N P C L R D M MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA

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L��� R������ D��� �� M�����
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
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L��� R������ D��� �� M�����
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
Supervisão Editorial
Prof.ª Me. Lindsay Azambuja
Análise de Informação
Jerusa Piccolo
Revisão de Texto
Schirley Horácio de Gois Hartmann
Capa
Denis Kaio Tanaami
Projeto Gráfico
Bruno Palma e Silva
Diagramação
Regiane de Oliveira Rosa
Rua Tobias de Macedo Junior, 319
Santo Inácio – CEP 82010-340 – Curitiba – PR – Brasil
Informamos que é de inteira responsabilidade do autor a emissão de conceitos. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a 
prévia autorização do autor.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei n. 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 
do Código Penal.
Castanheira, Nelson Pereira
 Matemática financeira aplicada / Nelson Pereira Castanheira, 
 Luiz Roberto Dias de Macedo. – Curitiba : Ibpex, 2006.
 276 p.
 ISBN 85.87053.79-5
 
 1. Matemática financeira – Problemas, exercícios etc. I. Título
CDD 650.01513
20. ed.
C346m
Ao elaborar o texto deste livro, estivemos atentos à necessidade que as 
pessoas em geral têm em conhecer os fundamentos básicos da matemática 
financeira e, simultaneamente, à dificuldade que comumente encontram 
quando lêem uma obra sobre esse tema cuja linguagem seja demasiada-
mente rebuscada. Procuramos, então, produzir um material de fácil com-
preensão e com exemplos resolvidos a fim de possibilitar o estudo da mate-
mática financeira sem que seja necessária a presença permanente de um 
professor ou profissional da área para auxiliar na aprendizagem.
Temos a certeza de que, utilizada como livro-texto nas disciplinas de Mate-
mática Financeira, Análise de Investimentos e Análise Financeira, esta obra 
poderá contribuir com alunos e educadores no desenvolvimento de suas 
práticas em sala de aula.
Nossa experiência mostrou, ainda, que a iniciação aos princípios da mate-
mática financeira deve ocorrer por meio do esclarecimento quanto à uti-
lização das fórmulas algébricas. Só posteriormente cabe ensinar o uso da 
calculadora financeira, ferramenta indispensável para o profissional que 
necessita de agilidade na resolução de problemas matemático-financeiros 
no dia-a-dia. Optamos por oferecer explicações quanto ao manuseio da 
calculadora HP-12C. Caso o leitor sinta alguma dificuldade nesse sentido, 
poderá consultar o apêndice A desta obra. Assim, do modo como a organi-
zamos, o leitor poderá desenvolver-se nessas duas habilidades, obtendo o 
máximo de aproveitamento dos seus estudos.
Tivemos a intenção também de atender a quem deseja aprender matemá-
tica comercial. Para tal, importantes conceitos foram acrescentados nos 
Apêndices B, C e D – proporcionalidade, grandezas proporcionais, regra 
de três simples e regra de três composta. Dessa forma, ampliamos o alcance 
deste material e esperamos expandir os benefícios que podemos trazer ao 
leitor interessado.
Os Autores.
Nelson Pereira Castanheira é graduado em Eletrônica pela UFPR (1974) e 
em Matemática, Física e Desenho Geométrico pela PUC (1976). 
É especialista em Análise de Sistemas – Processamento de Dados, em Admi-
nistração Financeira e em Informatização.
Concluiu seu mestrado (2002) em Administração de Empresas com ênfase 
em Recursos Humanos (UEX/Espanha) e atualmente cursa o doutorado em 
Engenharia da Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina. 
Atuou como professor e coordenador da Escola Técnica Federal do Paraná, 
como gerente de produtos e serviços da Telebahia, como instrutor e analista 
de dados da Telepar, como professor da Uniandrade, em Curitiba, e como 
professor e assessor da coordenação do Curso de Administração da Univer-
sidade Tuiuti do Paraná. 
É professor e coordenador pedagógico do Instituto Brasileiro de Pós-Gradu-
ação e Extensão – Ibpex – e professor da Faculdade de Tecnologia Interna-
cional, Fatec – onde também atua como professor de ensino a distância. 
No total são 35 anos de experiência no magistério e, em paralelo, 30 anos 
na área empresarial. Nos últimos dois anos, publicou seis livros.
Luiz Roberto Dias de Macedo é licenciado em Matemática pela UFPR 
(1981). Atua profissionalmente como professor de Matemática há 24 anos, 
tendo ministrado essa disciplina em todas as séries da segunda fase do en-
sino fundamental – 5ª a 8ª séries – e nas três séries do ensino médio, tanto 
em escolas e colégios públicos quanto na rede privada.
Sobre os autores
É especialista em Magistério da Educação Básica pelo Instituto Brasileiro 
de Pós-graduação e Extensão – Ibpex (1998) e mestre em Educação pela 
Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR, onde defendeu a 
dissertação de mestrado “A aprendizagem significativa dos conceitos ma-
temáticos e seus reflexos em alunos dos cursos de Administração de Em-
presas” (2004).
Desde 2001, é professor do ensino superior e já lecionou as disciplinas de 
Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico; Matemática Aplicada; Matemática 
Financeira; Estatística Aplicada e Métodos Quantitativos.
Atua como professor da disciplina de Estatística Aplicada na Faculdade 
Internacional de Curitiba - Facinter e na Faculdade de Tecnologia Interna-
cional – Fatec Internacional, sendo que nesta última trabalha nas modali-
dades presencial e a distância, além de ser membro atuante da Assessoria 
da Direção Acadêmica.
Possui outras obras publicadas pela Editora Ibpex: Matemática Aplicada e 
Dados numéricos da empresa: análise e interpretação, ambas em 2004. Participa 
de diversos eventos, seminários e congressos com apresentação de artigos 
que enfocam o ensino e a aprendizagem da Matemática.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Porcentagem 11
Operações financeiras 15
Capitalização simples 21
Desconto simples 39
Capitalização composta 51
Taxas 69
Desconto composto 81
Rendas ou séries uniformes 91
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121
Correção monetária e indicadores 129
Depreciação 139
Operação de arrendamento mercantil - leasing 149
Debêntures 153
Amortizações 163
Referências por capítulo 205
Referências 207
Respostas 215
Apêndices 215
Porcentagem
ca
pí
tu
lo
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo12
C
apítulo 1
1 Porcentagem
Sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes 
iguais e consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso da 
seguinte forma: que chamamos de ����� ���������� ou de ����� 
���������� e se lê �� ��� �����.
Usualmente, utiliza-se o símbolo % para representar porcentagem. No 
exemplo anterior, representaríamos um por cento da seguinte forma: 1%.
Note que cem por cento corresponde ao todo e 100% = =1.
Assim, chama-se 100% de �������.
Chamemos P de principal, ou seja, o todo que temos ou que queremos.
Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo.
Chamemos, agora, i de taxa, ou seja, parte da unidade. A notação i%, que 
se lê i por cento, é usada para representar a fração de :
Então, para determinarmos uma porcentagem x, basta aplicarmos uma 
regra de três simples, conforme vemos a seguir:
Grandeza 1 Grandeza 2
 P 100
 x i
Então: 
1.1 Cálculo da porcentagem
O cálculo de uma porcentagem é extremamente simples. Veja o exemplo 1.
E������ 1
Imaginemos que desejo determinar quanto é 8% (que se lê 8 por cento) de 
250.
,
Matemática Financeira Aplicada 13
Porcentagem
Primeiramente, lembre-se de que o símbolo % informa que devemos dividir 
por 100. Então, queremos determinar quanto vale de 250. Isso significa 
que transformamos 8% em uma razão porcentual. A seguir, substitua a 
preposição de pelo sinal de multiplicação. 
Assim, teremos:
8% de 250 = 
Poderíamos ter efetuado esse cálculo utilizando a proporção
Teríamos então: 
100 . x = 250 . 8
x = 20
Simples e fácil,você não achou?
1.2 Transformação de uma razão qualquer em razão 
 centesimal (ou razão porcentual)
A transformação de uma razão qualquer em razão centesimal tem como 
objetivo descobrir a quantos por cento corresponde a razão dada. Veja o 
exemplo 2.
E������ 2
Desejamos saber a quantos por cento corresponde a razão .
Escrevemos que 
4 . x = 3 . 100
x = 75
Então, ou 75%
Operações financeiras
ca
pí
tu
lo
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo16
C
apítulo 2
2 Operações financeiras
Em qualquer país em que estejamos, seja ele um país de economia bem 
desenvolvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são 
realizadas com a utilização de dinheiro (moeda), com o propósito de au-
ferir lucro.
Naqueles países considerados em desenvolvimento, como é o caso do Bra-
sil, suas economias são abertas visando receber investimentos externos e, 
em conseqüência, gerando novos empregos e contribuindo para o progresso 
do país.
Essas operações, denominadas �����������, requerem os conhecimentos 
que serão mostrados ao longo desta obra.
2.1 Regimes de capitalização
A incorporação do juro ao capital que o produziu é denominada de ����������-
���. Para que possamos compreender com facilidade esse conceito, é necessário, 
primeiro, entendermos o que é ������� e o que é ����.
2.2 Capital
Qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para 
uma operação financeira denomina-se �������. Nós o representaremos por 
C. Temos outros sinônimos para capital, a saber: valor atual, valor presente 
ou principal.
2.3 Juro
Num conceito bastante simples, porém abrangente, ���� é a remuneração 
do capital. Nós o representaremos por J.
O regime de capitalização é que determina a forma de se acumularem os juros. 
Caso o juro incida somente sobre o capital inicial, trata-se de ���� �������, e o 
regime de capitalização correspondente denominamos de ������������� ���-
����. Caso o juro incida sobre o capital mais o juro acumulado anteriormente, 
trata-se de ���� ��������, e o regime de capitalização correspondente deno-
minamos de ������������� ��������.
