
Java Oriental Acacia decurrens 0,9293 1,6% 
P. Fundo, RS Araucária angustifolia 0,9293 3,2% 
 
 Considerando-se, por exemplo, os dados apresentados por Husch et al. 
(1982), transcritos na Tabela 27, o cálculo do fator de casca K pode ser facilmente 
determinado através do seguinte procedimento: 
 
TABELA 27 – Dados de diâmetro com casca e dupla espessura de casca. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
122 
 
 
 
 
 
 
( )� =⋅ 2,179.7dd sccc 
� = 93,628.7d2cc 
 
 9411,0K = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ccd 2b 
 
30,8 
 
2,2 
14,7 1,1 
24,8 1,2 
20,0 0,8 
21,7 1,1 
7,9 0,4 
15,8 1,1 
12,7 1,3 
18,6 1,0 
17,0 1,0 
26,1 0,8 
28,1 1,7 
10,6 0,6 
6,1 0,4 
29,4 1,6 
15,1 0,8 
21,5 2,3 
22,0 1,2 
11,4 0,7 
9,0 0,3 
Biometria Florestal 
 
 
 123 
 
 
 
 
10 TABELAS DE VOLUME 
 
 
10.1 Introdução 
 
 Os estudos econômicos e de ordenamento florestal tem por base o inventário 
do potencial florestal existente através de técnicas de amostragem e de biometria. 
 A cubagem de árvores possibilita obter o volume sólido dos troncos, que, 
associados às variáveis dendrométricas (d, h, etc), permitem gerar modelos para 
descrever esses volumes, que poderão ser apresentados em forma de tabela. 
 A tabela de volume pode ser definida como uma relação gráfica ou numérica 
expressa por equações logarítmicas ou aritméticas capaz de exprimir o volume total ou 
parcial de uma árvore em função de variáveis independentes como: diâmetro, altura, 
espessura de casca, fator de forma, cociente de forma, etc. ou, ainda, como a 
representação tabular do volume individual de árvores inteiras ou em partes delas através 
de variáveis de fácil medição. Em geral, as tabelas apresentam os volumes em metros 
cúbicos, podendo esses volumes incluirem ou não a casca da árvore. 
 Os volumes estimados não são exatos, pois as variáveis independentes são 
obtidas em uma série de indivíduos medidos no povoamento, que estão sujeitos às 
variações naturais. 
 Assim, deve-se admitir que as relações volumétricas possibilitam a estimativa 
de volumes médios em torno dos quais devem se distribuir os volumes verdadeiros. Por 
sua construção, as tabelas de volume estão intimamente ligadas aos povoamentos, 
devendo ocorrer uma compensação dos erros ao se tomar os volumes médios pelos 
verdadeiros, principalmente, quando cresce o número de observações. 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 124 
 
 
10.2 Classificação das tabelas de volume 
 
 A classificação das tabelas de volume permite agrupar, segundo o tipo de 
tabela, sua construção e modelos matemáticos usados na confecção. 
 As tabelas de volume podem ser classificadas quanto: o número de variáveis 
independentes, ao aproveitamento e ao tipo de modelo que as originaram. 
 
10.2.1 Quanto ao aproveitamento 
 
 De acordo com a parte considerada, podem ser construídas: 
a) Tabela de volume total: refere-se ao volume total da árvore e pode ser apresentada 
com e sem casca, 
b) Tabelas de volume comercial: refere-se ao volume parcial (comercial) do tronco e 
podendo ser apresentada com e sem casca. 
 
 
10.2.2 Quanto ao tipo de modelo 
 
 De acordo com o modelo matemático, selecionado para descrever o volume 
das árvores, podem ser consideradas: 
a) Tabelas de volume aritméticas: como todas as originadas por modelos aritméticos, 
essas podem ser ainda subdivididas em formais e não-formais, respectivamente,para 
modelos que incluam ou não o fator de forma, cociente de forma e outros no modelo de 
regressão; 
b) Tabelas de volumes logarítmicas: como as geradas por modelos logarítmicos, 
podendo também ser subdivididas em formais e não-formais. 
 
10.2.3 Quanto ao número de variáveis independentes 
 
 Com referência ao número de variáveis que compõem o modelo de 
regressão ou também quanto às áreas de abrangência da tabela podem ser definidas: 
Biometria Florestal 
 
 
 125 
 
a) Tabela de volume de simples entrada ou tabela de volume local: refere-se à tabela 
gerada com modelo matemático, no qual o volume é função apenas o diâmetro à altura do 
peito (v = f(d)). Essas tabelas são usadas para o local onde foram construídas, ou seja, 
para a espécie e sítio onde as árvores foram amostradas. Neste sentido, a relação 
hipsométrica é consideradaconstante na função do volume e, por isso, será usada em 
área restrita. 
 
 Na Tabela 28, é apresentada uma relação de modelos matemáticos que 
descrevem o volume como função do diâmetro da árvore. 
 
TABELA 28 - Modelos para determinação de tabelas de volume local (Loetsch et al., 1973) 
 
MODELO 
 
AUTOR 
 
2
20 dbbv += 
 
Kopezky-Gehrhardt 
2
21 dbbv += Dissescu-Meyer 
2
210 dbdbbv ++= Hohenadl-Krenn 
10 bbv ⋅= Husch,1952 
( ) 2b1b0 d1dbv ⋅⋅= Brenac 
 
 
b) Tabela de volume de dupla entrada, padrão ou regional: é a tabela de volume 
gerada com funções que possuem como variáveis independentes o diâmetro e a altura (v 
= f(d;h)) conforme exemplificado na Tabela 29. Essa tabela é de uso mais amplo, servindo 
para uma região homogênea, pois considera a relação hipsométrica variável (dentro dos 
limites amostrados). 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 126 
 
TABELA 29 - Modelos para determinação de tabelas de volume regional. 
 
MODELO 
 
AUTOR 
 
hdbv 21= 
 
S.h. Spurr (1952) 
hdbbv 210 += S.h. Spurr (1952) 
( )hbbdv 102 += Ogaya 
hbhdhdbbv 322210 +++= Stoate (australiana) 
2
4
2
3
2
2
2
1 hbdhbhdbdbv +++= Näslund 
hdbdhbdbdbbv 2432210 ++++= Meyer 
hbhdbdhbdbdbbv 52432210 +++++= Meyer (modificada) 
( )dbb/hdv 102 += Takata 
( ) 1b20 hdbv = Spurr (variável 
combinada logarítmica) 
 
21 bb
0 hdbv ⋅⋅= 
 
Schumacher-hall 
 
hlogbhlogbdlogbdlogbbvlog 2432210 ++++=
 
Inst. Pesq. Florest. 
Baden-Würt Alemanha 
 
 Outro grupo de funções matemáticas, como o da Tabela 30, apresenta três 
ou mais variáveis independentes. A inclusão dessas variáveis no modelo de regressão 
busca reduzir a variação não explicada pelo modelo e é justificada no ajuste de dados que 
apresentem grande variação. 
 Nessa relação de variáveis, foram então, incluídas a altura do ponto de 
inserção da copa ( ch ), a dupla espessura de casca (B) e o cociente de forma ( iK ), entre 
outras, como o cociente de forma de Girard, o qual serve de variável de seleção da tabela 
a ser usada. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 127 
 
c) Tabela de volume de tripla entrada ou múltiplas: são as tabelas de volume 
geradas por funções que, além do d e h, incluem uma terceira variável, que deve 
ser de fácil obtenção e uso prático e servirá para estratificar o volume segundo 
fonte de variação. As tabelas assim originadas são pouco difundidas, sendo um 
exemplo as tabelas para toras por classe de forma de Girard. Essa classe é 
expressa pela razão entre o diâmetro no topo da tora tomado sem casca e o 
diâmetro a 1,30 m com casca. O comprimento considerado para a tora é de 5,27 m. 
A vantagem do uso dessas tabelas é seu amplo uso, pois a classificação das 
árvores/toras quanto a classe de forma (grau de conicidade) permite o emprego de 
uma mesma tabela para diferentes espécies florestais, tanto folhosas como 
coníferas. 
 
TABELA 30 - Modelos para descrever volumes em função de três ou mais variáveis 
independentes: 
 
MODELO 
 
AUTOR 
 
hcdbhbdhbhdbdbv 2524232221 ++++= 
 
Näslund 
dhBbhchbdhbhdbdbv 524232221 ++++= Näslund 
dhBbhbdhbhdbdbv 524232221 ++++= Näslund 
hi10
2
10 ddbbhKdbbv +=+= Spurr 
hKdbhdbKbbv 232210 +++= Spurr 
( )Kh/1bKbbhdv 2102 ⋅++= Schiffel 
hh5,010 ddbbv ⋅+= Ogaya 
( )22h3,0120 hbdbhdb4/v ++⋅pi= Pollanschutz 
7
2
107
2
9
2
78
2
77
2
2
2
5473210
ddhbddbhdbdb
hbdbdhbdbhbdbbv
+++
+++++++=
 
(Schmid) 
321 b
i
bb
0 dhdbv ⋅⋅⋅= Spurr 
Biometria Florestal 
 
 
 128 
 
( ) 1bi0 dhdbv ⋅⋅= Classe de forma 
logarítmica de Spurr. 
 
Onde: v = volume sólido; 
 d = diâmetro à altura do peito; 
 id = diâmetro na altura i; 
 h5,0h3,0 d;d = diâmetros relativos; 
 h = altura total; 
 Ch = altura do ponto de inserção da copa; 
 B = dupla espessura da casca; 
 K = cociente de forma artificial. 
 
10.3 Construção da tabela de volume 
 
 Inicialmente, as tabelas de volume foram construídas pelo método gráfico. A 
partir de 1940, com o desenvolvimento do método analítico, o método gráfico entrou 
gradativamente em desuso. 
 O método analítico apresenta, além da maior precisão e facilidade de cálculo, 
a vantagem de não ser subjetivo, permitindo a todos obter o mesmo resultado, visto que 
se utiliza da análise de regressão para ajuste dos modelos matemáticos. 
 O número de árvores-amostra a serem cubadas é uma função da 
variabilidade do povoamento e da precisão desejada para as estimativas do volume. 
 Para a tabela de volume local, 50-100 árvores podem ser suficientes; 
entretanto, para tabelas de volume a serem usadas em extensas regiões, várias centenas 
de árvores são necessárias a fim de cobrir todos os sítios e classes de diâmetro e idades. 
 É importante que sejam desenvolvidas equações de volume específicas para 
cada tipo ecológico, topografia, solo, etc. e, após, que seja verificada a possibilidade ou 
não de agrupá-los em uma única equação. 
 A estratificação dos dados amostrados por sítios, ou espécies, por exemplo, 
poderá trazer expressiva redução da variabilidade dos dados aumentando a precisão das 
equações. 
Biometria Florestal 
 
 
 129 
 
 Ao se obter equações para cada grupo surge naturalmente a pergunta se 
essas não podem ser agrupadas em uma única equação que descreva todos os grupos 
simultaneamente. Para isso, basta testar as hipóteses de paralelismo (se os coeficientes 
angulares são comuns) e de coincidência das curvas (interceptos comuns). O teste para 
tal é a análise de covariância. Para maiores detalhes veja Freese (1970) ou Kozak (1970). 
Nos dois trabalhos, o teste de paralelismo e coincidência de curvas de regressão são de 
fácil compreensão. 
 Nos casos em que a variação na forma da árvore, entre diferentes regiões 
amostradas, seja tal, que acarrete erro de magnitude da função de volume, poderá ser 
interessante a estratificação dos dados e a construção de tabelas distintas para as 
diferentes regiões. 
Na construção de tabelas de volume, devem ser obedecidos os seguintes 
critérios, a fim de se obter estimativas fidedignas: 
a) Selecionar um número de árvores-amostra buscando cobrir toda a variação 
de idade, espaçamento e sítio para a mesma espécie florestal; 
b) Cubar e medir as variáveis independentes para estimar a equação de volume; 
c) Testar e comparar diferentes equações a fim de selecionar a que melhor 
representa os dados. 
 Assim, a determinação do número de árvores a serem cubadas em cada 
classe de dap pode ser obtida pela seguinte expressão: 
 
 
222 EStclasse/n ⋅= 
 
Onde: E = erro admitido (
_
X%LEE ⋅= ); 
 
2S = variância; 
 t = valor de “ t ” tabelado; 
 LE = limite do erro admitido; 
 
_
X = volume médio. 
Biometria Florestal 
 
 
 130 
 
 A determinação dos elementos da fórmula é feita a partir de uma 
amostragem piloto, na qual é medido um número arbitrado de árvores por classe de 
diâmetro. 
 A fórmula pode também ser utilizada considerando-se o conjunto de dados 
amostrados; isto é, sem a distribuição em classes de diâmetro, calculando-se o número 
total de árvores a serem cubadas para um erro e probabilidade fixados. 
Esse número de árvores será, então, distribuído eqüitativamente nas classes 
de diâmetro, fazendo com que cada uma receba o mesmo número de árvores, dando 
origem a uma distribuição retangular. Esse procedimento é defendido por Kozak (1970) 
como ideal para estudo de regressão, pois garante igual peso dos dados nas diferentes 
classes da variável X. 
 Após a amostragem de um número suficiente de árvores, do ajuste de vários 
modelos e da seleção do maisadequado, constrói-se a tabela de volume para a amplitude 
dos dados observados. Para isso, coloca-se, em metros, na abcissa da tabela, o valor 
correspondente aos centros de classe de altura e, na ordenada, os centros de classe de 
diâmetro, em centímetros. É comum usar intervalos de classe de 2 cm para diâmetros e 
de 1 m para alturas, podendo, estes valores ser alterados segundo a necessidade. 
 Após serem definidos os valores das classes, calcula-se, com a equação 
selecionada, o volume para cada classe de diâmetro e altura até montar a tabela. 
 Confeccionada a tabela, deve-se definir sua área útil, ou seja, delimitar a 
amplitude dos dados observados na amostragem. Essa delimitação indica a região na 
tabela em que as estimativas são confiáveis e/ou a área onde se tratam de extrapolação. 
 Ao se analisar a Figura 39, que representa o desenvolvimento das curvas de 
regressão de altura e diâmetro obtidas por sete modelos matemáticos para os mesmos 
pares de dados, verificou-se que as estimativas fora da amplitude dos dados observados é 
extremamente perigosa, podendo obter-se estimativas absurdas para a variável 
dependente. 
 A tabela de volume deve trazer a indicação da finalidade a que se destina 
(ex: tabela de volume total com casca); a espécie (ex: Pinus elliottii); o local de origem dos 
dados e o modelo matemático que foi usado. 
 Para a confecção de tabelas de uso local ou múltipla, o processo é 
semelhante, apenas respeitando a característica de cada tipo. 
Biometria Florestal 
 
 
 131 
 
 Nas Tabelas 31 e 32, são apresentadas as tabelas de volume total com 
casca para Eucalyptus saligna, primeira rotação, respectivamente tabela de simples 
entrada e dupla entrada. 
 . 
TABELA 31 - Tabela de volume total com casca para Eucalyptus saligna, primeira Rotação 
- tabela de simples entrada (Schneider et al. 1988, modificada). 
 
dap (cm) 
 
VOLUME (m³ cc) 
 
dap (cm) 
 
VOLUME (m³ cc) 
 
8 
 
0,030 
 
26 
 
0,664 
10 0,042 28 0,815 
12 0,067 30 0,925 
14 0,106 32 1,040 
16 0,160 34 1,233 
18 0,253 36 1,365 
20 0,313 38 1,503 
22 0,413 40 1,647 
24 0,530 42 1,897 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 132 
 
TABELA 32 - Tabela de volume com casca para Eucalyptus saligna, primeira rotação - 
tabela de dupla entrada (Finger,1997) 
 
cont... 
Obs.: Para ver a continuidade da tabela, consultar Finger(1997). 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
133 
 
 
 
11 RELASCOPIA 
 
 
 
11.1 Introdução 
 
Os estudos de relascopia tiveram início com o Engenheiro Florestal austríaco 
Dr. Walter Bitterlich em 1947. Após, outros autores, como Keen e Grosenbauch 
realizaram vários trabalhos a partir desses conceitos iniciais (Husch et al.1982). 
 O Método é conhecido com as denominações de ponto amostral, ângulo de 
contagem cruzada, ponto de amostragem horizontal, prova de numeração angular e 
amostra de contagem angular. 
 A Amostra de Contagem Angular (ACA) baseia-se no postulado de Bitterlich 
e diz o seguinte: “O numero de árvores (N) de um povoamento, cujos dap’s, a partir de 
um ponto fixo, aparecem superior a um dado valor angular alfa constante, é proporcional à 
área basal (G) em 2m por hectare”. 
 
 
11.2 Relascópio de Bitterlich 
 
 Basicamente o relascópio de Bitterlich é apresentado nas versões banda 
estreita, banda larga e o telerelascópio. 
 Aqui, abordar-se-á apenas o relascópio de banda estreita por ser a versão 
básica e mais utilizada no meio florestal. O emprego dos demais segue o mesmo princípio, 
alterando apenas as escalas de medição. 
 O relascópio de espelho de Bitterlich (Figura 56) é um aparelho pequeno, 
com dimensões de 13 x 6,5 cm, pesando cerca de 400 g, versátil e de múltiplas utilidades 
práticas no meio florestal. Basicamente é constituído pelas seguintes partes: 
a) placa metálica para sombreamento; 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
134 
b) objetiva: orifício de pontaria; 
c) ocular: orifício de visada; 
d) janelas de iluminação; 
e) botão para liberar e prender o movimento das escalas. 
 
O aparelho destina-se à determinação da área basal do povoamento, 
em 2m /ha, alturas, diâmetros, distâncias horizontais, declividade etc. 
 As principais medições que podem ser realizadas com o aparelho são 
apresentadas na Tabela 33, a qual ilustra a sua versatilidade de emprego. 
 
 
 
FIGURA 56 - Relascópio de espelho de Bitterlich. 
 
Durante a medição, o operador do instrumento deve segurá-lo com a mão 
direita, procurando não cobrir as janelas de iluminação, e acionar o botão, que prende e 
libera as escalas, com o dedo médio. Nesta posição aproxima-se o olho direito da ocular 
e coloca-se a mão esquerda sobre a direita, a fim de dar firmeza e estabilidade. O olho 
esquerdo deve permanecer aberto durante a medição para controlar a observação e 
medição dos objetos. Efetuando a mira deve observar internamente um campo de visão 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
135 
circular, dividido em duas partes por uma linha horizontal, denominada de linha de 
pontaria, ou linha de mira (Figura 57a). Através do semicírculo superior, observar os 
objetos, enquanto, na parte inferior, aparecem as escalas formadas por um conjunto de 
faixas brancas e pretas, cortadas pela linha horizontal de pontaria. 
 
TABELA 33 - Medições realizadas com relascópio de espelho de Bitterlich. 
 
TIPO DE MEDIÇÃO 
 
DESCRIÇÃO 
 
Medição-B 
 
Determinação da área basal: 
a) Ao nível do dap; 
b) A níveis superiores. 
Medição-a Medição ótica das distâncias: 
a) Com base horizontal; 
b) Com base vertical. 
Medição-h Medição da altura: 
a) Para distâncias fixas 15, 20, 25 e 30m; 
b) Outras distâncias horizontais. 
Medição-b Determinação dos diâmetros a níveis superiores ao 
dap, a partir de distâncias fixas. 
Medição - h/d Medições combinadas das alturas e das larguras 
das bandas de contagem (diâmetro). 
Medição - f h/d Medição da altura formal: 
a) Altura formal absoluta (fh); 
b) Altura formal relativa (fh/d) 
c) Fator forma artificial (f); 
 d) Volume de árvores individuais. 
Medição - H Determinação da altura média do povoamento 
através do método de Hirata. 
Medição-D Determinação da declividade do terreno em 
percentagem. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
136 
 
Comprimido o botão destinado a soltar e fixar as escalas provoca-se o 
movimento oscilatório dessas, que será freado logo que o botão for liberado. 
 Para a leitura, todos os valores devem ser tomados sobre a linha de pontaria. 
Pequenos movimentos do aparelho junto ao olho poderão fornecer a adaptação da visão 
às escalas e à linha de pontaria. 
 Em medições mais exigentes ou operações demoradas, deve-se manter o 
aparelho com firmeza, a fim de evitar oscilações, sendo aconselhável o uso de um tripé ou 
de um bastão cravado ao solo para servir de apoio. 
 As escalas do aparelho podem ser classificadas em: 
a) Escalas hipsométricas: usadas para determinar alturas das árvores às 
distâncias de 15, 20, 25 e 30 m. 
Escalas de distâncias: usadas na determinação das distâncias horizontais de 15, 20, 25 
e 30 m. 
b) Escalas de numeração: contêm as bandas de numeração 1, 2 e 4, que 
permitem as avaliações de diâmetro e área basal. 
 
11.2.1 Escalas do Relascópio de banda estreita 
 
 O perfil e a largura de cada uma das escalas do relascópio são calculados de 
modo que, a cada uma, corresponda um determinado fator de área basal (FAB = K), 
independente do ângulo de pontaria ou declividade do terreno no qual o aparelho é usado. 
 As bandas de contagem (numeração) são automaticamente reduzidas pelo 
cosseno do ângulo de inclinação, ao mesmo tempo em que as distâncias horizontais são 
corrigidaspara a projeção horizontal através da variação na largura das bandas (Figura 
57b). 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
137 
 
FIGURA 57 - Escalas do relascópio de banda estreita. Vista através da ocular (a) e em 
projeção plana (b) (Bitterlich e SILVA, s.d.). 
 
 Por isso o relascópio possibilita o trabalho em qualquer declividade do 
terreno sem necessidade de correção de distância. 
 As escalas de distância gravadas no relascópio permitem determinar as 
distâncias horizontais, isto é, sem necessidade de correção. 
 Os fatores de contagem “K” iguais a 1 e 2 estão gravados sobre a respectiva 
banda branca: banda 1 e banda 2. 
 À direita da banda 1 aparecem, alternadamente, duas faixas pretas e duas 
brancas cuja largura total das faixas corresponde exatamente à largura da banda 1. 
Tomando-se o conjunto formado pela banda 1 mais as quatro bandas estreitas, obtém-se 
a banda 4, cujo fator de contagem K é 4. 
 As escalas de contagem, além da determinação da área basal, são 
empregadas em: 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
138 
a) Medição a: determinação de distâncias com base horizontal ou com 
base vertical; 
b) Medição b: determinação de diâmetros a níveis superiores ao dap com 
distâncias fixas; 
c) Medição h/d: medição combinada das alturas e diâmetros; 
d) Medição fh/d: medição da altura formal. 
 
As escalas de tangentes ou de alturas são usadas para: 
 
a) Medição h: medição de altura; 
b) Medição h/d: medição combinada de altura e diâmetro; 
c) Medição fh/d: medição da altura formal; 
d) Medição H: altura média de Hirata. 
 
 Essas escalas são expressas no sistema métrico e referidas a distâncias 
fixas no aparelho. 
 As leituras sobre as escalas das tangentes podem ser realizadas com 
precisão de meio metro. Para medidas mais exigentes, deve-se efetuar estimativas em 
frações das unidades. Nesses casos, deve-se segurar o aparelho com firmeza e evitar 
oscilações, sendo aconselhável o uso de um tripé ou bastão para apoio do instrumento. 
 
11.3 Desenvolvimento matemático de uma ACA 
 
 Para fins de demonstração, será considerada, inicialmente, a seleção de 
apenas uma árvore na ACA. 
 Considerando-se o esquema apresentado na Figura 58, tem-se: 
 l → largura da banda do relascópio ou mira; 
 L → comprimento da barra de Bitterlich*; 
 D → diâmetro da árvore; 
 R → distância radial do observador à árvore. 
*A barra de Bitterlich possui a mira com largura ( l ) igual a 2 cm e comprimento ( L ) igual a 1 m. No relascópio corresponde à 
distância focal do aparelho. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
139 
 
 
 
FIGURA 58 - Esquema de medição no método da relascopia. 
 
 Sendo verdadeira a relação R/dL/l = e, 4/d.g 2i � = e 2R.S �= , 
respectivamente, a área basal da árvore “i” e a superfície do círculo com raio R em um giro 
de 360°, então a área basal para a ACA (unidade de amostra) será: 
 
 ( )22
2
a.u R/d4/1R..
4/d.S/GG ===
�
�
 
 
 A mesma relação para um hectare é dada por: 
 
 ( )24 R/d4/1.10G = . 
 
 Como só existiu uma árvore na superfície “S”, obtém-se a constante 
instrumental “K”: 
 
( )24 R/d4/1.10K = . 
 
 Realizando-se uma ACA, encontra-se, na realidade, não apenas uma árvore, 
mas várias árvores dentro da superfície “S” (Figura 59). Nesse caso, a área basal será 
dada por: 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
140 
 
 2
i
2
i
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
R.
4/d.
..........
R.
4/d.
R.
4/d.
R.
4/d.
a.u/G
�
�
�
�
�
�
�
�
++++= , 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )2ii233222211 R/d4/1R/d4/1R/d4/1R/d4/1a.u/G +++= . 
 
Sendo o número de árvores contadas igual a N, tem-se: 
 
( ) N.R/d4/1a.u/G 2= . 
 Expressando-se a área basal por hectare, tem-se: 
 
 ( ) N.R/d4/1.10G 24= . 
 
onde : ( ) KR/d4/1.10 24 = → constante instrumental 
 
Portanto, a área basal em m2/ha é dada por: 
 
 N.KG = , 
 
onde: K = fator de numeração ou área basal; 
 N = número de árvores contadas. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
141 
 
 
FIGURA 59 - Seleção de árvores, usando um ângulo constante a partir de um ponto 
central fixo. 
 
11.4 Escolha dos fatores de área basal 
 
 Os fatores de área basal ou de contagem angular estão relacionados com a 
largura das bandas de contagem. 
 Sua fórmula genérica é dada, como foi visto anteriormente, por: 
 
 ( )24 R/d4/1.10K = . 
 
Sendo R/d a relação entre o dap e a distância radial, tem-se, para as 
bandas 1, 2 e 4, respectivamente: 
 
 ( ) 50/1R/dtotanpor,R/d4/1.101 24 == 
 ( ) 50/2R/dtotanpor,R/d4/1.102 24 == 
 ( ) 25/1R/dtotanpor,R/d4/1.104 24 == 
 
 Quando se trabalha com frações da banda de quatro quartos, como, por 
exemplo, com uma banda estreita (1/4 da banda 1), o valor de K será igual a 1/16, pois: 
 50/1R/d = para a banda 1. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
142 
 
 Para uma banda estreita: 
 
50
4/1R/d = , portanto, 200/1R/d = . 
 
Substituindo-se, na equação geral, encontra-se o valor da constante K para 
uma (1) banda estreita. 
 
( )
.16/1
200/14/1.10 24
=
=
K
K
, 
 
De forma inversa, calculando-se o valor de R/d a partir do valor de K, tem-
se: 
( )
( )
( )
./200/1
;/000.40/1
;/500.216/1
;/4/1.1016/1
2
2
24
Rd
Rd
Rd
Rd
=
=
=
=
 
 
 Com o mesmo procedimento, são determinados os fatores de numeração 
para diferentes combinações de faixas, como, por exemplo, para três faixas estreitas. 
Nesse caso, o K pode ser calculado com base na banda 1, onde 50/1R/d = , uma vez 
que sua largura é equivalente a quatro faixas estreitas. Portanto: 
 
 
50
4/3R/d = → 200/3R/d = . 
 
 Substituindo-se, na equação geral, tem-se: 
 ( ) ;200/34/1.10 24=K 
 .16/9=K 
 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
143 
 Para cinco faixas estreitas, o K pode ser calculado com base na banda 4, 
que possui largura equivalente a oito faixas estreitas e 200/5R/d = . Portanto: 
 
25
8/5R/d = → 200/5R/d = . 
 
Substituindo, na equação geral tem: 
 
( ) ;200/54/1.10 24=K 
.16/25=K 
 
Na Tabela 35, são apresentadas diversas combinações de bandas de 
contagem, ângulos críticos e respectivos fatores de contagem obtidos no relascópio de 
banda estreita. 
 O uso de uma banda estreita em relação a outra mais larga provocará o 
aumento do número de árvores contadas na amostra de contagem angular (ACA) e, com 
isso, maior será a probabilidade de encontrar árvores pouco visíveis, muito finas, ou 
duvidosas, exigindo, assim, maior controle das distâncias. 
 Normalmente 20 ou 30 árvores são consideradas suficientes em uma 
amostra de contagem angular. Por outro lado, para Husch et al.(1982), o número de 
árvores a ser contado em uma ACA deve ficar em torno de dez árvores. 
Quando não se sabe a banda a ser usada, é conveniente realizar uma ACA 
piloto e verificar o número de árvores medidas com a banda selecionada. 
 O uso de uma ou outra banda vai depender das seguintes características: 
a) homogeneidade do povoamento; 
b) densidade do povoamento; 
c) variação dos diâmetros; 
d) acuidade visual do operador; 
e) firmeza e prática do operador. 
 
Em geral, o levantamento efetuado com a banda 1, em termos de área, é 
duas vezes maior que o realizado com a banda 2 e, aproximadamente, quatro vezes maior 
que o efetuado com a banda 4. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
144 
 Se em vez de uma ACA com banda 1 forem tomadas duas com a banda 2, 
obter-se-á melhor recobrimento da área. 
 Com o mesmo raciocínio, melhores resultados serão obtidos se, em vez de 
duas ACA com banda 2 forem tomadas quatro ACA com a banda 4, regularmente 
distribuídas pelopovoamento. 
 Assim, se em uma ACA forem contadas vinte e sete árvores com a banda 1, 
nesta mesma área serão encontradas treze árvores se o levantamento for efetuado com a 
banda 2. 
 O mesmo raciocínio é válido para a banda 4 e as bandas de quatro quartos. 
 
TABELA 35 - Fatores de contagem K e ângulo crítico para diferentes combinações de 
bandas. 
 
BANDA 
 
ÂNGULO CRÍTICO 
 
K 
 
1 estreita 
 
1:200 
 
1/16 
2 estreitas 1:100 1/4 
3 estreitas 1:66,66 9/16 
4 estreitas (banda 1) 1:50 1 
5 estreitas (banda 1+ 1 estreita) 1:40 25/16 
6 estreitas (banda 1+ 2 estreitas) 1:33,33 9/4 
7 estreitas (banda 1+ 3 estreitas) 1:28,57 49/16 
8 estreitas (banda 4) 1:25 4 
Banda 2 1:50/ 2 2 
 
 
11.5 Determinação da área basal - medição B 
 
A amostra de contagem angular resulta da determinação do número de 
árvores (N) de um povoamento, cujo dap, a partir de um ponto fixo, é superior a um dado 
valor angular constante. Esses valores constituem a medida básica para determinar a área 
basal em m2/ha. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
145 
 A distância do observador ao centro do objeto (árvore) é “R” (corresponde à 
distância crítica do fator K considerado) e a largura do objeto é “d”. 
 A circunferência que contém as árvores contadas para um ângulo 
especificado é denominado círculo crítico da banda “x”. 
 A área basal expressa em m2/ha é determinada multiplicando-se o fator de 
contagem “K” pelo respectivo número de árvores (N) contadas na ACA: 
 
N.KG = . 
 
