Lei de Gauss slides

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11/12/2012
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Lei de Gauss
Lei de Gauss
• Fluxo do Campo Elétrico
• A Lei de Gauss
• Aplicações da lei de Gauss
• Divergência de um vetor e equação de Poisson
Fluxo do campo elétrico
• A relação entre o campo elétrico e suas fontes
pode ser expressa de uma maneira muito
simples. Precisamos, no entanto, definir uma
nova grandeza, chamada fluxo do campo
elétrico.
• Consideremos um campo elétrico em
determinada região do espaço e, nesta mesma
região, uma superfície fechada de forma
arbitrária.
• Divida agora toda a
superfície em pequenos
trechos, tão pequenos que a
superfície de cada um possa
ser considerada plana e o
vetor campo elétrico não
varie apreciavelmente sobre
um trecho.
• A área de cada trecho tem um valor e cada um
define univocamente uma direção e sentido – a
normal à superfície orientada para fora. Assim,
para cada uma das porções em que a superfície foi
dividida, temos um vetor Ԧܽ௝ que define sua área e
sua orientação.
• Seja ܧ௝ o vetor campo elétrico no local do trecho de
número ݆. O produto escalar ܧ௝ ∙ Ԧܽ௝ é um número.
Chamamos esse número de fluxo do campo elétrico
(ou somente fluxo) através desse pedaço de superfície.
• Para obter o fluxo total através de toda superfície,
devemos somar os fluxos em cada trecho. O resultado
desta soma é uma grandeza escalar que chamamos de
Φ:
Φ ൌ ෍ ܧ௝ ∙ Ԧܽ௝
௧௢ௗ௢௦	௢௦	௝
• Se subdividimos os trechos em áreas cada vez
menores, teremos, no limite em que Ԧܽ → 0
Φ ൌ න ܧ ∙ ݀ Ԧܽ
௧௢ௗ௔ ௔
௦௨௣௘௥௙í௖௜௘
A Lei de Gauss
• Comecemos aplicando esses resultados ao
caso mais simples possível: Calcular o fluxo de
uma carga puntiforme através de uma casca
esférica centrada na carga.
• Nesta situação, o módulo de ܧ é o mesmo em
qualquer ponto da superfície ܧ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤
௥మ
e
sua direção e sentidos coincidem com os da
normal no ponto orientado para fora. Desta
forma temos:
Φ ൌ නܧ ∙ ݀ Ԧܽ ൌ නܧ ݀ܽ ൌ ܧන݀ܽ ൌ ܧܣ
Φ ൌ
1
4ߨߝ଴
ݍ
ݎଶ
4ߨݎଶ ൌ
ݍ
ߝ଴
• Observe que o fluxo não depende do tamanho
da esfera.
• Considere agora uma
segunda superfície não
esférica envolvendo a
primeira.
• O fluxo total através desta
superfície é o mesmo que
através da esfera!!!
• Uma forma de confirmar a
afirmação acima é via linhas
de campo: se desenharmos
as linhas de campo que
atravessam a esfera,
perceberemos que elas
também deverão atravessar a
superfície externa.
• Vamos provar a afirmativa anterior. O fluxo
através do elemento de área ∆ Ԧܵ da superfície
externa é dado por
ΔΦ ൌ ܧ ∙ ∆ Ԧܵ ൌ ܧ∆ܵܿ݋ݏߠ ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
∆ܵܿ݋ݏߠ
ܴଶ
• A expressão ∆Ω ൌ ∆ௌ௖௢௦ఏ
ோమ
é chamada de
elemento de ângulo sólido e é uma extensão
do conceito de ângulo plano.
• Vamos agora analisar detalhadamente este
novo conceito.
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• No plano, um ângulo Δ߶ (em radianos)
subtendido por um elemento de arco
orientado Δ݈ em relação a um ponto ܱ ,
situado à distância ݎ de Δ݈ é o mesmo que
aquele associado ao arco de círculo Δݏ com
centro em ܱ, de raio ݎ, compreendido entre
as mesmas direções, i. e.:
• Δ߶ ൌ ୼௦
௥
ൌ
୼௟	௖௢௦ఏ
௥
Que pode ser positivo
ou negativo, conforme
a orientação do arco.
