Matematica Financeira 1 (1)

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N����� P������ C���������� L��� R������ D��� �� M�����
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
N����� P������ C���������� L��� R������ D��� �� M�����
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
Rua Tobias de Macedo Junior, 319
Santo Inácio – CEP 82010-340 – Curitiba – PR – Brasil
Supervisão Editorial
Prof.ª Me. Lindsay Azambuja
Análise de Informação
Jerusa Piccolo
Revisão de Texto
Schirley Horácio de Gois Hartmann
Capa
Denis Kaio Tanaami
Projeto Gráfico
Bruno Palma e Silva
Diagramação
Regiane de Oliveira Rosa
C346m
Castanheira, Nelson Pereira
Matemática financeira aplicada / Nelson Pereira Castanheira, Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba : Ibpex, 2006.
276 p.
ISBN 85.87053.79-5
Matemática financeira – Problemas, exercícios etc. I. Título
CDD 650.01513
20. ed.
Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização do autor.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei n. 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as pessoas em geral têm em conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encontram quando lêem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja demasiada- mente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil com- preensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da mate- mática financeira sem que seja necessária a presença permanente de um professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem.
Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate- mática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas práticas em sala de aula.
Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da mate- mática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à uti- lização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros no dia-a-dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, poderá consultar o apêndice A desta obra. Assim, do modo como a organi- zamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo o máximo de aproveitamento dos seus estudos.
Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemá- tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos Apêndices B, C e D – proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao leitor interessado.
Os Autores.
Sobre os autores
Nelson Pereira Castanheira é graduado em Eletrônica pela UFPR (1974) e em Matemática, Física e Desenho Geométrico pela PUC (1976).
É especialista em Análise de Sistemas – Processamento de Dados, em Admi- nistração Financeira e em Informatização.
Concluiu seu mestrado (2002) em Administração de Empresas com ênfase em Recursos Humanos (UEX/Espanha) e atualmente cursa o doutorado em Engenharia da Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina.
Atuou como professor e coordenador da Escola Técnica Federal do Paraná, como gerente de produtos e serviços da Telebahia, como instrutor e analista de dados da Telepar, como professor da Uniandrade, em Curitiba, e como professor e assessor da coordenação do Curso de Administração da Univer- sidade Tuiuti do Paraná.
É professor e coordenador pedagógico do Instituto Brasileiro de Pós-Gradu- ação e Extensão – Ibpex – e professor da Faculdade de Tecnologia Interna- cional, Fatec – onde também atua como professor de ensino a distância.
No total são 35 anos de experiência no magistério e, em paralelo, 30 anos na área empresarial. Nos últimos dois anos, publicou seis livros.
Luiz Roberto Dias de Macedo é licenciado em Matemática pela UFPR (1981). Atua profissionalmente como professor de Matemática há 24 anos, tendo ministrado essa disciplina em todas as séries da segunda fase do en- sino fundamental – 5ª a 8ª séries – e nas três séries do ensino médio, tanto em escolas e colégios públicos quanto na rede privada.
É especialista em Magistério da Educação Básica pelo Instituto Brasileiro de Pós-graduação e Extensão – Ibpex (1998) e mestre em Educação pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR, onde defendeu a dissertação de mestrado “A aprendizagem significativa dos conceitos ma- temáticos e seus reflexos em alunos dos cursos de Administração de Em- presas” (2004).
Desde 2001, é professor do ensino superior e já lecionou as disciplinas de Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico; Matemática Aplicada; Matemática Financeira; Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos.
Atua como professor da disciplina de Estatística Aplicada na Faculdade Internacional de Curitiba - Facinter e na Faculdade de Tecnologia Interna- cional – Fatec Internacional, sendo que nesta última trabalha nas modali- dades presencial e a distância, além de ser membro atuante da Assessoria da Direção Acadêmica.
Possui outras obras publicadas pela Editora Ibpex: Matemática Aplicada e Dados numéricos da empresa: análise e interpretação, ambas em 2004. Participa de diversos eventos, seminários e congressos com apresentação de artigos que enfocam o ensino e a aprendizagem da Matemática.
Porcentagem	11
Operações financeiras	15
Capitalização simples	21
Desconto simples	39
Capitalização composta	51
Taxas	69
Desconto composto	81
Rendas ou séries uniformes	91
Taxa interna de retorno e valor presente líquido	121
Correção monetária e indicadores	129
Depreciação	139
Operação de arrendamento mercantil - leasing	149
Debêntures	153
Amortizações		163 Referências por capítulo	205 Referências	207
Respostas	215
Apêndices	215
capítuloPorcentagem
Capítulo 1Porcentagem
Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da
12
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
13
Matemática Financeira Aplicada
seguinte forma:
, que chamamos de ����� ���������� ou de �����
���������� e se lê �� ��� �����.
Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%.
Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% =	=1. Assim, chama-se 100% de �������.
Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.
Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.
Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que se lê i por cento, é usada para representar a fração de	:
Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma regra de três simples, conforme vemos a seguir:
Grandeza 1	Grandeza 2
P	100
x	i
Então:
Cálculo da porcentagem
O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o exemplo 1. E������ 1
Imaginemos que desejo determinar quanto é 8% (que se lê 8 por cento) de 250.
P
orcentagemPrimeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir por 100. Então, queremos determinar quanto vale	de 250. Isso significa
que transformamos 8% em uma razão porcentual. A seguir, substitua a preposição de pelo sinal de multiplicação.
Assim, teremos: 8% de 250 =
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então:
100 . x = 250 . 8
x= 20
Simples e fácil, você não achou?
Transformação de uma razão qualquer em razão centesimal (ou razão porcentual)
A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja o exemplo 2.
E������ 2
Desejamos saber a quantos por cento corresponde a razão	. Escrevemos que
4 . x = 3 . 100
x = 75
Então,	ou 75%
capítuloOperações financeiras
Capítulo 2Operações financeiras
Em qualquer país em que estejamos, seja ele um país de economia bem desenvolvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são realizadas com a utilização de dinheiro (moeda), com o propósito de au- ferir lucro.
Naqueles países considerados em desenvolvimento, como é o caso do Bra- sil, suas economias são abertas visando receber investimentos externos e, em conseqüência, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso do país.
Essas operações, denominadas �����������, requerem os conhecimentos que serão mostrados ao longo desta obra.
Regimes de capitalização
A incorporação do juro ao capital que o produziu é denominada de ����������-
���. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, é necessário, primeiro, entendermos o que é ������� e o que é ����.
Capital
Qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para uma operação financeira denomina-se �������. Nós o representaremos por
C. Temos outros sinônimos para capital, a saber: valor atual, valor presente ou principal.
Juro
Num conceito bastante simples, porém abrangente, ���� é a remuneração do capital. Nós o representaremos por J.
O regime de capitalização é que determina a forma de se acumularem os juros. Caso o juro incida somente sobre o capital inicial, trata-se de ���� �������, e o regime de capitalização correspondente denominamos de ������������� ���-
����. Caso o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, trata-se de ���� ��������, e o regime de capitalização correspondente deno- minamos de ������������� ��������.
~ 
dinheiro 
pago pelo uso 
de 
dinheiro emprestado, 
ou 
seja, custo 
do 
capital 
de 
terceiros colocado 
à 
nossa disposição;O conceito de �����, conforme Castanheira & Serenato1, pode ser introdu- zido por meio das expressões:
16
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
17
Matemática Financeira Aplicada
~ remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
~ remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado;
~ remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Operações financeirasDevemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que tenha obtido um empréstimo de R$ 100,00 em uma instituição financeira que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual será a sua dívida no final de quatro anos?
QUADRO 1 – Cálculo do juro simples e do juro composto a partir de uma taxa de juro de 80% ao ano
	
