Apostila ELETRICIDADE APLICADA II - TEORIA

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PROF. PROF. PROF. PROF. EDSON EDSON EDSON EDSON G. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRA 
PROFPROFPROFPROFaaaa. . . . TANIA G. PEREIRATANIA G. PEREIRATANIA G. PEREIRATANIA G. PEREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
 
 
 
Revisão TécnicaRevisão TécnicaRevisão TécnicaRevisão Técnica 
Prof. Armando Lapa Júnior 
ColaboradoresColaboradoresColaboradoresColaboradores 
Prof. Norberto Nery 
Prof. Nelson Kanashiro 
Prof. Salvador Sampaio 
 
2013 
 
São Paulo 
Fatec 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
2 
 
SUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIO 
1. POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA ............................................................................................................ 3 
1.1 Potência instantânea ............................................................................................................................................ 3 
1.2 Potencia ativa .......................................................................................................................................................... 5 
1.3 Potencia reativa ..................................................................................................................................................... 5 
1.4 Potência aparente ................................................................................................................................................ 6 
1.5 Potência complexa ................................................................................................................................................ 7 
1.6 Triângulo de potências ........................................................................................................................................ 9 
1.7 Fator de potência ................................................................................................................................................ 10 
1.8 Potência de um conjunto de cargas em paralelo ................................................................................... 10 
2. CORREÇÃO DO FATOR DE POTENCIA ............................................................................................................... 18 
2.1 Introdução ............................................................................................................................................................. 18 
2.2 Desvantagens de um baixo fator de potência ......................................................................................... 19 
2.3 Elaboração da correção do fator de potência ......................................................................................... 20 
2.4 Vantagens da correção do fator de potência ........................................................................................... 22 
2.5 Dimensionamento do capacitor para correção do Fator de Potência .......................................... 24 
2.6 Exercícios de correção do fator de potência ........................................................................................... 26 
3. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO ...................................................................................................................... 32 
3.1 Introdução ............................................................................................................................................................. 32 
3.2 Configuração básica de um transformador ............................................................................................. 32 
3.3 Funcionamento do transformador sem carga (em vazio) ................................................................. 33 
3.4 Funcionamento do transformador com carga ........................................................................................ 35 
3.5 Exercícios de transformador ......................................................................................................................... 38 
4. CIRCUITOS TRIFÁSICOS .......................................................................................................................................... 41 
4.1 Introdução ............................................................................................................................................................. 41 
4.2 Vantagens do Sistema Trifásico .................................................................................................................... 41 
4.4 Gerador Trifásico ................................................................................................................................................ 41 
4.5 Carga Trifásica ..................................................................................................................................................... 44 
4.6 Ligações estrela e triangulo ........................................................................................................................... 45 
4.7 Valores de Fase e de Linha ............................................................................................................................. 46 
4.8. Relações entre valores de fase e linha ...................................................................................................... 49 
4.9 Exercícios de circuito trifásico ...................................................................................................................... 53 
5.POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS ............................................................................................................ 57 
5. 1 Exercícios de Potência Trifásica .................................................................................................................. 59 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
3 
 
1. 1. 1. 1. POTPOTPOTPOTÊÊÊÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADANCIA EM CORRENTE ALTERNADANCIA EM CORRENTE ALTERNADANCIA EM CORRENTE ALTERNADA 
 
1.1.1.1.1 Potência 1 Potência 1 Potência 1 Potência iiiinstantâneanstantâneanstantâneanstantânea 
Seja uma carga passiva, representada por sua impedância complexa: 
alimentada por um gerador que fornece uma tensão v (t) = V sen (ωt + ∝). A 
corrente resposta será do tipo i (t) = I sen (ωt + ∝ M φ). 
 
 
 
 
 
A potência instantânea consumida pela carga é: 
p(t) = v (t) x i (t), ou seja: 
p(t) = V sen (ωt + ∝) x I sen (ωt + ∝ M φ) 
p(t) = 2 VI sen (ωt + ∝) x sen (ωt + ∝ M φ) 
Chamando: 
A = ωt + ∝ 
B= ωt + ∝ M φ 
e lembrando que: 
sen A x sen B = 1/2 [ cos (A – B) M cos (A + B) 
teremos : 
p(t) = 2VI (sen A x sen B) 
p(t) = 2 VI x 1/2 [cos (ωt + ∝ M ωt M ∝ + φ) M cos (ωt + ∝ + ωt + ∝ M φ)] 
p(t) = VI cos p(t) = VI cos p(t) = VI cos p(t) = VI cos φ φ φ φ MMMM VI cos (2 VI cos (2 VI cos (2 VI cos (2 ωωωωt + 2 t + 2 t + 2 t + 2 ∝ ∝ ∝ ∝ M M M M φ)φ)φ)φ) 
onde: 
a) VI cos φ, é constante no tempo; 
 
= Z φ 
i (t) 
v (t) 
 
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4 
 
b) VI cos (2 ωt + 2 ∝ M φ), é uma cossenoide com o dobro da frequência da tensão e da 
corrente. 
Podemos também obter a potência instantânea graficamente, multiplicando-se o valor 
de v (t) por i (t) ponto a ponto. 
p(t)p(t)p(t)p(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar pela figura que, em p(t) existem trechos positivos onde a área 
definida pela função significa absorção de energia pela carga e trechos negativos onde a 
área significa quantidade de energia devolvida para a linha de alimentação. 
Portanto,note que: 
Se o ângulo φ for igual a zero, tensão em fase com a corrente, nenhuma energia é 
devolvida a linha, toda ela será convertida em trabalho pela carga. Característica esta 
inerente a todos os bipolos puramente resistivospuramente resistivospuramente resistivospuramente resistivos. 
Se o ângulo φ for igual a 90° ou -90°, a quantidade de energia absorvida pela carga no 
semiciclo positivo da potencia será totalmente devolvida à linha de alimentação no seu 
semiciclo negativo, não havendo, portanto nenhuma realização de trabalho em um 
período completo da potência. Característica esta inerente a todos os bipolos puramente puramente puramente puramente 
indutivos e capacitivos respectivamenteindutivos e capacitivos respectivamenteindutivos e capacitivos respectivamenteindutivos e capacitivos respectivamente. 
Se o ângulo φ for maior que zero e diferente de ± 90°, uma parcela da energia absorvida 
pela carga será devolvida para linha e a restante será utilizada na realização de trabalho. 
3π/2 π/2 
iiii (t)(t)(t)(t) 
[ 
p(t)p(t)p(t)p(t) 
π 0 2π 
vvvv (t)(t)(t)(t) 
ωωωωtttt 
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5 
 
1.1.1.1.2 2 2 2 PotPotPotPotêêêência ncia ncia ncia aaaativativativativa (P)(P)(P)(P) 
Parcela de potência que efetivamente realiza trabalhoefetivamente realiza trabalhoefetivamente realiza trabalhoefetivamente realiza trabalho, ou seja, transforma energia 
elétrica em outra forma de energia, por exemplo, térmica, luminosa, mecânica etc. 
Correspondendo, portanto ao valor médio da potencia instantânea. 
Para calcular a potência média deveríamos, aplicando a definição, calcular a integral: 
P = 
Por ser essa integração muito trabalhosa lançaremos mão do Teorema das Médias, onde: 
p(t) médio = p1(t) médio + p2(t) médio 
Portanto: 
p(t) médio = (VI cos φ) médio M VI [cos (2 ωt + 2 ∝ M φ)]médio 
Observamos que VI cos φ é constante no tempo, consequentemente seu valor médio 
coincide com seu valor numérico e o termo VI cos (2 ωt + 2 ∝ M φ) é uma função 
cossenoidal cujo valor médio é nulo. Teremos então que: 
 
 
Unidades de P 
Como esta potência será responsável pela realização de trabalho, sua unidade será a 
mesma utilizada em tensão contínua. 
No sistema SI: U (P) = watt (W), bem como seus múltiplos (kW, MW respectivamente 
103 e 106 W). 
 
1.1.1.1.3 3 3 3 PotPotPotPotêêêência ncia ncia ncia rrrreativaeativaeativaeativa (Q(Q(Q(Q)))) 
Parcela de potência devolvida à linha de alimentação. Essa parcela pode ser calculada 
por: 
 
 
P = VI cos φP = VI cos φP = VI cos φP = VI cos φ 
Q = VI sen Q = VI sen Q = VI sen Q = VI sen φφφφ 
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6 
 
No caso das máquinas indutivas tais como motores, geradores, transformadores, essa 
parcela é utilizada para manter os campos eletromagnéticos necessários para o 
funcionamento destes equipamentos. 
Este campo eletromagnético é formado pela passagem da corrente nos enrolamentos. 
Quando os equipamentos são alimentados em corrente alternada, a energia armazenada 
em forma de campo magnético tende a se opor à variação da intensidade da corrente, 
causando um atraso da corrente em relação à tensão. Como consequência uma parcela 
da corrente não realiza trabalho útil, produzindo o que se chama de energia reativaenergia reativaenergia reativaenergia reativa. 
 
