Cálculo diferencial e integral 1

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U1 - Título da unidade 1
Cálculo 
Diferencial e 
Integral I
Gabriela Faria Barcelos Gibim
Cálculo Diferencial e 
Integral I
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Gibim, Gabriela Faria Barcelos 
 
 ISBN 978-85-8482-217-1
 1. Cálculo. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo diferencial. I. 
Título.
 CDD 517
Gibim. – Londrina: Editora e Distribuidora Educacional 
S.A., 2015.
 216 p.
G446c Cálculo diferencial e integral I / Gabriela Faria Barcelos 
2015
Editora e Distribuidora Educacional S. A. 
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
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Vice‑Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava
Gerente Sênior de Editoração e Disponibilização de Material Didático: 
Emanuel Santana
Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna
Coordenação de Produção: André Augusto de Andrade Ramos
Coordenação de Disponibilização: Daniel Roggeri Rosa
Editoração e Diagramação: eGTB Editora
Unidade 1 | Funções
Seção 1.1 - Função afim
Seção 1.2 - Função quadrática
Seção 1.3 - Função exponencial e Logarítmica
Seção 1.4 - Funções trigonométricas
Unidade 2 | Limites e Derivadas
Seção 2.1 - É hora de limites!
Seção 2.2 - Limites finitos e no infinito
Seção 2.3 - Derivada - introdução
Seção 2.4 - Regras de derivação - Parte 1
Unidade 3 | Regras de Derivação
Seção 3.1 - Derivada do produto e quociente
Seção 3.2 - Regra da cadeia
Seção 3.3 - Derivada exponencial e logarítmica
Seção 3.4 - Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas
Unidade 4 | Otimização da Derivada
Seção 4.1 - Derivada implícita e taxa relacionada
Seção 4.2 - Máximos e mínimos
Seção 4.3 - Concavidade e pontos de inflexão
Seção 4.4 - Otimização
7
9
22
34
48
63
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79
92
104
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202
Sumário
Palavras do autor
Olá Aluno, bem-vindo! 
 Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais 
tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, tais como: Funções, 
Limite e Derivada.
O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta 
os principais temas que deverão ser estudados; além deste, 
você também pode contar com a orientação das atividades 
apresentadas nas webaulas e ainda, os momentos de orientação, 
mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das 
aulas. Participe ativamente das atividades! A estrutura de seu livro 
didático contempla 4 (quatro) unidades de ensino. São elas:
Funções: apresenta o estudo das diferentes funções, seus 
conceitos, suas propriedades em relação às operações, a 
interpretação de seus gráficos e as suas aplicações. 
Limites e Derivada: conceito e aplicação de limites, assim 
como o conceito de derivada e algumas regras de derivação.
Regras de Derivação: produto, quociente, regra da cadeia, 
derivada exponencial, logarítmica e trigonométrica.
Aplicação de Derivada: derivada implícita, taxa relacionada, 
máximo e mínimo e otimização. 
Prezado Estudante, mantenha uma rotina de estudos que o 
possibilite dedicar-se aos processos de leitura, participação e 
realização das atividades propostas. É de extrema importância para 
que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento 
de aprendizagem, quanto em sua aplicação. Desde já desejo a 
você bons estudos!
U1 - Título da unidade 7
Unidade 1
Funções
Por que estudar funções?
O estudo das funções permite a você, aluno, adquirir a linguagem 
algébrica como a linguagem das ciências. Esta linguagem se faz 
necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar 
situações-problema, construir modelos descritivos de fenômenos 
e permitir várias conexões dentro e fora da própria Matemática. 
Deste modo, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o 
estudo das diferentes funções, apresentaremos os seus conceitos, 
suas propriedades em relação às operações, a interpretação de 
seus gráficos e as suas aplicações.
Convite ao estudo
Competência a ser desenvolvida Objetivos
Conhecer os fundamentos de cálculo 
necessários à formação do profissional da 
área de exatas.
 Identificar e representar as funções 
de várias maneiras (tabelas, gráficos, 
fórmulas e descrição verbal).
 Aplicar o estudo das funções na 
descrição de fenômenos e situações.
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e 
atender aos objetivos específicos do tema em questão, Funções, 
a seguir é apresentada uma situação hipotética que visa aproximar 
os conteúdos teóricos com a prática. Vamos lá!
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar 
de um processo seletivo de uma empresa multinacional para 
trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste 
para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas 
ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, 
dependendo de sua qualificação, pode atuar em diversas 
áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a Matemática é 
fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo das 
U1 - Título da unidade8
funções. E que a importância do estudo de funções não é restrita 
apenas aos interesses da matemática, e que estas fazem parte 
do nosso cotidiano e estão presentes na realização das coisas 
mais elementares que fazemos. Portanto, João terá que resolver 
situações-problema que tratam de entender a interdependência de 
várias coisas ao nosso redor; das mais simples às mais complexas, 
como uma corrida de táxi, lançamento de um projétil, juros 
compostos, decaimento radioativo, vibração do som, etc. 
U1 - Título da unidade 9
Seção 1.1
Função afim
Diálogo aberto 
Olá! Sejam bem-vindos! 
A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre função! 
Veremos nesta seção conhecimentos sobre função e função 
afim, conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral que normalmente 
é trabalhado no Ensino Fundamental e Médio na disciplina de 
Matemática. Você se recorda?
Dica
A leitura deste caderno irá ampliar sua compreensão sobre o conceito 
de função e função afim; suas diversas representações por meio de 
tabelas, gráficos, fórmulas, descrição verbal; assim como sua aplicação 
em resolução de problemas. Para dar início ao estudo de função é 
necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento 
algébrico de uma função é resolvido através de equações.
Lembre-se
Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos 
com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas 
grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente. 
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, 
comparação, seja representada em uma função na forma algébrica.
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao 
estudo? Uma das primeiras situações-problema apresentadas pela 
empresa para João resolver foi a seguinte: 
Precisamos enviar um de nossos técnicos para fazer uma 
vistoria em um prédio que fica a 8 km da empresa. Sabe-se que 
em nossa cidade operam duas empresas de táxi, a empresa A e a 
B. A A cobra R$ 6,00 pela bandeira inicial e R$ 3,00 por quilômetro 
rodado. Já a empresa B cobra apenas R$ 4,00 por quilômetro 
rodado. As duas empresas possuem táxis disponíveis para levar o 
U1 - Título da unidade10
técnico; assim, qual táxi João deve chamar de modo a economizar 
na corrida? Em qual situação a A é mais econômica?; e a B é mais 
econômica?; as duas se equivalem?
Reflita
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? 
Você deve esboçar a situação-problema, ou seja, a função afim, na 
forma algébrica,e calcular os valores das corridas. Pode-se representar a 
função graficamente para melhor compará-las.
Funções
Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre função afim é importante 
termos o conhecimento sobre função. Você sabe o que é uma função? 
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. As 
funções são definidas por certas relações. Existem inúmeros tipos 
de funções matemáticas, entre as principais temos as funções: afim, 
quadrática, exponencial, logarítmica, trigonométricas, dentre outras. 
Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas. 
Não pode faltar!
Assimile
Definindo uma função: Função é uma relação. Utilizando dois conjuntos 
A e B, a relação entre eles será uma função se todo elemento do 
primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento 
do segundo conjunto. Na matemática, dizemos que função é uma 
relação de dois conjuntos, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são 
valores, onde x é um elemento do domínio da função (a função está 
dependendo dele) e y é um elemento da imagem. 
Podemos citar como exemplo a relação entre o custo e o consumo 
em m3 de água. Isso porque a conta de água está relacionada a quanto 
iremos gastar de m3 de água. Essa relação é uma função!
Assim tem-se:
Dados dois conjuntos A e B (conjuntos formados de números 
reais, isto é, A e B estão contidos em R), não vazios, uma relação 
 de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função 
U1 - Título da unidade 11
definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x 
A existe um só y B tal que (x, y) .
Reflita
Que condições deve satisfazer uma relação de A em B para ser 
função?
1. É necessário que todo elemento participe de pelo menos um 
par (x, y) , isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de 
partida de flecha.
2. É necessário que cada elemento de participe de apenas um 
único par (x, y) , isto é, cada elemento de A deve servir como ponto 
de partida de uma única flecha.
Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/
conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.1 - Representação de função 
Uma relação não é aplicação (ou função) se não satisfazer 
uma das condições: 
1) Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, ou
2) Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.
Fonte: Disponível em: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html. 
Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.2 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação não é função (ou 
aplicação)
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html
U1 - Título da unidade12
Domínio, contradomínio e Imagem?
Seja f uma função de A em B.
Fonte: Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.
html>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.3 - Representação de função
Nesta correspondência, o conjunto A é o domínio da função f, 
enquanto o conjunto B é denominado contradomínio da função f.
Usamos a notação ⨏: A → B (onde lemos: f é uma função de 
A para B) para indicar que estamos fazendo a correspondência 
de A, designado domínio, com o conjunto B, contradomínio. 
Escrevemos y = ⨏(x) para indicar que a função f associa o elemento 
x de seu domínio ao elemento y de seu contradomínio. 
Se um elemento x A, for relacionado a um elemento y B, 
dizemos que y é a imagem de x pela função ⨏. Logo, o conjunto 
de todos os elementos de B, que são imagens de algum elemento 
de A, é designado conjunto imagem da função f é denotado por 
Im(⨏). Sendo, portanto, um subconjunto do contradomínio B. 