Ano
	Saldo no início de cada ano
	
Juro de cada ano
	Saldo no final de cada ano
	
	Capitaliz. simples
	Capitaliz. composta
	Capitaliz. simples
	Capitaliz. composta
	Capitaliz. simples
	Capitaliz. composta
	1
	100,00
	100,00
	0,8x100=80,00
	0,8x100,00= 80,00
	180,00
	180,00
	2
	180,00
	180,00
	0,8x100=80,00
	0,8x180,00=144,00
	260,00
	324,00
	3
	260,00
	324,00
	0,8x100=80,00
	0,8x324,00=259,20
	340,00
	583,20
	4
	340,00
	583,20
	0,8x100=80,00
	0,8x583,20=466,56
	420,00
	1.049,76
Taxa de juro
Falamos em taxa de juro. Afinal, o que é essa taxa?
O juro é calculado por intermédio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, tri- mestre, bimestre, mês, dia. Nós a representaremos por i. Veja os exemplos de 3 até 8. Observe, nos mesmos exemplos, como se representa a unidade de tempo (a. a., a. s., entre outros).
	E������ 3
	i = 48% ao ano
	=
	48% a. a.
	E������ 4
	i = 22% ao semestre
	=
	22% a. s.
	E������ 5
	i = 15% ao trimestre
	=
	15% a. t.
	E������ 6
	i = 9% ao bimestre
	=
	9% a. b.
	E������ 7
	i = 4% ao mês
	=
	4% a. m.
	E������ 8
	i = 0,3% ao dia
	=
	0,3% a. d.
	E������ 9
	
	
	
Capítulo 2Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
36% de 5.000,00 = 36/100 . 5.000,00 = 1.800,00
E������ 10
Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% ao mês proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
2% de 5.000,00 = 2/100 . 5.000,00 = 100,00
Mas esse é o valor do juro após um mês. Como desejamos calcular o juro ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano tem 12 meses) e obtemos:
J = 1.200,00
Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos?
Dois são os cuidados. Primeiro, observe que, para o cálculo do juro sim- ples sobre um capital C, é necessário transformar a taxa de juro em uma fração decimal. Ou seja, 2% é igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, devemos cuidar para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo. Isso quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao semestre, o tempo deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema apresentado isso não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quanto o tempo para a obtenção da homogeneidade entre ambos.
Por que se cobra juro?
É comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro tão elevada nas operações financeiras. A composição da taxa de juro leva em conta que o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimônio, está atento para os seguintes fatores:
~	nem sempre o tomador do empréstimo paga sua dívida ao possuidor do dinheiro (risco de crédito);
Operações financeiras~	é possível que o tomador do empréstimo atrase o pagamento da sua dívida (risco de liquidez);
~	o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimônio;
~ o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possível desvalorização do capital ao longo do tempo, em função de um pro- cesso inflacionário (risco de mercado);
~	todo empréstimo implica despesas operacionais, contratuais e tribu- tárias tais como impostos;
~	há a possibilidade do não-retorno de investimento em função de pro- blemas operacionais da instituição onde os recursos foram aplicados (risco operacional);
~	existe a possibilidade de perdas em função da situação econômica do país (risco-país).
Risco-país
Outro fator responsável pela elevação ou pela diminuição da taxa de juro é o �����-����. O nível do risco-país mostra a confiança que os investidores (em nível mundial) têm quanto ao fato de o país honrar ou não suas dívidas. Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicação finan- ceira, maior é a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto for o risco-país, maior é a possibilidade, no ponto de vista do investidor, de que o país pode dar “calote”. Em conseqüência, quanto maior a possibilidade do calote, maior é o valor do juro que o país deve oferecer para convencer os investidores a comprar seus títulos.
Caso tenhamos duas aplicações financeiras com riscos diferentes, ambas oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos óbvio que os investidores optem pela aplicação menos arriscada.
Para o cálculo do risco-país, é feita uma comparação entre o juro que um país paga por títulos de sua dívida e o que o Tesouro dos Estados Unidos da América paga pelos seus, pois ele é considerado como risco zero de calote.
Imaginemos, como exemplo, que o risco-país doBrasil está em 1.000 pon- tos. Isso quer dizer que os títulos da dívida brasileira pagam 10% acima dos juros pagos pelos Estados Unidos da América2.
Capítulo 2Montante
Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de com- pra mantido. Para tal, investimos o capital com o propósito de recebermos juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos
M = C + J�������� e que representaremos por M. Temos, então, a fórmula para o cál- culo do montante:
Período ou prazo
Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denomina- mos de ������� ou ����� e o representaremos por n. Em outras palavras, n indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Pode ainda se referir à quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante.
capítuloCapitalização simples
Capítulo 3Capitalização simples
Denominamos de ������������� ������� o regime de capitalização em que a taxa de juro utilizada é simples. Nesse caso, o juro é calculado, sempre, sobre o valor do capital inicial. Observe que é indiferente se o tomador do empréstimo pagará o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou o pagará em uma parcela única ao final do período contratado, uma vez que ele é constante e proporcional ao capital sobre o qual incide.
Como para cada intervalo (período ou prazo) a que corresponde a taxa de juro temos um mesmo valor de juro, se quisermos saber o total no período, basta multiplicar o valor de cada intervalo pelo número de intervalos. Já havíamos demonstrado esse fato no exemplo 10.
Temos, então, a fórmula do Juro Simples:
J = C . i . n
Já mostramos que:
M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
M = C . (1 + i . n)
Essa é a fórmula geral da capitalização simples.
Mas onde é utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mer- cado financeiro?
O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas operações. A calculadora financeira HP-12C está preparada para tal situação. O juro simples é utilizado, por exemplo, na aplicação denominada
��� �����, que é um empréstimo diário e renovável, com juros comerciais e com taxas mensais, ou em descontos de cheques ou de duplicatas. Veremos adiante que, quando saldamos uma dívida em que temos períodos que não são inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao mês e atrasamos uma dívida por 23 dias), nos é cobrado o juro simples por ser mais danoso. Não podemos esquecer, ainda, a utilização do juro simples em contas vinculadas por saldo devedor (juro simples postecipado).
Para a fixação de todos esses conceitos, precisamos analisar alguns exem- plos resolvidos.
22
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
23
Matemática Financeira Aplicada
Capitalização 
simplesE������ 11
Imaginemos um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma par- cela única cinco meses após, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. De quanto será o montante ao final do quinto mês?
	Mês
	Saldo inicial
	Juros
	Saldo final (m)
	0
	–
	–
	5.000,00
	1
	5.000,00
	5.000,00 x 0,02 = 100
	5.100,00
	2
	5.100,00
	5.000,00 x 0,02 = 100
	5.200,00
	3
	5.200,00
	5.000,00 x 0,02 = 100
	5.300,00
	4
	5.300,00
	5.000,00 x 0,02 = 100
	5.400,00
	5
	5.400,00
	5.000,00 x 0,02 = 100
	5.500,00
Resolvendo esse problema pela fórmula geral da capitalização simples, te- remos:
M = C . (1 + i . n)
M = 5.000,00 . (1 + 0,02 . 5)
M = 5.000,00 . (1,10)
M = 5.500,00
Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C.
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C em operações de juro simples, é necessário atentar para o fato de que o período deve ser fornecido, sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, sempre, ao ano. Vejamos, então, como seria resolvido o exemplo 11.
f	REG	limpa os registradores (memórias) financeiros f	2	duas casas decimais no visor
150 n	introduz o período em dias (observar que consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias)
24 i	taxa ao ano
5000 CHS	PV	capital inicial (data zero) com sinal de fluxo de caixa f	INT		valor do juro simples (500,00)
+	valor do montante (5.500,00)
Capítulo 3E������ 12
Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 2% ao mês, durante oito meses. Qual é o valor do juro simples?
Como resolver pela fórmula?
J = C . i . n
C = 5.000,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 8 m
J = 5.000,00 . 0,02 . 8
J = 800,00
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C? f	REG	limpa os registradores financeiros
f	2	queremos duas casas decimais
5.000	CHS PV	capital com sinal de fluxo de caixa
2	ENTER
12	x	i	taxa de juro ao ano
8	ENTER
30	x	n	período em dias (ano comercial = 360 dias)
f	INT	valor do juro simples (800,00) E������ 13
Qual o rendimento de R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro simples de 36% ao ano?
Resolvendo pela fórmula:
C = 3.200,00
i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m.
J = C . i . n
J = 3.200,00 . 0,03 . 4
J = 384,00
Capitalização 
simplesPor que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o período fornecido é uma quantidade de meses e necessitamos manter a homogeneidade nos tempos das grandezas ������� (n) e ���� �� ���� (i). Optamos por trans- formar a taxa anual em taxa mensal. Poderíamos ter mantido a taxa ao ano e transformado o período em anos (4 meses = 4/12 ano).
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C? f	REG	limpa os registradores financeiros
f	2			queremos duas casas decimais 3200		CHS	PV	capital com sinal de fluxo de caixa
36 i	taxa fornecida ao ano
4 ENTER
30 x n	período fornecido em dias
f INT	valor do juro simples (384,00)
Juro ordinário
O juro é ��������� quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. Assim, o ano comercial tem 360 dias.
Juro exato
O juro �����, como o nome sugere, considera o número exato de dias que tem cada mês do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano bissexto, consideram-se 366 dias.
Lembramos que, para a utilização da HP-12C, caso o tempo não esteja em dias, devemos transformá-lo; se a taxa fornecida não for ao ano, devemos transformá-la.
E������ 14
Calcular o juro exato e o juro ordinário de um capital de R$ 10.000,00 que foi aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma taxa de 48% ao ano.
Juro ordinário (ano comercial):
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
Capítulo 3n = 2 meses = 2/12 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 2/12 J = 800,00
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
10000	CHS	PV
	48
	i
	