• Δ߶ é o arco de um
círculo de raio unitário.
• No espaço, analogamente, um ângulo sólido ΔΩ
(em esterradianos ou esferorradianos)
subtendido por um elemento de superfície
orientado Δܵ, com normal ො݊	, em relação a um
ponto ܱ, situado à distância ݎ de Δܵ, é o mesmo
que aquele para ΔΣ, área correspondente da
esfera de raio ݎ compreendida dentro do
mesmo cone de direções: ΔΣ ൌ Δܵܿ݋ݏߠ
• Os elementos de área ΔΣ
e Δܵ crescem com ݎଶ.
• Definimos assim:
• ΔΩ ൌ ୼ஊ
௥మ
ൌ
୼ௌ௖௢௦ఏ
௥మ
• O sinal pode ser positivo ou negativo conforme
ߠ seja agudo ou obtuso.
• ΔΩ é a área de uma esfera unitária
compreendida dentro do mesmo cone.
• Seja S uma superfície fechada, orientada em
cada ponto (segundo a normal externa ො݊).
• Temos que se ܱ é um ponto interno a ܵ e
∮ௌ representa a integral sobre a superfície ܵ
fechada,
Ω ൌ ර ݀Ω
ௌ
ൌ ර
݀Σ
ܴଶௌ
ൌ න න
ܴଶݏ݁݊ߠ݀ߠ݀߮
ܴଶ
గ
଴
ଶగ
଴
ൌ 4ߨ
• Para um ponto ܱ externo a ܵ
Ω ൌ ර ݀Ω
ௌ
ൌ 0
pois neste caso há duas intersecções e elementos
correspondentes dela dão contribuições com o
mesmo módulo e sinais contrários ( ො݊ᇱ ൌ െ ො݊).
• Estes resultados sobre pontos internos e
externos continuam valendo quando há mais de
duas intersecções. Contribuições adicionais em
número par se cancelam.
Retornando à Lei de Gauss
• De posse desse novo conhecimento, podemos
reescrever o fluxo como
݀Φ ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
݀ܵܿ݋ݏߠ
ܴଶ
ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
݀Ω
Φ ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
ර ݀Ω
ௌ
ൌ ቊ
ݍ
ߝ଴ൗ 	se	ݍ	está	dentro	de	ܵ
0									se	ݍ	está	fora	de	ܵ
• Os resultados acima são válidos para o fluxo de
uma carga ݍ puntiforme.
• Como qualquer distribuição de cargas pode ser
decomposta em elementos de cargas assimiláveis
à cargas puntiformes, pelo princípio da
superposição, o campo resultante é a soma dos
campos de todos esses elementos. Temos então a
lei de Gauss:
Φ ൌ ර ܧ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ
ݍ௜௡௧
ߝ଴
• Na expressão acima ݀ Ԧܵ ൌ ො݊݀ܵ é o elemento de
superfície orientado associado à normal externa
ො݊ à superfície fechada ܵ, e ݍ௜௡௧ é a carga total
contida dentro do volume ܸ interno à superfície
ܵ.
• Veremos mais à frente que a lei de Gauss é
equivalente à lei de Coulomb.
• A lei de Gauss aumenta nossos conhecimentos de
duas maneiras:
• Primeiro, ela revela uma conexão entre os campos e
suas fontes, a qual é inversa à lei de Coulomb. A lei de
Coulomb nos permite calcular o campo elétrico,
dadas as cargas. Já a lei de Gauss nos permite
calcular a carga existente numa região, dado o
campo.
• Segundo, a relação matemática aqui demonstrada é
uma ferramenta analítica poderosa e, como veremos,
pode simplificar problemas complicados.
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Karl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Aplicações da Lei de Gauss
• Campo de uma distribuição esférica de cargas.
