Cálculo 3

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cálculo III
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
UnisulVirtual 
Palhoça, 2008
Disciplina na modalidade a distância
2a edição revista e atualizada
Design instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual - Educação Superior a Distância
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Biblioteca
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Capacitação e Assessoria ao 
Docente
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Lívia da Cruz (auxiliar)
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Figueiredo
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Moacir Heerdt
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Rose Clér Estivalete Beche
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Criação e Reconhecimento de 
Cursos
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Vanderlei Brasil
Desenho Educacional
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(Coordenadora)
Design Instrucional
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Flávia Lumi Matuzawa
Karla Leonora Dahse Nunes
Leandro Kingeski Pacheco
Luiz Henrique Queriquelli
Lívia da Cruz 
Lucésia Pereira
Márcia Loch
Viviane Bastos
Viviani Poyer
Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manoel
Avaliação da Aprendizagem
Márcia Loch (Coordenadora)
Cristina Klipp de Oliveira
Silvana Denise Guimarães
Design Visual
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro 
(Coordenador) 
Adriana Ferreira dos Santos
Alex Sandro Xavier
Evandro Guedes Machado
Fernando Roberto Dias 
Zimmermann
Higor Ghisi Luciano
Pedro Paulo Alves Teixeira
Rafael Pessi
Vilson Martins Filho
Disciplinas a Distância
Enzo de Oliveira Moreira 
(Coordenador)
Gerência Acadêmica
Márcia Luz de Oliveira Bubalo
Gerência Administrativa 
Renato André Luz (Gerente)
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa 
e Extensão
Ana Paula Reusing Pacheco
Gerência de Produção e 
Logística
Arthur Emmanuel F. Silveira 
(Gerente)
Francisco Asp 
Logística de Encontros 
Presenciais
Graciele Marinês Lindenmayr
(Coordenadora) 
Aracelli Araldi
Cícero Alencar Branco
Daiana Cristina Bortolotti
Douglas Fabiani da Cruz
Fernando Steimbach
Letícia Cristina Barbosa
Priscila Santos Alves
Formatura e Eventos
Jackson Schuelter Wiggers
Logística de Materiais
Jeferson Cassiano Almeida da 
Costa (Coordenador)
José Carlos Teixeira
Eduardo Kraus
Monitoria e Suporte
Rafael da Cunha Lara 
(Coordenador)
Adriana Silveira
Andréia Drewes
Caroline Mendonça
Cláudia Noemi Nascimento
Cristiano Dalazen
Dyego Helbert Rachadel
Edison Rodrigo Valim
Francielle Arruda
Gabriela Malinverni Barbieri
Jonatas Collaço de Souza
Josiane Conceição Leal
Maria Eugênia Ferreira Celeghin
Maria Isabel Aragon 
Priscilla Geovana Pagani 
Rachel Lopes C. Pinto
Tatiane Silva
Vinícius Maykot Sera� m
Relacionamento com o 
Mercado
Walter Félix Cardoso Júnior 
Secretaria de Ensino a 
Distância
Karine Augusta Zanoni 
Albuquerque (Secretária de 
ensino)
Ana Paula Pereira 
Andréa Luci Mandira
Andrei Rodrigues
Carla Cristina Sbardella
Deise Marcelo Antunes
Djeime Sammer Bortolotti 
Franciele da Silva Bruchado
James Marcel Silva Ribeiro
Janaina Stuart da Costa
Jenni� er Camargo
Lamuniê Souza
Liana Pamplona 
Luana Tarsila Hellmann
Marcelo José Soares
Marcos Alcides Medeiros Junior
Maria Isabel Aragon
Olavo Lajús
Priscilla Geovana Pagani
Rosângela Mara Siegel
Silvana Henrique Silva
Vanilda Liordina Heerdt
Vilmar Isaurino Vidal
Secretária Executiva
Viviane Schalata Martins
Tecnologia
Osmar de Oliveira Braz Júnior
(Coordenador)
Je� erson Amorin Oliveira
Marcelo Neri da Silva
Pascoal Pinto Vernieri
3
SumárIo
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Disciplina Cálculo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Palavras das professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Plano de estudo da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unidade 1 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Unidade 2 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . 81
Unidade 4 Máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Unidade 5 Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Unidade 6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Sobre as professoras conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Respostas e comentários dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5
Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo III .
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autôno-
ma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando 
uma linguagem que facilite seu estudo a distância . 
Por falar em distância, isto não significa que você estará 
sozinho/a . Não se esqueça de que sua caminhada nesta disci-
plina também será acompanhada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual . Entre em contato sempre que sentir 
necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Es-
paço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA) . Nossa equipe terá 
o maior prazer em atendê-lo/a, pois sua aprendizagem é o nosso 
principal objetivo .
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual .
ApreSentAção
7
cálculo III
Díva Marília Flemming 
Elisa Flemming Luz
Programa da Disciplina
Unidade 1 Funções de várias variáveis
Unidade 2 limite e continuidade
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis
Unidade 4 máximos e mínimos
Unidade 5 Integrais múltiplas
Unidade 6 Aplicações
515
F62 Flemming, Diva Marília
Cálculo III : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa 
Flemming Luz ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, 
[Carolina Hoeller da Silva Boeing]. – 2. ed. rev. e atual.– Palhoça : 
UnisulVirtual, 2008.
324 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7817-061-5
1. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. 
III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Edição - Livro didático
Professores Conteudistas
Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Carolina Hoeller da Silva Boeing 
(2a edição revista e atualizada)
Capa
Equipe UnisulVirtual
Projeto Gráfico e Diagramação
Daniel Blass
Revisão
B2B
Copyright © UnisulVirtual 2008 Nenhuma parte desta publicação pode ser 
reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
9
pAlAvrAS DAS 
proFeSSoreS
Já estamos avançando em uma caminhada que iniciou com a sua 
decisão de fazer o curso de Matemática na modalidade a distân-
cia . Sabemos que para cursar a disciplina de Cálculo III foi ne-
cessário passar pelo Cálculo I e II, portanto, você já venceu duas 
grandes etapas do curso . Os conteúdos das disciplinas de Cálculo 
são considerados obrigatórios pelas Diretrizes Curriculares do 
MEC (Ministério da Educação) e, de certa forma, carregam jun-
tos muitos tabus .
Mesmo tendo afinidades com a área da Matemática, sabemos que 
muitos educandos ainda se sentem temerosos quando chega o 
grande momento de discutir derivadas e integrais . A importância 
do Cálculo III está exatamente no fato de trazer generalizações 
necessárias para as diferentes aplicações do Cálculo em proble-
mas clássicos de Engenharia, Física e Economia .
10
universidade do Sul de Santa catarina
Queremos deixar registrado, neste início de disciplina, que você 
vai ficar diante de ferramentas poderosas para modelar o mundo 
ao seu redor . Ao trilhar caminhos já desvendados por grandes 
filósofos e matemáticos, temos uma grande responsabilidade: 
manter o olhar atento para consolidar a nossa comunidade virtu-
al . Nossos amigos de caminhada, SiSoSi, Phil, Rec e Teca, estão 
cada vez mais presentes, apresentando dicas valiosas para a cons-
trução sólida de nossos conhecimentos .
Lembre-se de que estamos juntos e que o processo é de ensino-
aprendizagem, portanto, estamos também aprendendo novas for-
mas de olhar métodos e técnicas de estudo e de ensino .
Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo III
Um grande abraço!
Profª . Diva Marília Flemming 
Profª . Elisa Flemming Luz
11
plAno De eStuDo 
DA DIScIplInA
O plano de estudo orienta você no desenvolvimento da Discipli-
na . Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto do 
Cálculo III e a organizar o seu tempo de estudos .
O processo de ensino-aprendizagem da UnisulVirtual leva em 
conta instrumentos que se articulam e se complementam . Assim, 
a construção de competências e habilidades se dá a partir da ar-
ticulação de metodologias envolvendo diversas formas de ações e 
estratégias mediadoras .
São elementos desse processo:
 O livro didático;
 O espaço virtual de aprendizagem (EVA);
 As atividades de avaliação (complementares, a distância e 
presenciais) .
12
universidade do Sul de Santa catarina
Ementa da disciplina
Funções de várias variáveis . Derivadas parciais . Integrais duplas . 
Aplicação da integral dupla . Integrais triplas . Aplicação da inte-
gral tripla .
Carga horária
60 horas ou 4 créditos
Objetivo(s)
Geral
Dar ao universitário a oportunidade de construir competências e 
habilidades para analisar, refletir e delinear conclusões no contex-
to das aplicações práticas que envolvem o mundo tridimensional .
Específicos
 Analisar situações problema cuja modelagem envolve deriva-
das parciais e integrais múltiplas .
 Calcular integrais duplas e triplas por diferentes sistemas de 
coordenadas .
 Modelar e resolver problemas de áreas e volumes de superfí-
cies não discutidas na Geometria Espacial .
 Discutir soluções para problemas da Física que envolvem sólidos .
 Utilizar corretamente recursos tecnológicos para ampliar a vi-
sualização gráfica das funções de várias variáveis .
13
Cálculo III 
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conheci-
mentos que você deve construir para o desenvolvimento das ha-
bilidades e competências necessárias a sua formação profissional . 
Veja a seguir as seis unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina, bem como os seus respectivos objetivos .
Unidade 1 Funções de várias variáveis
Para modelar o mundo tridimensional são necessárias ferramen-
tas mais poderosas para a resolução de problemas . Nesta unidade, 
você terá a oportunidade de discutir detalhes das funções de duas 
variáveis e as suas diferentes representações semióticas . Poderá, 
também, visualizar que as generalizações são necessárias para am-
pliar a resolução de problemas físicos e de engenharia . Destaca-
se, nesta unidade, as curvas de nível que são usadas em diferentes 
momentos, como, por exemplo, para modelar o nosso relevo e 
outros elementos do nosso mundo .
Unidade 2 Limite e continuidade
O estudo de limites e continuidade de funções de várias variáveis 
é essencial para dar os alicerces conceituais ao estudo das deriva-
das parciais . Discutir a existência de limites de funções de várias 
variáveis auxilia na análise do comportamento da função . Será 
interessante verificar que o significado intuitivo de continuidade 
vai propiciar a identificação de superfícies que não possuem bura-
cos ou rupturas .