 Desse modo, para realizar uma ACA, basta fazer um giro de horizonte, no 
sentido anti-horário, em torno de um ponto fixo, onde se situa o operador, visar e contar 
todos os dap’s das árvores, classificando-os segundo o ângulo de visada da seguinte 
forma: 
 a) árvore com dap maior que o ângulo alfa (Figura 59 a); 
b) árvore com dap menor que o ângulo alfa (Figura 59 b); 
 c) árvore com dap igual ao ângulo alfa (Figura 59 c). 
 
 
FIGURA 59 - Representação esquemática da classificação de árvores segundo o ângulo de 
visada. 
 
As árvores com dap maior que o ângulo alfa são contadas e recebem o 
valor 1 (um). 
 As árvores limites devem ter suas distâncias horizontais controladas. 
 As árvores com dap menor que o ângulo alfa são desconsideradas ou 
recebem o valor zero. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
146 
 Caso uma árvore não possa ser visualizada por se encontrar exatamente 
atrás de outra, deve-se medir o diâmetro da mesma com a suta e, após, colocá-la com a 
abertura igual ao diâmetro medido em posição onde possa ser visualizada, conservada a 
distância do observador à árvore (centro da árvore), como ao lado da árvore, sendo então 
definida a inclusão ou não desta pela visada na suta. 
 Na Figura 60, estão representadas as situações de contagem das árvores 
durante a execução de uma ACA com a banda 4 (bandas 1 e 4/4 tomadas em conjunto), 
segundo a classificação apresentada na Figura 59 a, b, c. 
 
 
 
FIGURA 60 - Situações da numeração das árvores em uma ACA. 
 
 Durante a execução da ACA, ocorrem freqüentemente situações em que o 
operador fica indeciso sobre a contagem ou exclusão de determinada árvore, que parece 
ter dap igual a largura do ângulo crítico. 
 Nesses casos, mede-se o diâmetro da árvore com suta e a distância radial 
com fita métrica. Essa medida deve ser realizada com acurácia, determinando-se a 
distância do aparelho (centro da ACA) ao centro da árvore considerada. 
A distância radial calculada, também conhecida como distância ótica, deve 
ser maior que a distância horizontal medida com a fita para a árvore ser incluída na ACA. 
Também pode ser dito que o diâmetro crítico calculado deve ser menor que o medido. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
147 
 Considerando-se, como exemplo, uma árvore limite que apresente dap de 
40,0 cm e distância medida do observador ao centro da árvore de 9,85 m, tem-se: 
 - dap = 40,0 cm; 
 - banda = 4; 
 - ângulo crítico = 1:25; 
 - distância de controle = 986 cm. 
 
 Através da relação d/R, calcula-se a distância ótica como: 
 
 d/R = 1/25; para a banda 4 
 
isolando R, tem-se: 
 
.0,10000.12540
;25.
mcmR
dR
==×=
=
 
 
 Conclui-se que a árvore deve ser incluída na ACA, pois a distância do centro 
da mesma até o observador é maior que a distância de controle. Isto implica que, à 
distância de 10,0 m tem-se uma abertura de 40,0 cm para o ângulo da banda 4. Como a 
árvore tem 40,0 cm de dap e se encontra exatamente a 9,86 m, nesta posição o diâmetro 
da árvore é maior que o ângulo. Assim, pode ser afirmado que a distância ótica (obtida 
pelo produto do ângulo crítico e o dap) é a distância na qual a abertura do ângulo crítico é 
igual ao diâmetro; e, para qualquer distância menor, o dap será maior que a abertura do 
ângulo, satisfazendo o critério de seleção. 
 Com a mesma relação d/R, é possível calcular o diâmetro que corresponde 
ao ângulo de visada da banda em questão a uma distância igual a distância no terreno. 
 Assim: 25/1R/d = ; 
 25/186,9/d = ; 
 cm44,39d = . 
 
Assim, evidente que o diâmetro que corresponde ao ângulo a 
uma distância de 9,86 m é menor que o diâmetro da árvore. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
148 
Em resumo, sempre que aos olhos do observador uma árvore se apresentar 
como árvore limite, ela pode estar sob as seguintes situações: 
 
a) Árvore com o diâmetro ligeiramente superior à largura da banda: 
nesse caso, ao determinar a distância ótica obtém-se um valor maior que a distância de 
controle; portanto, a árvore deve ser contada. 
O exemplo anterior retrata esta situação. Verificou-se que a largura da 
banda correspondente a esta distância de controle (986 cm) é de 39,44 cm, ou seja, o 
diâmetro da árvore é maior que a largura da banda, determinando, assim, a contagem da 
mesma na ACA (Figura 59 a). 
 
b) Árvore com diâmetro ligeiramente inferior a largura da banda: neste 
caso, ao determinar-se a distância ótica obtém-se um valor menor que a da distância de 
controle, pois, de maneira inversa ao anterior, o diâmetro da árvore será menor que a 
largura da banda e não será contada (Figura 59 b). 
 Modificando-se o exemplo anteriormente citado, tem-se: 
 dap = 39,0 cm; 
 banda = 4; 
 ângulo crítico = 1:25; 
 distância de controle = 986 cm; 
 distância ótica = cm975250,39 =× . 
 
c) Árvore com diâmetro igual à largura da banda: nesse caso, ter-se-ia 
a distância ótica igual à distância de controle, logo o diâmetro da árvore será igual ao 
diâmetro crítico (Figura 59 c) e, portanto, segundo o postulado de Bitterlich, a árvore é 
desconsiderada. Essa situação não é freqüente nos trabalhos de campo. 
 
11.6 Determinação da distância horizontal - medição a 
 
 A determinação da distância horizontal constitui uma vantagem do 
relascópio, pois ela é automaticamente corrigida para a projeção horizontal plana. 
 Essa distância pode ser realizada com base horizontal ou com base vertical. 
Biometria Florestal 
 
 
 
 
149 
 
11.6.1 Distância com base horizontal 
 
 Na determinação da distância com o auxílio de uma base horizontal, usa-se 
exclusivamente a banda 4. 
 O procedimento de medição das distâncias é também baseado na relação 
entre largura do objeto (d) e a distância radial (R). 
 Ao verificar que a banda 4 cobre toda a largura da base utilizada, a distância 
ao objeto corresponderá a 25 vezes a largura desta base, pois o ângulo crítico, relação 
d/R, é igual a 1/25 na banda 4. 
 Como base horizontal, usa-se geralmente a suta ou qualquer escala 
semelhante cuja abertura considerada possa ser facilmente lida e multiplicada por 25, 
como mostra a Figura 61. 
 A precisão das leituras não deverá exceder a casa dos centímetros. 
 
Biometria Florestal150 
 
 
FIGURA 61- Emprego da suta como base horizontal na determinação da distância 
horizontal. (Bitterlich & Silva, s. d) 
 
 
 
11.6.2 Distância com base vertical 
 
Para esse fim, foi construída uma base de 2 m de comprimento que será 
fixada verticalmente no tronco da árvore através de dois pinos. 
 Na falta dessa base, pode-se usar uma vara, bambu ou mesmo uma fita 
métrica. É necessário que essa base, além do comprimento de 2 m, tenha marcada, de 
forma visível, as extremidades e o centro. 
 Com a base vertical fixada à árvore, o medidor afasta-se da árvore até atingir 
um ponto provisório de estação mais ou menos igual à distância procurada. 
 Segurando o aparelho em posição normal, faz uma visada ao ponto central 
da base vertical de modo que a linha de visada sobreponha exatamente o centro da 
mesma. 
 Esta posição será rapidamente obtida, comprimindo e soltando o botão das 
escalas. 
 Após, o medidor imprime ao aparelho uma rotação de 90°, no sentido anti-
horário, ficando a linha de pontaria na posição vertical, como demonstrado na Figura 62. 
Biometria Florestal 
 
 
 151 
 
 
FIGURA 62 - Emprego da base vertical do relascópio na determinação da distância 
vertical (Bitterlich e Silva, s.d). 
 
 A seguir, procura ajustar o limite inferior da banda 2 com a extremidade 
inferior da base e coincidir o limite superior da faixa de distância, cujo valor quer 
determinar, com a extremidade superior da base vertical. Esta posição é obtida afastando-
se ou aproximando-se da árvore. Cada vez que o operador se afastar ou se aproximar do 
objeto a ser medido deverá repetir toda a operação, isto é, voltar a visar o centro da escala 
vertical com o relascópio em posição normal para garantir a correção da distância à 
projeção plana, girar o aparelho 90º e buscar enquadrar a base vertical nas escalas do 
aparelho. 
 Ao concluir a operação, deve-se ter toda a base vertical compreendida entre 
a banda 2 e a faixa de distância desejada. 
 
11.7 Determinação relascópica do número de árvores por hectare 
 
 Segundo Silva (1977), pelo princípio da ACA, resulta que cada árvore 
contada representa uma quantidade de área basal em metros quadrados por ha, 
correspondendo ao fator de numeração K utilizado. Caso seja contada apenas uma árvore 
de área basal (g) com fator K, a área basal será dada por: 
Biometria Florestal 
 
 
 152 
 
 ha/mGK1 2=× . 
 
 Como o valor G representa a área basal das árvores em um hectare e, 
portanto, equivale à soma de todas as áreas basais das árvores nesta unidade de área, 
existe, portanto, uma relação entre a área basal (g) da árvore contada e o fator de área 
basal (K): 
 
 ii gKn = . 
 
 
Considerando-se que em uma ACA serão contadas “n árvores”, o número de 
árvores N por hectare será obtido pela soma do número de árvores representadas pela 
árvore 1, pela árvore 2, .... , a enéssima árvore pertencente à ACA: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )n321 g/1......g/1g/1g/1.KhaN ++++= ; 
 
ou para mais de uma ACA, obtém-se o estimador do número de árvores por: 
 
 ij
m
1i
n
1j
g1..nKhaN ��
==
= ; 
 
onde : n = número de ACA’s realizadas; 
 K = fator de área basal, 
 m = número de árvores contadas na ACA ”i”; 
 ijg = área de basal da árvore i na ACA “j”. 
 
 Supondo-se, como exemplo que em uma ACA realizada com banda 4, 
fossem contadas cinco árvores, com diâmetros de 40,0; 22,5; 32,5; 18,0 e 24,0 cm, o 
número de árvores por hectare seria: 
045239,0/1025447,0/1082958,0/1039761,0/1125664,0/1..14haN
5
1i
1
1j
++++= ��
==
 
Biometria Florestal 
 
 
 153 
( )10,2230,3905,1215,2596,7.4haN ++++= 
2,426haN = árvores. 
 
 
11.8 Determinação da altura da árvore - medição h 
 
 A medição das alturas com o relascópio segue o mesmo princípio usado pelo 
Blume-Leiss, Haga e Suunto, ou seja, da resolução de tangentes de ângulos (cf. as 
Figuras 18, 19, 20). 
 Para a medição de altura, as leituras são realizadas nas escalas 
hipsométricas, sendo que os valores lidos, como no Blume-Leiss, representam o produto 
da tangente do ângulo pela distância. Entretanto, com o relascópio, não será necessário 
realizar nenhuma correção de declividade, pois as escalas de distância já foram reduzidas 
pelo cosseno do ângulo de inclinação do terreno, devendo-se, neste caso, para auferir 
esta vantagem, determinar a distância do observador à árvore com o uso de aparelho e 
não com trena. 
 O aparelho apresenta escalas de tangentes para as distâncias fixas de 20, 
25 e 30 metros. Na determinação das alturas a 15 metros de distância, usa-se a escala de 
30 m para realizar a leitura e divide-se o resultado por dois. 
 O procedimento de campo consiste em determinar a distância horizontal 
entre o observador e a árvore a ser medida (processo ótico) e realizar as medições na 
escala de tangente correspondente. Nessa escala, os valores gravados são a tangente do 
ângulo de inclinação multiplicado pela distância, sendo as alturas lidas diretamente em 
metros. 
 Como em qualquer operação com o relascópio, a medição é realizada 
sempre sobre a linha de pontaria. 
 
11.9 Medição do diâmetro - medição b 
 
 A medição do diâmetro pode ser feita a qualquer altura do tronco da árvore, 
sendo usada, para isso, a banda dos 4/4. 
Biometria Florestal 
 
 
 154 
 Considerando que o ângulo crítico desta banda é 1/50, pois a soma das 
quatro bandas estreitas é igual a banda 1; a metade desta será 1/100 e um quarto da 
metade será de 1/200. 
 Dessa forma, verifica-se que a metade da banda 1 fornece uma largura em 
centímetros, que corresponde a uma distância horizontal em metros de mesmo valor 
absoluto, pois sendo o ângulo crítico igual a 1/50, tem-se, conforme descrito para a 
metade da banda 1, 100/1R/d = . 
 Por este princípio, fica fácil determinar os diâmetros a qualquer nível do 
tronco. Por exemplo, o valor da banda de 4/4 e cada uma de suas faixas em uma distância 
horizontal de 20,0 m será dada por: 
 
 
m40,050/20d50/120/d
50/1R/d
===
=
 
 
e cada banda estreita vale: 
 
cm0,104/cm0,40 = 
 
 Na Tabela 36 são apresentados os diâmetros em centímetros para a metade 
da banda 1, em função da distância horizontal em metros. 
 Bitterlich e Silva (s.d) citam ainda que, para maior precisão, deve-se efetuar 
estimativas em relação a frações das bandas estreitas, ou seja, estimar subdivisões para 
as mesmas. Os autores recomendam, ainda, um apoio para o aparelho, a fim de obter 
maior firmeza no uso do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 155 
 
TABELA 36 - Diâmetros para a metade da banda 1 em função da distância horizontal. 
 
DISTÂNCIA 
HORIZONTAL (m) 
 
DIÂMETRO COBERTO PELA 
METADE DA BANDA 1 (cm) 
 
10 
 
10 
15 15 
20 20 
25 25 
30 30 
 
 
11.10 Medição combinada de altura e diâmetro - medição h/d 
 
 A medição dos diâmetros a diferentes alturas e a altura dessas posições nas 
árvores em pé constitui uma importante tarefa da dendrometria. Na Figura 63, é 
apresentado o esquema de determinação dos diâmetros a diferentes alturas de uma 
árvore. 
 Para facilitar essa tarefa, na construção do relascópio, as bandas 1 e de 4/4 
foram dispostas entre as escalas de tangentes de 20 e 25. 
 Assim, considerando-se, por exemplo, a Figura 63, o observador estava 
posicionado a distância de 20 m em relação ao centro da árvore. Nesta distância, cada 
faixa estreita corresponde a uma largura de 10,0 cm, pois: 
 
25/1R/d = → banda 4 
 
logo: m80,025/2025/Rd === . 
 
Sendo a banda 4 composta de oito faixas estreitas, cada uma equivale à 
cm0,1010,08/80,0 == . 
Biometria Florestal 
 
 
 156 
Assim, na Figura 63, o diâmetro a 1 m do solo foicoberto por cinco faixas 
estreitas (banda 1 + 1 faixa estreita), sendo seu valor igual a 5 x 10,0 = 50,0 cm. 
Na segunda leitura, o aparelho foi inclinado até a posição onde, na escala 
hipsométrica de 20,0 m, foi lido o valor 5. Nessa posição, 4,5 faixas estreitas cobriram o 
diâmetro da árvore, correspondendo a 45 cm (4,5 x 10,0 = 45 cm). 
 
 
 
FIGURA 63 - Determinação dos diâmetros a diferentes alturas do tronco. 
 
As demais medições são obtidas com o mesmo procedimento. 
Assim, após determinar a distância horizontal, torna-se fácil medir o diâmetro 
e a altura correspondente. Se o seccionamento for realizado a cada 4 m e a leitura da 
primeira secção for (+1), então a segunda leitura deverá ser efetuada a (+5), a terceira 
será na posição (+9) e assim, sucessivamente. 
Biometria Florestal 
 
 
 157 
 No interior da floresta, ao se medir o diâmetro a diferentes alturas, poderá 
ocorrer que para a distância horizontal igual aos módulos da escala hipsométrica, não seja 
o local ideal de medição, sendo necessário, realiza-lá em outra distância. 
 Nesse caso, o observador deve certificar-se de medir com a trena a distância 
horizontal desse novo ponto ao centro da árvore e calcular um fator de correção para as 
medidas a serem tomadas em uma das escalas hipsométricas. 
 Para exemplificar, suponha-se que o observador estivesse posicionado a 
uma distância de 16,5 m do centro da árvore e, ao visar a base da mesma obtivesse a 
leitura de -1,2 m (na escala hipsométrica de 20,0 m) e que 5,2 bandas estreitas fossem 
usadas para cobrir o diâmetro da árvore. 
 Nessas condições tem-se: 
 
- distância de controle = 16,5 m; 
- banda 4 → ângulo crítico = 1/25; 
- n° de faixas estreitas = 5,2; 
- leitura na base= -1,2 m. 
 
Valor da largura da banda na distância de controle: 
 
m66,025/5,16d25/1R/d ==∴= ; 
 
cada faixa estreita vale: 
 
0,66 ÷ 8 = 0,0825 m = 8,25 cm. 
 
 Assim, o diâmetro nessa posição é equivalente a 5,2 faixas x 8,25 cm, ou 
seja, é igual a 42,9 cm. 
 O valor lido na escala hipsométrica de 20,0 m, correspondente a base da 
árvore, -1,2 m, terá valor na escala de 16,5 m obtido por: 
m5,16x
m0,20m2,1
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
 
Biometria Florestal 
 
 
 158 
99,0
20
5,162,1x −=×−= m. 
 
Generalizando qualquer valor lido na escala hipsométrica de 20,0 m será 
corrigido por: 
 
Valor corrigido = valor lido x fc e, 
 
 m0825,0
0,20
5,16
aparentedistância
realdistânciafc === . 
 
 É importante lembrar que o sinal negativo em frente à leitura é apenas 
referencial, indicando que a leitura foi feita em um lado da escala; à esquerda do zero. 
Dessa forma, para definir o ponto onde será feita a nova medição do diâmetro, por 
exemplo o dap, o aparelho será movimentado em direção ao ápice da árvore, até o ponto 
onde for lido, na escala hipsométrica de 20,0 m; o valor de 0,38 m, pois, o valor corrigido 
será igual ao valor lido x fc. 
 
Logo: 
 
 
cf
corrigidovalorlidoValor = 
 
Nesse caso, é desejada a posição de 1,30 m. Assim, essa leitura em uma 
escala hipsométrica de 20,0 m, na distância horizontal de 16,5 m, será: 
 
1,30 m ÷ 0,825 ≅1,58 m 
 
 Como na base da árvore foi lido o valor de –1,20 m, a posição do dap será 
encontrada quando a linha de visada estiver apontando para o valor de 0,38 m; ou seja, 
1,58 m – 1,20 = 0,38 m; o que corresponde a uma distância de 1,3 m a partir da base da 
árvore. 
Biometria Florestal 
 
 
 159 
 O mesmo procedimento é feito para qualquer outra posição de medição ao 
longo do tronco. 
 
 
11.11 Determinação da altura de Lorey 
 
 Sendo a altura de Lorey a altura média obtida pela ponderação das alturas 
das árvores com as respectivas áreas basais, ou também dita da ponderação da área 
basal correspondente ao centro de classe e à altura média da classe, sua determinação 
na relascopia é muito fácil, pois será expressa pela média aritmética das alturas conforme 
demonstrado a seguir. 
Sendo N.KG = e sendo a altura de Lorey dada por: 
�
�
=
=
=
n
1i
i
i
n
1i
i
L
g
g.h
h pode-se escrever 
para o hectare que: 
G
g.h
h
i
n
1i
i
L
�
=
= . 
 Sendo válido para a relascopia que N.KG = , ou seja, cada árvore 
selecionada como pertencente à ACA, independente de seu dap, representa a mesma 
área basal “K” por hectare; assim, a Lh será expressa por: 
 
−
==
===
+++
+++
=
��
h
n
h
K.n
K.h
K........KK
K.h.........K.hK.hh
n
1i
i
n
1i
i
n21
L 
 
 
11.12 Medição da declividade – medição D 
 
 O relascópio de espelho não tem escalas em percentagem, porém as três 
escalas tangentes podem ser facilmente usadas para esse fim. 
Biometria Florestal 
 
 
 160 
 A transformação dos valores lidos em percentagem é feita pela multiplicação 
da leitura na escala de 20 m por 5, na escala de 25 m por 4 e na escala de 30 m por 10/3. 
 Supondo-se, por exemplo, que a uma distância qualquer foi realizada uma 
visada em um anteparo de altura igual ao olho do observador, obtendo-se o valor 1,5m na 
escala de 20,0 m. 
 A declividade do terreno será: 
 7,5% 5 x m 1,5 = 
 
11.13 Determinação da altura formal relativa e absoluta e do fator de forma artificial 
 
 A altura formal é obtida pelo produto do fator de forma e altura (f x h), sendo 
relascopicamente determinada a partir da altura diretriz de Pressler, utilizando-se uma das 
seguintes relações, conforme Figura 64. 
 
a) Visar o dap usando a banda 4, aproximando-se ou afastando-se da 
árvore até que esse conjunto de bandas cubra exatamente o diâmetro. A altura deste 
ponto deve ser lida na escala das tangentes de 25 m. A seguir, ergue-se o aparelho em 
direção à copa da árvore até encontrar um ponto superior que seja igual a banda 1. Da 
mesma forma, efetua-se a leitura da altura deste ponto na escala de 25 m. A soma das 
duas leituras, multiplicadas por 2/3, representa a altura formal relativa; 
 
b) Visar o dap usando a banda 1+ 2 estreitas e um diâmetro superior 
correspondente a três bandas estreitas. A soma das leituras efetuadas na escala de 25 m, 
multiplicada por 8/9, resulta a altura formal relativa; 
 
c) Visar o dap usando a banda 1 e o diâmetro superior correspondente a 
duas bandas estreitas. A soma das leituras na escala de 25 m, multiplicada por 4/3, 
representa a altura formal relativa. 
Biometria Florestal 
 
 
 161 
 
 
FIGURA 64 - Procedimento para determinação da altura formal de Pressler com o 
relascópio de espelho de Bitterlich. 
 
Supondo-se a alternativa de determinação descrita em a e os seguintes 
dados, tem-se: 
- banda 4 e banda 1; 
- dap = 26,5 cm, h = 23,5 m; 
- L1 = -2,0 m* = leitura do dap; 
- L2 = +52,0 m** = leitura superior, tem-se: 
 
( ) 3/2LLd/fh 21 ⋅+= ; 
( ) 3/2522d/fh ⋅+= ; 
3/254d/fh ⋅= ; 
relativaformalaltura0,36d/fh �= . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 162 
Multiplicando-se o valor encontrado da altura formal relativa pelo dap, obtém-
se f x h, que é a altura formal absoluta. 
 
 dd/fhfh ×= ; 
 m265,00,36fh ×= ; 
m5,9m54,9fh ≅= . 
 
 Pelo mesmo princípio, a altura formal do povoamento ficará determinada 
efetuando-se a média aritmética das alturas formais obtidas de cada árvore contada na 
ACA. 
 Uma aproximação pode ser obtida determinando-se altura formal de cada 
segunda, terceira ou quarta árvore contada ou, ainda, determinando-se o valor para a 
árvore de área basal central ( zd ). 
 A altura formal do povoamento deve ser calculada de forma ponderada com 
os valores das respectivas áreas basais. 
 
( ) ( )� �×== g/fhgG/VFH 
 
O fator de forma é obtido pelo quociente entre a altura formal absoluta 
e a altura total da árvore;h/fhf = ; 
m5,23/m54,9f = 
4059,0f = 
 
ou pelo quociente entre a altura formal relativa e a relação h/d, isto é: 
 
 
d/h
d/fhf = 
 
 
*
 Os sinais “- e +” diante das alturas lidas representam, respectivamente, alturas lidas abaixo e acima de zero (referencial 
da linha do horizonte) e servem apenas para indicar a situação do observador no terreno (veja as Figuras 18, 19 e 20). 
Biometria Florestal 
 
 
 163 
 ( ) 4059,0265,0/5,23/0,36f == 
 
 
11.14 Determinação da intensidade de amostragem 
 
 A intensidade de amostragem depende dos seguintes fatores básicos: 
 a) Variabilidade da população; 
 b) Precisão desejada para as estimativas; 
 c) Tempo e recursos disponíveis; 
 d) Custo de medição; 
e) Diâmetro médio do povoamento. 
 
 Segundo Hanras, apud Silva, 1977), quanto mais heterogêneo e irregular o 
povoamento maior será o número de estações necessárias para a sua avaliação. No 
entanto, esse autor afirma que, em média, 4 ou 5 estações por hectare são suficientes 
para e obter boa precisão. 
 A intensidade de amostragem pode ser definida em função da precisão 
requerida, dos custos máximos admitidos, da combinação entre custo e precisão ou sem 
controle sobre o erro amostral. 
 Algumas fórmulas auxiliares para o cálculo da intensidade de amostragem 
quando não há interesse no controle do erro amostral são: 
 a) S248a4 += ; 
 b) S258a2 += ; 
 c) S268a1 += . 
 
Onde: S = área do povoamento em hectares; 
 A = distância entre pontos, em metros; 
 4,2,1 = fator de área basal. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 164 
 Para fins de exemplo, suponha uma floresta com 676,0 ha, na qual serão 
instaladas unidades relascópicas utilizando a banda 4, a intensidade de amostragem será 
dada por: 
 
 0,676248a4 += 
ACA cada 1004 entredistânciadema = . 
 
Caso fosse utilizada a banda 2: 
 
m1100,676258a2 =+= de distância entre cada ACA. 
 
Ou através da banda 1 por: 
 
0,676268a1 += ; 
.1201 ACAcadaentrema = 
 
 A definição aleatória dos pontos da ACA produz melhores resultados, porém 
o processo sistemático torna mais fácil o levantamento. 
 Uma rede sistemática de pontos em forma de quadrado, retângulo ou 
triângulo pode ser lançada sobre a área a ser levantada 
 O número de pontos por hectare, considerando uma rede quadrada, é dado 
pelo quociente entre a área do hectare e o quadrado da distância entre pontos para o fator 
usado, ou seja: 
 
2a/000.10n = 
 
 Para o exemplo anterior, utilizando-se a banda 4, resulta 1 ponto/ha; 
utilizando-se a banda 2, tem-se 0,826 pontos/ha e utilizando-se a banda 1 chega-se a 
0,694 ponto/ha. 
Biometria Florestal 
 
 
 165 
O número de pontos de estações reduz em cerca de 30% se, em vez de 
K=4, for usado K=2 e, em cerca de 50% se for utilizado o K=1. Conseqüentemente as 
distâncias entre os pontos aumentam com a diminuição do fator. 
O fator K escolhido deverá ser o mesmo em todas as unidades levantadas. 
 Em inventários contínuos, estes pontos devem ser marcados de modo 
duradouro. 
 
 
11.15 Correção do fator de área basal 
 
 Durante a execução de uma ACA, podem ocorrer situações em que esta se 
localize próxima ao limite da floresta, por exemplo, junto a uma estrada, estando a área 
física da ACA parcialmente fora da floresta. Nesse caso, é necessário corrigir o valor do 
fator K, pois este deverá representar um valor maior de área basal, para cada árvore que 
tiver um raio crítico maior do que a distância do centro da ACA à margem da estrada. 
 Para cada árvore cujo círculo crítico seja maior que a distância “x”, deve ser 
calculado um fator de ponderação “FP”, o qual será multiplicado pelo fator K. Assim a 
árvore representará K’ m2; onde K’ > K. 
 Considerando-se a Figura 65, o fator de ponderação será expresso por: 
 
 ( )FSFK/FKFP −= ; 
 
Onde: �⋅= 2rFK ; 
 ( )( ) ( )222 xrx360/r/xcosarc2rFS −⋅−°⋅⋅= � ; 
 
( )K/50dr ⋅= , pois: ( ) ( )24 R/d4/110K ⋅⋅= . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 166 
 
 
FIGURA 65 - Ponderação do FAB para a ACA de área incompleta. 
 
Onde: x = distância em metros do centro da ACA até a borda da floresta; 
 FS = área do círculo crítico localizado fora da floresta; 
 FK = área do círculo crítico; 
 1,2,3 = árvores; 
 r = raio crítico da árvore. 
 
 Considerando-se, por exemplo, que a árvore número 3, na Figura 65, tivesse 
59,5 cm de diâmetro, que a distância “x” fosse de 8,0 m e que a ACA foi realizada com a 
banda 4, tem-se: 
 
a) Cálculo do raio crítico da árvore 03: 
 
( ) ( )24 R/d4/110K ⋅⋅= ; 
( )
.875,14
/595,0500.24 2
mrR
R
==
⋅=
; 
 
b) Cálculo da área do círculo crítico que fica fora da floresta: 
 
( )( ) ( )222 xrx360/r/xcosarc2rFS −⋅−°⋅⋅= � ; 
Biometria Florestal 
 
 
 167 
( )( ) ( )222 8875,148360/875,14/8cosarc2875,14FS −⋅−°⋅⋅= � ; 
2m5945,121FS = . 
 
c) Cálculo da área do círculo crítico: 
 
�⋅=
2rFK ; 
�⋅=
2875,14FK ; 
2m1265,695FK = . 
 
d) Cálculo do fator de ponderação: 
 
( )FSFK/FKFP −= ; 
( )5945,1211265,695/1265,695FP −= ; 
212,1FP = . 
 
e) Área basal representada por hectare: 
 
FPKG ⋅= ; 
212,14G ×= ; 
ha/m848,4G 2= . 
 
Logo esta árvore não representa 4,0 2m , como normalmente (fator de área 
basal da banda 4), mas 4,848 ha/m2 . 
 
11.16 Vantagens e desvantagens da relascopia 
 
 Segundo Silva (1977), as principais vantagens e desvantagens da relascopia 
em relação a enumeração total são: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 168 
a) Eliminam-se os erros provenientes da instalação das unidades amostrais; 
b) Reduz o tempo e custo para obter a área basal, podendo ser incrementado o 
número de unidades amostrais e melhorar a sua distribuição espacial; 
c) Em operação mista com uma suta, permite determinar a distribuição da área basal 
por classe de dap; 
 d) Permite conhecer a área basal do povoamento a partir de um reduzido número 
de árvores; 
e) As árvores de raízes tabulares podem ter a área basal medida em alturas, onde o 
tronco possui forma regular; 
 f) O diâmetro da árvore de área basal central pode ser obtido rapidamente pela 
eliminação simultânea dos maiores e menores diâmetros da ACA; 
g) O método facilita a obtenção da altura média de Lorey e, por conseqüência, do 
volume do povoamento; 
h) A área basal é obtida pela contagem do número de árvores da ACA, sem recorrer 
à medição dos diâmetros; 
 i) A inclinação do terreno é automaticamente corrigida pelo relascópio, sem que 
seja necessário introduzir correções; 
j) As determinações são rápidas e podem ser realizadas por um só homem treinado. 
 
 
As principais desvantagens são: 
 
a) O manuseio puro e simples do aparelho não permite conhecer a distribuição da 
área basal por classe de diâmetro; 
b) Em povoamentos densos ou em florestas tropicais, o sub-bosque pode influenciar 
no resultado; 
c) A luminosidade no interior da floresta interfere nos processos de avaliação. 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 169 
11.17 Determinação do volume por hectare 
 
 A seguir, serão apresentados três exemplos para a determinação dos 
volumes por hectare usando o relascópio de Bitterlich. 
 Os exemplos foram elaborados considerando um povoamento de Eucalyptus 
saligna, plantados sobre solo com preparo profundo onde foi realizada uma ACA com a 
banda 4. 
 Como função de fator de forma apresentada por Finger (1991) e de uma 
relação hipsométrica calculada para fins desse exemplo, a saber:2
2
d
h41335,4
d
h25389,0d/98243,3432744,0f ⋅−⋅++= ; 
e 
 
d92411,083514,4h ⋅+= . 
 