 
 
 
No caso de cargas capacitivas é a quantidade de energia que fica armazenada sob a 
forma de campo elétrico nos capacitores e é trocada com a linha de alimentação. 
Unidade de Q 
Como a potência reativa não é responsável pela realização de trabalho, não poderíamos 
conferir a unidade watt, mas podemos indicar sua unidade como sendo o volt . ampère –
reativo. 
No sistema SI: U (Q) = Var, bem como seus múltiplos (kVAr, MVAr, respectivamente 103 
e 106 VAr) 
Em particular: 
para cargas indutivas – Vari (volt ampère reativo indutivo) 
para cargas capacitivas – Varc (volt ampère reativo capacitivo) 
 
1.1.1.1.4 4 4 4 Potência Potência Potência Potência aaaaparenteparenteparenteparente (Pap ou S)(Pap ou S)(Pap ou S)(Pap ou S) 
Potência fornecida pela concessionária de energia elétrica. A potência aparente é a soma 
fasorial das potências ativa e reativa, ou seja, é a potencia total absorvida pela instalação. 
 M 
Campo 
Magnético 
do Motor 
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7 
 
Essa potencia é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e da corrente aplicada 
na carga, ou seja: 
 
 
Tendo em vista que este produto não é responsável pelo trabalho realizado, a exceção de 
cargas puramente resistivas onde a potencia reativa é nula, razão pela qual é 
denominada de Potência Aparente. 
Unidade de S 
Indica-se a unidade de Potencia Aparente ao produto das unidades das grandezas 
envolvidas, ou seja, o volt . ampère. 
No sistema SI: U (S) = VA, bem como seus múltiplos (kVA, MVA, respectivamente 103 e 
106 VA). 
Para uma melhor visualização dessas três potencias, tomemos como exemplo um motor 
elétrico conforme figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.1.1.5555 PotPotPotPotêêêência ncia ncia ncia ccccomplexaomplexaomplexaomplexa (((( ou ou ou ou )))) 
A potência complexa é apenas uma forma simbólica de nos permitir agrupar, em uma só 
expressão, as potências ativa e reativa. 
S=S=S=S= V x IV x IV x IV x I 
V 
I 
Potência Ativa - PPPP 
(saída de energia sob a forma de 
movimento – Energia mecânica) 
Potência Reativa - QQQQ 
(Campo eletromagnético) 
Potência Aparente - SSSS 
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Define-se nas condições do item 1.4 que: 
 
 
Onde: 
 ---- Potência complexa; 
 ---- Tensão complexa aplicada ao bipolo; 
* * * * ---- Conjugado da corrente complexa. 
Considerando o circuito abaixo 
 
 
 
 
e substituindo e * * * * pelos seus valores na forma polar temos: 
 
 
 
Transformando em notação cartesiana (ou retangular), obtemos: 
 = V I cos V I cos V I cos V I cos ∝ + j V I sen ∝∝ + j V I sen ∝∝ + j V I sen ∝∝ + j V I sen ∝ 
 = P + j= P + j= P + j= P + j QQQQ 
Convém observar que o ângulo de fase da potência complexaângulo de fase da potência complexaângulo de fase da potência complexaângulo de fase da potência complexa será sempre igual ao ângulo ângulo ângulo ângulo 
dddda fase daa fase daa fase daa fase da impedânciaimpedânciaimpedânciaimpedância envolvida no circuito o que representa a defasagem entre a tensão 
e a corrente. 
 
 
= Z φ 
 
= I αM φ 
 
= V α 
 = (V ) α x (I αM φ )* 
 = V α x I φ M α 
 = V I α 
 = S= S= S= S αααα 
 = = = = x x x x **** 
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Unidade de 
Por ser um número complexo, não apresenta unidade de medida. Porém seu módulo e 
suas partes constituintes, por serem grandezas físicas, serão acompanhados pelas 
unidades de medidas correspondentes: VA, bem como seus múltiplos (kVA, MVA, 
respectivamente 103 e 106 VA). 
 
1.1.1.1.6666 Triângulo dTriângulo dTriângulo dTriângulo deeee ppppotênciasotênciasotênciasotências 
As equações que exprimem as potências ativa, reativa e aparente podem ser 
representadas geometricamente por um triângulo retângulo, onde a hipotenusa 
representa a potência aparente e os catetos representam as potências ativa(cateto 
adjacente) e reativa(cateto oposto). 
 
 
 
 
 
 
 
Das relações trigonométricas do triangulo retângulo, podemos obter: 
P = S . cos φ 
Q = S . sen φ 
S = 
Q/P = tg φ 
 
 
Q Q Q Q 
Q Q Q Q 
PPPP 
Q > 0Q > 0Q > 0Q > 0 
[ 
SSSS 
PPPP 
Q < 0Q < 0Q < 0Q < 0 
[ 
SSSS 
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1.1.1.1.7777 Fator de Fator de Fator de Fator de ppppototototêêêênciancianciancia (FP)(FP)(FP)(FP) 
Define-se o Fator de Potência como sendo a relação entre a potência ativa e a potência 
aparente. Ele indica a eficiência do uso da energia. Um alto fator de potência indica uma 
eficiência alta e inversamente, um fator de potência baixo indica baixa eficiência. 
Sendo o fator de potência, um conceito parecido com rendimento, procura-se trabalhar 
com um FP próximo de um, o que significa que toda potência colocada em jogo no 
circuito é potência ativa. 
O FP pode ser obtido por: 
 
 
Lembre-se que quando a carga for indutiva, φ e Q serão positivos e quando a carga for 
capacitiva, implica que φ e Q serão negativos. Pelo exposto, verifica-se que não é 
possível especificar o fator de potência unicamente pelo cosseno do ângulo, isto porque, 
da trigonometria tem-se: cos (φ) = cos (-φ). 
Para contornar esta ambiguidade, adota-se dizer que: 
• quando φ é positivo : fator de potência atrasado, lagging ou indutivo; 
• quando φ é negativo; fator de potência adiantado, leading ou capacitivo; 
Em outras palavras, fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em 
relação à tensão, são, portanto, os circuitos indutivos, e, fator de potência adiantado 
significa que a corrente está adiantada em relação à tensão, indicando, portanto, os 
circuitos capacitivos. 
 
1.1.1.1.8888 PotPotPotPotêêêência de um concia de um concia de um concia de um conjunto de cargas em paralelonjunto de cargas em paralelonjunto de cargas em paralelonjunto de cargas em paralelo 
Consideremos um conjunto de cargas ligadas em paralelo conforme esquema a seguir: 
 
 
 
 
 NNNN 2222 
1111 
tttt 
2222 1111 NNNN 
FP =FP =FP =FP = P/SP/SP/SP/S ==== cos cos cos cos [ 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
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Nessas condições temos: 
t = x ( i**** ) 
t = ( 1**** + 2**** + .....+ N**** ) 
t = 1**** + 2**** + .......... + N**** 
t t t t ==== 1111 ++++ 2222 ++++..........++++ NNNN 
Como = P + j Q temos: 
t t t t = (P= (P= (P= (P1111 + j Q+ j Q+ j Q+ j Q1111) + (P) + (P) + (P) + (P2222 + j Q+ j Q+ j Q+ j Q2222) +............ + (P) +............ + (P) +............ + (P) +............ + (PNNNN + j Q+ j Q+ j Q+ j QNNNN) ) ) ) 
t = t = t = t = SSSSt t t t 
PPPPt t t t ==== PPPP1111 ++++ PPPP2 2 2 2 ++++ ......... ......... ......... ......... ++++ PPPPN = N = N = N = i 
QQQQt t t t ==== QQQQ1111 ++++ QQQQ2 2 2 2 ++++ ......... ......... ......... ......... ++++ QQQQN = N = N = N = i 
SSSStttt ==== = = = = 
SSSStttt = V= V= V= Vgggg x Ix Ix Ix Itttt 
 
É importante lembrar que: 
SSSStttt g g g g SSSS1111 + + + + SSSS2222 +........+ +........+ +........+ +........+ SSSSNNNN 
[tg[1+[2+........+ [N
 
 
 
 
 
[tttt
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
12 
 
1.9 1.9 1.9 1.9 Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios 
1.1.1.1. Para o circuito abaixo são conhecidos: 
 
 
 
 
 
 
 
CapacitânciasCapacitânciasCapacitânciasCapacitâncias µFµFµFµF 
C1 200 
C2 350 
IndutânciasIndutânciasIndutânciasIndutâncias mHmHmHmH 
L1 31 
L2 25 
ResistênciasResistênciasResistênciasResistências ΩΩΩΩ 
R1 12 
R2 60 
 
Determine: 
a) as impedâncias nos ramais 1, 2 e 3; 
b) as potências: ativa, reativa e aparente nos ramais 1, 2 e 3; 
c) as potências: ativa, reativa e aparente do circuito; 
d) o fator de potência do circuito; 
 
40 V40 V40 V40 V 
35 H35 H35 H35 Hzzzz 
 CCCC2222 
RRRR2222 LLLL1111 LLLL1111 
CCCC1111 RRRR1111 
IIII IIII2222 IIII3333 IIII1111 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
13 
 
2222.... Para o circuito mostrado abaixo, determinar: 
a) o fator de potencia visto pelo gerador; 
b) a potencia complexa total; 
c) o fasor da tensão do gerador; 
d) o fasor da corrente do gerador. 
Dados: Vab = 230V; 
1 = 2 = 4 + J2 
Carga A: 10 kW; FP=0,7 (atrasado); 
Carga B: 10 kVA; FP=0,9 (adiantado); 
Carga C: 18 kW; FP= 0,6 (atrasado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.3.3. Numa instalação elétrica alimentada por rede de 220/127V existem 3 motores 
especificados na tabela que se segue: 
MotorMotorMotorMotor P (CV)P (CV)P (CV)P (CV) FPFPFPFP RendimentoRendimentoRendimentoRendimento (%)(%)(%)(%) 
1 20 0,9 atrasado 85 
2 10 0,87 atrasado 85 
3 15 0,78 avançado 90 
 
bbbb 
aaaa 
AAAA 
VgVgVgVg 
CCCC BBBB 
IIII 
ZZZZ2222 
ZZZZ1111 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
14 
 
Supondo que os motores estão operando simultaneamente e a plena carga, determinar: 
(a) a corrente de linha total da instalação; 
(b) as potencias ativa, reativa, aparente e complexa; 
(c) o FP total da instalação. 
Dado 1CV = 735 W 
 
4.4.4.4. Um consumidor possui as seguintes cargas, alimentadas em 220 V: 
Carga 1: cinco lâmpadas incandescentes, cada uma de 100 W, FP = 1; 
Carga 2: dez lâmpadas fluorescentes, cada uma consumindo 50 W (já incluído o reator), 
FP= 0,5 (atrasado). 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) as potências: ativa, reativa e aparente de cada uma das cargas; 
b) o fator de potência do circuito; 
c) o valor eficaz da corrente I absorvida pelo circuito. 
 