O conceito de �����, conforme Castanheira & Serenato1, pode ser introdu-
zido por meio das expressões:
~ dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de 
terceiros colocado à nossa disposição;
Matemática Financeira Aplicada 17
O
perações financeiras
~ remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
~ remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado;
~ remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma 
simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Devemos ressaltar que o juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, 
enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Para melhor visualizar 
esse comportamento, observe o quadro 1. Consideramos uma pessoa que 
tenha obtido um empréstimo de R$ 100,00 em uma instituição financeira 
que utiliza uma taxa de juro de 80% ao ano. Qual será a sua dívida no final 
de quatro anos?
QUADRO 1 – Cálculo do juro simples e do juro composto a partir de uma 
taxa de juro de 80% ao ano
Ano
Saldo no início de 
cada ano
Juro de cada ano
Saldo no final de cada 
ano
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta 
Capitaliz. 
simples
Capitaliz. 
composta
1
2
3
4
100,00
180,00
260,00
340,00
100,00
180,00
324,00
583,20
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100=80,00
0,8x100,00= 80,00
0,8x180,00=144,00
0,8x324,00=259,20
0,8x583,20=466,56
 180,00
 260,00
 340,00
 420,00
180,00
324,00
583,20
1.049,76
2.4 Taxa de juro
Falamos em taxa de juro. Afinal, o que é essa taxa?
O juro é calculado por intermédio de uma taxa percentual aplicada sobre o 
capital e que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, tri-
mestre, bimestre, mês, dia. Nós a representaremos por i. Veja os exemplos 
de 3 até 8. Observe, nos mesmos exemplos, como se representa a unidade 
de tempo (a. a., a. s., entre outros).
E������ 3 i = 48% ao ano = 48% a. a.
E������ 4 i = 22% ao semestre = 22% a. s.
E������ 5 i = 15% ao trimestre = 15% a. t.
E������ 6 i = 9% ao bimestre = 9% a. b.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo18
C
apítulo 2
E������ 7 i = 4% ao mês = 4% a. m.
E������ 8 i = 0,3% ao dia = 0,3% a. d.
E������ 9
Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao 
ano proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
36% de 5.000,00 = 36/100 . 5.000,00 = 1.800,00 
E������ 10
Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 2% ao 
mês proporcionará, ao final de um ano, um total de juro igual a:
2% de 5.000,00 = 2/100 . 5.000,00 = 100,00
Mas esse é o valor do juro após um mês. Como desejamos calcular o juro 
ao final de um ano, devemos multiplicar esse resultado por 12 (um ano 
tem 12 meses) e obtemos:
J = 1.200,00
Que cuidados devemos ter ao resolver esses exemplos?
Dois são os cuidados. Primeiro, observe que, para o cálculo do juro sim-
ples sobre um capital C, é necessário transformar a taxa de juro em uma 
fração decimal. Ou seja, 2% é igual a 0,02 (2 dividido por 100). Depois, 
devemos cuidar para que a taxa e o tempo sejam considerados na mesma 
unidade de tempo. Isso quer dizer que, se a taxa é apresentada ao mês, o 
tempo deve ser expresso em meses; se a taxa é apresentada ao semestre, o 
tempo deve ser expresso em semestres; e assim por diante. Se no problema 
apresentado isso não ocorrer, podemos tanto transformar a taxa quanto o 
tempo para a obtenção da homogeneidade entre ambos.
2.5 Por que se cobra juro?
É comum questionarmos por que se cobra uma taxa de juro tão elevada 
nas operações financeiras. A composição da taxa de juro leva em conta que 
o possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimônio, está 
atento para os seguintes fatores:
~ nem sempre o tomador do empréstimo paga sua dívida ao possuidor 
do dinheiro (risco de crédito);
Matemática Financeira Aplicada 19
O
perações financeiras
~ é possível que o tomador do empréstimo atrase o pagamento da sua 
dívida (risco de liquidez);
~ o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimônio;
~ o possuidor do dinheiro precisa precaver-se quanto a uma possível 
desvalorização do capital ao longo do tempo, em função de um pro-
cesso inflacionário (risco de mercado);
~ todo empréstimo implica despesas operacionais, contratuais e tribu-
tárias tais como impostos;
~ há a possibilidade do não-retorno de investimento em função de pro-
blemas operacionais da instituição onde os recursos foram aplicados 
(risco operacional);
~ existe a possibilidade de perdas em função da situação econômica 
do país (risco-país).
2.6 Risco-país
Outro fator responsável pela elevação ou pela diminuição da taxa de juro 
é o �����-����. O nível do risco-país mostra a confiança que os investidores 
(em nível mundial) têm quanto ao fato de o país honrar ou não suas dívidas. 
Quanto maior for a incerteza ou o risco associado a uma aplicação finan-
ceira, maior é a taxa de juro exigida pelo investidor. Quanto mais alto for o 
risco-país, maior é a possibilidade, no ponto de vista do investidor, de que o 
país pode dar “calote”. Em conseqüência, quanto maior a possibilidade do 
calote, maior é o valor do juro que o país deve oferecer para convencer os 
investidores a comprar seus títulos.
Caso tenhamos duas aplicações financeiras com riscos diferentes, ambas 
oferecendo o mesmo retorno (a mesma taxa de juro), parece-nos óbvio que 
os investidores optem pela aplicação menos arriscada.
Para o cálculo do risco-país, é feita uma comparação entre o juro que um 
país paga por títulos de sua dívida e o que o Tesouro dos Estados Unidos da 
América paga pelos seus, pois ele é considerado como risco zero de calote.
Imaginemos, como exemplo, que o risco-país do Brasil está em 1.000 pon-
tos. Isso quer dizer que os títulos da dívida brasileirapagam 10% acima 
dos juros pagos pelos Estados Unidos da América2. 
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo20
C
apítulo 2
2.7 Montante
Verificamos que um capital, ao longo do tempo, precisa ter seu poder de com-
pra mantido. Para tal, investimos o capital com o propósito de recebermos 
juro. Com a soma do capital ao juro, obtemos um valor a que denominamos 
�������� e que representaremos por M. Temos, então, a fórmula para o cál-
culo do montante:
 M = C + J
2.8 Período ou prazo
Ao tempo sobre o qual um capital C ou recebe ou paga um juro J denomina-
mos de ������� ou ����� e o representaremos por n. Em outras palavras, n 
indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Pode ainda se 
referir à quantidade de parcelas de uma renda, como veremos adiante.
Capitalização simples
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C
apítulo 3
3 Capitalização simples
Denominamos de ������������� ������� o regime de capitalização em que 
a taxa de juro utilizada é simples. Nesse caso, o juro é calculado, sempre, 
sobre o valor do capital inicial. Observe que é indiferente se o tomador do 
empréstimo pagará o juro periodicamente (por exemplo, mensalmente) ou 
o pagará em uma parcela única ao final do período contratado, uma vez 
que ele é constante e proporcional ao capital sobre o qual incide.
Como para cada intervalo (período ou prazo) a que corresponde a taxa de 
juro temos um mesmo valor de juro, se quisermos saber o total no período, 
basta multiplicar o valor de cada intervalo pelo número de intervalos. Já 
havíamos demonstrado esse fato no exemplo 10.
Temos, então, a fórmula do Juro Simples:
 J = C . i . n
Já mostramos que:
 M = C + J
Então:
M = C + C . i . n
 M = C . (1 + i . n) 
Essa é a fórmula geral da capitalização simples.
Mas onde é utilizado o juro simples? Com que tipo de juro trabalha o mer-
cado financeiro? 
O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto 
nas suas operações. A calculadora financeira HP-12C está preparada para tal 
situação. O juro simples é utilizado, por exemplo, na aplicação denominada 
��� �����, que é um empréstimo diário e renovável, com juros comerciais e 
com taxas mensais, ou em descontos de cheques ou de duplicatas. Veremos 
adiante que, quando saldamos uma dívida em que temos períodos que não 
são inteiros (por exemplo, temos uma taxa de juro ao mês e atrasamos uma 
dívida por 23 dias), nos é cobrado o juro simples por ser mais danoso. Não 
podemos esquecer, ainda, a utilização do juro simples em contas vinculadas 
por saldo devedor (juro simples postecipado).
Para a fixação de todos esses conceitos, precisamos analisar alguns exem-
plos resolvidos.
Matemática Financeira Aplicada 23
C
apitalização sim
ples
E������ 11
Imaginemos um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma par-
cela única cinco meses após, a uma taxa de juro simples de 2% ao mês. De 
quanto será o montante ao final do quinto mês?
Mês Saldo inicial Juros Saldo final (m)
0
1
2
3
4
5
–
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
–
5.000,00 x 0,02 = 100
5.000,00 x 0,02 = 100
5.000,00 x 0,02 = 100
5.000,00 x 0,02 = 100
5.000,00 x 0,02 = 100
5.000,00
5.100,00
5.200,00
5.300,00
5.400,00
5.500,00
Resolvendo esse problema pela fórmula geral da capitalização simples, te-
remos:
M = C . (1 + i . n)
M = 5.000,00 . (1 + 0,02 . 5)
M = 5.000,00 . (1,10)
M = 5.500,00
Vamos, a partir de agora, utilizar a calculadora financeira HP-12C.
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C em operações de juro 
simples, é necessário atentar para o fato de que o período deve ser fornecido, 
sempre, em dias. A taxa de juro simples, por sua vez, deve ser fornecida, 
sempre, ao ano. Vejamos, então, como seria resolvido o exemplo 11.
f REG limpa os registradores (memórias) financeiros
f 2 duas casas decimais no visor 
150 n introduz o período em dias (observar que 
 consideramos o ano comercial, ou seja, 360 dias)
24 i taxa ao ano
5000 CHS PV capital inicial (data zero) com sinal de fluxo de caixa
f INT valor do juro simples (500,00)
+ valor do montante (5.500,00)
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo24
C
apítulo 3
E������ 12
Um valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 2% ao mês, 
durante oito meses. Qual é o valor do juro simples?