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis
O estudo das derivadas parciais vai nos permitir entender qual a 
razão de termos sensações de temperaturas mais baixas do que o 
termômetro indica . Por outro lado, o estudo das derivadas é con-
siderado fundamental para entender os métodos de resolução das 
integrais múltiplas . A construção de planos tangentes auxiliará na 
identificação das superfícies suaves ou diferenciáveis .
14
universidade do Sul de Santa catarina
Unidade 4 Máximos e mínimos
Como já discutido no Cálculo I, as derivadas são usadas para 
localizar pontos de máximo e mínimo de curvas planas mode-
ladas por funções de uma variável . Nesta unidade, você terá a 
oportunidade de fazer generalizações para identificar os pontos 
de máximo e mínimo de funções de duas variáveis . A localização 
de pontos críticos é de fundamental importância na resolução de 
problemas cujas soluções devem ser otimizadas .
Unidade 5 Integrais múltiplas
Nesta unidade, você vai discutir a generalização das integrais 
abordadas na disciplina de Cálculo II . Terá a oportunidade de 
constatar que as integrais duplas e triplas podem ser usadas para 
resolver problemas que envolvem o cálculo de áreas, volumes, 
massa, centro de massa, momento de inércia e outras aplicações .
Unidade 6 Aplicações
Nesta unidade, você terá a oportunidade de analisar, refletir, dis-
cutir e resolver situações-problema que são modeladas com os 
recursos do Cálculo III . De forma surpreendente, vamos calcular: 
volumes de sólidos com formas completamente irregulares, áreas 
de figuras planas formadas por diferentes retas e curvas, massa de 
corpos com formas irregulares .
15
unIDADe 1
FunçÕeS De 
várIAS vArIáveIS
Objetivos de Aprendizagem
Identifi car características e propriedades das funções de várias variáveis. 
visualizar e representar curvas de nível de funções de várias variáveis. 
esboçar e analisar gráfi cos de funções de duas variáveis. 
Identifi car situações reais que requerem o uso de modelos que 
envolvem 3 dimensões.
Plano de estudo da unidade
Seção 1 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Seção 2 curvas de nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Seção 3 Gráfi cos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . 32
Síntese da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
O que você consegue visualizar? 
Vários cálices ou vários perfi s?
Olhe com atenção!!!
17
 
Para início de conversa
Nesta primeira unidade da disciplina Cálculo III você conhecerá 
as funções de várias variáveis reais e suas principais características 
e propriedades .
As funções de uma variável não conseguem modelar a maior 
parte dos fenômenos reais já que estes envolvem várias variáveis 
independentes . Por exemplo, a temperatura em um quarto de-
penderá de diversas condições, tais como, a temperatura fora do 
quarto, o número de entradas de ar, a existência de ventilação 
interna, dentre outras . Cada uma destas condições pode represen-
tar uma variável independente que influenciará mais ou menos a 
temperatura, que neste caso seria a variável dependente analisada .
Assim como nas disciplinas anteriores de cálculo, você contará 
com a Teca, o Phil, o Sisosi e o Rec para lhe auxiliar durante o 
estudo dos conteúdos de cada unidade .
E por falar neles, o Phil já tem algo a lhe contar . . .
18
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Que tal, ficou curioso?
Então já está na hora de começar!
Fique atento ao calendário proposto no ambiente virtual, pois 
você já sabe que uma disciplina de cálculo exigirá estudo, dedica-
ção e a realização de exercícios .
Analise com atenção as definições que serão apresentadas nesta uni-
dade e procure fazer relações com situações práticas reais e com os 
conteúdos que já foram estudados em disciplinas anteriores .
Não siga em frente se estiver com dúvidas . Procure o seu profes-
sor tutor para saná-las .
Bom trabalho!
Olá caros amigos!
Agora no Cálculo III vamos adentrar no fabuloso mundo do 
Cálculo de Várias Variáveis. E neste momento eu não poderia 
deixar de dizer-lhes que se não fosse o trabalho de grandes 
matemáticos e cientistas nesta área, não teríamos avança-
do tanto em termos tecnológicos e científicos!
Basta que você olhe ao seu redor e perceba que o mundo é 
multidimensional e foi durante o século 16 que matemáticos 
começaram a desenvolver uma nova matemática para resol-
ver problemas em ciências físicas.
A astronomia, por exemplo, era uma área da ciência que era 
rica neste tipo de matemática de várias variáveis e, desta 
forma, impulsionou o desenvolvimento de funções de várias 
variáveis e, finalmente, o cálculo de várias variáveis.
Galileu (1564-1642) tentou aplicar a matemática ao seu 
trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos ma-
teriais. O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes 
Kepler (1571-1630) contribuiu grandemente através do 
desenvolvimento das suas três leis do movimento planetá-
rio. Estes resultados mudaram a astronomia e ajudaram no 
estabelecimento da teoria heliocêntrica de Copérnico. Isto 
contribuiu para a construção de um cenário propício ao surgi-
mento da matemática aplicada em várias variáveis.
19
cálculo III  unidade 1
Nas disciplinas de Cálculo I e II você analisou e discutiu fun-
ções reais que envolviam duas variáveis: uma dita independente, 
geralmente denotada por x e outra dependente, denotada por y . 
Muitas aplicações foram mostradas apesar da limitação do uso de 
variáveis envolvidas . Para perceber essa limitação basta você olhar 
à sua volta . Veja que o nosso mundo é tridimensional e, portanto, 
temos o envolvimento de três variáveis para modelar as situações 
básicas do nosso espaço .
Precisamos ampliar a nossa ferramenta de modelagem de situa-
ções problemas!
Como vamos fazer isto?
É simples vamos ampliar o número de variáveis conforme cada 
situação .
Seção 1 
Funções de várias variáveis
20
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Veja alguns exemplos:
a altura de uma montanha pode ser modelada com duas va- 
riáveis independentes;
a pressão em um balão cheio de gás é uma função de sua 
temperatura e volume;
a altura das ondas do mar dependem da rapidez do vento e 
do intervalo de tempo no qual está ventando com a mesma 
intensidade;
o volume de um cone depende do raio da base e da sua altura; 
a corrente de um circuito elétrico depende da quantidade de 
seus resistores .
Experimente ampliar esta lista de exemplos!
Vamos iniciar a formalização de conceitos e você deve ficar aten-
to à nomenclatura utilizada . Quando dizemos que estamos diante 
de uma função de duas variáveis, na verdade estamos diante de 
três variáveis (duas independentes e uma dependente) .
Para otimizar o nosso estudo, vamos nos fixar de forma mais 
efetiva nas funções de duas variáveis, pois a partir desse tipo de 
função as generalizações ocorrem facilmente . Assim, nossa repre-
sentação espacial pode ser representada pelas três dimensões bá-
sicas: comprimento, largura e altura como mostra a representação 
cartesiana da Figura 1 .1 .
Figura 1.1 Sistema cartesiano tridimensional
Em tempo
Quando colocamos 
o termo funções de 
várias variáveis estamos colocan-
do que podemos ter funções com 
1, 2, 3, ..., n variáveis indepen-
dentes, acrescida de uma variável 
dependente.
Em tempo
Lembre-se de que no 
sistema cartesiano 
os eixos devem ser ortogonais 
entre si. No caso tridimensional 
usamos os recursos de desenho 
projetivo para a visualização. Um 
ponto P é representado por uma 
terna ordenada de números reais 
(x,y,z).
21
cálculo III  unidade 1
Definição 1: Uma função de duas variáveis é uma lei ou regra 
que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de um 
conjunto A um único valor real denotado por z ou f (x,y). O 
conjunto A é o domínio da função. O conjunto imagem é defini-
do por { f (x,y) | (x,y) ∈ A }.
A Figura 1 .2 mostra essa relação . Observe que pares ordenados 
do conjunto A, representado num sistema cartesiano são relacio-
nados com um ponto da reta real, denotada por eixo z .
Figura 1.2 representação da função de duas variáveis
Como você já sabe, a lei ou regra é, em geral, representada por 
uma linguagem algébrica . Nesses casos o domínio pode não 
ser especificado, mas fica entendido como domínio da função o 
conjunto de valores (x,y) para os quais a expressão fornece um 
número real bem definido . Os exemplos que seguem ilustram a 
definição dada .
Exemplos
1. As expressões que seguem são exemplos de funções de duas variáveis. 
observem que podemos utilizar qualquer letra para representar as variáveis.
z = x  2 + y2;
f(u,v) = u + 2v –3. 
22
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Ambas têm como domínio o conjunto de pares de números reais que vamos 
denotar por IR2 = IR × IR. o conjunto imagem é o conjunto dos números reais, 
denotado por IR.
2. V(r,h) = 1
3
πr2h é uma função que relaciona o volume V de um cone com 
a sua base r e a sua altura h.
3. calcular o domínio e o conjunto imagem da função = − −2 2z 4 x y .
o domínio é dado por
D(z) = {(x,y) | 4 – x2 – y2 ≥ 0} ( 1 )
como já colocamos anteriormente fica entendido que os pares ordenados (x,y) 
são de números reais, assim estamos dispensando o uso desse formalismo.
Fazendo
4 – x2 – y2 ≥ 0 
–x2 – y2 ≥ –4 
x2 + y2 ≤ 4.
A expressão ( 1 ) pode ser reescrita 
como D(z) = {(x,y) | x2 +y2 ≤ 4} e 
representa um disco de raio dois. A 
Figura 1.3 mostra o gráfico do domí-
nio desta função.
lembramos que o gráfico é do do-
mínio. o gráfico das funções será 
discutido na seção 3. Figura 1.3 representação gráfica da região 
Em tempo
A notação IR2 = IR × IR 
é significativa, pois 
estamos exatamente diante de 
pares ordenados sendo que o 
produto indicado é o produto 
cartesiano estudado na Teoriados 
Conjuntos.