5.5.5.5. Um gerador de 100 V eficazes e 60 Hz alimenta o seguinte conjunto de cargas: 
Um motor de indução de 1,5 kVA e 1,2 kW; 
Dez lâmpadas fluorescentes de 60 W cada uma, FP = 0,6 atrasado. 
Determine: 
a) as potências: ativa, reativa e aparente de cada carga e da instalação; 
b) o fator de potência da instalação. 
 
IIII 
220 V220 V220 V220 V 2222 1111 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
15 
 
6.6.6.6. Um gerador de 100 V eficazes e 60 Hz alimenta as seguintes cargas em paralelo: 
1- Dez lâmpadas fluorescentes de 60 W cada uma, FP = 0,6 atrasado; 
2- Uma carga de impedância Z = (12 + j6) Ω; 
3- Um motor de indução de 1,2 kW e 2 kVA. 
Determine: 
a) As potências: ativa, reativa e aparente do conjunto de cargas; 
b) O fator de potência da instalação; 
c) o valor eficaz da corrente da instalação. 
 
7.7.7.7. Uma instalação elétrica monofásica com tensão de 440 V possui as seguintes cargas 
ligadas em paralelo: 
Carga 1: P = 45 kW e FP = 0,8 atrasado; 
Carga 2: I = 40 A e Q = 10 kVAR (capacitivo); 
Carga 3: S = 35 kVA (indutivo) e P = 28 kW; 
Carga 4: I = 25 A, carga puramente resistiva. 
Determinar: 
a) o esquema elétrico da ligação dessas cargas; 
b) as potências: ativa, reativa e aparente da instalação;c) admitindo-se a tensão de linha com ângulo de fase = 0 (zero), determinar a corrente 
(fasor) total na linha; 
d) o fator de potência total da instalação. 
 
8.8.8.8. Uma propriedade rural possui as seguintes cargas monofásicas, alimentadas por 220V 
e funcionando simultaneamente: 
Carga 1 – Iluminação: 6 lâmpadas incandescentes de 100W/220V cada; 
Carga 2 – Picadeira de cana: 5 cv, FP = 0,8 em atraso; 
Carga 3 – Debulhadeira: 3 cv, FP = 0,7 em atraso. 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
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Se os transformadores disponíveis no comércio têm potência nominal de 5, 10, 15, 25 ou 
37,5 kVA, determinar: 
a) qual o mais adequado para a alimentação das cargas; 
b) o FP da instalação. 
 
9.9.9.9. Os dados relativos às cargas que funcionam simultaneamente em uma instalação 
alimentada por rede de 220V são dados no quadro que se segue. Pede-se: 
a) preencher o quadro com os dados que faltam; 
b) determinar a potência aparente total das cargas; 
c) achar a corrente total solicitada; 
d) determinar o FP total da instalação. 
 
CargaCargaCargaCarga P (kW)P (kW)P (kW)P (kW) SSSS (kV(kV(kV(kVA)A)A)A) Q (kVAr)Q (kVAr)Q (kVAr)Q (kVAr) FPFPFPFP IIII(A)(A)(A)(A) 
1 3,0 0,5 atrasado 
2 12 8,0 indutivo 
3 4,5 5,0 capacitivo 
 
10. 10. 10. 10. Numa indústria, alimentada por rede monofásica de 220 V, operam as cargas dadas 
no quadro que se segue: 
 
CargaCargaCargaCarga PotenciaPotenciaPotenciaPotencia (kW)(kW)(kW)(kW) FPFPFPFP 
1 5,0 1,00 
2 8,0 0,75 atrasado 
3 6,0 0,60 atrasado 
4 6,0 0,85 atrasado 
 
Os processos de fabricação usados exigem que o funcionamento dessas cargas num dia 
típico de operação se dê nos horários apresentados no quadro abaixo: 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
17 
 
 
 
CARGACARGACARGACARGA 
HORAHORAHORAHORA 
8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 
1 
2 
3 
4 
 
Determinar: 
a) a mínima potência aparente que deve ter um transformador para alimentar a 
instalação; 
b) o maior valor de corrente solicitado pelas cargas; 
c) o menor FP obtido ao longo do dia; 
d) quantos kVAr capacitivos são necessários para que o FP da instalação não seja nunca 
inferior a 0,92 em atraso. 
 
11111111. Um transformador de 10kVA está operando a 85% da plena carga para alimentar, 
com 127V, uma carga monofásica cujo FP = 0,6 em atraso. Será possível acrescentar 
uma segunda carga de 3kW e FP = 0,8 em atraso? 
 
12.12.12.12. Determinar a corrente fornecida por um transformador de 5kVA que alimenta uma 
carga com 220V, utilizando 80% de sua potência nominal e operando com um FP = 0,6 
em atraso. 
 
13.13.13.13. Dado um gerador monofásico de 15kVA, 220V/60Hz, pergunta-se: 
a) qual a máxima corrente que pode fornecer? 
b) poderá este gerador alimentar uma carga de 8kW e FP = 0,8 em atraso? 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
18 
 
2. 2. 2. 2. CORREÇÃO DO FATOR DE POTCORREÇÃO DO FATOR DE POTCORREÇÃO DO FATOR DE POTCORREÇÃO DO FATOR DE POTÊÊÊÊNCIANCIANCIANCIA 
 
2.2.2.2.1 Int1 Int1 Int1 Introduçãoroduçãoroduçãorodução 
A maioria das cargas dos modernos sistemas de distribuição de energia elétrica são 
indutivas. Exemplos incluem motores, transformadores, reatores de iluminação e fornos 
de indução, dentre inúmeros outros. A principal característica destas cargas é que 
necessitam de dois tipos de energia para funcionar: a ativaativaativaativa que será transformada em 
trabalhotrabalhotrabalhotrabalho e a reativareativareativareativa que será utilizada somente na formação e manutenção dos seus 
campos eletromagnéticoscampos eletromagnéticoscampos eletromagnéticoscampos eletromagnéticos. 
Apesar de necessária, a utilização de energia reativa indutiva deve ser limitada ao 
mínimo possível, por não realizar trabalho efetivo. 
 
 
A ocorrência de energia reativa em circuitos elétricos sobrecarrega as instalações, ocupando uma 
capacidade de condução de corrente que poderia ser mais bem aproveitada para realizar trabalho 
útil. Isto é válido tanto para a concessionária que entrega energia elétrica ao consumidor como 
também para o próprio consumidor em seus circuitos de distribuição. 
 
 
 
A concessionária protege-se contra a ocorrência de energia reativa elevada em suas linhas 
impondo ao consumidor um fator de potência mínimo (na legislação brasileira, o fator de potência 
mínimo é de 0,92). Quando o consumidor apresenta um fator de potência abaixo do mínimo é 
cobrado o excedente de energia reativa, a título de ajuste. Assim sendo, a correção do fator de 
potência de uma instalação representa não apenas uma melhor utilização dos circuitos de 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
19 
 
distribuição de uma empresa, como também uma forma de reduzir as despesas com o 
fornecimento de energia caso ele esteja abaixo do mínimo regulamentado. 
 
2.2.2.2.2 2 2 2 Desvantagens de um baixo fator de potDesvantagens de um baixo fator de potDesvantagens de um baixo fator de potDesvantagens de um baixo fator de potêêêênciancianciancia 
Para melhor exemplificar as desvantagens de um baixo fator de potência, tomemos o exemplo de 
uma instalação industrial que apresenta o seguinte quadro representado pelo seu triângulo de 
potências, conforme figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
 
MMMM - Motor 
 
Fazendo uma análise da situação atual verificam-se as seguintes ocorrências: 
• Baixo FP; 
• Potencia Reativa alta; 
• Potencia Aparente alta; 
Como S = V x I e sendo V de valor constante por ser a tensão da rede, a medida que a 
potência aparente aumenta , a corrente se torna mais alta. 
As principais consequências desse baixo fator de potencia são: 
• Acréscimo na conta de energia elétrica por se estar operando com baixo fator de 
potência; 
• Limitação da capacidade dos transformadores de alimentação; 
• Quedas e flutuações de tensão nos circuitos de distribuição; 
• Sobrecarga nos equipamentos de manobra, limitando sua vida útil; 
• Aumento das perdas elétricas na linha de distribuição pelo efeito Joule; 
• Necessidade de aumento da seção nominal dos condutores; 
MMMM MMMM MMMM 
QQQQ 
[ 
SSSS 
PPPP 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
20 
 
• Necessidade de aumento da capacidade dos equipamentos de manobra e proteção. 
Portanto para melhoria dessa situação, somos levados a efetuar a correção do fator de 
potência. 
 