	2
	ENTER
	
	30
	x	n
	
	f
	INT
	juro ordinário (800,00, considerando n = 60 dias)
Juro exato (ano civil):
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 62 dias = 62/365 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 62/365 J = 815,34
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
10000	CHS	PV
	48
	i
	
	62
	n
	
	f
	INT
	juro ordinário (826,67, considerando n = 62 dias)
Capitalização 
simplesR	tecla roll down: mostra no visor o principal
x >< y	juro exato (815,34)
Você observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, ao mesmo tempo, o juro ordinário e o juro exato. Para visualizar os dois, basta pressionar as teclas na seqüência mostrada no exemplo 14.
E������ 15
Calcular o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um capital de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipóteses de ano co- mercial e de ano civil.
Juro ordinário (ano comercial):
M = C . (1 + i . n)
M = 1.000,00 . (1 + 0,48/360 . 40)
M = 1.053,33
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT	juro ordinário (53,33)
+	montante (1.053,33)Juro exato (ano civil):
M = C . (1 + i . n)
M = 1000,00 . (1 + 0,48/365 . 40)
M = 1.052,60
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
Capítulo 340	n
48	i
1000	CHS	PV
f	INT	juro ordinário (53,33)
R
x >< y	juro exato (52,60)
+	montante (1.052,60)
E������ 16
Calcular o juro exato de um capital de R$ 50.000,00 aplicado durante 60 dias, à taxa de 24% ao ano.
C = 50.000,00
i = 24% a. a. = 0,24 a. a.
n = 60 dias = 60/365 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 60/365 J = 1.972,60
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
50000	CHS	PV
24	i
60	n
f	INT	juro ordinário (2.000,00)
R
x >< y	juro exato (1.972,60)
Capitalização 
simplesA regra do banqueiro
Podemos ainda calcular o valor do juro simples utilizando a ����� �� ���-
������. Para tal, ao se estabelecer a homogeneidade entre o período e a taxa de juro, é usado o ano comercial (360 dias) como no juro ordinário, mas o período (número de dias) segue o princípio do juro exato, ou seja, segue o calendário do ano civil.
E������ 17
Determinar o juro, pela regra do banqueiro, gerado por um capital de R$ 50.000,00 aplicado durante o mês de março, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano.
C = 50.000,00
i = 24% a.a. = 0,24 a. a.
n = 31 dias = 31/360 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 31/360 J = 1.033,33
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
31 n
f	INT	juro do banqueiro (1.033,33) E������ 18
Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 7.000,00, resgatável daqui a dois anos, está à venda. Por quanto devo comprá-la, sabendo que desejo um juro mínimo de 30% ao ano?
O que é ����� �������? Trata-se do valor expresso no documento. No caso, expresso na letra de câmbio. É, portanto, o valor de uma dívida da data do seu vencimento.
Capítulo 3Caso queiramos antecipar o pagamento da dívida, devemos calcular o �����
����� da mesma. Valor atual é, portanto, o valor da dívida a qualquer mo- mento antes da data do seu vencimento.
C = ? (valor atual)
M = 7.000,00 (valor nominal) i = 30% a. a. = 0,30 a. a.
n = 2 anos
M = C . (1 + i . n)
7.000,00 = C . (1 + 0,30 . 2)
C = 4.375,00
Devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$ 4.375,00.
Juro do cheque especial
Para o cálculo do juro aplicado no saldo devedor de um correntista, no seu cheque especial, os bancos utilizam-se de um método conhecido como
������ ����������.
Consideremos diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos (n1, n2, ... , nn), utilizando-se uma taxa i, constante, de juro simples.
Já sabemos que o juro simples é determinado pela fórmula J = C . i . n
Então, o cálculo do juro devido em cada período nk, com k variando de 1 até n, é:
J1 = C1 . i . n1 J2 = C2 . i . n2
.
.
.
Jn = Cn . i . nn
Sabemos que o valor total do juro a ser pago ao final de certo prazo é:
J = J1 + J2 + ... + Jn
J = C1 . i . n1 + C2 . i . n2 +... + Cn . i . nn
Capitalização 
simplesJ = i . (C1 . n1 + C2 . n2 +... + Cn . nn)
Então:
J = i . ∑ C
k 
. n
kcom k variando de 1 até n.
Exemplo 19
O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos em determinado mês:
SALDO	DIAS
– R$ 58.000,00	4
+ R$ 25.000,00	8
– R$ 15.400,00	10
+ R$ 110.000,00	8
Calcule o valor do juro pago por essa empresa, nesse mês, para uma taxa de juros simples igual a 3% ao mês.
J = 0,03 . (58.000,00 . 4 + 15.400,00 . 10)
J = 0,03 . (232.000,00 + 154.000,00)
J = 11.580,00
Observe que o cálculo do juro devido é efetuado considerando-se apenas os dias em que o saldo é negativo.
Saldo médio
Para o cálculo do saldo médio (Sm) de um correntista, basta determinar a média aritmética ponderada entre os saldos do período considerado. Por exemplo, como determinar o saldo médio de um mês com 30 dias?
Consideremos diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes prazos (n1, n2, ... , nn), respectivamente. Então:
C
1 
. n
1 
+ C
2 
. n
2 
+ ... + C
n 
. n
n
S
m
=
n + n + ... + n
1
2
n
Capítulo 3E������ 20
SALDO
DIAS
R$ 140.000,00
6
R$ 920.000,00
2
R$ 330.000,00
10
R$ 210.000,00
12O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos credores em determinado mês:
Calcule o saldo médio dessa empresa nesse mês.
Sm=
Sm=
140.000,00 . 6 + 920.000,00 . 2 + 330.000,00 . 10 + 210.000,00 . 12
6 + 2 + 10 + 12
840.000,00 + 1.840.000,00 + 3.300.000,00 + 2.520.000,00
30
Sm = 283.333,33
Agora
 
que
 
você
 
já
 
analisou
 
20
 
exemplos
 
resolvidos,
 
está
 
na
 
hora
 
de
 
exer- citar para melhor fixar os conceitos transmitidos até o momento. 
Vem 
aí uma série de 50 exercícios propostos. Resolva-os e confira as respostas encontradas. 
Você 
verá que é fácil. Mãos à
 
obra!
Lembre-se:
Quando falamos de dinheiro, nossa moeda é o 
���� 
e só trabalhamos com centavos no nosso dia-a-dia. Então, devemos sempre considerar ape- nas duas casas após a vírgula. Entretanto, ao trabalhar com taxa de juro, devemos considerar, no mínimo, cinco casas após a vírgula. Isso porque, ao longo do tempo, um arredondamento na taxa de juro pode significar grandes perdas de dinheiro para alguma das partes envolvidas.
E como fazer o arredondamento?
A
 
regra,
 
na
 
matemática,
 
é
 
simples.
 
Ela
 
vale
 
também
 
para
 
as
 
calculadoras financeiras, que, sozinhas, fazem esse arredondamento.
Capitalização 
simples
Considere os algarismos de 0 a 9 divididos em duas partes iguais: 0 a 4 e 5 a 9.
Caso o algarismo que você deseja eliminar esteja no primeiro intervalo (0 a 4), apenas ignore o algarismo. No entanto, se esse algarismo
 
estiver no segundo intervalo (5 a 9), ao eliminá-lo, não se esqueça de somar 1 (um) ao algarismo imediatamente anterior. Vejamos um
 
exemplo.
Queremos dividir 54 por 365 e apresentar o resultado com seis casas após a vírgula. Na divisão, obtivemos 0,147945
205
. Como queremos representar com seis casas após a vírgula, devemos eliminar as três úl- timas (a parte em negrito). Então, olhamos para o primeiro algarismo após
 
a
 
sexta
 
casa:
 
é
 
um
 
2.
 