Pessoal, não esqueçam do formalismo para a representação 
gráfica. As linhas pontilhadas representam que os pontos 
sobre a linha não pertencem ao domínio. Para representar os 
infinitos pontos do domínio usamos o recurso de hachurar ou 
sombrear a região.
23
cálculo III  unidade 1
o conjunto imagem da função é dado por
Im(z) = { z | = − −2 2z 4 x y , (x,y) ∈ D(z) } ( 2 )
como a raiz quadrada dada é positiva podemos escrever que z ≥ 0. 
por outro lado podemos escrever:
x2 + y2 ≥ 0 
–x2 – y2 ≤ 0 
4 – x2 – y2 ≤ 4 
= − −2 2z 4 x y ≤ 2 
z ≤ 2.
Assim, podemos reescrever ( 2 ) como
Im(z) = { z | 0 ≤ z ≤ 2 } ( 2 )
4. calcular a imagem da função = +
1z
y(x 1)
 no ponto (0,3). esta função está 
definida na origem?
para calcular a imagem da função em um ponto basta fazer:
1f(x, y)
y(x 1)
1 1f(0, 3) .
3(0 1) 3
= +
= =+
Assim a imagem de (0,3) é 1
3
.
esta função não está definida na origem, pois ao calcular f(0,0) vamos encon-
trar uma divisão por zero que, já sabemos, não existe.
Lá vai uma dica!
Você vai perceber que para achar o conjunto imagem de uma 
função é sempre interessante e mais fácil quando estamos 
diante da representação gráfica. Ainda vamos discutir isto 
nesta unidade.
24
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
5. encontrar o gráfico do domínio da função =
−
1z
x y
.
para resolver este exemplo vamos lembrar que no conjunto dos números 
reais não temos raiz quadrada de números negativos, também não podemos 
fazer uma divisão por zero. Assim,
x – y > 0 
x > y
portanto, o domínio da função dada pode ser escrito como D(z) = { (x,y) | x > y }. 
o gráfico da Figura 1.4 apresenta a região do plano que representa o domínio.
Figura 1.4 representação gráfica da região 
6. uma função de duas variáveis pode ser definida a partir de uma equação 
que tenha três variáveis. Basta escolher qual vai ser a variável dependente e 
então explicitá-la. para exemplificar podemos observar a equação de uma 
esfera centrada na origem e de raio igual a 3 unidades de comprimento.
x2 + y2 + z2 = 9
As seguintes funções podem ser consideradas:
Hemisfério superior:  z = − −2 29 x y ou f
1
(x,y) = − −2 29 x y ;
Hemisfério inferior:  z = – − −2 29 x y ou f
2
(x,y) = – − −2 29 x y ;
Hemisfério da direita:  y = − −2 29 x z ou f
3
(x,z) = − −2 29 x z ;
Hemisfério de esquerda:  y = – − −2 29 x z ou f
4
(x,z) = – − −2 29 x z ;
Hemisfério da frente:  x = − −2 29 y z ou f
5
(y,z) = − −2 29 y z ;
Hemisfério de trás:  x = – − −2 29 y z ou f
6
(y,z) = – − −2 29 y z .
Em tempo
Observe que a nomen-
clatura usada superior, 
inferior, etc. estabelece uma posição 
bem definida dos eixos x, y e z. 
Outras posições podem ser estabe-
lecidas ou convencionadas, confor-
me será discutido na seção 3.
25
cálculo III  unidade 1
Como vamos definir funções 
com mais de duas variáveis?
Podemos definir funções com n variáveis de forma similar à defi-
nição 1, lembrando que vamos estar em um espaço com mais de 
três dimensões . Isto é, vamos introduzir um conceito com bastan-
te abstração, pois não vamos conseguir visualizar graficamente . 
O espaço n-dimensional será representado por IRn .
Definição 2: Uma função com n variáveis é uma lei ou regra 
que associa a cada n-upla (x1 , x2 , … , xn ) ∈ A ⊆ IRn, um nú-
mero real z = f (x1 , x2 , … , xn ).
Observe que temos uma generalização da definição 1 e, portanto, de 
forma similar o Domínio vai ser o conjunto de saída, denotado por 
A ⊆ IRn, formado por n-uplas de números reais . O conjunto imagem 
é definido por { f (x1 , x2 , … , xn ) | (x1 , x2 , … , xn ) ∈ A } .
Exemplos
1. A corrente de um circuito elétrico ( i ) depende da quantidade de seus 
resistores ( r ). Assim, a expressão = + +1 2 3
Ei
R R R
, representa um exemplo de 
funções de três variáveis sendo E um valor constante que representa a tensão 
da fonte.
Como já disse a vocês, a necessidade de generalização para 
incluir funções de várias variáveis em problemas práticos re-
ais presentes em um mundo multidimensional foi um grande 
incentivo para os pesquisadores que dedicaram suas vidas à 
matemática!
Jean d’Alembert (1717-1783), por exemplo, desenvolveu 
e usou o cálculo de várias variáveis para no contexto do mo-
vimento de corpos considerando a resistência do meio. Em 
seus estudos utilizou os trabalhos de Newton, L´Hospital e 
dos Bernoulli`s para estender os conceitos de cálculo para 
várias variáveis. D’Alembert pesquisou nesta área e publicou 
muitos trabalhos em matemática e física.
26
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
2. As expressões que seguem são outros exemplos:
z = u  2v –2uvw ou f(u,v,w) = u2v –2uvw
u = xyz + t  ou g(x,y,z,t) = xyz + t
3. representar graficamente o domínio da função f(x,y,z) = − − −2 2 24 x y z .
observe que o domínio desta função é um subconjunto do espaço tridi-
mensional, isto é, D(f ) = { (x,y,z) ∈ IR3 | 4 – x2 – y2 – z2 ≥ 0 }. podemos também 
reescrever 4 – x2 – y2 – z2 ≥ 0 como
x2 + y2 + z2 ≤ 4 ( 3 )
Figura 1.5 Domínio da função 
A expressão ( 3 ) representa uma 
esfera de raio 2, bastante usada em 
Geometria Analítica. A Figura 1.5 
mostra o gráfico do domínio da 
função dada.
Agora é a sua vez!
1. encontre o domínio da função +=
+ −2 2
2x y
z
x y 4
.
2. encontre o domínio e o conjunto imagem da função +=
2 2x yu e .
3. Faça um esboço gráfico do domínio da função = − +2 2z ln(2 x y ) .
4. calcule a imagem da função 
+= −
x y
z
2 x
 no ponto (1, 12 ). esta função está 
definida para pares ordenados do tipo (2,b) sendo b um número real? Justifi-
que a sua resposta.
Em tempo
Observe que no con-
texto das funções de 
várias variáveis as letras usadas 
para simbolizar as variáveis inde-
pendentes e a variável dependen-
te não são padronizadas. Assim, 
em alguns momentos o uso da 
notação f(u,v,w) = u2v –2uvw 
e g(x,y,z,t) = xyz + t é conside-
rado mais legível.
27
cálculo III  unidade 1
Seção 2 
Curvas de nível
As curvas de nível são amplamente discutidas no dia-a-dia, mes-
mo que informalmente . Por exemplo, ao construir uma casa é 
importante saber qual a cota máxima, pois em geral os planos 
diretores de Prefeituras delimitam para cada região um valor de 
cota, ou seja altitude em relação ao nível do mar .
Ao ver o noticiário da TV é comum aparecer os mapas de isoter-
mas mostrando as curvas em que as temperaturas são iguais .
Podemos dizer que as curvas de nível são curvas em que a eleva-
ção em relação ao nível do mar é constante . Se você andar sobre 
um desses contornos, nem descerá nem subirá .
No estudo de funções de duas variáveis as curvas de nível são 
usadas para o traçado do gráfico tridimensional da função dada 
por sua lei de formação .
28
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Na Figura 1 .6, você pode observar um exemplo de um mapa topo-
gráfico mostrando a configuração do terreno, disponível na Internet 
no site http://www .jaguariuna .cnpm .embrapa .br/altimet .html . Por 
exemplo, o traçado destacado na parte central representa a altitude 
de 700 metros, normalmente denotado como Cota = 700 metros .
Na Figura 1 .7 temos uma mapa com isotermas para uma especí-
fica data do ano . Os mapas de isotermas sofrem variações diárias .
Figura 1.6 cotas de um terreno Figura 1.7 mapa de isotermas
Definição: As curvas de nível de uma função de duas variáveis 
são as curvas com equação f (x,y) = K, sendo K uma constante 
real no domínio da função.
Exemplo
vamos observar o cone da Figura 1.8 ( a ). Ao marcar cotas, isto é, dar valores 
para a constante K, as curvas de nível são obtidas (ver Figura 1.8 ( b )).
considerando que a equação do cone da Figura 1.8 ( a ) é z = x2 + y2, observe 
que as curvas da Figura1.8 ( b ) são definidas algebricamente fazendo:
K = 1  ⇒ 1 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 1;
K = 2  ⇒ 2 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 2;
K = 3  ⇒ 3 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 3.
29
cálculo III  unidade 1
Figura 1.8 cone e curvas de nível
Como usar as curvas de nível 
para identificar as funções?
As curvas de nível não identificam completamente uma função . 
Duas funções diferentes podem apresentar o mesmo tipo de 
curvas de nível . Por exemplo, as circunferências concêntricas 
também podem ser curvas de nível das funções z = +2 2x y ou 
z = − −2 29 x y . Acompanhe:
Para a função z = +2 2x y
K = 1  ⇒ 1 = +2 2x y ou x2 + y2 = 1;
K = 2  ⇒ 2 = +2 2x y ou x2 + y2 = 4;
K = 3  ⇒ 3 = +2 2x y ou x2 + y2 = 9 .
Mais uma dica interessante!
O software Mathematica pode traçar curvas de nível de 
forma prática e interessante. Se você possui acesso a esta 
ferramenta que não é considerada software livre, pode apro-
veitar e visualizar algumas curvas e até superfícies de nível.
O software Winplot, livre, também tem potencialidades gráfi-
cas para fazer curvas de nível.
30
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Para a função z = − −2 29 x y
K = 1  ⇒ 1 = − −2 29 x y ou x2 + y2 = 8;
K = 2  ⇒ 2 = − −2 29 x y ou x2 + y2 = 5 .
