Unidade V

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João Pessoa, PB
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Energias Alternativas e Renováveis
Departamento de Engenharia de Energias Renováveis
Professora: Cristiane K. F. da Silva
2
Apresentação
• 5.1. Métodos de Diferenças Finitas
• 5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método 
Explícito
• 5.2. O Método da Capacitância Global
• 5.2.1. Validade do Método da Capacitância 
Global
• 5.1.2. Discretização da Equação do Calor: O Método 
Implícito
Profª: Cristiane K. 
3
A solução por diferenças finitas de problemas transientes requer a discretização no tempo e
discretização no espaço.
5.1. Métodos de Diferenças Finitas
Isso é feito por meio da seleção do
intervalo de tempo ∆t para resolver as
temperaturas nodais desconhecidas
repetidamente para cada ∆t, até que a
solução no tempo desejado seja obtida
• Um objeto metálico quente retirado do
forno a uma temperatura inicial Ti no
momento t = 0.
Se ∆t = 5 min: a determinação da distribuição de temperatura na peça metálica após 3 h requer
a determinação das temperaturas 3×60/5 = 36 vezes.
Profª: Cristiane K. 
4
5.1. Métodos de Diferenças Finitas
• Tpm ou T
p
m,n: representa a temperatura
no nó (m) ou (m,n) no intervalo de tempo
p.
𝑡 = 𝑝∆𝑡 
• Em problemas transientes, o sobrescrito p é usado como índice ou contador de intervalos de
tempo, com p = 0 correspondendo à condição inicial especificada.
(5.73)
Profª: Cristiane K. 
5
Balanço de Energia e Aproximação das Diferenças Finitas para o termo de Acúmulo de
Energia
• Balanço de Energia para qualquer região nodal:
Calor transferido para o V.C. de 
todas suas superfícies durante ∆t
Calor gerado no 
V.C. durante ∆t
Mudança no conteúdo de 
energia do V.C. durante ∆t.
∆𝑡. 𝑞
𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
+ ∆𝑡. 𝐸 𝑔 = ∆𝐸𝑎𝑐𝑢 . (1)
 𝑞
𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
+ 𝐸 𝑔 =
∆𝐸𝑎𝑐𝑢 .
∆𝑡
= 𝜌∀𝑐𝑝
∆𝑇
∆𝑡
 (2)
 𝑞
𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
+ 𝐸 𝑔 = 𝜌𝑉𝑐𝑝
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
 (3)
• Aproximação das Diferenças Finitas:
 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
𝑚
≅
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
 𝐸
 
𝑎𝑐𝑢 ≡
𝜕𝐸𝑎𝑐𝑢
𝜕𝑡
= 𝜌𝑉𝑐𝑝
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
 (4) (5)Logo:
5.1. Métodos de Diferenças Finitas
∆𝑈 = 𝜌∀𝑐𝑝∆𝑇 = 𝜌∀𝑐𝑝 𝑇
𝑝+1
𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚 
Profª: Cristiane K. 
6
• Existem duas opções para o tempo em que todos os outros termos do balanço de energia
são avaliados.
Método Explícito: se temperaturas no intervalo de tempo anterior p são usadas.
Método Implícito: se as temperaturas no intervalo de novo tempo p + 1 são usadas.
5.1. Métodos de Diferenças Finitas
Profª: Cristiane K. 
7
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
Condução de Calor Transiente Unidimensional
Na ausência de geração interna, a forma apropriada
da equação do calor é:
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
 (6)
O tempo é aqui uma das variáveis independentes; a
variável dependente muda apenas em uma dimensão
do espaço: T(x,t).
Derivada Espacial:
 𝜕
2𝑇
𝜕𝑥2
 
𝑚
≅
𝑇𝑚+1 + 𝑇𝑚−1 − 2𝑇𝑚
∆𝑥2
 (Unid. IV)
Derivada Temporal:
 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
𝑚
≅
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
 