Campo de uma distribuição esférica de 
cargas
• Nós podemos utilizar a lei de Gauss para obter
o campo elétrico gerado por uma distribuição
esfericamente simétrica de cargas, isto é, uma
distribuição na qual a densidade ߩ de carga
depende somente do raio a partir de um
ponto central.
• Imagine uma distribuição de cargas que tenha
uma densidade ߩ଴ no centro e zero sobre a
superfície da esfera, ݎ଴.
• Se nós desejarmos utilizar a lei de Coulomb
para calcular o campo no ponto ଵܲ , nós
teremos que realizar uma integração na qual os
vetores campo elétrico gerados no ponto ଵܲ
por cada elemento de carga serão somados.
• Utilizaremos uma abordagem diferente, a qual
faz uso da lei de Gauss e da simetria.
• Devido à simetria esférica, o campo elétrico em
cada ponto deve ser radial. Pelo mesmo
argumento, o módulo do campo elétrico, ܧଵ,
deve ser o mesmo em qualquer ponto sobre
uma superfície esférica ଵܵ de raio ݎଵ.
• O fluxo através da
superfície ଵܵ (que
chamaremos de
superfície gaussiana)
é então 4ߨݎଶܧଵ. Pela
lei de Gauss ele deve
ser igual à carga
dentro da superfície
ଵܵ dividida por ߝ଴;
4ߨݎଶܧଵ ൌ
ܳ௧௢௧௔௟
ߝ଴
Assim ܧଵ ൌ
ொ೟೚೟ೌ೗
ସగఌబ௥మ
• Percebe‐se então que o campo produzido fora
de uma distribuição de cargas esfericamente
simétrica é igual àquele que seria produzido se
toda a carga estivesse concentrada no centro
da esfera.
• Aplicando o mesmo raciocínio para determinar
o campo elétrico em qualquer ponto sobre uma
esfera ܵଶ observamos que o campo é o mesmo
que seria produzido se toda carga englobada
por ܵଶ estivesse no centro e a carga externa
estivesse ausente.
• Desta forma, o campo no interior de uma
esfera oca é zero!
• Se a densidade variar linearmente com a
distância ao centro,
ߩ ݎ ൌ ൜
ߩ଴ െ ܣ	ݎ, 0 ൑ ݎ ൑ ݎ଴
0, 							ݎ ൒ ݎ଴
onde ܣ ൌ ఘబ
௥బ
. O campo elétrico será dado por:
ܧ ݎ ൌ
ߩ଴
ߝ଴
ݎ
3
െ
ݎଶ
4ݎ଴
, 0 ൑ ݎ ൑ ݎ଴
ߩ଴ݎ଴ଷ
12ߝ଴1
ݎଶ
	 , ݎ ൒ ݎ଴
• Se a densidade for constante, ܣ ൌ 0, então
ߩ ݎ ൌ ൜
ߩ଴, 0 ൑ ݎ ൑ ݎ଴
0, 	ݎ ൒ ݎ଴
O campo elétrico será dado por:
ܧ ݎ ൌ
ߩ଴
3ߝ଴
ݎ	, 0 ൑ ݎ ൑ ݎ଴
ߩ଴ݎ଴ଷ
3ߝ଴
1
ݎଶ
	 , ݎ ൒ ݎ଴
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Aplicações da Lei de Gauss
• Campo de uma distribuição esférica de cargas.
• Campo de um fio carregado infinito.
Campo de um fio carregado infinito
• Tomaremos como superfície gaussiana um cilindro
de raio ݎ e comprimento ݄ coaxial com o fio.
• Dada a simetria, temos também que ܧ e ݀ܣԦ são
perpendiculares em qualquer ponto da base ou do
topo do cilindro e paralelos no corpo do cilindro.