O elemento x é chamado de variável independente, pois ele 
é livre para assumir qualquer valor do domínio, e nomeia-se y de 
variável dependente. 
Exemplificando
Veja o exemplo da Figura 1.3, nesta temos como domínio da função 
f D(f)= {-3,-2,-1,0}, contradomínio CD(f)= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; e como 
conjunto imagem a Im(⨏)= {0,1,4,9}
Um pouco mais sobre o Domínio
Se temos: 
• f: → / f(x)= -2x. Aqui não existem restrições para qualquer 
valor de x pertencente ao domínio de f. Portanto, D(f)= 
U1 - Título da unidade 13
• f: → / f(x)= . Sabemos que o denominador deve ser 
diferente de zero, pelo fato da existência da operação de divisão. 
Observamos que x + 4 ≠ 0, logo x ≠ - 4. Portanto, D(f)= - 4.
Gráficos- Como representar a função graficamente?
Quando trabalhamos com funções, a construção e a 
compreensão de gráficos são de extrema importância. Isto porque, 
por meio dos gráficos podemos definir de que tipo é a função 
mesmo sem saber a sua lei de formação. 
Saiba mais
Cada função tem a sua representação gráfica, independentemente do 
tipo de função é fundamental conhecermos algumas definições, como: 
plano cartesiano, par ordenado, eixo das abscissas, eixo da ordenada. 
Saiba mais em <http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.
php>. Acesso em: 16 mai. 2015.
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares 
entre si, uma reta horizontal Ox no plano geométrico, denominada 
de eixo das abscissas e uma reta vertical Oy, chamada de eixo das 
ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no 
intuito de localizar pontos num determinado espaço. O encontro 
dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é 
formado por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. 
As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, 
mostrados na figura a seguir:
Fonte: Disponível em: <http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/geometria.html>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.4 | Representações do plano cartesiano
Funções Polinomiais
Seja uma função definida por 
, em que os coeficientes 
, ,...
 
 são números reais e n um número inteiro não 
http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/paresord.php
http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/geometria.html
U1 - Título da unidade14
negativo. A função é denominada de função polinomial de grau 
n, a qual, dependendo do grau n, receberá nomes de funções 
polinomiais.
Começamos o nosso estudo de funções polinomiais 
com grau . Uma aplicação recebe o nome de função 
constante quando cada elemento x é associado ao mesmo 
valor c, ou seja, . O gráfico da função constante é uma 
reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c). Em outras 
palavras, a imagem é o conjunto . A Fig. 1.4 apresenta o 
gráfico da função . 
Alguns exemplos de funções constantes são: ; 
; ;
Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.5 | Representações da função constante
Função linear
Podemos definir a função linear como uma aplicação : 
→ quando a cada elemento associa o elemento 
onde é um número real dado. Isto é, a função dada por: 
, 
O conjunto imagem da função afim : → definida por 
, são os reais. Uma função é um 
exemplo de uma função linear.
Função Afim
Analogamente podemos definir a função linear afim como uma 
aplicação : → quando a cada elemento associa o 
elemento onde é um número real dado. Isto é, a 
função é dada por:
http://www.infoescola.com/matematica/funcao-afim/
U1 - Título da unidade 15
O conjunto imagem da função afim : → definida por 
 são os reais. 
O gráfico de uma função linear afim é uma reta que intercepta o 
eixo das ordenadas no ponto . O coeficiente b é denominado de 
coeficiente linear da reta.
O número a é definido por coeficiente angular da reta ou 
declividade da reta representada no plano cartesiano. 
A raiz da função afim é o número , também chamado 
de zero da função. Esta raiz é a abcissa do ponto de coordenadas 
; onde a reta corta o eixo x.
Exemplificando
Analisar a função f(x) = – x + 2.
- A função é decrescente, 
pois a < 0;
- Coeficiente angular é a = -1;
- Coeficiente linear é b = 2;
- Zero da função é 2, pois – x + 2 = 0 => 
-x = - 2.(-1) => x = 2. 
-A raiz 2 é a abscissa do ponto de coordenadas (2,0),a reta corta 
o eixo
f(x) < 0 {x ∈ R | x > 2}
f(x) = 0 {x ∈ R | x = 2}
f(x) > 0 {x ∈ R | x < 2}
Caso Particular: A função é constante, 
pois a = 0, com isso, não há inclinação;
- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;
- Coeficiente linear é b = 4;
 - Não temos Zero da função:
U1 - Título da unidade16
Fonte: Disponível em: <http://professorwaltertadeu.mat.br/Cp2Aprof2014AfimQuadraticaAULA6.doc>. 
Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.6 | Função crescente e decrescente
Faça você mesmo
Sendo f (x) = -3x +1, esboce seu gráfico, determine suas raízes e 
classifique a função em crescente ou decrescente.
A Matemática está hoje em praticamente todas as áreas do 
conhecimento humano e um dos temas que podemos destacar 
é o estudo das funções apresentado ao longo deste tema. Aqui, 
você aprendeu a definição de uma função afim, bem como os 
conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso, 
você também aprendeu como obter o gráfico de uma função e 
os respectivos conceitos de coeficiente angular e linear de uma 
reta. Por fim, agora você é capaz de estabelecer a diferença entre 
função crescente e decrescente.
Após o estudo de função e função afim, vamos resolver a 
primeira situação-problema apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A empresa A cobra a cada quilômetro R$ 
3,00. Daí temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como 
há também o valor fixo da bandeirada que é de R$ 6,00, a função 
para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é o preço e x o número 
de quilômetros rodados. Já a empresa B não cobra a bandeirada, 
então a função desta empresa é y = 4x.
Desse modo, temos a resolução: 
A: y= 3x + 6; ou seja, y= 3. (8) + 6, logo y= 30. Pela empresa A 
a corrida custaria R$ 30,00. 
Sem medo de errar!
http://professorwaltertadeu.mat.br/Cp2Aprof2014AfimQuadraticaAULA6.doc
U1 - Título da unidade 17
B: y= 4x; ou seja, y= 4. (8), logo y= 32. Pela empresa B a corrida 
custaria R$ 32,00. 
Portanto, a solução mais econômica para essa corrida é a 
empresa A. 
Construindo o gráfico da função afim para análise, podemos 
concluir que: 
• O valor mais econômico será:
 Empresa A = quando a quilometragem for maior que 6 km
 Empresa B = quando a quilometragem for menor que 6 km
• Os dois planos serão equivalentes quando a quilometragem 
percorrida for igual a 6 km. O ponto de interseção entre as retas é o 
(6,24), pois de 3x + 6 = 4x temos x= 6. Isso quer dizer que as duas 
empresas cobram o mesmo valor quando a viagem for de 6 km. 
Então I= (6, 24) é o ponto de interseção entre as duas funções. 
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos 
para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as 
atividades e depois compare-as com a de seus colegas.
Movimento das Tartarugas Marinhas
1. Competência 
de Fundamentos 
de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-
ção do profissional da área de exatas.
Avançando na prática
U1 - Título da unidade18
2. Objetivos de 
aprendizagem
Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e 
situações 
3. Conteúdos 
relacionados
Função Afim
4. Descrição da 
SP
Inúmeros são os modelos matemáticos criados para 
compreensão de situações diversas. O gráfico abaixo ilustra a 
representação de uma função matemática empregada por um 
determinado biólogo para análise do movimento de algumas 
tartarugas marinhas que aparecem em determinada região 
litorânea em certos períodos do ano para reprodução. Para fazer 
esta representação o biólogo considerou que estes animais 
movem-se no plano a partir de um certo ponto P (aos 150 metros 
distante da borda oceânica), para outro ponto Q (distante de P, 
em linha reta, 230 metros). Além disso, considerou s como a 
distância (em metros) e t como o tempo (em horas). Observando 
o modelo construído:
a) Qual a função matemática 
descreve este movimento? 
Como essa função é nomeada?
b) Em que posição as tartarugas 
estarão após decorridas duas 
horas?
c) De acordo com o gráfico, 
podemos afirmar que este 
biólogo iniciou sua análise 
quando as tartarugas emergiram do mar? Justifique sua 
resposta.
d) Qual o tempo gasto para as tartarugas chegarem ao ponto 
Q?
5. Resolução da 
SP
Solução do problema: 
a) Temos (5, 400) e (0, 150) dois pontos do gráfico. Como 
temos uma reta, sabemos que b=150 é o coeficiente 
linear. Sabemos ainda que y=ax+ b, substituindo y por 
s e x por t temos:
S=at+b 
, uma função denominada afim.
b) Quando t=2 
 
c) De acordo com o gráfico representado, a análise deste 
biólogo não teve início quando as tartarugas emergiram 
do mar, mas sim, quando estes animais já distavam 150 
metros da borda marítima.
d) Como o ponto Q dista 230 metros do ponto P. Q= 
150+230→ Q=380
Disto, 380= 50t +150→ 50t=380-150→ t= t= 
+ t= 4 horas e 36 minutos.