(4)
Restringe a determinação da temperatura a pontos
discretos no tempo.
Profª: Cristiane K. 
8
Substituindo as Eqs. (4) e (8.Unid. IV) na Eq. (6), tem-se:
1
𝛼
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
=
𝑇𝑚+1 + 𝑇𝑚−1 − 2𝑇𝑚
∆𝑥2
 
(7)
É simplesmente a formulação de diferenças
finitas para o caso permanente.
Expressando as temperaturas no lado direito da equação no instante de tempo anterior (p) :
1
𝛼
𝑇𝑝+1𝑚 − 𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑡
=
𝑇𝑝𝑚+1 + 𝑇
𝑝
𝑚−1 − 2𝑇
𝑝
𝑚
∆𝑥2
 (8)
Explicitando a temperatura nodal no novo instante de tempo (p+1) :
𝑇𝑝+1𝑚 = 𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚+1 + 𝑇
𝑝
𝑚−1 + (1 − 2𝐹𝑜)𝑇
𝑝
𝑚 
(5.78)
Onde: 𝐹𝑜 =
𝛼∆𝑡
 ∆𝑥 2
: 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 (𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 
A Eq. (5.78) pode ser resolvida Explicitamente para a nova temperatura
Tp+1m para todos os nós internos.
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
(5.77)
Profª: Cristiane K. 
9
Nó na superfície com convecção e condução transiente unidimensional.
𝐸 𝑎𝑐𝑢 
•Considere que todos os fluxos estejam
direcionados para o interior do nó.
 Balanço de energia :
𝐸 𝑒𝑛𝑡 = 𝐸 𝑎𝑐𝑢 . 
(9)
(10)
 Calor chega ao nó por condução e por convecção em apenas uma direção:
𝐸 𝑒𝑛𝑡 = 𝑕𝐴 𝑇∞ − 𝑇
𝑝
0 + 𝑘𝐴
𝑇𝑝1 − 𝑇
𝑝
0
∆𝑥
 
 Energia acumulada no nó:
𝐸 𝑎𝑐𝑢 = 𝜌𝑐𝑝𝐴
∆𝑥
2
𝑇𝑝+10 − 𝑇
𝑝
0
∆𝑡
 
Substituindo na Eq. (9), tem-se:
 𝑕𝐴 𝑇∞ − 𝑇
𝑝
0 + 𝑘𝐴
𝑇𝑝1 − 𝑇
𝑝
0
∆𝑥
= 𝜌𝑐𝑝𝐴
∆𝑥
2
𝑇𝑝+10 − 𝑇
𝑝
0
∆𝑡
 
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
10
 𝑇𝑝+10 =
2𝑕∆𝑡
𝜌𝑐𝑝∆𝑥
 𝑇∞ − 𝑇
𝑝
0 +
2𝛼∆𝑡
 ∆𝑥 2
 𝑇𝑝1 − 𝑇
𝑝
0 + 𝑇
𝑝
0 
Reconhecendo que:
 
2𝑕∆𝑡
𝜌𝑐𝑝∆𝑥
=
2𝑕𝛼∆𝑡
𝑘∆𝑥
= 2 
𝑕∆𝑥
𝑘
 
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
 = 2𝐵𝑖𝐹𝑜 
Onde: 𝐵𝑖 =
𝑕∆𝑥
𝑘
: 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑜𝑡 
Logo:
 𝑇𝑝+10 = 2𝐹𝑜 𝑇
𝑝
1 + 𝐵𝑖𝑇∞ + 1 − 2𝐹𝑜 − 2𝐵𝑖𝐹𝑜 𝑇
𝑝
0 (5.82)
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
Explicitando a temperatura nodal no novo instante de tempo (p+1) :
(11)
Profª: Cristiane K. 
11
Condução de Calor Transiente Bidimensional
Na ausência de geração interna, a
forma apropriada da equação do calor
é:
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
 (5.72)
Derivada Espacial:
Derivada Temporal:
 𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
𝑚 ,𝑛
≅
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 − 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
∆𝑡
 