Assim,
ර ܧ ∙ ݀ܣԦ
ௌ
ൌ න ܧ ∙ ݀ܣԦ
ௌమ
ൌ න ܧ	݀ܣ
ௌమ
ൌ ܧන ݀ܣ
ௌమ
ൌ ܧ 2ߨݎ݄
Logo, pela lei de Gauss,
ܧ 2ߨݎ݄ ൌ
ݍ
ߝ଴
ൌ
ߣ݄
ߝ଴
⇒ ܧ ൌ
ߣ
2ߨߝ଴
1
ݎ
Aplicações da Lei de Gauss
• Campo de uma distribuição esférica de cargas.
• Campo de um fio carregado infinito.
• Campo de uma distribuição plana infinita de
cargas.
Campo de uma distribuição plana 
infinita de cargas
Campo de uma distribuição plana 
infinita de cargas
• Tomaremos como superfície gaussiana um cilindro
reto de área ܣ e um pequeno comprimento ݄.
• Pela simetria do problema, temos que o campo
elétrico é perpendicular ao plano carregado, assim
ර ܧ ∙ ݀ܣԦ
ௌ
ൌ න ܧ ∙ ݀ܣԦ
ௌభ
൅ න ܧ ∙ ݀ܣԦ
ௌయ
ൌ 2න ܧ	݀ܣ
ௌభ
ൌ 2ܧන ݀ܣ
ௌభ
ൌ 2ܧܣ
Pela lei de Gauss temos,
2ܧܣ ൌ
ݍ
ߝ଴
ൌ
ߪܣ
ߝ଴
ܧ ൌ
ߪ
2ߝ଴
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Aplicações da Lei de Gauss
• Campo de uma distribuição esférica de cargas.
• Campo de um fio carregado infinito.
• Campo de uma distribuição plana infinita de
cargas.
• Campo elétrico na superfície de um condutor.
• Sabemos que uma carga pode deslocar‐se
livremente no interior de um meio condutor.
Logo, numa situação de equilíbrio eletrostático,
não pode haver cargas (ߩ	 ൌ 	0 ) nem campo
elétrico (ܧ ≡ 0) dentro de um condutor, pois
senão as cargas se deslocariam sob a ação do
campo, rompendo o equilíbrio estático.
• A relaxação para o equilíbrio de uma distribuição
de cargas inicialmente colocada dentro de um
meio condutor e um processo extremamente
rápido.
Campo elétrico na superfície de um 
condutor
• Por outro lado, sabemos que é possível
transportar carga para um condutor isolado.
Onde esta carga irá localizar‐se?
• Só pode estar na superfície do condutor!
• Se tomarmos uma superfície gaussiana no
interior do condutor, veremos que a lei de Gauss
fornece:
ර ܧ
ௌ	௜௡௧௘௥௡௔
∙ ݀ܣԦ ൌ 0 ൌ
ݍ
ߝ଴
Logo, ݍ ൌ 0 no interior de um condutor em
equilíbrio eletrostático.
• Tem‐se então que, na descrição macroscópica,
aparece na superfície de um condutor carregado
uma densidade superficial de cargo ߪ ് 0 .
Microscopicamente, essa carga reside em uma
camada de transição, formada por algumas
camadas atômicas na superfície.
• Exatamente na superfície, temos então ܧ ് 0,
mas este campo ܧ não poderia ter uma
componente tangencial à superfície, pois ela
produziria um deslocamento de cargas sobre a
superfície (corrente superficial). Logo, a
componente tangencial do campo elétrico, ܧ௧௔௡,
tem que anular‐se na superfície do condutor.
• Isso quer dizer que as linhas de força têm que ser
normais à superfície do condutor.
• Consideremos uma superfície gaussiana em
forma de caixa cilíndrica, com a tampa ܣ na
superfície de um condutor e a base dentro dele.
• Sobre ܣ, ܧ tem a direção da normal externa ො݊. Na
base e na superfície lateral, que estão dentro do
material condutor, ܧ	 ൌ 	0. Logo, o fluxo total de
ܧ sobre a superfície gaussiana é
ܧ ∙ ො݊ܣ ൌ ܧ௡ܣ ൌ
ݍ
ߝ଴
ൌ
ߪܣ
ߝ଴
ܧ ൌ
ߪ
ߝ଴
ො݊
• No século XIX, Faraday realizou o seguinte
experimento para confirmar a lei de Gauss.