Observe que podemos escolher valores de K em que as curvas de 
nível não existem . Por exemplo, na função z = − −2 29 x y não 
existe a curva para valores de K < 0, pois estamos considerando 
a raiz positiva e também não existe para K > 3, pois neste caso 
teríamos uma incoerência matemática (soma de dois quadrados 
iguais a um número negativo) . Se K = 4 ⇒ 4 = − −2 29 x y ou 
x2 + y2 = –7 .
As curvas de nível podem ser degeneradas, ou seja, quando elas se 
reduzem à um ponto . Se K = 3 ⇒ 3 = − −2 29 x y ou x2 + y2 = 0, 
portanto temos somente o ponto (0,0) .
Podemos dizer que as curvas de nível são obtidas 
a partir de cortes no objeto investigado?
Devemos ter muito cuidado com a idéia de corte . O corte é uma 
estratégia que auxilia na confecção de gráficos e também é mui-
to usado para fazer as plantas arquitetônicas . Eles possibilitam a 
visualização de detalhes do objeto investigado . As curvas de nível 
podem ser consideradas cortes horizontais . No caso das funções 
outros cortes podem ajudar na identificação correta de uma função .
Por exemplo, as funções z = x2 + y2; z = +2 2x y ; z = − −2 29 x y 
têm como curvas de nível circunferências concêntricas centradas na 
origem . Ao fazer cortes verticais vamos encontrar figuras diferentes, 
conforme pode ser visualizado nas figuras 1 .9, 1 .10 e 1 .11 .
31
cálculo III  unidade 1
Figura 1.9 
Função z = x2 + y2, com um corte
Figura 1.10 
Função = +2 2z x y , com um corte
Figura 1.11 Função = − −2 2z 9 x y , com um corte
Na Figura 1 .9 vamos ter o parabolóide e o corte é uma parábola; 
na Figura 1 .10 temos um cone é o corte vai nos dar segmentos de 
reta e na Figura 1 .11 vamos ter um hemisfério cujo corte vai nos 
dar uma semi-circunferência .
Agora é a sua vez!
1. encontre algebricamente três curvas de nível para a função z = 10 – 2(x2 + y2).
2. usando um software gráfico desenhe 3 curvas de nível para a função 
z = (x – 1)2 + y2. Indique qual o valor da cota escolhida.
32
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Você deve lembrar que, ao estudar as funções de uma variável 
real, a construção de sua representação gráfica ou de seu gráfico 
era um passo importante para a análise das características e pro-
priedades daquelas funções .
Com as funções de várias variáveis, isto não será diferente! Só 
que agora a construção dos gráficos exigirá uma visualização tri-
dimensional .
Mas como desenvolver esta 
visualização tridimensional?
Uma dica é olhar à sua volta, percebendo as dimensões e as vari-
áveis envolvidas no nosso dia-a-dia . E é por isto que, para fazer 
os gráficos de funções de várias variáveis, é importante que você 
desenvolva uma visualização espacial, que entenda a colocação de 
pontos no sistema de eixos tridimensional e utilize softwares grá-
ficos para auxiliá-lo neste processo .
Seção 3 
Gráficos de funções de duas variáveis
33
cálculo III  unidade 1
Parece muita coisa, não é mesmo?
Mas fique tranqüilo, logo você terá muitas surpresas agradáveis e 
conseguirá esboçar superfícies interessantes .
Para iniciarmos, é importante que você lembre, conforme já foi 
mencionado na Seção 1, que vamos trabalhar com a representação 
gráfica de funções de duas variáveis . Isto porque para representar 
graficamente uma função com mais de duas variáveis será necessá-
rio trabalhar com o espaço n-dimensional, o que não nos permiti-
rá uma visualização geométrica quando n for maior do que 3 .
Acompanhe a definição que generaliza o conceito de representa-
ção gráfica de funções de várias variáveis .
Definição: A representação gráfica (ou o gráfico) de uma função de 
n variáveis, representada por f = f (x1 , x2 , … , xn ), é o conjunto 
de pontos do espaço IRn+1, tais que (x1 , x2 , … , xn ) ∈ D( f ), sen-
do D( f ) o domínio da função f.
Se pensarmos em uma função de duas variáveis z = f (x,y), ou 
seja, n = 2, sua representação gráfica será o conjunto das ternas 
ordenadas (x,y,z) ∈ IR3, conforme você já visualizou na seção 1 . 
Normalmente trabalhamos com a disposição dos eixos conforme 
mostra a Figura 1 .1, mas é usual encontrarmos em outras áreas, 
como na Física por exemplo, uma variação deste sistema de eixos, 
como mostra a Figura 1 .12 .
Figura 1.12 outras formas de colocação dos eixos no espaço tridimensional
34
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Você poderá utilizar a forma que achar mais conveniente, a que 
lhe proporcionar melhor visualização . Perceba que a diferença em 
termos de desenho está exatamente na visualização que teremos, 
que se dá em perspectiva .
Seja qual for a escolha na colocação dos eixos, você não deve 
esquecer de identificar a variável dependente e as variáveis in-
dependentes conforme já foi discutido na seção 1 . Mais adiante 
retomaremos este aspecto ao apresentar o gráfico de funções de 
duas variáveis .
Para esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis é impor-
tante que você relembre a colocação de pontos no espaço tridi-
mensional . Acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo
representar os pontos A(3,3,4) e B(3,3,–4) no espaço tridimensional.
nas figuras 1.13 e 1.14 você pode visualizar esta representação.
Figura 1.13 
representação gráfica do ponto A
Figura 1.14 
representação gráfica do ponto B
Em tempo
Na Geometria Des-
critiva você estuda 
com mais detalhes a questão da 
perspectiva.
35
cálculo III  unidade 1
E agora, como esboçar os gráficos 
das funções de duas variáveis?
Assim como acontecia com as funções de uma variável, estudadas 
no Cálculo I e II, a representação gráfica será dada por um con-
junto de pontos, que aqui são as ternas ordenadas . Para as funções 
de uma variável é muito comum construirmos sua representação 
gráfica a partir da elaboração de uma tabela em que atribuímos 
valores para a variável independente ( x ) e calculamos o valor da 
variável dependente ( y ) .
Podemos até considerar o método do uso da tabela como tra-
balhoso, rudimentar, muito utilizado no passado, quando as fer-
ramentas computacionais não existiam . Mas se pararmos para 
refletir, é este método que grande parte dos alunos utiliza quando 
precisa esboçar o gráfico de uma função .
Infelizmente para uma função de várias variáveis é praticamente 
impossível se chegar a um esboço do gráfico apenas atribuindo 
valores e elaborando uma tabela .
Então você pode estar perguntando...
Como devo proceder para esboçar o gráfico de uma função de 
duas variáveis?
A idéia é que você utilize outras formas de construção do gráfico, 
que serão discutidas a partir de agora . Um exemploé a utilização 
de softwares gráficos que serão mencionados pela Teca quando 
pertinente e serão melhor explorados no ambiente virtual .
Um outro exemplo é a utilização de curvas de nível . Na seção 2 
você já conheceu as curvas de nível e talvez já tenha percebido 
que elas são importantes na construção de gráficos tridimensio-
nais . Nos próximos exemplos você poderá visualizar situações em 
que a construção dos gráficos será feita utilizando-se as curvas de 
nível das funções de duas variáveis .
Em tempo
Se você já cursou a 
disciplina Geometria 
Analítica já teve a oportunidade 
de visualizar gráficos de superfí-
cies em 3 dimensões.
36
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Exemplos
1. esboçar o gráfico da função z = 2x2 + 2y2.
para fazer o esboço do gráfico desta função, vamos inicialmente determinar 
suas curvas de nível, atribuindo valores K para a variável z:
K = 1  ⇒ 1 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 12
K = 2  ⇒ 2 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 1
K = 4  ⇒ 4 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 2
A Figura 1.15 apresenta as curvas de ní-
vel que são circunferências com centro 
em (0,0) e diferentes raios.
o próximo passo é a construção do 
gráfico da função z = 2x2 + 2y2 em três 
dimensões. 
Figura 1.15 
curvas de nível da função z = 2x2 + 2y2
neste momento é importante que você 
retome o conceito de curvas de nível 
e perceba que a Figura 1.15 está apre-
sentando a projeção da superfície em 
diferentes alturas, dadas por z = 1, 
z = 2 e z = 4. temos uma superfície com 
projeções do tipo circunferência de di-
ferentes raios. A figura mostra o gráfico 
da função, que é a superfície conhecida 
como parabolóide.
Figura 1.16 
Gráfico da função z = 2x2 + 2y2
2. Identificar as curvas de nível e esboçar os gráficos das seguintes funções 
de duas variáveis:
a. z = y2
A Figura 1.17 mostra as curvas de 
nível quando se atribui os valores 
1, 4 e 9 para a variável z.
K = 1  ⇒ 1 = y2 ⇒ y = ±1
K = 4  ⇒ 4 = y2 ⇒ y = ±2
K = 9  ⇒ 9 = y2 ⇒ y = ±3
37
cálculo III  unidade 1
na Figura 1.18 você visualiza o gráfico da função z = y2 que é um cilindro 
parabólico, também conhecido como calha.
Figura 1.17 curvas de nível da função z = y2 Figura 1.18 Gráfico da função z = y2
b. z = 4 – x – y
Atribuindo-se valores para z temos curvas de nível representadas por retas 
decrescentes e paralelas, conforme pode ser visualizado na Figura 1.19.
Já na Figura 1.20 você visualiza o gráfico do plano que, para uma melhor vi-
sualização, foi esboçado no primeiro octante, ou seja, considerando-se x > 0, 
y > 0 e z > 0.
Figura 1.19 
curvas de nível da função z = 4 – x – y
K = 0  ⇒ 0 = 4 – x – y ⇒ y = –x + 4
K = 2  ⇒ 2 = 4 – x – y ⇒ y = –x + 2
K = 4  ⇒ 4 = 4 – x – y ⇒ y = –x
Figura 1.20 Gráfico da função z = 4 – x – y
Em tempo
Observe que a Figura 
1.18 foi construída 
com o auxílio do software Derive, 
usando o espaço tridimensional. 