 𝜕
2𝑇
𝜕𝑥2
 
𝑚 ,𝑛
≅
𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑥2
 
(4.27)
 𝜕
2𝑇
𝜕𝑦2
 
𝑚 ,𝑛
≅
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
∆𝑦2
 
(4.28)
(5.74)
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
Profª: Cristiane K. 
12
Substituindo as Eqs. (4.27), (4.28) e (5.74) na Eq. (5.72), tem-se:
1
𝛼
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 − 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
∆𝑡
=
𝑇𝑚+1,𝑛 + 𝑇𝑚−1,𝑛 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
 ∆𝑥 2
+
𝑇𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇𝑚 ,𝑛
 ∆𝑦 2
 (12)
A natureza da solução por diferenças finitas dependerá do instante de tempo específico no
qual as temperaturas estão sendo determinadas nas aproximações por diferenças finitas
para as derivadas parciais.
Expressando as temperaturas no lado direito da equação no instante de tempo anterior (p) :
Explicitando a temperatura nodal no novo instante de tempo (p+1) e ∆x = ∆y:
1
𝛼
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 − 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
∆𝑡
=
𝑇𝑝𝑚+1,𝑛 + 𝑇
𝑝
𝑚−1,𝑛 − 2𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
 ∆𝑥 2
+
𝑇𝑝𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
 ∆𝑦 2
 
(5.75)
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 = 𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚+1,𝑛 + 𝑇
𝑝
𝑚−1,𝑛 + 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛−1 + 1 − 4𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛 
As temperaturas nodais desconhecidas para o novo instante de tempo, p+ 1, são
determinadas exclusivamente por temperaturas nodais conhecidas no instante de tempo
anterior, p, daí o termo solução explícita.
(5.76)
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
13
Uma vez que a temperatura em cada um dos nós interiores é conhecida em t = 0 (p = 0) em
função das condições iniciais estipuladas, os cálculos começam em t = ∆t (p = 1).
•Marchando no tempo, usando o intervalo de tamanho ∆t:
Escolher o intervalo de tempo adequado ∆t e determinar as temperaturas nodais a partir da
condição inicial;
Obter a nova solução Tp+1m ou T
p+1m,n no momento t = ∆t (p = 1);
Obter a nova solução Tp+1m ou T
p+1
m,n no momento t = 2∆t (p = 2);
Repetir o processo até que a solução no tempo desejado seja obtida.
Como a precisão da solução é afetada pela escolha de ∆x e ∆t?
•A precisão pode ser melhorada pela diminuição dos valores de ∆x e ∆t;
• O tempo de computação aumenta com a diminuição de ∆x e ∆t;
•A escolha de ∆x: precisão e exigências computacionais;
•A escolha de ∆t: exigências de estabilidade.
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
Profª: Cristiane K. 
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Critério de Estabilidade para o Método Explícito: limitação de ∆t
•Se o intervalo de tempo ∆t não for suficientemente pequeno, as soluções poderão oscilar
severamente e divergir da solução real.
•Para evitar essas oscilações divergentes nas
temperaturas nodais, o valor de ∆t deve ser
mantido abaixo de um certo limite máximo, que
depende de ∆x: Critério de Estabilidade.
O critério de estabilidade é determinado pela
exigência de que o coeficiente associado ao nó
de interesse no instante seja maior ou igual a
zero.
𝑇𝑝+10 = 𝑎0𝑇
𝑝
0 + ⋯
𝑇𝑝+11 = 𝑎1𝑇
𝑝
1 + ⋯
𝑇𝑝+12 = 𝑎2𝑇
𝑝
2 + ⋯
⋮
𝑇𝑝+1𝑀 = 𝑎𝑀𝑇
𝑝
𝑀 + ⋯
 
•Diferentes equações para diferentes nós podem resultar em diferentes restrições sobre o
tamanho do intervalo de tempo ∆t, e o critério que for mais restritivo deve ser usado na solução
do problema.
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
•Característica indesejável que restringe severamente sua utilidade: não é incondicionalmente
estável.
15
Condução de calor unidimensional:
𝑇𝑝+1𝑚 = 𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚+1 + 𝑇
𝑝
𝑚−1 + (1 − 2𝐹𝑜)𝑇
𝑝
𝑚 
(5.78)
O critério de estabilidade é:
 1 − 2𝐹𝑜 ≥ 0, 𝑜𝑢 𝐹𝑜 =
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
≤
1
2
 