 
MÉTODO 1 - Medição completa dos diâmetros e alturas na ACA 
 
TABELA 37 - Cálculo dos volumes por medição completa dos diâmetros e alturas em 
uma ACA 
 
Árv. Núm. 
 
d 
 
h 
 
 
f 
(1) 
 
n/ha 
(2) 
 
V/ha 
(3) 
 
01 
 
12,5 
 
16,1 
 
0,42359 
 
325,9 
 
27,3 
02 22,3 28,2 0,46858 102,4 52,9 
03 30,9 34,0 0,48628 53,3 66,1 
04 28,2 30,0 0,47503 64,0 57,0 
05 18,9 24,3 0,45157 142,6 43,9 
06 25,5 28,5 0,47156 78,3 53,8 
07 31,0 34,4 0,48760 53,0 67,1 
Biometria Florestal 
 
 
 170 
08 15,7 18,9 0,43660 206,6 33,0 
09 26,4 28,7 0,47191 73,1 54,2 
Soma 1.099,3 455,2 m3/ha 
Obs: Valores em negrito representam os dados medidos na floresta. 
 
2m3694ha/G =×= 
1 – 2
2
d
h41335,4
d
h25389,0d/98243,3432744,0f ⋅−⋅++= 
2 – ( )( ) árvores9,3254125,04 2 =× � 
 
3 – 3m3,2742359,01,164 =×× 
 
O volume por hectare pode ser também expresso como: fhGV L ⋅⋅= , e o 
valor de hL é obtido por: 
 
m0,27
9
7,289,184,345,283,240,300,342,281,16hL =
++++++++
= 
 
 e, sendo o fator de forma médio obtido para a árvore de área basal central “dz” cujo 
diâmetro é 25,5 cm e a altura 28,5 m foi de 0,47005. 
 A árvore de diâmetro de área basal central dz é facilmente identificada pela 
eliminação sucessiva dos pares de dados de menor e maior diâmetro; neste caso como: 
12,5; 15,7; 18,9; 22,3; 25,5; 26,4; 28,2; 30,9; 31,0; 
 
dz = 25,5 cm 
 
 Assim, o volume por hectare será obtido por: fhGV L ⋅⋅= ; 
 
V= 36 x 26,7 x 0,47005 = 451,8 m³/ha. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 171 
MÉTODO 2 - Medição completa dos diâmetros e da altura da árvore dz, e estimativa 
das alturas pela relação hipsométrica. 
 
 Nesse caso, serão medidos, na ACA, todos os diâmetros e a altura da árvore 
de área basal central, sendo as demais calculadas com a relação hipsométrica. 
 
TABELA 38 - Cálculo do volume usando a relação hipsométrica em uma ACA 
 
Árv. Núm. 
 
d 
 
h ** 
 
f 
 
n/ha 
 
V/ha 
01 12,5 16,5 0,42052 325,9 27,7 
02 22,3 25,5 0,46191 102,4 47,2 
03 30,9 33,5 0,48445 53,3 64,9 
04 28,2 31,0 0,47847 64,0 59,3 
05 18,9 22,4 0,44953 142,6 40,3 
06 25,5 28,5 0,47156 78,3 53,8 
07 31,0 33,6 0,48466 53,0 65,1 
08 15,7 19,4 0,43566 206,6 33,9 
09 26,4 29,3 0,47398 73,1 55,6 
Soma 1.099,3 447,8 m3/ha 
Obs: * Valores em negrito representam os dados medidos na floresta, ** Valores calculados com a relação 
hipsométrica 
 
Cálculo do coeficiente b0, sendo b1 constante: 
 
d92411,0bh 0 ×+= ; 
b92411,0hb0 ×−= ; 
5,2592411,05,28b0 ×−= ; 
935195,4b0 = . 
 
A altura das árvores será dada por: d92411,09352,4h ⋅+= . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 172 
 
MÉTODO 3 – Combinação dos dados levantados na ACA e da Tabela de Produção 
 
 Nesse método, é necessário, além da tabela de produção, conhecer a idade 
do povoamento e altura dominante. 
 Para determinar a altura dominante, usa-se o método descrito por 
Pollanschütz, em 1973, que obtém esse estimador a partir média das alturas das árvores 
correspondentes a 12 m² de área basal por hectare, ponderadas pelas respectivas áreas 
basais. 
 O estimador, assim calculado, representa a altura de Lorey das maiores 
árvores do povoamento, limitadas a 12 m² de área basal por hectare. Para maiores 
detalhes, ver o capítulo da Relascopia. 
 Nesse exemplo, Pollh será a média aritmética das alturas das três maiores 
árvores da ACA (Tabela 39), pois cada árvore selecionada representa 4 m² de área basal 
por hectare . 
( ) m7,323/0,340,300,34hPoll =++= 
 
TABELA 39 – Enumeração em uma prova de numeração angular 
 
Árv. Núm. 
 
d 
 
h 
 
01 
 
12,5 
 
02 22,3 
03 30,9 34,0 
04 28,2 30,0 
05 18,9 
06 25,5 
07 31,0 34,4 
08 15,7 
09 26,4 
 
Biometria Florestal 
 
 
 173 
 
 De acordo com as Tabelas de Produção para Eucalyptus saligna, em solo de 
preparo profundo, cuja idade índice foi sete anos, apresentadas por Finger (1991), verifica-
se que a ACA encontra-se em índice de sítio 32,7 m. 
Assim, para essa floresta que se encontra com sete anos, os valores serão 
obtidos por interpolação entre as tabelas de produção para os índices de sítio 34 e 32m: 
 
a) Área basal tabelada: 
 
 ( )( )
7,340,32 
/6,352/3,16,23,377,32 
3,370,34
2
..
..
−
=×−=−
−=
hamGx
G
prodtab
prodtab
 
 
(Correspondente ao valor tabelado de G/ha para o índice de sítio 32,7 m). 
 
b) Volume tabelado: 
 
( )( )
4030,32
/3,4232/3,1584617,32
4610,34
3
..
..
−
=×−=−
−=
hamVx
V
prodtab
prodtab
 
(Correspondente ao volume tabelado para o índice de sítio 32,7 m). 
 
c) Grau de estoqueamento: 
 
011,16,35/36G/GGE
.prod.tab === 
 
d) ha/Volume : 
 
ha/m0,428011,13,423V 3=×= 
 
 A comparação entre os métodos 2 e 3 em relação ao método 1, 
apresentados no exemplo acima, mostra diferenças decorrentes das estimativas da altura 
Biometria Florestal 
 
 
 174 
pelo modelo de relação hipsométrica e das funções utilizadas na tabela de produção. 
Observa-se, entretanto, que essas diferenças são pequenas e podem ser 
desconsideradas, devendo serem compensadas na estimativa média obtidas com as 
demais unidades de amostra realizadas no talhão. 
Biometria Florestal 
 
 
 175 
 
 
 
 
 
12 MÉDIAS DENDROMÉTRICAS USUAIS 
 
 
 
 O estudo da média dendrométrica é de grande utilidade na engenharia florestal, 
pois é uma medida de tendência central e expressa um valor de referência para uma unidade 
amostral ou para a população. 
 A sua determinação pode seguir o procedimento de cálculo de uma média 
simples, como a média aritmética, ou ponderada por uma outra variável, como a altura de 
Lorey. 
 Na engenharia florestal, são conhecidos diferentes métodos de cálculo que 
originam valores ligeiramente diferentes entre si, para uma mesma amostra, mas todos 
estimadores consistentes de um mesmo parâmetro. 
 O interesse em estudar diferentes expressões para a média, já que todas 
resultam em valores semelhantes, é permitir ao usuário utilizar a de maior facilidade de 
obtenção, de acordo com os dados que dispõe. Por exemplo, ao se utilizar o método da 
Relascopia em um inventário florestal, a expressão para o diâmetro médio de maior 
facilidade de obtenção é o diâmetro da árvore de área basal central (dz). 
 Neste capítulo, será apresentado o cálculo do diâmetro e altura médios para 
toda amostra, bem como restrito a uma subamostra, como a que representa as árvores 
dominantes. 
 Para fins de exemplo, serão considerados os dados de diâmetro e altura 
levantados em uma unidade amostral de 1.500 2m , apresentados na Tabela 40. Nesta, os 
diâmetros encontram-se distribuídos em classes, e as alturas representam o valor médio das 
alturas das árvores incluídas na classe de diâmetro. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 176 
 
TABELA 40 – Diâmetros, alturas e freqüências medidos em uma unidade amostral 
 
d 
 
h 
 
n 
 
�n 
 
 ng 
 
 �ng 
 
 h.g.n 
 
9 
 
11,5 
 
15 
 
 15 
 
0,0954 
 
0,0954 
 
1,0974 
11 13,0 22 37 0,2091 0,3045 2,7179 
13 16,5 53 90 0,7035 1,0080 11,6074 
15 17,0 59 149 1,0426 2,0506 17,7245 
17 20,0 50 199 1,1349 3,1855 22,6980 
19 21,5 36 235 1,0207 4,2026 21,9451 
21 22,8 16 251 0,5542 4,7604 12,6352 
23 25,5 2 253 0,0831 4,8435 2,1439 
25 28,0 1 254 0,0491 4,8926 1,3744 
 
 
 A partir dos dados de diâmetro e altura agrupados em classes, foram 
calculadas as freqüências acumuladas(�n ), o produto da freqüência e a área basal da 
classe (ng ); os valores acumulados (�ng ) e o produto da freqüência, da área basal e da 
altura ( h.g.n ). Todos esses cálculos foram feitos para fins de determinação e 
desenvolvimento dos exemplos a seguir. 
 
 
12.1 Determinação de diâmetros médios do povoamento 
 
12.1.1 Diâmetro médio aritmético ( −d ) 
 
A distribuição de freqüência de diâmetros ou altura de um povoamento de 
mesma idade antes do primeiro desbaste é descrito pela distribuição normal de Gauss, 
sendo importante para caracterizar essa distribuição, a média aritmética e o desvio padrão. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 177 
 
 Assim, o diâmetro médio aritmético caracteriza a distribuição de freqüência, 
principalmente, nas seguintes situações: 
 a) Pesquisas biológicas, em especial em povoamentos jovens; 
 b) Controle estatístico; 
 c) Para o cálculo dos diâmetros Hohenadl. 
 
 O cálculo do diâmetro aritmético é obtido pela fórmula: 
�
=
⋅=
+++
=
n
1i
i
n21 d
n
1
n
d....ddd , 
 
ou, para dados agrupados em classe de diâmetro: 
�
�
=
=
+++
+++
=
i
i
k
1i
i
k21
kk2211
n
d.n
n........nn
d.n......d.nd.nd , 
 
onde: in = número de árvores na classe de diâmetro i; 
id = centro da classe de diâmetro i. 
 
 O diâmetro médio aritmético é extremamente influenciado pelos desbastes, 
como mostrado na Figura 66. 
 
 
FIGURA 66 – Representação esquemática da influência dos desbastes sobre o diâmetro 
médio aritmético. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 178 
 
 De acordo com a Figura 66, desbastes por baixo elevam o valor do diâmetro 
médio, ocorrendo o inverso quando o desbaste for pelo alto. 
Considerando os dados apresentados na Tabela 41, mensurados em uma 
unidade amostral, o diâmetro médio aritmético será: 
( ) ( ) ( )( ) cm3,15254/251.....1122915d =×++×+×=− . 
 
 
12.1.2 Diâmetro da árvore de área basal média (dg) 
 
 O diâmetro da árvore de área basal média resulta da média aritmética das 
áreas basais de todas as árvores de um povoamento ou amostra, sendo calculado por: 
 
 ( ) 2g
n
1i
i
d4/ge
n
g
g ⋅pi==
−
=
−
�
, 
onde: =
−
g média aritmética da área basal; 
 =n número de árvores; 
 =gd diâmetro da árvore de área basal média. 
 
Portanto: 
2
gdg
4
=⋅
pi
−
 e, 
pi
⋅
=
−
g4dg . 
 
Esse diâmetro também pode ser calculado por: 
 
n
d
d
n
1i
2
i
g
�
=
= . 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 179 
 
 Prodan (1965) demonstra que o gd é a média quadrática dos diâmetros 
aritméticos. Da relação existente entre média aritmética, média geométrica e desvio padrão, 
é possível demonstrar que (Figura 67): 
 
 
 
FIGURA 67 – Relação entre gd , 
−
d e S. 
 
 Conforme a relação acima, tem-se: 
 
222
g Sdd += , 
( )22g Sdd += . 
 
 A equação indica ser o gd sempre maior do que 
−
d , e que esta diferença 
depende do desvio padrão dos diâmetros. 
 O diâmetro da árvore de área basal média é muito empregado nas tabelas de 
produção e tarifas. É fácil de ser estimado e apresenta alta correlação com a árvore de 
volume médio do povoamento. 
 No entanto, esta variável, da mesma forma que o diâmetro médio aritmético, 
também sofre influência dos desbastes, ou seja, com desbaste por baixo aumenta 
automaticamente o gd e vice-versa. 
 Considerando-se os dados da Tabela 40, o gd será: 
 ( ) cm7,1566,15/4254/8926,4dg ≈=pi×= , 
 
Biometria Florestal 
 
 
 180 
ou com a fórmula do diâmetro quadrático: 
 
( ) ( ) ( )
cm7,15
254
125......2211159d
222
g =
×++×+×
= , 
 
ou através da fórmula proposta por Prodan (1965): 
 
( )
1n
n
x
x
S
2
n
1i
2
2
−
−
=
�
�
=
, 
 
( ) ( ) ( )� =×++×+×= 294.62125.....2211159x 2222 , 
 
( ) ( ) ( )� =×++×+×= 892.3125.....2211159x , 
 
504061,10
253
254
3892294.62
S
2
2
=
−
= , 
 
24,3240997,3504061,10S ≅== , 
 
logo: 
 ( ) ( ) cm6,1524,33,15d 22g =+= . 
 
 
12.1.3 Diâmetro da árvore média de Weise (dw) 
 
 A árvore de diâmetro médio de Weise é uma aproximação muito boa da árvore 
com o volume médio do povoamento e situa-se em 60% da distribuição de diâmetro. 
 Para os dados da Tabela 35, o valor de Wd será: 
40,15260,0254 =× . 
Biometria Florestal 
 
 
 181 
 
 
Esse número de árvores situa-se acima do limite superior da classe 15 e, por 
interpolação, tem-se: 
 
 
1999,17
4,152x
árvores1499,15
−
−
−
 
 
 ( )( ) cm0,16036,1650/4,329,15dW ≈=×+= 
 
 
12.1.4 Diâmetro da árvore de área basal central (dz,dgm) 
 
 A árvore diâmetro de área basal central representa a mediana da distribuição 
da área basal, ou seja, o diâmetro correspondente a essa área basal. 
 O valor de Zd para os dados da Tabela 37 fica determinado por: 
.a.u/m4463,25,08926,4 2=× � valor correspondente à metade da área basal. 
 
Substituindo-se esse valor de área basal na classe de diâmetro de 15,0 cm 
(acima do limite superior da classe), tem-se: 
 
1855,39,17
4463,2x
árvores0506,29,15
−
−
−
 
 
 ( )( ) cm6,161349,1/3957,029,15dZ =×+= 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 182 
 
12.1.5 Diâmetro de Hohenadl (d
-
, d+) 
 
 Os diâmetros de Hohenadl são definidos pelo diâmetro médio aritmético de um 
povoamento e pela adição e subtração do desvio padrão, obtendo-se: 
 
 Sdd −=
−
, 
 Sdd +=+ . 
 
 Para os dados da Tabela 35, os diâmetros de Hohenadl são: 
 
cm1,122,33,15d =−=
−
 
cm5,182,33,15d =+=+ 
 
 A estimativa dos diâmetros de Hohenadl baseia-se na distribuição normal, em 
que: 
– 66% dos indivíduos estão no intervalo ( ) ( )SdeSd +− ; 
– 95% dos indivíduos estão no intervalo ( ) ( )SdeSd 22 +− ; 
– 99,7% dos indivíduos estão no intervalo ( ) ( )SdeSd 33 +− . 
Portanto, 16% dos indivíduos situam-se entre o início da distribuição e 
( )
−
=− dSd e 84% dos indivíduos entre o início e ( ) +=+ dSd . Com essas percentagens, 
pode-se chegar aos diâmetros de Hohenadl, necessitando-se apenas conhecer a freqüência 
por classe de diâmetro e, por interpolação, calcular esses diâmetros. 
 
 
12.1.6 Comparação dos diâmetros médios 
 
 Os diferentes diâmetros médios em ordem de grandeza obedecem à seguinte 
seqüência: 
 +
−
−
<<≈<< dddddd ZWg , 
Biometria Florestal 
 
 
 183 
 
ou graficamente distribuído sobre a curva, conforme consta da Figura 68. 
 
 
FIGURA 68 – Representação esquemática dos diâmetros médios (Kramer e Akça, 1982). 
 
 
12.2 Determinação das alturas médias do povoamento 
 
 Na ciência e na prática florestal, são utilizadas diferentes alturas de 
povoamento, conforme o fim a que se destinam, como, por exemplo, na classificação de sítio 
do povoamento, cálculo de volume ou na determinação da produção em pesquisas com 
procedências. 
 As alturas médias apresentadas correspondem às alturas de diâmetros médios, 
sendo algumas calculadas pela relação hipsométrica. 
 
12.2.1 Altura média aritmética ( −h ) 
 
 A altura média aritmética é a média aritmética de todas as alturas das árvores 
do povoamento e é expressa por: 
 
 �
=
−
=
n
1i
ih.n/1h . 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 184 
 Considerando-se os dados da Tabela 40, a altura média aritmética será: 
 ( ) ( ) ( )( ) cm9,1793,17254/281......0,13225,1115h ≈=×++×+×=− . 
 
 A estimativa da altura média aritmética de um povoamento pode ser feita 
também com o auxílio dos diâmetros de Hohenadl e da relação hipsométrica.A altura média aritmética será então: 
 
 
2
hhh +−
− +
= ,
 
onde: 
−
h e +h são as alturas das árvores −d e +d de Hohenadl tomadas sobre a relação 
hipsométrica. 
 
 A altura média aritmética é, entre alturas médias, a de menor valor. Na prática, 
não é utilizada para cálculo do volume do povoamento, porém, pode ser usada para fins de 
estatística e, em povoamentos jovens, nas pesquisas de procedência e adubação, por 
exemplo. 
 Considerando-se a função 
2
d/67671,113271,0
13,1h �
�
�
�
�
�
+
+= , a altura média 
estimada em função do diâmetro médio aritmético de 15,3 cm será: 
 
.m3,18
3,15/67671,113271,0
13,1h
2
=�
�
�
�
�
�
+
+= 
 
A diferença entre 17,9 m, obtido com os valores da tabela, e 18,3 m obtido com 
a relação hipsométrica, deve ser atribuída ao ajuste da equação matemática. 
 
 
12.2.2 Altura da árvore de área basal média ( gh ) 
 A altura da árvore de área basal média gh corresponde à altura da árvore com 
diâmetro (dg). Essa altura é também determinada pela curva de relação hipsométrica. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 185 
 Considerando-se a função ( )( )2d/67671,113271,0/13,1h ++= e o gd calculado 
em 12.1.2 igual a 15,7 cm, a altura gh será: 
 
 ( )( )2g 7,15/67671,113271,0/13,1h ++= , 
 .m7,18hg = 
 
12.2.3 Altura média de Weise ( Wh ) 
 
 A altura média de Weise é a correspondente ao diâmetro médio de Weise (dw) 
determinada em uma relação hipsométrica. Essa variável sofre as mesmas influências em 
relação aos desbastes que as anteriores. 
 A altura da árvore média Wh será obtida pela relação hipsométrica para o Wd 
calculado em 12.1.3 por: 
 ( )( )2W 16/67671,113271,0/13,1h ++= , 
 .m0,19hW = 
 
12.2.4 Altura da árvore de área basal central (hz) 
 
 Assim como as anteriores, a altura média da árvore de área basal central é 
obtida sobre uma relação hipsométrica e corresponde à altura da árvore com o diâmetro 
médio de área basal central (dz). Essa altura foi usada em algumas regiões da Alemanha, 
como Niedersachen e Hessen para o cálculo do volume do povoamento, em vez de gh e Wh . 
 Da mesma forma, como nos exemplos anteriores, a altura da árvore de área 
basal central para o valor de Zd calculado em 11.1.4 será: 
 ( )( )2Z 6,16/67671,113271,0/13,1h ++= , 
 .m6,19hZ = 
 
11.2.5 Altura média de Lorey (hL) 
 
Biometria Florestal 
 
 
 186 
 A altura média de Lorey, desenvolvida em 1878, é obtida pela ponderação da 
altura pela área basal da árvore e calculada através da fórmula: 
 
 
( ) ( ) ( )
�
� ⋅
=
+++
⋅++⋅+⋅
=
i
ii
n21
nn2211
L g
hg
g....gg
hg....hghgh , 
 
 
onde: ih = altura da árvore i ; 
ig = área basal da árvore i. 
 
ou para dados agrupados em classes: 
 
 
( ) ( ) ( )
�
⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅
=
i
ZZZ222111
L g
hgn.....hgnhgnh , 
ou seja: 
 
 
�
�
=
=
⋅
⋅⋅
= k
1i
ii
k
1i
iii
L
gn
hgn
h , 
 
onde: in = número de árvores por classe de diâmetro; 
 ig = área basal do centro de classe; 
 ih = altura média da classe; 
 k = número de classes. 
 
 Essa altura média é muito utilizada na Áustria, onde o uso do relascópio de 
Bitterlich é comum. Neste caso, a altura média aritmética é a altura de Lorey porque as 
alturas das árvores selecionadas já são automaticamente ponderadas pela área basal. 
 Para os dados da Tabela 40 a altura de Lorey, ficará definida por: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 187 
( ) ( ) ( )( )
( ) m2,198926,4
9439,93
0491,0....2091,00954,0
0491,028....2091,0130954,05,11hL ==
+++
×++×+×
= . 
 
 
12.2.6 Altura dominante 
 
 A altura dominante corresponde à altura média das árvores mais altas do 
povoamento. Caracteriza-se por ser independente e pouco influenciada pelo desbaste por 
baixo; ser facilmente obtida no povoamento; apresentar um grande significado biológico, pois 
representa o povoamento em toda a sua vida, e ser facilmente determinada sobre fotografias 
aéreas. 
 Por outro lado, é influenciada por desbaste pelo alto, não é representativa do 
povoamento multiâneo, pois, neste caso, é determinada sobre as árvores velhas e 
localizadas normalmente sobre os melhores sítios. 
 A altura dominante pode ser calculada através de um dos seguintes 
métodos:altura dominante de Assmann, de Weise e de Pollanschütz. 
 
 
12.2.6.1 Altura dominante de Assmann (h100) 
 
 A altura dominante de Assmann corresponde à altura média aritmética das 100 
árvores mais grossas por hectare. É também conhecida como altura dominante h100 sendo 
muito utilizada para indicar a capacidade do sítio. O seu uso nesta classificação justifica-se 
por ser pouco influenciada pelos desbastes por baixo e por possuir alta correlação com a 
produção total do povoamento. 
 Essa variável é, algumas vezes, expressa como a altura média das 200 árvores 
mais grossas por hectare. Neste caso, será grafada como h200. Sendo conhecido o diâmetro 
dominante, pode-se também usar a relação hipsométrica para obter a altura dominante. 
 A vantagem desta variável ser expressa por um número constante de árvores é 
que, com grande probabilidade, serão sempre as mesmas árvores que a representarão 
durante toda a vida do povoamento. 
Biometria Florestal 
 
 
 188 
 Considerando-se os dados da Tabela 40, levantados em uma unidade amostral 
de 1.500 m2, a altura dominante será: 
 
 
xm500.1
árvores100m000.10
2
2
−
−
 
 
 =x 15 maiores árvores em 1.500 2m . 
 
 Assim, serão consideradas, no cálculo, todas as árvores da classe 25, 23 e 12 
árvores da classe 21. 
 
 A área basal desses troncos será: 
 
 ( ) 0365,015/0346,0120831,00491,0g100 =×++= , 
 ( ) cm6,21/40365,0d100 =pi×= . 
 
 Introduzindo o valor de 100d na função (exemplo em 12.2.2) obtém-se o valor de 
100h . 
 
 ( )( )2100 6,21/67671,113271,0/13,1h ++= , 
 .m9,23h100 = 
 
 Essa altura pode também ser definida como a altura de Lorey das 100 maiores 
árvores por hectare, assim: 
 
 
( )( )
( )( )1216/5542,00831,00491,0
1216/6352,121439,23744,1h100
×++
×++
= , 
 .m7,23h100 = 
 
Biometria Florestal 
 
 
 189 
 A altura média aritmética das 15 maiores árvores também pode ser usada para 
representar a altura dominante de Assmann. 
 
 ( ) ( ) ( )( ) 15/126,2225,2510,28h100 ×+×+×= , 
 .m5,23h100 = 
 
11.2.6.2 Altura dominante de Weise (h0, h20%) 
 
 A altura dominante de Weise é definida como a altura da árvore de área basal 
média correspondente a 20% das árvores mais grossas de um povoamento. Pode também 
ser determinada como a altura média das árvores correspondente a 80% do número total de 
árvores tomadas a partir da mais grossa. 
 A vantagem da altura dominante de Weise é que, durante toda a vida do 
povoamento, esta altura representa sempre a mesma posição sociológica, enquanto a altura 
dominante de Assmann, por ocasião da rotação, representa quase a altura média (considerar 
que um povoamento por ocasião da rotação contém mais ou menos 200 a 400 árvores por 
hectare). Por outro lado, em um povoamento jovem, que tenha muitas árvores por hectare 
(considerar povoamento de regeneração natural 30.000; 100.000 árvores por hectare) a 
altura dominante de Weise representará um excessivo número de plantas. 
 Outro aspecto negativo é que, após o desbaste e com o aumento da idade do 
povoamento, a altura dominante será representada por diferentes árvores: 
 A altura dominante de Weise para os dados da Tabela 37 será: 
 
 8,502,0254 =× árvores, 
 ( )( ) =×+++= 8,50/8,3136/0207,15542,00831,00491,0g %20 
 
 
2
%20 m0313,0g = . 
 ( ) ;0,2095,19/40313,0%20 cmd ≈=×= pi 
 
 e a altura pela relaçãohipsométrica de 12.2.2. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 190 
 ( )( )2%20 0,20/67671,113271,0/13,1h ++= , 
 .m6,22h %20 = 
 
 Calculando com a fórmula de Lorey, a altura média das 20% maiores árvores, 
tem-se: 
 
( )( )
( )( )8,3136/0207,15542,00831,00491,0
8,3136/9451,216352,121439,23744,1h %20
×+++
×+++
= , 
 m4,22h %20 = 
 
 
12.2.6.3 Altura dominante de Pollanschütz (hPoll) 
 
 A altura dominante de Pollanschütz é definida como a altura média de Lorey 
das árvores que correspondem a 12 metros de área basal por hectare, tomadas a partir das 
maiores árvores. 
 Normalmente esta altura será calculada para a amostra de contagem angular 
(ACA), mas também para medições em outros tipos de unidades amostrais. 
 Para os dados da Tabela 37, levantados em área de 1.500 2m , tem-se: 
 
.8,1
500.1
000.100,12
2
2
mx
x
m
=
−
−
 
 
 Verifica-se que a área basal das classes 25 a 19 somam 1,7071, faltando ainda 
0,0929 2m que pertencem à classe 17 para atingir o valor de área basal correspondente. 
 
( )
8,1
0929,00,209451,216352,121439,23744,1hPoll
×++++
= , 
m2,22hPoll = . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 191 
 Esse procedimento para a obtenção da hPoll aplicado a dados de unidades 
amostrais de área fixa pode gerar estimativas inadequadas quando em povoamento pouco 
estocados, onde a área basal por hectare ou sua proporção para a superfície da unidade 
amostral seja muito baixa, próxima ou menor que 12 m²/ha. 
 Por outro lado, em uma Amostra por Contagem Angular, a sua determinação é 
extremamente facilitada, pois cada árvore contada em uma ACA representa a mesma 
quantidade “K” de área basal. Assim, a altura dominante de Pollanschütz ficará definida pela 
média aritmética das maiores árvores até o limite de 12,0 2m de área basal (Ver exemplo em 
11.17, Método 3). 
 
12.2.7 Comparação das alturas médias do povoamento 
 
 As alturas do povoamento comparadas umas as outras podem ser mais bem 
esclarecidas numa curva de altura e diâmetro, conforme mostra a Figura 68. 
 
 
FIGURA 68 _ Relação hipsométrica e distribuição esquemática das diferentes alturas médias 
(Kramer e Akça, 1982). 
 
 Analogamente aos diâmetros médios, as alturas médias do povoamento 
podem, genericamente, obedecer a seguinte hierarquia: 
 
100Poll0ZWLg houhhhhhhh ><<<<<≤< 
 
Biometria Florestal 
 
 
 192 
 
 
 
 
13 VOLUME COMERCIAL DE TORAS 
 
 
 A determinação do volume das árvores e sua quantificação por unidade de 
área é necessária para a elaboração dos planos de manejo florestal, permitindo ao 
administrador inferir sobre o crescimento, estoque, rotação e retorno econômico, entre 
outras possibilidades. 
Por outro lado, para o setor da indústria de transformação, a capacidade de 
produção da floresta e o volume estocado por unidade de área não têm a mesma 
relevância, sendo mais importante a quantificação do volume individual da tora ou de uma 
carga de madeira, buscando aproximar o volume de matéria-prima à quantidade 
produzida. 
Dessa forma, ficam estabelecidos dois objetivos distintos: a determinação do 
estoque em pé (volume de árvores) e a quantificação do volume de toras, pilhas de 
madeira, ou de cavacos, que deverão ser processados industrialmente. 
Na determinação do volume das toras, são utilizados diferentes métodos e 
aplicadas diversas fórmulas, de acordo com a finalidade a que se destina a madeira ou 
mesmo de acordo com a tradição de comércio local. 
De maneira geral, na determinação do volume da tora, são aplicados 
descontos, buscando abater o volume das porções não aproveitáveis. Tais descontos 
variam segundo a região e são fortemente influenciados pelo mercado, ou seja, regulados 
pela oferta e procura de madeira. Não está longe o tempo em que árvores inteiras, 
mesmo de diâmetro que hoje se considera avantajado e desejado por todos os 
serradores, eram abatidas e relegadas ao solo da floresta. Esse fato faz com que se 
considere a mobilidade das dimensões que definem o limite de aproveitamento de uma 
árvore, as quais devem ser consideradas como uma função da abundância do produto e 
de seu valor no mercado. 
Durante a cubicação (determinação do volume) de uma tora o comprador 
procura reduzir o volume com aplicação de taxas de descontos com a tomada de medidas 
Biometria Florestal 
 
 
 193 
na ponta fina, visando a descontar a parte relativa às costaneiras (Silva e Paula Neto, 
1979). 
Para qualquer método de cálculo do volume comercial, a percentagem de 
aproveitamento da tora será dada pela relação entre o volume esquadrejado ou 
descontado e o volume da tora. 
Assim, sendo A(%) = percentagem de aproveitamento da tora; Ve = volume 
esquadrejado; Vr = volume rigoroso da tora calculado, por exemplo, por Smalian ou 
Huber tem-se: 
 
( ) 100.VrVe%A = , portanto; 
( ) .100.
.
2%
2
rv
Ld
A = 
 
No meio madeireiro, são de uso corrente os termos “dúzia de tábuas e dúzia 
cheia”. 
Uma dúzia de tábuas representa um volume de 0,4938 3m de madeira 
serrada, pois, por definição, envolve o volume de 12 tábuas de 1,0 polegada de 
espessura (2,54 cm), 0,30 m de largura e 5,40 m de comprimento, logo: 
 
3m0411,0m40,5m30,0m0254,0v =××= , 
 
33 m5,0m4938,0120411,0tábuas12 ≈=×= . 
 