Como resolver pela fórmula?
J = C . i . n
C = 5.000,00
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 8 m
J = 5.000,00 . 0,02 . 8
J = 800,00
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG limpa os registradores financeiros
f 2 queremos duas casas decimais
5.000 CHS PV capital com sinal de fluxo de caixa
2 ENTER
12 x i taxa de juro ao ano
8 ENTER
30 x n período em dias (ano comercial = 360 dias)
f INT valor do juro simples (800,00)
E������ 13
Qual o rendimento de R$ 3.200,00 em quatro meses, a uma taxa de juro 
simples de 36% ao ano?
Resolvendo pela fórmula:
C = 3.200,00
i = 36% a. a. = 36/12 % a. m. = 3,0% a. m. = 0,03 a. m.
J = C . i . n
J = 3.200,00 . 0,03 . 4
J = 384,00
Matemática Financeira Aplicada 25
C
apitalização sim
ples
Por que dividimos a taxa fornecida por 12? Porque o período fornecido é 
uma quantidade de meses e necessitamos manter a homogeneidade nos 
tempos das grandezas ������� (n) e ���� �� ���� (i). Optamos por trans-
formar a taxa anual em taxa mensal. Poderíamos ter mantido a taxa ao ano 
e transformado o período em anos (4 meses = 4/12 ano).
Como resolver esse problema utilizando a calculadora HP-12C?
f REG limpa os registradores financeiros
f 2 queremos duas casas decimais
3200 CHS PV capital com sinal de fluxo de caixa
36 i taxa fornecida ao ano
4 ENTER
30 x n período fornecido em dias
f INT valor do juro simples (384,00)
3.1 Juro ordinário
O juro é ��������� quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, 
quando consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. 
Assim, o ano comercial tem 360 dias.
3.2 Juro exato
O juro �����, como o nome sugere, considera o número exato de dias que 
tem cada mês do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias. No caso do ano 
bissexto, consideram-se 366 dias.
Lembramos que, para a utilização da HP-12C, caso o tempo não esteja em 
dias, devemos transformá-lo; se a taxa fornecida não for ao ano, devemos 
transformá-la.
E������ 14
Calcular o juro exato e o juro ordinário de um capital de R$ 10.000,00 que foi 
aplicado durante os meses de julho e agosto, a uma taxa de 48% ao ano.
a) Juro ordinário (ano comercial):
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo26
C
apítulo 3
n = 2 meses = 2/12 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 2/12
J = 800,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
2 ENTER
30 x n
f INT juro ordinário (800,00, considerando 
 n = 60 dias)
b) Juro exato (ano civil):
C = 10.000,00
i = 48% a. a. = 0,48 a. a.
n = 62 dias = 62/365 anos
J = C . i . n
J = 10.000,00 . 0,48 . 62/365
J = 815,34
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
10000 CHS PV
48 i
62 n
f INT juro ordinário (826,67, considerando 
 n = 62 dias)
Matemática Financeira Aplicada 27
C
apitalização sim
ples
R↓ tecla roll down: mostra no visor o principal
x y juro exato (815,34)
Você observou nesse exemplo que a calculadora financeira HP-12C calcula, 
ao mesmo tempo, o juro ordinário e o juro exato. Para visualizar os dois, 
basta pressionar as teclas na seqüência mostrada no exemplo 14.
E������ 15
Calcular o montante acumulado ao final de 40 dias, a partir de um capital 
de R$ 1.000,00, com juro simples de 48% ao ano, nas hipóteses de ano co-
mercial e de ano civil.
a) Juro ordinário (ano comercial):
M = C . (1 + i . n)
M = 1.000,00 . (1 + 0,48/360. 40)
M = 1.053,33
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT juro ordinário (53,33)
+ montante (1.053,33)
b) Juro exato (ano civil):
M = C . (1 + i . n)
M = 1000,00 . (1 + 0,48/365 . 40)
M = 1.052,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
><
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo28
C
apítulo 3
40 n
48 i
1000 CHS PV
f INT juro ordinário (53,33)
R↓
x y juro exato (52,60)
+ montante (1.052,60)
E������ 16
Calcular o juro exato de um capital de R$ 50.000,00 aplicado durante 60 
dias, à taxa de 24% ao ano.
C = 50.000,00
i = 24% a. a. = 0,24 a. a.
n = 60 dias = 60/365 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 60/365
J = 1.972,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
60 n
f INT juro ordinário (2.000,00)
R↓
x y juro exato (1.972,60)
><
><
Matemática Financeira Aplicada 29
C
apitalização sim
ples
3.3 A regra do banqueiro
Podemos ainda calcular o valor do juro simples utilizando a ����� �� ���-
������. Para tal, ao se estabelecer a homogeneidade entre o período e a taxa 
de juro, é usado o ano comercial (360 dias) como no juro ordinário, mas o 
período (número de dias) segue o princípio do juro exato, ou seja, segue o 
calendário do ano civil.
E������ 17
Determinar o juro, pela regra do banqueiro, gerado por um capital de R$ 
50.000,00 aplicado durante o mês de março, a uma taxa de juro simples de 
24% ao ano.
C = 50.000,00
i = 24% a.a. = 0,24 a. a.
n = 31 dias = 31/360 anos
J = C . i . n
J = 50.000,00 . 0,24 . 31/360
J = 1.033,33
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
50000 CHS PV
24 i
31 n 
f INT juro do banqueiro (1.033,33)
E������ 18
Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 7.000,00, resgatável daqui a 
dois anos, está à venda. Por quanto devo comprá-la, sabendo que desejo 
um juro mínimo de 30% ao ano?
O que é ����� �������? Trata-se do valor expresso no documento. No caso, 
expresso na letra de câmbio. É, portanto, o valor de uma dívida da data do 
seu vencimento.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo30
C
apítulo 3
Caso queiramos antecipar o pagamento da dívida, devemos calcular o ����� 
����� da mesma. Valor atual é, portanto, o valor da dívida a qualquer mo-
mento antes da data do seu vencimento.
C = ? (valor atual)
M = 7.000,00 (valor nominal)
i = 30% a. a. = 0,30 a. a.
n = 2 anos
M = C . (1 + i . n)
7.000,00 = C . (1 + 0,30 . 2)
C = 4.375,00
Devo comprar a letra de câmbio por, no máximo, R$ 4.375,00.
3.4 Juro do cheque especial
Para o cálculo do juro aplicado no saldo devedor de um correntista, no 
seu cheque especial, os bancos utilizam-se de um método conhecido como 
������ ����������.
Consideremos diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes 
prazos (n1, n2, ... , nn), utilizando-se uma taxa i, constante, de juro simples.
Já sabemos que o juro simples é determinado pela fórmula J = C . i . n
Então, o cálculo do juro devido em cada período nk, com k variando de 1 
até n, é:
J1 = C1 . i . n1
J2 = C2 . i . n2
 .
 .
 .
Jn = Cn . i . nn
Sabemos que o valor total do juro a ser pago ao final de certo prazo é:
J = J1 + J2 + ... + Jn
J = C1 . i . n1 + C2 . i . n2 +... + Cn . i . nn
Matemática Financeira Aplicada 31
C
apitalização sim
ples
Sm=
J = i . (C1 . n1 + C2 . n2 +... + Cn . nn)
Então: 
 J = i . ∑ Ck . nk com k variando de 1 até n.
Exemplo 19
O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos 
em determinado mês:
SALDO DIAS
– R$ 58.000,00 
+ R$ 25.000,00 
– R$ 15.400,00 
+ R$ 110.000,00 
Calcule o valor do juro pago por essa empresa, nesse mês, para uma taxa 
de juros simples igual a 3% ao mês.
J = 0,03 . (58.000,00 . 4 + 15.400,00 . 10)
J = 0,03 . (232.000,00 + 154.000,00)
J = 11.580,00
Observe que o cálculo do juro devido é efetuado considerando-se apenas 
os dias em que o saldo é negativo.
3.5 Saldo médio
Para o cálculo do saldo médio (Sm) de um correntista, basta determinar a 
média aritmética ponderada entre os saldos do período considerado. Por 
exemplo, como determinar o saldo médio de um mês com 30 dias? 
Consideremos diversos capitais (C1, C2, ... , Cn) aplicados por diferentes 
prazos (n1, n2, ... , nn), respectivamente. Então:
 C1 . n1 + C2 . n2 + ... + Cn . nn
 n1 + n2 + ... + nn
4
8
10
8
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo32
C
apítulo 3
E������ 20
O extrato de um correntista empresarial apresentou os seguintes saldos 
credores em determinado mês:
SALDO DIAS
R$ 140.000,00 6
R$ 920.000,00 2
R$ 330.000,00 10
R$ 210.000,00 12
Calcule o saldo médio dessa empresa nesse mês.
 140.000,00 . 6 + 920.000,00 . 2 + 330.000,00 . 10 + 210.000,00 . 12
 6 + 2 + 10 + 12
 840.000,00 + 1.840.000,00 + 3.300.000,00 + 2.520.000,00
 30
Sm = 283.333,33
Agora que você já analisou 20 exemplos resolvidos, está na hora de exer-
citar para melhor fixar os conceitos transmitidos até o momento. Vem aí 
uma série de 50 exercícios propostos. Resolva-os e confira as respostas 
encontradas. Você verá que é fácil. Mãos à obra!
Lembre-se:
Quando falamos de dinheiro, nossa moeda é o ���� e só trabalhamos 
com centavos no nosso dia-a-dia. Então, devemos sempre considerar ape-
nas duas casas após a vírgula. Entretanto, ao trabalhar com taxa de juro, 
devemos considerar, no mínimo, cinco casas após a vírgula. Isso porque, 
ao longo do tempo, um arredondamento na taxa de juro pode significar 
grandes perdas de dinheiro para alguma das partes envolvidas.