U1 - Título da unidade 19
1. Seja a função → definida por . Qual é o 
elemento do domínio que tem 5 como imagem?
a) 6
b) 4
c) 1
d) 5
e) 7
2. Carolina tem uma grande fazenda em Minas Gerais. A fazenda dela 
pode ser dividida em dois grupos distintos. Seja A= {vaca, cavalo, galinha, 
gato} o grupo que contém os animais da fazenda e B = {ovo, leite, capim, 
milho, ração} o grupo dos derivados e alimentação dos animais. Associe 
os elementos do grupo A com seu respectivo no grupo B. Com base 
nessa análise, determine se tal relação pode ser definida como uma 
função:
3. Seja a função . Determine o coeficiente linear e angular, 
respectivamente:
a) 6 e 9
b) 3 e 7
c) 7 e 1
d) 1 e 3 
e) 0 e 7
4. Determinado pesquisador mede o crescimento de uma planta, em 
centímetros, todos os dias. Para esta análise marcou pontos em sistema 
de coordenadas cartesiano, e, desta forma, obteve a curva descrita 
abaixo:
U1 - Título da unidade20
Considerando que essa relação entre tempo e altura foi mantida, 
podemos observar o gráfico representado e afirmar que a planta terá, no 
30º dia, uma altura igual a:
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 3 cm
d) 15 cm
e) 30 cm
5. Determinada empreiteira fornece um desconto de 3% sobre o valor de 
certa prestação de serviço. A função que representa o valor a ser pago é:
a) f(x)= x-3
b) f(x)= 0,97x 
c) f(x)= 1,3x 
d) f(x)= -3x 
e) f(x)= 1,03x 
6. Na fabricação de determinado artigo verificou-se que o custo total foi 
obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de 
produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determine:
a) a função que representa o custo total em relação à quantidade 
produzida.
b) o gráfico dessa função. 
U1 - Título da unidade 21
c) o custo de fabricação de 15 unidades.
7. Um instalador de linhas telefônicas recebe um salário-base de R$ 
700 e R$ 6,00 a cada instalação. Considerando x a quantidade de linhas 
telefônicas instaladas, a função f que expressa o salário mensal desse 
instalador é:
a) f(x)= 700x + 6
b) f(x) = -6x + 700
c) f(x) = 
d) f(x) = 6x + 700
U1 - Título da unidade22
Seção 1.2
Função quadrática
Diálogo aberto 
Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo 
das funções e função afim, observamos sua singular importância no 
mundo da matemática já nas definições introdutórias. A proposta 
desta seção é apresentar a você o estudo de outro tipo específico 
de função, a função quadrática. 
Dica
Você pode encontrar o estudo desta função mais detalhadamente em 
livros de Matemática do ensino fundamental e médio. Pesquise também 
no site <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.
php>. Acesso em: 21 jun. 2015.
Lembre-se
O estudo da função quadrática é encontrado na história dos 
babilônicos há cerca de 4.000 anos. Outros povos também 
ofereceram uma contribuição para a formação da álgebra, de forma 
que a representação atual da equação de segundo grau é ax2+bx+c 
= 0, com a não nulo, onde o valor de x é desenvolvido pela fórmula 
atribuída por muitos a Bhaskara: .
É importante saber reconhecer quais conceitos matemáticos 
resolvem os problemas do nosso cotidiano, ou seja, para resolver um 
determinado problema devemossaber qual é o modelo matemático 
adequado. 
Para tanto, realizaremos um estudo sobre funções quadráticas, pois 
elas apresentam diversas aplicações no cotidiano, como em situações 
relacionadas à Biologia, estudando o processo de fotossíntese das 
plantas; à Administração e Contabilidade, relacionando as funções 
custo, receita e lucro; e à Física e Engenharia, envolvendo movimento 
uniformemente variado, assim como nas diversas construções, 
medições e aplicações na resolução de diversos problemas 
relacionados à área. Assim, a leitura desta seção irá ampliar sua 
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
U1 - Título da unidade 23
compreensão sobre a função quadrática, abordando os termos que 
envolvem as características notáveis e suas propriedades. 
A segunda situação-problema apresentada pela empresa para o 
estagiário foi a seguinte:
A empresa deseja construir um galpão térreo de planta retangular. 
João deve ajudar a determinar as dimensões do retângulo em que o 
galpão será construído, sabe-se que seu perímetro é 60 m e que a área 
deve ser máxima. E agora, como João pode resolver este problema?
Reflita
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conceito e propriedades da função quadrática. Você deve esboçar a 
situação-problema, ou seja, a função quadrática, na forma algébrica e 
calcular o valor do ∆ e da coordenada x do vértice da parábola. Pode-
se representar a função graficamente para melhor compreender a 
situação-problema.
Não pode faltar
A função quadrática, também nomeada função polinomial do 2º 
grau, é definida a partir de: f de R em R, dada na forma: f(x)=ax2+b+c 
com a, b e c pertencentes ao conjunto dos números reais, onde a ≠ 0. 
Vale salientar que o domínio desta função é o conjunto dos números reais 
e a representação de seu gráfico é a curva conhecida como parábola. 
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, 
onde a = 3, b = - 4 e c = 1 e f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1. 
Atenção
Seu gráfico é sempre uma parábola, onde sua concavidade é definida 
pelo valor de a, se temos a > 0, sua concavidade é voltada para cima, se 
a < 0, sua concavidade é voltada para baixo. Vamos estudar mais sobre 
esse assunto adiante.
Fonte: <www.brasilescola.com/imagem>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.7 | Gráfico de função do 2º grau
http://www.brasilescola.com/imagem
U1 - Título da unidade24
Cálculo das Raízes da função quadrática
Chamamos de raízes ou zeros da função polinomial do 2º 
grau dado por: f (x) = ax2 + bx + c, a≠0, os números reais x que 
satisfazem f(x) = 0, ou seja, os valores da abscissa x que tornam y 
nulo. A descrição que nos permite obter as raízes é da forma: 
 , tal representação é denominada como 
fórmula de bhaskara. Para cálculo das raízes representadas por x’ e 
x” temos: e , Onde: ∆ = b2 – 4ac
Assim, denominamos  discriminante  o radical  b2  - 4ac  que é 
representado pela letra grega ∆ (delta).
O discriminante deve ser considerado para a análise gráfica da 
função. A Figura 1.2 nos informa como ∆ influencia os pontos (x’ 
e x”), de interseção entre a curva nomeada parábola e o eixo das 
abscissas, quando a>0. 
Fonte: <www.alunosonline.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.8 | Estudo das raízes
Assimile
Ao analisar a Figura 1.8, você pode concluir que:
I. No primeiro gráfico, onde ∆ < 0, a função não apresenta raízes reais. 
A parábola não toca em nenhum ponto do eixo das abscissas.
II. No gráfico onde temos ∆ = 0, a função apresenta raízes reais e 
iguais; logo: x’=x”. A parábola tangencia o eixo x.
III. Já no terceiro gráfico, em que ∆ > 0, a função contém raízes reais 
e diferentes, logo x’ ≠ x”. A parábola intercepta o eixo das abscissas 
em dois pontos distintos.
U1 - Título da unidade 25
Vértice da parábola
O vértice é representado pela letra V, é o ponto que pertence 
à interseção do eixo de simetria com a parábola; este ponto pode 
ainda ser observado como o ponto mínimo ou o ponto máximo. 
Isso depende da posição da concavidade da parábola. Observe 
na Figura 1.9, podemos calcular o vértice da parábola através das 
expressões: X
v
 = ou y
v
 = 
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.9 | Vértice de uma função quadrática
Vale lembrar que o conjunto de pontos que descreve a parábola 
é simétrico em relação à reta que contém o vértice V (Xv, Yv), esta 
reta é o eixo de simetria.
Reflita
Conjunto imagem da função quadrática.
O conjunto imagem da função definida por y = ax2 + bx + c com a≠0 
é o conjunto composto pelos valores que y pode assumir.
I. Se o coeficiente , podemos 
afirmar que y = f (x) assume valores maiores ou iguais à ordenada (Yv) 
do vértice, se o coeficiente “a” é maior que zero.
II. Se , afirmamos que y= f(x) 
assume valor menor ou igual à ordenada (y
v
) do vértice.
Construção da parábola!
O gráfico é construído a partir da definição de pares (x,y). 
Entretanto, podemos destacar:
U1 - Título da unidade26
I. As raízes, quando existem, podem ser facilmente obtidas utilizando 
a equação de bhaskara já indicada e podem ser observadas no 
gráfico, pois são os valores das abscissas dos pontos (x,0) em que 
a parábola intercepta o eixo 0x.
II. O vértice V nos indica o máximo ou mínimo da parábola, sendo 
o ponto de interseção da parábola com o eixo de simetria; sua 
coordenada pode ser identificada utilizando ( , ).
III. A concavidade pode ser observada no formato característico da 
parábola y = ax2 + bx + c pelo coeficiente a.
Vale salientar que: 
O coeficiente c presente na função polinomial do 2º grau, dada por y 
= ax2 + bx + c, é o valor da interseção da parábola como eixo y. 
Exemplificando
Como representar o gráfico da função quadrática dada por y = 
-x2+2x+3? 
I. Definindo a concavidade da parábola.
 Temos a = -1, como a < 0 a concavidade é para baixo.
II. ∆ pode ser obtido por ∆ = b2 – 4ac
 ∆ = (2)2 – 4(–1)(3)
 ∆ = 4 + 12 = 16
III. Cálculo das raízes.
 
U1 - Título da unidade 27
IV. Assim, por meio de encontramos o 
vértice V.