Apesar da indisponibilidade de tábuas dessas dimensões atualmente no 
mercado, não ocorreu o desuso desta expressão de comercialização, sendo que a dúzia 
será, então, formada pela “soma do volume de tábuas de menores dimensões”, passando 
a ter a denominação de dúzia reduzida. 
A tendência na determinação do volume de toras ou de madeira industrial 
segue para o pátio da indústria; antes ou depois do descascador. Segundo Andrae (2001) 
esse procedimento facilita a organização da indústria e permite a determinação do volume 
e do valor da madeira. 
Embora o comprador da madeira faça a determinação dfo volume este 
procedimento tem sido aceito pelos vendedores a partir da calibração das máquinas por 
empresas independentes e da construção de um sólido sistema de confiança mútua. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 194 
Ainda segundo Andrae (2001), existem poucas incertezas na determinação 
do volume por meio eletrônico, existindo maiores diferenças na determinação da 
qualidade interna das toras. 
Sensores mais atuais permitem escanear a parte interna das toras com 
maior precisão, possibilitando conhecer a densidade da madeira, a existência de galhos 
internos, entre outros (Holz-Kurier apud Andrae, 2001). 
A seguir serão descritos alguns métodos de determinação do volume de 
toras. 
 
13.2 Cubagem com desconto em face 
 
 A cubagem com desconto em face é realizada com a introdução de fatores 
de desconto relativos á casca e eventuais danos na madeira ou mesmo em função do 
alburno. 
 A medição do diâmetro ou circunferência é realizada na ponta fina da tora, 
conforme representado na Figura 69. 
 A fórmula geral para o cálculo é: 
 
 
( ) ( ) Ln2Dn2DVe 21 ⋅⋅−⋅⋅−= , 
 
onde: Ve = volume esquadrejado; 
 1D e 2D = diâmetros perpendiculares tomados na ponta fina; 
 L = comprimento da tora; 
 n = taxa de desconto. 
 
Esse processo, apesar de possibilitar taxas variáveis de desconto, tem 
consagradas duas taxas, que são: 2,5 e 5 cm respectivamente. 
 Assim, pode-se reescrever a fórmula anterior como segue: 
 
 ( ) ( ) L5D5DVe 21 ⋅−⋅−= ou, 
 
 
( ) ( ) L10D10DVe 21 ⋅−⋅−= , respectivamente para taxas de 
 desconto de 2,5 e 5 cm. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 195 
 
 
FIGURA 69 – Cubagem com desconto em face. 
 
 
13.3 Cubagem pelo métododa Alfândega de Paris 
 
O método consiste na determinação do volume da tora pela determinação do 
lado de um quadrado inscrito no círculo da menor face da tora (ponta fina). Nesse 
método, supõe-se uma secção cilíndrica, sendo o volume dado por: 
 
 L.d.2/1Ve 2= , 
 
onde: Ve = volume esquadrejado (m³); 
 d = diâmetro; 
 L = comprimento da tora. 
 
O lado do quadrado inscrito na face da tora, como mostra a Figura 70, pode 
ser determinado pela relação de Pitágoras. 
 Considerando-se o triângulo dSS inscrito em um círculo, tem-se: 
 
222 SSd += , 
22 S.2d = , 
2/dS 22 = , 
Biometria Florestal 
 
 
 196 
 
( )2/dS 2= . 
 
Logo: 
LSv 2 ⋅= , 
L2/dv 2 ⋅= . 
 
FIGURA 70 - Método de determinação de volume pela Alfândega de Paris. 
 
 Onde: d = diâmetro na ponta fina; 
 L = comprimento da tora; 
 S = lado do quadrado inscrito. 
 
 
13. 4 Cubagem pelo método de Frankon 
 
 Para realizar a cubagem por esse método, mede-se a circunferência na 
metade da tora (C) e o comprimento da secção (L), como mostra a Figura 71. 
 
 
 
 FIGURA 71 - Cubagem pelo método de Frankon. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 197 
 Após, determina-se o volume pela fórmula do 4° reduzido, 5° reduzido, ou 6° 
reduzido, conforme a taxa de desconto que se queira aplicar. 
 
( ) L.4/Cv 2f = , 
 
onde: fv = volume de Frankon em 3m (4° reduzido); 
 C = circunferência a 50% de L; 
 L = comprimento da tora. 
 
O fv pode, ainda, ser reduzido diretamente do volume do cilindro a partir da 
determinação de um fator de correção dado por: 
 
cfc vvf = , 
 
onde: cf = fator de correção; 
 fv = volume de Frankon em 3m ; 
 cv = volume do cilindro em 3m . 
 
O cálculo desse fator dá uma idéia da redução de volume obtido com a 
fórmula de Frankon em relação ao volume da tora quando cubicado na metade da tora. 
Para as diferentes taxas de desconto, o fator de correção pode ser calculado 
do seguinte modo: 
 
( )
[ ] 7854,041
4
1
L
4
C
L
4
C
f
L4/C
L4/Cf 2
2
2
c2
2
c =
pi
=
pi
=
⋅
pi⋅
⋅
==
⋅pi⋅
⋅
= , 
 
Portanto, 
 
cf v.7854,0v = , 
Lg7854,0v f ⋅⋅= . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 198 
Para o 5° e 6° reduzido, as fórmulas e os fatores são, respectivamente: 
 
( ) L5Cv 2f ⋅= , portanto, 5026,0fc = , 
 
 ( ) L6Cv 2f ⋅= , portanto, 3490,0fc = . 
Assim, considerando uma tora com exatos 1 m³ de volume, se for aplicada a 
fórmula de Frankon do 4º, 5º e 6º reduzido, resultarão, respectivamente, os volumes de 
0,7854 m³, 0,5026 m³ e, 0,6490 m³. 
 
13.5 Cubagem em função da perda de equipamento 
 
Essa determinação do volume aproveitável consiste na aplicação de um 
fator de desconto sobre o volume rigoroso da tora. O fator de desconto é obtido em 
função da perda provocada pelo equipamento, defeitos, forma da árvore etc. Assim, 
calcula-se o volume da tora através de uma fórmula de cubagem e aplica-se o fator de 
aproveitamento, obtendo-se o volume serrado. 
 Esse método tem maior sentido para estimativas de grandes volumes, como, 
por exemplo, em uma serraria. 
 
 fa.vserrado.Vol r= , 
 
onde: ;rigorosovolumevr = 
. entoaproveitamdefatorfa = 
 
Supondo-se uma tora de araucária com 5,40 m de comprimento e diâmetros 
de 52,0 e 60,0 cm sem casca, respectivamente nas pontas fina e grossa, o volume 
rigoroso sem casca será: 
 ( ) L.2/ggv 21r += , 
 ( ) 4,5.2/212,0283,0vr += → 3r m336,1v = . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 199 
 
Sendo o fator de aproveitamento = 0,7 tem-se: 
 
3
serrado m935,07,0.336,1V == , 
ou também 
 87,15,0/935,0 = dúzias de tábuas, 
pois, como mencionado no início deste capítulo, uma dúzia de tábuas apresenta um 
volume de 0,4938 3m ou, aproximadamente, 0,5 3m . 
 
13.6 Volume de madeira laminada 
 Segundo Silva e Paula Neto (1979), o volume de laminado depende 
diretamente da forma da tora, pois quanto mais cilíndrica, maior será o aproveitamento 
Na cubagem da madeira para laminação, deve-se considerar que as 
máquinas conseguem desenrolar a madeira até certo diâmetro e que o diâmetro do 
cilindro de madeira descartado varia com o tipo de equipamento. É necessário ainda 
conhecer o diâmetro da tora e a espessura do laminado, conforme o esquema da Figura 
72. 
 
FIGURA 72 - Cubagem de madeira laminada (Silva e Paula Neto, 1979) 
Onde: � = perdas para tornar a tora cilíndrica; 
Biometria Florestal 
 
 
 200 
� = perdas devido ao diâmetro mínimo do torno desenrolador; 
 � = parte da madeira desenrolada; 
 D = diâmetro da tora; 
 d = diâmetro mínimo laminável; 
 e = espessura do laminado; 
 L = comprimento. 
O volume do laminado ( )lv será expresso por: 
 L.4/dL.4/Dv 22l ⋅−⋅= �� , 
 
( )22l dDL.7854,0v −= , 
onde: D = diâmetro da tora na ponta fina; 
 d = diâmetro mínimo laminável; 
A quantidade de laminado (q) em metros linear é dada por: 
 ( ) e/L/vq l= , 
onde: e = espessura da lâmina de madeira. 
A superfície da lâmina (S) em metros quadrados é dada por: 
L.qS = . 
Considerando-se, por exemplo, uma tora para laminação com diâmetro na 
ponta fina de 60,0 cm e comprimento de 2,0 m, e considerando-se ainda, que o torno 
desenrolador possa trabalhar até um diâmetro mínimo de 10,0 cm e que a espessura do 
laminado seja de 2,0 mm, obtém-se pela aplicação das fórmulas anteriores: 
Volume do laminado ( lv ) = 0,5458 3m ; 
Quantidade linear (q) = 137,45 m; 
Superfície (S) = 274,89 2m . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 201 
13.7 Volume de madeira empilhada 
A madeira, quando seccionada em toretes e comercializada empilhada, tem 
o volume expresso em metros ésteres (mst), que representa o volume aparente de 
madeira contido em uma pilha com as dimensões: 1,0 m de largura, 1,0 m de altura e 1,0 
m de profundidade. 
Para conhecer o volume sólido existente em um metro estere, é necessário 
calcular um fator de cubicação ou de conversão. Esse fator varia com a espécie e, mesmo 
dentro da espécie com a variabilidade dos diâmetros, com a classe de diâmetro, 
tortuosidade, comprimento dos toretes, forma de empilhamento; se manual ou por meio 
de máquinas, procedência da madeira, entre outros. O movimento durante o transporte 
também pode introduzir mudanças importantes no fator de transformação estere/m³. 
Andrae (2001) relata resultados de estudo conduzido com dezenas de 
cargas de madeira de Pinus de mesma procedência, com toretes de 1 m de comprimento, 
no qual observou que, mesmo em condições de pilhas e material homogêneos, houve 
uma variação no fator de empilhamento na ordem de 11%. 
Em outro experimento com toras de Picea, com comprimento de toras 
variando entre 2 a 6 m, que o fator para conversão volume sólido/estéreo variou em 7,2%. 
De acordo com a finalidade da madeira ou mesmo por interesse interno da 
empresa ou do comprador da madeira, o comprimento dos toretes pode mudar de acordo 
com a espécie, procedência, classe de diâmetro, equipe de exploração que produziu a 
madeira, entre outros. 
 Assim, por exemplo, madeira de eucalipto para celulose produzida pelo 
corte próprio com 2,20 m de comprimento; de eucalipto cortado por empreiteiros com 2,40 
m; madeira de acácia de 2,0 m e, madeira para energia/lenha com dimensão entre 0,90 – 
1,0 m. 
 A altura das pilhas também é variável em função do método de 
empilhamento, ou seja, manual ou mecânico. 
 
O fator de cubicação (Fc) pode ser interpretado como um fator de forma para 
a pilha, pois reduz o volume aparente para o volume sólido. Este fator pode ser 
determinado por diversosmétodos que serão descritos a seguir. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 202 
13.7.1 Determinação do fator de cubicação por cubagem individual 
 
 Consiste na cubagem individual de todos os toretes de cada pilha de 
madeira tomada como amostra no povoamento em estudo. O somatório dos volumes 
rigorosos individuais dos toretes fornece o volume sólido de madeira na pilha (Vr). 
 O volume aparente (Va) é obtido pela medição em altura (h), largura (p) e 
comprimento das pilhas (L). 
 
 V= h. p. L. 
 
 O fator de cubicação (FC) é, então, dado pela razão entre o volume sólido 
da pilha e o seu respectivo volume aparente empilhado, ou seja: 
 
. Va/VrFC = 
Na Tabela 41 estão relacionados alguns fatores de cubicação distribuídos 
em classes de diâmetro para pilhas de Eucalyptus spp. calculadas na Riocell S.A. 
Em razão da morosidade na cubagem individual de toretes pode-se lançar 
mão da relascopia para, com base no princípio da ACA, determinar o fator de cubicação. 
TABELA 41 - Fatores de cubicação para Eucalyptus spp., distribuídos por classe de 
diâmetro 
 
Classe de dap 
 
Fc 
 
 5 – 9,9 
 
0,52 
10 – 14,9 0,61 
15 – 19,9 0,66 
20 – 24,9 0,71 
25 – 29,9 0,71 
30 – 35,0 0,71 
 
 
13.7.2 Determinação do fator de cubicação pelo princípio da ACA 
67,0FC =
−
 
Biometria Florestal 
 
 
 203 
Esse método de determinação do fator de cubicação é simples e rápido, 
permitindo repeti-lo várias vezes, e oferece ainda grande precisão em relação ao método 
anterior. 
A determinação do fator é feita com auxílio de um gabarito para a realização 
de uma ACA, construído, preferencialmente, de plástico transparente rígido, cartolina, 
madeira ou qualquer outro material. O princípio de construção é função da amplitude dos 
diâmetros, havendo necessidade de se conhecer o maior diâmetro da pilha. 
Para a construção do gabarito, segundo Silva (1977), deve-se desenhar, um 
círculo correspondente ao maior diâmetro sobre o material escolhido e determinar-se o 
seu centro (A), por onde deve passar uma reta de comprimento igual a cinco vezes o 
valor do diâmetro. Com o traçado desta reta, fica definida a posição B. Encontrada a 
posição B, traçando-se duas tangentes (t1 e t2) em direção ao círculo A, cujos lados 
definem o ângulo alfa ou largura do gabarito, conforme a Figura 73. 
A determinação do fator é feita colocando-se o gabarito sobre as secções 
dos toretes em um ponto qualquer da pilha e realizando um giro com o gabarito a partir 
deste ponto e, simultaneamente, contando os toretes cujas secções apresentem-se 
maiores que a largura do gabarito, conforme mostra a Figura 74. A marcação dos toretes 
selecionados pode ser feita com giz. 
Se, por exemplo, na realização da ACA forem contadas 56 secções, pelo 
princípio da construção do gabarito, o fator de cubicação será dado pelo centésimo deste 
número, assim: 
 
56,0100/56FC == . 
A explicação para este fato está na teoria da relascopia onde o fator de área 
basal para superfícies circulares é: 
 2/senK 2 ∞= 
 ( ) ( ) 1,0d.5/d.5,02/sen ==∞ portanto, 
 
22 1,02/senK =∞= K=0,01 
Biometria Florestal 
 
 
 204 
 
FIGURA 73 - Representação esquemática do gabarito para determinação do fator de 
cubicação. 
 
FIGURA 74 - Procedimento de contagem das secções na pilha de madeira segundo o 
princípio da ACA. 
O limite do círculo delimitado pelo gabarito não deve ultrapassar os limites 
da pilha. Caso a pilha seja pequena, pode-se, eventualmente, efetuar a contagem em 
semicírculos ou em quadrantes, sendo o fator de transformação multiplicado por 2 ou 4, 
respectivamente, ou construir um gabarito menor. Nesse caso, deve-se calcular o fator de 
enumeração “K” para o novo gabarito, por exemplo, se o gabarito for construído com 2,5 
vezes a dimensão do maior diâmetro, o valor de K será 0,04. 
Na execução da enumeração, deve-se assinalar todas as secções que 
satisfazem os critérios fundamentais, ou seja, tenham diâmetro maiores que a largura do 
gabarito. Fazem-se as medições nos dois lados da pilha e a média de “n” pontos de 
amostragem fornece o valor de FC. 
Loetsch et al. (1973) obtiveram bons resultados de FC com poucas unidades 
amostrais (< 10). 
 
13.7.4 Determinação do fator de cubicação por rede de pontos 
 
Biometria Florestal 
 
 
 205 
Esse método consiste em tomar fotografias e medir a proporção de secções 
com base em uma rede de pontos. 
Segundo Garcia (1995), uma alternativa do método para aplicação direta a 
campo consiste em utilizar uma vara graduada em intervalos regulares e sobrepô-la sobre 
a face da pilha. A determinação do fator é feita pela proporção de marcas que caem sobre 
a face dos toretes. A vara será reposicionada nas faces da pilha em grande número de 
vezes para se obter a precisão desejada. 
A variância aproximada na medição de área com rede de pontos quadrada é 
dada por: 
 S² = 0,0728. P.a³, 
 
onde: S² = variância; P = perímetro da área e, a = espaçamento da rede. 
 
O autor cita que o valor da constante na fórmula, 0,0728, foi apresentado por 
Matheron, em 1985, e introduzida na literatura florestal por Bouchon (1975)¹ e 
Chevrou(1979)². 
O coeficiente de variação, baseado na área A e no número de pontos 
contados na fórmula anterior foi apresentados por Gunderren e Jensen (apud Garcia 
1995), pela expressão: 
4
3
5,0).(27,0
N
A
P
A
CV == τ . 
 
O coeficiente 
A
P
 tem um mínimo de pi2 para círculos e alcançam 33 
para figuras de forma heterogênea; o que reflete no CV em amplitude entre 4
3
5,0 N à 
4
3
5,1 N . 
 
VER de quem veio 
 
1 Bouchon, J. Ann. Sci For. N.32,p.131-134,1975 
2 Chevrou, R.B. Resouce Inventory Notes. N. 
 
13.7.4 Determinação do fator de cubicação por medição eletrônica 
Biometria Florestal 
 
 
 206 
A face das secções dos toretes são reproduzidas em um monitor por 
processo ótico eletrônico. 
A diferença de área entre a superfície das secções e a área total coberta 
pela imagem fornece eletronicamente o fator de cubicação. Nesse caso, a precisão obtida 
está em torno de 98%. 
 
13.8 Quantificação do peso 
A quantificação da madeira industrial por pesagem parece ser a futura forma 
de medição. Nesse método, o material a ser quantificado pode ser apresentado na forma 
roliça com diferentes diâmetros e comprimentos, ser originado de serraria ou mesmo na 
forma de cavacos, sendo necessária apenas uma balança. 
Entretanto, deve ser considerado que a madeira pode apresentar, por 
ocasião da pesagem, diferentes teores de umidade os quais irão variar com o tempo, 
além da variação de densidade. 
Embora o teor de umidade possa ser determinado de maneira relativamente 
rápida com o emprego de sensores eletrônicos, por exemplo, a variação da densidade no 
interior de uma peça de madeira e dentro de uma carga torna imprecisa a quantificação 
da massa seca. 
Da mesma forma, a umidade da madeira varia muito com a época do ano, 
com o tempo transcorrido desde o corte da árvore, com a dimensão das peças, clima e 
local de origem da madeira, sendo necessário determinar o teor de umidade em diversos 
locais de cada pilha quando se deseja utilizar a pesagem como forma de quantificar a 
massa seca. 
Esse fato onera muito o processo, tornando-o inviável, em alguns casos, 
como, por exemplo, quando se tratar da predicção da massa de poucas pilhas de madeira 
sólida ou de cavacos, pois serão necessárias muitas amostras para se alcançar a 
precisão requerida. 
Por outro lado, para grandes quantidades de madeira distribuídas em cargas 
ao longo do ano, bastam poucas amostras para se obter intervalos de confiança inferiores 
a 1%, conforme mostra Andrae (2001). 
A determinação de um fator de conversão médio é dada por: 
BiometriaFlorestal 
 
 
 207 
Peso seco = peso verde x (1-TU) x DB, 
 
 
s 
verdevolume
ecopeso
V
pDB == , 
100.%
p
pPTU −= , 
onde: p = peso seco; P = peso verde; V = volume verde; TU teor de umidade. 
Biometria Florestal 
 
 
 208 
 
 
 
14 CRESCIMENTO DAS ÁRVORES 
 
O crescimento é resultante da atividade meristemática e tem como 
conseqüência o alongamento (h) e engrossamento (d) de raízes, galhos e tronco, 
causando alterações no peso, volume e na forma da árvore. O crescimento apical de 
todas as partes da árvore é atribuído à atividade do meristema primário, e o crescimento 
em diâmetro, ao meristema secundário ou câmbio. 
O câmbio produz as células do lenho para dentro, que serão agregadas ao 
alburno, dando origem ao incremento em diâmetro e para fora casca. Com o passar do 
tempo, as células mais internas do alburno perdem a atividade fisiológica, havendo a 
formação de novas substâncias, fechamento de poros, e a impregnação das paredes 
celulares com extrativos. Esse processo, conhecido como cernificação, aumenta a 
resistência e a capacidade de suporte das árvores. 
Desta maneira, pode-se diferenciar o lenho entre cerne e alburno, os quais 
são caracterizados por: 
� Alburno: é o lenho mais externo, constituído de células com coloração 
normalmente mais clara e menor durabilidade natural; 
� Cerne: é o lenho mais interno, constituído de células com coloração 
normalmente mais escura, maior durabilidade natural, maior resistência mecânica e maior 
peso específico. 
As camadas do lenho não se desenvolvem uniformemente durante o período 
vegetativo. Em algumas espécies, as novas células, formadas na primavera e verão, 
apresentam lúmen maior e parede celular mais fina, resultando em menor densidade. No 
outono e inverno, as células formadas são menores e apresentam paredes mais espessas 
e lúmen reduzido, dando aos tecidos coloração mais escura e maior densidade. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 209 
Essas diferenças que ocorrem durante as estações de crescimento 
permitem visualizar os anéis anuais de algumas espécies. Em outras, a identificação dos 
anéis de crescimento é mais difícil. 
De maneira geral, a nitidez das camadas de crescimento depende da 
constituição do lenho, espécie estudada, idade da árvore, taxa de crescimento e do sítio. 
Alguns fatores como longo período de seca, frio fora de época, intensivo 
ataque de pragas, poluição do ar e da água, entre outras alterações que provocam a 
redução da atividade meristemática, podem afetar a formação e distinção dos anéis de 
crescimento. A maior ou menor capacidade de diferenciação dessas camadas depende 
da intensidade de variação nas dimensões celulares no início e no fim da estação de 
crescimento. 
O crescimento das árvores é influenciado pelos fatores genéticos da espécie 
interagidos com o meio ambiente, o qual compreende os fatores. 
 
� Climáticos: temperatura, precipitação, vento e insolação; 
� Solo: características físicas, químicas e biológicas; 
� Topográficos: inclinação, altitude e exposição; 
� Competição: influência de outras árvores, vegetação rasteira e animais. 
 
A interação de todos esses fatores sobre a planta expressa a qualidade do 
sítio, sendo que, se as condições de crescimento são boas o sítio, é considerado bom e 
vice-versa (Husch et al.,1982). 
Um sítio bom para uma determinada espécie pode ser ruim para outra. Por 
isso, a qualidade do sítio é definida individualmente para cada espécie. O sítio é expresso 
pela média do crescimento das árvores de uma espécie em um determinado local. 
O homem pode, até certo ponto, alterar a produtividade de um sítio através 
de tratos silviculturais, seleção de árvores com melhor possibilidades genéticas e 
melhoramento dos fatores ambientais como água, nutrientes, estrutura do solo etc. 
 
 
14.1 Incremento 
 
Biometria Florestal 
 
 
 210 
O incremento de uma árvore ou povoamento é definido em relação a um 
período de tempo durante o qual o crescimento ocorre. Esse período pode ser um dia, um 
mês, um ano, uma década etc. 
De acordo com o período envolvido, pode-se diferenciar os incrementos a 
seguir relacionados: 
 
14.1.1 Incremento corrente anual 
 
Expressa o crescimento ocorrido entre o início e o fim da estação de 
crescimento, em um período de 12 meses. 
 
)1m()m( yyICA −−= , 
 
onde: m = ano ou idade de referência; 
 y = dimensão considerada. 
 
14.1.2 Incremento periódico 
 
Expressa o crescimento em um período de tempo determinado. 
)nm()m( yyIP −−= , 
onde: n = período de tempo. 
Se “n” for igual a 1, o IP será igual ao ICA. 
 
14.1.3 Incremento médio anual 
 
Expressa a média anual do crescimento para qualquer idade. É obtido pela 
divisão da grandeza atual da variável considerada pela idade: 
 
 
m
y
IMA )m(= , 
onde: )m(y = valor da variável na idade m; 
 m = idade. 
Biometria Florestal 
 
 
 211 
 
 
14.1.4 Incremento periódico anual 
 
Dependendo da velocidade de crescimento do povoamento, torna-se difícil 
medir o incremento em um período curto de tempo. Esse fato é mais pronunciado em 
florestas de maiores latitudes. Nesses casos, pode-se expressar o incremento anual pela 
média do crescimento para um determinado período de anos: 
 
n
yy
IPA )nm()m( −
−
= , 
onde: IPA = incremento periódico anual; 
 )m(y = valor da variável no final do período; 
 )nm(y − = valor da variável no início do período; 
 n = período de tempo. 
 
Os incrementos são aplicados para árvores individuais ou para povoamentos 
e para qualquer variável dendrométrica (d, h, g, v etc.), sendo expresso em 3m ou m3/ha, 
2m , m, cm, etc., de acordo com a variável considerada 
Convencionalmente, quando não houver indicação da variável medida, esta 
será considerada como sendo incremento volumétrico por hectare. 
 
 
14.2 Curvas de crescimento 
 
O desenvolvimento das árvores depende de duas variáveis principais: o 
tempo e o ambiente. 
Sendo os fatores ambientais favoráveis, as árvores podem apresentar, em 
determinada época, o máximo rendimento, ficando implícitas suas potencialidades 
genéticas. 
A Biometria avalia esse desenvolvimento pela relação crescimento/tempo, 
considerando os fatores ambientais e genéticos constantes. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 212 
Sob esse ponto de vista, é possível construir os fundamentos matemáticos 
para estimar o crescimento das árvores em determinado sítio. 
Quando se plota uma dimensão de uma árvore, como v, d, h, etc. em 
relação à idade, constrói-se uma curva, denominada curva de crescimento, que é 
caracterizada pela forma de sigmóide ou de S e que mostra o tamanho acumulado até 
uma certa idade. Essa curva, segundo Husch et al. (1982), tem a mesma conformação 
tanto para células individuais, como tecidos, órgãos, animais ou vegetais durante toda a 
vida, como também é o padrão para pequenos períodos como uma estação de 
crescimento. 
De acordo com a variável que estiver sendo considerada, ocorrerão 
mudanças na forma exata da curva, permanecendo, entretanto, para qualquer caso, as 
suas características básicas. 
A curva de crescimento mostra o tamanho alcançado em cada idade, 
começando no ponto zero e subindo, inicialmente de forma paulatina para, depois, de 
forma mais íngreme até um ponto de inflexão. Após este ponto, a curva muda de 
concavidade, a inclinação diminui e aproxima-se assintoticamente do valor final. 
Na Figura 75, são apresentadas: a curva de crescimento, as fases 
correspondentes ao crescimento de um ser vivo qualquer e as curvas dela derivadas, 
representando os incrementos médio anual (IMA) e corrente anual (ICA). 
Verifica-se que, durante a fase juvenil, a taxa de incremento aumentarapidamente até um valor máximo que ocorre no ponto de inflexão da curva de 
crescimento. Durante as fases de maturidade e senescência, as taxas de crescimento 
decrescem. 
Biometria Florestal 
 
 
 213 
 
FIGURA 75 � Curvas de crescimento típico e suas fases de desenvolvimento (a) e curva 
dos incrementos médio e corrente anual (b). 
 
As curvas dos incrementos corrente anual (ICA) e médio anual (IMA) podem 
ser derivadas da curva de crescimento para idades escolhidas, “plotando-se” os 
incrementos sobre a idade. Analiticamente, podem ser obtidas pela função diferencial da 
curva de crescimento; ou seja, a derivada primeira da função de crescimento descreve o 
incremento corrente, e a derivada segunda, o incremento médio. 
Observando-se a Figura 75 (b), verifica-se que o IMA culmina quando é igual 
ao ICA e que, quando o ICA culmina (ponto de máxima aceleração de crescimento), 
ocorre a inflexão na curva de crescimento. 
É importante lembrar que cada espécie e cada fase de desenvolvimento 
apresenta um tempo fisiológico diferente. Assim, por analogia, uma árvore de Pinus 
poderá ser fisiologicamente bem mais velha que uma Araucaria de mesma idade, pois o 
Pinus desenvolve-se mais rapidamente que a Araucaria (Figura 76). 
As medições para a construção das curvas de crescimento são, em geral, 
feitas através de inventário em parcelas permanentes e/ou análise de tronco. Quando 
forem usadas parcelas permanentes, deve-se ter os pontos de medição marcados em 
cada árvore (dap) para se obter maior precisão nas estimativas. 
 
 
 
juvenil 
adulta 
senil 
Biometria Florestal 
 
 
 214 
 
 
FIGURA 76 � Curvas de crescimento para duas espécies florestais com relação de 
crescimento/tempo distintas. 
 
O estudo do incremento passado, por meio da análise de tronco, pode ser 
feito através da medição e contagem dos anéis de crescimento em diversas secções ao 
longo do tronco, o que permite conhecer os incrementos para d, h, e v e, ainda, 
reconhecer as mudanças ocorridas na forma das árvores. 
 
 
14.3 Funções para descrever o crescimento 
 
Na área florestal, existem diversas aplicações para as funções de 
crescimento. Além de fornecer a evolução de qualquer variável dendrométrica sobre a 
idade, é útil na classificação do sítio, que se constitui no passo inicial e imprescindível 
para a elaboração das tabelas de produção, permite calcular os máximos do incremento 
corrente e médio anual; determinar a idade na qual poderá ser obtido o máximo volume, 
o melhor retorno financeiro ou tecnológico; facilita a ordenação da floresta visando o 
rendimento sustentado e permite a execução de simulações para otimizar a obtenção de 
sortimentos específicos (Kiviste et al.,2002). 
As características principais da curva de crescimento são a presença de um 
ponto de inflexão que corresponde ao ponto de máximo do ICA e a sua assíntota, que 
representa o tamanho máximo que a variável pode alcançar. 
Nos modelos matemáticos que descrevem o crescimento, essas 
características são consideradas desejáveis, sendo importante ainda, conforme Goelz e 
Biometria Florestal 
 
 
 215 
 
Burk (1992) apud Kiviste (2002), que o modelo mostre estimativas com comportamento 
lógico. Por exemplo, que a curva de altura passe pela origem e que o diâmetro seja zero 
quando a altura atingir 1,3 m; que tenha base biológica, isto é, seja derivada do 
conhecimento teórico sobre a variável. Outra característica desejável é que o modelo 
tenha bom ajuste e precisão a diferentes conjuntos de dados. 
Segundo Assmann (1961), o estudo da produção deve quantificar o 
crescimento da floresta na dependência do tempo, do sítio e de interferências técnicas e 
econômicas. Entretanto, deve ser observado que os conceitos de leis de crescimento 
emitidos são apenas relações biológicas que se diferenciam das leis físicas clássicas em 
dois sentidos: 
� Estocástico: tratam-se de relações mais ou menos fracas, nas quais a 
formulação matemática não é facilmente reconhecida; 
� As condições biológicas apresentam-se complexas e são facilmente 
alteradas. 
A descrição matemática do crescimento pode ser feita, em geral, com uma 
função apropriada, empregando-se as técnicas de regressão múltipla, linear ou não-linear. 
Diversos autores abordam o ajuste de modelos matemáticos a dados de crescimento, 
dentre os quais destacam-se: Stevens (1951); Gomes (1953); Patterson (1956); Richards 
(1959); Prodan (1968); Rawat e Franz (1973); Sterba (1974), Schneider (1984), Finger 
(1991). 
Kiviste et al. (2002) estudaram 74 modelos matemáticos mais empregados 
na descrição do crescimento, classificando-os em oito grupos distintos. 
Alguns modelos empregados para descrever o crescimento são: função 
alométrica, função exponencial, função de Gram, função de Korsun, polinômio do 30 grau, 
função de Backman, função de Mitscherlich e função de Richards. 
 