2.2.2.2.3 Elaboração da 3 Elaboração da 3 Elaboração da 3 Elaboração da ccccorreção do orreção do orreção do orreção do ffffator de ator de ator de ator de ppppotênciaotênciaotênciaotência 
Uma forma econômica e racional de se obter energia reativa necessária para a operação 
dos equipamentos consiste na instalação de bancos de capacitores próximos a esses 
equipamentos. A instalação de capacitores, porém, deve ser precedida de medidas 
operacionais que levem à diminuição da necessidade de energia reativa, como o 
desligamento de motores e outras cargas indutivas ociosas ou superdimensionadas. 
 
Com os capacitores funcionando como fontes de energia reativa, a circulação dessa 
energia fica limitada aos pontos onde ela é efetivamente necessária, reduzindo perdas, 
melhorando condições operacionais e liberando capacidade em transformadores e 
condutores para atendimentoa novas cargas, tanto nas instalações consumidoras como 
nos sistemas elétricos da concessionária. 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
21 
 
 
Os bancos de capacitores devem ser total ou parcialmente desligados em conformidade 
com o uso dos motores e transformadores para não haver excesso de energia reativa 
capacitiva, causando efeitos adversos ao sistema elétrico da concessionária. 
 
Onde corrigir o baixo fator de potência? 
A correção pode ser feita instalando os capacitores de cinco maneiras diferentes, tendo 
como objetivo a conservação de energia e a relação custo/beneficio: 
a) Correção na entrada da energia de alta tensão: corrige o fator de potência visto pela 
concessionária, permanecendo internamente todos os inconvenientes citados pelo baixo 
fator de potência. 
b) Correção na entrada de energia de baixa tensão: Permite uma correção bastante 
significativa, normalmente com bancos automáticos de capacitores. Utiliza-se este tipo 
de correção em instalações elétricas com elevado numero de cargas com potências 
diferentes e regimes de utilização pouco uniformes. A principal desvantagem consiste 
em não haver alívio sensível dos alimentadores de cada equipamento. 
c) Correção por grupos de cargas: o capacitor é instalado de forma a corrigir um setor ou 
um conjunto de pequenas máquinas (<10CV). É instalado junto ao quadro de 
distribuição que alimenta esses equipamentos. Tem como desvantagem não diminuir a 
corrente nos alimentadores de cada equipamento. 
d) Corrente localizada: é obtida instalando-se os capacitores junto ao equipamento para 
o qual se pretende corrigir o fator de potência. Representa do ponto de vista técnico, a 
melhor solução, apresentando as seguintes vantagens: 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
22 
 
• Reduz as perdas energéticas em toda a instalação; 
• Diminui a carga nos circuitos de alimentação dos equipamentos; 
• Pode-se utilizar em sistema único de acionamento para a carga e o capacitor, 
economizando-se um equipamento de manobra; 
• “Gera” potência reativa somente onde é necessário. 
e) Correção Mista: no ponto de vista "Conservação de Energia", considerando aspectos 
técnicos, práticos e financeiros, torna-se a melhor solução. Usa-se o seguinte critério 
para correção mista: 
• Instala-se um capacitor fixo diretamente no lado secundário do transformador; 
• Motores de aproximadamente 10 CV ou mais, corrige-se localmente (cuidado com 
motores de alta inércia, pois não se deve dispensar o uso de corrente para manobra dos 
capacitores sempre que a corrente nominal dos mesmos for superior a 90% da corrente 
de excitação do motor); 
• Motores com menos de 10 CV, corrige-se por grupos; 
• Redes próprias para iluminação com lâmpadas de descarga, usando-se reatores de 
baixo fator de potência, corrige-se na entrada da rede; 
• Na entrada instala-se um banco automático de pequena potência para equalização 
final. 
 
2.4 2.4 2.4 2.4 Vantagens da correção do fator de potênciaVantagens da correção do fator de potênciaVantagens da correção do fator de potênciaVantagens da correção do fator de potência 
Retomando o exemplo anterior da instalação industrial só que agora com o fator de 
potência corrigido. 
 
 
 
 
 
 
SSSS 
CCCC MMMM MMMM MMMM 
QQQQ ccccapapapap 
[’ 
SSSS’’’’ 
PPPP 
QQQQ 
Q’Q’Q’Q’ 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
23 
 
Observando o novo triângulo de potência, após a colocação do capacitor, pode se 
verificar as seguintes alterações: 
Fator de Potencia aumentou; 
Potencia Reativa diminuiu; 
Potencia Aparente diminuiu; 
Corrente diminuiu. 
As principais consequências após essa correção são: 
• Diminuição na conta de energia elétrica por estar operando com fator de potência de 
acordo com as normas da concessionária; 
• Liberação da capacidade dos transformadores de alimentação; 
• Diminuição de flutuações de tensão nos circuitos der distribuição; 
• Eliminação de sobrecarga nos equipamentos de manobra limitando sua vida útil; 
• Diminuição das perdas elétricas na linha de distribuição pelo efeito Joule; 
• Uso de condutores de menor diâmetro; 
• Diminuição da capacidade dos equipamentos de manobra e proteção. 
É importante lembrar que:É importante lembrar que:É importante lembrar que:É importante lembrar que: 
• A potência ativa não se altera; 
• A corrente na carga não se altera, somente a corrente nos condutores de alimentação 
do circuito, agora constituído pela carga e capacitor. 
Cuidado!Cuidado!Cuidado!Cuidado! É preciso dimensionar corretamente os capacitores que serão utilizados na 
correção para que não se ultrapasse a necessidade de fornecimento de energia reativa, 
pois se isso acontecer, a instalação que inicialmente apresentava características 
indutivas, passará a ter característica capacitiva, fazendo com que a potencia aparente e 
a corrente voltem a aumentar. 
O triângulo abaixo demonstra a ocorrência: 
 
 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 2.5 2.5 2.5 DimensionamentoDimensionamentoDimensionamentoDimensionamento do capacitordo capacitordo capacitordo capacitor para correção do Fator de Potênciapara correção do Fator de Potênciapara correção do Fator de Potênciapara correção do Fator de Potência 
Para dimensionamento correto do capacitor devemos: 
a) calcular a quantidade de Potência Reativa que precisaremos “fornecer” para atingir a 
situação desejada, isto é, a alteração de φ para φ’. Observando o triangulo de potências 
após a colocação do capacitor, teremos que: 
Qcap = Q – Q’ 
Qcap = P. tg [ – P. tg [’ 
Portanto: 
 
 
b) calcular a capacitância do capacitor 
Para a determinação da capacitância, deve-se lembrar que para cargas puramente 
capacitivas, a potência reativa é igual a potencia aparente, uma vez que a potência ativa 
é nula (P=0). Assim: 
 Qcap = Scap 
Sendo Scap = V. Icap 
QcQcQcQcapapapap = P (tg = P (tg = P (tg = P (tg φφφφ –––– tg tg tg tg φφφφ’)’)’)’) 
[ 
SSSS 
S’S’S’S’ 
[’ 
QQQQ2222 ccccapapapap 
QQQQ1111 ccccapapapap 
PPPP 
QQQQ 
Q’Q’Q’Q’ 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
25 
 
e como pela Lei de Ohm: Ic = V/ = V/Xc 
como Xc = 1/ωC , temos: 
Ic = V/1/ω C = ω C V 
Portanto 
 
 
C = C = C = C = Scap/Scap/Scap/Scap/uuuu VVVV2222 ou ou ou ou P (tg P (tg P (tg P (tg φφφφ –––– tg tg tg tg φφφφ’)’)’)’)//// uuuu VVVV2222 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
26 
 
2.6 2.6 2.6 2.6 Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios 
 
1111. A instalação de uma pequena empresa alimentada com tensão de 220V/60 Hz é 
composta de uma associação de um motor M1 que consome 10kVA com fator de 
potencia 0,7 (atrasado); outro motor M2 que consome 1kVAR com fator de potencia de 
0,6 (adiantado) e por uma estufa E que consome 1,5 kW com fator de potencia 0,9 
(atrasado). Determinar: 
a) as potencias totais, ativa, reativa e aparente consumidas pelo conjunto e o fator de 
potencia do mesmo; 
b) a corrente da linha de alimentação; 
c) o capacitor a ser ligado em paralelo com o conjunto para que o fator de potencia do 
mesmo seja 0,95 (atrasado); 
d) a nova corrente da linha de alimentação após colocaçãodo capacitor. 
 