Logo,
 
para
 
eliminar
 
tudo
 
a
 
partir
 
desse
 
2,
 
basta ignorar os algarismos eliminados, pois o 2 encontra-se no intervalo de 0 a 4. Suponhamos, entretanto, que queiramos representar o resultado dessa divisão com apenas três algarismos após a vírgula. Então, deve- mos eliminar todos os algarismos a partir do 7. Como após o 7 temos um algarismo que pertence ao segundo intervalo (é um algarismo 9), ao eliminar esses algarismos (945205), devemos somar uma unidade ao al- garismo imediatamente anterior ao 9. O resultado, portanto, será 0,148 (somamos 1 ao 7).
Capítulo 3Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre- sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. Su- pondo-se que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, quanto estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o rendimento?
Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?
Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de R$ 40.000,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco meses, no regime de capitalização simples?
Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos.
Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simplesmensal e anual aplicadas?
Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ 12.500,00 pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês?
Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000,00 daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano?
Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês?
Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ 200.000,00 formar um montante de R$ 272.000,00 daqui a 12 meses?
Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.400,00 a uma taxa de juro simples de 30% ao ano, durante nove meses.
Capitalização 
simplesUm capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 20% ao ano, durante os meses de junho e julho. Determine o juro simples dessa aplicação e o montante, considerando:
juro ordinário;
juro exato;
juro pela regra do banqueiro.
Uma loja vende um produto por R$ 9.999,00 à vista. A prazo, vende por R$ 11.439,00, sendo R$ 1.999,00 de entrada e o restante em um pagamento único após três meses. Qual é a taxa de juro simples da operação?
Um capital de R$ 1.245,00 aplicado a juro simples, durante três meses, resultou num montante de R$ 1.301,03. Qual foi a taxa de juro simples utili- zada nessa operação?
Uma pessoa aplicou certa quantia a juro simples de 24% ao ano, durante 75 dias. Após esse prazo, recebeu R$ 23.100,00. Calcule o capital aplicado.
Um capital de R$ 20.550,00 aplicado à taxa de juro simples de 2,0% ao mês produziu um montante de R$ 25.482,00. Calcule o prazo de aplicação.
Um fazendeiro possuía um estoque de 2.000 sacas de soja e, na expec- tativa de alta de preço do produto, recusou a oferta de compra desse esto- que a R$ 1.000,00 por saca. Três meses mais tarde, vendeu o estoque a R$ 1.100,00 por saca. Sabendo que a taxa de juro simples de mercado é de 4% ao mês, verifique se o fazendeiro teve prejuízo.
Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro sim- ples de 1,2% ao mês, a partir de um capital de R$ 1.450,00?
Qual será o montante acumulado em três anos, a uma taxa de juro sim- ples de 3% ao mês, a partir de um capital de R$ 2.000,00?
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 3.000,00 numa instituição fi- nanceira que remunera seus depósitos a uma taxa de juro simples de 4,5% ao trimestre, no regime de juro simples. Informe o montante que poderá ser retirado no final do quinto trimestre.
De quanto será o juro simples cobrado num empréstimo de R$ 50.000,00 em seis meses, pela taxa de juro simples de 2,25% ao mês?
Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante de R$ 31.968,00 em quatro semestres, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano?
Capítulo 3Qual foi o capital emprestado que produziu o montante de R$ 42.160,00 pela taxa de juro simples de 2% ao mês, no prazo de um ano?
Qual o capital que, aplicado a 6% ao trimestre, rendeu juro simples de R$ 2.160,00 ao final de três trimestres?
Qual o prazo de aplicação, em dias, do capital de R$ 5.000,00 que, apli- cado à taxa de juro simples de 0,05% ao dia, produziu o montante de R$ 5.050,00?
Numa aplicação de R$ 1.750,00, à taxa de juro simples de 20% ao ano, o montante recebido foi de R$ 4.200,00. Determine o prazo da aplicação.
Iolanda aplicou R$ 1.800,00 à taxa de juro simples de 36% ao ano. Se ela recebeu um montante de R$ 2.124,00, qual foi o prazo da aplicação?
Eduardo aplicou um capital de R$ 8.000,00 para receber R$ 11.200,00 daqui a 24 meses. Qual foi a sua rentabilidade semestral (%)?
Qual foi a taxa de juro simples trimestral que, aplicada a uma impor- tância de R$ 2.500,00, produziu um montante de R$ 2.950,00 no prazo de nove meses?
Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2.000,00 ou então por R$ 320,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 2.100,00 cinco meses após a compra. Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?
Um carro é vendido à vista por R$ 25.000,00 ou então por R$ 5.000,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 21.850,00 após dois meses. Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?
Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00, mas pode ser adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 20% do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 880,00 para 60 dias após a compra. Calcule a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja na venda a prazo.
Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro sim- ples de 24% ao ano, rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.650,00 a uma taxa de juro simples de 40% ao ano, durante seis meses.
Foram aplicados R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. Qual foi o prazo da aplicação, sabendo que o juro obtido foi de R$ 10.000,00?
Capitalização 
simplesQual foi o prazo de um empréstimo de R$ 38.500,00, se o juro foi de R$ 6.160,00 e a taxa de juro simples de 3,2% ao mês?
Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o seu juro seja igual a duas vezes o seu valor, se for aplicado a uma taxa de juro sim- ples de 20% ao ano?
Pedro Henrique aplicou R$ 4.800,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. Se ele recebeu R$ 384,00 de juro, obtenha o prazo da aplicação.
O capital de R$ 800,00 foi aplicado durante quatro meses, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. Qual foi o valor do juro recebido pelo aplicador?
Considerando-se o exercício anterior, quanto o aplicador resgatou após o quarto mês de aplicação?
Uma dívida de R$ 2.350,00 foi paga com dois meses de atraso, e foi cobrado o valor de R$ 117,50 de juro. Qual foi a taxa de juro simples dessa operação financeira?
Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a juro simples, durante certo tempo e obteve o montante de R$ 11.800,00. Sabendo que a taxa de juro simples utilizada foi de 1,8% ao mês, determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado?
Calcule o juro produzido por um capital de R$ 4.560,00 que foi aplicado durante um ano e cinco meses, a uma taxa de juro simples de 1% ao mês.
Que capital produziu o montante de R$ 5.535,20 a partir de uma aplica- ção a juro simples, com taxa de juro igual a 1,5% ao mês, pelo período de dois anos?
Um capital de R$ 40.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 2% ao mês produziu um montante de R$ 58.400,00. Calcule o período dessa apli- cação.
Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 4% ao mês levará quanto tempo para produzir juro equivalente ao valor do capital aplicado?
Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 1.160,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante em um pagamento único dois meses após a compra. Qual é a taxa de juro simples da operação?
Um capital foi aplicado durante 400 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês e resultou num montante de R$ 3.246,00. Qual foi o valor do capital aplicado?