(5.79)
Por exemplo: Uma parede de tijolos com tamanho da malha de ∆x =
0,01m, o limite superior do intervalo de tempo é:
(𝛼 = 0,45. 10−6𝑚²/𝑠) 
∆𝑡 =
1
2
∆𝑥2
𝛼
≤
 0,01𝑚 2
2. (0,45.
10−6𝑚2
𝑠 )
= 111𝑠 = 1,85 𝑚𝑖𝑛 
Condução de calor unidimensional com nó no contorno envolvendo convecção:
O mais restritivo nó de contorno deve ser usado na determinação do intervalo de tempo
máximo permitido ∆t.
 𝑇𝑝+10 = 2𝐹𝑜 𝑇
𝑝
1 + 𝐵𝑖𝑇∞ + 1 − 2𝐹𝑜 − 2𝐵𝑖𝐹𝑜 𝑇
𝑝
0 (5.82)
O critério de estabilidade é:
 1 − 2𝐹𝑜 − 2𝐵𝑖𝐹𝑜 ≥ 0, 𝑜𝑢 𝐹𝑜(1 + 𝐵𝑖) ≤
1
2
 
Condução de calor bidimensional:
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 = 𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚+1,𝑛 + 𝑇
𝑝
𝑚−1,𝑛 + 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛−1 + 1 − 4𝐹𝑜 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛 
(5.76)
O critério de estabilidade é:
 1 − 4𝐹𝑜 ≥ 0, 𝑜𝑢 𝐹𝑜 =
𝛼∆𝑡
∆𝑥2
≤
1
4
 
(5.84)
(5.80)
5.1.1. Discretização da Equação do Calor: O Método Explícito
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5.1.2. Discretização da Equação do Calor: O Método Implícito
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
 (5.72)
A equação de diferenças finitas pode ser deduzida utilizando-se a Eq. (5.74) para aproximar a
derivada no tempo, enquanto todas as outras temperaturas são determinadas no novo instante
(p+1), em vez de no tempo anterior (p).
Na ausência de geração interna, a forma apropriada da equação do calor é:
•Equação das diferenças finitas para um nó no interior:
1
𝛼
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 − 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛
∆𝑡
=
𝑇𝑝+1𝑚+1,𝑛 + 𝑇
𝑝+1
𝑚−1,𝑛 − 2𝑇
𝑝+1
𝑚 ,𝑛
 ∆𝑥 2
+
𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇
𝑝+1
𝑚 ,𝑛−1 − 2𝑇
𝑝+1
𝑚 ,𝑛
 ∆𝑦 2
 
(5.91)
Rearranjando:
 1 + 4𝐹𝑜 𝑇𝑝+1𝑚 ,𝑛 − 𝐹𝑜 𝑇
𝑝+1
𝑚+1,𝑛 + 𝑇
𝑝+1
𝑚−1,𝑛 + 𝑇
𝑝+1
𝑚 ,𝑛+1 + 𝑇
𝑝+1
𝑚 ,𝑛−1 = 𝑇
𝑝
𝑚 ,𝑛 (5.92)
•A nova temperatura no nó (m,n) depende das novas temperaturas nos seus nós adjacentes, que
são, em geral, desconhecidas.
•Vantagem: ser Incondicionalmente estável;
•Desvantagem: resulta em um conjunto de equações que devem ser resolvidas simultaneamente
para cada intervalo de tempo.
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5.2. O Método da Capacitância Global
Na análise da transferência de calor alguns corpos se comportam como um “aglomerado”.
Considere um grande assado no forno.
•A distribuição de temperatura no interior não está
sequer perto de ser uniforme.
•O Método da Capacitância Global não é aplicável
nesse caso.
Considere uma pequena bola quente de cobre saindo
do forno.
•As medições indicam que a temperatura muda com o tempo,
mas não muda muito com a posição em determinado momento.
•O Método da Capacitância Global é aplicável nesse caso.
A essência do método da capacitância global é a hipótese de que a temperatura do sólido é
uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. Assim: T(x,t) ≈ T(t)
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18
5.2. O Método da Capacitância Global
Análise geral da Capacitância Global
Seja a moldagem de um metal quente que está inicialmente a uma temperatura uniforme Ti.
•Pela lei de Fourier, a condução térmica na ausência de um gradiente de temperatura
implica a existência de uma condutividade térmica infinita.
•Ao desprezar os gradientes de
temperatura no interior do sólido,
não pode-se mais analisar o
problema do ponto de vista da
equação do calor.
•Balanço de energia:
−𝐸 𝑠𝑎𝑖 = 𝐸 𝑎𝑐𝑢 . (5.1)
−𝑕𝐴𝑠 𝑇 − 𝑇∞ = 𝜌∀𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 (5.2)
Portanto,
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19
5.2. O Método da Capacitância Global
Introduzindo a diferença de temperaturas:
𝜃 ≡ 𝑇 − 𝑇∞ 
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −𝜃 Obtém-se:
(5.3)
(1)
Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais, tem-se:
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
 