 
 
 
 
2. 2. 2. 2. Ua instalação industrial alimentada por uma tensão de 220V/50Hz é constituída por 
uma associação em paralelo das seguintes cargas: 
1 motor de indução que consome 10 kVA com FP= 0,6 atrasado; 
1 motor síncrono que consome 2kW com FP= 0,8 adiantado; 
1 motor síncrono que consome 2kVA com FP= 0,6 adiantado; 
1 estufa resistiva que consome 1kW. 
Determinar: 
a) o fator de potencia do conjunto e a corrente na linha de alimentação; 
b) as potencias ativa e aparente consumidas pelo conjunto; 
MMMM MMMM 
EEEE 
g = g = g = g = 220220220220 0000°°°° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
27 
 
c) a nova corrente na linha de alimentação quando um capacitor é ligado em paralelo 
com o conjunto a fim de aumentar o seu fator de potencia para 0,92 atrasado; 
d) a capacitância do capacitor. 
 
 
 
 
 
3. 3. 3. 3. Em um circuito tem-se uma potencia instalada de 15 kVA, com fator de potencia 0,6 
atrasado, em 200V. A este circuito será acrescentado um motor de 2,5HP com 
rendimento de 62,17% e fator de potencia 0,7 atrasado. Para que não seja necessário 
trocar os condutores de alimentação do circuito devido ao aumento da corrente, pode 
corrigir o FP do conjunto de modo que o valor eficaz da corrente nos condutores do 
alimentador não se altere. Nestas condições pede-se: 
a) valor eficaz da corrente do circuito inicial e atual; 
b) valor eficaz da corrente com o motor acrescentado ao circuito; 
c) dimensionar o capacitor de modo a manter o mesmo valor da corrente inicial (adotar 
ω = 500 rd/s); 
d) potencia aparente e fator de potencia visto pelo gerador após instalação do motor e 
do capacitor. 
 
4. 4. 4. 4. Uma instalação alimentada com uma tensão de 220V é constituída pelas seguintes 
cargas: um motor de indução de 10 HP com fator de potencia de 0,71 atrasado e 
rendimento de 0,746 e um formo de indução de 10kVA e 5kW. Determinar: 
a) potencia ativa, reativa, aparente e corrente total da instalação; 
b) determinar o capacitor a ser instalado para corrigir o fator de potencia para 0,92; 
c) refazer o item a a a a após a instalação do capacitor. 
 
MMMM MMMM 
EEEE 
MMMM g ==== 220220220220 0000°°°° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
28 
 
 
 
 
 
 
5. 5. 5. 5. No circuito abaixo, sabendo-se que o fator de potencia da carga 2 é igual a zero, 
determinar 
a) o valor eficaz da corrente total; 
b) o fator de potência do circuito; 
c) o capacitor a ser instalado em paralelo com as cargas para corrigir o fator de potencia 
do circuito para 0,92; 
d) o valor eficaz da corrente após instalação do capacitor. 
Dados do Motor (M): 3CV, rendimento de 80% e fator de potencia de 0,707. 
1CV = 735W 
 
 
 
 
 
6. 6. 6. 6. Um transformador com capacidade para fornecer a potencia aparente máxima de 25 
kVA está alimentando a seguinte carga: um motor (A) que consome 4,8 kW com fator de 
potencia 0,8 atrasado, um motor (B) que consome 6kW com fator de potencia 0,6 
atrasado e por um motor (C). Determinar: 
a) a parcela de potencia (em %) de plena carga que o transformador esta fornecendo 
quando a chave K esta aberta e o fator de potencia da carga que esta sendo alimentada; 
220 V220 V220 V220 V MMMM 
FFFF 
5 A5 A5 A5 A IIIItttt 
440 V440 V440 V440 V MMMM 
2222 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
29 
 
b) a potencia ativa consumida pelo motor C e o seu fator de potencia quando a chave K 
esta fechada, sabendo que nessa situação o transformador passa a funcionar em regime 
de plena carga, sendo agora o fator de potência do conjunto igual a 0,75; 
c) a diferença entre a corrente na linha após fechar a chave K e a corrente antes do 
fechamento da mesma. 
 
 
 
 
 
7. 7. 7. 7. Um transformador tem capacidade para fornecer 50 kVA sob tensão eficaz de 440V. 
Quando o transformador estiver fornecendo 30 kW com fator de potencia 0,8 para uma 
carga indutiva, qual a porcentagem de sua potencia de plena carga que ele estará 
fornecendo? 
Que carga resistiva deverá ser adicionada à carga existente do sistema para ele entrar 
em plena carga e qual o fator de potencia do sistema nesta nova situação? 
 
8. 8. 8. 8. Um motor de indução que consome uma potencia de 2kW, com fator de potencia 0,6 
atrasado, está associado em paralelo com um motor síncrono de 0,5 kVA com fator de 
potencia 0,8 adiantado. O conjunto é alimentado com tensão de 220V/60Hz. Determinar: 
a) o fator de potencia do conjunto; 
b) o valor do capacitor a ser ligado em paralelo com o conjunto para corrigir o fator de 
potencia para 0,92; 
c) a corrente na linha de alimentação após a colocação do capacitor; 
 
 
 
 
KKKK 
AAAA BBBB CCCC 
2
2
0
 V
2
2
0
 V
2
2
0
 V
2
2
0
 V
 
 
 
 
 
 
 
 
66 66
 0
 H
0
 H
0
 H0
 H
zz zz 
MMMM MMMM g = g = g = g = 220220220220 0000°°°° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
30 
 
9.9.9.9. Uma carga, alimentada com tensão de 220V/60Hz, é constituída por uma associação 
em paralelo de um motor de indução de 15 kVA com fator de potencia 0,7 atrasado, um 
motor síncrono de 2kW com fator de potencia de 0,8 adiantado e um forno resistivo de 
1kVA. Determinar: 
a) o fator de potencia do conjunto; 
b) as potencias ativa, reativa e aparente consumidas pelo conjunto; 
c) o capacitor a ser ligado em paralelo com o conjunto para que seu fator de potencia 
seja 0,92. 
 
 
 
 
10. 10. 10. 10. Deseja-se corrigir o fator de potência de uma planta industrial de 2.400 kVA em um 
fator de potencia de 0,67 para 0,92 atrasado. Determine: 
a) a potencia reativa do capacitor em kVAr necessária para a correção; 
b) o valor do capacitor (em µF) necessário para a correção; 
c) a nova potencia em kVA após a correção. 
 
11. 11. 11. 11. Uma fábrica possui três máquinas indutivas ligadas em paralelo e alimentadas por 
uma fonte de tensão alternada de valor eficaz 100 V e frequência 60 Hz. Sabe-se que a 
máquina 1 absorve 600 W e 10 A, a máquina 2 absorve 1600 W e 20 A e a máquina 3 
absorve potência reativa de 1732 VAr e 20 A. Pede-se determinar: 
a) o valor dos capacitores que ligados em paralelo com cada máquina torna o fator de 
potência de cada uma delas unitário; 
b) o valor do capacitor que ligado em paralelo com a fonte torna unitário o fator de 
potência da instalação; 
c) o valor da corrente fornecida pela fonte antes e depois da correção do fator de 
potência. 
MMMM MMMM 
EEEE 
g g g g = = = = 220220220220 0000°°°° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
31 
 
12.12.12.12. Um gerador de 100 V eficazes e 60 Hz alimenta as seguintes cargas em paralelo: 
Dez lâmpadas fluorescentes de 60 W cada uma, FP = 0,6 atrasado. 
Uma carga de impedância Z = (6 + 12 j)Ω; 
Um motor de indução de 1,2 kW e 2 kVA. 
Determine: 
a) as potências: ativa, reativa e aparente fornecidas pelo gerador; 
b) o fator de potência da instalação elétrica (isto é, do conjunto de cargas); 
c) o valor do capacitor que conectado em paralelo com as cargas transformam o fator de 
potência em 0,92; 
d) a redução porcentual da corrente fornecida pelo gerador apósa correção do fator de 
potência. 
 
13.13.13.13. Uma linha de 100V/60Hz (tensão eficaz) alimenta duas cargas em paralelo: um 
motor de 1,2 kW e 1,5 kVA e lâmpadas fluorescentes com 2000W, FP = 0,6 atrasado 
Determine: 
a) o fator de potência do conjunto de cargas; 
b) o capacitor que conectado em paralelo ao conjunto corrige o fator de potência. 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
32 
 