E como fazer o arredondamento?
A regra, na matemática, é simples. Ela vale também para as calculadoras 
financeiras, que, sozinhas, fazem esse arredondamento.
Sm=
Sm=
Matemática Financeira Aplicada 33
C
apitalização sim
ples
Considere os algarismos de 0 a 9 divididos em duas partes iguais: 0 a 
4 e 5 a 9.
Caso o algarismo que você deseja eliminar esteja no primeiro intervalo 
(0 a 4), apenas ignore o algarismo. No entanto, se esse algarismo estiver 
no segundo intervalo (5 a 9), ao eliminá-lo, não se esqueça de somar 1 
(um) ao algarismo imediatamente anterior. Vejamos um exemplo. 
Queremos dividir 54 por 365 e apresentar o resultado com seis casas 
após a vírgula. Na divisão, obtivemos 0,147945205. Como queremos 
representar com seis casas após a vírgula, devemos eliminar as três úl-
timas (a parte em negrito). Então, olhamos para o primeiro algarismo 
após a sexta casa: é um 2. Logo, para eliminar tudo a partir desse 2, basta 
ignorar os algarismos eliminados, pois o 2 encontra-se no intervalo de 
0 a 4. Suponhamos, entretanto, que queiramos representar o resultado 
dessa divisão com apenas três algarismos após a vírgula. Então, deve-
mos eliminar todos os algarismos a partir do 7. Como após o 7 temos 
um algarismo que pertence ao segundo intervalo (é um algarismo 9), ao 
eliminar esses algarismos (945205), devemos somar uma unidade ao al-
garismo imediatamente anterior ao 9. O resultado, portanto, será 0,148 
(somamos 1 ao 7). 
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo34
C
apítulo 3 1. Qual será o montante, no final de oito meses, se aplicarmos um capital 
de R$ 90.000,00 a uma taxa de juro simples de 54% ao ano?
2. Que capital, aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano, apre-
sentou, após 1 ano 6 meses e 15 dias, um montante de R$ 233.250,00?
3. Uma caderneta de poupança rendeu, em determinado mês, R$ 48,30. Su-
pondo-se que nesse mês a rentabilidade total tenha sido de 1,15%, quanto 
estava depositado nessa poupança antes de ser creditado o rendimento?
4. Uma pessoa investiu R$ 12.000,00 a uma taxa de juro simples de 1,2% ao 
mês, pelo período de cinco meses. Qual foi o montante obtido?
5. Qual foi o valor do montante bruto obtido por uma pessoa que investiu 
R$ 115.000,00 por 20 dias, a uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês?6. Qual será o valor do juro a ser pago, correspondente a um empréstimo de 
R$ 40.000,00, sendo a taxa de juro de 2,4% ao mês, por um período de cinco 
meses, no regime de capitalização simples?
7. Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por 125 dias, a uma taxa de juro simples 
de 3% ao mês. Calcule o juro e o montante obtidos.
8. Foram aplicados R$ 8.000,00 pelo período de 183 dias, que renderam 
R$ 1.024,80 de juro. Quais foram as taxas de juro simples mensal e anual 
aplicadas?
9. Qual foi o valor do juro obtido por um investidor que aplicou R$ 12.500,00 
pelo período de 40 dias, a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês?
10. Qual será o capital necessário para obter um montante de R$ 200.000,00 
daqui a seis anos, a uma taxa de juro simples de 25% ao ano?
11. Qual o montante de uma aplicação de R$ 7.500,00 pelo prazo de 20 dias, 
a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês?
12. Qual será a taxa mensal de juro simples que fará um capital de R$ 
200.000,00 formar um montante de R$ 272.000,00 daqui a 12 meses?
13. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 2.400,00 a uma taxa de juro 
simples de 30% ao ano, durante nove meses.
Matemática Financeira Aplicada 35
C
apitalização sim
ples
14. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 20% 
ao ano, durante os meses de junho e julho. Determine o juro simples dessa 
aplicação e o montante, considerando:
a) juro ordinário;
b) juro exato;
c) juro pela regra do banqueiro.
15. Uma loja vende um produto por R$ 9.999,00 à vista. A prazo, vende por 
R$ 11.439,00, sendo R$ 1.999,00 de entrada e o restante em um pagamento 
único após três meses. Qual é a taxa de juro simples da operação?
16. Um capital de R$ 1.245,00 aplicado a juro simples, durante três meses, 
resultou num montante de R$ 1.301,03. Qual foi a taxa de juro simples utili-
zada nessa operação?
17. Uma pessoa aplicou certa quantia a juro simples de 24% ao ano, durante 
75 dias. Após esse prazo, recebeu R$ 23.100,00. Calcule o capital aplicado.
18. Um capital de R$ 20.550,00 aplicado à taxa de juro simples de 2,0% ao 
mês produziu um montante de R$ 25.482,00. Calcule o prazo de aplicação.
19. Um fazendeiro possuía um estoque de 2.000 sacas de soja e, na expec-
tativa de alta de preço do produto, recusou a oferta de compra desse esto-
que a R$ 1.000,00 por saca. Três meses mais tarde, vendeu o estoque a R$ 
1.100,00 por saca. Sabendo que a taxa de juro simples de mercado é de 4% 
ao mês, verifique se o fazendeiro teve prejuízo. 
20. Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 1,2% ao mês, a partir de um capital de R$ 1.450,00?
21. Qual será o montante acumulado em três anos, a uma taxa de juro sim-
ples de 3% ao mês, a partir de um capital de R$ 2.000,00?
22. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 3.000,00 numa instituição fi-
nanceira que remunera seus depósitos a uma taxa de juro simples de 4,5% 
ao trimestre, no regime de juro simples. Informe o montante que poderá 
ser retirado no final do quinto trimestre.
23. De quanto será o juro simples cobrado num empréstimo de R$ 50.000,00 
em seis meses, pela taxa de juro simples de 2,25% ao mês?
24. Qual o capital que deve ser aplicado para se obter um montante de R$ 
31.968,00 em quatro semestres, a uma taxa de juro simples de 24% ao ano? 
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo36
C
apítulo 3
25. Qual foi o capital emprestado que produziu o montante de R$ 42.160,00 
pela taxa de juro simples de 2% ao mês, no prazo de um ano?
26. Qual o capital que, aplicado a 6% ao trimestre, rendeu juro simples de 
R$ 2.160,00 ao final de três trimestres?
27. Qual o prazo de aplicação, em dias, do capital de R$ 5.000,00 que, apli-
cado à taxa de juro simples de 0,05% ao dia, produziu o montante de R$ 
5.050,00?
28. Numa aplicação de R$ 1.750,00, à taxa de juro simples de 20% ao ano, o 
montante recebido foi de R$ 4.200,00. Determine o prazo da aplicação.
29. Iolanda aplicou R$ 1.800,00 à taxa de juro simples de 36% ao ano. Se ela 
recebeu um montante de R$ 2.124,00, qual foi o prazo da aplicação?
30. Eduardo aplicou um capital de R$ 8.000,00 para receber R$ 11.200,00 
daqui a 24 meses. Qual foi a sua rentabilidade semestral (%)?
31. Qual foi a taxa de juro simples trimestral que, aplicada a uma impor-
tância de R$ 2.500,00, produziu um montante de R$ 2.950,00 no prazo de 
nove meses?
32. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 2.000,00 ou então por R$ 320,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 2.100,00 cinco meses após a compra. 
Qual foi a taxa mensal de juro simples do financiamento?
33. Um carro é vendido à vista por R$ 25.000,00 ou então por R$ 5.000,00 
de entrada, mais uma parcela de R$ 21.850,00 após dois meses. Qual foi a 
taxa mensal de juro simples do financiamento? 
34. Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00, 
mas pode ser adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 20% 
do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 880,00 para 60 dias 
após a compra. Calcule a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja na 
venda a prazo.
35. Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro sim-
ples de 24% ao ano, rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
36. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 2.650,00 a uma taxa de 
juro simples de 40% ao ano, durante seis meses.
37. Foram aplicados R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. Qual 
foi o prazo da aplicação, sabendo que o juro obtido foi de R$ 10.000,00?
Matemática Financeira Aplicada 37
C
apitalização sim
ples
38. Qual foi o prazo de um empréstimo de R$ 38.500,00, se o juro foi de R$ 
6.160,00 e a taxa de juro simples de 3,2% ao mês?
39. Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o seu juro 
seja igual a duas vezes o seu valor, se for aplicado a uma taxa de juro sim-
ples de 20% ao ano?
40. Pedro Henrique aplicou R$ 4.800,00 à taxa de juro simples de 12% ao 
ano. Se ele recebeu R$ 384,00 de juro, obtenha o prazo da aplicação.
41. O capital de R$ 800,00 foi aplicado durante quatro meses, a uma taxa de 
juro simples de 2% ao mês. Qual foi o valor do juro recebido pelo aplicador?
42. Considerando-se o exercício anterior, quanto o aplicador resgatou após 
o quarto mês de aplicação?
43. Uma dívida de R$ 2.350,00 foi paga com dois meses de atraso, e foi 
cobrado o valor de R$ 117,50 de juro. Qual foi a taxa de juro simples dessa 
operação financeira?
44. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a juro simples, durante certo tempo e 
obteve o montante de R$ 11.800,00. Sabendo que a taxa de juro simples utilizada 
foi de 1,8% ao mês, determine por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado?
45. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 4.560,00 que foi aplicado 
durante um ano e cinco meses, a uma taxa de juro simples de 1% ao mês.
46. Que capital produziu o montante de R$ 5.535,20 a partir de uma aplica-
ção a juro simples, com taxa de juro igual a 1,5% ao mês, pelo período de 
dois anos?