𝑑𝜃
𝜃
𝜃
𝜃𝑖
= − 𝑑𝑡
𝑡
0
 (2) Onde: 𝜃𝑖 ≡ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ (5.4)
Efetuando as integrações:
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
ln 
𝜃𝑖
𝜃
 = 𝑡 (5.5)
Tomando o exponencial de ambos os lados e reorganizando:
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 − 
𝑕𝐴𝑠
𝜌∀𝑐
 𝑡 
(5.6)
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20
5.2. O Método da Capacitância Global
•Observações feitas a partir das Eqs. (5.5) e (5.6):
Equação (5.5): determinar o tempo t;
Equação (5.6): determinar a temperatura T(t);
A diferença entre as temperaturas do
sólido e do fluido deve diminuir
exponencialmente.
Equação (5.6): interpretar uma
Constante de Tempo Térmica.
𝜏𝑡 =
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
= 
1
𝑕𝐴𝑠
 . 𝜌∀𝑐 = 𝑅𝑡 . 𝐶𝑡 
(5.7)
Qualquer aumento em Rt ou Ct causará uma resposta mais
lenta do sólido a mudanças no seu ambiente térmico.
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
ln 
𝜃
𝜃𝑖
 = −𝑡 
(5.5)
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 − 
𝑕𝐴𝑠
𝜌∀𝑐
 𝑡 
(5.6)
Ct :capacitância térmica global.
21
5.2. O Método da Capacitância Global
Energia Total Transferida Q
𝑄 = 𝑞𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝑕𝐴𝑠 𝜃𝑑𝑡
𝑡
0
 (3)
Substituindo a expressão para θ da Eq. (5.6):
𝑄 = 𝑕𝐴𝑠 𝜃𝑖𝑒𝑥𝑝 − 
𝑕𝐴𝑠
𝜌∀𝑐
 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0
 (4)
Integrando:
𝑄 = 𝜌∀𝑐 𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝 − 
𝑕𝐴𝑠
𝜌∀𝑐
 𝑡 (5 e 6)(ou)
𝑄 = 𝜌∀𝑐 𝜃𝑖
 
 
 
 
 
1 − 𝑒𝑥𝑝 − 
1
𝜌∀𝑐
𝑕𝐴𝑠
 𝑡 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda:𝑄 = 𝜌∀𝑐 𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝑡
𝑅𝑡 . 𝐶𝑡
 
(7)
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22
5.2. O Método da Capacitância Global
Finalmente:
𝑄 = 𝜌∀𝑐 𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝑡
𝜏𝑡
 
(5.8a)
•Q está relacionada com a mudança de energia interna do sólido:
−𝑄 = ∆𝐸𝑎𝑐𝑢 . 
(5.8b)
Logo:∆𝐸𝑎𝑐𝑢 . = − 𝜌∀𝑐 𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝑡
𝜏𝑡
 