3. 3. 3. 3. TRANSFORMADORTRANSFORMADORTRANSFORMADORTRANSFORMADOR MONOFÁSICOMONOFÁSICOMONOFÁSICOMONOFÁSICO 
 
3.1 Introdução3.1 Introdução3.1 Introdução3.1 Introdução 
A Terminologia Brasileira da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) define o 
transformador como: “Um dispositivo que por meio da indução eletromagnética, 
transfere energia elétrica de um ou mais circuitos (primário) para outro ou outros 
circuitos (secundário), usando a mesma frequência, mas, geralmente, com tensões e 
intensidades de correntes diferentes”. 
Os transformadores são equipamentos eletromagnéticos que apresentam rendimento 
elevado (baixas perdas), principalmente aqueles de grande porte utilizados em sistema 
de potência. Assim, para muitas análises podemos admiti-los como sendo ideal (sem 
perdas), o que será objeto de nosso estudo. Isso implica em algumas simplificações no 
modelo, ou seja: 
• não há fluxo de dispersão: o fluxo está todo contido no núcleo e se concatena 
totalmente com as espiras do primário e do secundário; 
• as resistência ôhmicas dos enrolamentos não são consideradas; 
• as perdas no ferro (núcleo) são consideradas desprezíveis; 
• a permeabilidade do núcleo é considerada elevada. 
A figura a seguir mostra uma representação de um transformador ideal 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 3.2 3.2 3.2 Configuração básica de um transformadorConfiguração básica de um transformadorConfiguração básica de um transformadorConfiguração básica de um transformador 
Um transformador é constituído basicamente por um núcleo de chapas laminadas 
(material ferromagnético) empacotadas de tal maneira a formar um bloco único e 
enrolamentos disposto em cada uma das pernas desse núcleo. (Esses enrolamentos 
Enrolamento Enrolamento 
Núcleo 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
33 
 
recebem o nome de: primário (entrada de energia) por ele circula a corrente de 
magnetização ou excitação) e secundário. Entretanto qual dos dois deva ser excitado é 
uma questão puramente de conveniência e qualquer dos dois pode ser primário ou 
secundário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para transformadores projetados para a frequência da rede elétrica CA (60Hz, 50Hz), o 
núcleo é obrigatoriamente laminado (chapa em geral de ferro-silicio) de modo a se 
minimizar as perdas de energia, que ocorrem pela indução de correntes parasitas na 
massa do núcleo (correntes de Foulcaut) 
 
3.3 3.3 3.3 3.3 Princípio de FuncionamentoPrincípio de FuncionamentoPrincípio de FuncionamentoPrincípio de Funcionamento 
3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 Funcionamento do transformador sem carga (em vazio)Funcionamento do transformador sem carga (em vazio)Funcionamento do transformador sem carga (em vazio)Funcionamento do transformador sem carga (em vazio) 
 
 
 
 
 
 
Ao aplicarmos uma tensão v1 (t) na bobina primária do transformador irá aparecer uma 
corrente im(t) que recebe o nome de corrente de magnetização. Essa corrente dará 
Núcleo 
Laminado 
Enrolamento 
Primário 
Enrolamento 
Secundário 
N2 N1111 
i m(t) 
vim(t) 
v v v v 2222 (t)(t)(t)(t) v v v v 1111 (t)(t)(t)(t) 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
34 
 
origem a um campo magnético que promoverá a circulação de fluxo vim (t) que induzirá 
em qualquer enrolamento por ele atravessado uma tensão v (t) dada por: 
v (t) = N (Lei de Faraday) 
Considerando a tensão no enrolamento primário 
v1 (t) = V sen (ωt + ∝), representada pelo seu fasor 
Para que o sistema entre em equilíbrio dinâmico a corrente im(t) que se estabelece deve 
ser tal que o fluxo por ela criado cause o aparecimento de uma força eletromotriz no 
enrolamento primário igual a v1 (t), ou seja: 
N1 = V1 sen (ωt + ∝) 
Ou seja: 
N1 = v1 (t) (1) 
Observando a expressão podemos concluir que: 
Fixada a geometria do transformador, o fluxo depende exclusivamente da tensão 
aplicada. 
O fluxo varia senoidalmente no tempo, assumindo o valor máximo de V1 
Levando-se em conta que o enrolamento secundário é percorrido pelo mesmo fluxo, a 
tensão no secundário será dada por: 
v2 (t) = N2 (2) 
dividindo membro a membro (1) e (2) temos: 
 
 
 
= V α 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
35 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 
 
Sendo válida a relação entre os valores instantâneos, também será valida entre seus 
fasores representativos. 
 
 
 
 
 
3.43.43.43.4.2.2.2.2 Funcionamento do transformador Funcionamento do transformador Funcionamento do transformador Funcionamento do transformador comcomcomcom carga carga carga carga 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos agora um transformador monofásico em cujo secundário ligamos uma 
carga qualquer representada por sua impedância . A tensão v2 (t) aplicada a fará 
v 1 (t) N1 
v2 (t) N2 
 
(t)
= 
 
vi2(t) 
i2(t) i m(t) +ia(t) 
vim(t) + va(t) 
N2 N1111 v v v v 2222 (t)(t)(t)(t) v v v v 1111 (t)(t)(t)(t) 
 NNNN1111 
 NNNN2222 
==== 
v 1 (t) N1 
v2 (t) N2 
= 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
36 
 
aparecer uma corrente i2(t). Pela Lei de Lenz1, podemos afirmar que a corrente i2(t) irá 
causar o aparecimento de um fluxo oposto ao que lhe deu origem vim(t). 
Portanto, se o fluxo total diminuir, a força contraeletromotriz por ele produzida, no 
primário, tornar-se-á menor que v1 (t), aparecendo então uma corrente adicional ia(t). 
Essa corrente adicional irá aumentar até que seja reconstituído o fluxo original, ou seja: 
vim(t).= vim(t). M vi2(t) + va(t) 
Nessas condições podemos afirmar que: 
a) O fluxo no núcleo quer o transformador esteja em vazio ou em carga, é o mesmo. 
Portanto, lembrando que as tensões dependem apenas do número de espiras e do fluxo, 
serão válidas as expressões deduzidas no estudo do transformador em vazio. 
 
 
b) Como o transformador é um equipamento que altera os níveis de tensão e ou corrente 
nos elementos secundários mantendo sua potência constante, podemos afirmar que a 
potencia do primário, para um transformador ideal, será sempre igual a potencia do 
secundário. 
Com isso temos que: 
1111 = = = = 2 
sendo: 
 = x * 
temos : 
 x * = x * (1) 
 
 
1
 Lei de Lenz diz que a tensão induzida em um enrolamento é dada por: e(t) = - N 
 
 NNNN1111 
 NNNN2222 
= = = = 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADAII 
37 
 
como: 
 
 
Substituindo (2) em (1), temos: 
 
 
Sendo válida a relação entre os valores fasoriais, também será valida entre seus valores 
eficazes. 
 
 
c) A potência absorvida por uma carga não se altera quando sua alimentação for feita 
por meio de um transformador, portanto, todos os estudos feitos nos capítulos 
anteriores (1 e 2) são os mesmos para instalações alimentadas por transformadores. 
N1 
N2 
 .... ==== (2) 
NNNN1 . 1 . 1 . 1 . IIII1111 = = = = NNNN2 . 2 . 2 . 2 . IIII2222 
NNNN1111 . . . . **** = N= N= N= N2222 . . . . **** 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
38 
 
3.3.3.3.4444 Exercícios de transformadorExercícios de transformadorExercícios de transformadorExercícios de transformador 
1111. Considerando a tensão do gerador, v1 (t) = 220 sen (377t + 45°), determinar os 
valores indicados nos circuitos abaixo: 
 
 
 
 
2.2.2.2. Considerando a tensão primária dos transformadores abaixo igual v1 (t) = 282,84 sen 
377t determinar as relações de transformação indicadas abaixo. 
 
 
 
 
3.3.3.3. Considerando a tensão dos secundários dos transformadores abaixo igual a v1 (t) = 
622,25 sen 377t, determinar suas tensões primárias. 
 
 
 
 
 
4444.... Para o circuito abaixo determinar o valor da corrente do gerador, dados: v1 (t) = 
622,25 sen 377t ; R1 = 20Ω; R2 = 40Ω 
 
 
 
 
2 : 4 
 
20 : 10 
400 V 
N1 : N2 N1 : N2 
100 V 
50 : 100 12 : 4 
10 : 20 
 
R2 R1 
2 : 1 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
39 
 
5.5.5.5. Um transformador é constituído por N1 espiras no primário, N2 espiras no secundário 
e um núcleo (usualmente de material ferromagnético). Se V1 é a tensão aplicada no 
primário, qual será a tensão de saída, admitindo-se o caso ideal? 
b) Suponha que N1 = 500, N2 = 10 e que a tensão eficaz aplicada seja de 120 V. Qual é a 
tensão no secundário (sem carga)? 
c) Se o secundário for ligado a uma carga resistiva de 15 Ω, obtenha o valor eficaz da 
corrente no enrolamento primário e no secundário. 
 
6.6.6.6. No conjunto abaixo, calcular: 
a) O capacitor (C) e a Potência aparente do capacitor (Sc), para corrigir o fator potência 
(FP) para 0,92 na freqüência f = 60 Hz; 
b) Onde deverá ser instalado esse capacitor para que a capacitância seja máxima; 
c) Idem para a capacitância mínima. 
Dados: 
Carga1: 10 kVA; FP = 0,5 
Carga2: 20 kVA; FP = 0, 707 
 
 
 
 
 
7.7.7.7. Para o circuito abaixo, determine: 
a) Os triângulos de potências das cargas 1, 2, 3 e do gerador; 
b) As correntes das cargas 1, 2, 3 e do gerador. 
 
 
 
500 
V 
1:5 2:1 
1 2 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
40 
 
 
8.8.8.8. Para o circuito abaixo pede-se: 
a) A corrente eficaz do gerador; 
b) A potência aparente do gerador; 
c) Corrigir o fator de potência para 0,92; 
d) O S após a correção 
e) A nova corrente após a correção 
Dados 
Carga 1- 10HP, rendimento 80%, FP=0,85 
Carga 2 – potencia complexa 20kVA fase 0º 
 
 
 
 
 
g 
4 1 
6 5 3 2 
Z2 = 45 -6 0° Z3 = 80 60° 
2:3 3:4 
2 3 
Z1 = 10 3 0° 
1 g = 100 0° 
3 
1:20 
1 
10:1 
2 g = 200 0° 1 2 4 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
41 
 
4. 4. 4. 4. CIRCUITOCIRCUITOCIRCUITOCIRCUITOSSSS TRIFÁSICOTRIFÁSICOTRIFÁSICOTRIFÁSICOSSSS 
 
4.4.4.4.1 Introdução1 Introdução1 Introdução1 Introdução 
Circuitos trifásicos constituem um caso particular de circuitos de corrente alternada. 
Das máquinas que funcionam em corrente alternada as mais simples construtivamente 
são as que funcionam em regime trifásico. 
Em função disto no Brasil, todos os sistemas de geração, transmissão e distribuição de 
energia elétrica trabalham em regime trifásico. Daí a necessidade deste estudo. 
 