47. Um capital de R$ 40.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 2% ao 
mês produziu um montante de R$ 58.400,00. Calcule o período dessa apli-
cação.
48. Um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 4% 
ao mês levará quanto tempo para produzir juro equivalente ao valor do 
capital aplicado?
49. Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.000,00 à vista. A prazo, 
vende por R$ 1.160,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante em um 
pagamento único dois meses após a compra. Qual é a taxa de juro simples 
da operação?
50. Um capital foi aplicado durante 400 dias, a uma taxa de juro simples de 
1,8% ao mês e resultou num montante de R$ 3.246,00. Qual foi o valor do 
capital aplicado?
Desconto simples
ca
pí
tu
lo
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo40
C
apítulo 4
4 Desconto simples 
Inicialmente devemos lembrá-lo de que, quando nos dirigimos a um agente 
financeiro e efetuamos um empréstimo ou assumimos uma dívida, precisa-
mos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta ocapital. 
Ou seja, se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é 
normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante 
dessa dívida. O que é ������ �� �������? Basicamente, são de dois tipos:
~ ���� ����������� – um comprovante da aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado. É um título em que necessariamente 
uma das partes é uma pessoa física;
~ ��������� – um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu 
cliente (pessoa física ou jurídica). Portanto, é um título em que necessa-
riamente uma das partes é uma pessoa jurídica.
Você, com toda certeza, conhece o conceito de ��������. Quantas e quan-
tas vezes já terá pedido desconto aqui e ali?
Podemos também imaginar o desconto como aquele benefício que alguém 
merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida (ou o resgate 
antecipado de um título).
Uma operação de desconto, portanto, é efetuada quando conhecemos o 
valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor 
atual desse título.
Assim como no cálculo do juro, para calcular o desconto, precisamos co-
nhecer uma taxa, que será denominada de ���� �� ��������, e um período 
de tempo. Esse período, no caso, é o tempo que falta para o vencimento da 
dívida (ou do título).
Todo título de crédito tem uma data de vencimento. Porém, pode ser ante-
cipadamente resgatado, obtendo-se, com isso, um abatimento denominado 
��������.
Desconto é, portanto, o abatimento concedido sobre um título de crédito em 
virtude de seu resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado 
pelo banco nas operações de capitalização simples, proporcionalmente ao 
prazo antecipado de pagamento.
Temos dois tipos de desconto simples a estudar:
a) � ���������, denominado por alguns autores de �������� ��������;
b) � ��������.
Matemática Financeira Aplicada 41
D
esconto sim
ples
4.1 Desconto comercial simples
O �������� ���������, que representaremos por Dc, é determinado apli-
cando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de 
crédito. Ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida 
no dia do seu vencimento.
Logo, por definição:
 Dc = M . i . n
Importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de perío-
dos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida.
Uma vez determinado o desconto a que o possuidor do título tem direito 
por estar antecipando a sua quitação, determina-se, com facilidade, o valor 
atual (Vc) para a data do resgate do título.
Ou seja:
Vc = M – Dc
Vc = M – M . i . n
 Vc = M . (1 – i . n)
E������ 21
Uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00 com vencimento para daqui a 
quatro meses. Tendo quitado a dívida hoje, num banco que utiliza 1,5% ao 
mês de taxa de desconto comercial, determinar o valor desse desconto.
M = 5.000,00
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 4 m
Dc = ?
Já existe uma homogeneidade entre os tempos das grandezas ���� �� ���� 
e �������. Ambas estão expressas em meses. Portanto, podemos substituir 
os valores fornecidos diretamente na fórmula.
Dc = M . i . n
Dc = 5.000,00 . 0,015 . 4
Dc = 300,00
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo42
C
apítulo 4
Para a utilização da calculadora financeira HP-12C, o valor nominal do 
título deverá ser fornecido no registrador PV.
Como resolver na HP-12C o exemplo 21?
f REG
f 2
5000 CHS PV
1.5 ENTER
12 x i (taxa ao ano)
4 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 300,00)
Observe que não estamos considerando o fato de os bancos, na prática, efe-
tuarem o cálculo do desconto comercial acrescido de uma taxa ���������, 
cobrada sobre o valor nominal (montante), a que denominam de ���� �� 
������� ��������������. Ou seja, o desconto bancário (Db) será calculado 
pela fórmula:
 Db = Dc + M . h 
em que h é a taxa de despesa administrativa.
E������ 22
Um título de R$ 8.400,00 foi descontado três meses antes do seu vencimento. 
Sabemos que a taxa corrente em desconto comercial é de 22% ao ano. Calcu-
lar o desconto comercial e o valor que o proprietário do título recebeu.
i = 22% a. a. = 0,22 a. a. = 0,22/12 a. m.
n = 3 m
M = 8.400,00
Dc = M . i . n
Dc = 8.400,00 . 0,22/12 . 3
Dc = 462,00
Vc = M – Dc 
Matemática Financeira Aplicada 43
D
esconto sim
ples
Vc = 8.400,00 – 462,00 
Vc = 7.938,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
8400 CHS PV
22 i (taxa ao ano)
3 ENTER
30 x n (período em dias)
f INT (desconto comercial = 462,00)
RCL PV
+ (valor atual = 7.938,00) 
4.2 Desconto racional simples
O �������� ��������, que representaremos por D�, é determinado aplican-
do-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (V�) do título de crédito.
Logo, por definição:
 Dr = Vr . i . n
Importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, n é o número de 
períodos antes do vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a 
dívida.
O valor atual é igual ao valor nominal (montante), menos o desconto.
 Vr = M – Dr
Da fórmula geral da capitalização simples, temos que:
 
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo44
C
apítulo 4
E������ 23
Um título de R$ 15.840,00 tem vencimento daqui a 180 dias. Caso esse tí-
tulo seja quitado hoje, a uma taxa de desconto racional simples de 2,5% ao 
mês, por quanto será resgatado?
i = 2,5% a. m. = 0,025 a. m.
n = 180 dias = 6 m
M = 15.840,00
 M
 1 + i . n
 15.840,00
 
 1 + 0,025 . 6
Vr = 13.773,91
O título será resgatado por R$ 13.773,91.
E������ 24
Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título 
de R$ 24.860,00, vencível em 4 meses e 15 dias, descontado à taxa de 25% 
ao ano?
M = 24.860,00
Vr = ?
Dr = ?
i = 25% a. a. = 0,25 a. a.
n = 4 m 15 d = 135 d = 135/360 a
 M
 1 + i . n
 24.860,00
 1 + 0,25 . 135/360
Vr = 22.729,14
Vr =
Vr =
Vr =
Vr =
Matemática Financeira Aplicada 45
D
esconto sim
ples
Dr = M – Vr
Dr = 24.860,00 – 22.729,14
Dr = 2.130,86
O desconto racional simples é de R$ 2.130,86, e o valor do resgate é de R$ 
22.729,14.
4.3 Relação entre o desconto comercial e o desconto racional
Dc – Dr = M . i . n – Vr . i . n
Dc – Dr = i . n . (M – Vr)
Dc – Dr = i . n . (Dr)
Dc = Dr + Dr . i . n
 Dc = Dr . (1 + i . n)
Verificamos, então, que Dc > Dr. Logo, Vc < Vr.
E������ 25
Determine o desconto comercial e o desconto racional sobre um título de 
R$ 38.400,00, considerando uma taxa de desconto simples igual a 3% ao 
mês e sabendo que o título vencerá daqui a cinco meses.
M = 38.400,00
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n = 5 m
Dc = M . i . n
Dc = 38.400,00 . 0,03 . 5
Dc = 5.760,00
Dc = Dr . (1 + i . n)
5.760,00 = Dr . (1 + 0,03 . 5)
5.760,00 = Dr . 1,15
Dr = 5.008,70
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo46
C
apítulo 4
4.4 Títulos equivalentes
Ao necessitarmos substituir um título por outro, é necessário termos a certeza 
de que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se de-
seja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. Trata-se, portanto, 
da troca de papéis.
É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determi-
nada taxa. Alterando-se o valor da taxa, a equivalência desaparecerá.
Para estabelecer a equivalência entre títulos, é necessário escolhermos uma 
data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de 
���� ����� ou ���� �� ����������. Na data focal, os valores atuais dos dois 
títulos são iguais.
 Vimos que Vc = M . (1 − i . n)
Chamemos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo de 
vencimento n1. Portanto, Vc = M1 . (1 – i . n1) pois, pela definição, os valo-
res atuais dos títulos descontados na mesma data focal são iguais. Então, 
temos que:
M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1)
 M . (1 – i . n)
 (1 – i . n1)
E������ 26
Um título de R$ 4.200,00que vencerá em cinco meses deve ser substituído 
por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esses tí-
tulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal 
do novo título.
M = 4.200,00
n = 5 m
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n1 = 8 m
 4.200,00 . (1 – 0,015 . 5)
 1 – 0,015 . 8
M1 = 4.414,77
M1 =
M1 =
Matemática Financeira Aplicada 47
D
esconto sim
ples
E������ 27
Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 2.560,00, vencível em 
dois meses, e outro de R$ 3.440,00, vencível em cinco meses. Entretanto, não 
podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los 
por um único título, com vencimento para oito meses. Calcule o valor nomi-
nal do novo título, considerando a taxa de juro simples de 1,2% ao mês.
M = 2.560,00
M’ = 3.440,00
n = 2 m
n’= 5 m 
n1 = 8 m
i = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
 M . (1 – i . n) + M’. (1 – i . n’)
 1 – i . n1 1 – i . n1
 2.560,00 . (1 – 0,012 . 2) + 3.440,00 . (1 – 0,012 . 5)
 1 – 0,012 . 8 1 – 0,012 . 8
M1 = 6.340,88
Novamente é hora de você exercitar sozinho. Apresentamos, a seguir, 
mais uma série de 20 exercícios. Resolva-os e confira com as respostas 
fornecidas.