capítuloDesconto simples
Capítulo 4Desconto simples
Inicialmente devemos lembrá-lo de que, quando nos dirigimos a um agente financeiro e efetuamos um empréstimo ou assumimos uma dívida, precisa- mos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta o capital. Ou seja, se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. O que é ������ �� �������? Basicamente, são de dois tipos:
~ ���� ����������� – um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título em que necessariamente uma das partes é uma pessoa física;
~ ��������� – um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica). Portanto, é um título em que necessa- riamente uma das partes é uma pessoa jurídica.
Você, com toda certeza, conhece o conceito de ��������. Quantas e quan- tas vezes já terá pedido desconto aqui e ali?
Podemos também imaginar o desconto como aquele benefício que alguém merece por estar antecipandoo pagamento de uma dívida (ou o resgate antecipado de um título).
Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor atual desse título.
Assim como no cálculo do juro, para calcular o desconto, precisamos co- nhecer uma taxa, que será denominada de ���� �� ��������, e um período de tempo. Esse período, no caso, é o tempo que falta para o vencimento da dívida (ou do título).
Todo título de crédito tem uma data de vencimento. Porém, pode ser ante- cipadamente resgatado, obtendo-se, com isso, um abatimento denominado
��������.
Desconto é, portanto, o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.
Temos dois tipos de desconto simples a estudar:
a) � ���������, denominado por alguns autores de �������� ��������; b) � ��������.
40
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
41
Matemática Financeira Aplicada
Desconto simplesDesconto comercial simples
O �������� ���������, que representaremos por Dc, é determinado apli- cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento.
Logo, por definição:
Dc = M . i . n
Importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de perío- dos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida.
Uma vez determinado o desconto a que o possuidor do título tem direito por estar antecipando a sua quitação, determina-se, com facilidade, o valor atual (Vc) para a data do resgate do título.
Ou seja:
Vc = M – Dc
Vc = M – M . i . n
Vc = M . (1 – i . n)
E������ 21
Uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00 com vencimento para daqui a quatro meses. Tendo quitado a dívida hoje, num banco que utiliza 1,5% ao mês de taxa de desconto comercial, determinar o valor desse desconto.
M = 5.000,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 4 m Dc = ?
Já existe uma homogeneidade entre os tempos das grandezas ���� �� ���� e �������. Ambas estão expressas em meses. Portanto, podemos substituir os valores fornecidos diretamente na fórmula.
Dc = M . i . n
Dc = 5.000,00 . 0,015 . 4
Dc = 300,00
Capítulo 4Para a utilização da calculadora financeira HP-12C, o valor nominal do título deverá ser fornecido no registrador PV.
Como resolver na HP-12C o exemplo 21? f	REG
f 2
5000 CHS PV
1.5 ENTER
12 x i	(taxa ao ano)
4	ENTER
30 x n	(período em dias)
f	INT	(desconto comercial = 300,00)
Observe que não estamos considerando o fato de os bancos, na prática, efe- tuarem o cálculo do desconto comercial acrescido de uma taxa ���������, cobrada sobre o valor nominal (montante), a que denominam de ���� ��
Db = Dc + M . h������� ��������������. Ou seja, o desconto bancário (Db) será calculado pela fórmula:
em que h é a taxa de despesa administrativa. E������ 22
Um título de R$ 8.400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. Sabemos que a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcu- lar o desconto comercial e o valor que o proprietário do título recebeu.
i = 22% a. a. = 0,22 a. a. = 0,22/12 a. m.
n = 3 m
M = 8.400,00
Dc = M . i . n
Dc = 8.400,00 . 0,22/12 . 3 Dc = 462,00
Vc = M – Dc
Desconto simplesVc = 8.400,00 – 462,00
Vc = 7.938,00
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
8400	CHS	PV
22	i	(taxa ao ano)
3	ENTER
30	x	n	(período em dias)
f	INT	(desconto comercial = 462,00) RCL		PV
+	(valor atual = 7.938,00)
Desconto racional simples
O �������� ��������, que representaremos por D�, é determinado aplican- do-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (V�) do título de crédito.
Logo, por definição:
Dr = Vr . i . n
Importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida.
O valor atual é igual ao valor nominal (montante), menos o desconto.
Vr = M – Dr
Da fórmula geral da capitalização simples, temos que:
Capítulo 4E������ 23
Um título de R$ 15.840,00 tem vencimento daqui a 180 dias. Caso esse tí- tulo seja quitado hoje, a uma taxa de desconto racional simples de 2,5% ao mês, por quanto será resgatado?
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 180 dias = 6 m M = 15.840,00
Vr =
Vr =
M
1 + i . n
15.840,00
1 + 0,025 . 6
Vr = 13.773,91
O título será resgatado por R$ 13.773,91. E������ 24
Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título de R$ 24.860,00, vencível em 4 meses e 15 dias, descontado à taxa de 25% ao ano?
M = 24.860,00 Vr = ?
Dr = ?
i = 25% a. a. = 0,25 a. a.
n = 4 m 15 d = 135 d = 135/360 a
Vr =
Vr =
M
1 + i . n
24.860,00
1 + 0,25 . 135/360
Vr = 22.729,14
Desconto simplesDr = M – Vr
Dr = 24.860,00 – 22.729,14
Dr = 2.130,86
O desconto racional simples é de R$ 2.130,86, e o valor do resgate é de R$ 22.729,14.
Relação entre o desconto comercial e o desconto racional
Dc – Dr = M . i . n – Vr . i . n
Dc – Dr = i . n . (M – Vr)
Dc = Dr . (1 + i . n)Dc – Dr = i . n . (Dr) Dc = Dr + Dr . i . n
Verificamos, então, que Dc > Dr. Logo, Vc < Vr. E������ 25
Determine o desconto comercial e o desconto racional sobre um título de R$ 38.400,00, considerando uma taxa de desconto simples igual a 3% ao mês e sabendo que o título vencerá daqui a cinco meses.
M = 38.400,00
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n = 5 m
Dc = M . i . n
Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5
Dc = 5.760,00
Dc = Dr . (1 + i . n)
5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)
5.760,00 = Dr . 1,15
Dr = 5.008,70
Capítulo 4Títulos equivalentes
Ao necessitarmos substituir um título por outro, é necessário termos a certeza de que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se de- seja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, da troca de papéis.
É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi- nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.
Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de
Vimos que 
Vc = M . (1 − i . n)���� ����� ou ���� �� ����������. Na data focal, os valores atuais dos dois títulos são iguais.
Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo de vencimento n1. Portanto, Vc = M1 . (1 – i . n1) pois, pela definição, os valo- res atuais dos títulos descontados na mesma data focal são iguais. Então, temos que:
M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1)
M1 =
M . (1 – i . n)
(1 – i . n1)
E������ 26
Um título de R$ 4.200,00 que vencerá em cinco meses deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esses tí- tulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.
M = 4.200,00
n = 5 m
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n1 = 8 m
M1 =
4.200,00 . (1 – 0,015 . 5)
1 – 0,015 . 8
M1 = 4.414,77
Desconto simplesE������ 27
Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencível em dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencível em cinco meses. Entretanto, não podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los por um único título, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi- nal do novo título, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao mês.
M = 2.560,00
M’ = 3.440,00
n = 2 m n’= 5 m n1 = 8 m
i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
M1 =
M1 =
M . (1 – i . n) + M’. (1 – i . n’)
	