14.3.1 Função alométrica 
Y = b0 . t b2 , 
 
onde: Y = tamanho da variável considerada na idade (t); 
 21 b,b = coeficientes do modelo; 
Biometria Florestal 
 
 
 216 
A forma linear da função é dada por: ln Y =ln b0 + b1 t. 
Essa função passa pela origem, é sempre crescente (não apresenta ponto 
de máximo), não tem ponto de inflexão e nem assíntota. 
 
14.3.2 Função exponencial 
e
tb
0
1
.bY = , 
 
onde: Y = tamanho da variável considerada na idade (t); 
 21 b,b = coeficientes do modelo. 
A forma linear da função é dada por: tbblnYln 10 += . 
A função não tem ponto de máximo, não passa pela origem, não tem ponto 
de inflexão e nem assíntota. 
 
14.3.3 Função de Gram 
( )tbtlnbb 210eY ++= , 
 
onde: Y = tamanho da variável considerada na idade (t); 
b0, 21 b,b = coeficientes do modelo. 
A forma linear da função é dada por: ( )tbtbbY 210 lnln ++= . 
A função não passa pela origem, mas apresenta ponto de máximo, ponto de 
inflexão e assíntota. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 217 
14.3.4 Função de Korsun 
 
( )tlnbtlnb 221e.AY += , 
 
onde: Y = tamanho da variável considerada na idade (t); 
 21 b,b = coeficientes do modelo; 
 A = máximo valor alcançado por Y quando t = � (assíntota). 
Nesse modelo a ausência do coeficiente “b0” faz com que, na idade zero, a 
variável dependente (h, v, etc.) seja também zero. 
Uma modificação da função de Korsun com a inclusão do termo “ 0b ” 
apresenta-se: 
 
( )( )2210 tbtbbe1AY ++−= . 
 
Para a solução pelo método dos mínimos quadrados, tem-se: 
 
( ){ } 2210 tbtbbA/YAln ++=− . 
 
 
14.3.5 Polinômio do 3º grau 
 
O polinômio de terceiro grau é outro modelo que pode ser ajustado para 
descrever o crescimento em função da idade através do método de mínimos quadrados. 
A sua fórmula geral é: 
3
3
2
210 tbtbtbbY +++= , 
onde: Y = variável dependente (d, h, V, etc...); 
 t = variável independente (idade); 
3210 beb,b,b = coeficientes do modelo. 
A função não passa pela origem, não tem assíntota, mas apresenta máximo 
e ponto de inflexão. 
Biometria Florestal 
 
 
 218 
 
 
14.3.6 Função de Backman 
 
A função de crescimento de Backman é expressa por: 
 
)tlnbtlnbb( 2210eY ++= , 
 
onde: Y = tamanho da variável y na idade (t); 
 210 b,b,b = coeficientes do modelo. 
 A forma linear é dada por: ( )tblntlnbbYln 2210 ++= . 
A função não passa pela origem, tem assíntota, apresenta máximo e ponto 
de inflexão. 
A integração desta função é, em essência, a função de crescimento de 
Petterson, que corresponde à integral da distribuição de Gauss (Prodan,1968). 
A função de Backman, também denominada lei de Backman, formulada com 
base na observação de que um ser vivo apresenta, em seu desenvolvimento, três fasesdistintas: juventude, adulta e senil, baseia-se no tempo biológico e não físico, 
apresenta o seguinte enunciado: 
 
“A altura atingida por uma árvore no ano em que culmina o ICA em 
altura representa 15,9% da altura final que a árvore pode atingir” (altura teórica final 
– ATF). 
Dessa maneira, conhecendo-se as alturas atingidas em diferentes idades 
pode-se calcular as alturas teóricas em %, conforme exemplificado na Tabela 41. 
 
 
 
TABELA 41 - Determinação da altura teórica final segundo Backman 
Biometria Florestal 
 
 
 219 
 
Idade 
 
h 
 
ICA 
 
% 
 
1 
 
0,25 
 
0,25 
 
1,37 
2 0,40 0,15 2,19 
3 0,88 0,48 
4 1,62 0,74 
5 2,10 0,48 
6 2,90 0,80 15,9 
7 3,68 0,78 
8 4,22 0,54 23,14 
• • • • 
• • • • 
 
• • • • 
 
Os valores da tabela são calculados conforme exemplificado a seguir: 
 
%100x
%9,1590,2
−−−−−
−−−−−
 
x = 18,24 m A.T.F 
Como 18,24 m representam a altura final, tem-se: 
x25,0
%10024,18
−−−−−
−−−−−
 
 x = 1,37% 
 
O uso do “papel de probabilidade” para desenhar as % de ATF, atingidas 
nas diferentes idades, permite calcular a altura a ser obtida em outras idades, caso o 
crescimento em altura siga a lei de Backman. 
Sterba (1974) demonstrou, para dados de crescimento em altura sobre a 
idade para Picea (ajustados pela função de Richard’s, 1959) que, na dependência do 
índice de sítio, a altura da árvore dominante na idade de culmínio do incremento corrente 
representava 20 a 30% da altura final. 
Biometria Florestal 
 
 
 220 
 
 
14.3.7 Função de Mitscherlich 
 
Foi introduzida pelo autor, na Alemanha, a partir de estudos de fertilização 
de solos: 
 
( ){ }btC101.AY +−−= , 
 
onde: A = máximo valor (assíntota); 
 c = parâmetro que mede a eficiência do fertilizante; 
 b = parâmetro que mede a quantidade de fertilizante do solo disponível para a 
planta. 
Mitscherlich realizou vários experimentos em casa de vegetação, ajustando 
a curva com somente dois parâmetros e mantendo o valor de “C” constante: sempre o 
mesmo para cada fertilizante. 
Posteriormente foi provado que “C” não era constante, mas variava com as 
quantidades de fertilizantes, sendo, a partir daí, esta função pouco usada por causa da 
dificuldade de se obter ajuste por métodos satisfatórios (Gomes, 1953). Atualmente, a 
solução dos parâmetros pode ser obtida com facilidade pelo emprego de um pacote de 
regressão não-linear. 
 
 
14.3.8 Função de Richard’s 
 
A função de Richard’s (1959) é expressa por: 
 
( ) ( )m1/1Kte.b1.AY −−−= , 
 
onde: Y = tamanho da variável na idade t; 
 A = valor da assíntota; 
A, b, k, m = parâmetros. 
Biometria Florestal 
 
 
 221 
Essa função apresenta a vantagem de permitir uma interpretação lógica e 
ser bastante flexível, adaptando-se bem ao desenvolvimento de diferentes variáveis 
dendrométricas. O coeficiente “A” (a assíntota) representa a dimensão quando a idade 
tende ao infinito; “K” representa a velocidade de crescimento e “m” é a proporção de “Y” 
por ocasião do culmínio do incremento corrente em relação ao valor máximo a ser 
alcançado, ou seja, “A”. 
Segundo o autor, a função transforma-se em diferentes modelos segundo a 
variação do coeficiente “m”. Quando “m” for zero, a função assume a forma 
monomolecular (Função de Mitscherlich). Esta não tem ponto de inflexão, e sua taxa de 
crescimento decresce linearmente com o aumento da variável dependente. Por esses 
motivos, a função monomolecular é empregada principalmente para representar a porção 
de vida após o culmínio do incremento corrente anual. 
Quando “m” assume valor 1, o modelo transforma-se na função de 
Gompertz. Essa é assimétrica em relação ao ponto de inflexão e apresenta uma relação 
linear entre a taxa de crescimento relativa e o logaritmo da variável dependente, e 
também, entre o logaritmo da taxa de crescimento relativa e a idade. Essa função é mais 
apropriada para estudos de crescimento de animais. 
Quando “m” for igual a 2, a função apresenta-se como a curva logística, cuja 
característica é simetria em relação ao ponto de inflexão, sendo que a taxa de 
crescimento relativa também decresce linearmente com o incremento de Y. 
De maneira geral, a função de Richard’s é empregada para estudos na 
Biometria Florestal com o coeficiente b igual a 1, passando a curva a ser escrita como: 
 
( ) ( )mKteAY −−−= 1/11. . 
As estimativas dos coeficientes devem ser obtidas por regressão não-linear. 
A função passa pela origem, tem assíntota e ponto de inflexão e não apresenta máximo. 
 
 
14.4 Obtenção de dados para estudo do crescimento 
 
 O estudo do crescimento requer longo período de observação das 
dimensões da árvore ou do povoamento sob diferentes condições de sítio, de desbaste, 
adubação, preparo de solo, variação da disponibilidade de água, entre outras. 
Biometria Florestal 
 
 
 222 
 Essa necessidade leva à instalação e manutenção de uma rede de parcelas 
permanentes, muitas vezes instaladas como experimentos de espaçamento, preparo de 
solo e adubação, desbaste, desrama, etc. 
 A vantagem do emprego de parcelas permanentes para a obtenção dos 
dados, é conhecer precisamente, ao longo de todo o período de observação, as 
condições que as árvores estiveram expostas a fatores como, por exemplo, densidade, 
competição, sanidade, sítio. 
 Para isso, é necessário que as parcelas sejam sempre identificáveis na 
floresta; o que é conseguido com estacas e tinta, ou mesmo com GPS. 
Deve-se considerar a necessidade da instalação de parcela testemunha; de 
um número suficiente de repetições que possibilite a análise estatística; que a área 
manejada da parcela (por exemplo, desbastada) seja maior que a área com árvores 
mensuráveis e que todas recebam igualmente o mesmo manejo. O tamanho da parcela 
deve ser planejado de maneira que, por ocasião do final do experimento, exista um 
número mínimo de árvores mensuráveis. 
 A observação das árvores em parcelas permanentes tem, entretanto, 
desvantagens, como o longo período entre a instalação e a obtenção do resultado, bem 
como o maior custo envolvido. 
 Outro método para a obtenção de dados visando o estudo do crescimento é 
a análise de tronco (ver o cap. 15). Essa técnica permite descrever retrospectivamente o 
crescimento da árvore e, a partir daí, construir curvas de crescimento da altura, volume, 
etc. sobre a idade. Também permite estudos cronológicos pela datação dos anéis anuais 
de crescimento com aplicações na Dendroecologia e Dendroclimatologia. 
 A vantagem do método está na rapidez, boa precisão e baixo custo para a 
obtenção dos dados. Entretanto, o método limita-se a quantificar o crescimento da árvore-
amostra sem poder inferir sob as condições de densidade do povoamento nas diversas 
fases do crescimento. 
 Um terceiro método para a obtenção de dados consiste na medição em 
parcelas temporárias (medidas uma única vez), mas amostradas sob critérios rígidos de 
estratificação. 
 Esses critérios consideram a mesma espécie, mesma forma de manejo e 
mesmo sítio. Assim, são amostradas parcelas em todas as classes de idade, ou seja, 
desde povoamentos jovens até povoamentos velhos. 
Biometria Florestal 
 
 
 223 
 A hipótese envolvida é que os povoamentos velhos tenham sido conduzidos 
da mesma forma que os povoamentos jovens de hoje. 
 A amostragem é realizada sobre condições de sítio bom e sítio ruim, sendo 
necessário que os pares de dados altura dominante e idade formem linhas de 
crescimento independentes, conforme mostra a Figura 76, ou seja, quanto mais criteriosa 
a amostragem, espera-se uma menor dispersão dos pontos em uma determinada idade, 
obtendo-se, assim, maior precisão na curva de regressão. 
 O empregode dados obtidos em parcelas temporárias sem a observação 
dos critérios de estratificação, citados acima, não deve ser utilizado, pois, em geral, 
produzem curvas de crescimento achatadas quando comparadas com o real crescimento 
do povoamento (Ver Baur, 1877; Monserud, 1984 e Weck, 1958). 
 
Figura 76 – Curvas de crescimento obtidas em parcelas temporárias estratificadas em 
dois sítios naturais. 
Biometria Florestal 
 
 
 224 
 
 
 
 
15 ANÁLISE DE TRONCO 
 
 
 
 A análise de tronco é um método retrospectivo para determinação do 
crescimento da árvore que permite determinar as curvas de crescimento da altura, 
volume, etc. sobre a idade, bem como estudos cronológicos pela datação dos anéis 
anuais de crescimento, com aplicações na Dendroecologia e Dendroclimatologia. 
 A vantagem do método está na rapidez, boa precisão e baixo custo para a 
obtenção dos dados. Entretanto, limita-se a quantificar o crescimento da árvore-amostra 
sem poder inferir sob as condições de densidade do povoamento nas diversas fases do 
crescimento. 
Dessa forma, a análise de tronco adquire importância singular, pois, em 
qualquer época, possibilita reconstruir o crescimento passado de uma árvore desde o 
estado de plântula até o momento do abate. 
Segundo Silva (1977), a análise de tronco é definida como o exame de 
secções transversais do tronco de uma árvore para determinar seu crescimento e 
qualidade em diferentes períodos de sua vida. 
Nesse exame, são realizadas a contagem e medição dos anéis, a fim de 
avaliar, além da idade da árvore, o crescimento em volume, a área basal, diâmetro e 
altura. 
A análise de tronco pode ser completa ou parcial. No primeiro caso, a 
árvore é abatida e é retirado dela um determinado número de fatias ao longo do tronco. 
Quando a árvore não for abatida, sendo dela retirado apenas um rolo de incremento pela 
técnica da verrumagem, tratar-se-á da análise de tronco parcial. 
 
15.1 Diferenciação dos anéis de crescimento 
 
De maneira geral, essa técnica só é empregada em espécies que possuem 
os anéis de crescimento facilmente observáveis. A diferenciação dos anéis é uma 
característica da espécie, porém influenciada pela idade, espaçamento e sítio. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 225 
Ao verificar as secções transversais, pode-se ver uma série de anéis 
concêntricos, às vezes excêntricos, resultante da atividade cambial nos períodos de 
atividade vegetativa e da redução do crescimento durante o repouso fisiológico. 
De forma geral, os anéis de crescimento tornam-se mais destacados quanto 
mais rigoroso for a ariação ambiental; por exemplo, inverno, seca, etc. indicando a forte 
influência do clima sobre o crescimento dos vegetais. 
Nas zonas de clima frio e temperado, as espécies vegetais, especialmente 
as que perdem as folhas total ou parcialmente durante o outono/inverno, apresentam 
camadas de crescimento perfeitamente distintas; já, nas zonas tropicais, a diferenciação 
das camadas de crescimento pode apresentar dificuldade uma vez que o crescimento 
anual não é caracterizado por dois períodos climáticos distintos. 
Por outro lado, poderá existir dúvidas se as espécies nessas regiões 
formam anéis anuais de crescimento ou se trata de zonas de incremento, ou seja, anéis 
formados em período diferente do tempo cronológico de um ano. 
Worbes (1989), estudando espécies florestais na Amazônia Brasileira, 
determinou que os anéis formados se tratavam de anéis anuais. Para essas espécies que 
cresciam em região de pouca variação de temperatura, o autor concluiu que o fator que 
atua sobre o ritmo de crescimento era o período anual de inundação a que a área estava 
sujeita. A comprovação pode ser realizada com o emprego de janelas de Mariaux, 
aplicadas periodicamente no lenho das árvores amostra. 
Visando determinar a periodicidade dos anéis de crescimento de espécies 
florestais na Floresta Estacional Semidecídua na Depressão Central do Rio Grande do 
Sul, localizada em Santa Maria, foi conduzido um experimento com marcação cambial, 
utilizando pregos de aço. Durante dois anos consecutivos as árvores receberam 
ferimentos no lenho, com intervalos de 30 dias, a fim de relacionar a data do ferimento 
com o crescimento. Os resultados mostraram que as espécies Cedrella fissilis, Nectandra 
megapotamica, Enterolobium contortisiliquum, Cabralea canjerana, Schefflera morototonii 
e Cordia trichotoma formam anualmente anéis de crescimento; algumas espécies com 
anéis facilmente diferenciáveis e outros de maior dificuldade de visualização como em 
Schefflera morototonii. 
Na Figura 77, pode ser observado, macroscopicamente, o limite do anel 
anual de crescimento em Nectandra megapotamica e, na Figura 78, as secções 
transversais Ocotea puberula e Ocotea porosa com a demarcação dos anéis de 
crescimento. 
Biometria Florestal 
 
 
 226 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 77 � Anel anual de crescimento em Nectandra megapotamica. 
 
 
 
FIGURA 78 � Fotomacrografia de Ocotea puberula e Ocotea porosa, indicadas pela letra 
“a” e fotomicrografia indicada por “b”, com indicação do limite do anel de 
crescimento indicado pela seta (Fonte: Tomazello Fº et al. 2004). 
 
Na contagem e medição dos anéis de crescimento, deve-se tomar cuidado 
com os falsos anéis, pois estes poderão induzir o observador a atribuir mais um ano à 
árvore; por exemplo, quando da ocorrência de um falso anel. 
A distinção entre um anel anual de crescimento e um falso anel é feita 
verificando-se a continuidade da camada anual de crescimento, sendo, então, 
considerado como falso anel a camada que se mostrar descontínua. 
⇐ Crescimento do ano de 
2001. 
Biometria Florestal 
 
 
 227 
Algumas vezes esta diferenciação torna-se difícil para o medidor, que fica 
em dúvida para a sua caracterização. A certeza da inclusão ou exclusão do anel de 
medição poderá ser obtida por ocasião do traçado de perfil longitudinal da árvore e/ou 
quando da comparação/união dos anéis sucessivos em diferentes níveis de medição. 
. 
 
15.2 Coleta de dados para análise de tronco completa 
 
A coleta de dados envolve as etapas de escolha das árvores amostra, 
derrubada, seccionamento, preparo do material, transporte, secagem, lixamento, medição 
dos anéis, traçado do perfil longitudinal e cálculo do crescimento em incremento. 
 
15.2.1 Amostragem 
 
Na análise de tronco, considera-se a árvore como unidade de amostra, 
devendo esta ser representativa da população. Para isso, utilizam-se as árvores de 
diâmetro de área basal média (dg) e/ou árvores de altura dominante (h100 ou h0), de 
acordo com o tipo de interferência desejada. De forma geral, as árvores de altura 
dominante são empregadas nos estudos de classificação de sítios, e as árvores de 
diâmetro de área basal média, nos casos em que são seja necessários o conhecimento 
dos valores médios das árvores da floresta. 
Na quantificação do número de árvores a serem medidas Spurr(1952) 
recomenda tomar uma percentagem da freqüência das classes de diâmetro em torno do 
dg conciliando-se ainda o binômio precisão e custos. 
De acordo com o objetivo do estudo, serão amostradas árvores de diferentes 
classes sociológicas. 
Na construção de curvas de índice de sítio, Machado (1986) recomendou o 
uso de árvores dominantes amostradas sobre diferentes sítios e idades; e para o estudo 
do crescimento e produção, árvores de todas as classes sociológicas, também 
distribuídas em diversos sítios e idades. 
 
15.2.2 Seccionamento da árvore 
 
Biometria Florestal 
 
 
 228 
Após a seleção e abate da árvore amostra, está será desgalhada e marcada 
nas diversas posições, que serão retiradas fatias transversais. 
Duas fatias são consideradas de coleta obrigatória e estão localizadas naposição 0,00 m e representa o diâmetro e idade real da árvore e, a fatia localizada à altura 
do peito. 
Quando algum fator impedir a retirada da fatia nesta posição, esta deve ser 
retirada em posição tal que ainda permita conter todos os anéis de crescimento, o que só 
é conseguido na parte inferior do tronco, próximo ao solo. 
A segunda fatia de coleta obrigatória é encontrada na posição do dap e 
permite o cálculo do d, g, f1,3 . 
Entre as duas fatias acima mencionadas, é necessário retirar fatias 
intermediárias com objetivo de detectar as mudanças de forma na base da árvore. Para 
esse fim, é comum retirar novas fatias a 0,30 e 1,00 m ou 0,50 e 0,70 m. 
As demais fatias são cortadas nos entrenós, pois, nestes pontos, não há 
interferência dos nós na forma dos anéis e nas medições, o que acarretaria maior 
dificuldade e imprecisão nas medições. 
A vantagem de tomar fatias em distâncias variáveis é que não se tem 
interferência dos nós; porém, este sistema traz a desvantagem de causar erros 
sistemáticos subtrativos em volume pois não considera o volume dos nós. Entretanto, a 
retirada de fatias em distâncias fixas e a eventual amostragem na posição de nós pode 
acarretar erros de maior magnitude. 
A distância entre cada fatia, quando este sistema de amostragem for 
empregado, é de 1,0 m a 2,0 m. Em árvores muito altas, pode-se espaçar mais a 
distância entre fatias sem que seja perdida muita precisão. 
Na Figura 79, é apresentado, esquematicamente, a posição das fatias 
amostradas ao longo do tronco. 
Biometria Florestal 
 
 
 229 
 
FIGURA 79 � Representação esquemática da retirada de fatias para análise de tronco. 
 
 
15.2.3 Espessura e identificação das fatias 
 
A prática tem demonstrado que fatias finas racham com mais facilidade e 
fatias muito grossas são mais difíceis de secar e de manusear. Assim, normalmente são 
empregadas fatias com espessura entre 3,0 a 5,0 cm. 
Na identificação das fatias, podem ser usados lápis anilina, chapas de 
alumínio ou fita rotex fixada às fatias com tachinhas, de tal forma que não haja risco de 
serem retiradas. Dentre esses materiais, o emprego de chapas de alumínio macio, que 
pode ser riscado com uma caneta esferográfica sem tinta, é bastante prático. O 
rendimento do trabalho é, ainda, aumentado com o uso de um grampeador de pressão. 
Em geral, usa-se identificar as fatias com três grupos de números. O 
primeiro indicará o sítio; o segundo, o número da árvore e o terceiro, a altura em que a 
fatia foi retirada (Figura 80). 
 
 
FIGURA 80 � Exemplo de identificação de fatias para a análise de tronco. 
 
Outro procedimento a ser executado no campo é o registro de informações 
como talhão, secção, espécie, etc. relativas à árvore amostra, as quais podem ser 
Biometria Florestal 
 
 
 230 
realizadas em formulários padrões como, por exemplo, o apresentado por Schneider et 
al. (1988), no Anexo lV. 
 
 
15.2.4 Transporte , secagem e preparação das fatias 
 
As fatias, depois de cortadas e conferidas, devem ser transportadas para o 
local de secagem em sacos de estopa ou em outro recipiente arejado. 
A secagem das fatias deve ser feita em local bem arejado e à sombra, 
sendo que as fatias devem, preferencialmente, serem colocadas em pé, para melhor 
aeração. 
O não-cumprimento desses requisitos pode ocasionar danos às fatias, 
devido ao ataque de fungos. 
Quando o teor de umidade dos discos entrar em equilíbrio com a umidade 
do ambiente, eles devem ser lixados. 
O emprego de estufas possibilita a redução substancial do tempo de 
secagem. Se for empregada uma temperatura de 50°C serão suficientes, 
aproximadamente três dias para que as fatias estejam prontas para o lixamento. 
O lixamento tem como objetivo tornar os anéis mais visíveis e a superfície 
da fatia lisa, facilitando a contagem e medição. Dependendo do tipo de material (espécie, 
dimensão do incremento anual e da nitidez dos anéis), poderá ser necessário o uso de 
lixas de diversas grãs para obter uma superfície adequada à medição. No estudo do 
crescimento de Nectandra megapotâmica, as fatias, após a operação na plaina manual, 
foram lixadas com grãs de número 35, 60, 100, 150, 320, 600 e 1.200 até se obter boa 
visualização dos anéis de crescimento (Souza, 2005). 
Por outro lado, no preparo de fatias de Pinus, pode-se evitar o emprego da 
lixa, utilizando-se um estilete com lâmina de qualidade superior para retirar uma fina 
camada de madeira sobre os raios a serem medidos. Esse procedimento, utilizado no 
Waldwachstumgsforchunginstitut, em Viena, é iniciado pelo umedecimento da superfície 
de corte com uma esponja. Após, segue um corte vertical sobre o raio de medição e, em 
seguida, um corte inclinado, um pouco afastado do primeiro. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 231 
No chanfro formado, é possível visualizar, com precisão, os limites dos 
anéis de crescimento. Neste local, pode-se passar uma camada de giz branco para 
melhorar a visualização dos anéis. 
Após a retirada do excesso de giz, visualiza-se uma parte branca na região 
do lenho inicial de cada anel e uma faixa mais escura na região do lenho tardio, 
decorrente da maior e menor penetração do giz no interior das células. 
 
 
15.2.5 Marcação dos eixos para medição nos anéis 
 
A medição dos anéis é feita em cada uma das fatias sobre raios traçados a 
partir da medula. 
À medida que se aumenta o número de raios, obtém-se maior precisão na 
estimativa da dimensão média, porém, na prática, o aumento excessivo do números de 
raios medidos pode não apresentar grandes vantagens. 
Em pesquisa para determinação da área basal e dos diâmetros a cada nível 
de medição, são tomados quatro raios perpendicularmente dispostos. A média aritmética 
dos raios medidos fornece o estimador do raio ou diâmetro da fatia em uma determinada 
idade. 
Prodan (1965) recomenda a marcação de quatro (ou oito) sobre os quais 
serão medidos os anéis de crescimento. O processo inicia com o maior raio da secção (r 
máx), tomando-se a medula como centro. A partir do maior raio serão marcados dois 
outros, formando um ângulo de 45° com r máx e deles projetados outros dois em sentidos 
opostos. 
A determinação do incremento com a medição sobre vários raios é 
justificada, pois a largura dos anéis pode variar em uma ou mais direções no tronco. 
Nas espécies em que os anéis de crescimento não são bem definidos, 
pode-se usar produtos químicos para melhorar a visualização do conjunto – lenho 
primaveril e outonal. Esses produtos são, por exemplo, Fuccina 1%, azul de metileno; 
Floroglucinol em mistura com ácido clorídrico; e Vermelho do Congo à base de sódio de 
potássio. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 232 
 
15.2.6 Medição dos anéis 
 
A medição da dimensão acumulada dos anéis anuais de crescimento é 
realizada sobre os raios traçados a partir da medula, que poderá ser feita por processo 
manual, com o auxílio de uma régua comum, de tal forma que o zero da mesma coincida 
com a medula da fatia, sendo o crescimento anual acumulado (raio da árvore em cada 
idade) lido diretamente sobre a mesma. 
As dimensões de cada anel (idade), medidas sobre cada um dos raios, e 
fatias são, então, registrados em formulários padronizados, como os elaborados por 
Schneider et al. (1988) e apresentados no Anexo 5. 
A medição dos anéis de crescimento pode ainda ser feita em aparelhos 
óticos (com diferentes aumentos de acordo com a capacidade da lupa) acoplados em um 
computador. Esses aparelhos podem ser acionados manualmente, quando a medição é 
feita diretamente sobre a fatia de madeira ou automaticamente. 
No último caso, é necessário usar um negativo fotográfico da fatia de 
madeira. Este processo permite que sejam medidos até 360 raios em uma mesma fatia. 
Outro procedimentoé o emprego de um scanner para digitalização automática dos anéis, 
ou mesmo de uma câmara fotográfica digital que permita a transferência da imagem para 
o computador. 
A seguir, a dimensão dos anéis pode ser automaticamente analisada e 
dimensionada por software específico. 
 
 
15.2.7 Traçado do perfil longitudinal da árvore 
 
De posse da altura total da árvore, das alturas das quais foram retiradas as 
fatias e das dimensões dos anéis, pode-se construir o perfil longitudinal da árvore. 
Para isso, usa-se papel milimetrado, sobre o qual é marcado um sistema de 
eixos coordenados. Em geral, é utilizada uma escala maior no eixo vertical e uma escala 
menor no eixo horizontal; como, por exemplo, 1:30 e 1:100, respectivamente. 
O eixo y será considerado como a medula da árvore, no qual serão 
marcadas as alturas onde foram retiradas as fatias de madeira e a altura total. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 233 
 
Sobre cada posição da fatia, será marcado o raio médio, obtido pela média 
aritmética dos quatro raios medidos, à esquerda e à direita da medula, formando, assim, 
o diâmetro em cada idade e posição do tronco. Após marcado o diâmetro de todos os 
anéis em cada nível de medição (fatia), une-se os pontos de forma a completar cada anel 
ao longo do eixo da árvore. 
A união dos pontos é iniciada externamente, isto é, pelos pontos da casca, 
se tiver sido medida, e aí, sucessivamente, para o interior da árvore (direção da medula). 
A determinação do ponto em que termina cada anel na porção superior do 
tronco em cada idade é feita tomando-se uma paralela ao anel externo anteriormente 
traçado. 
Completado o traçado do perfil, com a determinação do ponto exato do 
término de cada anel, pode-se ler, no gráfico, a altura alcançada pela árvore em cada ano 
(Figura 81). 
O cálculo dos raios médios, bem como o traçado do perfil longitudinal da 
árvore pode ser facilmente feito em computador e plotter. 
 
FIGURA 81 � Perfil longitudinal de uma árvore (Finger, 1986). 
Biometria Florestal 
 
 
 234 
 
15.2.8 Determinação do volume dos anéis 
 
Considerando-se que o volume descrito pelo primeiro anel de crescimento 
corresponde à dimensão (diâmetro, altura, volume e fator de forma) da árvore no primeiro 
ano de vida, e assim sucessivamente, é possível determinar o crescimento anual e o 
volume da árvore em cada ano. Para isso, faz-se a cubagem de cada anel de 
crescimento. 
A cubagem dos anéis é, geralmente, feita pelo procedimento de Smalian, 
sendo considerado o intervalo entre duas fatias como pequenas toras de madeira. 
A porção final de cada anel (ápice da árvore) normalmente assemelha-se à 
forma do cone, sendo, portanto, calculado pela fórmula correspondente. 
A cubagem dos anéis deve ser efetuada considerando cada anel como uma 
árvore individual. 
O volume total de cada anel é obtido pelo somatório dos volumes parciais 
em cada secção, e o somatório dos volumes de todos os anéis corresponde, então, ao 
volume da árvore. 
O volume de cada anel, tomado em separado, corresponde ao incremento 
de volume verificado entre o anel considerado e o ano anterior. 
O volume, bem como outras variáveis dendrométricas de interesse podem 
ser determinadas em computador eletrônico, pelo programa ANATRO (análise de tronco), 
elaborado por Schneider (1983), cujo output encontra-se exemplificado na Tabela 42. 
O programa determina, para cada idade: diâmetro, altura, área basal, 
volume, incrementos médio e corrente para cada uma destas variáveis dendrométricas; 
bem como o fator de forma natural e artificial em cada idade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 235 
TABELA 42 – Saída padrão do programa de cálculo de análise de tronco – ANATRO. 
 