M1 =
M1 =
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo48
C
apítulo 4 51. Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes 
do seu vencimento. Sabendo que a taxa de juro simples corrente é de 24% 
ao ano, determine o desconto comercial que vai obter e que valor ela deve 
pagar.
52. Um título de R$ 3.250,00 foi resgatado 105 dias antes do prazo de venci-
mento, à taxa de juro simples de 30% ao ano. Qual foi o valor do desconto 
comercial? 
53. Uma nota promissória de R$ 44.250,00 foi paga cinco meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 18% ao ano. 
Qual foi o valor do resgate? 
54. Um título de R$ 38.444,00, com vencimento em 15/06, foi resgatado 
em 21/02 pelo valor de R$ 34.325,00. Qual era a taxa mensal de desconto 
racional simples?
55. Qual seria o desconto comercial em uma negociação cujo resultado 
da operação forneceu um desconto racional de R$ 2.800,00 à taxa de juro 
simples de 2,0% ao mês, num período de quatro meses?
56. Um título de valor nominal igual a R$ 55.000,00, pagável em 30 dias, 
vai ser substituído por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que o 
credor pode resgatar o título à taxa de juro simples de 30% ao ano, deter-
mine o valor nominal do novo título, considerando um desconto comercial 
simples.
57. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com vencimento 
em 3 de novembro. No dia 16 de agosto do mesmo ano, descontou o título 
num banco que utilizou 2% ao mês de taxa de desconto comercial simples. 
Determine o valor desse desconto.
58. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial utilizada numa operação 
financeira em que um título de R$ 3.200,00 foi resgatado por R$ 2.854,40, 
noventa dias antes do seu vencimento?
59. Um título no valor de R$ 4.665,00 foi descontado antes do seu ven-
cimento, pelo valor atual de R$ 4.156,51. Sabendo-se que foi utilizada a 
taxa de desconto comercial simples de 2,18% ao mês, quanto tempo faltava 
para o vencimento do título?
Matemática Financeira Aplicada 49
D
esconto sim
ples
60. Um cliente de um banco tinha uma duplicata que venceria em 75 dias. 
Dirigiu-se ao banco e resgatou a duplicata pelo valor líquido de R$ 952,00. 
Sabendo que esse banco havia cobrado nessa operação uma taxa de des-
conto comercial simples de 1,92% ao mês, descubra o valor nominal dessa 
duplicata.
61. Um título de R$ 8.345,00 foi resgatado 80 dias antes do seu vencimento 
e, em conseqüência, ganhou um desconto comercial simples de R$ 747,72. 
Qual foi a taxa mensal de desconto utilizada nessa operação?
62. Um título no valor de R$ 8.000,00 foi descontado à taxa de 0,12% ao dia. 
Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de R$ 233,01, calcule 
o período de antecipação (dias) no resgate do título.
63. Um título foi descontado à taxa de 0,30% ao dia, estando a 40 dias de 
seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto racional simples foi de 
R$ 540,00, calcule o valor nominal do título.
64. Uma pessoa possuía uma dívida de R$ 589,00 e resolveu pagá-la dois 
meses antes do vencimento. Perguntado qual o valor do desconto comer-
cial simples a que tinha direito, responderam que a taxa de desconto era de 
1,5% ao mês. Quanto essa pessoa ganhou de desconto?
65. Uma dívida foi paga 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 
desconto comercial simples de 2% ao mês. Sabendo que o valor líquido 
pago foi de R$ 458,72, determine era o valor nominal dessa dívida.
66. Um título de R$ 1.000,00 foi pago cinco meses antes do seu vencimento, 
por desconto comercial simples. Sabendo que o desconto recebido foi de 
R$ 50,00, estabeleça a taxa de desconto dessa operação.
67. Uma duplicata de R$ 2.100,00 foi resgatada por R$ 1.848,00, a uma taxa 
de desconto comercial simples de 2% ao mês. Quanto tempo faltava para 
o vencimento dessa duplicata?
68. Uma dívida de R$ 3.000,00 foi paga quatro meses antes do seu venci-
mento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,5% ao mês. Qual foi 
o valor líquido pago pela dívida?
69. Um título de R$ 4.600,00 foi pago seis meses antes do seu vencimento. 
Sabendo que o título recebeu um desconto racional simples com uma taxa 
de desconto de 30% ao ano, determine o valor pago pelo resgate do título.
70. O desconto racional simples recebido por um título de R$ 2.388,96, que 
foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, foi de R$ 255,96. Qual 
foi a taxa de desconto utilizada nessa operação?
Capitalização composta
ca
pí
tu
lo
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo52
C
apítulo 5
5 Capitalização composta
No nosso dia-a-dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando to-
mamos emprestada uma certa quantia em dinheiro, em um banco comer-
cial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo 
acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria. 
Então, é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o ���� 
��������. Inicialmente, vamos ver o que é ������������� ��������.
Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de 
������������� ��������, ou seja, o juro produzido num período será 
acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e 
juro, a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado de 
���� ����� ����.
A cada intervalo em que o juro é incorporado ao valor que o produziu deno-
minamos ������� �� �������������.
Em países cuja moeda sofre constantes oscilações, como é o caso brasileiro, 
recomenda-se o uso de capitalização composta, pois a aplicação de capita-
lização simples produz distorções até no curtíssimo prazo.
5.1 Montante
Tal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação 
financeira, acrescido do juro, compõe o Montante. Representa sempre o 
valor total de uma dívida ou o valor futuro.
 M = C + J
Obtemos o montante calculando o juro simples, período de capitalização 
a período de capitalização, e incorporando-o ao capital inicial para o pró-
ximo período.
E������ 28
Determinar o montante produzido por um capital de R$ 100,00, aplicado 
a juro composto de 10% ao mês, capitalizado mensalmente, durante três 
meses.
C = 100,00
i = 10% a. m. = 0,1 a. m.
n = 3 m
M = C . (1 + i), com n = 1 período
Matemática Financeira Aplicada 53
C
apitalização com
posta
Após o primeiro período de capitalização (n = 1 mês):
M1 = 100,00 . (1 + 0,1)
M1 = 110,00
Após o segundo período de capitalização (n = 1 mês):
M2 = M1 . (1 + 0,1)
M2 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M2 = 121,00
Após o terceiro período de capitalização (n = 1 mês):
M3 = M2 . (1 + 0,1)
M3 = 100,00 . (1 + 0,1) . (1 + 0,1) . (1 + 0,1)
M3 = 133,10
Como o fator (1 + i) varia deacordo com a quantidade de períodos de capi-
talização, fica fácil definirmos a fórmula geral da capitalização composta:
 M = C . (1 + i)n
Vamos resolver esse exemplo utilizando essa fórmula:
M = 100,00 . (1 + 0,1)3 
M = 133,10
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
100 CHS PV
3 n
10 i
FV valor final (montante)
Observe que, na capitalização composta, a calculadora financeira HP-12C 
precisa dos valores do período (n) e da taxa de juro (i) na mesma base de 
tempo. Deve-se, portanto, manter a homogeneidade nos tempos, diferen-
temente da capitalização simples, em que a taxa de juro é fornecida ao ano 
e o período é fornecido em dias.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo54
C
apítulo 5
E������ 29
Qual o capital que, aplicado a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês, capi-
talizado mensalmente, produz o montante de R$ 2.816,23 após oito meses?
i = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
 M
 (1 + i)
n
 2.816,23
 (1 + 0,015)
8
C = 2.500,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
2816.23 CHS FV
1.5 i
8 n
PV
E������ 30
Um capital de R$ 4.200,00 foi aplicado a juro composto, durante quatro meses 
e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro composto uti-
lizada nessa operação?
 M
 (1 + i)
n
 4.617,95
 
 (1 + i)4
4.200,00 . (1 + i)4 = 4.617,95
 4.617,95
 4.200,00
(1 + i)4 = 1,09951191
C =
C =
C =
4.200,00 =
(1 + i)4 =
Matemática Financeira Aplicada 55
C
apitalização com
posta
Extraindo a raiz quarta dos dois lados da igualdade, temos:
1 + i = 1,0240
i = 0,0240 a. m. ou i = 2,4% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4200 CHS PV
4617.95 FV
4 n
i
5.2 Juro composto
Sabemos que juro é o rendimento produzido por um capital em determi-
nado tempo, calculado sobre o capital. Quando sobre esse valor que já tem 
embutida uma parcela de juro incide novamente a taxa de juro (juro sobre 
juro), estamos diante de uma ������������� ��������, em que o valor do 
juro aumenta a cada período de capitalização. 
Ao final de cada período de capitalização, temos um montante parcial. Por-
tanto, para a determinação do montante total de uma operação financeira, 
utilizamos a fórmula:
 M = C . (1 + i)n
Como M = C + J:
C + J = C . (1 + i)n
J = C . (1 + i)n – C
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Assim, chegamos à fórmula geral do juro composto.
E������ 31
Determinar o juro produzido por um capital de R$ 12.000,00, aplicado a juro 
composto de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um ano.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo56
C
apítulo 5
C = 22.000,00
i = 1,4% a. m. = 0,014 a. m.
n = 1 a = 12 m
J = C . [(1 + i)n − 1]
J = 12.000,00 . [(1 + 0,014)12 − 1]
J = 12.000,00 . 0,181559
J = 2.178,71
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
12000 CHS PV
1.4 i
12 n
 FV valor final (montante = 14.178,71)
 RCL PV (capital = −12.000,00) (a tecla RCL chama para o 
 visor uma posição de memória qualquer)
+ (valor dos juros = 2.178,71)
E������ 32
Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao mês, 
pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser 
pago no final do período?