Veja que o fato de não aparecer 
as duas variáveis independentes 
pode causar dúvidas. Dessa forma 
é importante sempre sabermos 
qual o espaço que estamos traba-
lhando, para não confundir uma 
calha com uma parábola..
38
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Além de esboçar gráficos utilizando softwares ou curvas de nível, 
você poderá também fazer o gráfico a partir da identificação da re-
presentação algébrica da função . Por exemplo, ao visualizar a repre-
sentação algébrica da função do segundo grau y = ax2 + bx + c, você 
já pode relacioná-la com uma parábola, o que facilitará o esboço do 
gráfico desta função de uma variável . A visualização das proprieda-
des gráficas a partir da linguagem algébrica deve ser bastante usada 
no contexto das funções de duas variáveis .
Nos próximos exemplos fique atento às representações algébricas e 
acompanhe como os gráficos das funções de duas variáveis que se-
rão utilizadas no decorrer da disciplina são construídos e analisados .
É importante também destacar que o gráfico lhe dará condições 
para analisar algumas características e propriedades das funções . 
Lembre-se que as funções podem modelar situações reais e, sen-
do assim, é interessante um olhar mais aprimorado acerca de suas 
propriedades e características . Portanto, fique atento para desen-
Olá estimado aluno!
Parece difícil esboçar gráficos em 3 dimensões?
Mas não fique preocupado, você não está sozinho nesta em-
preitada.
Você poderá contar com a tecnologia e comigo também!
Inicialmente quero lembrar a você que o Derive ( já utilizado 
no Cálculo I e no Cálculo II) pode ser novamente citado aqui no 
Cálculo III.
Experimente esboçar gráficos usando a opção de Inserir Ob-
jeto Gráfico 3D. Você deve digitar a função usando sua repre-
sentação algébrica na forma explícita na janela Álgebra. Em 
seguida abra a janela de gráfico em 3 dimensões.
Faça um teste, veja que o gráfico da função aparecerá em vá-
rias cores e você tem a possibilidade de alterar os ângulos de 
visualização (Configurar Posição de Visualização).
39
cálculo III  unidade 1
volver habilidades para lidar com as duas principais formas de 
representação das funções: algébrica e gráfica .
Exemplos
1. Analisar o gráfico das funções de duas variáveis apresentadas, identifican-
do suas principais propriedades e características.
a. z = 1 + x – y
na Figura 1.21 você visualiza parte 
do gráfico desta função, que é um 
plano.
para determinar os pontos em que 
o gráfico irá cortar os eixos x, y e z, 
você pode atribuir o valor zero às 
demais variáveis. Assim temos: Figura 1.21 Gráfico da função z = 1 + x – y.
Quando  y = 0 e z = 0 teremos 0 = 1 + x – 0 ⇒ x = –1.
Quando  x = 0 e z = 0 teremos 0 = 1 + 0 – y ⇒ y = 1.
Quando  x = 0 e y = 0 teremos z = 1 + 0 – 0 ⇒ z = 1.
o domínio desta função é dado por D(z) = IR2 e o conjunto imagem é Im(z) = IR.
na forma como foi definido este plano, considerando-se o seu domínio em 
IR2, não é possível identificar pontos de máximo ou mínimo.
De forma geral a equação de um plano pode ser escrita como ax + by + cz = 0. 
em algumas situações os valores de a, b ou c são nulos e, nestes casos, os planos 
ficam posicionados de diversas formas. veja na Figura 1.22 alguns exemplos.
Figura 1.22 Gráficos de diferentes planos
40
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
b. f(x,y) = 4 – x2 – y2
o gráfico deste parabolóide pode ser visualizado na Figura 1.23.
Figura 1.23 Gráfico do parabolóide f(x,y) = 4 – x2 – y2
o domínio desta função é dado por D(f ) = IR2 e o conjunto imagem será 
Im(f ): { z ∈ IR | z ≤ 4 }. nesta função é possível identificar um valor máximo 
em z = 4 que acontece quando (x,y) = (0,0). Assim, o ponto de máximo desta 
função será (0,0,4).
A representação algébrica de um parabolóide pode ser dada, de forma geral, 
por:
z = a(x – x
0
)2 + b(y – y
0
)2 + c
sendo que os sinais de a e b devem ser ambos positivos ou ambos negativos. 
Se forem negativos, o parabolóide fica com concavidade para baixo como 
aconteceu neste exemplo. Se forem positivos, sua concavidade fica voltada 
para cima como no exemplo da Figura 1.9 que está na seção 2.
Quando a = b teremos um parabolóide circular, ou seja, possui curvas de 
nível na forma de circunferências. Quando a ≠ b, desde que tenham os mes-
mos sinais, teremos um parabolóide elíptico em que as projeções são na 
forma de elipses.
na Figura 1.9, também é possível visualizar que o vértice do parabolóide está 
em z = 0. Isto acontece quando a constante c for nula. Já no parabolóide 
z = 4 – x2 – y2, da Figura 1.23, o valor de c é 4 e, sendo assim, o vértice do pa-
rabolóide estará em z = 4.
41
cálculo III  unidade 1
por fim, os valores de x
0
 e y
0
 indicam também um deslocamento de vértice. 
por exemplo,
se  z = (x – 1)2 + (y – 2)2 o vértice estaráem (1,2,0);
se  z = x2 + (y + 1)2 + 3 o vértice estará em (0,–1,3);
se  z = (x + 2)2 + (y – 1)2 –1 o vértice estará em (–2,1,–1).
c. z = 3 – x2
na Figura 1.24 você visualiza o gráfico desta função.
temos um cilindro parabólico, ou 
uma calha, com concavidade para 
baixo pois o sinal de x2 é negativo.
o domínio da função é: 
D(z) : { (x,y) ∈ IR2 }
o conjunto imagem é: 
Im(z) : { z ∈ IR | z ≤ 3 }.
o valor máximo é z = 3. Figura 1.24 Gráfico da calha z = 3 – x2
A representação algébrica desta calha não mostra a variável y. esta é uma 
característica das representações algébricas das calhas. volte à Figura 1.18 e 
visualize a diferença entre a calha z = y2 e a que foi trabalhada neste exemplo.
Na Internet você pode acessar no endereço http://math.exe-
ter.edu/rparris/winplot.html uma versão do Winplot. Este é 
um software que faz gráficos e possui ferramentas de anima-
ção que são muito interessantes.
Se você fez a disciplina de Geometria Analítica, já teve um 
contato maior com este software.
Caso nunca tenha trabalhado com ele, vale a pena conferir! No 
site existe uma versão para download em português.
No Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem estarei explicando 
melhor a sua utilização. Espero você por lá também!
42
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
d. = − 2y 4 x
Antes de fazer o esboço do gráfico desta função é importante lembrar a 
equação geral de um cilindro, que você já estudou em Geometria:
(x – x
0
)2 + (y – y
0
)2 = a2, sendo (x
0
,y
0
) o centro e a o raio do cilindro.
também podemos ter outros cilindros:
(x – x
0
)2 + (z – z
0
)2 = a2
(y – y
0
)2 + (z – z
0
)2 = a2
Assim como foi discutido no exemplo 6 da seção 1, é importante identificar a 
variável dependente para que ela seja explicitada. Sem que isto seja feito não 
teremos definida a função. Isto quer dizer que um cilindro não é o gráfico de 
uma função, mas a partir dele podemos definir infinitas funções cuja repre-
sentação gráfica são partes do cilindro.
neste exemplo, vamos fazer o gráfico de = − 2y 4 x , que representa o lado 
direito do cilindro x2 + y2 = 4. A Figura 1.25 mostra o gráfico desta função.
Figura 1.25 Gráfico de = − 2y 4 x
43
cálculo III  unidade 1
e. = − +2 2y x z
esta é uma função que representa a 
parte negativa de um cone, conforme 
pode ser visualizado na Figura 1.26.
A variável y que está explicitada é a 
variável dependente.
o domínio desta função é: 
D(y) : { (x,z) ∈ IR2 | x2 + z2 ≥ 0 }
o conjunto imagem é: 
Im(y) : { y ∈ IR | y ≤ 0 }.
É possível identificar um valor míni-
mo em y = 0. Figura 1.26 Gráfico de = − +2 2y x z
Agora é a sua vez!
1. para cada uma das funções, faça um esboço do seu gráfico identificando 
algumas curvas de nível:
a. z = x2 + (y – 1)2
b. = +2 2f(x, y) x y
c. g(x,y) = 2 – x2
2. Faça um esboço do gráfico das funções de duas variáveis e analise suas 
principais características e propriedades:
a. z = 3 – x
b. z = 1 + (x – 1)2 + (y – 1)2
c. z = x2
44
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Você sabe o que é uma carta topográfica?
Pois bem, eu sei e vou lhe explicar!!!
A carta topográfica é um documento que apresenta a 
superfície terrestre por meio de projeções cartográficas. 
Apesar de ser parecida com um mapa, não é a mesma coisa. 
Os mapas representam porções bem definidas do espaço 
terrestre, como cidades, estados, mares ou países com limi-
tes físicos e políticas. Já nas cartas topográficas os limites 
são matemáticos, geralmente meridianos e paralelos. Nelas 
aparecem os acidentes naturais e artificiais da superfície 
terrestre, suas posições planimétricas e altimétricas. A po-
sição altimétrica ou o relevo é normalmente determinada por 
curvas de nível.
Na Internet você pode obter várias informações muito legais!
45
 
Síntese da Unidade
O estudo das funções de várias variáveis, seu comportamento, 
suas propriedades e características propicia uma visualização mais 
geral sobre a modelagem matemática de situações reais . E é por 
isto que este objeto matemático se torna tão importante e é mui-
to aplicado em diversas áreas do conhecimento .
Ao estudar a função de várias variáveis você pôde contextualizar 
aplicações e identificar que, de forma geral, sua análise é muito 
similar à análise de uma função de uma variável . Sendo assim, os 
conceitos podem ser generalizados para que você possa melhor 
entender o comportamento destas funções .