1 – i . n1	1 – i . n1
2.560,00 . (1 – 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 – 0,012 . 5)
	
1 – 0,012 . 8	1 – 0,012 . 8
M1 = 6.340,88Novamente é hora de você exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir, mais uma série de 20 exercícios. Resolva-os e confira com as respostas fornecidas.
Capítulo 4Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes do seu vencimento. Sabendo que a taxa de juro simples corrente é de 24% ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve pagar.
Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci- mento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial?
Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. Qual foi o valor do resgate?
Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado em 21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto racional simples?
Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo resultado da operação forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 à taxa de juro simples de 2,0% ao mês, num período de quatro meses?
Um título de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagável em 30 dias, vai ser substituído por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de juro simples de 30% ao ano, deter- mine o valor nominal do novo título, considerando um desconto comercial simples.
Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento em 3 de novembro. No dia 16 de agosto do mesmo ano, descontou o título num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. Determine o valor desse desconto.
Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação financeira em que um título de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40, noventa dias antes do seu vencimento?
Um título no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu ven- cimento, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo-se que foi utilizada a taxa de desconto comercial simples de 2,18% ao mês, quanto tempo faltava para o vencimento do título?
Desconto simplesUm cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias. Dirigiu-se ao banco e resgatou a duplicata pelo valor líquido de R$ 952,00. Sabendo que esse banco havia cobrado nessa operação uma taxa de des- conto comercial simples de 1,92% ao mês, descubra o valor nominal dessa duplicata.
Um título de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento e, em conseqüência, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72. Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operação?
Um título no valor de R$ 8.000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule o período de antecipação (dias) no resgate do título.
Um título foi descontado à taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 540,00, calcule o valor nominal do título.
Uma pessoa possuía uma dívida de R$ 589,00 e resolveu pagá-la dois meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer- cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de 1,5% ao mês. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?
Uma dívida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Sabendo que o valor líquido pago foi de R$ 458,72, determine era o valor nominal dessa dívida.
Um título de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento, por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de R$ 50,00, estabeleça a taxa de desconto dessa operação.
Uma duplicata de R$ 2.100,00 foi resgatada por R$ 1.848,00, a uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Quanto tempo faltava para o vencimento dessa duplicata?
Uma dívida de R$ 3.000,00 foi paga quatro meses antes do seu venci- mento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês. Qual foi o valor líquido pago pela dívida?
Um título de R$ 4.600,00 foi pago seis meses antes do seu vencimento. Sabendo que o título recebeu um desconto racional simples com uma taxa de desconto de 30% ao ano, determine o valor pago pelo resgate do título.
O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2.388,96, que foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual foi a taxa de desconto utilizada nessa operação?
capítuloCapitalização composta
Capítulo 5Capitalização composta
No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando to- mamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comer- cial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria.
Então, é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o ����
��������. Inicialmente, vamos ver o que é ������������� ��������.
Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de
������������� ��������, ou seja, o juro produzido num período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado de
���� ����� ����.
A cada intervalo em que o juro é incorporado ao valor que o produziu deno- minamos ������� �� �������������.
Em países cuja moeda sofre constantes oscilações, como é o caso brasileiro, recomenda-se o uso de capitalização composta, pois a aplicação de capita- lização simples produz distorções até no curtíssimo prazo.
Montante
M = C + JTal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação financeira, acrescido do juro, compõe o Montante. Representa sempre o valor total de uma dívida ou o valor futuro.
Obtemos o montante calculando o juro simples, período de capitalização a período de capitalização, e incorporando-o ao capital inicial para o pró- ximo período.
E������ 28
Determinar o montante produzido por um capital de R$ 100,00, aplicado a juro composto de 10% ao mês, capitalizado mensalmente, durante três meses.
C = 100,00
i = 10% a. m. = 0,1 a. m.
n = 3 m
M = C . (1 + i), com n = 1 período
100
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
53
Matemática Financeira Aplicada
Capitalização 
compostaApós o primeiro período de capitalização (n = 1 mês): M1 = 100,00 . (1 + 0,1)
M1 = 110,00
Após o segundo período de capitalização (n = 1 mês): M2 = M1 . (1 + 0,1)
M2 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M2 = 121,00
Após o terceiro período de capitalização (n = 1 mês): M3 = M2 . (1 + 0,1)
M3 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M3 = 133,10
M = C . (1 + i)
nComo o fator (1 + i) varia de acordo com a quantidade de períodos de capi- talização, fica fácil definirmos a fórmula geral da capitalização composta:
Vamos resolver esse exemplo utilizando essa fórmula: M = 100,00 . (1 + 0,1)3
M = 133,10
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
100 CHS PV
3 n
10 i
FV	valor final (montante)
Observe que, na capitalização composta, a calculadora financeira HP-12C precisa dos valores do período (n) e da taxa de juro (i) na mesma base de tempo. Deve-se, portanto, manter a homogeneidade nos tempos, diferen- temente da capitalização simples, em que a taxa de juro é fornecida ao ano e o período é fornecido em dias.
Capítulo 5E������ 29
Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês, capi- talizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 após oito meses?
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
M
C =
(1 + i)n
2.816,23
C =
(1 + 0,015)8
C = 2.500,00
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
2816.23 CHS FV
1.5 i
8 n
PV
E������ 30
Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a juro composto, durante quatro meses e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro composto uti- lizada nessa operação?
M
C =
(1 + i)n
4.200,00 =
4.617,95
(1 + i)4
4.200,00 . (1 + i)4 = 4.617,95(1 + i)4 =
4.617,95
4.200,00
(1 + i)4 = 1,09951191
Capitalização 
compostaExtraindo a raiz quarta dos dois lados da igualdade, temos: 1 + i = 1,0240
i = 0,0240 a. m. ou i = 2,4% a. m. Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4200	CHS PV
4617.95 FV
4 n
i
Juro composto
Sabemos que juro é o rendimento produzido por um capital em determi- nado tempo, calculado sobre o capital. Quando sobre esse valor que já tem embutida uma parcela de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre juro), estamos diante de uma ������������� ��������, em que o valor do juro aumenta a cada período de capitalização.
M = C . (1 + i)
nAo final de cada período de capitalização, temos um montante parcial. Por- tanto, para a determinação do montante total de uma operação financeira, utilizamos a fórmula:
Como M = C + J: C + J = C . (1 + i)n J = C . (1 + i)n – C
J = C . [(1 + i)
n 
− 1]Assim, chegamos à fórmula geral do juro composto. E������ 31
Determinar o juro produzido por um capital de R$ 12.000,00, aplicado a juro composto de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um ano.
Capítulo 5C = 22.000,00
i = 1,4% a. m. = 0,014 a. m.
n = 1 a = 12 m
J = C . [(1 + i)n − 1]
J = 12.000,00 . [(1 + 0,014)12 − 1]
J = 12.000,00 . 0,181559
J = 2.178,71
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
12000 CHS PV