M = C . (1 + i)n
M = 25.000,00 . (1 + 0,02)24
M = 40.210,93
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
Matemática Financeira Aplicada 57
C
apitalização com
posta
25000 CHS PV
2 i
24 n
FV
E������ 33
Paulo possui um título com vencimento em cinco meses, com valor nominal 
de R$ 3.400,00. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro, com ven-
cimento para daqui a dois meses e valor nominal de R$ 3.200,00. Sabendo 
que a taxa de juro composto corrente é de 3% ao mês, pergunta-se se a troca 
é vantajosa.
n = 5 – 2 = 3 meses
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
M = 3.400,00
 M
 (1 + i)
n
 3.400,00
 (1 + 0,03)
3
C = 3.111,48
Logo, a troca é vantajosa, pois o título de R$ 3.400,00, daqui a dois meses, 
valerá R$ 3.111,48 (menos que o novo título que estão oferecendo, no valor 
de R$ 3.200,00).
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3400 CHS FV
3 n
3 i
PV
C =
C =
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo58
C
apítulo 5
E������ 34
Beatriz aplicou um capital de R$ 3.000,00 a juro composto, a uma taxa de 
2,2% ao mês, durante dez meses. Qual será o montante obtido?
Verificamos que M = C . (1 + i)n
Como tanto a taxa quanto o período estão referenciados a meses, nenhuma 
transformação se faz necessária. Então:
M = 3.000,00 . (1 + 0,022)10
M = 3.000,00 . 1,24310828
M = 3.729,32
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
3000 CHS PV
10 n
2.2 i
FV
E������ 35
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um 
ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine 
o seu valor atual.
Lembre-se: o valor de resgate é o valor nominal ou valor futuro do título. 
O valor atual é quanto o título vale hoje (valor presente).
Como a taxa e o período estão ambos referenciados a ano, a aplicação da 
fórmula é imediata.
M = C . (1 + i)n 
14.345,00 = C . (1 + 0,288)1
 14.345,00
 1,288
C = 11.137,42
C =
Matemática Financeira Aplicada 59
C
apitalização com
posta
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
14345 CHS FV
1 n
28.8 i
PV
E������ 36
Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% 
ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?
 J = C . [(1 + i)n − 1]
Como a taxa fornecida é mensal, precisamos transformar o período em 
meses. 
Então, n = 12 meses.
J = 6.600,00 . [(1 + 0,016)12 – 1]
J = 6.600,00 . [0,20983041]
J = 1.384,88
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
6600 CHS PV
12 n
1.6 i
FV
RCL PV
+
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo60
C
apítulo 5
E������ 37
Uma aplicação a juro composto durante três meses rendeu de juro o valor 
de R$ 288,44. Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de juro com-
posto de 1,88% ao mês, qual foi o capital aplicado?
J = C . [(1 + i)n − 1]
288,44 = C . [(1 + 0,0188)3 – 1]
288,44 = C . 0,05746697
C = 5.019,23
E������ 38
Um televisor custa, à vista, R$ 1.999,00. A loja propõe ao comprador que leve 
o aparelho sem entrada e o pague de uma só vez, daqui a dois meses, a uma 
taxa de juro composto de 2,89% ao mês. Por quanto sairá o televisor?
M = C . (1 + i)n 
M = 1.999,00 . (1 + 0,0289)2
M = 1.999,00 . 1,05863521
M = 2.116,21
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1999 CHS PV
2 n
2.89 i
FV
5.3 Equivalência de taxas
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital 
e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o 
mesmo quaisquer que sejam os períodos de capitalização.
Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização composta, uti-
liza-se a fórmula:
Matemática Financeira Aplicada 61
C
apitalização com
posta
 iq = (1 + it)q/t – 1 
em que:
iq = taxa que eu quero;
it = taxa que eu tenho;
q = tempo (período) da taxa que eu quero;
t = tempo (período) da taxa que eu tenho.
Evidentemente deverá haver uma homogeneidade nos prazos a que as 
taxas se referem (q e t deverão estar na mesma base de tempo).
E������ 39
Calcule a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês, pelo critério de juro com-
posto.
it = 1,2% a. m. = 0,012 a. m.
q = 1 a = 12 m
t = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,012)12/1 – 1
iq = 0,153895 a. a. ou 15,3895% a. a.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 4
STO EEX (indicador de estado c é ligado)
100 CHS PV
101,2 FV
12 1/xn
i (taxa equivalente = 15,3895% a. a.)
 
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo62
C
apítulo 5
Por que pressionamos a seqüência de teclas STO EEX? Essa seqüência ou 
liga ou desliga o indicador de estado c. Esse indicador informa a calcula-
dora científica HP-12C, que deverá trabalhar em uma das duas seguintes 
funções:
~ será calculada a taxa equivalente em capitalização composta;
~ deverá ser aplicado juro composto o tempo todo, inclusive em período 
fracionário. Esse assunto ficará mais claro para você no item 5.4 a 
seguir.
Como foi usada a HP-12C no exemplo 39?
~ No registrador PV, informamos sempre o valor 100, como base de 
cálculo, para que a taxa equivalente já seja fornecida em percentual;
~ no registrador FV, informamos o resultado da soma entre o valor 
fornecido no registrador PV e a taxa conhecida;
~ no registrador n, devemos informar o resultado da divisão do tempo 
da taxa que eu tenho pelo tempo da taxa que eu quero.
E������ 40
Calcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano.
it = 20% a. a. = 0,20 a. a.
nt = 1 a = 12 m
nq = 1 m
iq = ?
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,2)1/12 – 1
iq = 0,01530947 ou 1,530947% a. m.
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 6
Verifique se o indicador de estado c está ligado.
100 CHS PV
120 FV
Matemática Financeira Aplicada 63
C
apitalização com
posta
12 n
 i (taxa equivalente = 1,530947 a. m.)
5.4 Período fracionário
Antes de darmos o conceito de período fracionário, vamos lembrar que, 
quando fornecemos uma taxa de 2% ao mês, estamos considerando que 
esse percentual de 2% é aplicado durante um mês inteiro. Entretanto, pode-
mos ter um número de períodos de capitalização não inteiros. Podemos ter, 
por exemplo, um valor aplicado durante 1 mês e 15 dias e a capitalização 
ser mensal; nesse caso, temos um período fracionário. Ou seja, além do 
mês inteiro, temos um período de 15 dias, que corresponde a uma fração 
do mês. Estamos falando de ������������� �����������.
Para o cálculo do juro, separamos a parte inteira da parte fracionária. Para 
a parte inteira, fazemos o cálculo normalmente. Para a parte fracionária, 
podemos adotar duas convenções: a linear ou a exponencial.
5.4.1 Convenção linear (ou Convenção mista)
Para obter o juro num período fracionário, adotando a convenção linear, 
fazemos o cálculo em duas etapas:
~ para a parte inteira de tempo (n), calculamos o montante a juro com-
posto;
~ para a fração não inteira de tempo (n1), é admitida a formação linear 
de juro, ou seja, calculamos o montante a juro simples.
Par a convenção linear, portanto, as operações na HP-12C deverão ter o 
indicador de estado c desligado.
E������ 41
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de juro composto de 2% ao mês, 
por um período de 4 meses e 15 dias, com capitalização mensal. Qual será 
o montante obtido, utilizando-se a convenção linear?
M = ?
i = 2% a. m. = 0,02 a. m.
n = 4 m
n1 = 15 d = 15/30 m
M = C . (1 + i)n . ( 1 + i . n1)
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo64
C
apítulo 5
M = 1.000,00 . (1 + 0,02)4 . (1 + 0,02 . 15/30)
M = 1.093,26
Pela calculadora HP-12C:
Inicialmente, certifique-se de que o indicador de estado c esteja desligado. 
Caso esteja ligado, pressione, na seqüência, as teclas STO EEX, antes do 
comando FV.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,26)
5.4.2 Convenção exponencial
O cálculo do juro num período fracionário, adotando a convenção expo-
nencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na 
parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n1). Então:
M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1 
Como as bases são iguais, podemos escrever:
M = C . (1 + i) n+n1
E������ 42
Resolva o exemplo 41 pela convenção exponencial.
Agora, o indicador de estado c deverá estar ligado. Com isso, a HP-12C 
aplicará juro composto tanto na parte inteira quanto na parte fracionária 
do tempo.
f REG
f 2
1000 CHS PV
4.5 n
2 i
FV (montante = 1.093,20)
Matemática Financeira Aplicada 65
C
apitalização com
posta
Observe que o valor encontrado foi 1.093,20. Por que esse valor é ligei-
ramente menor que aquele encontrado no exemplo 41, no qual o juro da 
parte fracionária foi simples?
A resposta a essa pergunta é: o juro simples no período fracionário é maior 
do que o juro composto.
Assim, no dia-a-dia do mundo financeiro, costuma-se utilizar a convenção 
linear. No caso da máquina financeira HP-12C, o indicador de estado c 
costuma já estar apagado.
E������ 43
Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 48.000,00 
à taxa de 18% ao ano, com capitalização mensal, durante 6 meses e 15 dias, 
pela convenção exponencial.
M = C . (1 + i)n+n1
i = 18% a. a. = 0,18 a. a. = 1,5% a. m. = 0,015 a. m.
n = 6 m
n1 = 15 d = 0,5 m
M = 48.000,00 . (1 + 0,015)6,5
M = 52.877,45
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
1.5 i
48000 CHS PV 
6.5 n
FV
Não se esqueça de que deverá estar ligado o indicador de estado c, pois na 
convenção exponencial é calculado juro composto o tempo todo.
Lembre-se: para melhor fixação dos conteúdos estudados até o momento, 
é necessário que você exercite. A seguir, você tem 30 exercícios propostos. 