4.4.4.4.2 Vantagens do Sistema2 Vantagens do Sistema2 Vantagens do Sistema2 Vantagens do Sistema TrifásicoTrifásicoTrifásicoTrifásico 
• As máquinas girantes trifásicas (motores e geradores) são de construção mais 
simples, menores e mais econômicas que as máquinas monofásicas, bifásicas ou de 
corrente contínua; 
• A manutenção das máquinas trifásicas é geralmente mais simples e menos 
dispendiosa do que outras; 
• O fluxo de energia que chega ao consumidor é mais estável, pois enquanto nos 
sistemas monofásicos passa pelo valor máximo 60 vezes por segundo, em sistemas 
trifásicos, isto acontece 180 vezes por segundo; 
• Para transmissão de uma mesma potência, os sistemas trifásicos utilizam uma menor 
quantidade de cobre (ou outro condutor) que outros sistemas; 
• De um sistema trifásico pode, utilizando transformadores especiais, obter um maior 
número de fases (sistema hexafasico, por exemplo) o que é conveniente para circuitos 
retificadores de alta potência. 
 
4.4.4.4.3333 Gerador Trifásico Gerador Trifásico Gerador Trifásico Gerador Trifásico 
Associação de três geradores monofásicos de tensão alternada com as seguintes 
características: 
a) mesma frequência angular; 
b) mesmo valor eficaz; 
c) defasados entre si de 120°. 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
42 
 
 
 
 
 
onde: 
v 1 (t) = V sen ( ωt + ∝ ) 
v 2 (t) = V sen( ωt + ∝ − 120° ) 
v 3 (t) = V sen ( ωt + ∝ − 240°) 
Utilizando a representação fasorial temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convêm observar que se as tensões forem definidas desta forma, em função do tempo 
passarão pelo ponto de máximo positivo (inicio da função senoidal) na sequência V1, V2 e 
V3, esta sequência é denominada seqseqseqsequuuuência ência ência ência positivapositivapositivapositiva ou ou ou ou diretadiretadiretadireta. 
120° 
v 1 (t) 
− 
+ 
v 2 (t) 
− 
+ 
v 3 (t) 
− 
+ 
1
 
= V ∝ 2 = V ∝ − 120° 
 
3 = V ∝ − 240° 
120° 
120° 
3 
1 
2 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
43 
 
 
 
A seqseqseqsequuuuência ência ência ência negativanegativanegativanegativa ou ou ou ou inversainversainversainversa seria V1, V3 e V2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120° 
120° 
3 
1 
2 
360° 
300° 180° 240° 120° 60° 
v 1
 
( t ) 
 V 
V 
v
 
(t) 
v 3
 
(t) v 2(t) v 1
 
(t) 
ωt 
360° 
300° 180° 240° 120° 60° 
v 1
 
( t ) 
 V 
V 
v
 
(t) 
v 2
 
(t) v 3
 
(t) v 1
 
(t) 
ωt 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
44 
 
Em nosso estudo trabalharemos com a sequência positiva ou direta. 
Na pratica, normalmente as tensões são obtidas a partir de um gerador trifásico, que 
pode ser entendido pela montagem abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As defasagens de 1200 entre si são obtidas no espaço entre as bobinas que as produzem 
 
 
 
 
 
 
 
4444....4444 Carga TrifásicaCarga TrifásicaCarga TrifásicaCarga Trifásica 
Associação de três cargas monofásicas interligadas. 
 
 
 
 3 2 1 
120° 120° 
120° 
v 2 ( t ) 
v 3 ( t ) 
v 1 ( t ) 
t ) 
N 
s 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADEAPLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
45 
 
 
Quando as três impedâncias forem iguais a carga é dita equilibrada: = = = 
 
4444....5555 Ligações Ligações Ligações Ligações estestestestrela e triangulorela e triangulorela e triangulorela e triangulo 
 
4444....5555.1.1.1.1 Ligação Ligação Ligação Ligação eeeestrelastrelastrelastrela ou ou ou ou ípsilonípsilonípsilonípsilon –––– 
Os geradores e/ou cargas monofásicas são interligados entre si de forma a constituir um 
ponto comum chamado de neutro. Os outros terminais são denominados fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFFF – terminal fase 
NNNN – terminal Neutro 
Observe que o sistema apresenta 04 terminais acessíveis. 
A ligação estrela também pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
3 2 1 
FFFF3333 FFFF1111 FFFF2222 NNNN 
− 
+ 
− 
+ 
− 
+ 
1 3 2 
FFFF2222 FFFF1111 FFFF3333 NNNN 
3 2 
1 
FFFF1111 
NNNN 
FFFF3333 
FFFF2222 
 V ∝ 
 V ∝ − 240° 
 V ∝ − 120° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
46 
 
 
4.4.4.4.5555....2222 Ligação TriânguloLigação TriânguloLigação TriânguloLigação Triângulo ou Deltaou Deltaou Deltaou Delta –––– 
Os geradores são interligados entre si de maneira a formar um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFFF – terminal fase 
Observe que o sistema não possui o neutro e apresenta 3 terminais acessíveis 
A ligação estrela também pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
4.4.4.4.6666 Valores de Fase e de LinhaValores de Fase e de LinhaValores de Fase e de LinhaValores de Fase e de Linha 
 
4444....6666....1111 Tensão Tensão Tensão Tensão de fasede fasede fasede fase 
Valor de tensão medido entre os terminais de cada gerador e/ou carga monofásica. 
 
4.4.4.4.6666.2.2.2.2 Corrente de FaseCorrente de FaseCorrente de FaseCorrente de Fase 
Valor de corrente medido entre os terminais de cada gerador e/ou carga monofásica. 
3 2 1 
FFFF3333 FFFF1111 FFFF2222 
− 
+ 
− 
+ 
− 
+ 
1 2 3 
FFFF2222 FFFF1111 FFFF3333 
1 
2 
3 
FFFF3333 
FFFF2222 
FFFF1111 
 V ∝ 
 V ∝ − 120° 
 V ∝ − 240° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
47 
 
Montagem EstrelaMontagem EstrelaMontagem EstrelaMontagem Estrela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem TriânguloMontagem TriânguloMontagem TriânguloMontagem Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.4.4.6666.3.3.3.3 Tensão de LinhaTensão de LinhaTensão de LinhaTensão de Linha 
Valor de tensão medido entre duas fases quaisquer 
 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fg2fg2fg2fg2 fg3fg3fg3fg3 
fg3fg3fg3fg3 
fg2fg2fg2fg2 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 fg1fg1fg1fg1
 fg1fg1fg1fg1 
GeradorGeradorGeradorGerador LinhaLinhaLinhaLinha CargaCargaCargaCarga 
fg3fg3fg3fg3 
fc1fc1fc1fc1 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc1fc1fc1fc1 
fg2fg2fg2fg2 
fg3fg3fg3fg3 fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
fg2fg2fg2fg2 
GeradorGeradorGeradorGerador LinhaLinhaLinhaLinha CargaCargaCargaCarga 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
48 
 
4.4.4.4.6666....4444 Corrente de LinhaCorrente de LinhaCorrente de LinhaCorrente de Linha 
Valor de corrente medido nas linhas de alimentação 
 
Montagem EstrelaMontagem EstrelaMontagem EstrelaMontagem Estrela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem TriânguloMontagem TriânguloMontagem TriânguloMontagem Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lg3Lg3Lg3Lg3 
 
 LLLL2222 
 
 LLLL3333 
 
 L1L1L1L1 
 
LcLcLcLc2222 
 
Lc3Lc3Lc3Lc3 
 
LcLcLcLc1111 
 
Lg2Lg2Lg2Lg2 
 
Lg3Lg3Lg3Lg3 
 
Lg1Lg1Lg1Lg1 
 
GeradorGeradorGeradorGerador LinhaLinhaLinhaLinha CargaCargaCargaCarga 
LLLLc2c2c2c2 
 
LLLLcccc3333 
 
LLLLc1c1c1c1 
 
 LLLL2222 
 
 LLLL3333 
 
LgLgLgLg2222 
 
LgLgLgLg1111 
 
GeradorGeradorGeradorGerador LinhaLinhaLinhaLinha CargaCargaCargaCarga 
 L1L1L1L1 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
49 
 
4.4.4.4.7777 Relações entre valores de fase e linhaRelações entre valores de fase e linhaRelações entre valores de fase e linhaRelações entre valores de fase e linha 
 
4.4.4.4.7777.1 Na ligação estrela.1 Na ligação estrela.1 Na ligação estrela.1 Na ligação estrela 
 
 
 
 
 
 
 
 
ReReReRelação de Correntelação de Correntelação de Correntelação de Corrente 
Convém observar que na ligação estrela a corrente que sai do gerador é a mesma que 
circula na linha e na carga, não existindo nenhum nó para derivação das mesmas, 
portanto podemos concluir que na estrela: 
 
 
 
Corrente de NeutroCorrente de NeutroCorrente de NeutroCorrente de Neutro 
N = f1 + f2 + f3 
Para um sistema equilibrado a corrente de neutro é igual a zerozerozerozero. 
 