(8)
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23
5.2.1. Validade do Método da Capacitância Global
•O método da capacitância global proporciona alta comodidade na análise da transferência de
calor e, portanto há uma forte preferência pelo uso deste método.
•É importante determinar sob quais condições pode-se empregar o método da capacitância
global com precisãosatisfatória.
•Considere a condução em regime estacionário
através da parede plana com área A.
•Balanço de energia:
𝐸 𝑒𝑛𝑡 − 𝐸 𝑠𝑎𝑖 = 0 
𝑘𝐴
𝐿
 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 = 𝑕𝐴 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞ (9)
Rearranjando, obtém-se
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞
=
 𝐿/𝑘𝐴 
 1/𝑕𝐴 
=
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 .
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 .
=
𝑕𝐿
𝑘
≡ 𝐵𝑖 (5.9)
𝐵𝑖 =
𝑕𝐿
𝑘
: 𝑃𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑜𝑡 
Onde:
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24
Interpretação física do Número de Biot
•Bi: fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação à diferença de
temperaturas entre a superfície e o fluido.
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞
=
 𝐿/𝑘𝐴 
 1/𝑕𝐴 
=
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 .
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 .
=
𝑕𝐿
𝑘
≡ 𝐵𝑖 
•Condições correspondentes a Bi<<1.
•Interpretação do número de Biot como uma razão entre
resistências térmicas.
Se Bi<<1,a resistência à condução no interior do sólido
é muito menor do que a resistência à convecção através
da camada-limite no fluido.
5.2.1. Validade do Método da Capacitância Global
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25
5.2.1. Validade do Método da Capacitância Global
Importância do Número de Biot nos problemas de condução transiente 
Considere a parede plana que está inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e experimenta
resfriamento por convecção.
•Para Bi<<1, o gradiente de
temperatura no sólido é pequeno
e T(x,t) ≈ T(t).
•Para valores de Bi de moderados
para elevados, os gradientes de
temperatura no interior do sólido
são significativos. T = T(x,t).
•O método da capacitância global assume a distribuição uniforme de temperatura em todo o
corpo.
Que precisão estamos dispostos a sacrificar pela vantagem do método da capacitância global?
•O método da capacitância global é exato quando Bi = 0 e aproximado quando Bi>0
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26
5.2.1. Validade do Método da Capacitância Global
Critério para aplicabilidade do Método da Capacitância Global
•O primeiro passo no estabelecimento do critério para aplicabilidade do método da capacitância 
global é calcular o número de Biot.
𝐵𝑖 =
𝑕𝐿𝑐
𝑘
< 0,1 (5.10)
•Por conveniência, é definido o Comprimento Característico como:
𝐿𝑐 ≡
∀
𝐴𝑠
 
(10)
O Lc a ser usado na avaliação do Bi para geometrias 
simples, torna-se:
L (metade da espessura) em uma parede plana de
espessura 2L; r0 /2 em um cilindro longo de raio
r0 e r0 /3 em uma esfera de raio r0.
Corpos pequenos com alta condutividade térmica
são bons candidatos para o método da
capacitância global.
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5.2.1. Validade do Método da Capacitância Global
Retornando à equação (5.6)
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 − 
𝑕𝐴𝑠
𝜌∀𝑐
 𝑡 
(5.6)
Escrevendo o expoente da equação em função de Lc:
𝑕𝐴𝑠𝑡
𝜌∀𝑐
=
𝑕𝑡
𝜌𝑐𝐿𝑐
 (11)
Multiplicando o numerador e o denominador por Lck:
𝑕𝐴𝑠𝑡
𝜌∀𝑐
=
𝑕𝑡
𝜌𝑐𝐿𝑐
=
𝑕𝐿𝑐
𝑘
𝑘
𝜌𝑐
𝑡
𝐿𝑐
2 =
𝑕𝐿𝑐
𝑘
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2 (12)
Definindo:𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2 : 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 (𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 
Resulta:
𝑕𝐴𝑠𝑡
𝜌∀𝑐
= 𝐵𝑖. 𝐹𝑜 (5.11)
(5.12)
Substituindo a Eq. (5.11) na Eq. (5.6):
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 −𝐵𝑖. 𝐹𝑜 (5.13)