Deve ter em mente que a representação gráfica se torna impor-
tante neste processo de análise e que o uso de ferramentas com-
putacionais poderá lhe auxiliar na construção dos gráficos .
Nas próximas unidades você conhecerá as definições de limites e 
derivadas para estas funções . Mas antes de seguir em frente faça 
os exercícios propostos e não fique com dúvidas .
46
AtIvIDADeS De 
auto-avaliação
1. para as funções a seguir calcule o Domínio e o conjunto Imagem. Faça o 
Gráfico do domínio.
a. z = 9x2 + 4y2
b. z = xy
c. = − −2 2z 10 x y
2. Dada as funções f(x,y) = x – y; = −
+
2
2 2
xy
g(x, y)
x y
; h(x,y) = sen 2x cos y e 
= −
+2 2
1m(x, y)
(4x y )
, encontre algumas curvas de nível e procure identificar 
dentre as Figuras 1.27, 1.28 , 1.29 e 1.30 qual delas representam curvas de 
nível das funções dadas. (você pode usar o recurso gráfico usando o software 
winplot).
47
cálculo III  unidade 1
Figura 1.27 Figura 1.28
Figura 1.29 Figura 1.30
3. Faça um esboço do gráfico das funções de duas variáveis e analise suas 
principais características e propriedades:
a. z = 2 – y d. = − − −2 2y 4 x (z 2)
b. z = (x – 1)2 + (y – 1)2 e. = − 2x 9 y
c. z = 1 – y2 f. = − +2 2z (x 1) y
48
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
4. Identifique a representação algébrica da função que define o parabolóide 
circular representado na Figura 1.31.
Figura 1.31
5. Seja o parabolóide z = x2 + y2. escreva a representação algébrica deste 
parabolóide se o seu vértice estiver:
a. Deslocado uma unidade no eixo positivo dos x.
b. Deslocado duas unidades no eixo negativo dos y.
c. Deslocado três unidades no eixo positivo dos z.
Saiba mais
Para aprofundar os conteúdos estudados nesta unidade ou 
mesmo resolver outros exercícios você pode utilizar livros 
de Cálculo Diferencial e Integral . O livro Cálculo B apre-
senta vários exercícios resolvidos, uma ótima referência nes-
te contexto:
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marília . 
Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e 
integrais triplas . São Paulo: Makron Books, 1999 .
49
unIDADe 2
lImIte e contInuIDADe
Objetivos de Aprendizagem
calcular limites de funções de várias variáveis usando propriedades. 
resolver limites que envolvam indeterminações e os infi nitos. 
Analisar a continuidade de uma função de várias variáveis. 
Plano de estudo da unidade
Seção 1 noção de limite de uma função de várias variáveis . . . . . 53
Seção 2 cálculo e propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Seção 3 continuidade de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . 72
Síntese da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Quantos sólidos podem ser 
visualizados?
Seriam funções de várias variáveis? 
Pense nisto!!
51
 
Para início de conversa
Para iniciar esta unidade, que estudará o limite e a continuidade 
de funções de várias variáveis, é importante que você relembre os 
conceitos que foram estudados em Cálculo I, quando o limite de 
função de uma variável foi definido .
De forma resumida, podemos dizer que o limiteestuda o com-
portamento de uma função na proximidade de um ponto especí-
fico . Para entender tal comportamento, podemos analisar a repre-
sentação algébrica da função ou, ainda, analisar o comportamento 
de seu gráfico .
Feito isto, podemos generalizar esse conceito e passar a trabalhar 
com as funções de mais de uma variável . Em especial, trabalhare-
mos com as funções de duas variáveis, que nos darão uma noção 
dessa generalização .
52
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Com o estudo do limite de funções de várias variáveis, você for-
malizará alicerces conceituais que serão essenciais para o estudo 
das derivadas parciais, que são as derivadas das funções de várias 
variáveis .
Por fim, vamos também generalizar o conceito de continuidade 
que no caso das funções de uma variável nos auxilia a identificar 
os pontos de “quebra” que a função possui .
Para as funções de várias variáveis, em especial as funções de duas 
variáveis cuja representação gráfica se dá no espaço tridimensio-
nal, é a análise da continuidade que propiciará a identificação de 
superfícies que possuem buracos ou rupturas . A existência de tal 
característica pode representar diferentes interpretações para si-
tuações reais que são modeladas por esse tipo de função .
Está preparado para iniciar?
Então acompanhe os conceitos que serão apresentados nas três 
seções que compõem esta unidade e não fique com dúvidas no 
decorrer do seu estudo .
Bom trabalho!
53
cálculo III  unidade 2
Seção 1 
Noção de limite de uma 
função de várias variáveis
Para entender a noção de limite de uma função de várias variá-
veis, você deve, em um primeiro momento, revisar o que já estu-
dou em Cálculo I sobre o limite de uma função .
Naquela disciplina, várias análises foram realizadas quando o 
conceito de limite foi introduzido . O que faremos nesta seção 
será a generalização do conceito de limite, tendo como foco evi-
denciar conceitos básicos e definições que ajudarão a entender 
o limite de funções de várias variáveis . Sendo assim, não iremos 
abordar novamente os aspectos que já foram estudados em Cál-
culo I, mas sim revisá-los, buscando as generalizações necessárias .
Para começar, você precisará conhecer algumas definições que 
provavelmente ainda não apareceram em outros contextos da ma-
temática e que serão essenciais para o entendimento do limite de 
uma função de duas variáveis .
Em tempo
Assim como fizemos 
na unidade 1, vamos 
focar o nosso estudo no limite de 
uma função de duas variáveis, 
pois será possível abordar as suas 
diferentes representações semió-
ticas, entre elas, a representação 
gráfica tridimensional.
54
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Definição 1: Chamamos de bola aberta o conjunto de todos os 
pontos internos à circunferência com centro em P0(x0 ,y0) ∈ IR2 e 
raio r. Sua representação algébrica é dada por 
B(P0,r) = { (x,y) ∈ IR2 | 2 20 0( ) ( )x x y y− + − < r } 
e a Figura 2.1 mostra sua representação gráfica.
Figura 2.1 representação gráfica da bola aberta em Ir2
Se trabalharmos com o espaço tridimensional, ou seja, o IR3, a 
bola aberta será o conjuntos dos pontos internos à esfera com 
centro em P0(x0,y0,z0) ∈ IR3 e raio r . Sua representação gráfica 
está na Figura 2 .2 .
Figura 2.2 representação gráfica da bola aberta em Ir3
55
cálculo III  unidade 2
Ao analisar com atenção os detalhes das figuras 2 .1 e 2 .2, você irá 
perceber a existência de linhas pontilhadas nos contornos da cir-
cunferência e da esfera . Elas indicam que os pontos da circunfe-
rência ou os pontos da casca esférica não pertencem à bola aberta .
Se as linhas não fossem pontilhadas, identificaríamos a existência 
de uma bola fechada, que pode ser representada por B[P0,r] .
Exemplo
representar graficamente as bolas B((2,2),1) em IR2 e B[(0,0,0),2] em IR3.
A Figura 2.3 representa a bola aberta B((2,2),1).
podemos dizer que essa bola aberta é o conjunto de todos os pontos internos 
à circunferência com centro em (2,2) e raio 1, ou seja, (x – 2)2 +(y – 2)2 < 1.
Figura 2.3 representação gráfica 
da bola aberta B((2,2),1)
Figura 2.4 representação gráfica 
da bola fechada B[(0,0,0),2]
na Figura 2.4 você visualiza a bola fechada B[(0,0,0),2].
nesta bola fechada temos todos os pontos internos e a casca da esfera com 
centro em (0,0,0) e raio 2, ou seja, x2 + y2 + z2 ≤ 4.
Em tempo
A equação geral de 
uma circunferência é 
dada por:
 (x – x
0
)2 + (y – y
0
)2 = r2, 
sendo (x
0
,y
0
) o centro e r o seu 
raio.
56
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Acompanhe a definição 2 que abordará o conceito de ponto de 
acumulação .
Definição 2: O ponto P ∈ IR2 será chamado de ponto de acumu-
lação de A, sendo A ⊂ IR2 se toda bola aberta com centro em P 
contiver uma infinidade de pontos de A.
E para entender melhor esta definição, veja os exemplos que 
identificam pontos de acumulação .
Exemplo
verificar se os pontos (0, 1
2
), (0,1), (–1,–1) e (1,1) são pontos de acumulação 
de A = { (x,y) ∈ IR2 | 0 < + −2 2x (y 1) < 1 }.
vamos, de início, representar graficamente o conjunto A, na Figura 2.5.
Figura 2.5 representação gráfica do conjunto A
para verificar se os pontos indicados são de acumulação, vamos traçar bolas 
abertas com centro em cada um dos pontos para que possamos identificar 
se existe uma infinidade de pontos da bola em A.
Analisando a Figura 2.6, podemos dizer que (–1,–1) não será ponto de acu-
mulação. observe que a bola aberta desenhada com centro nesse ponto não 
possui pontos do conjunto A. É claro que se ampliarmos o raio vamos ter inter-
57
cálculo III  unidade 2
secção com A, mas lembre-se de que a idéia aqui é observar próximo ao cen-
tro. todos os outros pontos indicados, quando se tornam o centro de uma bola 
aberta, contêm infinitos pontos de A. em especial, o ponto (1,1) não pertence 
ao conjunto A, mas, mesmo assim, é ponto de acumulação, pois temos uma 
parte da bola aberta que está contida no conjunto A e, sendo assim, existem 
infinitos pontos deste conjunto que estão contidos na bola aberta B((1,1),r).
Figura 2.6 representação gráfica dos pontos a serem analisados.
Após o entendimento dos conceitos básicos de bola aberta e pon-
to de acumulação, você já está pronto para entender o limite de 
uma função de duas variáveis, a partir da análise da definição 3 .
Definição 3: O limite de uma função f : A ∈ IR2 → IR quando 
(x,y) se aproxima do ponto (x0 ,y0), que é um ponto de acumu-
lação de A ∈ IR2, será um número real L se, para todo e > 0 
existir um d > 0 tal que | f (x,y) – L | < e sempre que (x,y) ∈ A 
e 0 < | (x,y) – (x0 ,y0) | < d.