Resolva-os e confira com as respostas fornecidas. Você verá que são fáceis.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo66
C
apítulo 5 71. Foram aplicados R$ 2.800,00 durante quatro trimestres, a uma taxa de 
10% ao trimestre, no regime de juro composto. Calcule o montante obtido.
72. Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram 
recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
73. A que taxa de juro mensal um capital de R$ 20.000,00 pode ser dobrado 
em três anos? Usar quatro casas decimais.
74. Calcule o montante produzido pela aplicação de R$ 9.000,00 durante 
105 dias, a uma taxa de juro de 1,4% ao mês, no regime de capitalização 
composta, com convenção exponencial.
75. Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o ban-
co oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? 
Supor capitalização mensal.
76. Em que prazo um empréstimo de R$ 50.000,00 pode ser quitado em um 
único pagamento de R$ 107.179,44, sabendo-se que a taxa contratada é de 
10% ao semestre?
77. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 8.000,00, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 8.813,29 no 
final de quatro meses. Qual a taxa de juro composto mensal cobrada? Use 
quatro casas decimais.
78. Qual será o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 15.000,00 
pelo prazo de um ano, a uma taxa de juro composto de 2,5% ao mês?
79. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 27.450,00, daqui 
a três meses. Sabendo que o rendimento desse título é de 1,75% ao mês, 
determine o seu valor presente.
80. Marcella possui um título a receber com vencimento para daqui a oito 
meses, de valor nominal igual a R$ 32.000,00. Kellyn propõe a ela a troca 
por um título vencível para daqui a quatro meses e no valor de R$ 29.500,00. 
Sendo de 2,5% a.m. a taxa de juro composto do mercado, verifique se a troca 
é vantajosa para Marcella.
81. Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de juro composto de 
18% ao semestre. Utilize cinco casas após a vírgula.
Matemática Financeira Aplicada 67
C
apitalização com
posta
82. Determine a taxa trimestral equivalente a uma taxa de juro composto 
de 36% ao ano. Utilize cinco casas após a vírgula.
83. Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 
durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao tri-
mestre, capitalizáveis trimestralmente, acrescentando juro simples na parte 
fracionária.
84. Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.
85. Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa 
de jurocomposto de 25% ao ano, em dois anos.
86. Qual será o valor do montante e do juro cobrado por um empréstimo de 
R$ 55.000,00 por cinco meses, pela taxa de juro composto de 3,25% ao mês?
87. Qual será o montante acumulado em dois anos, a uma taxa de juro com-
posto de 2,2% ao mês, a partir de um principal de R$ 1.000,00, com capitali-
zação mensal?
88. O capital de R$ 4.300,00 foi aplicado durante 36 meses, à taxa de juro de 
9% ao semestre. Calcule o montante produzido pela aplicação, supondo 
capitalização semestral.
89. A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, 
em oito meses, obter-se um montante de R$ 42.000,00? Utilize cinco casas 
após a vírgula.
90. Qual foi a taxa de juro semestral utilizada, segundo a qual a impor-
tância de R$ 10.000,00 foi remunerada produzindo um montante de R$ 
15.200,00 no prazo de dois anos? Utilize cinco casas após a vírgula.
91. O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado durante seis meses e produziu o 
montante, a juro composto, de R$ 2.744,35. Calcule a taxa de juro mensal 
de aplicação do capital. Utilize cinco casas após a vírgula.
92. Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro 
composto de 1,6 % ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?
93. O capital de R$ 1.450,00 foi aplicado durante 15 dias, à taxa de 4% ao mês. 
Calcule o juro composto produzido pela aplicação. Lembre-se de que é um 
período fracionário.
94. O capital de R$ 38.440,00 foi aplicado durante três meses, à taxa de 9% 
ao semestre. Calcule o montante, a juro composto, supondo a capitalização 
mensal. Utilize para a taxa cinco casas após a vírgula.
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo68
C
apítulo 5
95. Um televisor é vendido por R$ 300,00 de entrada e mais uma parcela 
única de R$ 990,00 a ser paga três meses após a compra. Determine a taxa 
de juro composto mensal dessa operação financeira, sabendo que esse tele-
visor custa R$ 1.100,00 à vista. Utilize cinco casas após a vírgula.
96. Qual será o montante produzido pela aplicação do capital de R$ 
13.000,00 a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, capitalizado anual-
mente, ao fim de três anos?
97. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro com-
posto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos se-
guintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido.
98. Em que prazo uma aplicação de R$ 15.800,00, em regime de capitali-
zação composta mensal, a uma taxa de juro de 0,1% ao dia, produziu um 
montante de R$ 22.755,97?
99. O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado durante dez meses e produziu o 
montante, a juro composto, de R$ 6.094,97. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa aplicação.
100. O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o 
montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal 
dessa aplicação.
Taxas
ca
pí
tu
lo
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo70
C
apítulo 6
6 Taxas
Já estudamos bem as taxas de juros. Precisamos, agora, diferenciar bem o 
que é uma ���� ������� de uma ���� �������. Precisamos, ainda, diferen-
ciar bem uma ���� ���� de uma ���� ��������. 
6.1 Taxa nominal
Ao nos dirigirmos a um agente financeiro e questionarmos sobre o valor da 
taxa que está utilizando para empréstimo a pessoa física, é comum sermos 
informados da taxa anual que está sendo praticada naquele momento. En-
tretanto, o prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o 
produziu costumam ser de periodicidade menor, geralmente mensal.
A essa taxa que nos informaram damos o nome de ���� �������.
Sua transformação para uma periodicidade menor é realizada de forma 
proporcional.
O juro costuma ser capitalizado mais de uma vez no período a que se refere 
a taxa. Por exemplo, quando fazemos um empréstimo bancário para pagar 
em um ano, a capitalização ocorre mês a mês, durante esse ano, mesmo 
quando o pagamento é realizado em uma única parcela, ao final do período 
contratado.
E������ 44
Taxa de 24% a. a., com capitalização mensal.
Taxa mensal = 24% / 12 = 2% a.m.
E������ 45
Taxa de 36% a. a., com capitalização bimestral.
Taxa bimestral = 36% / 6 = 6% a. b.
E������ 46
Taxa de 20% a. s., com capitalização trimestral.
Taxa trimestral = 20% / 2 = 10% a. t.
Em linhas gerais, tem-se que:
 
em que:
Matemática Financeira Aplicada 71
Taxas
i1 = taxa conhecida;
i2 = taxa desconhecida;
n1 = período da taxa conhecida;
n2 = período da taxa desconhecida.
E������ 47
O valor de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa nominal de 36% ao ano, durante 
um ano. Calcule o montante obtido, considerando:
a) capitalização semestral;
b) capitalização trimestral;
c) capitalização bimestral;
d) capitalização mensal.
n = 1 a = 2 s = 4 t = 6 b = 12 m
i = 36% a. a. = 0,36 a. a.
i = 18% a. s. = 0,18 a. s.
i = 9% a. t. = 0,09 a. t.
i = 6% a. b. = 0,06 a. b.
i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
a) Capitalização semestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,18)2
M = 6.962,00
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
18 i
2 n
FV
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo72
C
apítulo 6
b) Capitalização trimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,09)4
M = 7.057,91
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
9 i
4 n
FV
c) Capitalização bimestral:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,06)6
M = 7.092,60
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
6 i
6 n
FV
d) Capitalização mensal:
M = C . (1 + i)n
M = 5.000,00 . (1 + 0,03)12
M = 7.128,80
Matemática Financeira Aplicada 73
Taxas
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
5000 CHS PV
3 i
12 n
FV
6.2 Taxa efetiva
Quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide 
com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, 
temos uma ���� �������.
Logo, não importa por quanto tempo o capital será acrescido de juro, o 
resultado final (o montante) será o mesmo.
No caso da taxa efetiva, o juro é capitalizado uma única vez no período a 
que se refere a taxa.
E������ 48
Um banco emprestou o capital de R$ 4.000,00 a ser devolvido em parcela 
única daqui a um ano. Sabendo que a taxa nominal cobrada é de 10,5% 
ao ano, com capitalização mensal, calcule quais serão o montante e a taxa 
efetiva.
i = 10,5% a. a. = 0,105 a. a. = 0,00875 a. m. (taxa nominal)
M = C . (1 + i)n
M = 4.000,00 . (1 + 0,00875)12
M = 4.440,81
Pela calculadora HP-12C:
f REG
f 2
4000 CHS PV
12 n
0.875 i
FV
Nelson Pereira Castanheira ~ Luiz Roberto Dias de Macedo74
C
apítulo 6
Para o cálculo exato, observe que esse montante foi arredondado. Seu valor, 
na realidade, é de R$ 4.440,8138.
Então, a taxa ao ano, na realidade, é:
M = C . (1 + i)1
4.440,8138 = 4.000,00 . (1 + i)
1 + i = 1,110203
i = 0,110203 ou i = 11,0203% a. a. (taxa efetiva)
Pela calculadora HP-12C, basta pressionar:
1 n
i
6.3 Taxa real e taxa aparente
Seria correto dizer, quando se trata de taxa de juro, que as aparências enga-
nam? É isso mesmo. Você não pode deixar-se enganar quando lhe disserem 
que sua caderneta de poupança rendeu, em um único mês, dois por cento. 
Por que isso?
A resposta é simples. Dentro desse percentual está incluída a inflação do 
período considerado. Portanto, descontada a inflação, o rendimento é bem 
menor. Precisamos, então, conhecer bem as definições a seguir.
T��� �������� é a taxa que se utiliza sem se levar em conta a inflação do 
período.
T��� ���� é a taxa que se utiliza levando-se em consideração os efeitos infla-
cionários do período. 
A taxa aparente pode ser negativa, caso a correção efetuada sobre o capital 
tenha sido menor que a inflação do período.
Qual a relação existente entre essas taxas?
Considere um capital C que foi aplicado durante certo tempo n e que re-
sultou em um montante M. 
1º caso: considere