Onde FFCOM = fator forma artificial; FFHOH = fator forma natural; DHOH = diâmetro natural d0,1h. 
 
 
 
15.3 Análise de tronco parcial – árvore em pé 
 
O método iniciou a ser empregado na Alemanha, a partir dos trabalhos de 
Pressler, e consiste na retirada de um pequeno cilindro de madeira com o trado de 
Pressler (verruma), visando medir (determinação do crescimento) ou contar 
(determinação da idade) da árvore. 
O trado de Pressler pode ser descrito como uma broca oca, na qual fica 
retido o rolo de madeira retirado do tronco (Figura 82). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 236 
 
FIGURA 82 � Trado de Pressler. 
 
Na amostragem, o trado é introduzido de forma lenta e gradual, em posição 
perpendicular ao eixo da árvore, buscando alcançar a medula, devendo os anéis estarem 
dispostos de forma transversal ao eixo do rolo de incremento. Quando esta 
perpendicularidade não é conseguida, isto é, os anéis encontram-se desviados em 
relação ao eixo transversal, ocorrerão erros sistemáticos no dimensionamento dos anéis. 
 
 
15.3.1 Amostragem 
 
Segundo Prodan (1965), deve-se retirar dois cilindros em cada tronco, 
formando um ângulo de 90° entre eles ou retirar o segundo cilindro, em posição de 45° 
em relação ao maior diâmetro. 
Já Husch et al. (1982) fazem referência à retirada de apenas um rolo de 
incremento na direção do diâmetro médio ou na posição que forma 45° com a inclinação 
do terreno. 
Após introduzir o trado até a altura da medula da árvore, retira-se o mesmo 
do interior do tronco de maneira lenta e gradual, através da rotação do mesmo do sentido 
anti-horário. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 237 
A seguir, o rolo de madeira é retirado do interior do trado com o auxílio de 
uma lâmina com forma de meia lua que acompanha o trado. Este cilindro de madeira 
recebe o nome de rolo de incremento. 
O rolo de incremento deve ser acondicionado em saco plástico umedecido 
para evitar a desidratação e quebra, fixados a suportes de madeira especialmente 
entalhados para receber os rolos de incremento, ou ainda guardados em pequenos rolos 
de papelão como exemplifica a Figura 83. 
Apesar de a análise parcial de troncos permitir o estudo do crescimento da 
árvore sem abatê-la, o método apresenta restrições quanto a precisão. 
A excentricidade das secções, as formações irregulares dos anéis, o 
tamanho do mesmos podem causar incertezas na estimativa dos incrementos, que 
tornam-se mais pronunciados com o aumento da idade da árvore. 
 
 
 
FIGURA 83 � Recipiente para transporte e armazenamento de rolos de incremento. 
 
A contagem acurada dos anéis permite a determinação rigorosa da idade e 
determinação do incremento, sendo muito útil na verificação do incremento nos últimos 
anos. 
Em geral, os rolos de incremento são retirados ao nível do dap. Na 
determinação da idade, retira-se o rolo da madeira junto à base da árvore. Pode, ainda, 
na determinação da idade, acrescentar ao número de anéis, contados no nível do dap, o 
número médio de anos que as árvores da mesma espécie, crescendo em mesmo sítio 
Biometria Florestal 
 
 
 238 
florestal, necessitam para alcançar a altura do ponto de medição considerado. Por 
exemplo, a 1,30 m caso a verrumagem tenha sido feita a este nível. 
 
 
15.3.2 Cálculo do incremento 
 
Os acréscimos ou incrementos traduzem o comportamento das variáveis 
básicas (h, d, ...) no decorrer do tempo, ou seja, exprimem a quantidade de crescimento 
da espécie em determinado período e local, revestindo-se de grande importância na 
definição das intervenções silviculturais recomendadas para a condução do povoamento 
florestal, buscando manejá-lo de acordo com os objetivos préestabelecidos para a 
produção (para a classificação e descrição dos incrementos, ver capítulo 14). 
O cálculo dos incrementos a partir do cilindro de incremento segue o 
seguinte processo: 
� mede-se o comprimento de 1,0 cm sobre o rolo de incremento e conta-se 
o número de anéis (anos), obtendo-se a seguinte relação:� 1,0 cm = n . ir , 
 
logo: ir = 1/ n e o incremento em diâmetro será: 
 
id = 2/ n 
 
em percentagem, 
 
pd = 2/ (n . d) x 100 
 
e, em área basal, será: 
 
pg = 4/ (n . d) x 100 , 
 
onde: id = incremento em diâmetro; 
 pd = incremento em diâmetro em %; 
 Pg = incremento em área basal em %; 
Biometria Florestal 
 
 
 239 
 d = diâmetro no período considerado; 
 n = número de anos (anéis); 
 Ir = incremento ou largura dos anéis = 1,0 cm. 
 
Quando ocorrer incremento diamétrico grande, comum em Pinus taeda e 
Pinus elliottii , em alguns sítios no Rio Grande do Sul e Santa Catarina; a medida de 1cm 
acima proposto é impraticável, pois um único anel de crescimento terá dimensão maior 
que esta medida. Neste caso, será necessário aumentar o comprimento de raio a ser 
medido de maneira a obter maior número de anéis no comprimento considerado; por 
exemplo, em 5 cm. Os valores dos incrementos em diâmetro e área basal são, então, 
facilmente encontrados com a substituição do novo modulo considerado nas fórmulas 
acima apresentadas. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 240 
 
 
 
16 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA 
 
 
Distribuição de freqüência é definida como a apresentação tabular de dados 
referenciados a um intervalo de classe. 
A eqüidistância dos intervalos de classe permite, segundo Bruce e 
Schumacher (1950), comparar as observações em diferentes classes. 
Embora o agrupamento dos dados em tabelas de freqüência elimine muitos 
detalhes originais, este procedimento traz a vantagem da visualização do aspecto geral, o 
que possibilita maior clareza e evidencia as relações essenciais (Spiegel, 1975). 
O número de observações contidas em uma classe característica é dita 
freqüência absoluta. A freqüência pode também ser expressa em valores relativos, como 
porcentagem da freqüência de uma população ou amostra. 
O resultado da adição de freqüências sucessivas é a freqüência 
acumulada,que mostra diretamente a freqüência que se situa abaixo e inclusive na classe, 
além de permitir o cálculo da mediana na distribuição. 
Caso haja necessidade, é possível mudar os limites de classe de uma 
distribuição, devendo, as freqüências das novas classes ser obtidas das curvas de 
freqüência acumulada. 
 
16.1 Determinação de uma distribuição de freqüência 
 
A determinação de uma distribuição de freqüência deve obedecer 
basicamente às seguintes regras gerais (Silva, 1977). 
a) determinação da amplitude total; 
b) divisão da amplitude total em número conveniente de intervalos de classe 
que tenham a mesma amplitude; 
c) tabulação dos valores observados. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 241 
Ainda, segundo o mesmo autor, para obter o número aproximado de classes 
pode-se usar a tabela de Graner, como segue: 
 
TABELA 43 – Tabela de Graner. 
Número de observações Número de Classes 
n Mínimo Máximo 
 
<<<< 50 
 
5 
 
10 
100 8 16 
200 10 20 
300 12 24 
500 15 30 
>>>>1.000 20 40 
 
Outra alternativa, para a mesma finalidade, é a fórmula de Sturges, a qual é 
expressa por: 
 
nc = 1 + 3,3 log n, 
 
onde: n = número de observações; 
nc = número de classes. 
 
Sendo, então, o intervalo de classes obtido pela razão entre a amplitude 
total e o número de classes. 
Waugh (s.d.) observa que a fórmula de Sturges dá demasiadas classes para 
pequenos números de dados e relativamente poucas para grande números de dados. 
Segundo esse autor, deve-se escolher um intervalo de classe suficientemente pequeno 
para que todos os dados dentro da classe possam ser, de modo geral, considerados de 
mesmo valor e que, satisfeita essa limitação, seja o número de classe o menor possível 
para que permita verificação das características da população. 
Assim, o emprego de um intervalo de classe grande leva a um maior erro de 
agrupamento, ou seja, decorrente da classificação, pois todas as freqüências incluídas 
entre o limite inferior e superior de uma dada classe qualquer será, a partir de então, 
considerada contendo a dimensão do centro de classe. Esse erro de agrupamento 
Biometria Florestal 
 
 
 242 
tenderá a ser mais evidente quanto maior for o intervalo de classe considerado e menor 
a freqüência de árvores incluída na referida classe. Por outro lado, tenderá a ser 
desprezível com a inclusão de um grande número de árvores na classe em decorrência 
da anulação dos erros de excesso e falta. 
 
 
16.2 Distribuição de diâmetros 
 
A distribuição do diâmetro das árvores por unidade de área é de grande 
interesse para a prática florestal. 
A mesma teoria usada para a distribuição diamétrica pode ser aplicada 
igualmente as outras variáveis dendrométricas. 
Os primeiros esforços para quantificar com modelos matemáticos, as 
distribuições na área florestal foram feitos por volta de 1898 por De Liocurt’s. A partir daí, 
inúmeros pesquisadores têm dedicado especial atenção a este tema, aplicando inúmeros 
modelos de distribuição. 
O estudo das distribuições permite conhecer a estrutura dos povoamentos, 
entendendo, como tal, a distribuição das espécies e dimensão das árvores em relação a 
um hectare. A estrutura do povoamento é resultado dos hábitos de crescimento da 
espécie, das condições ambientais e práticas de manejo. 
A distribuição do número de árvores em classes de diâmetro fornece 
valiosa informação sobre essa estrutura da floresta, sendo importante para a silvicultura e 
também para interferências sobre a distribuição dos sortimentos. 
De um modo geral, há dois tipos de estrutura de florestas: equiânea e 
inequiânea, ou seja, de mesma idade e idades diferentes, respectivamente. 
Os povoamentos equiâneos são os que se originam dentro de um curto 
período de tempo, estando as árvores enquadradas dentro de uma única classe de idade. 
Neste caso, as freqüências por unidade de área para as classes de diâmetro seguem um 
padrão típico. As maiores freqüências situam-se em torno da média e decrescendo para 
os menores e maiores valores. Vários autores têm demonstrado que a distribuição de 
diâmetros de povoamentos equiâneos segue leis definidas e que a relação do número de 
árvores e diâmetros pode ser descrita por funções matemáticas (Husch et al., 1982). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 243 
Na Figura 84, está representada a distribuição de diâmetros de um 
povoamento de Acacia mearnsii com idade de 5,5 anos, ajustada pela distribuição SB . 
 
FIGURA 84 – Distribuição de diâmetros de um povoamento de Acacia mearnsii com 
idade de 5,5 anos, ajustada pela distribuição SB (Fonte: Finger,1982). 
 
De maneira geral, em povoamentos densos, nos quais a mortalidade natural 
em conseqüência da concorrência não foi estabelecida, ou em povoamentos onde não foi 
realizado desbaste por baixo, encontra-se uma distribuição assimétrica à direita (Figura 
85a ). Alguns anos mais tarde, com o estabelecimento da mortalidade e/ou desbaste por 
baixo, a distribuição apresenta uma clara assimetria à esquerda, conforme mostra a 
Figura 85b. 
Os povoamentos inequiâneos são constituídos de árvores de muitas idades 
e tamanhos. As árvores são originadas mais ou menos continuamente apresentando 
indivíduos desde a fase de plântula/semente até árvores em estado de senescência. A 
distribuição típica dessas florestas apresenta um grande número de pequenas árvores 
com freqüência decrescente com o aumento da classe de diâmetro (Figura 86). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 244 
 
FIGURA 85 – Distribuição de freqüências de diâmetros para povoamentos equiâneos 
antes do estabelecimento da mortalidade/desbaste (a) e após o 
estabelecimento da mortalidade/desbaste (b). 
 
 
 
 
FIGURA 86 – Distribuição de freqüências observadas e estimadas por classe de diâmetropara Araucaria angustifolia em um povoamento no RS (Schneider et al., 
1988). 
 
 
16.3 Ajuste matemático de freqüências 
 
A distribuição de uma variável dendrométrica a partir de dados levantados 
em uma amostra da população pode ser obtida por meio de uma distribuição teórica e do 
conhecimento do desvio padrão, da média ou percentil. 
Biometria Florestal 
 
 
 245 
 
16.3.1 Distribuição normal 
 
A maior parte dos fenômenos biológicos resulta de dados que estão 
distribuídos de maneira suficientemente normal, tornando-se, assim, essa teoria a base 
de grande parte da estatística usada na área biológica (Steel e Torrie, 1960). 
A Distribuição Normal é definida por Meyer (1977) com o seguinte 
enunciado: 
Se x é uma variável aleatória, que tomou todos os valores reais - ∞ < x < +∞ 
terá uma distribuição normal (ou Gaussiana) se a função densidade 
probabilística assumir a forma: 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
2
)(
22
1 σ
µ
piσ
x
x ef
 
 
para -∞ < x < +∞. 
 
Os parâmetros µ e ∂ devem satisfazer as condições: 
-∞ < µ < +∞ >0 
 
e a distribuição é caracterizada por: 
 
a) A curva de distribuição é simétrica e unimodal quando a média, moda e 
mediana coincidem (µ = Mo= Me); 
b) A curva tem um máximo para x = 0 e um mínimo para ±∞=x ; 
c) A área sob a curva é igual a 1 e é dada por: 
 
1.
2
1 2
2
2
)(
2
==
−−+∞
∞−
� x
x
deA σ
µ
piσ
; 
d) Quando x = µ a função será decrescente e com a concavidade voltada 
para baixo; 
d) Quando x ± ∞ a função tende a zero assintoticamente; 
Biometria Florestal 
 
 
 246 
e) A função apresenta dois pontos de inflexão que ocorrem em ±∞=x ; isto 
é, o gráfico muda de concavidade à direita e à esquerda da média. Disto decorrerá que 
se σ² for relativamente grande, o gráfico tenderá a ser achatado, enquanto que se σ² for 
pequeno, o gráfico tenderá a ser pontiagudo (Figura 87). 
 
FIGURA 87 – Comportamentos da distribuição normal em relação à variância. 
 
Onde: µ= média; σ= desvio padrão; σ²=variância. 
 
Considerando-se os dados publicados por Silva (1977), oriundos de um 
povoamento de Pinus taeda com diâmetro médio de 13,22 cm, desvio padrão de 2,31 cm 
e freqüência por hectare de 233 árvores, tem-se as seguintes freqüências observadas e 
ajustadas, conforme apresentado na Tabela 44. 
 
TABELA 44 – Determinação das freqüências ajustadas através da distribuição normal 
 
Classe DAP Freq. observada Ordenada Freq. ajustada 
cc(x) fxi y Y. N. IC 
 
8,0 
 
12 
 
0,01344 
 
7,8 
10,5 39 0,08634 50,3 
13,0 113 0,17201 100,2 
15,5 54 0,10617 61,8 
18,0 15 0,0203 11,8 
TOTAL 233 231,9 
 
Biometria Florestal 
 
 
 247 
Sendo: 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
2
)(
22
1 σ
µ
piσ
x
x ef
 
e, 
σ = S = 2,31 
µ = X = 13,22 e, 
 N = 233 tem-se: 
 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
−
=
2
2
31,2.2
)22,138(
231,22
1
eY
pi 
 
Y = 0,01344 
 
 
Freqüência ajustada = Y . N . IC; 
Freqüência ajustada = 0,01344 x 233 x 2,5; 
Fequência ajustada = 7,8 árvores por hectare. 
 
Com a transformação da função, é possível reduzi-la, passando a ser 
chamada de Distribuição Normal Reduzida, com média zero e variância um N (0,1). 
A importância da distribuição normal reduzida é que ela pode ser tabelada. 
Sempre que x tiver distribuição N (µ ,σ²), pode-se obter a forma reduzida pela adoção de 
uma função linear x. 
Para se obter o modelo reduzido, toma-se o quociente entre os desvios (x -
µ) e o desvio padrão (σ). 
 Assim, tem-se: 
 
Z = (x - µ) / σ expresso por 	 
S
xxZ )( −= , 
 
onde: Z = variável de resposta; 
 x = variável independente; 
Biometria Florestal 
 
 
 248 
 x = média da amostra; 
 µ = média da população; 
S = desvio padrão; 
σ = desvio padrão da população. 
 
Tendo a equação transformada, a mesma característica que a função 
normal, pode-se escrever. 
��
�
�
�
��
�
�
�
−
=
2
2
2
1
Z
eY
pi 
 
A área sob a curva é também, neste caso, igual a unidade: 
1.
2
1 2
2
==
−+∞
∞−
� z
Z
deA
pi . 
 
Segundo Robles (apud Silva, 1977), “A diferença fundamental entre estes 
dois tipos de distribuição é que a equação reduzida expressa os desvios em termos de 
unidades de desvio padrão, enquanto que a normal expressa tais desvios nas mesmas 
unidades usadas para medir a magnitude do objeto em estudo”. 
Merril e Fox (1977) citam que, na distribuição normal, aproximadamente 
68% das observações estão dentro dos intervalos de mais ou menos um desvio padrão 
da média, enquanto, aproximadamente 95% das observações estão dentro de intervalos 
de dois desvios padrão da média e, aproximadamente, 99% das observações estão entre 
mais ou menos três desvios padrão da média, conforme exemplificado na Figura 88. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 249 
 
 
FIGURA 88 – Distribuição das observações nas amplitudes da curva normal. 
 
A freqüência teórica calculada pela distribuição normal reduzida pode ser 
obtida conforme exemplo apresentado na Tabela 45, elaborado por Silva (1977). 
Os valores das ordenadas Y foram obtidos usando a tabela das ordenadas 
da Distribuição Normal, mas também poderiam ser calculados pela fórmula da equação 
reduzida. 
O cálculo da variável Z e o auxílio da tabela de probabilidade para a 
Distribuição Normal permitem determinar a probabilidade de ocorrência de um evento 
qualquer, como, por exemplo, a probabilidade de encontrar um indivíduo com diâmetro 
maior ou igual a 13 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 250 
 
TABELA 45 – Freqüências observadas e teóricas para diâmetros de uma amostra de 
Pinus taeda ajustadas pela Distribuição Normal Reduzida 
Classes Freq. Vari. Ordenadas Freq. Ajustada 
DAP Obser. Reduz. 
Cc(x) F(xi) Z = (x- x)/S Y Y.N. IC/S 
 
 8,0 
 
12 
 
-2,26 
 
0,0310 
 
 7,8 
10,5 39 -1,18 0,1995 50,3 
13,0 113 -0,09 0,3973 100,2 
15,5 54 0,98 0,2468 62,2 
18,0 15 2,07 0,0468 11,8 
TOTAL 233 - - 232,3 
 
Considerando-se os dados apresentados, tem-se: 
S
xxZ )( −= , 
Z = 13,0 – 13,22 / 2,31 = -0,095. 
 
Na tabela Z obtém-se o valor de probabilidade de: 
0,46017 para o valor de Z = -0,1 e, assim, 
0,50000 para Z = 0. 
 
Por interpolação obtém-se: 
 0,1 ----- 0,46017 
 0,09 ----- x 
0,0 ----- 0,50000 �x = 0,004 
 
0,46017 + 0,0004 = 0,4642. 
 
Como o valor de P obtido representa a probabilidade à esquerda do evento, 
a probabilidade à direita será obtida por: 
P = 1 – 0,4642, 
P = 0,5358 = 53,58%. 
Biometria Florestal 
 
 
 251 
 
Sendo o menor e o maior dap observados na amostragem iguais a 6,8 cm e 
19,0 cm, a probabilidade de se encontrar valores menores que 6,8 cm e maiores que 19,0 
cm será: 
P = (x < dmín) = (6,8 – 13,22)/ 2,31 = -2,779, 
 
P = (x < dmín) = 0,0027 (valor obtido na Tabela da distribuição normal). 
 
Para valores maiores que 19 cm: 
 
P = (x >dmáx) = (19,0 – 13,22)/ 2,31 = 2,502. 
 
Na tabela de probabilidade, obtém-se, para o valor de Z calculado, a 
probabilidade de 0,99379. Esta refere a probabilidade à esquerda. 
Assim a probabilidade de obter valores maiores que 19 cm será dada por: 
 
P = (x >dmáx) = 1 – 0,99379 = 0,006210. 
 
Como era esperado, a probabilidade de obter valores de diâmetro abaixo 
do menor observado e acima que o maior observado na amostragem é pequena. 
Em situação inversa, se fosse desejado conhecer a probabilidade de se 
obter diâmetros maiores que dmín e menores que dmáx, a probabilidade encontrada 
seria alta, pois: 
 
P= (dmín ≤ x ≤ dmáx) = 0,99379 - 0,0027 = 0,9911. 
 
Para conhecer o valor do dap correspondente ao percentil 86, ou seja, 86% 
de todas as árvores desse povoamento, busca-se os valores de probabilidade da Tabela 
correspondente ao valor de 86% (0,86). 
Da Tabela Z da distribuição normal, tem-se: 
 
(Z) = 1,08 = 0,859929 e, (Z) 1,09 = 0,862143; 
 
Biometria Florestal 
 
 
 252 
 
e para um valor de probabilidade de 86%: 
 
1,08 ↔ 0,859929 
x ↔ 0,86 
1,09 ↔ 0,862143 
 
1,08 + ( (1,00 - 1,08) x (0,862143 - 0,859929) )/ (0,86 - 0,859929) = 1,080321 
logo: 
Z = (dap - 13,22)/ 2,31, 
dap = 1,080321 x 2,3 + 13,22 = 15,7 cm, 
 
86% de todos os dap’s são menores que 15,7 cm. 
 
Caso fosse desejado conhecer o número de árvores entre 14 e 16 cm, ter-
se-ia: 
 
P (x ≤ 16) = (16- 13,22)/ 2,31 = 1,2035 P(x ≤ 16) = 0,8849, 
 
P(x ≤ 14) = (14 - 13,22)/ 2,31 = 0,3377 P (x ≤ 14) = 0,6331, 
 
P (14 ≤ x ≤ 16) = 0,8849 – 0,6331 = 0,2518 = 25,2%, 
 
25,2% das árvores tem diâmetro entre 14 e 16 cm. 
 
 
16.3.2 Distribuição beta 
 
A distribuição beta foi estabelecida por Pearson, em 1894, e aplicada 
posteriormente por Zoehrer na área florestal. 
A função beta é muito flexível e pode gerar uma variedade de distribuições 
decrescentes, em forma de sino, dependendo da magnitude dos expoentes. Sua função 
de densidade é expressa por: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 253 
f (x) = c (x –a)α.(b –x)γ ou 
 
ln f(x) = ln c + α .ln (x- a) + γ ln (b - x), 
 
onde: f(x) = número de árvores por unidade de área; 
 C = constante – fator de correção que garante ser a soma das freqüências 
calculadas igual ao número total de árvores; 
 X = diâmetro médio da classe; 
 a = limite inferior de função beta; 
 b = limite superior da função beta; 
 α , γ = parâmetros a serem estimados. 
 
Os valores a e b são obtidos por: 
 
A = XL - (IC/ 2) b = Xs + (IC/ 2), 
 
onde: XL = centro da 1ª classe de DAP, 
 Xs = centro da última classe de DAP; 
 IC = intervalo de classe. 
 
Loetsch et al. (1973) citam que o uso da Função Beta gera subestimativas 
nas classes de maior diâmetro, ou seja, perto da extrema direita da distribuição devido ao 
estreitamento do limite superior imposto pelo valor “b”. 
Esta subestimativa pode ser contornada pelo aumento do valor de “b”. Este 
aumento é justificado estatisticamente como um aumento de amostra, aumentando a 
probabilidade da ocorrência de um diâmetro maior. 
O valor de “b” será, então, obtido por: 
 
b = (Xs + IC/ 2) + E, 
 
onde: E = aumento do valor de “b”. 
 
O aumento é, entretanto, limitado para um máximo de ¼ da amplitude (b- a) 
da distribuição original. 
Biometria Florestal 
 
 
 254 
De acordo com a variação dos coeficientes α e γ, a função beta pode 
representar diferentes formas, conforme apresentado na Figura 89. 
 
 
FIGURA 89 – Formas da função Beta de acordo com a variação dos parâmetros α e γ. 
 
16.3.2.1 Determinação dos coeficientes por regressão 
Sendo a função definida por f(x) = constante (x – a)α . (b – x)γ , pode-se 
obter uma função linear com o emprego de logaritmos. Assim, o modelo passa a ser 
escrito: 
 
ln {f(x)} = ln c + α . ln (x –a) + γ . ln (b –x) , 
 
e, na fórmula geral 
Y= b0 + b1X1 + b2 X2, 
 
onde: y = ln {f(x)}; 
 X1 = log (x - a); 
 X2 = log (b - x). 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 255 
Loetsch et al. (1973) observaram que a distribuição beta é usada para 
representar processos dinâmicos, como, por exemplo, curvas de incremento. Segundo os 
autores, deve-se excluir ou alterar para 0,001 os valores de zero que por ventura ocorram 
em qualquer classe, pois, caso contrário, não será possível empregar logaritmos. 
Para a aplicação da extensão “E” basta modificar a definição de “b”, 
observado o limite definido para seu uso e processar novamente o programa. O 
procedimento é repetido pelo usuário até que seja obtido o melhor ajuste. 
 
 
16.3.3 Distribuição exponencial negativa 
 
Essa distribuição é usada para descrever populações de florestas naturais, 
povoamentos manejados que contenham todas as idades e florestas artificiais quando 
consideradas em conjunto em nível de estado ou país. 
De Licourt, em 1898, observou, em determinado povoamento, que o número 
de árvores de uma classe em relação a classes sucessivas de diâmetro decrescia e que 
este decréscimo era constante, podendo ser representado pela seguinte proporção: 
 
N2/ N1 = N3 / N2 = N4 /N3 = q 
 
onde: N1 à N4 = número de árvores das classes sucessivas de diâmetro. 
 
Se a estrutura da floresta segue esta lei, o número de árvores pode ser 
derivado de uma série geométrica: 
 
N1 = q.N2 = q². N3 = q³.N4. 
 
O autor encontrou uma taxa de decréscimo (q) entre classes sucessivas de 
diâmetro igual a 0,50 para o povoamento estudado. Assim, se naquela floresta fossem 
encontradas 1.000 árvores na classe 5 – 10 cm, haveria na classe de 10 – 15 cm, 500 
árvores e assim sucessivamente. 
Essa distribuição de árvores em classes pode ser ajustada pela equação 
apresentada por Meyer, que admite a seguinte função de densidade: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 256 
Nj = k. e -β di (função de densidade do tipo I), 
 
onde: K e β = parâmetros a serem estimados; 
 Nj = densidade de diâmetro; 
 di = valor central da classe de diâmetro; 
 e = base do logaritmo neperiano. 
 
Se uma floresta apresenta tal distribuição de diâmetros, a distribuição é 
considerada balanceada. 
Essa função admite um cociente de decréscimo proporcional e constante, 
de modo que os fatores ingresso, mortalidade e crescimento atingem, em proporção 
constante, as freqüências em todas as classes de diâmetro da distribuição, gerando uma 
linha reta quando plotado em papel semilogarítmico. 
Segundo Loetsch et al. (1973), pode-se usar, ainda, para este tipo de 
estrutura florestal, a função de densidade tipo II. Nesta, o modelo hiperbólico apresenta a 
variável independente elevada ao quadrado. 
 
Nj = k. e -β . di² . 
 
Nesse caso, o quociente entre o número de árvores por classe de diâmetro 
não é constante, mas aumenta com o acréscimo dos diâmetros, resultando distribuições 
não-ineares sobre o papel semilogarítmico. 
 
 
16.3.3.1 Determinação dos coeficientes 
 
O ajuste das funções I e II pode ser obtido, convenientemente, pela técnica 
de regressão linear simples. Para isso, faz-se a linearização pelo emprego de logaritmos, 
obtendo-se então: 
 
Nj = k .e -β. di. 
 
Por linearização, tem-se: 
Biometria Florestal 
 
 
 257 
ln Nj = ln k. -β . di , 
 
onde: Y = ln Nj; 
 x = di; 
 b0 = ln k; 
 b1 = β. 
 
Seguindo-se o mesmo raciocínio, obtém-se a linearização da função tipo II. 
 
 
16.3.4 Distribuição binomial 
 
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que tem 
como pressupostos básicos: 
– cada tentativa é independente das demais; 
– o resultado de cada tentativa é independente das demais; 
– a probabilidade de ocorrência de uma tentativa é constante. 
 
A fórmula da probabilidade desta função para “n” tentativas e “k” eventos do 
tipo A é: 
knk
kn q.p).k
n(P −
−
= , 
 
onde: p = probabilidade; 
 n = número de tentativas; 
 k = número de sucessos; 
 p = probabilidade de um sucesso; 
 q = probabilidade de insucesso; 
 q =(1 – p). 
 
A combinação de 
�
�
�
�
k
n
 = nCk = ( )! !
!
knk
n
−
 
 
A média ( x ) e a variância (S²) são expressas por: 
Biometria Florestal258 
x = n. p, 
S² = n. p. q. 
 
Para fins de exemplo, considerar que, em um canteiro de semeadura, a 
cada dez sementes apenas quatro germinaram. Assim, deseja-se saber qual a 
probabilidade de, nas próximas cinco observações, ser encontradas no mínimo duas 
plantas germinadas. 
 
x = n. p = 5. (4/10) = 2 
 
A probabilidade de obter pelo menos duas plantas germinadas será: 
 
P(x ≥ 2) = P (2) + P (3) + P (4) + P (5), 
 
P (2) = 5! / (2! .(3!) ). 0,4² . 0,6³ = 0,3456, 
 
P (3) = 5! / (3!. (2!) ). 0,4³ . 0,6² = 0,2304, 
 
P (4) = 0,0768, 
 
P (5) = 0,0102. 
 
Logo, a probabilidade de pelo menos duas plantas germinadas será: 
 
P(x ≥ 2) = 0,3456 + ...+ 0,0102 = 0,6630. 
 
Ainda para fins de exemplo, considerar que em um inventário florestal de 
uma população de Pinus sp., realizada com unidades amostrais (u.a.) do tipo Seis 
árvores (Método Sebast) foram observadas árvores sadias e atacadas pela vespa da 
madeira, conforme apresentado na Tabela 46. A probabilidade de plantas sadias será: 
 
P = 12/ 42 = 0,2857, 
 
e a probabilidade de plantas atacadas será: 
Biometria Florestal 
 
 
 259 
 
q = 1 - p = 0,7143. 
 
Assim, a probabilidade de que todas as plantas sejam atacas pela vespa da 
madeira será obtida por: 
 
P(0,6) = 6! / (0! .(6 – 0)! ). 0,2857 0. 0,7143 6 
 
P(0,6) = 0,1328. 
 
A média e a variância são dadas por: 
x = n. p = 6. 0,2857 = 1,9371, 
 
S² = n. p. q = 6. 0,2857. 0,7143 = 1,2245. 
 
TABELA 46 – Número de árvores sadias e doentes por unidade amostral. 
u.a. Sadia Atacada 
 
1 
 
1 
 
5 
2 2 4 
3 1 5 
4 4 2 
5 3 3 
6 1 5 
7 0 6 
� 12 30 
 
 
16.3.5 Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é também uma distribuição discreta, sendo 
caracterizada quando o valor médio de “p” é muito pequeno e o número de observações 
ou de tentativas muito grande, indicando que a probabilidade “p” de sucessos é muito 
pequena (eventos raros). 
Biometria Florestal 
 
 
 260 
A fórmula aplicativa desta distribuição é: 
( )
x
k
k ek
xP −= .
! , 
x = n. p, 
onde: P(k) = probabilidade; 
 k = número de sucessos; 
 e = base do logaritmo natural; 
 
x
 = média da ocorrência de um evento. 
 
A distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial quando “n” se 
torna infinitamente grande e “p” tende a zero, de tal forma que n. p = x permaneça 
constante. 
A média e a variância da distribuição de Poisson são expressos como na 
distribuição Binomial: 
 
S² = n. p. q 
 
sendo: 
 
P = ( x / n); q = (1 – ( x / n)); e x = n. p. tem-se: 
 
S² = n. ( x / n). (1 – ( x /n)), 
 
S² = x . (1 – ( x / n)), quando n ---> α , 
 
S² = x . 
 
Ou seja, nessa distribuição, a média ( x ) e a variância (S²) tem o mesmo 
valor. 
Exemplificando-se a aplicação da distribuição, considerar que em um viveiro 
florestal foi detectado que cinco em cada 1.000 plantas de uma determinada espécie 
apresentaram 
 
Biometria Florestal 
 
 
 261 
problema de enovelamento de raízes. Qual a probabilidade de se ter plantas com 
problemas de raiz em uma caixa com 10 plantas? 
 
n = 10, 
p = 5/ 1000 = 0,005, 
 x = n. p, 
x = 10. 0,005, 
x = 0,05. 
 
P(0) = (0,05 0. e-0,05)/ 0! = 0,9512, 
P(1) = (0,05¹. e-0,05)/ 1! = 0,0476, 
P(2) = (0,05² . e-0,05)/ 2! = 0,0012, 
P(3) = (0,05³.e-0,05)/ 3! = 0,0000. 
 
Em outro exemplo, considerar que em um povoamento florestal, contendo 
árvores de Eucalyptus saligna e Eucalyptus tereticornis, foram encontradas em unidades 
de amostras de 100 m² (u.a) o número de árvores de Eucalyptus tereticornis, conforme 
apresentado na Tabela 47. Deseja-se saber a probabilidade de que em uma u.a qualquer 
serem encontradas seis árvores de E. tereticornis. 
 
O primeiro passo é determinar a média x . 
 
Assim, x = (0 x14) + (1 x1 5)+...+(9 x1) = 2,77, 
 126 
 
e a probabilidade de encontrar seis árvores de E. tereticornis em unidades de amostra 
nesta população será: 
P(6) = (2,77 6. e-2,77)/ 6! = 0,0399. 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 262 
Tabela 47 – Número de árvores de Eucalyptus tereticornis encontradas na unidades de 
amostra 
Número de Número de u.a Número de u.a 
E. tereticornis Amostradas Calculadas 
0 14 7,9 
1 15 21,9 
2 30 30,3 
3 27 28,0 
4 19 19,4 
5 14 10,7 
6 4 5,0 
7 2 2,0 
8 0 0,7 
9 1 0,2 
10 0 0,1 
� 126 u.a 
 
Sendo 0,0399 a probabilidade de encontrar unidades de amostra com seis 
árvores de E. tereticornis, a freqüência esperada será dada por: 
 
126 x 0,0399 = 4,95 ≈ 5. 
 
Com o mesmo procedimento, obtém-se os valores para duas árvores; 
 
P(2) = (2,77² e-2,77)/ 2! = 0,2404, 
 
126 x 0,2404 = 30,29 ≈ 30,3. 
 
As demais freqüências calculadas são obtidas pelo mesmo procedimento e 
estão apresentadas na terceira coluna da Tabela 47. 
Biometria Florestal 
 
 
 263 
 
 
 
17 REVISÃO DE ESTATÍSTICA 
 
 Neste capítulo, serão revisados, de forma generalizada, alguns conceitos e 
expressões com o objetivo de auxiliar no aprendizado da biometria florestal. Sua leitura 
não é imprescindível para o estudo dos conceitos e teorias contidas neste trabalho, porém 
será de grande auxílio e subsídio para a sua compreensão. 
 
17.1 Experimento 
 
 Os experimentos são definidos como qualquer processo de observação e 
são classificados em: 
 
– Experimento determinístico: é o experimento em que as leis são 
suficientemente bem conhecidas, tal que os resultados obtidos possam ser previstos com 
precisão. Por exemplo: ao se ligar um interruptor através do qual passa corrente elétrica e 
no fim do fio de condução há uma lâmpada, esta irá acender; 
 
– Experimento aleatório: é aquele em que o resultado não tem condições de 
ser previsto. Neste caso, o resultado pode variar cada vez que o experimento é 
executado, como ocorre em um jogo de dados. 
 
17.2 Eventos aleatórios 
 
 O espaço amostral é definido como o conjunto de todas as possíveis 
ocorrências; por exemplo, o conjunto das árvores de uma floresta. 
 O ponto amostral é, por sua vez, considerado como uma ocorrência 
qualquer dentro do espaço amostral, por exemplo, a árvore de área basal média (dg). Já 
os eventos são definidos pelas características similares de pontos amostrais dentro do 
espaço amostral. 
 Os eventos podem ser simples ou compostos. Os simples são aqueles 
associados a um único ponto amostral (por exemplo, diâmetro da copa da árvore) e os 
Biometria Florestal 
 
 
 264 
compostos, associados com vários pontos amostrais (exemplo: diâmetro e altura da 
árvore). 
 Evento aleatório é todo aquele associado com uma ocorrência de um 
experimento aleatório. 
 Supondo-se, por exemplo, uma floresta de Eucalyptus saligna com 10 anos 
de idade e que dela deseja-se conhecer o número de árvores com “dap” maior de 25 cm, 
o espaço amostral seria representado pelo conjunto de todas as árvores da floresta; o 
ponto amostral por cada uma das árvores da floresta e os eventos amostrais pelas 
árvores com dap maior que 25,0 cm. 
 
17.3 Probabilidade 
 
 Probabilidade é o número de vezes (n) que se espera que um evento 
aleatório (A) ocorra quando o experimento for conduzido um infinito número de vezes (N): 
 .
N
nAP =)( 
 
17.4 Variável aleatória 
 
 As variáveis aleatórias podem ser classificadas em contínuas, discretas, 
qualitativas e quantitativas. 
As variáveis aleatórias contínuas são as que podem assumir qualquer valor 
em um intervalo como, por exemplo, o diâmetro e altura de árvores. 
Já as variáveis aleatórias discretas assumem apenas valores inteiros como, por exemplo, 
o número deárvores de uma floresta. 
 As variáveis podem ainda ser quantitativas (quando expressas por um 
número qualquer) e qualitativas (quando identificam categorias como, por exemplo, 
árvores sadias, espécies arbóreas etc. de uma floresta). 
 
17.5 Medidas de tendência central 
 
 Considerando-se “x” uma variável aleatória qualquer com um número finito 
de observações ( x 1, x 2, x 3, ... x n), apresentando uma distribuição de freqüência f ( x ), 
tem-se: 
– Média: 
Biometria Florestal 
 
 
 265 
n
x
x
n
j
i�
=
=
1
, 
 
onde: ix = valor observado na iésima observação; 
 n = número de observações. 
 
Caso os dados estejam agrupados em classes, a média será dada por: 
�
�
=
=
=
nc
j
i
nc
j
ci
f
xf
x
1
1
)(
 
 
onde: x c = centro de classe “i” ; 
 fi = freqüência de classe “i” ; 
 nc = número de classes. 
 
– Moda e mediana: a moda representa a classe de maior freqüência; e a 
mediana, o valor que divide as observações em duas partes iguais. 
 Para a determinação da mediana, ordena-se os dados em ordem crescente 
e elimina-se, simultaneamente, as mesmas a partir das extremidades. O valor resultante 
final é o estimador da mediana. 
 Considerando-se os seguintes diâmetros obtidos em uma amostra aleatória: 
12,0; 5,0; 7,0; 8,0; 13,5; 25,0; 8,0; 32,0; 3,0; 6,0; 11,0; 9,0; a mediana será determinada 
após a ordenação dos dados por: 
 
 
3,0 – 5,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0 – 11,0 – 12, - 13,5 – 25,0 – 32,0 
 
Nesse caso, o diâmetro 9,0 representa a mediana. 
 
17.6 Medidas de dispersão 
 
Biometria Florestal 
 
 
 266 
– Amplitude de variação: a amplitude de variação mostra a variação total 
dos dados e depende unicamente dos valores extremos destes, sendo determinada pela 
diferença entre o maior e o menor valor observado, conforme mostra o exemplo: 
 Considerando-se os dados de x = 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; o valor de A será: 
 9 – 2 = 7, 
 A = 7. 
 
 
– Desvio padrão e variância: o desvio padrão expressa a variabilidade nas 
mesmas unidades usadas para medir o evento como, por exemplo, o diâmetro em cm, 
altura em m, etc. e a variância representa o somatório dos quadrados dos desvios, sendo 
a variabilidade expressa pelas mesmas unidades usadas para medir o evento ao 
quadrado. 
Assim, a variância do diâmetro será expressa em cm²; da altura em m², etc. 
 
2
12
1
)(
−
−
=
�
=
n
xx
S
n
i
i
, 
 
o que equivale a: 
 
1
)(
1
2
1
2
2
−
−
=
� �
= =
n
xx
S
n
i
n
i
ii
, 
 
onde: S² = variância; 
 ix = variável aleatória; 
 x = média; 
 n = número de observações. 
 
Caso os dados estejam agrupados em classes, a variância será dada por: 
 
1
).().(
1
1
2
1
2
2
−
−
=
�
� �
=
= =
nc
i
i
nc
i
nc
i
cici
f
xfxf
S , 
Biometria Florestal 
 
 
 267 
 
onde: cx = centro de classe i ; 
 if = freqüência de classe i ; 
 nc = número de classes. 
 
E o desvio padrão por: 
 
2SS = , 
 
onde: S² = variância; 
 S = desvio padrão. 
 
– Coeficiente de variação: o coeficiente de variação é uma medida de variabilidade 
relativa, usada para comprar duas ou mais distribuições. É dado por: 
 
100
x
S%CV = 
 
onde: S = desvio padrão 
 x = média. 
 
– Desvio padrão da média: o desvio padrão da média ou erro padrão da 
média é uma medida de variação entre as médias amostrais. Ele pode ser considerado 
como o desvio padrão entre amostras, da mesma forma como o desvio padrão é uma 
medida da variação entre indivíduos. 
 O valor de xS dá uma idéia de precisão com que foi calculada a média: 
n
S
xS
2
= , 
 
onde: S² = variância; 
 n = número de observações. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 268 
– Intervalo de confiança: o intervalo de confiança é o procedimento 
estatístico usado para indicar a confiabilidade de um estimador. 
 O intervalo de confiança para a média é dado por: 
%)..( PtSxtSxIC
xx
=��−= µ
, 
 
e para total da população por: 
%)......( PtSxNYtSNxNIC
xx
=��−= , 
onde: x = média da amostra; 
xS = desvio padrão da média; 
 t = valor tabelar de “t”; 
 N = número total de unidades da população; 
 µ = média da população; 
 Y = valor da variável “x” expressa para o total da população. 
 
 
17.7 Covariância 
 
 A covariância é uma medida de associação entre as magnitudes de duas 
características (variáveis), podendo assumir valores negativos, positivos ou zero. Quando 
valores pequenos de uma variável estiverem associados a valores grandes de outra, a 
covariância será negativa. Será positiva quando os valores pequenos ou grandes 
estiverem associados mutuamente. 
 
1
.
1 1
12
−
−
=
� �
� = =
=
n
n
yx
xy
S
n
i
n
i
n
i
xy , 
 
onde: X e Y = variáveis aleatórias; 
 x e y = médias de X e Y; 
 n = número de observações. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 269 
Observação: A magnitude da covariância, como também do desvio padrão, está 
relacionada com o tamanho das próprias variáveis, isto é, variáveis com 
valores elevados de X e Y tendem a ter maiores covariâncias e maiores 
desvios padrão. 
 
17.8 Amostragem 
 
 Pelo procedimento de amostragem, observa-se apenas uma parte da 
população chamada amostra e obtém-se a estimativa dos parâmetros, a qual traz consigo 
o erro de amostragem. 
 A amostragem é justificada na avaliação de populações grandes ou mesmo 
pequenas em que os resultados devem ser apresentados em curto espaço de tempo, pelo 
menor custo e boa precisão. 
 A população é definida como a superfície total do objeto em estudo, da qual 
será retirada uma amostra que fornecerá as estimativas dos parâmetros. 
 A amostra é constituída de unidades amostrais ou parcelas que são as 
unidades onde são realizadas as medições e observações. 
 
17.8.1 Erro de amostragem e não amostral 
 Os erros amostrais são originados da diferença entre o valor estimado e o 
valor real da população. 
 Este erro é devido à parte da população que não foi amostrada e diminui à 
medida que aumenta a intensidade amostral, sendo nulo quando toda a população for 
amostrada. 
 Os erros não amostrais são os erros cometidos nas medições, nos registros, 
etc. originados por falha humana ou de instrumentos. 
 A determinação do erro de amostragem pode ser feita por: 
 
100.
).(
%
x
tS
E x= , 
 
onde: S
x
 = erro padrão da média; 
 
x
 = média da variável aleatória; 
 t = valor de “t” para (n-1) graus de liberdade. 
Biometria Florestal 
 
 
 270 
 
 
 
18 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
 
 A exemplo do capítulo 17, faz-se uma revisão generalizada da análise de 
regressão, não sendo o intuito esgotar o assunto, mas fornecer subsídios aos estudantes 
para a melhor compreensão da biometria florestal. 
 O estudo detalhado de uma população florestal exige observação e análise 
de uma série de variáveis, que são indicadas por valores quantitativos ou qualitativos. 
No conjunto das variáveis, existem aquelas fáceis de serem medidas e 
outras de difícil obtenção. Entretanto, se as variáveis forem correlatas, pode-se 
determinar, indiretamente, as difíceis a partir das variáveis de fácil medição. 
 Segundo Loetsch et al. (1973), o problema consiste em obter uma expressão 
quantitativa da dependência de uma variável de difícil obtenção Y sobre uma ou mais 
variáveis independentes X, facilmente obtidas. Tal expressão é matematicamente 
chamada de função, ou seja, Y é uma função de X →→→→ (Y = f (X)). 
Segundo Freese (1964),a aplicação mais comum dos métodos de regressão 
visa a atender os seguintes objetivos: 
a) testar hipóteses sobre a relação entre a variável dependente e uma ou 
mais variáveis independentes; 
b) determinar uma função matemática que descreva a relação entre uma 
variável dependente e uma ou mais variáveis independentes. 
 
O autor cita que a escolha das variáveis para um modelo de regressão deve 
ser feita a partir da correlação existente elas. Assim, a variável dependente é 
equacionada como função das variáveis correlatas. A precisão das estimativas do modelo 
depende do grau de associação entre as variáveis. 
 
18.1 Tipos de regressão 
 As regressões podem ser classificadas em lineares e não-lineares. As 
lineares podem ser simples ou múltiplas. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 271 
 
18.1.1 Regressão linear 
 A regressão é linear quando os coeficientes da equação apresentam-se na 
forma aditiva ou subtrativa e elevados ao expoente um. 
 
 Y = β0 + β1X ou Y = β0 + β1X1+ β2X2 
 
 A regressão linear pode ser simples quando a variável dependente Y é 
explicada por uma única variável independente X, ou seja: Y= f(X), 
como, por exemplo, Y = β0+ β1X1 
e múltipla quando a variável dependente é explicada por duas ou mais variáveis 
independentes, ou seja, Y = f(X1, X2, X3, ...,Xn); 
como, por exemplo, Y = β0+ β1X1 +β2X2 . 
 
18.1.2 Regressão não-linear 
 Uma regressão é considerada não-linear quando os coeficientes da equação 
encontram-se na forma de produto, fracionária ou elevados a expoentes não-unitários; ou 
seja, os coeficientes NÃO se encontram na forma aditiva ou subtrativa e com potência 
unitária; como exemplificado a seguir: 
Xy o 1.ββ= , 
 
X
oy 1.ββ= , 
 
21
210 ..
XXy βββ= , 
 
211 1
1
0 )exp1( βββ −−−= Xy . 
 
 
 Muitas vezes, uma equação não-linear pode ser transformada em linear por 
processo matemático. Por exemplo, a equação não linear XoY 1.ββ= 
pode ser linearizada, com a logaritimização, ou seja: 
 
XY o .lnlnln 1ββ += . 
Considerando-se ser b0 o estimador de ln β0 e b1 o estimador de ln β1, pode-se escrever: 
 b0 = ln β0 , 
 
Biometria Florestal 
 
 
 272 
 b1 = ln β1, 
 Y = ln Y , 
obtendo-se, com a transformação de variáveis, o modelo linear aditivo: XbbY 10 += . 
Do mesmo modo, a equação 21 210 ..
XXY βββ= pode ser linearizada como 
segue: 
 2211 .ln.lnlnln XXY o βββ ++= 
que resulta em: 
 22110 XbXbby ++= 
 
 No entanto, equações do tipo 2)( 110 XXY ββ += não podem ser linearizadas, 
pois não se pode resolver soma de variáveis na forma exponencial. Essas equações não-
lineares são resolvidas com técnicas de regressão não-linear como o processo interativo. 
Já os modelos lineares ou linearizados, podem ser solucionados pelo método de mínimos 
quadrados. 
 
18.2 Regressão linear simples 
 A regressão linear constitui um recurso estatístico da maior importância na 
biometria, servindo para explicar as relações existentes entre variáveis dendrométricas 
como: diâmetro, altura, volume, área basal, idade, etc. 
 No estudo de regressão, o primeiro passo consiste na escolha do modelo 
que exprima a relação entre as variáveis. 
 A escolha do modelo pode ser feita com base em dois processos principais: 
 a) definir o modelo que se ajusta ao problema pela análise indutiva do 
comportamento das variáveis, da experiência e conhecimento de matemática do 
pesquisador; 
 b) aplicar os dados aos modelos existentes sobre a relação em estudo e 
escolher aquele que apresentar melhor ajuste. 
 Entre os modelos de equações mais comuns, destacam-se os seguintes: 
a) Equação da reta: a linha reta é dada pela equação Y = β0 + β1X e pode assumir 
comportamento diferente de acordo com o sinal dos coeficientes β0 e β1, como mostra a 
Figura 90. 
Biometria Florestal 
 
 
 273 
 
FIGURA 90 – Representação da equação da reta de acordo com o sinal dos coeficientes. 
 
b) Parábola: a parábola é expressa pela equação do segundo grau, e apresenta a 
seguinte forma: 
 Y = β0 + β1X1 + β2X22 . 
 
 Esta equação pode assumir forma diferente de acordo com o sinal dos 
coeficientes β1, β2, como mostra a Figura 91. 
 
FIGURA 91 – Representação gráfica da parábola, com a variação do sinal do coeficiente 
β1 e β2. 
 
c) Hipérbole: a hipérbole é dada pela equação Y = β0 + β1(1/X) e pode assumir as formas 
decrescente ou crescente de acordo com o sinal do coeficiente angular β1, como mostra a 
Figura 92. 
 
FIGURA 92 – Representação gráfica da hipérbole coma variação do sinal do coeficiente 
β1. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 274 
d) Equação do terceiro grau: a equação do terceiro grau tem a seguinte forma: Y = β0 + 
β1X + β2X² + β3X³ e assume diferentes formas de acordo com o sinal do coeficiente β1, β2 
e β3. 
 
18.2.1 Modelo linear aditivo 
 O cálculo dos coeficientes (βi) e seus estimadores (bi) é realizado com base 
em um modelo linear aditivo da forma: 
 Yi = µ r + Ei , 
onde: Yi = valores da variável Y; 
 
µ r = média em movimento da variável Y de uma equação matemática qualquer; 
 
Ei = desvios das observações de Y em relação a µ r. 
 
 No caso da reta, o modelo linear aditivo é dado por: 
 
Y i = (β0 + β1X1) + Ei 
 
e pode ser representado, graficamente, pela Figura 93. 
 
 
FIGURA 93 – Distribuição normal dos dados e média em movimento. 
 
 Quando se trabalha com modelo de regressão, verifica-se o conceito de 
média em movimento. 
A média é dita em movimento pois sempre segue exatamente o percurso 
descrito pela equação, isto é, as estimativas estão sempre dentro de um intervalo. 
Considerando-se a Figura 93, na qual aparecem pontos em um eixo 
cartesiano X e Y, observa-se que existe uma tendência definida desses pontos. Sendo 
mínima a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados (Y) e estimados 
Biometria Florestal 
 
 
 275 
(�) representados pela reta, tem-se, para cada Xi, um valor médio jY . Dessa maneira 
verifica-se que a reta passa pelos pontos médios, representando, portanto, a média em 
movimento. 
 
18.2.2 Determinação das equações normais 
 A partir do modelo linear aditivo, tem-se que: 
 
 Yi = µ x + Ei . 
 
 e, portanto, Ei = Yi - µ x . 
 
 Tomando-se o somatório dos desvios, tem-se: 
0)(
11
=−=��
==
X
n
i
I
I
n
i
YE µ . 
 
Como o somatório é nulo, é importante trabalhar com o quadrado dos 
desvios: 
mínimoYE X
n
i
II
n
i
=−=��
==
2
1
2
1
)( µ . 
 
Por esse motivo, o método é chamado de “mínimos quadrados”. 
 
No caso de regressão linear simples, tem-se que: 
2
110
11
22 )( XYES
n
i
i
n
i
i ββ −−== ��
==
, 
 )222( 1101102121202
11
22 XYYXXYES iii
n
i
n
i
i ββββββ −−+++== ��
==
. 
 
Para que essa expressão seja verdadeira, é necessário que as derivadas 
parciais relativas aos parâmetros β0 e β1 sejam nulas. Assim, a derivada em relação à β0 é 
dada por: 
)(2 110
10
XY
n
i
i
s ββ
β
−−−=
∂
∂
�
=
. 
Biometria Florestal 
 
 
 276 
Dividindo-se por 2 e igualando-se a zero tem-se: 
0)( 110
1
=++−�
=
XY
n
i
i ββ . 
 
A diferencial em relação a β1 resulta: 
 
)(2 110
11
XYX
n
i
ii
s βββ −−−=∂
∂
�
=
. 
 
Também dividindo por 2 e igualando a zero tem-se: 
0)( 110
1
=++−�
=
XYX
n
i
ii ββ . 
 
 As estimativas de β0 e β1, dadas por b0 e b1, são obtidas por: 
 
0)( 110
1
=−−�
=
XbbY
n
i
i e 0)( 110
1
=−−�
=
XbbYX
n
i
ii ,ou seja, 
 
0
1
110
1
=−− ��
==
n
i
n
i
i XbnbY e 0
2
11
1
0
1
=−− ��
==
XbXbYX
n
i
i
n
i
ii , 
 
portanto, 
��
==
+=
n
i
n
i
i XbnbY
1
110
1
 e 211
1
0
1
XbXbYX
n
i
i
n
i
ii += ��
==
. 
 
Uma maneira prática de montar o sistema de equações normais é o 
seguinte: 
a) A partir do modelo geral XY 10 ββ += adiciona-se o sinal de somatório 1 
a n , pois tem-se um conjunto n de observações à frente dos elementos do modelo. 
 ���
===
+=
n
i
n
i
n
i
i XY
1
11
1
0
1
ββ � Primeira equação normal; 
 
Biometria Florestal 
 
 
 277 
b) Multiplica-se os termos da primeira equação por X: 
 1
1
11
1
0
1
XXXYX
n
i
i
n
i
n
i
ii ���
===
+= ββ , ou seja, 
 ���
===
+=
n
i
n
i
i
n
i
ii XXYX
1
2
11
1
0
1
ββ � Segunda equação normal. 
 
18.2.3 Solução do sistema de equações normais 
 
18.2.3.1 Solução por soma de equações e produtos não corrigidos (SQPNC) 
 Considerando-se, por exemplo, o estudo da relação hipsométrica com uma 
equação linear simples, do tipo h = b0 + b1 d, y = h (altura) e X = d (diâmetro). 
Estando o modelo de regressão na forma linear simples,Y i =(β0 + β1X1) + Ei, 
pode-se determinar os coeficientes pelo procedimento de Cramer, com os seguintes 
passos, após a determinação das equações normais (EQNOR), conforme generalizado 
em 18.2.2. 
 
1° Passo: Cálculo do determinante: 
 
 Considerando-se as EQNOR para o modelo acima: 
 
 ΣYi = b0 n + b1 ΣXi , 
 
ΣXi Yi = b0 ΣXi + b1ΣXi². 
e escrevendo-as na notação matricial, tem-se: 
 
��
�
+
+
2
10
1
ii
io
XbXb
Xbnb
 
ii
i
YX
Y
�
�
 . 
 
Pré-multiplicando a matriz dos somatórios(X’X) pelo vetor dos coeficientes (b’), tem-se: 
 
��
�
+
+
2
ii
i
XX
Xn
 x 
1
0
b
b
 = 
ii
i
YX
Y
�
�
, 
 
 (X’X) x (b’) = (X’Y). 
Biometria Florestal 
 
 
 278 
 
O determinante ∆ de (X’X), calculado pela Regra de Sarrus, será o produto 
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária; assim: 
 
∆ = n. Xi² - ΣXi . ΣXi . 
 
2° Passo: Cálculo de b1 
 Para a determinação de b1, faz-se, primeiramente, a substituição da coluna 
correspondente a b1 na matriz X’X pelo vetor X’Y. A seguir calcula-se o determinante da 
nova matriz, o qual é chamado de determinante b1. Assim, tem-se: 
 
��
�
+
+
iii
i
YXX
Yn 
,
 
 
∆ b1 = n . ΣXiYi - ΣYi . ΣXi . 
 
Conhecido o valor de ∆ b1, o valor de b1 será dado por: 
∆
∆
=
1
1
bb , 
ou seja: 
� �
� � �
−
−
= 221 )(.
..
ii
iiii
XXn
XYYXn
b . 
 
3° Passo: Cálculo do b0 
 Segue-se o mesmo procedimento apresentado para b1, substituindo-se 
apenas a coluna de b0 em X’X pelo vetor X’Y. Assim, a nova matriz será: 
��
��
+
+
2
 
 
iii
ii
XYX
XY
. 
 
A seguir, calcula-se o determinante da nova matriz, o qual é chamado de 
determinante b0: 
 
Biometria Florestal 
 
 
 279 
 ∆b0 = ΣXi . ΣXi² - ΣXi . ΣXiYi . 
 . 
Conhecido o valor de ∆ b0, o valor de b0 será dado por: 
∆
∆
=
0
0
bb , 
ou seja, 
� �
� � ��
−
−
= 22
2
0 )(.
.
ii
iiiii
XXn
YXXXX
b . 
 
 
 
18.2.4 Eficiência da regressão linear simples 
 
 Draper e Smith (1966) demonstraram a eficiência de uma regressão linear 
conforme o apresentado na Figura 94. 
 
 
 
FIGURA 94 – Eficiência da regressão linear simples. 
 
Considerando-se a Figura 94, tem-se: 
)()()(
^_^_
iiii YYYYYY −+−=− , 
 
onde: )(
_
YYi − = desvio total; 
 )(
_^
YY i − = desvio do valor ajustado sobre a média; 
 )(
^
YYi − = desvio do valor observado sobre o ajustado. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 280 
Como este somatório será zero, usa-se o quadrado obtendo-se a expressão: 
2
^
2
_^
2
_
)()()( iiii YYYYYY −+−=− , 
onde: )(
_
YYi −
2
 = somatório corrigido dos quadrados de Y; 
 )(
_^
YY i − 2 = somatório dos quadrados devido à regressão; 
 )(
^
YYi −
2 
= somatório dos quadrados devido aos resíduos. 
 
 A partir dessas relações, pode-se obter a Análise de Variância (ANOVA), 
constituindo-se esta da decomposição da variabilidade segundo as fontes de variações 
conhecidas. Ela é somente uma igualdade algébrica e não depende das propriedades das 
distribuições de resíduos. 
 A ANOVA pode ser representada e calculada conforme mostra a Tabela 48. 
 
TABELA 48 – Quadro de análise de variância 
F. VARIAÇÃO G.L. S.Q QM F 
Total Corrigido n –1 
 )(
_
YYi −
2
 
 
Regressão(b0/b1) p –1 )(
_^
YY i − 2 
glreg
SQreg
 QMres
QMreg
 
Resíduo n - p Diferença 
glres
SQres
 
 
Onde: n = número de observações; p = número de coeficientes do modelo. 
 
Se ii XbbY 10
^
+= e 
_
1
_
0 XbYb −= , 
 
Substituindo-se 
Σ =− 2
_^
)( YY i 2
_
1
_
1
_
)( YXbXbY i −+−� , 
2
__
1
_
))(( YXXbY i −−−� . 
 
Simplificando, resulta: 
2
_
1 ))((� −− iXXb � multiplicando por –1 resulta � 2
_
1 ))((� +− iXXb , 
 
Biometria Florestal 
 
 
 281 
o que equivale à � 2
_
1 ))(.( � − XXb i . 
 
Sendo: 
� �
� � �
−
−
= 221 )(.
..
ii
iiii
XXn
XYYXn
b = 
� �
� � �
−
−
=
n
X
X
n
XY
YX
b
i
i
ii
ii
2
2
1 )(
.
, 
 
 
Tem-se: 
2
2
2
2
)(
.)(
.
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−
	
	
	
	
�
�
�
�
�
�
−
−
� �
� �
� � �
n
X
X
n
X
X
n
XY
YX
i
i
i
i
ii
ii
, 
 
2
2
2
2
2
2
)(
.)(
.
.)(
.
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
−
	
	
	
	
�
�
�
�
�
�
−
−
	
	
	
	
�
�
�
�
�
�
−
−
� �
� �
� � �
� �
� � �
n
X
X
n
X
X
n
XY
YX
n
X
X
n
XY
YX
i
i
i
i
ii
ii
i
i
ii
ii
, 
 
 
.)( 12
_^
bYY i� =− � � �−
n
XY
YX iiii
.
. 
 
A soma de quadrados do resíduo (SQresíduo) será determinada pela 
diferença entre a soma de quadrados total e da regressão. 
 A variância ( ^2 yxS ) será dada com (n-p) graus de liberdade (gl); tendo, na 
regressão simples, dois coeficientes (bo e b1) o valor de “p” será 2. 
 
 MQresíduo = pn
SQresíduo
pn
n
Y
Y
pn
YY
yxS i
−
=
−
−
=
−
−
=
�
� 22
2
_
^
2
)(
)(
. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 282 
 O erro padrão ou desvio padrão ( ^yxS ) é obtido por: 
 
 
 
^
2
^
yxSQMresíduoyxS == , 
 
ou, em percentagem: 
 100.(%)
_
^
^
Y
yxSyxS = , 
onde: =
_
Y média da variável dependente Y. 
 O erro padrão de regressão ( ^yxS ) possibilita ainda a delimitação da 
amplitude de variação em cada lado da linha de regressão, com uma probabilidade de 
68% de que todos os pontos estejam dentro do intervalo de ±1 desvio padrão. 
 
 
18.2.5 Percentagem de variação explicada pela regressão 
 
 A percentagem de variação explicada pelo modelo ajustado é expressa pelo 
coeficiente de determinação r² emede a “proporção da variação total sobre a média Y 
explicada pela regressão”. 
 O r² é definido por: 
 
 r² = (SQregressão)/(SQtotal) , 
 
 
� �
� � �
−
−
=
n
Y
Y
n
XY
YXb
r
i
i
ii
ii
2
2
1
2
)(
.
.
. 
 