Gerador eletrostático de 
Van de Graaff
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Divergência de um vetor e equação de 
Poisson
• A divergência de um campo vetorial é definida como
sendo a razão entre a integral de superfície e o
volume envolvido por essa superfície, no limite em
que este volume tende a zero:
݀݅ݒܣԦ ൌ lim
௏→଴
1
ܸ
ර ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
• Em coordenadas cartesianas o divergente de um
campo vetorial tem a forma:
݀݅ݒܣԦ ൌ
߲ܣ௫
߲ݔ
൅
߲ܣ௬
߲ݕ
൅
߲ܣ௭
߲ݖ
• Em coordenadas cilíndricas ele toma a forma:
݀݅ݒܣԦ ൌ
1
ߩ
߲ ߩܣఘ
߲ߩ
൅
1
ߩ
߲ܣఝ
߲߮
൅
߲ܣ௭
߲ݖ
• E em coordenadas esféricas:
݀݅ݒܣԦ ൌ
1
ݎଶ
߲ ݎଶܣ௥
߲ݎ
൅
1
ݎݏ݁݊ߠ
߲ ݏ݁݊ߠܣఏ
߲ߠ
൅
1
ݎݏ݁݊ߠ
߲ ܣఝ
߲߮
A demonstração dessas equações encontra‐se no material
anexo.
• Se, no cálculo do fluxo de algum campo vetorial
ܣԦ , subdividirmos a superfície ܵ em várias
superfícies fechadas ௜ܵ e tomarmos o limite em
que o volume envolvido por cada uma dessas
superfícies tenda a zero, teremos:
ර ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ෍ර ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ೔௜
ൌ lim
∆௏೔→଴
෍
1
∆ ௜ܸ
ර ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ೔
∆ ௜ܸ
௜
ൌ න ݀݅ݒܣԦ ܸ݀
௏
ර ܣԦ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ න ݀݅ݒܣԦ	ܸ݀
௏
• Esse resultado é conhecido como teorema da
divergência, ou teorema de Gauss.
• Aplicando o teorema da divergência na lei de Gauss,
temos
ර ܧ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ
ݍ௜௡௧
ߝ଴
න ݀݅ݒܧ ܸ݀
௏
ൌ
1
ߝ଴
න ߩܸ݀
௏
• Onde ߩ é a densidade volumétrica de carga
distribuída pelo volume envolvido pela superfície
ܵ.
න ݀݅ݒܧ െ
ߩ
ߝ଴
ܸ݀
௏
ൌ 0
• Como o volume ܸ ് 0, então a igualdade acima
será válida se
݀݅ݒܧ ൌ
ߩ
ߝ଴
• A equação acima é a forma diferencial (ou local)
da lei de Gauss, conhecida também como
equação de Poisson.
• Enquanto a lei de Gauss funciona como um
indicador global da presença de cargas elétricas
no volume interno a ܵ , a equação Poisson
permite exprimir o estado do campo ܧ num dado
ponto ܲ em termos de seu comportamento na
vizinhança imediata de ܲ.
• Desta forma temos que a equação de Poisson
mostra‐se uma ferramenta poderosa, pois sinaliza
a presença de fontes de campo num dado ponto
ܲ.
݀݅ݒܧ ൌ
ߩ
ߝ଴
• Tem‐se então que se ݀݅ݒܧ ൐ 0 em um dado
ponto ܲ, então em ܲ temos uma carga positiva
(fonte de linhas de campo).
• Se ݀݅ݒܧ ൏ 0 em um dado ponto ܲ, então em ܲ
temos uma carga negativa (sorvedouro de linhas
de campo).
݀݅ݒܧ ൌ
ߩ
ߝ଴
• Se ݀݅ݒܧ ൌ 0 em um dado ponto ܲ, então em ܲ
não há cargas.