Esse limite pode ser representado algebricamente da seguinte 
forma:
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
= L ou 
0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y
→
→
= L.
Em linguagem natural, dizemos que o limite da função f (x,y) é 
igual a L quando (x,y) tende a (x0,y0) ou quando x → x0 e y → y0 .
58
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Na Figura 2 .7, é possível visualizar graficamente o significado do 
limite da função z = f (x,y) .
Figura 2.7 representação gráfica do significado do limite da função z = f(x,y)
Em Cálculo I, você já estudou de forma detalhada o cálculo do 
limite de uma função usando a definição . No exemplo a seguir, 
acompanhe como esse cálculo é similar ao que já era feito, sendo 
que agora estamos ampliando a análise para o caso de uma fun-
ção de duas variáveis .
Exemplo
mostrar que 
→
→
+ =
x 1
y 2
lim(x 2y) 5 usando a definição.
usando a definição 3, precisamos mostrar que para todo e > 0 existe um d > 0 
tal que
| f(x,y) – 5 | < e ( 1 )
sempre que 0 < | (x,y) – (1,2) | < d.
o módulo | (x,y) – (1,2) | pode ser escrito como − + −2 2(x 1) (y 2) . Assim,
0 < − + −2 2(x 1)(y 2) < d.
Em tempo
Fique atento! Na Fi-
gura 2.7 temos repre-
sentado o domínio da função de 
duas variáveis D(f ) e não o gráfi-
co da função, que seria tridimen-
sional. Na seção 1 da unidade 1, 
você já estudou a representação 
gráfica do domínio de funções 
do tipo z = f(x,y).
59
cálculo III  unidade 2
usando ( 1 ), podemos encontrar d:
| f(x,y) – 5 | = | x + 2y – 5 |
 = | x – 1 + 2y – 4 |
 = | (x – 1) + 2(y – 2) |
 ≤ | x – 1 | + 2| y – 2 |.
como | x – 1 | ≤ − + −2 2(x 1) (y 2) e | y – 2 | ≤ − + −2 2(x 1) (y 2) , podemos 
dizer que
| x – 1 | + 2| y – 2 | < d + 2d
ou
| x – 1 | + 2| y – 2 | < 3d
sempre que 0 < − + −2 2(x 1) (y 2) < d.
Assim, se dissermos que d = e
3
 garantimos que 0 < − + −2 2(x 1) (y 2) < d e 
então teremos:
| f(x,y) – 5 | ≤ | x – 1 | + 2| y – 2 |
 < e
3
 + 2 e
3
 = e
Desta forma, podemos concluir que 
→
→
+ =
x 1
y 2
lim(x 2y) 5 .
Neste momento, assim como em Cálculo I, não iremos calcular 
os limites usando a definição, pois apesar de gerar um método 
eficiente, recaímos em cálculos que se tornam extensos e cansati-
vos . Desta forma, torna-se essencial estudar as propriedades dos 
Quando falamos de limites de uma função, podemos lembrar 
de John Fernoulle, que no final de 1600 descobriu uma re-
gra para calcular os limites das frações cujos numeradores 
e denominadores fossem próximos de zero. Hoje, esta regra 
é conhecida como “Regra de L´Hospital”. Foi Guillaume de 
L’Hospital (1661-1704), um nobre francês, que a apresen-
tou pela primeira vez. Você lembra que já trabalhou com esta 
regra em Cálculo I?
60
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
limites de funções de duas variáveis para que possamos utilizá-las 
efetivamente no cálculo dos limites .
Mas antes de conferir as propriedades, é importante que você 
relembre da definição 3 — o fato de que o ponto indicado como 
(x0,y0) é um ponto de acumulação .
Você sabe explicar por que (x,y) deve tender a um 
ponto de acumulação?
Esta pergunta deve ser respondida antes de seguirmos em frente .
Podemos dizer que (x0,y0) é um ponto de acumulação pois ele não 
precisa, necessariamente, pertencer ao domínio da função cujo 
limite será calculado . No entanto, quando esse ponto se torna o 
centro de uma bola aberta, deverá conter infinitos pontos que 
pertençam ao domínio da função, pois caso contrário estaremos 
analisando o comportamento de uma função em um ponto em 
que a função sequer está próxima . Isto não faria sentido!
Um outro aspecto importante a ser destacado diz respeito à aná-
lise da condição de existência do limite de uma função de duas 
variáveis . Com funções de uma variável era possível identificar 
dois caminhos para se chegar ao ponto a ser analisado: pela sua 
direita ou pela sua esquerda . Analise a Figura 2 .8 e procure iden-
tificar quantos caminhos teremos para chegar a um ponto quan-
do se trata de uma função de duas variáveis .
Figura 2.8 caminhos do limite da função z = f(x,y)
Em tempo
Lembre-se que quando 
dizemos que o limite 
de uma função tende a um pon-
to, isto não significa dizer que, 
necessariamente, a função está 
definida nesse ponto. No limite, 
analisamos o comportamento da 
função quando ela tende a esse 
ponto e isto significa “estar pró-
ximo ao ponto”, ou seja, o ponto 
pode não pertencer ao domínio 
da função.
61
cálculo III  unidade 2
Você conseguiu visualizar infinitos 
caminhos para se chegar ao ponto (x0,y0)?
Ao contrário do que acontecia com as funções de uma variável, 
temos agora várias possibilidades para fazer (x,y) tender a (x0,y0) . 
E vale lembrar que temos aí uma condição importante para ga-
rantir a existência do limite . Para as funções de uma variável, o 
limite só existia se o limite à direita fosse igual ao limite à es-
querda . Agora, precisamos garantir que os infinitos caminhos nos 
levem aos mesmos valores de L .
Parece complicado, mas pode ficar mais simples depois que você 
conhecer uma proposição que garanta a existência do limite de 
uma função de duas variáveis .
Proposição: Se for possível determinar dois subconjuntos D1 e 
D2 do domínio da função de duas variáveis f (x,y), denotado 
por D(f ), que tenham (x0,y0) como ponto de acumulação, então 
podemos fazer (x,y) tender a (x0,y0) por meio de pontos de D1 
e D2. Se f (x,y) tiver limites diferentes quando (x,y) tende a 
(x0,y0) por meio de pontos de D1 e D2, então podemos dizer que 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
 não existe.
Esta proposição auxilia na identificação da não-existência de um 
grande número de exemplos, mas devemos tomar cuidado ao 
discutir a existência . De forma resumida, teremos que escolher 
diferentes caminhos que contenham (x0,y0) . Após a escolha, cal-
culamos o limite para esses caminhos específicos, basta que se 
tenham dois resultados diferentes para diagnosticar a não-exis-
tência do limite .
Para auxiliá-lo neste processo, você pode pensar em escolher ca-
minhos que sejam traçados por curvas que passem pelo ponto 
(x0,y0) . Veja algumas alternativas .
Caminho 1:  conjunto dos pontos do eixo dos x . Neste caso, 
iremos fazer y = 0 e o ponto (x0,y0) está sobre o eixo dos x .
62
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Caminho 2:  conjunto dos pontos do eixo dos y . Neste caso, 
teremos x = 0 e o ponto (x0,y0) está sobre o eixo dos y .
Caminho 3:  conjunto dos pontos da reta y = x . Neste caso, 
teremos y = x e o ponto (x0,y0) deve estar sobre esta reta .
Caminho 4:  conjuntos dos pontos do arco de parábola y = x . 
Neste caso, teremos y = x e o ponto (x0,y0) estará sobre esta 
curva .
Esta análise não é tão difícil quanto parece . Veja os exemplos a 
seguir para entender melhor como utilizar esta proposição .
Exemplos
1. mostrar que o limite 
→
→ +
2 2x 0
y 0
2xy
lim
4x 3y
 não existe.
A partir do momento em que sabemos que o limite indicado não existe, va-
mos então escolher diferentes “caminhos” para que (x,y) se aproxime de (0,0). 
É importante destacar que existe pelo menos um caminho cujo resultado do 
limite será diferente pelo menos de um dos demais caminhos escolhidos. en-
tão, vamos analisá-los:
Caminho 1:  (x,y) → (0,0) pelo eixo dos x. neste caso, devemos fazer 
y = 0 e o limite passa a ser de uma única variável.
→ → →
=
⋅ ⋅ = = =
+ ⋅2 2 2x 0 x 0 x 0
y 0
2 x 0 0lim lim lim 0 0
4x 3 0 4x
Caminho 2:  (x,y) → (0,0) pelo eixo dos y. neste caso, devemos fazer 
x = 0 e o limite passa a ser de uma única variável.
= → →
→
⋅ ⋅ = = =
⋅ +2 2 2x 0 y 0 y 0
y 0
2 0 y 0lim lim lim 0 0
4 0 3y 3y
Ainda não conseguimos provar que o limite não existe, pois o resultado dos 
dois primeiros caminhos escolhidos foi igual a zero. vamos, então, a um ter-
ceiro caminho.
63
cálculo III  unidade 2
Caminho 3:  (x,y) → (0,0) pelos pontos da reta y = x. neste caso, deve-
mos fazer y = x e o limite também passará a ser de uma variável.
→ → →
=
⋅ ⋅ = = =
+
2
2 2 2x 0 x 0 x 0
y x
2 x x 2x 2 2lim lim lim
7 74x 3x 7x
como o resultado do limite foi diferente de zero no caminho 3, pela proposi-
ção podemos concluir que 
→
→ +
2 2x 0
y 0
2xy
lim
4x 3y
 não existe.
2. verificar se o limite 
→
→ +
2
2 4x 0
y 0
3xy
lim
x y
 existe.
Agora não temos certeza se o limite existe ou não. nestas situações, é preciso 
tomar cuidado, pois podemos não ter uma definição usando somente a pro-
posição.
Caminho 1:  (x,y) → (0,0) pelo eixo dos x. neste caso, devemos fazer 
y = 0 e o limite passa a ser de uma única variável.