1.4 i
12 n
FV valor final	(montante = 14.178,71)
RCL	PV	(capital = −12.000,00) (a tecla RCL chama para o visor uma posição de memória qualquer)
+	(valor dos juros = 2.178,71)
E������ 32
Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?
M = C . (1 + i)n
M = 25.000,00 . (1 + 0,02)24
M = 40.210,93
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
Capitalização 
composta25000 CHS PV
2 i
24	n FV
E������ 33
Paulo possui um título com vencimento em cinco meses, com valor nominal de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, com ven- cimento para daqui a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. Sabendo que a taxa de juro composto corrente é de 3% ao mês, pergunta-se se a troca é vantajosa.
n = 5 – 2 = 3 meses
i = 3% a. m. = 0,03 a. m. M = 3.400,00
M
C =
(1 + i)n
3.400,00
C =
(1 + 0,03)3
C = 3.111,48
Logo, a troca é vantajosa, pois o título de R$ 3.400,00, daqui a dois meses, valerá R$ 3.111,48 (menos que o novo título que estão oferecendo, no valor de R$ 3.200,00).
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
3400 CHS FV
3 n
3 i
PV
Capítulo 5E������ 34
Beatriz aplicou um capital de R$ 3.000,00 a juro composto, a uma taxa de 2,2% ao mês, durante dez meses. Qual será o montante obtido?
Verificamos que M = C . (1 + i)n
Como tanto a taxa quanto o período estão referenciados a meses, nenhuma transformação se faz necessária. Então:
M = 3.000,00 . (1 + 0,022)10
M = 3.000,00 . 1,24310828
M = 3.729,32
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
3000 CHS PV
10 n
2.2	i FV
E������ 35
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.
Lembre-se: o valor de resgate é o valor nominal ou valor futuro do título. O valor atual é quanto o título vale hoje (valor presente).
Como a taxa e o período estão ambos referenciados a ano, a aplicação da fórmula é imediata.
M = C . (1 + i)n
14.345,00 = C . (1 + 0,288)1
14.345,00
C =
1,288
C = 11.137,42
Capitalização 
compostaPela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
14345	CHS	FV
1	n
28.8	i PV
E������ 36
J = C . [(1 + i)
n 
− 1]Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?
Como a taxa fornecida é mensal, precisamos transformar o período em meses.
Então, n = 12 meses.
J = 6.600,00 . [(1 + 0,016)12 – 1]
J = 6.600,00 . [0,20983041]
J = 1.384,88
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
6600	CHS	PV
12	n
1.6	i
FV
RCL	PV
+
Capítulo 5E������ 37
Uma aplicação a juro composto durante três meses rendeu de juro o valor de R$ 288,44. Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de juro com- posto de 1,88% ao mês, qual foi o capital aplicado?
J = C . [(1 + i)n − 1]
288,44 = C . [(1 + 0,0188)3 – 1]
288,44 = C . 0,05746697
C = 5.019,23
E������ 38
Um televisor custa, à vista, R$ 1.999,00. A loja propõe ao comprador que leve o aparelho sem entrada e o pague de uma só vez, daqui a dois meses, a uma taxa de juro composto de 2,89% ao mês. Por quanto sairá o televisor?
M = C . (1 + i)n
M = 1.999,00 . (1 + 0,0289)2
M = 1.999,00 . 1,05863521
M = 2.116,21
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
1999 CHS PV
2	n
2.89	i FV
Equivalência de taxas
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o mesmo quaisquer que sejam os períodos de capitalização.
Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização composta, uti- liza-se a fórmula:
i
q 
= (1 + i
t
) – 1
q/t
Capitalização 
compostaem que:
iq = taxa que eu quero;
it = taxa que eu tenho;
q = tempo (período) da taxa que eu quero;
t = tempo (período) da taxa que eu tenho.
Evidentemente deverá haver uma homogeneidade nos prazos a que as taxas se referem (q e t deverão estar na mesma base de tempo).
E������ 39
Calcule a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês, pelo critério de juro com- posto.
it = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
q = 1 a = 12 m t = 1 m
iq = ?
q/tiq = (1 + it) – 1
12/1iq = (1 + 0,012)	– 1
iq = 0,153895 a. a. ou 15,3895% a. a.
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	4
STO	EEX	(indicador de estado c é ligado)
100 CHS	PV 101,2 FV
12	1/x	n
i	(taxa equivalente = 15,3895% a. a.)
Capítulo 5Por que pressionamos a seqüência de teclas STO EEX? Essa seqüência ou liga ou desliga o indicador de estado c. Esse indicador informa a calcula- dora científica HP-12C, que deverá trabalhar em uma das duas seguintes funções:
~	será calculada a taxa equivalente em capitalização composta;
~ deverá ser aplicado juro composto o tempo todo, inclusive em período fracionário. Esse assunto ficará mais claro para você no item 5.4 a seguir.
Como foi usada a HP-12C no exemplo 39?
~ No registrador PV, informamos sempre o valor 100, como base de cálculo, para que a taxa equivalente já seja fornecida em percentual;
~ no registrador FV, informamos o resultado da soma entre o valor fornecido no registrador PV e a taxa conhecida;
~ no registrador n, devemos informar o resultado da divisão do tempo da taxa que eu tenho pelo tempo da taxa que eu quero.
E������ 40
Calcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano. it = 20% a. a. = 0,20 a. a.
nt = 1 a = 12 m
nq = 1 m iq = ?
q/tiq = (1 + it) – 1
1/12iq = (1 + 0,2) – 1
iq = 0,01530947 ou 1,530947% a. m.
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	6
Verifique se o indicador de estado c está ligado.
100 CHS PV
120 FV
Capitalização 
composta12 n
i	(taxa equivalente = 1,530947 a. m.)
Período fracionário
Antes de darmos o conceito de período fracionário, vamos lembrar que, quando fornecemos uma taxa de 2% ao mês, estamos considerando que esse percentual de 2% é aplicado durante um mês inteiro. Entretanto, pode- mos ter um número de períodos de capitalização não inteiros. Podemos ter, por exemplo, um valor aplicado durante 1 mês e 15 dias e a capitalização ser mensal; nesse caso, temos um período fracionário. Ou seja, além do mês inteiro, temos um período de 15 dias, que corresponde a uma fração do mês. Estamos falando de ������������� �����������.
Para o cálculo do juro, separamos a parte inteira da parte fracionária.Para a parte inteira, fazemos o cálculo normalmente. Para a parte fracionária, podemos adotar duas convenções: a linear ou a exponencial.
Convenção linear (ou Convenção mista)
Para obter o juro num período fracionário, adotando a convenção linear, fazemos o cálculo em duas etapas:
~	para a parte inteira de tempo (n), calculamos o montante a juro com- posto;
~	para a fração não inteira de tempo (n1), é admitida a formação linear de juro, ou seja, calculamos o montante a juro simples.
Par a convenção linear, portanto, as operações na HP-12C deverão ter o indicador de estado c desligado.
E������ 41
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de juro composto de 2% ao mês, por um período de 4 meses e 15 dias, com capitalização mensal. Qual será o montante obtido, utilizando-se a convenção linear?
M = ?
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 4 m
n1 = 15 d = 15/30 m
M = C . (1 + i)n . ( 1 + i . n1)
Capítulo 5M = 1.000,00 . (1 + 0,02)4 . (1 + 0,02 . 15/30)
M = 1.093,26
Pela calculadora HP-12C:
Inicialmente, certifique-se de que o indicador de estado c esteja desligado. Caso esteja ligado, pressione, na seqüência, as teclas STO EEX, antes do comando FV.
f	REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV	(montante = 1.093,26)
Convenção exponencial
O cálculo do juro num período fracionário, adotando a convenção expo- nencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n1). Então:
M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1
Como as bases são iguais, podemos escrever:
M = C . (1 + i) n+n1
E������ 42
Resolva o exemplo 41 pela convenção exponencial.
Agora, o indicador de estado c deverá estar ligado. Com isso, a HP-12C aplicará juro composto tanto na parte inteira quanto na parte fracionária do tempo.
f	REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV	(montante = 1.093,20)
Capitalização 
compostaObserve que o valor encontrado foi 1.093,20. Por que esse valor é ligei- ramente menor que aquele encontrado no exemplo 41, no qual o juro da parte fracionária foi simples?
A resposta a essa pergunta é: o juro simples no período fracionário é maior do que o juro composto.
Assim, no dia-a-dia do mundo financeiro, costuma-se utilizar a convenção linear. No caso da máquina financeira HP-12C, o indicador de estado c costuma já estar apagado.
E������ 43
Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 48.000,00 à taxa de 18% ao ano, com capitalização mensal, durante 6 meses e 15 dias, pela convenção exponencial.
M = C . (1 + i)n+n1
i = 18% a. a. = 0,18 a. a. = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 6 m
n1 = 15 d = 0,5 m
M = 48.000,00 . (1 + 0,015)6,5
M = 52.877,45
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
1.5 i
48000 CHS PV
6.5 n
FV
Lembre-se:
 