Relação de Relação de Relação de Relação de TTTTensensensensãoãoãoão 
Podemos observar que a tensão de linha na estrela é diferente da tensão de fase 
estabelecendo entre si a seguinte relação: 
LLLL = = = = ffff 
LgLgLgLg2222 
 
VVVV 
Lg3Lg3Lg3Lg3 
 
LgLgLgLg1111 
 NNNN 
LLLL2222 
LLLL3333 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fg2 fg3fg3fg3fg3 
fg3fg3fg3fg3 
fg2fg2fg2fg2 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 fg1fg1fg1fg1
 fg1fg1fg1fg1 
GeradorGeradorGeradorGerador LinhaLinhaLinhaLinha CargaCargaCargaCarga 
 L1L1L1L1 
 
VVVV 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
50 
 
L L L L ==== ffff 30303030°°°° 
Lg1 = fg1 – fg2 
Lg2 = fg2 – fg3 
Lg3 = fg3 – fg1 
Se adotarmos 
 
teremos por conta da defasagem de 120º entre as fases 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
Utilizando o mesmo raciocínio pode se demonstrar as mesmas relações entre as outras 
tensões de fase e de linha correspondentes. 
Generalizando, na ligação estrela temos que: 
 
 
 
fg1 = V 0° 
fg2 = V −120° 
Lg1 = V – (– V/2 – j /2 V) 
Lg1 = V + V/2 + j /2 V 
Lg1 = 3/2 V + j /2 V 
Lg1 = 30° 
Lg1 = V V 0° − −120
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
51 
 
4.4.4.4.7777.2 Na ligação Triângulo.2 Na ligação Triângulo.2 Na ligação Triângulo.2 Na ligação Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação de TensãoRelação de TensãoRelação de TensãoRelação de Tensão 
Como se pode observar a ligação triângulo possui apenas 3 terminais e não apresenta a 
linha de neutro, portanto a tensão de fase e a de linha são medidas nos mesmos pontos, 
onde se conclui que no sistema triângulo: 
 
 
 
Relação de CorrenteRelação de CorrenteRelação de CorrenteRelação de Corrente 
Podemos observar pela figura que tanto os terminais de cadagerador monofásico como 
os de entrada da carga monofásica apresentam nós de corrente, portanto as correntes de 
fase e de linha não são as mesmas guardando a seguinte relação: 
Lg1 = fg1 – fg3 
Lg2 = fg2 – fg1 
Lg3 = fg3 – fg2 
LLLL = = = = ffff 
LgLgLgLg1111 
 
fg3fg3fg3fg3 Lg3Lg3Lg3Lg3 
 
LLLL2222 
LLLL3333 
L1L1L1L1 
LgLgLgLg2222 
 
fc1fc1fc1fc1 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc1fc1fc1fc1 
fg2fg2fg2fg2 
fg3fg3fg3fg3 fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
fg2fg2fg2fg2 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
52 
 
LLLL ==== ffff –30°°°° 
Se adotarmos 
 
teremos por conta da defasagem de 120° entre as fases 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
Utilizando o mesmo raciocínio pode se demonstrar as mesmas relações entre as outras 
correntes de fase e de linha correspondentes. 
Generalizando, na ligação estrela temos que: 
 
 
 
fg1
 
=
 
I 0° 
fg3
 
=
 
I – 240° 
Lg1
 
= I – (− I/2 + j /2 I) 
Lg1
 
= I + I/2 – j /2 I 
Lg1
 
= 3/2 I – j /2 I 
Lg1
 
= I 
 
I 0° − – 240° 
Lg1
 
= I –30° 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
53 
 
4.4.4.4.8888 Exercícios de circuito trifásicoExercícios de circuito trifásicoExercícios de circuito trifásicoExercícios de circuito trifásico 
1.1.1.1. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.2.2. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fg1
 
=100 60° 
 
= 10 45° 
fg1
 
=200 60° =40 60° 
L1L1L1L1 
 
LLLL2222 
 
L3L3L3L3 
 
LLLL1111 
 NNNN 
LLLL2222 
 
LLLL3333 
 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fg2fg2fg2fg2 fg3fg3fg3fg3 
fg3fg3fg3fg3 
fg2fg2fg2fg2 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 fg1fg1fg1fg1
 fg1fg1fg1fg1 
 
fg3fg3fg3fg3 LLLL3333 
 
LLLL2222 
 
LLLL1111 
 
LLLL2222 
 
fc1fc1fc1fc1 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc1fc1fc1fc1 
fg2fg2fg2fg2 
fg3fg3fg3fg3 fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
fg2fg2fg2fg2 
LLLL1111 
 
LLLL3333 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
54 
 
3.3.3.3. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.4.4. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fc2fc2fc2fc2 
L1
 
=173,21 0° 
 
=17,32 30° 
L1
 
=381,5 45° =22 60° 
fc1111 
LLLL1111 
 
LLLL2222 
 
LLLL3333 
 
LLLL1111 
 
LLLL2222 
 
LLLL3333 
 
fg2fg2fg2fg2 fg3fg3fg3fg3 
fg3fg3fg3fg3 
fg2fg2fg2fg2 
fg1fg1fg1fg1 fg1fg1fg1fg1 
fc1fc1fc1fc1 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 
 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 
fg3fg3fg3fg3 LLLL3333 
 
LLLL2222 
 
LLLL3333 
 
LLLL1111 
 
LLLL2222 
 
fg2fg2fg2fg2 
fg3fg3fg3fg3 fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
fg2fg2fg2fg2 
LLLL1111 
 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
55 
 
5. 5. 5. 5. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.6.6.6. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fg1
 
= 127 0° 
 
=10 45° 
 
= 10 45° 
fg1=173,21 0° 
 
= 10 60° 
 
= 17,32 30° 
fg1fg1fg1fg1
1111 
LLLL1111 
 
LLLL3333 
 
fg1fg1fg1fg1 
fc5fc5fc5fc5 
LLLL4444 
 
LLLL6666 
 
fc6fc6fc6fc6 fc5fc5fc5fc5 
fc6fc6fc6fc6 
fc4fc4fc4fc4 fc4fc4fc4fc4 
LLLL5555 
 
LLLL2222 
 
fc1fc1fc1fc1 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc1fc1fc1fc1 
 
 
LLLL1111 
 
LLLL4444 
 
fc2fc2fc2fc2 
LLLL2222 
 
LLLL1111 
 
fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 
LLLL5555 
 
fc4fc4fc4fc4 
fc6fc6fc6fc6 
fc5fc5fc5fc5 
fc5fc5fc5fc5 
fc6fc6fc6fc6 fc4fc4fc4fc4 
LLLL6666 
 
 
 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
56 
 
7.7.7.7. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 8. 8. 8. Para o circuito abaixo determinar todas as tensões e correntes complexas indicadas, 
dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fg1=127 0° 
 
= 10 45° 
 
= 10 45
°
fg1=173,21 0° 
 
= 17,32 30° 
 
= 10 60° 
fg1fg1fg1fg1
1111 
LLLL1111 
 
LLLL3333 
 
fg1fg1fg1fg1 
LLLL4444 
 
LLLL6666 
 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 
fc1fc1fc1fc1 fc1fc1fc1fc1 
LLLL2222 
 
LLLL5555 
 
fc4fc4fc4fc4 
fc6fc6fc6fc6 
fc5fc5fc5fc5 
fc5fc5fc5fc5 
fc6fc6fc6fc6 fc4fc4fc4fc4 
 
 
fc1fc1fc1fc1 
fc1fc1fc1fc1 
fc4fc4fc4fc4 
 
LLLL1111 
 
LLLL4444 
 
LLLL3333 
 
fg1fg1fg1fg1 
fg1fg1fg1fg1 
LLLL6666 
 
fc5fc5fc5fc5 
LLLL5555 
 
fc6fc6fc6fc6 fc5fc5fc5fc5 
fc6fc6fc6fc6 
fc4fc4fc4fc4 
LLLL2222 
 
fc3fc3fc3fc3 
fc2fc2fc2fc2 
fc2fc2fc2fc2 
fc3fc3fc3fc3 
ELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA IIELETRICIDADE APLICADA II 
57 
 
5.5.5.5.POTPOTPOTPOTÊÊÊÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOSNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOSNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOSNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
Considerando que cada fase de um circuito trifásico, equilibrado ou não, constitui-se um 
circuito monofásico independente, podemos afirmar que a potencia total do sistema é 
dada pela soma das potencias monofásicas das respectivas fases, isto é: 
Pt = P1 + P2 + P3 
Onde P1; P2 e P3 são as respectivas potencias de cada uma das fases. 
Nas condições de equilíbrio onde: 
P1 = P2 = P3 
temos que 
Pt = 3 Pf 
onde Pf é a potência por fase dada pela expressão de potencia monofásica: 
Pf = Vf x If x cos φ 
Convém lembrar que Vf