→ → →
=
⋅ ⋅ = = =
+
2
2 4 2x 0 x 0 x 0
y 0
3 x 0 0lim lim lim 0 0
x 0 x
Caminho 2:  (x,y) → (0,0) pelo eixo dos y. neste caso, devemos fazer 
x = 0 e o limite passa a ser de uma única variável.
= → →
→
⋅ ⋅ = = =
+2
2 4 4x 0 y 0 y 0
y 0
3 0 y 0lim lim lim 0 0
0 y y
Caminho 3:  (x,y) → (0,0) pelos pontos da reta y = x. neste caso, deve-
mos fazer y = x e o limite também passará a ser de uma variável.
→ → → →
=
⋅ ⋅ ⋅= = = =
+ + +
2
2 4 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
y x
3 x x 3x 3 0 0lim lim lim lim 0
1x x 1 x 1 0
Caminho 4:  (x,y) → (0,0) pelos pontos da curva y = x . neste caso, 
devemos fazer y = x e o limite também passará a ser de uma variável.
→ → → →
=
⋅ ⋅ = = = =
++
2 2 2
2 2 22 4x 0 x 0 x 0 x 0
y x
3 x ( x ) 3x 3x 3 3lim lim lim lim
2 2x x 2xx ( x )
como obtivemos um resultado diferente no caminho 4, então podemos dizer 
que o limite 
→
→ +
2
2 4x 0
y 0
3xy
lim
x y
 não existe.
64
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Para encerrar esta, seção é importante destacar que os conceitos 
iniciais sobre o limite de uma função de duas variáveis podem 
ser generalizados para funções de várias variáveis . Como o nosso 
objetivo é trabalhar com diferentes representações, optamos pela 
análise das funções cuja representação gráfica ainda é possível de 
se fazer .
Na seção 2, você poderá aplicar as propriedades dos limites para 
determinar os limites cuja existência é garantida . Mas não siga 
em frente antes de fazer os exercícios e tirar as suas dúvidas .
Agora é a sua vez!
1. verifique se os pontos (1,2), (– 12 ,
1
2 ), (2,1) e (3,0) são pontos de acumula-
ção de B = { (x,y) ∈ IR2 | y > 2x2 }.
2. usando a definição, mostre que 
→
+ =
(x ,y ) (2,3)
lim (3x 2y) 12 .
3. mostre que os limites indicados não existem:
a. 
→
→
−
+
2 2
2 2x 0
y 0
x 4y
lim
x y
 b. 
→
→
−
−x 0
y 0
5y x
lim
2x y
65
cálculo III  unidade 2
Após entender o significado do limite de uma função de duas 
variáveis, nesta seção você irá calcular os limites usando suas pro-
priedades .
É importante destacar que as propriedades que aqui serão discu-
tidas não são diferentes das propriedades discutidas em Cálculo I .
Propriedade 1: Se 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = L e 
0
0
lim
x x
y y
→
→
g (x,y) = M, 
então podemos dizer que:
0
0
lim
x x
y y
→
→
[ f (x,y) ± g (x,y) ] = 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) ± 
0
0
lim
x x
y y
→
→
g (x,y) = L + M.
Propriedade 2: Se 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = L e c é um número real, então
0
0
lim
x x
y y
→
→
c · f (x,y) = c · 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = c ·L
Seção 2 
Cálculo e propriedades de limites
66
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Sentiram minha falta?
Pois aqui estou, para dizer que as demonstrações das pro-
priedades de limites são feitas a partir da definição formal de 
limite.
Acompanhe como fica a demonstração da primeira propriedade!
Sejam 
→
→
0
0
lim
x x
y y
f(x,y) = L e 
→
→
0
0
lim
x x
y y
g(x,y) = M e e > 0 arbitrário.
Devemos provar que existe d > 0, tal que 
|[f(x,y) + g(x,y)] – (L + M)| < e sempre que 
(x,y) ∈ D(f) ∪ D(g) e 0 < − + −2 20 0( ) ( )x x y y < d.
Como 
→
→
0
0
lim
x x
y y
f(x,y) = L existe d1 > 0 tal que |f(x,y) – L| < 
e
2 ,
sempre que (x,y) ∈ D(f) e 0 < − + −2 20 0( ) ( )x x y y < d1.
Como 
→
→
0
0
lim
x x
y y
g(x,y) = M existe d2 > 0 tal que |g(x,y) – M| < 
e
2 ,
sempre que (x,y) ∈ D(g) e 0 < − + −2 20 0( ) ( )x x y y < d2.
Seja d o menor dos números d1 e d2, isto é, d = min {d1,d2}. 
Então d ≤ d1 e d ≤ d2 e, assim, se (x,y) ∈ D(f) ∪ D(g) e 
0 < − + −2 20 0( ) ( )x x y y < d, temos |f(x,y) – L| < 
e
2 e 
|g(x,y) – M| < e2 .
Logo, 
|[f(x,y) + g(x,y)] – (L + M)| = |[f(x,y) – L] + [g(x,y) – M]|
 ≤ |f(x,y) – L + g(x,y) – M|
 < e2 +
e
2 = e
sempre que (x,y) ∈ D(f) ∪ D(g) e 0 < − + −2 20 0( ) ( )x x y y < d 
e dessa forma 
→
→
0
0
lim
x x
y y
[f(x,y) + g(x,y)] = L + M.
67
cálculo III  unidade 2
Propriedade 3: Se 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = L e 
0
0
lim
x x
y y
→
→
g (x,y) = M, 
então podemos dizer que:
a. 
0
0
lim
x x
y y
→
→
[ f (x,y) · g (x,y) ] = 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) · 
0
0
lim
x x
y y
→
→
g (x,y) = L · M
b. 
0
0
0
00
0
lim ( , )
( , )lim ( , ) lim ( , )
x x
y y
x x
x xy y
y y
f x y
f x y L
Mg x y g x y
→
→
→
→→
→
= = , desde que 
0
0
lim
x x
y y
→
→
g (x,y) ≠ 0.
Propriedade 4: Se 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = L 
e n é um número inteiro positivo, então:
0
0
lim
x x
y y
→
→
[ f (x,y) ]n = [
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y)]n = Ln.
Propriedade 5: Se 
0
0
lim
x x
y y
→
→
f (x,y) = L 
sendo L ≥ 0 e n é um número inteiro ou 
se L < 0 e n é um número ímpar inteiro positivo, então:
0 0
0 0
lim ( , ) lim ( , ) nn
x x x xn
y y y y
f x y f x y L
→ →
→ →
= = .
Nos exemplos a seguir, você poderá acompanhar o uso das pro-
priedades no cálculo dos limites indicados .
Exemplos
calcular os seguintes limites:
a. 
→
→−
x 1
y 2
lim (x2y2 + 3xy + 2)
usando a propriedade 1, podemos reescrever
→
→−
x 1
y 2
lim (x2y2 + 3xy + 2) = 
→
→−
x 1
y 2
lim x2y2 + 
→
→−
x 1
y 2
lim 3xy + 
→
→−
x 1
y 2
lim 2.
Em tempo
Veja que o valor de n 
é definido para que as 
raízes com índice par não sejam 
para um L negativo, pois não 
estamos trabalhando no conjunto 
dos números complexos e, sendo 
assim, as raízes com índice par 
são definidas apenas para valores 
positivos de L.
68
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
As propriedades 2 e 3 podem agora ser aplicadas:
→
→−
x 1
y 2
lim (x2y2 + 3xy + 2) = 
→x 1
lim x2 ·
→−y 2
lim y2 + 3·
→x 1
lim x ·
→−y 2
lim y + 2
 = (1)2·(–2)2 + 3·1·(–2) + 2
 = 4 – 6 + 2
 = 0.
b. 
→
→
+
2
x 0
y 3
4xy
lim
x y
para resolver este limite, vamos aplicar as propriedades 3, 2 e 1, nesta ordem:
→
→ → →
→
→ → → →
→
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =+ + + +
2
2
x 02 2
y 3 x 1 y 3
x 0
y 3 x 0 x 1 y 3
y 3
lim 4xy
4 lim x lim y4xy 4 0 (3) 0lim 0.
x y lim x y lim x lim y 0 3 3
c. 
→−
→
−4
x 1
y 3
lim x y 1
usando a propriedade 5, podemos reescrever o limite:
→− →−
→ →
→− → →−
→
− = −
= ⋅ −
= − ⋅ − =
4 4
x 1 x 1
y 3 y 3
4
x 1 y 3 x 1
y 3
4
lim x y 1 lim x y 1
lim x lim y lim 1
( 1) 3 1 2.
d. 
→
→
  +    
2
x 2
y 1
3xlim ln xy
2
neste exemplo, temos uma função composta e, assim como era feito em 
cálculo I, vamos trabalhar com os limites de funções compostas.
→ →
→ →
→ → →
      + = +           
 = ⋅ + ⋅  
 = ⋅ + ⋅  
=
2 2
x 2 x 2
y 1 y 1
2
x 2 y 1 x 2
2
3x 3xlim ln xy ln lim xy
2 2
3ln lim x lim y lim x
2
3ln 2 (1) 2
2
ln 5.
Em tempo
Após a aplicação das 
propriedades 2 e 3, os 
limites passam a ser limites de 
funções de uma variável.
69
cálculo III  unidade 2
Você lembra das indeterminações?
Pois agora é o momento de relembrá-las a partir do que já foi 
estudado . Sugerimos que você reveja as resoluções dos limites 
com indeterminações que foram detalhadamente apresentadas 
em Cálculo I, para sanar eventuais dúvidas que surgirem . Neste 
momento, não vamos nos preocupar em detalhar todos os passos 
como fi zemos anteriormente, pois a forma de resolução é muito 
similar às funções de uma variável .
Nos exemplos, acompanhe a resolução de indeterminações do 
tipo 00 que envolvem fatoração de polinômios e raízes quadradas .
Exemplos
calcular os limites que envolvem indeterminações.
a. 
→
→
+ − − − +
+ − −
3 2 2
x 3
y 1
x 2x y 3x 6xy 3x 9
lim
xy x 3y 3
Inicialmente, vamos aplicar as propriedades e substituir os valores de x e de y 
no limite.