 
V. Esboçando a parábola.
Estudo de sinal 
Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c para 
determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores 
de x para os quais y é positivo, devemos considerar o sinal ∆ = b2 - 
4ac. Pode-se observar os seguintes casos:
1º.  ∆ > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos 
(x
1
 ≠ x
2
). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal 
da função é o indicado nos gráficos da Figura 1.10:
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.10 | Estudo de sinal
U1 - Título da unidade28
2º.  ∆ = 0
Nessa situação a função terá duas raízes reais iguais (x
1
 = x
2
). A parábola 
tangencia o eixo das abscissas e o sinal da função y=f(x) é descrito. 
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.11 | Estudo de sinais
3º. ∆ < 0
Quando ∆ < 0 a função não admite raízes reais. A parábola não 
intercepta o eixo x. O sinal que y=f(x) assume é único e pode ser 
observado na Figura 1.12. 
Fonte: <www.mundoeducação.com.br>. Acesso em: 16 maio 2015.
Figura 1.12 | Estudo de sinais
Pesquise mais
Você pode observar a construção da parábola nos exemplos 
apresentados no site: <http://<www.matematicadidatica.com.br/
FuncaoQuadratica.aspx>. E também encontrar diversas atividades 
U1 - Título da unidade 29
envolvendo funções polinomiais do 2º grau em: <http://<www.im.ufrj.
br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/
cap103.html>. Acesso em: 16 maio 2015.
Faça você mesmo
Sendo f(x) = - x2 + x + 6, esboce seu gráfico, determine suas raízes e 
coordenadas do vértice, classifique o y do vértice como valor máximo 
ou valor mínimo da função.
Sem medo de errar
Após o estudo de função quadrática, vamos resolver a segunda 
situação-problema apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A empresa deseja construir um galpãotérreo 
de planta retangular. João deve ajudar a determinar as dimensões 
do retângulo em que o galpão será construído, sabe-se que seu 
perímetro é 60 m e que a área deve ser máxima. E agora, como 
João pode resolver este problema?
Solução:
Considerando x uma das dimensões do retângulo em que 
haverá a construção, podemos representar a área do galpão por: 
 x
30-x
x.(30 – x) ou –x2+ 30x
Para determinarmos as dimensões do retângulo em que o 
galpão será construído, no intuito de obter área máxima, basta 
calcular o valor do vértice x da parábola, dado x = - .
U1 - Título da unidade30
Sendo f(x) = -x2+ 30x, 0 < x < 30, o valor máximo de f(x) é obtido 
para 
x = - = - = 15
Portanto, as dimensões do retângulo serão 15 m e 15 m. 
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos 
para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as 
atividades e depois compare-as com a de seus colegas.
Trajetória da Bola
1. Competência 
de Fundamentos 
de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à 
formação do profissional da área de exatas.
2. Objetivos de 
aprendizagem
Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos 
e situações.
3. Conteúdos 
relacionados
Função Quadrática
4. Descrição da 
SP
Matemáticos buscaram descrever a trajetória de uma 
bola de futsal atirada para cima por um determinado 
jogador, em um momento do jogo observado. Para 
isso, levantaram os dados necessários e tomaram 
como referência o sistema de coordenadas cartesiano. 
Verificaram que a trajetória descrita poderia ser analisada 
por meio da função h(t)= , onde t indica o tempo, 
dado em décimos de segundo, e h(t) representa a altura 
em metros. Considerando esses dados:
a) Represente o gráfico que descreve a trajetória da 
bola analisada.
b) Qual deve ser a altura máxima atingida pela bola 
em relação ao eixo horizontal?
c) Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima?
d) A bola atinge o solo após quanto tempo do 
lançamento?
U1 - Título da unidade 31
5. Resolução da 
SP
Resposta: 
a) h(t)= ,
Raízes: 
Vértice:
b) A altura máxima é observada pela ordenada do 
vértice.
, Portanto, a altura máxima 
atingida pela bola nesta trajetória é 15 metros.
c) A altura máxima é observada pela abscissa do 
vértice.
. Aos 30 décimos de 
segundo, a bola atinge a altura máxima.
d) A raiz indica que 
Podemos fazer ainda y=0, em h(t)= 0=
, logo t’=0 e t”=60
Portanto, após decorridos 60 décimos de 
segundos, a bola atinge o solo. 
Faça valer a pena
1. A balança comercial de um país é determinada pela diferença entre 
o valor monetário das exportações e importações. Tendo em vista este 
entendimento e os dados atualizados, suponha que alguns analistas 
financeiros representem a balança comercial de um país no ano de 
2013 por meio da função V(t)= t2 -7t +6, onde t representa o tempo em 
mês, variando de janeiro t=1 a dezembro t=12. Sendo o intervalo [0,1] o 
período de janeiro, [1,2] o período de fevereiro e assim sucessivamente. 
Considerando esses dados, deseja-se saber:
a) Qual deve ser o gráfico desta função.
b) Em que período(s) do ano a balança comercial foi nula?
U1 - Título da unidade32
c) Podemos dizer que houve superávit comercial em outubro de 2013? 
(Dizemos que houve superávit comercial quando o valor da balança 
comercial de um país é positivo.)
d) Em algum período de 2013 houve déficit na balança comercial? 
(Dizemos que houve déficit quando a balança comercial é negativa.)
2. O número de pedidos de uma pizzaria, das 12 às 18 horas em um dia 
do mês de janeiro, em Jundiaí, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 
12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de 
pedidos nesse período do dia foi de:
a) 0.
b) 15.
c) 9.
d) 18.
 
3. Determine os valores de m para que a função f(x) = -x2 -4x – (-m +1) 
assuma valores negativos para todo x real: 
a) m < 3
b) m > 3
c) m < 2
d) m < -3
4. Dada a função y= - x2 +x+6, determine as raízes e as coordenadas do 
vértice.
5. Considerando a função y= - x2 + x + 6 podemos afirmar que os valores 
que representam o Yv (valor máximo ou valor mínimo da função) e a 
interseção da curva com o eixo y são: 
a) ½ e (6,0)
b) 5/7 e (3, 2) 
c) 25/4 e (0,6) 
d) 4/25 e (0,6) 
6. Uma empresa vai lançar no mercado um produto novo. O material 
usado para confecção desse produto fabricado pela empresa tem um 
U1 - Título da unidade 33
custo de R$ 20,00. A empresa pretende colocar cada produto à venda 
por x reais e, assim, conseguir vender (80 - x) produtos por mês. Assim, 
para que mensalmente seja obtido um lucro máximo, qual deve ser o 
preço de venda do produto? 
a) 60.
b) 70.
c) 100.
d) 50.
7. Para que a função y= (3m-9).x2 -7x +6 seja quadrática, o parâmetro m 
deve ser:
a) m = 3
b) m ≠ 3
c) m ≠ 4
d) m ≠ 1/3
e) m = 1/3
U1 - Título da unidade34
Seção 1.3
Função exponencial e logarítmica
Diálogo aberto 
Ei, aluno! Está pronto para mais uma seção de autoestudo? 
Após estudarmos as funções afim e quadrática, agora chegou a 
hora de relembrarmos ou conhecermos a função exponencial e a 
função logarítmica. Anime-se!
Dica
As funções exponencial e logarítmica são funções muito importantes, 
pois explicam muitos acontecimentos naturais, sendo assim ferramentas 
imprescindíveis para físicos, matemáticos, químicos, biólogos e também 
para engenheiros.
Lembre-se
A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários 
fenômenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na 
capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população 
(Biologia), na desintegração radioativa (Química), na propagação de 
uma doença (Medicina), entre outros. A função logarítmica permite 
cálculo de amplitude, nível de energia liberada por um abalo sísmico, 
temos como exemplo a Escala Richter. Veja mais em: <periodicos.
uems.br/novo/index.php/enic/article/view/4780/2415>. Acesso em: 
16 mai. 2015.
 Nesta seção você vai ficar sabendo de diversas aplicabilidades 
dessa fantástica ferramenta matemática. O estudo deste tema 
irá fazer com que você passe a compreender o quanto as 
funções logarítmicas e as exponenciais são importantes para o 
desenvolvimento de outras áreas do conhecimento. Também irá 
aprender as condições de existência, as principais propriedades e 
resolver várias questões relacionadas a estes conhecimentos.
No processo seletivo, a empresa multinacional queria saber se 
João sabia resolver situações-problema de juros compostos. Por 
exemplo, foi perguntado ao João se ele saberia afirmar em quanto 
U1 - Título da unidade 35
tempo um capital é duplicado quando aplicado a uma taxa de 2,2% 
ao mês em juros compostos.
Reflita
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conceito e propriedades da função exponencial e logarítmica. 
Interpretar, analisar e resolver o problema fazendo uso das funções 
exponencial e logarítmica. 
Relembre como resolver equações exponenciais e logarítmicas 
para melhor compreender as funções. <http://www.infoescola.
com/matematica/equacao-exponencial/> e <http://www.
matematicadidatica.com.br/EquacaoLogaritmica.aspx>. Acesso em: 16 
mai. 2015.
Não pode faltar!
Chama-se função exponencial a função f de R em * 
apresentada pela forma característica, em que a é um número real 
positivo e diferente de um. 
• Definição: → , (x) = ax é exponencial se a >0 e a≠1.
Atenção
A função g(x)= k.ax, onde k é uma constante, é do tipo exponencial. 