Observação: Em cálculos sucessivos são cometidos erros de arredondamento. Tais 
erros trazem como conseqüência que, freqüentemente, a soma de quadrados da 
regressão resulte maior que a soma de quadrados total. Desta forma, para evitar tal 
Biometria Florestal 
 
 
 283 
absurdo, é necessário trabalhar com maior número de dígitos após a casa decimal. 
Assim, aconselha-se usar no mínimo cinco dígitos. 
 
 
18.3 Exercício 
 Considerar os dados de uma floresta de Pinus elliottii, apresentados na 
Tabela 49, para os quais se deseje ajustar a relação hipsométrica h = b0 + b1.d 
 No modelo tem-se: h = Y e d = X. 
 
 As equações normais são dadas por: 
��
�
+
+
2
10
1 
ii
io
XbXb
Xbnb
 
ii
i
YX
Y
�
�
 , 
 
logo, 
0,026.5.0,260.
0,26. 15.
10
1
bb
bbo
+
+
 
5,019.5
5,264 
. 
 
Os coeficientes do modelo calculados por: 
 
TABELA 49 – Dados de diâmetro e altura de Pinus elliottii 
N 
d (cm) 
X 
h (m) 
Y Y2 X2 XY 
^
Y 
1 10,0 11,0 121,00000 100,00000 110,00000 11,5 
2 13,0 15,0 225,00000 169,00000 195,00000 14,0 
3 15,0 17,0 289,00000 225,00000 255,00000 15,7 
4 20,0 19,0 361,00000 400,00000 380,00000 19,9 
5 21,0 21,0 441,00000 441,00000 441,00000 20,7 
6 25,0 23,0 529,00000 625,00000 575,00000 24,1 
7 28,0 27,0 729,00000 784,00000 756,00000 26,6 
8 22,0 21,0 441,00000 484,00000 462,00000 21,5 
9 19,0 21,0 441,00000 361,00000 399,00000 19,0 
10 9,0 9,0 81,00000 81,00000 81,00000 10,7 
11 16,0 18,0 324,00000 256,00000 288,00000 16,5 
12 13,0 15,0 225,00000 169,00000 195,00000 14,0 
13 25,0 23,0 529,00000 625,00000 575,00000 24,1 
14 9,0 10,0 100,00000 81,00000 90,00000 10,7 
15 15,0 14,5 210,25000 225,00000 217,50000 15,7 
� 260,00000 264,50000 5.046,25000 5.026,00000 5.019,50000 264,5 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 284 
Onde: 
^
Y = valores de altura estimados após o cálculo dos coeficientes do modelo de regressão. 
Obs: Os valores correspondentes ao diâmetro e a altura foram registrados na floresta com uma casa 
decimal; motivo pelo qual, foram tabulados com o mesmo número de casas depois da vírgula. Para 
os cálculos, entretanto, foram registradas cinco casas decimais. 
 
a) Determinante principal: 
 ∆ = n. Xi² - ΣXi . ΣXi , 
 ∆ = (15. 5.026,00000) – (260,00000 . 260,00000), 
 ∆ = 75.390,00000 – 67.600,00000, 
 ∆ = 7.790,00000. 
 
b) Coeficiente b1: 
 b1 = (1/∆) . [n . ΣXiYi - ΣXi. ΣYi], 
 b1 = (1 / 7.790,00000) . [(15 . 5.019,50000) – (260,00000 . 264,50000)], 
 b1 = (1 / 7.790,00000) . [75.292,50000 – 68.770,00000], 
 b1 = 0,83729. 
 
c) Coeficiente b0: 
Sendo ∆b0 = ΣXi . ΣXi² - ΣXi . ΣXiYi e o valor de b0 dado por ∆
∆
=
0
0
bb , tem-se: 
ou seja: 
� �
� � ��
−
−
= 22
2
0 )(.
.
ii
iiiii
XXn
YXXXX
b , 
 
 b0 = [(5.026,00000 . 264,50000) – (260,00000 . 5.019,50000)], 
b0 = (1 / 7.790,0) . [1.329.377,00000 – 1.305.070,00000], 
 b0 = 3,12028. 
 
d) Coeficiente de determinação: 
r² = (SQ Regressão)/(SQ Total), 
SQ Regressão = 0,83729 x (5.019,50000 – (260,00000 x 264,50000)/15), 
SQ Regressão = 364,08165. 
 
SQ Total = 5.046,250000 – (264,50000)²/15, 
Biometria Florestal 
 
 
 285 
SQ Total = 382,23333. 
 
r² = 364,08165 = 0,95251. 
 382,23333 
 
e) Análise de variância: 
 
TABELA 50 – Cálculo da ANOVA 
F.Variação G.L. S.Q. Q.M. F 
Regressão 1 364,08165 364,08165 260,75** 
Resíduo 13 18,15168 1,39628 
Total 14 382,23333 
 
f) Erro padrão da estimativa: 
^
2
^
yxSQMresíduoyxS == , 
39625,1
^
=yxS , 
^
yxS = 1,18163 m. 
 
ou em percentagem da média: 
^
yxS (%) = 1,18163 . 100 = ± 6,7%. 
 17,6333 
 
 
18.4 Soma de quadrados e produtos corrigidos (SQPC) 
 
Transformando-se o eixo Y para a média 
_
X , o coeficiente b0 cortará o eixo 
X exatamente em ,
_
Y conforme apresentado na Figura 92. Desse modo, todas as 
observações de X serão defasadas de 
_
X , ou seja (Y – 
_
X ), e (Y – 
_
Y ). 
 
Biometria Florestal 
 
 
 286 
 
FIGURA 92 – Representação gráfica da soma de quadrados e produtos corrigidos. 
 
Considerando ser: 
 
_
X = (X1 + X2 + X3 +.... +Xn) / n = ΣXi/n, 
 
_
Y = (Y1 + Y2 + Y3 + .....+ Yn)/n = ΣYi/n, 
e dividindo-se a equação normal em relação a b0 por n tem-se: 
 
 b0n + b1 ΣXi = ΣYi , 
b0(n/n) + b1 (ΣXi/n) = ΣYi/n , 
b0 + b1
_
X =
_
Y , 
logo, b0 = 
_
Y – b1
_
X . 
 
Considerando-se a matriz: 
��
�
+
+
2
10
1 
ii
io
XbXb
Xbnb
ii
i
YX
Y
�
�
, 
 
o valor de ΣXi² é chamado de soma dos quadrados não corrigidos de X e o somatório 
de (Xi)²/n é a correção para a média de X; a diferença é denominada de soma dos 
quadrados corrigidos de x e simbolizada por 2� ix . 
 De modo similar, ΣXiYi é chamado de soma dos produtos não corrigidos 
de X e Y e [(ΣXi) . (ΣYi)] /n é a correlação para a média de X e Y, e a diferença entre estes 
somatórios produz a soma de quadrados corrigidos dos produtos cruzados de X e Y, 
o qual é grafado por ii yx� . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 287 
 
Por meio desse procedimento, ficam eliminadas a primeira linha e coluna 
das equações normais. 
 
 b0n + b1 ΣXi = ΣYi , 
 b0ΣXi + b1ΣXi² = ΣXiYi; 
 
 
sendo rescrita com b1.
2
� ix = ii yx� . 
 
Dessa forma, a grafia com caracteres minúsculos passa a representar a 
soma corrigida para as respectivas média: 
 
 
�
�
= 21
i
ii
x
yx
b , 
 
e o intercepto passa a ser expresso por: b0 = 
_
Y – b1
_
X . 
 
 
18.5 Regressão linear múltipla 
 
 Um modelo de regressão é múltiplo quando a variável dependente é função 
de duas ou mais variáveis independentes: 
 
 Y = f (X1 + X2 + X3 + ...... + Xn) . 
 
18.5.1Modelo linear aditivo 
 O modelo linear aditivo é o mesmo da expressão linear simples, sendo dado 
por: 
 
 Yi = µ r + Ei . 
 
Biometria Florestal 
 
 
 288 
 Considerando-se o modelo µ r = β0 + β1X1 +β2X2, tem-se: 
 Yi = β0 + β1X1 +β2X2 + Ei , 
 Ei = Yi - µ r , 
0)(
11
=−=��
==
r
n
i
i
n
i
i YE µ , 
 
=−=��
==
2
11
2 )( r
n
i
i
n
i
i YE µ mínimo e positivo, 
 
 
2
22110
11
2 )( XXYES
n
i
i
n
i
i βββ ++−== ��
==
, 
)222222( 2211220110221102222212120
1
2
1
2 XXXXXYXYYXXYES iii
n
i
i
n
i
i ββββββββββββ +++−−−+++== ��
==
, 
 
)222222 21
1
212
1
201
1
102
1
21
1
1
1
0
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
0
11
2
1
2 XXXXXYXYYXXYES
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i �����������
===========
+++−−−+++== ββββββββββββ
.
 
 
 A derivada parcial em relação a β0 é dada por: 
02222
1
22
1
11
11
0
0
=++−=
∂
∂
����
====
n
i
n
i
n
i
i
n
i
s XXY βββ
β
. 
 
Isolando-se a variável dependente e dividindo-se por dois a expressão, tem-
se: 
�����
=====
+++=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
i XXYY
1
22
1
11
11
0
1
0 : ββββ . 
 
 A derivada parcial em relação a β1 resulta: 
����
====
++−=
∂
∂ n
i
n
i
iin
i
i
n
i
s XXXXYX
1
212
1
0
1
2
1
11 2222
1
βββ
β
. 
 
Isolando-se a variável dependente e dividindo-se por dois a expressão, tem-
se: 
����
====
++=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i XXXXXY
1
212
2
1
11
1
0
1
1 : ββββ . 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 289 
E a derivada parcial em relação a β2 é dada por: 
 02222
1
211
1
202
1
2
1
22
2
=++−=
∂
∂
����
====
n
i
n
i
n
i
i
n
i
s XXXXYX βββ
β
. 
 
Dividindo-se por dois esta expressão, tem-se: 
 
2
1
22
1
211
1
202
1
2 : ����
====
++=
n
i
n
i
n
i
n
i
i XXXXXY ββββ . 
 
Assim, o sistema de equações normais é dado por: 
 ����
====
+++
n
i
n
i
n
i
n
i
i XXY
1
22
1
11
1
0
1
0 : ββββ , 
����
====
++=
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i XXXXXY
1
212
1
2
11
1
01
1
1 : ββββ , 
����
====
++=
n
i
n
i
n
i
n
i
i XXXXXY
1
2
22
1
211
1
202
1
2 : ββββ . 
 
 De maneira análoga ao apresentado na regressão linear simples, pode-se 
obter o sistema de equações normais com o seguinte procedimento: 
a) A partir do modelo geral 22110 XXY βββ ++= adiciona-se o sinal de 
somatório 1 a n, pois tem-se um conjunto n de observações à frente dos elementos 
do modelo: 
 ����
====
++=
n
i
n
i
n
i
n
i
i XXY
1
22
1
11
1
0
1
βββ � Primeira equação normal; 
 
b) Multiplica-se o termo da primeira equação por X1: 
 2
1
121
1
111
1
0
1
1 XXXXXYX
n
i
n
i
n
i
n
i
i ����
====
++= βββ , ou seja, 
 2
1
12
1
2
11
1
10
1
1 XXXXYX
n
i
n
i
n
i
n
i
i ����
====
++= βββ � Segunda equação normal; 
 
 c) Multiplicam-se todos os termos da primeira equação por X2: 
 ����
====
++=
n
i
n
i
n
i
n
i
i XXXXXY
1
2
22
1
211
1
202
1
βββ � Terceira equação normal; 
 
e assim sucessivamente para as “K” variáveis do modelo. 
Biometria Florestal 
 
 
 290 
 
 
18.5.2 Solução do sistema de equações 
 
 A solução de um sistema de equações normais de uma regressão linear 
múltipla pode ser obtida por meio de três alternativas principais, de acordo com a 
facilidade de emprego: 
 a) Sistemas com até três coeficientes em cada equação podem ser 
resolvidos por determinante através da soma de quadrados e produtos não corrigidos; 
 b) Sistemas com até quatro coeficientes em cada equação podem ser 
resolvidos por determinante baixando-se a ordem da matriz pela soma de quadrados e 
produtos corrigidos; 
 c) Sistemas com mais de quatro coeficientes ou qualquer número de 
coeficientes podem ser resolvidos por matriz. 
 
 
18.5.2.1 Solução por soma de quadrados e produtos não corrigidos (SQNPC) 
 
 A solução pela soma de quadrados e produtos não-corrigidos é obtida com o 
emprego da regra de Sarrus, de acordo com os seguintes passos: 
 
a) Matriz principal 
 (X’X) = 2
2212
21
2
11
21
���
���
��
XXXX
XXXX
XXn
 X’Y = 
i
i
i
YX
YX
Y
�
�
�
2
1 ; 
 
b) Determinante da matriz principal: com a regra de Sarrus, o determinante da matriz 
principal é obtido repetindo-se as duas primeiras colunas da matriz principal e 
calculando-se a diferença dos produtos dos elementos das diagonais principais e 
secundárias: 
 n ΣX1 ΣX2 n ΣX1 
∆ = ΣX1 ΣX1² ΣX1X2 ΣX1 ΣX1² 
 ΣX2 ΣX1X2 ΣX2² ΣX2 ΣX1X2 
Biometria Florestal 
 
 
 291 
 
 
∆ = [(n . ΣX1². ΣX2²) + (ΣX1. ΣX1X2 . ΣX2) + (ΣX2 . ΣX1. ΣX1X2)] 
– [(ΣX2. ΣX1². ΣX2) + (ΣX1X2². n) + (ΣX2². ΣX1²)] ; 
 
 
c) Determinante de b0: a matriz do determinante b0 é obtida substituindo-se, na primeira 
coluna da matriz principal (X’X), a coluna correspondente a b0, os termos independentes 
das equações normais (X’Y). Na seqüência, repetem-se as duas primeiras colunas no 
final da matriz, como segue: 
 
 ΣYi ΣX1 ΣX2 ΣYi ΣX1 
∆ b0 = ΣYiX1 ΣX1² ΣX1X2 ΣYiX1 ΣX1² , 
 ΣYiX2 ΣX1X2 ΣX2² ΣYiX2 ΣX1X2 
 
 
∆ b0 = [(ΣYi. ΣX1². ΣX2²) + (ΣX1. ΣX1X2. ΣYiX2) + (ΣX2. ΣYiX1. ΣX1X2)] 
 - [(ΣYiX2. ΣX1². ΣX2) + ((ΣX1X2)² . ΣYi) + (ΣX2². ΣYiX1. ΣX1)]; 
 
d) Determinante de b1: de modo análogo, substitui-se os termos independentes na 
coluna da matriz principal correspondente ao valor de b1 e repete-se as duas primeiras 
colunas da matriz principal: 
 
 n ΣYi ΣX2 n ΣYi 
∆ b1 = ΣX1 ΣYiX1 ΣX1X2 ΣX1 ΣYiX1 , 
 ΣX2 ΣYiX2 ΣX2² ΣX2 ΣYiX2 
 
∆ b1 = [(n. ΣYiX1. ΣX2²) + (ΣYi. ΣX1X2. ΣX2) + (ΣX2. ΣX1. ΣYiX2)] 
 - [(ΣX2. ΣYiX1. ΣX2) + (ΣYiX2.ΣX1X2. n) + (ΣX2². ΣX1. ΣYi)]; 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 292 
e) Determinante de b2: com o mesmo procedimento, substituem-se os termos 
independentes na terceira coluna da matriz principal (coluna correspondente ao b2) e 
repetem-se as duas primeiras colunas da matriz principal no final da mesma, obtendo-se 
a solução para b2, como segue: 
 
 n ΣX1 ΣYi n ΣX1 
∆ b2 = ΣX1 ΣX1² ΣYiX1 ΣX1 ΣX1² , 
 ΣX2 ΣYiX2 ΣYiX2 ΣX2 ΣX1X2 
 
∆ b2 = [(n. ΣX1². ΣYiX2) + (ΣX1. ΣYiX1. ΣX2) + (ΣYi. ΣX1. ΣX1X2)] 
 - [(ΣX2. ΣX1². ΣYi) + (ΣX1X2. ΣYiX1. n) + (ΣYiX2. ΣX1. ΣX1)]; 
 
 
f) Cálculo dos coeficientes b0, b1 e b2: os coeficientes b0, b1 e b2 são obtidos pelo 
cociente do determinante ∆ bi pelo determinante da matriz principal (∆ ), ou seja: 
 
 b0 = (∆b0) / ∆ , 
 b1 = (∆b1) / ∆ , 
 b2 = (∆b2) / ∆ . 
 
 O coeficiente b0 poderá alternativamente ser calculado pela expressão : 
 
−−−−
++−= 3322110 ( XbXbXbYb , 
onde: 
−
Y = média de Y; 
 321 ,,
−−−
XXX = média aritmética de X1, X2, X3, respectivamente. 
 
 A análise da expressão de b0 mostra que o coeficiente angular na regressão linear 
múltipla é expresso pela soma algébrica do produto dos coeficientes pelas respectivas 
médias aritméticas da variável a eles associadas. 
 Eventuais diferenças entre o valor de b0 calculado pela última expressão e o obtido 
pelo cálculo do determinante da matriz de b0 pode ser atribuída à perda de precisão 
decorrente de arredondamento de valores. 
 
Biometria Florestal 
 
 
 293 
18.5.2.2 Solução por soma de quadrados dos produtos corrigidos (SQPC) 
 
 Um modelo de regressão múltipla do tipo Y= b0+ b1X1+ b2X2+b3X3 pode ter 
seus coeficientes mais facilmente determinados por meio da soma de quadrados dos 
produtos corrigidos – SQPC. 
 O processo consiste em retirar do sistema de equações normais a linha e 
coluna correspondente ao coeficiente b0, como demonstrado a seguir: 
 
 b0 n + b1ΣX1 + b2ΣX2 + b3ΣX3 = ΣY 
 b0ΣX1 + b1ΣX1² + b2ΣX1X2 + b3ΣX1X3 = ΣX1Y 
 b0ΣX2 + b1ΣX1X2 + b2ΣX2² + b3ΣX2X3 = ΣX2Y 
 b0ΣX3 + b1ΣX1X3 + b2ΣX2X3 + b3ΣX3² = ΣX3Y 
 
 A solução do sistema obedecerá aos seguintes passos: 
 a) Determinação das médias das variáveis independentes (X1; X2;X3;.....; Xn) 
e da dependente Y; 
 b) Determinação dos somatórios corrigidos pela média para cada variável 
independente: 
n
X
XXXx
n
i
in
i
i
n
i
i
n
i
i
2
1
2
1
2
11
2
)(
)(
�
��� =
=
−
==
−=−= , 
 
que, para o exemplo, será: 
n
X
Xx
n
i
n
i
n
i
2
1
22
1
2
1
2
2
)(�
�� =
==
−= , 
n
X
Xx
n
i
ni
n
i
2
1
32
1
3
1
2
3
)(�
�� =
==
−= , 
n
YX
YXyx
n
i
i
n
i
in
i
i
n
i
).(
11
1
1
1
1
1
��
�� ==
==
−= , 
n
YX
YXyx
n
i
i
n
i
in
i
i
n
i
).(
11
2
1
2
1
2
��
�� ==
==
−= , 
 
Biometria Florestal 
 
 
 294 
n
YX
YXyx
n
i
i
n
i
in
i
i
n
i
).(
11
3
1
3
1
3
��
�� ==
==
−= , 
n
XX
XXxx
n
i
i
n
i
in
i
ii
n
i
).(
1
2
1
1
1
21
1
21
��
�� ==
==
−= , 
n
XX
XXxx
n
i
i
n
i
in
i
ii
n
i
).(
1
3
1
1
1
31
1
31
��
�� ==
==
−= , 
n
XX
XXxx
n
i
i
n
i
in
i
ii
n
i
).(
1
3
1
2
1
32
1
32
��
�� ==
==
−= , 
 
e, ainda, para o cálculo da ANOVA, será necessário conhecer: 
 
n
Y
Yy
n
i
in
i
i
n
i
2
1
2
11
2
)(�
�� =
==
−= . 
 
 Dessa forma, com os somatórios corrigidos, o sistema de equações fica 
definido por: 
b1. Σxi² + b2. Σx1x2 + b3. Σx1x3 Σx1y 
b1. Σx1x2 + b2. Σx2² + b3. Σx2x3 Σx2y 
b1. Σx1x3 + b2. Σx2x3 + b3. Σx3² Σx3y 
 
A solução do sistema pode, agora ser feita por Cramer, substituindo-se o vetor dos 
somatórios de “xiy” pela coluna do coeficiente a estimar, seguido do cálculo do 
determinante pela regra de Sarrus, conforme demonstrado anteriormente. 
 
18.6 Análise de variância 
 
 A análise de variância pode ser calculada seguindo-se o esquematizado na 
Tabela 51. 
 
TABELA 51 – Tabela de análise de variância para resolução do sistema por SQPC. 
 
F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 
Biometria Florestal 
 
 
 295 
Total corrigido n-1 Σy2 
Regressão 
R(b3; b2; b1/ b0) 
p-1 b1Σx1y + b2Σx2y + b3Σx3y 
regressão
regressão
GL
SQ
 
 
resíduo
regressão
QM
QM
 
Resíduo n-p diferença 
resíduo
resíduoo
GL
SQ
 
 
 Sendo: n = número de observações; p = número de coeficientes na equação. 
 
Observação: A determinação do R², Syx e demais estatísticas seguem o mesmo 
processo apresentado anteriormente, ou seja: 
 
total
regressão
SQ
SQ
R =2 , 
 
resíduoxy QMS = e, 
 
100.%
−
=
Y
S
S xyxy . 
 Considerar os dados de uma floresta de Pinus elliottii apresentados na 
Tabela 50, para os quais se deseje ajustar a relação hipsométrica 3,1
)( 2221
2
0
+
++
=
dbdbb
dh , 
para linearizar o modelo, será necessário passar os coeficientes para o expoente 1, pois 
se encontram com expoente –1. 
22
21
2
)(
3,1
0 dbdbb
dh
++
=− , 
3,1
)(
2
22
210
−
=++
h
ddbdbb , 
2
21
2
0
3,1
dbdbb
h
d
++=
−
. 
 
Assim, na forma linear, as variáveis assumem os valores de: 
y =
3,1
2
−h
d
, 
X1 = d e 
X2 = d² . 
Biometria Florestal 
 
 
 296 
 
TABELA 51 – Valores observados e calculados para ajuste de modelo de regressão 
N d h 3,1
2
−h
d
 
 d2 
 x1 Y Y2 X12 X2 X22 X1X2 X1Y X2Y 
1 10,0 11,0 3,21081 10,30928 100,00000 100,00000 10000,00000 1000,00000 32,10806 321,08065 
2 13,0 15,0 3,51223 12,33577 169,00000 169,00000 28561,00000 2197,00000 45,65900 593,56703 
3 15,0 17,0 3,78566 14,33121 225,00000 225,00000 50625,00000 3375,00000 56,78488 851,77316 
4 20,0 19,0 4,75383 22,59887 400,00000 400,00000 160000,00000 8000,00000 95,07654 1901,53075 
5 21,0 21,0 4,73136 22,38579 441,00000 441,00000 194481,00000 9261,00000 99,35860 2086,53066 
6 25,0 23,0 5,36673 28,80184 625,00000 625,00000 390625,00000 15625,00000 134,16837 3354,20930 
7 28,0 27,0 5,52321 30,50584 784,00000 784,00000 614656,00000 21952,00000 154,64985 4330,19578 
8 22,0 21,0 4,95666 24,56853 484,00000 484,00000 234256,00000 10648,00000 109,04663 2399,02586 
9 19,0 21,0 4,28076 18,32487 361,00000 361,00000 130321,00000 6859,00000 81,33437 1545,35297 
10 9,0 9,0 3,24337 10,51948 81,00000 81,00000 6561,00000 729,00000 29,19037 262,71336 
11 16,0 18,0 3,91527 15,32934 256,00000 256,00000 65536,00000 4096,00000 62,64432 1002,30919 
12 13,0 15,0 3,51223 12,33577 169,00000 169,00000 28561,00000 2197,00000 45,65900 593,56703 
13 25,0 23,0 5,36673 28,80184 625,00000 625,00000 390625,00000 15625,00000 134,16837 3354,20930 
14 9,0 10,0 3,05129 9,31034 81,00000 81,00000 6561,00000 729,00000 27,46157 247,15415 
15 15,0 14,5 4,12861 17,04545 225,00000 225,00000 50625,00000 3375,00000 61,92921 928,93818 
 260,00000 264,50000 
63,33876 277,50422 5026,00000 5026,00000 2361994,00000 105668,00000 1169,23916 23772,15738 
Observação: No cálculo manual devem ser mantidos, no mínimo, cinco dígitos após a vírgula para evitar grandes 
erros de arredondamento. Os valores apresentados nesta tabela foram registrados com menos dígitos por 
motivo de espaço. 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 270 
 
a) Equações normais: 
 
 b0n + b1ΣX1 + b2ΣX2 ΣY 
 b0ΣX1 + b1ΣX1² + b2ΣX1X2 = ΣX1Y 
 b0ΣX2 + b1ΣX1X2 + b2ΣX² ΣX2Y 
 
b) Soma de quadrados e produtos corrigidos e o modelo reduzido: 
 
 b1Σx1² + b2Σx1x2 Σx1y 
 b1Σx1x2 + b2Σx2² Σx2y 
 
 
Onde: 
Σx1² = ΣX1² - (ΣX1)²/n, 
Σx1² =5.026,00000– (260,00000)² / 15, 
Σx1² = 519,33333. 
 
Σx1x2 = ΣX1X2 – ((ΣX1). (ΣX2))/n, 
Σx1x2 = 105.668,00000 – (260,00000 . 5.026,00000) /15 
Σx1x2 = 18.550,66667. 
 
Σx1y = ΣX1Y – ((ΣX1). (ΣY))/n, 
Σx1y = 1.169,23916 – (260,00000 . 63,33876) / 15, 
Σx1y = 71,36732. 
 
Σx2y = ΣX2Y – ((ΣX2) .( ΣY))/n, 
Σx2y = 23.772,15738 – (5.026,00000 . 63,33876) / 15, 
Σx2y = 2.549,45020. 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 271 
Σx2² = ΣX2² - (ΣX2)2/n, 
Σx2² = 2.361.994,00000 – (5.026,00000)² / 15, 
Σx2² = 677.948,93333. 
 
Σy² = ΣY² - (ΣY)²/n, 
Σy² = 277,50422 – (63,33876)² / 15, 
Σy² = 10,05099. 
 
Logo, as equações normais reduzidas (SQPC) serão: 
 
 b1. 519,33333 + b2 . 18.550,66667 = 71,36732 
 b1. 18.550,66667 + b2 . 677.948,93333 = 2.549,45020 
 
a) Cálculo do determinante principal: 
∆ = (519,33333 x 677.948,93333) – (18.550,66667x 18.550,66667), 
∆ = 7.954.243,21477. 
 
b) Cálculo do coeficiente b1: 
b1 = 1/∆ x (71,36732 x 677.948,93333) – (18.550,66667 x 2.549,45020), 
b1 = 0,13696. 
 
c) Cálculo do coeficiente b2: 
b2 = 1/∆ x (519,33333 x 2.549,45020) – (71,36732 x 18.550,66667), 
b2 = 0,000012961. 
 
d) Cálculo do coeficiente b0: 
−−−−
++−= 3322110 ( XbXbXbYb , 
b0 = (63,33876 / 15) – { 0,13696 x (260,00000 / 15) + 0,000012961 x ( 5.026,00000)}, 
b0 = 1,84427. 
 
e) Equação ajustada: 
 
h = d² + 1,30 , 
 (1,84427+ 0,13696.d +0,000012961.d²)² 
Biometria Florestal 
 
 
 272 
 
f) Coeficiente de determinação: 
R² = b1 . Σx1y + b2 Σx2y , 
 Σy² 
R² = (0,13696 x 71,36732) + (0,000012961x 2.549,45020) , 
 10,05099 
R² = 0,97578. 
 
g) Erro padrão: 
 
resíduoxy QMS = , 
�� +−= 22112 .. xbyxbyS xy , 
0)2.549,4502 x 10,0000129671,36732 x 0,13696(05099,10 +−=xyS , 
Sxy = 0,14244. 
100.%
−
=
Y
S
S xyxy , 
 
100.
15
33876,63
14244,0%
−
=xyS , 
=%xyS 3,37 %. 
 
18.7 Critérios para a seleção do melhor modelo 
 
Os critérios para a seleção do melhor modelo de regressão são diversos, 
podendo ser utilizadas diversas estatísticas para esta finalidade. 
Alguns autores usam apenas uma estatística para esse fim, o que pode ser 
perigoso por não definir com certeza a viabilidade do modelo ajustado. 
De forma geral, as seguintes estatísticas básicas, usadas em conjunto, 
possibilitam selecionar eficientemente um modelo. 
 
18.7.1 Critério de precisãoBiometria Florestal 
 
 
 273 
 O coeficiente de determinação para a regressão simples (r²) ou múltipla (R²) 
expressa a quantidade da variação total explicada pela regressão. Dessa forma, 
quando da análise de modelos, seleciona-se aquele que apresente o maior valor de R² 
ou r². 
 Esse coeficiente é sempre crescente à medida que se inclui uma nova 
variável ao modelo de regressão; sendo, portanto, perigoso usá-lo isoladamente como 
critério, principalmente quando o modelo possuir muitos coeficientes. 
 
 R² = SQ Regressão . 
 SQTotal 
 
18.7.2 Erro padrão da estimativa 
 
Esta estatística é uma medida que expressa a dispersão entre os valores 
observados e estimados pela regressão. 
Sendo o Syx uma medida de dispersão, ele deve ser mínimo; logo, na 
comparação entre equações, a melhor, por este critério, será a que apresentar menor 
valor de Syx. 
 
resíduoxy QMS = , ou seja, �� +−= 22112 .. xbyxbyS xy . 
 
 Entretanto, o Syx só pode ser usado como comparador entre equações 
quando as variáveis dependentes possuírem a mesma unidade. 
 Meyer (1938 apud Figueiredo,1982), apresenta, como forma de comparação 
para modelos com variáveis dependentes de unidades diferentes, o erro padrão 
residual em percentagem da média: 
 100.%
−
=
Y
S
S xyxy , 
onde: Syx = erro padrão da estimativa; 
 
−
Y = média aritmética da variável dependente; 
MQ resíduo = quadrado médio do resíduo. 
 
 Outra estatística para esse fim é o índice de Furnival, o qual, quando 
expresso em percentagem, apresenta o mesmo valor calculado para o Syx (%). 
Biometria Florestal 
 
 
 274 
 
 
18.7.3 Interpretação da função ajustada 
 
 Segundo Draper e Smith (1966), na interpretação de uma função, devem ser 
considerados os seguintes aspectos: 
 
– Trata-se de uma aproximação matemática e não uma lei; 
– É válida somente na amplitude dos dados amostrados, devendo ser 
evitadas a extrapolação; 
– É baseada em amostragem e sujeita à variabilidade da amostra; 
– É sujeita ao erro de amostragem, isto é, qualquer estimativa deve ser feita 
considerando-se os intervalos de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Biometria Florestal 
 
 
 275 
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 ANEXOS
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 280 
 281 
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