para
 
melhor
 
fixação
 
dos
 
conteúdos
 
estudados
 
até
 
o
 
momento, é 
necessário 
que 
você exercite. 
A 
seguir, 
você 
tem 
30 
exercícios propostos. 
Resolva-os 
e 
confira 
com 
as 
respostas fornecidas. 
Você 
verá 
que são
 
fáceis.Não se esqueça de que deverá estar ligado o indicador de estado c, pois na convenção exponencial é calculado juro composto o tempo todo.
Capítulo 5Foram aplicados R$ 2.800,00 durante quatro trimestres, a uma taxa de 10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido.
Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação?
A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado em três anos? Usar quatro casas decimais.
Calcule o montante produzido pela aplicação de R$ 9.000,00 durante 105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao mês, no regime de capitalização composta, com convenção exponencial.
Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o ban- co oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Supor capitalização mensal.
Em que prazo um empréstimo de R$ 50.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 107.179,44, sabendo-se que a taxa contratada é de 10% ao semestre?
Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 8.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 8.813,29 no final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use quatro casas decimais.
Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 15.000,00 pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao mês?
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui a três meses. Sabendo que o rendimento desse título é de 1,75% ao mês, determine o seu valor presente.
Marcella possui um título a receber com vencimento para daqui a oito meses, de valor nominal igual a R$ 32.000,00. Kellyn propõe a ela a troca por um título vencível para daqui a quatro meses e no valor de R$ 29.500,00. Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juro composto do mercado, verifique se a troca é vantajosa para Marcella.
Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de juro composto de 18% ao semestre. Utilize cinco casas após a vírgula.
Capitalização 
compostaDetermine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juro composto de 36% ao ano. Utilize cinco casas após a vírgula.
Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao tri- mestre, capitalizáveis trimestralmente, acrescentando juro simples na parte fracionária.
Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.
Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.
Qual será o valor do montante e do juro cobrado por um empréstimo de R$ 55.000,00 por cinco meses, pela taxa de juro composto de 3,25% ao mês?
Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro com- posto de 2,2% ao mês, a partir de um principal de R$ 1.000,00, com capitali- zação mensal?
O capital de R$ 4.300,00 foi aplicado durante 36 meses, à taxa de juro de 9% ao semestre. Calcule o montante produzido pela aplicação, supondo capitalização semestral.
A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oito meses, obter-se um montante de R$ 42.000,00? Utilize cinco casas após a vírgula.
Qual foi a taxa de juro semestral utilizada, segundo a qual a impor- tância de R$ 10.000,00 foi remunerada produzindo um montante de R$ 15.200,00 no prazo de dois anos? Utilize cinco casas após a vírgula.
O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado durante seis meses e produziu o montante, a juro composto, de R$ 2.744,35. Calcule a taxa de juro mensal de aplicação do capital. Utilize cinco casas após a vírgula.
Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6 % ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?
O capital de R$ 1.450,00 foi aplicado durante 15 dias, à taxa de 4% ao mês. Calcule o juro composto produzido pela aplicação. Lembre-se de que é um período fracionário.
O capital de R$ 38.440,00 foi aplicado durante três meses, à taxa de 9% ao semestre. Calcule o montante, a juro composto, supondo a capitalização mensal. Utilize para a taxa cinco casas após a vírgula.
Capítulo 5Um televisor é vendido por R$ 300,00 de entrada e mais uma parcela única de R$ 990,00 a ser paga três meses após a compra. Determine a taxa de juro composto mensal dessa operação financeira, sabendo que esse tele- visor custa R$ 1.100,00 à vista. Utilize cinco casas após a vírgula.
Qual será o montante produzido pela aplicação do capital de R$ 13.000,00 a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, capitalizado anual- mente, ao fim de três anos?
Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro com- posto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos se- guintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido.
Em que prazo uma aplicação de R$ 15.800,00,em regime de capitali- zação composta mensal, a uma taxa de juro de 0,1% ao dia, produziu um montante de R$ 22.755,97?
O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado durante dez meses e produziu o montante, a juro composto, de R$ 6.094,97. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.
O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.
T
axas
capítulo
Capítulo 6Taxas
Já estudamos bem as taxas de juros. Precisamos, agora, diferenciar bem o que é uma ���� ������� de uma ���� �������. Precisamos, ainda, diferen- ciar bem uma ���� ���� de uma ���� ��������.
Taxa nominal
Ao nos dirigirmos a um agente financeiro e questionarmos sobre o valor da taxa que está utilizando para empréstimo a pessoa física, é comum sermos informados da taxa anual que está sendo praticada naquele momento. En- tretanto, o prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor, geralmente mensal.
A essa taxa que nos informaram damos o nome de ���� �������.
Sua transformação para uma periodicidade menor é realizada de forma proporcional.
O juro costuma ser capitalizado mais de uma vez no período a que se refere a taxa. Por exemplo, quando fazemos um empréstimo bancário para pagar em um ano, a capitalização ocorre mês a mês, durante esse ano, mesmo quando o pagamento é realizado em uma única parcela, ao final do período contratado.
E������ 44
Taxa de 24% a. a., com capitalização mensal. Taxa mensal = 24% / 12 = 2% a.m.
E������ 45
Taxa de 36% a. a., com capitalização bimestral. Taxa bimestral = 36% / 6 = 6% a. b.
E������ 46
Taxa de 20% a. s., com capitalização trimestral. Taxa trimestral = 20% / 2 = 10% a. t.
Em linhas gerais, tem-se que:
em que:
70
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo
71
Matemática Financeira Aplicada
T
axasi1 = taxa conhecida;
i2 = taxa desconhecida;
n1 = período da taxa conhecida;
n2 = período da taxa desconhecida. E������ 47
O valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa nominal de 36% ao ano, durante um ano. Calcule o montante obtido, considerando:
capitalização semestral;
capitalização trimestral;
capitalização bimestral;
capitalização mensal.
n = 1 a = 2 s = 4 t = 6 b = 12 m
i = 36% a. a. = 0,36 a. a. i = 18% a. s. = 0,18 a. s. i = 9% a. t. = 0,09 a. t.
i = 6% a. b. = 0,06 a. b.
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
Capitalização semestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,18)2
M = 6.962,00
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
5000 CHS PV
18 i
n
FV
Capítulo 6Capitalização trimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,09)4
M = 7.057,91
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
5000	CHS	PV
9	i
4	n
FV
Capitalização bimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,06)6
M = 7.092,60
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f	2
5000	CHS	PV
6	i
6	n
FV
Capitalização mensal:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,03)12
M = 7.128,80
T
axasPela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
5000 CHS PV
i
12	n FV
Taxa efetiva
Quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, temos uma ���� �������.
Logo, não importa por quanto tempo o capital será acrescido de juro, o resultado final (o montante) será o mesmo.
No caso da taxa efetiva, o juro é capitalizado uma única vez no período a que se refere a taxa.
E������ 48
Um banco emprestou o capital de R$ 4.000,00 a ser devolvido em parcela única daqui a um ano. Sabendo que a taxa nominal cobrada é de 10,5% ao ano, com capitalização mensal, calcule quais serão o montante e a taxa efetiva.
i = 10,5% a. a. = 0,105 a. a. = 0,00875 a. m. (taxa nominal)
M = C . (1 + i)n
M = 4.000,00 . (1 + 0,00875)12
M = 4.440,81
Pela calculadora HP-12C: f	REG
f 2
4000 CHS PV
12 n
0.875 i FV
Capítulo 6Para o cálculo exato, observe que esse montante foi arredondado. Seu valor, na realidade, é de R$ 4.440,8138.
Então, a taxa ao ano, na realidade, é:
M = C . (1 + i)1
4.440,8138 = 4.000,00 . (1 + i)
1 + i = 1,110203
i = 0,110203 ou i = 11,0203% a. a.	(taxa efetiva) Pela calculadora HP-12C, basta pressionar:
1 n
i
6.3 Taxa real e taxa aparente
Seria correto dizer, quando se trata de taxa de juro, que as aparências enga- nam? É isso mesmo. Você não pode deixar-se enganar quando lhe disserem que sua caderneta de poupança rendeu, em um único mês, dois por cento. Por que isso?
A resposta é simples. Dentro desse percentual está incluída a inflação do período considerado. Portanto, descontada a inflação, o rendimento é bem menor. Precisamos, então, conhecer bem as definições a seguir.
T��� �������� é a taxa que se utiliza sem se levar em conta a inflação do período.
T��� ���� é a taxa que se utiliza levando-se em consideração os efeitos infla- cionários do período.
A taxa aparente pode ser negativa, caso a correção efetuada sobre o capital tenha sido menor que a inflação do período.
Qual a relação existente entre essas taxas?
Considere um capital C que foi aplicado durante certo tempo n e que re- sultou em um montante M.
1º caso: considere que no período n não houve inflação e a taxa de aplica- ção é, portanto, a taxa aparente ia.
Então:
M = C . (1 + ia)
T
axas2º caso: considere que no período n houve uma inflação I. Logo, o capital foi acrescido não só da taxa real i, mas também da taxa de inflação I.
Então:
M = C . (1 + i) . (1 + I)
Igualando essas duas expressões de M: C . (1 + ia) = C . (1 + i) . (1 + I)
(1 + ia) = (1 + i) . (1 + I)
(1 + i) =
E������ 49
Determine a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja taxa aparente foi de 40% ao ano, durante um ano em que a inflação foi 12%.
i = 1,25 – 1
i = 0,25 ou 25% ao ano
E������ 50
Determine a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja taxa aparente foi de 8% ao mês, em um mês em que a inflação foi 2,86%.
i = 1,05 – 1
i = 0,05 ou 5% ao mês
Capítulo 6E������ 51
Determine a taxa de rendimento real de uma aplicação cuja taxa aparente foi de 4% ao mês, em um mês em que a inflação foi 5%.
i = 0,9905 – 1
i = − 0,0095 ou − 0,95% ao mês (houve prejuízo para o aplicador) E������ 52
Uma pessoa tomou emprestados R$ 3.000,00 e pagou, no final do período, R$ 3.300,00. Essa pessoa pagou, no ato da operação, despesas no valor de R$ 30,00. Determine as taxas nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação, no período, foi de 2%.
Taxa nominal: M = C . (1 + i)n
3.300,00 = 3.000,00 . (1 + i)1
3.300,00 – 3.000,00 = 3.000 . i
no período ou 10% no período
Taxa efetiva: M = C . (1 + i)n
3.300,00 = (3.000,00 – 30,00) . (1 + i)1
3.300,00 = 2.970.00 (1 + i)
3.300,00 – 2.970,00 = 2.970,00 . i
no período ou 11,11% no período
Taxa real:
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é: (3.000,00 – 30,00) . 1,02 = 3.029,40
T
axasM = C . (1 + i)n
3.300,00 = 3.029,40 . (1 + i)1
3.300,00 – 3.029,40 = 3.029,40 . i
no período ou 8,93246% no período
E������ 53
Uma pessoa tomou emprestados R$ 24.850,00 e pagou, no final do período, R$ 28.149,00. Essa pessoa pagou, no ato da operação, despesas no valor de R$ 430,00. Determine as taxas nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação, no período, foi de 3%.
Taxa nominal: M = C . (1 + i)n
28.149,00 = 24.850,00 . (1 + i)1
28.149,00 – 24.850,00 = 24.850,00 . i
no período ou 13,2757% no período
Taxa efetiva: M = C . (1 + i)n
28.149,00 = (24.850,00 – 430,00) . (1 + i)1
28.149,00 = 24.420,00 . (1 + i)1
28.149,00 – 24.420,00 = 24.420,00 . i
no período ou 15,2703% no período
Taxa real:
O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é: (24.850,00 – 430,00) . 1,03 = 25.152,60
M = C . (1 + i)n
28.149,00