Aqui devem ser asseguradas as propriedades para quaisquer 
expoentes k e x pertencentes aos reais:
1) 
2) 
3) a 0 = 1
4) Duas são as possibilidades quando o valor do expoente k é 
menor que x (k<x):
a) teremos se a base a é maior que um (a>1)
Exemplo: Quem é maior, 22 ou 23? Temos então 22 < 23. 
http://www.infoescola.com/matematica/equacao-exponencial/
http://www.infoescola.com/matematica/equacao-exponencial/
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoLogaritmica.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoLogaritmica.aspx
U1 - Título da unidade36
b) teremos > se o escalar base(a) assumir um valor entre 
zero e um ( )
Exemplo: Quem é maior, ( )2 ou ( )3? Temos 
Vale destacar que as condições de existência de f(x)= , 
como exponencial, determinadas por a>o e a≠1, são estritamente 
necessárias, uma vez que,
• Se a <0, o número real ax pode não ser real. Podemos 
observar isto, no caso , onde temos um valor para f(x) 
não definido no conjunto dos Reais. Isso porque esse valor é 
a raiz de um número negativo. (-5)1/2 = 
• Se temos a = 0 e expoente 
• Se acontecer a=1, para todo x ∈ , a função dada por 
 será uma função constante e, portanto, não 
assume a forma definida de uma exponencial.
Representações gráficas 
Podemos analisar, pela definição já apresentada de uma função 
exponencial, alguns apontamentos para funções cuja forma seja 
.
Se a base a é diferente de um e maior que zero 
a imagem desta função é sempre positiva 
+
Para teremos as seguintes construções geométricas:
U1 - Título da unidade 37
Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm>. Acesso em: 
16 mai. 2015.
Figura 1.13 | Função Exponencial
Reflita
Nos dois gráficos representados pela Figura 1.13, observamos dois 
tipos de comportamentos: uma função crescente e outra decrescente. 
Isto decorre por ser a>0 e a≠1. Permitindo duas situações distintas no 
intervalo real maior que zero e diferente de um: a>1 ou 0<a<1. Vamos 
analisar melhor esta situação? Veja abaixo!
Função exponencial crescente e decrescente
As funções exponenciais também podem ser classificadas 
como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em 
função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se! Segundo 
a definição da função exponencial, definida por , temos 
que e . 
Se temos uma função exponencial crescente, ou função 
de crescimento exponencial, qualquer que seja o valor real de x. 
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que 
x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.14 | Função crescente
a > 1, f é crescente
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/
U1 - Título da unidade38
Se temos uma função exponencial decrescente, 
decaimento exponencial, em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. 
Graficamente observamos que a curva da função é decrescente. 
Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/>. Acesso em: 16 mai. 2015.
Figura 1.15 | Função decrescente
a < 1, f é crescente
Assimile
Note também que, independentemente de a função ser crescente ou 
decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no 
ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas.
Função exponencial com base ℮
O ℮ é um irracional transcendente (como o π). A representação 
do número 2,718281828459... pela letra ℮ surgiu, pela primeira vez, 
no século XVIII, com Euler. Esta designação conserva-se como 
homenagem a este matemático, embora o número seja chamado 
Número de Neper. Neper não se apercebeu da importância do 
número ℮. Só um século depois, com o desenvolvimento do 
cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel relevante deste 
número Saiba mais em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/
icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.
http://www.infoescola.com/matematica/funcao-exponencial/
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm18/exponencialehtm.htm
U1 - Título da unidade 39
Exemplificando
A Fig. 1.16 apresenta um exemplo de função exponencial
Fonte: Disponível em: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph--y%3De-to-0.5x--lin-lin.png>. 
Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.16 | Exemplo do gráfico da função exponencial
Pesquise mais
A função exponencial y = ℮x aparece na descrição de vários fenômenos 
naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização 
de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na 
desintegração radioativa (Química), na propagação de uma doença 
(Medicina), entre outros. Veja mais em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/
icm99/icm18/exponencialehtm.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Função Logarítmica 
Os logaritmos são extremamente úteis para resolver problemas 
que ocorrem em situações diversas, como na economia, previsão 
de enchentes, crescimento populacional, abalos sísmicos, 
entre várias outras. O seu uso é de fundamental importância 
para encontrar a solução de um problema. Então, é importante 
U1 - Título da unidade40
compreender a função logarítmica e entender suas propriedades, 
pois são elas que serão usadas na solução de diversas situações.
Toda função que obedece à lei de formação +I I→
, definida por , satisfazendo as condições de 
existências (0<b≠1), chamamos de função logarítmica. Na 
definição apresentada destacamos o domínio da função f que 
simbolicamente representamos por +
*
 e a imagem que é 
dada por .
Simbolicamente, temos: +
I I→
x → log 
b
 x
Exemplo: Qual o valor de log
2 
16= 4, pois se log
2 
16=x, então:
2x = 16 temos então 2x = 24, logo x=4, portanto log
2 
16= 4.
Reflita
Propriedades
1º) Dizemos que uma função logarítmica, é 
crescente, quando obedece à seguinte condição b>1. Exemplo: 
 
Considere x, y > 1 e x > y então . Assim 3 > 2 ⇒ 
2º) Dizemos que uma função logarítmica, é 
decrescente, quando obedece à seguinte condição 0<b<1. Exemplo: 
Diferentemente do que foi mencionado na observação anterior, 
temos: 4 > 3 ⇒ 
Gráficos
Função logarítmica crescente
Dada a função , com b>1 o gráfico é 
representado por:
U1 - Título da unidade 41
Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.17 | Função logarítmica crescente
Função logarítmica decrescente
Dada a função , com 0 < b < 1 o gráfico é 
representado por:
Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.18 | Função logarítmica decrescente
Assimile
A outra base muito utilizada é e. O logaritmo em base e é chamado de 
logaritmo natural de x, denotado por ln x e definido como sendo a função 
inversa de ex, ou seja, o logaritmo natural de x, escrito ln x, é a potência de e 
necessária para obter x. Em outras palavras, lnx = c significa que ec = x. Veja 
que “e” é outra base para o logaritmo, que possui uma denominação especial, 
mas que possui exatamente as mesmas propriedades já apresentadas. A 
Figura 1.19 apresenta o gráfico da função exponencial ex e lnx.
Fonte: Extraído de Stewart (2011, p. 56).
Figura 1.19 | Gráfico da função exponencial ex e sua inversa lnx
U1 - Título da unidade42
Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o 
exemplo inicial desse tema.
Pesquise mais
Saiba mais sobre mudança de base e propriedade dos logaritmos em 
<http://www.infoescola.com/matematica/definicao-e-propriedades-
dos-logaritmos/>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Faça você mesmo
Sendo f (x) = 3x esboce seu gráfico e classifique a função em crescente 
ou decrescente.
Sem medo de errar!
Vamos relembrar! Em quanto tempo um capital é duplicado 
quando submetido a uma aplicação de juros compostos com taxa 
de 2,2% ao mês?
A resposta correta é dois anos, sete meses e vinte e seis dias. 
Tente resolver esse problema usando a fórmula para cálculo de 
juros compostos.
Usando a fórmula para juros compostos M=C(1+i)t, tem-se:
M = 2C, o montante será duas vezes o capital (C).
i = 0,022, é a taxa de juros.
t = ?, é a incógnita e que se deseja descobrir – o tempo para 
que a aplicação duplique (esta será dada em meses, afinal a taxa 
de juros é ao mês). 
M=C(1+i)t ⇒ 2C = C(1+0,022)t ⇒ 2C = C(1,022)t ⇒ 2= 1,022t 
Chegamos à seguinte situação: 2 = 1,022t. 
Mas, e agora? t é um expoente e é possível perceber que 
esse expoente deve ser o valor adequado para tornar a base 
(1,022) igual a 2. Você aprendeu a calcular um número elevado 
a um expoente que varia (ou seja, altera seu valor) em funções 
exponenciais, não é? Esse cálculo é facilmente efetuado com o 
U1 - Título da unidade 43
uso de uma calculadora científica usando a função de expoente. 
No entanto, para encontrar o valor que o expoente deve ter para 
que um determinado resultado ocorra, como no exemplo 2 = 
1,022t, o cálculo deve ser feito por meio de logaritmos.
Nesse ponto é possível aplicar as propriedades de logaritmos e 
há duas formas de resolver:
1) Mudança de base - pela definição de logaritmos log
a
x = y ⇔ ay 
= x, tem-se a= 1,022, x = 2 e y = t. Portanto,
t = 31 meses e 26 dias ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.
2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t 
2) Aplicar log nos dois lados da equação – sempre é possível 
resolver uma equação efetuando a mesma operação em ambos 
lados da igualdade, certo? Logo,
2 = 1,022t ⇒ log2 = log1,022t e pela propriedade (3), pode-se 
escrever
log2 = t log1,022 que chegará na mesma divisão da solução 
anterior, portanto t = 31,85 meses ou 2 anos, 7 meses e 26 dias.
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos 
para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as 
atividades e depois compare-as com a de seus colegas.
Crescimento de bactéria e Tempo médio árvore
1. Competência 
de Fundamentos 
de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-
ção do profissional da área de exatas.
U1 - Título da unidade44
2. Objetivos de 
aprendizagem
Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e 
situações.
3. Conteúdos 
relacionados
Função Exponencial e Logarítmica
4. Descrição da 
SP
1) Em uma pesquisa realizada constatou-se que a população 
P de determinada bactéria cresce segundo a expressão 
P(t)= 25.2t, onde t está medido em horas. O tempo que essa 
população atinge 400 bactérias é de:
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 6 horas
d) 8 horas
2) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que 
se destina à produção de madeira, evolui, desde o plantio, 
segundo o seguinte modelo matemático: h(t)= 1,5 + log
3
 
(t+1) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores 
foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o 
tempo (em anos) transcorrido do momento do plantio até 
o do corte foi de:
a) 9 anos
b) 8 anos
c) 7 anos
d) 5 anos
5. Resolução da 
SP
Resposta:
1) 25.2t =400
2t =
2t = 16
2t = 24
t= 4 horas, portanto letra b.
2) Resposta:
3,5 = 1,5 + log
3
(t+1)
log
3
(t+1) = 3,5 -1,5
log
3
(t+1) =2
32 = t+1
t= 8 anos
U1 - Título da unidade 45
Faça valer a pena!
1. O domínio da função y = log
3 
(x – ½) é:
a) D ={ x ∈ / x > }
b) D ={ x ∈ / x > 1 }
c) D ={ x ∈ / x < }
d) D ={ x ∈ / x > <1 }
e) D=
2. Função logarítmica é toda função f(x) = log
a
 x, ou seja, que associa a cada x 
o logaritmo, na base b, de x. Com relação ao gráfico desta função podemos 
afirmar que:
a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,1).
b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes I e III.
c) Quando b > 1, a função logarítmica é decrescente (x
1
 > x
2
).
d) Quando 0< b < 1, a função logarítmica é decrescente (x
1
 < x
2
). 
3. O professor, responsável pelo departamento de ideias criativas da 
faculdade “Aprendendo o que se vive”, solicitou aos seus alunos que 
criassem uma calculadora que resolvesse a seguinte equação: 2x = 3. 
Dessa forma, para que os alunos possam obter um valor aproximado de x, 
devem criar uma calculadora que possua em sua programação os valores 
das seguintes teclas:
a) log 3, log2 e log3.log2
b) log 3, log2 e log3:log2
c) 2.log 3, log2 e log3-log2
d) log 3, log2 e log3+log2
4. Em certo experimento, pesquisadores, ao investigar o desenvolvimento 
de uma cultura de bactérias, constataram que esta população cresce 
U1 - Título da unidade46
segundo a expressão , em que N(t) representa o 
número de bactérias e t indica o tempo observado em horas. Considerando 
que foi verificada a existência de um nível crítico, que é quando a cultura 
atinge 98304 bactérias, qual será o tempo necessário para que o número 
de bactérias alcance esse nível?
a) 2 horas e 30 minutos 
b) 3 horas
c) 4 horas e 20 minutos
d) 5 horas
e) 6 horas
5. Juliana tem duas lojas de roupa A e B, cada uma localizada em um 
shopping da cidade. O faturamento y de certo produto vendido na loja A 
pode ser descrito pela função y= 10.3x em que x representa a quantidade 
de meses desde a inauguração da loja. A loja B vende o dobro da loja A a 
cada mês. Sabendo que ambas as lojas inauguradas no final de setembro 
(x=0), em qual final de mês as duas lojas juntas venderam R$ 21.870 do 
produto? 
a) junho
b) fevereiro
c) julho
d) março
6. As funções matemáticas englobam um tema muito importante no nosso 
cotidiano, uma vez que através delas podemos criar modelos matemáticos, 
que descrevem várias situações. Sabendo que a população inicial de uma 
cidade é 19.000 habitantes e que sua população estimada, para daqui a x anos, 
por f(x) = (20 - ). 1.000 habitantes. 
Podemos afirmar, de acordo com esta função, que essa população 
durante o 3º ano, comparada à população inicial: 
a) aumentará 19.875 habitantes
b) aumentará 750 habitantes
U1 - Título da unidade 47
c) aumentará 875 habitantes
d) aumentará 500 habitantes 
7. Uma das aplicações das funções exponenciais é o cálculo da pressão 
atmosférica. Supondo que de acordo com alguns pesquisadores a 
pressão atmosférica P seja dada pela função em que h 
represente a altitude nas proximidades da superfície de Marte. Escreva V 
caso a alternativa seja verdadeira e F se for falsa:
a) ( ) Esta função nos indica que quanto maior a altitude, maior será a 
pressão.
b) ( ) Esta função informa que quanto maior for a altitude h, menor será 
a pressão.
c) ( ) A pressão atmosférica será nula quando a altitude é zero.
d) ( ) Em determinada altitude podemos observar a pressão negativa.
U1 - Título da unidade48
Seção 1.4
Funções trigonométricas
Diálogo aberto 
Nas seções anteriores estudamos o que é função e os diferentes 
tipos de função: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Agora 
iremos aprender sobre as funções trigonométricas, utilizadas em 
várias áreas do conhecimento, como: astronomia, geografia, 
engenharia, física, topografia, etc. Vamos lá? Vêm aí agora as 
funções trigonométricas!
Lembre-se
Você lembra do significado da palavra trigonometria? A palavra vem do 
grego, formada por três radicais: tri (três), gonos (ângulo) e metron (medir). 
Assim, trigonometria significa a medição dos três ângulos. A Trigonometria 
é utilizada na resolução de problemas geométricos que relacionam 
ângulos e distâncias. Encontramos registros na história que datam de 
1.500 anos a.C., onde os matemáticos utilizavam a razão entre a sombra 
projetada no solo de uma vara vertical e a comparavam com a sombra de 
uma pirâmide, relacionando o comprimento das sombras com as horas 
do dia. Além do Egito, outros povos contribuíram para o desenvolvimento 
da trigonometria: chineses e os babilônios. No Egito, os matemáticos 
utilizavam um instrumento conhecido como “mgrona” utilizado para 
medir ângulos, e era utilizado durante as construções de pirâmides. Nos 
dias de hoje os engenheiros utilizam um aparelho chamado Teodolito.
Dica
Para o estudo sobre Funções Trigonométricas é importante que 
você relembre ou, se necessário, faça uma pequena revisão sobre as 
razões trigonométricas do Triângulo Retângulo. Veja em <http://www.
somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php>. Aproveite!
A leitura desta seção irá ampliar sua compreensão sobre as 
funções trigonométricas, pois tratará de termos que envolvem as 
características notáveis e suas propriedades.Também no processo seletivo, a empresa multinacional 
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php
U1 - Título da unidade 49
apresentou a seguinte situação-problema sobre o PIB (Produto 
Interno Bruto) para João:
(FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores mais utilizados 
na  macroeconomia com o objetivo de quantificar a atividade 
econômica de uma região. Considere que o PIB (Produto Interno 
Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado pela equação: 
P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π ), onde, 
x=0 corresponde ao ano de 1998
x=1 corresponde ao ano de 1999
x=2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante
Qual será o PIB do ano de 2018? E agora, como João pode 
resolver este problema?
Reflita
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conceito e propriedades da função trigonométrica. Interpretar, analisar 
e resolver o problema fazendo uso das funções trigonométricas seno, 
cosseno e tangente, assim como de suas equações.
Não pode faltar!
Função trigonométrica
Vamos avançar em nossos estudos, agora iremos trabalhar com 
as Funções Trigonométricas. Mas você lembra a definição de função?
Assimile
Função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por 
uma lei de formação. Existem diferentes tipos de funções: Função do 
1º Grau, Função do 2º Grau, Função Logarítmica, Função Exponencial 
e Função Trigonométrica, etc. São exemplos dessas funções:
f(x) = x + 1 f(x) = x² +2 f(x) = log x f(x) = 2x
U1 - Título da unidade50
A função trigonométrica possui como característica as razões 
trigonométricas, como, por exemplo: f(x)= sen x, f(x)=cos x, f(x)= tg 
x. O domínio desta função são os números reais, ou seja, a função 
associa cada número real ao seno, ao cosseno ou à tangente, etc.
São denominadas Funções Trigonométricas as funções que 
envolvem as relações do triângulo retângulo em função de um 
determinado ângulo.
Pesquise mais
Para saber mais sobre essas relações, reveja trigonometria no triângulo 
retângulo no link <http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/
razoes.php>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Em nosso cotidiano encontramos diferentes fenômenos que se 
repetem após um determinado intervalo, como, por exemplo: dias 
da semana, meses, horas, fases da Lua, altura das marés, da radiação 
eletromagnética, dos pêndulos, das molas, etc. 
As funções trigonométricas representam tais fenômenos, por serem 
funções periódicas, para isso imagine um ponto movendo-se por todo 
o ciclo trigonométrico. A projeção deste ponto sobre o eixo vertical “y” 
ou sobre o eixo horizontal irá compor o movimento periódico. 
Para entender melhor, vamos estudar um pouco sobre o ciclo 
trigonométrico!
No ciclo trigonométrico, consideramos uma circunferência com o 
centro “0” com um raio unitário, ou seja, com a medida igual a 1, com 
dois eixos perpendiculares: um vertical e outro horizontal, cruzando 
no ponto (0,0), formando assim quatro quadrantes: Q1, Q2, Q3 e Q4.
Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&b
iw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.20 | Ciclo trigonométrico
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes.php
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
U1 - Título da unidade 51
A medida utilizada no ciclo trigonométrico será através dos 
arcos ou ângulos. Seja um ciclo marcado com dois pontos: A e B, 
imagine que este ficou dividido em dois arcos AB e BA: 
Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&b
iw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.21 | Ciclo trigonométrico
Se os arcos AB coincidem são chamados de arco nulo, de 
medida 0°, um arco completo possui 360° graus e 1° grau é 
igual ou 60’ minutos. Já a medida em radianos envolve 
a razão entre o comprimento e raio da circunferência, ou seja:
.
Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&b
iw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.22 | Ciclo trigonométrico: Graus e Radianos
Exemplificando
Assim 2 corresponde a 360°. Agora vamos lembrar como 
é feita a conversão radianos para graus e graus para radianos. 
Vamos converter para graus, para isso vamos utilizar 
regra de 3; 
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
U1 - Título da unidade52
sabendo que é igual a 180°, teremos: 
 ........ 180
......... x
x = 180. (cancelar r.rad)
x = 180.
x = 120°
Então , correspondem a 120°
Reflita
Vamos agora transformar 120° em , novamente 
utilizando regra de três a partir do pressuposto de que 
corresponde a 180°.
 ........ 180
 X ......... 120°
180.x = 120. 
x = 
x= 
Então 120° correspondem a .
No círculo trigonométrico é possível fazer a leitura das razões 
trigonométricas: seno, cosseno e da tangente, para um ângulo 
 tendo como raio uma unidade, tem-se um ponto “P” , cujas 
coordenadas são (a,b), sendo “a” projetado no eixo das abscissas “x” 
e “b” projetado no eixo das ordenadas “y”, formando um triângulo 
retângulo, teremos:
U1 - Título da unidade 53
Fonte: Disponível em: <https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&b
iw=1>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Figura 1.23 | Círculo trigonométrico
Pesquise mais
Para ampliar seus conhecimentos, pesquise mais sobre arcos côngruos 
e ciclo trigonométrico. 
Veja o link <http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-
uma-volta.htm>. Acesso em: 21 mai. 2015.
Vamos agora estudar as funções seno, cosseno e tangente!
Função Seno
Observe o ciclo trigonométrico. Para fazer a leitura das razões 
do seno, teremos como base o eixo vertical, e lembrando que a 
hipotenusa vale uma unidade, portanto a razão do seno será o 
mesmo valor da ordenada “b”, ou seja, será o mesmo da medida 
do cateto oposto: 
Sen = 
Sendo assim, o eixo vertical, correspondente à ordenada é 
identificada como seno de e a representação gráfica da função 
seno, se repete no intervalo de 0 a e 2π rad ou de 0° a 360°: 
A representação gráfica da função seno será uma curva 
denominada como senoide e possui as seguintes características: 
• Domínio pertence ao conjunto dos números Reais; 
• Periodicidade de 2π rad;
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
https://www.google.com.br/search?q=ciclo+trigonom%C3%A9trico&espv=2&biw=1
http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-uma-volta.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/arcos-mais-de-uma-volta.htm
U1 - Título da unidade54
• Imagem será entre [1,-1]; 
• Valor máximo igual a “1” e mínimo igual a “-1”;
• A amplitude será igual a 1;
• Sinal positivo no 1º e 2º quadrantes;
• Sinal negativo no 3º e 4º quadrantes
Para construir o gráfico f(x)= sen x, atribuímos valores de 
x - assim determinamos os valores correspondentes às razões 
trigonométricas:
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.24 | Função Seno
Ângulos f(x) = sen x (X, Y)
0 π ou 0° f(x) = sen 0 0
 ou 90° f(x) = sen 90 1
π ou 180° f(x) = sen 180 0
 ou 270° f(x) = sen 270 -1
 ou 360° f(x) = sen 360 0
Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 
mai. 2015. 
Figura 1.25 | Senoide
Função Cosseno
Denominamos f(x)=cos (x), de função cosseno, de modo a associar 
cada número real “x” o número real “OP”, sendo considerado como 
cosseno do ângulo , o valor da medida do cateto adjacente, ou 
seja, ao número real “x” da abscissa do ponto correspondente à sua 
imagem no ciclo:
http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/U1 - Título da unidade 55
Cos = 
A representação gráfica da função cosseno será uma curva 
denominada como Cossenoide e possui as seguintes características: 
• Sinal positivo: quando x pertence ao 1º e 4º quadrantes;
• Sinal Negativo: quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes;
• Período de 2 rad;
• Domínio pertence aos números Reais;
• Imagem será entre [-1,1]
Para construir o gráfico f(x)= cosx, atribuímos valores de x - assim 
determinamos os valores correspondentes às razões trigonométricas: 
Tabela 1.26 | Função Cosseno
Ângulos f(x) = sen x (X, Y)
0 π ou 0° f(x) = cos 0° 1
 ou 90º f(x) = cos 90° 0
π ou 180° f(x) = cos 180° -1
 ou 270° f(x) = cos 270° 0
 ou 360° f(x) = cos 360 1
Fonte: O autor (2015).
Fonte: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 
mai. 2015.
Figura 1.27 - Cossenoide
Função tangente
É a função real de variável, tal que x pertence ao conjunto dos 
números Reais, tendo P sua imagem na circunferência trigonométrica 
http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/
U1 - Título da unidade56
e T o ponto em que a reta OP intercepta o eixo da tangente 
tg = 
Ângulo 0 3
Tangente 0 1 -1 0 1 -1 0
Figura 1.28 | Função Tangente
Fonte: O autor (2015).
A representação gráfica da função tangente f(x) tgx é denominada 
como tangentoide e possui as seguintes características: 
• O sinal da função é positiva no 1º e 3º quadrantes;
• O sinal de função é negativa no 2º e 4º quadrantes;
• Tem o período em π.rad;
• Domínio será D = {x Є R/x ≠ + K. }
Não existe a tangente para os ângulos de e ;
Fonte: Disponível em:< http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/>. Acesso em: 21 mai. 2015. 
Figura 1.29 | Tangentoide
Com esta seção, tivemos a oportunidade de aprofundar nossos 
estudos sobre Funções Trigonométricas e suas aplicações, rever 
assuntos que fundamentam e complementaram este tema, com 
as Razões Trigonométricas e Ciclo trigonométrico, bem como as 
transformações de unidades do grau para π rad e vice-versa. Para 
complementar este assunto assista aos vídeos, leia os artigos sugeridos 
e realize as atividades propostas. E desejo a você bons estudos! 
Agora você possui as ferramentas necessárias para resolver o 
exemplo inicial desse tema.
http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas/
U1 - Título da unidade 57
Faça você mesmo
Sendo f (x) = 2cosx esboce seu gráfico e identifique o conjunto imagem 
e período.
O presente conteúdo desenvolveu o estudo das funções 
trigonométricas, abordando os termos que envolvem suas 
características notáveis. Vamos agora praticar? Chegou a hora de 
aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas!
Sem medo de errar!
Após o estudo das funções trigonométricas, vamos resolver a 
situação-problema do PIB apresentada ao João? 
Vamos relembrar! A partir da equação apresentada, João deve 
descobrir qual será o PIB do ano de 2018.
Então, dada a equação P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π ), João 
deve calcular o PIB 
do ano de 2018, assim x= 20, já que como mencionado no 
enunciado da situação-problema
x=0 corresponde ao ano de 1998
x=1 corresponde ao ano de 1999
x=2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante
Temos desse modo: 
P(x)= 800 + 50x + 40.sen (π )
P(x)= 800 + 50.20 + 40. sen (π )
P(x) = 800 + 1000 + 40. sen (π )
P(x) = 1800+ 40.1
P(x) = 1840 bilhões.
U1 - Título da unidade58
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos 
para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as 
atividades e depois compare-as com a de seus colegas.
Altura da Maré
1. Competência 
de Fundamentos 
de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à forma-
ção do profissional da área de exatas.
2. Objetivos de 
aprendizagem
Aplicar o estudo das funções na descrição de fenômenos e 
situações.
3. Conteúdos 
relacionados
Funções Trigonométricas (seno, cosseno, tangente).
4. Descrição da 
SP
Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu 
à meia-noite. A altura da água no porto dessa cidade é uma 
função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e 
maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta até atingir um 
valor máximo (maré alta) e vai diminuindo até atingir um valor 
mínimo (maré baixa), para depois aumentar de novo até a maré 
alta, e assim por diante. A altura y, em metros, da maré, nesse 
dia, no porto da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, 
pela fórmula: y=2+1,9. cos(π.t/6), sendo t o tempo decorrido, 
em horas, após a meia noite. Considerando as informações 
acima, responda: Qual a altura da maré no tempo de 3 horas? 
a) 2 metros
b) 3 metros
c) 3,9 metros
d) 4 metros
5. Resolução da 
SP
Resposta: 
Para t= 3 h 
y= 2 + 1,9 . cos(π.t/6) = 2 + 1,9 . cos(π.3/6) =2 + 1,9 . cos(π/2) 
y= 2 + 1,9 . cos(90°) = 2 + 1,9 . 0 = 2 m
U1 - Título da unidade 59
Faça valer a pena!
1. Considerando a função trigonométrica f(x)= senx, assinale a alternativa 
correta:
a) O gráfico da função seno é chamado de senoide e tem como domínio 
o intervalo [-1,1].
b) A imagem da função seno é o conjunto dos números reais.
c) A função é não periódica. 
d) Cada ponto do gráfico é da forma (senx, x).
e) Seno é uma função ímpar. 
2. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. Qual a distância que 
sua extremidade percorre no período de 20 minutos? Considere = 3,14.
a) 34,2 cm
b) 45,7 cm
c) 12,9 cm
d) 78,9 cm
e) 25,12 cm
3. A profundidade da água de um porto pode ser modelada por uma 
função trigonométrica, devido às oscilações das marés oceânicas. A 
profundidade da água em um porto da costa brasileira é dada pela fórmula 
D(t)= 2,7 cos( t)+ 4,5 em que D é a profundidade da água em metros e 
t é medida em horas após a primeira maré alta do dia. Um comandante 
deve decidir o horário de atracamento do seu navio nesse porto, optando 
por atracar 7 horas ou 11 horas após a primeira maré alta do dia. Em qual 
desses dois horários ele teria a maior profundidade da água? 
4. A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas 
do dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar 
essa necessidade de energia pela função: 
U1 - Título da unidade60
P(t)= 40 – 20 cos ( /12 t - /4) em que t é a hora do dia e P a quantidade 
de energia, MW. Qual a quantidade de energia, MW, consumida pela 
cidade ao meio-dia? Use = 1,4. 
a) 54 MW
b) 60 MW
c) 26 MW
d) 34 MW
e) 87 MW
5. Seja a função real de variável definida por f(x) = 3+ 2senx. Assinale a 
alternativa correta:
a) A função é par. 
b) A função é ímpar.
c) A função não é par nem ímpar.
d) A imagem da função é [0,5].
e) a imagem da função é [-1,-5].
6. Considerando a função trigonométrica f(x)= tgx, assinale a alternativa 
correta:
a) O gráfico da função tangente é chamado de senoide. 
b) Tem como domínio x ≠ π /2 + kπ.
c) A imagem da função é o intervalo [-1,1].
d) A função é não periódica .
e) Seno é uma função par. 
7. Qual o domínio da função tangente y= tg (x - 30°)?
U1 - Título da unidade 61
Referências
ANTON, Howard. Cálculo v. I, 8 ed. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
PLT 178.
STEWART, James. Cálculo v. 1, 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
Referências Complementares:
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2007. <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&printse
c=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT2w4D
gDA&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo%20i&f=false>. Acesso 
em: 3 mar. 2015.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, 
prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. <http://online.minhabiblioteca.
com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 mar. 2015.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas 
aplicações - tópicos avançados.10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. <http://online.
minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. Acesso em: 3 
mar. 2015.
HUGHES-HALLET, Deborah; McCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et 
al. Cálculo: A Uma e a Várias Variáveis. v. 1, 5. ed. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. <http://
online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.
MALTA, Iaci, PESCO, Sinésio, LOPES, Hélio. Cálculo de uma variável. v. II, 3 ed. Rio 
de Janeiro: PUC-RIO, 2007. <http://books.google.com.br/books?id=MbxCf9v3z7
8C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsA
SI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%C3%A1lculo&f=false>. Acesso 
em: 3 mar. 2015.
U2 - Título da unidade 63
Unidade 2
Limites e Derivadas
O desenvolvimento do Cálculo no século XVII, por Newton 
e Leibniz, propiciou aos cientistas da época as primeiras noções 
sobre “taxa de variação instantânea”, tal como ocorre com a 
velocidade ou a aceleração. Esse conceito influenciou os métodos 
computacionais e os conhecimentos sobre Cálculo que se 
desenvolveram a partir do conceito de limites. 
O estudo de limites e de derivada são muito importantes para 
a compreensão do Cálculo! Vamos então estudar, nesta seção, 
o conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de 
derivada e algumas regras de derivação. Para tanto, vamos ter em 
mente os conhecimentos sobre funções estudados na Unidade 1, 
você irá perceber que tudo está interligado. Aproveite!
A partir deste estudo, você irá:
Convite ao estudo
Competência a ser desenvolvida Objetivos
Conhecer os fundamentos de cálculo 
necessários à formação do profissional da 
área de exatas.
 Conhecer e aplicar o conceito de limite 
na descrição de fenômenos e situações.
 Conhecer o conceito de derivada e as 
regras de derivação para as funções poli-
nomiais, exponenciais, logarítmicas. As 
regras do produto e do quociente assim 
como as derivadas de ordem superior.
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima 
e atender aos objetivos específicos do tema em questão, 
Limites e Introdução à Derivada, vamos relembrar a situação 
hipotética apresentada na Unidade 1. Essa situação visa 
aproximar os conteúdos teóricos com a prática. 
Vamos relembrar!
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar 
de um processo seletivo de uma empresa multinacional para 
U2 - Título da unidade64
trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um 
teste para mostrar que é capaz de compreender e resolver 
problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa entende 
que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode 
atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar 
com a Matemática é fundamental, principalmente no que diz 
respeito ao estudo de limites e derivadas. Por tanto, João terá 
que resolver situações-problema que tratam de entender a 
interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais 
simples às mais complexas, como valor de despesas de uma 
família, número de indivíduos de uma população, cálculo de 
velocidade e aceleração, etc.
U2 - Título da unidade 65
Seção 2.1
É hora de limites!
Diálogo aberto 
A partir de agora iremos iniciar nossos estudos sobre limites! 
Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre o conceito e 
propriedades dos limites, conteúdo de Cálculo Diferencial e 
Integral. Vamos lá!
Dica
Você pode encontrar mais sobre o estudo de limite detalhadamente em 
livros de matemática. Pesquise também no site: <http://www.somatematica.
com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 20 jun. 2015.
Lembre-se
Em  matemática, o conceito de  limite é usado para descrever o 
comportamento de uma função à medida que o seu argumento se 
aproxima de um determinado valor. Pesquise sobre o “Paradoxo de 
Zenão” no link: <http://www.brasilescola.com/filosofia/zenao.htm>. 
Acesso em: 20 jun. 2015.
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao 
estudo? Uma das situações-problema apresentadas pela empresa 
para João resolver foi a seguinte: 
Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o 
serviço de TV a cabo. Em uma cidade, observa-se que a despesa 
de uma família com a TV a cabo depende do tempo t, mensal, que 
os habitantes assistem à TV, e esta quantidade, em centenas de 
reais, é modelada por: 
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
http://www.brasilescola.com/filosofia/zenao.htm
U2 - Título da unidade66
Analise a continuidade da despesa P=P(t). A despesa de uma 
família é sensivelmente diferente se o tempo que assiste à TV é 
ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E para 100 horas? 
E agora, como João poderá resolver este problema? 
Reflita
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? 
Você deve conhecer o conceito de limite e suas propriedades.
Não pode faltar 
Limites 
O conceito moderno de Limites foi desenvolvido na Europa 
a partir do século XVIII a XIX. Muito utilizado para resolução de 
problemas envolvendo Cálculo Diferencial, com aplicação 
em várias áreas de conhecimento, como Física, Engenharia, 
Astronomia e Biologia, entre outras. 
Por muitos anos, o conceito de Limites foi relacionado à ideia 
de infinito envolvendo a representação numérica com grandes 
valores, ou o contrário, com valores muito pequenos. Vamos 
iniciar nossos estudos com uma noção intuitiva de limites!
Noção intuitiva de limites
Vamos considerar a divisão de uma área de um quadrado igual 
a 4 cm², para apresentar a noção intuitiva sobre Limites.
Figura 2.1 | Representação da noção intuitiva de limite
Fonte: O autor (2015).
U2 - Título da unidade 67
Se dividirmos a figura com 4 cm² e colorirmos a metade, obteremos 
a fração , depois se colorirmos a metade da metade que sobrou, 
obteremos certo? Se novamente pintarmos a metade da metade 
que sobrou, se continuarmos nesta sequência, a área colorida vai 
tendendo ao valor total de 4 cm². Ou seja, a resultante vai tendendo a 4, 
assim concluímos que o Limite desse desenvolvimento é representado 
quanto ao número de momentos que tendem ao infinito.
Vamos aplicar agora a noção intuitiva envolvendo uma função 
linear.
Seja a função f(x) = 2x + 1, vamos atribuir valores para x que se 
aproximem de 1 por valores menores que 1 (esquerda) e por valores 
maiores que 1 (direita).
Fonte: <http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php>. Acesso em: 20 jun. 2015.
Figura 2.2 | Noção intuitiva de limite
x y = 2x + 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y = 2x + 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Assimile
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, 
ou seja, quando x tende para 1 (x→1), y tende para 3 (y →3), ou seja:
U2 - Título da unidade68
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da 
função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f enquanto x ->1, 
x não precisa assumir o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos 
que o limite de f quando x→1 é 3. Podem ocorrer alguns casos em 
que para x = 1 o valor de f(1) não seja 3.
Definição formal de Limites
Definimos como limite de uma função f quando x tende a c 
e é representado pela notação f(x), como sendo o número 
L, tal que f(x) pode se tornar tão próxima a L quanto quisermos 
sempre que existir suficientemente próximo de c, com x≠ c. Se 
existir, escrevemos:
 f(x) = L
Reflita
Vamos investigar o comportamento da função definida por f(x)= x² - x + 
2 para valores próximos de 2:
Fonte: Stewart (2013, p. 80).
Figura 2.3 | Tabela da função Y = f(x)= x² - x + 2
x f(x)= x² - x + 2 x f(x)= x² - x + 2
1,0 2,00000 3,0 8,000000
1,5 2,75000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,95 3,852500 2,05 4,152500
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,995 3,985025 2,005 4,015025
1,999 3,997001 2,001 4,003001
Figura 2.4 | Gráfico da função Y = f(x)= x² - x + 2
Fonte: Stewart (2013, p. 80).
U2 - Título da unidade 69
Observando